Examen Final JUNIO 3º ESO C SOLUCIONES

Examen Final

1

Primer Trimestre

1. (a) Realiza las siguientes operaciones y simpli…ca el resultado:

1 3 + 4 3 : 5 6 1 2 3 2 10

9 + 4 = 1 3+ 24 15 1 2 30

18 + 4 = 1 3+ 8 5 1 2 5 3+ 4

= 1 3+

8 5

3 10 + 24

6 = 1 3+ 8 5 17 6 = 1 3+ / 2 4 17

5 2 3/ = 1 3 +

68 15 =

5 + 68 15 =

73 15

(b) Aproxima por redondeo a las milésimas los números p5 y p3

7. Después, con estas aproximaciones, calcula el valor de 3 p5 p3

7: Usa la calculadora sólo para obtener los valores de p5 y p3

7: Las operaciones posteriores deben aparecer, de lo contrario no puntuarán dentro del ejercicio.

Con la calculadora es inmediato calcular los valores requeridos:

p

5 = 2;23606797749979:::

3

p

7 = 1;912931182772389:::

Por tanto, los redondeos a las milésimas de los números anteriores son:

p

5_'2;236; p3 7_'1;913:

Con los valores redondeados, tenemos fácilmente que: 2, 2 3 6

3 6, 7 0 8

6, 7 0 8 1, 9 1 3 4, 7 9 5

Por tanto, 3 p5 p3

7_' 4;795:

2. (a) Calcula el error absoluto, el error relativo y el error porcentual, que se cometen al aproximar 10

3 por el número 3,33.

Error absoluto:

ea=jx aj= 10

3 3;33 = 10 3 333 100 = 1000 999 300 = 1 300 Error relativo:

er =

(b) Una báscula que pesa sólo en kg, me dice que mi peso es de 81 kg. Por otra parte, una cinta métrica que mide hasta los cm, me dice que mi altura es de 183 cm. ¿Qué aparato de medida ha sido más preciso? Razona la respuesta.

El aparato de medida más preciso será aquel que cometa menor error absoluto en relación a la cantidad medida, es decir, será aquel que cometa menor error relativo. Los calculamos seguidamente, teniendo en cuenta que las medidas son aproximadas y que de los errores abso-lutos sólo podemos dar cotas suyas:

Báscula _! er=

ea

x ' C

a =

1 kg

81kg '0;012346 Cinta Métrica _! er=

ea

x ' C

a =

1cm

183 cm '0;0054645

Como 0;012346 >0;0054645; deducimos que la cinta métrica ha realizado una medición más precisa, en comparación a la realizada por la báscula.

3. Utiliza las propiedades de las potencias para simpli…car al máximo las expre-siones siguientes:

(a) 2

5 ₄2 ₃2

23 ₉ 1 =

2 5 (22)2 32 23 ₍₃2₎ 1 =

2 5 24 32 23 ₃ 2 =

2 1 32 23 ₃ 2 = 2

1 3 ₃2 ( 2)

= 2 4 ₃4 ₌ 3 4

24 =

3 2 4 (b) " 2 3 1 2 3

3#3

" 2 3 5 : 2 3

3#2 =

" 2 3

2#3

" 2 3

2#2 =

2 3 6 2 3 4 = 2 3 2

4. Escribe los siguientes números en notación cientí…ca:

(a) 0;000 006 7 = 6;7 10 6

(b) 223 500 000 = 2;235 108

(c) 0;003 109 _{= 3 10} 3 ₁₀9 _{= 3 10}6

(d) 2 462 1014_{= 2;462 10}3 ₁₀14 _{= 2;462 10}17

5. Calcula, usando las propiedades de los radicales, y expresando el resultado de la manera más simple posible:

(a) p9 8 p6

16 = p9 23 p6

24 ₌p3

2 p322 ₌p3 23 _{= 2}

(b) p_p3

x2

9

p

x12 =

6

p

x2

9

p

x12 =

3

p

x

3

p

x4 =

3 r

x x4 =

3

p

x 3 _=x 1 ₌ 1

x

(c) 9

p

a2 3

12p

a4 =

9

p

a6

12p

a4 =

3 p a2 3 p a = 3 r a2 a = 3 p a

2

Segundo Trimestre

6. (a) El precio de un piso subió un 10% un año y un 5% al siguiente. ¿Qué porcentaje total subió?

Utilizamos tantos por uno (TPU) para obtener los porcentajes encadenados. Notamos por P al precio del piso:

P + 10%

!1;10 P + 5%!1;05 1;10 P = 1;155 P;

lo que signi…ca que el precio pasa de valer el 100% a valer el 115,5% (basta multiplicar los TPU por 100). Por tanto, el precio del piso subió en total un 15,5%.

(b) Un libro marca 24 euros y ha sido rebajado un 25%. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja?

El problema se resuelve con una simple regla de tres: si 24 euros son el 75% del precio original (recordemos que el libro fue rebajado un 25%), entonces el 100% serán x euros. Mostramos la regla de tres de manera habitual y resolvemos:

24e _! 75%

x _! 100% )x=

24 100

75 = 32 e

que es el precio pedido.

7. Realiza las siguientes operaciones, simpli…cando y expresando el resultado en el apartado (a) como un polinomio ordenado:

(a) ( 3x2 _{2) (1 2x) x(6x x}2_{+ 1) (x+ 1) (x+ 2)}

= 3x2+ 6x3 2 + 4x (6x2 x3+x) (x2+ 2x+x+ 2) = 3x2+ 6x3 2 + 4x 6x2+x3 x x2 2x x 2 = 7x3 _10x2 ₄

(b) (2x5 _x4_+x2_{+ 2x 1) : ( 2x}2_{+x 2)}

2x5 _x4 _+x2 _{+2x 1 2x}2_{+x 2}

2x5 _+x4 _2x3 _x3_+x

2x3 _+x2 _+2x

2x3 x2 +2x

4x 1

8. (a) Extrae factor común en las siguientes expresiones:

i) 3x3_y2 _6x4_y2_{+ 15x}2_{y= 3x}2_{y(x 2x}2_{y+ 5)}

ii) 12a3_b2_c4_{+ 24a}4_b4_c3 _36a2_b3_c5 _{= 12a}2_b2_c3_{(ac+ 2a}2_b2 _3bc2₎

(b) Desarrolla aplicando las identidades notables:

9. Descompón factorialmente el siguiente polinomio:

P(x) =x7 6x6+ 13x5 12x4+ 4x3

Como el polinomio es de coe…cientes enteros, buscaremos posibles raíces enteras entre los divisores del término independiente. Pero como no tiene término independiente, proced-eremos a descomponer previamente sacando factor común la x de menor grado, es decir,

x3:

x7 6x6+ 13x5 12x4+ 4x3 =x3 x4 6x3+ 13x2 12x+ 4 :

Aparece el factor irreduciblex;elevado al cubo, lo que signi…ca que 0 es una raíz triple del polinomio. Para terminar de descomponerlo totalmente, procederemos ahora a descom-poner el factor obtenido antes, es decir, el polinomiox4 _6x3_{+ 13x}2 _{12x+ 4:Este}

poli-nomio también es de coe…cientes enteros, y sí tiene término independiente. Si posee alguna raíz entera, debe ser divisor de 4. Los divisores enteros de 4 sonDiv(4) =_f 1; 2; 4_g:

Procedemos a buscar raíces por la regla de Ru¢ ni (aplicando el teorema del resto):

1 6 13 12 4

1 1 5 8 4

1 5 8 4 0

1 1 4 4

1 4 4 0

2 2 4

1 2 0

2 2

1 0

Por tanto 1 y 2 son raíces dobles del polinomio, y la descomposición de P(x); será, conjuntamente:

x7 6x6+ 13x5 12x4+ 4x3 = x3 x4 6x3+ 13x2 12x+ 4

= x3_{(x 1)}2_{(x 2)}2

10. (a)Divide por Ru¢ ni, dejando claros el cociente y el resto de la división:

x4 5x2+ 6x 3 : (x 2)

1 0 5 6 3

2 2 4 2 8

1 2 1 4 5

Lo que signi…ca que el cociente es el polinomio C(x) = x3 _{+ 2x}2 _{x+ 4; y el resto es}

R(x) = 5:

(b) Opera y simpli…ca: x

2

x 3+ 2

x+ 3

1

x2 ₉

es precisamentex2 _{9: Entonces:}

x2

x 3+ 2

x+ 3

1

x2 ₉ =

x2_{(x+ 3)}

x2 ₉ +

2(x 3)

x2 ₉

1

x2 ₉

= x

3_{+ 3x}2

x2 ₉ +

2x 6

x2 ₉

1

x2 ₉

= x

3_{+ 3x}2_{+ 2x 6 1}

x2 ₉

= x

3 _{+ 3x}2_{+ 2x 7}

x2 ₉

3

Tercer Trimestre

11. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) 3 (x 3)

2 +

2x

3 2x=

3(2x 1) 9

1 6

Vemos quemcm(2;3;9;6) = 18;por lo que multiplicaremos en ambos miembros por esta cantidad:

183 (x 3) 2 + 18

2x

3 18 2x = 18

3(2x 1)

9 18

1 6 9 3(x 3) + 6 2x 36x = 2 3(2x 1) 3

27(x 3) + 12x 36x = 6(2x 1) 3 27x 81 24x = 12x 6 3

3x 81 = 12x 9 3x 12x = 81 9

9x = 72

x = 72

9 = 8

(b) x 4

4 +

2(x 5)

5 =

x2 ₅₃

5 Ahora esmcm(4;5;5) = 20.

20x 4 4 + 20

2(x 5)

5 = 20

x2 ₅₃

5 5(x 4) + 8(x 5) = 4(x2 53)

5x 20 + 8x 40 = 4x2 212 4x2 13x 152 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática obtenida:

x = 13

p

169 + 4 4 152

2 4 =

13 p2601

8 =

13 51 8

x = 8 > < > :

13 + 51

8 =

64 8 = 8 13 51

12. Resuelve los sistemas siguientes, el primero por el método de igualación, y el segundo por el método de reducción:

(a) 4x 5y= 22 3x 7y= 5

4x 5y= 22 3x 7y= 5 )

8 > < > :

x= 22 + 5y 4

x= 5 + 7y 3

:

Por tanto, 22 + 5y

4 =

5 + 7y

3 ; ecuación que procedemos a resolver: 22 + 5y

4 =

5 + 7y

3 3(22 + 5y) = 4(5 + 7y)

66 15y = 20 + 28y

43y = 86 ₎ y= 2

Luego: x= 22 + 5y

4 =

22 + 5( 2)

4 =

22 10

4 )x=3

(b) (

2 (3y 2) + 4 (2 +x) = 6

x+ 1 3

x 2y

2 =

y+ 7 4

Reducimos en primer lugar el sistema a uno equivalente que sea explícitamente lineal: ( _{2 (3y 2) + 4 (2 +x) = 6}

x+ 1 3

x 2y

2 =

y+ 7 4

, _{4 (}6y_{x+ 1)}4 + 8 + 4_{6 (x}x=_2y6_{) = 3 (y+ 7)}

, ₄4_xx+ 6_{+ 4}y=_{6x+ 12}10 _{y = 3y+ 21}

, 4x₂+ 6_{x+ 9}y=_{y= 17}10 , 2x₂+ 3_{x+ 9}y=_{y= 17}5

Observemos en el último paso que en la primera ecuación hemos dividido todos los coe…cientes por 2. Sumando directamente las dos ecuaciones obtenidas en el sistema equivalente, se obtiene la ecuación12y= 12, que arroja el valor y=1:En tal caso,

2x+ 3y= 5_,2x+ 3 = 5_,2x= 8_, x= 4:

La única solución del sistema es, pues, x= 4; y =1:

13. (a) Plantea una ecuación y resuélvela, para resolver el problema siguiente: Un padre tiene 29 años y su hija 3 años. Calcular cuántos años han de pasar para que, en ese momento futuro, la edad del padre sea el triple que la edad de su hija.

Sea x el tiempo (en años) que debe transcurrir para que se cumpla la condición del enunciado. En la tabla siguiente:

Edad actual Edad en x años

Padre 29 29 +x

se muestran las edades actuales y las de dentro de x años del padre y su hija. En el momento futuro, "la edad del padre será triple que la de su hija", por lo que:

29 +x

| {z }

edad padre

=_|{z}3

triple

(3 +x) | {z }

edad hija

:

Resolvemos:

29 +x= 9 + 3x_, 2x= 20_, x=10 años ,

que será el tiempo que deberá transcurrir para que se satisfaga la condición impuesta. (b) Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo, para dar solución al siguien-te problema: Se mezclan dos clases de azúcar. ¿A cuánto debe venderse el kilogramo de la mezcla sabiendo que las cantidades mezcladas son 26 kg y 34 kg y los precios 12 y 18 céntimos el kilogramo, respectivamente?

Observemos que el problema pide un solo dato, no tiene sentido plantear un sistema de ecuaciones (error del enunciado al pedir un sistema). Clasi…camos la información en la siguiente tabla, donde x representa el precio del kg de mezcla:

Precio (cent./kg) Cantidad (kg) Valor (cent.)

Azúcar A 12 26 12 26 = 312

Azúcar B 18 34 18 34 = 612

Mezcla x 60 60x

de donde:

60x= 312 + 612_,60x= 924_,x= 924

60 = 15,4 cent.

14. (a) Halla el dominio, el recorrido, los máximos y mínimos, las discontinuidades, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y la simetría de la función cuya grá…ca es:

Notaremosy=f(x) a la función. Entonces: Dominio: Dom(f) = [ 6;6]

Recorrido: R(f) = [1;5]

Máximos: f tiene dos máximos absolutos de coordenadas ( 6;5) y (6;5); que además son también máximos relativos. Tiene otro máximo relativo, además de los mencionados, de coordenadas(0;3):

Mínimos: f tiene cuatro mínimos relativos, que también son absolutos, de coorde-nadas( 4;1);( 3;1);(3;1)y (4;1):

Discontinuidades: f es discontinua en los puntos x = 3 y en x = 3: Es continua en el resto del dominio.

(b) Halla la fórmula de la función lineal cuya grá…ca pasa por los puntos(2; 3) y ( 4;6):

La ecuación de la función lineal es y =mx+n; donde como siempre, m es la pendiente de la recta que la representa, yn es la altura en el origen. Recordemos quem= y

x;por

tanto:

m = 6 ( 3)

4 2 =

9 6 =

3 2:

Como la recta pasa por el punto (2; 3); deberá satisfacerse con estas coordenadas la ecuacióny=mx+n= 3

2x+n: Por tanto:

3 = 3

2 2 +n, 3 = 3 +n,n = 0:

En resumen, la fórmula de la función es y= 3 2x. 15. Dada la función f(x) =x2_{+x 6; se pide:}

(a) Copia y completa la siguiente tabla de valores:

x 1

2 1 2 4 0 1 2 3

y

Observemos que:

f 1

2 =

1 2

2

+ 1

2 6 =

1 4

1 2 6 =

1 2 24

4 =

25 4 :

f( 1) = ( 1)2_{+ ( 1) 6 = 6:}

f( 2) = ( 2)2_{+ ( 2) 6 = 4:}

f( 4) = ( 4)2_{+ ( 4) 6 = 6:}

f(0) = 6

f(1) = 12_{+ 1 6 = 4}

f(2) = 22+ 2 6 = 0

f(3) = 32+ 3 6 = 6:

Por tanto, la tabla queda como sigue:

x 1

2 1 2 4 0 1 2 3

y 25

4 6 4 6 6 4 0 6

Obtengamos algunos elementos notables de la parábola que representa a la función cua-drática del enunciado. Observemos, de la tabla obtenida en el apartado anterior, que (2;0) es un punto de corte con el eje de abscisas. El otro podemos obtenerlo, recordando que el polinomio x2 _{+x 6 es mónico, por lo que el producto de sus raíces es 6 (el}

término independiente), luego como una es 2, la otra deberá ser 3; obteniéndose que el otro punto de corte con el eje de abscisas es el punto ( 3;0) (otra forma de obtenerlo es resolviendo la ecuación x2_{+x 6 = 0). El punto de corte con el eje de ordenadas, tal y}

como muestra la tabla, es el punto(0; 6):

Coordenadas del vértice: V = b 2a; f

b

2a :Vemos que b

2a =

1

2 ;y como, según hemos visto en el apartado anterior, se tiene que f 1

2 =

25

4 ; deducimos que el vértice tiene coordenadasV = 1

2; 25

4 :