Ejemplo 1: Para un proyectil que se lanza en el instante inicial to

12  5821  Descargar (31)

Texto completo

(1)

Colegio San Francisco de Asís

Asignatura Física 1° Trimestre Profesor Armando Contreras Vega

Nivel 4° Medio Electivo

Nombre ______________________________________________________

Movimiento Parabólico

Es movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola.

Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U.

Como no hay aceleración en la dirección horizontal x, la componente x de la

velocidad es constante, y como la aceleración en la dirección vertical y es g,

(2)

La ecuación de la trayectoria, esto es la curva geométrica que describe el

cuerpo durante el movimiento del proyectil, se puede obtener despejando el

parámetro t - t

o

de la ecuación en x y reemplazando en la ecuación para y:

que es la ecuación de una parábola, por lo tanto la trayectoria del proyectil es

parabólica y queda totalmente conocida si se conoce v

o

y

a

. La velocidad del

proyectil es siempre tangente a la trayectoria en cualquier instante, por lo que

la dirección y la magnitud de la velocidad en cualquier instante se puede calcular en

forma geométrica de las ecuaciones:

Ejemplo 1: Para un proyectil que se lanza en el instante inicial to

= 0 desde el

origen, con una velocidad inicial

vo formando un ángulo

a

con la horizontal,

calcular: a) la altura máxima, b) la distancia horizontal.

situación se puede graficar en el esquema de la figura 3.2.

(3)
(4)
(5)

Ejercicios Propuestos

1) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire, calcular:

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?.

b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima?.

c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?.

Rta.: a) 39,36 m

b) 1732,05 m

c) 3464,1 m

2) Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón. Determinar:

a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil?.

(6)

Rta.: a) 49,46 m/s

b) 17 m

3) Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad inicial de 13 m/s y con un ángulo de 45° respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m. Determinar:

a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco?.

b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué?.

c) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez?.

Rta.: a) 1,41 s

b) No

c) 17,18 m

4) Sobre un plano inclinado que tiene un ángulo a = 30°, se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s y formando un ángulo b = 60° con la horizontal. Calcular en que punto del plano inclinado pegará.

Rta.: 165,99 m

5) Un cañón que forma un ángulo de 45° con la horizontal, lanza un proyectil a 20 m/s, a 20 m de este se encuentra un muro de 21 m de altura. Determinar:

a) ¿A qué altura del muro hace impacto el proyectil?.

b) ¿Qué altura máxima logrará el proyectil?.

c) ¿Qué alcance tendrá?.

d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el disparo y el impacto en el muro?.

Rta.: a) 9,75 m

b) 10,2 m

c) 40,82 m

d) 1,41 s

6) Un mortero dispara sus proyectiles con una velocidad inicial de 800 km/h, ¿qué inclinación debe tener el mortero para que alcance un objetivo ubicado a 4000 m de este?.

(7)

Responder:

1) En el tiro parabólico ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje “x”?.

2) En el tiro parabólico ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje “y”?.

3) ¿En qué posición es nula la velocidad en el eje “y”?.

Problemas de Cinemática resueltos

a) Un muchacho arroja una piedra de 100 g formando un ángulo de 45º con la horizontal, consiguiendo alcanzar los 20 m. Hallar

El momento lineal en el instante inicial

Las energías cinética y potencial en el punto más alto de la trayectoria.

Dato: g = 10 m/s2

Res: i+j ; 5 J ; 5 J ( P.A.U. Jun 95)

a)     ⋅ = ⋅ − ⋅ = t V x t g t V y ) cos ( 2 1 ) sen ( 0 2 0

ϑ

ϑ

Alcance máximo y=0

    ⋅ = ⋅ − ⋅ = t V x t g t V

max ( cos )

2 1 ) sen ( 0 0 2 0

ϑ

ϑ

Despejando t: V V m s

g V

xmax ; 14´1

10 ) 45 2 sen( 20 ; 2 sen 0 0

0 = ⋅ =

=

ϑ

(repasa teoría) j i j i V m P j i j i V r r r r r r r r r r r + = + ⋅ = = + = ⋅ + ⋅

=(14´1 cos45) (14´1 sen45) 10 10 ; 0 0 0´1 (10 10 ) 0

b) EcA = mVA =(VA =VAXi +0j); VAX =VOX 2 1 2 ) ( r r

(la componente horizontal de la velocidad

se mantiene constante)

J V m V m

EcA ox 0´1 (14´1 0´71) 5 2 1 ) 45 cos ( 2 1 ) ( 2

1 2 2

0 2

)

(8)

ymax cuando Vy = 0 ; 5 ; 10 2 71 ´ 0 1 ´ 14 ; 2 sen 2 1 ) sen ( sen 0 2 1 ) sen (

sen 2 2 2 2

0 2 0 0 2 0 0 = ⋅ ⋅ =      =     − = − =      − = − = max max max max y y y g V y gt t V y gt V gt t V y gt V V

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

J y mg

Ep(A) = ⋅ max =0´1⋅10⋅5=5

b) Un esquiador especialista en la modalidad de salto desciende por una rampa, que supondremos un plano inclinado que forma un ángulo de 13º con la horizontal y de 50m de longitud. El extremo inferior de la rampa se encuentra a 14m sobre el suelo horizontal. Ignorando los rozamientos y suponiendo que parte del reposo, calcular

c) La velocidad que tendrá al abandonar la rampa

d) La distancia horizontal que recorrería en el aire antes de llegar al suelo

Dato: g =10 m/s2

Res: a) 15 m/s; b) 20m (P.A.U. Jun 96)

a) h=50sen13=11´25m

Por conservación de la energía: mgh mV ;V 2gh 2 10 11´25 15m s 2

1 2 = = ⋅ ⋅ =

=

b) 0 2

2 1 t g t V y

y= − oy − Condición y = 0 para alcance máximo

37 ´ 1 ; 0 14 37 ´ 3 5 ; 10 2 1 ) 13 (sen 15 14

0= − − 2 2 + − = =

t t t t t m t V

x= ox⋅ =15cos13º⋅1´37=20

e) Desde un acantilado se dispara horizontalmente un proyectil de 2 kg con una velocidad inicial de 100 m/s. Si cuando el proyectil choca contra el mar su velocidad es de 108 m/s, calcular

f) La energía mecánica en el punto del disparo g) El tiempo que el proyectil permanece en el aire

Dato: g = 10 m/s2

(9)

Resolvemos por (P.) conservación de la energía: m g V V h m h g m m V m h g m V m E E A B B A B A 2 ´ 83 10 2 100 108 2 ; 0 108 2 1 100 2 1 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = ⋅ − = − = + ⋅ = + ⋅ + = + = =

Colocando el sistema de referencia en 0

s t t V Como t g t V h

h oy oy 10 ; 4´08

2 1 2 ´ 83 0 ; 0 ; 2 1 2 , 2 ,

0 + ⋅ − = = − =

=

h) Desde un edificio de 30m de altura se lanza un objeto de 10 kg siendo su momento lineal, en el instante inicial de lanzamiento, P = 128 i + 96 j kg m/s. Despreciando la resistencia del aire, determinar

i) La energía mecánica después del lanzamiento j) Su velocidad cuando se encuentra a 10m del suelo

Dato: g = 10 m/s2

Resp: a) 4280 J ; b)V=25´6 m/s (P.A.U. Jun 97)

k) i j

m P V A A r r r r ´ 6 ´ 9 8 ´ 12 + = = s m V = 12´82+9´62 =16

J E

E

EA CA PA 10 16 10 10 30 4280 2

1 2

,

, + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

=

l) EA =EB (conservación de la energía mecánica)

s m V V h g m V

m B B 10 B 10 10 10; B 25´6 2

1 2

1

4280= 2+ = 2+ ⋅ ⋅ =

Para hallar el vector VB

r

debemos calcular sus componentes. La componente horizontal de

la velocidad en B es igual que en A: VX A VX B i

r r r 8 ´ 12 , , = = 17 ´ 22 8 ´ 12 6 ´

25 2 2

2 , 2

,B = BxB = − =

y V V

V j i VB r r r 17 ´ 22 8 ´ 12 + =

m) Un vehículo avanza a 108 km/h. Si la aceleración típica de frenada es de 6 m/s2, calcular n) La distancia que recorre antes de parar

o) La altura desde donde debería caer libremente, para que al llegar al suelo tenga la misma energía cinética que al avanzar a 108 km/h.

Dato: g = 10 m/s2

Res: a) d = 75m ; b) h = 45m (P.A.U. Jun 98)

s m h

km

Vo 30

6 ´ 3 108 3600 108000

108 = = =

=

a) V Vo 2aX ; 0 30 2 6 X ; X 75m

2 2

2 = + = − ⋅ ⋅ =

b) EC =EP

(10)

m h g V h h g m V m 45 10 2 30 ; 2 ; 2

1 2 2 2 =

⋅ = =

=

p) Mediante una grúa se eleva una carga (considérese puntual) a la velocidad de 5 m/s. Estando la carga a 6m del suelo, se detiene la grúa y es retirada. Calcular

q) La altura máxima que alcanza la carga respecto del suelo r) El tiempo que tarda en llegar al suelo desde que se retiró la grúa

Dato: g = 9´81 m/s2

Res: a) h = 7´27m; b) t = 1´73s (P.A.U. )

a) m g V h h h g m V m h g m o o o

o 7´27

2 ;

2

1 2 2

= + = = + b) s g V t t g V V o

o − =0; 1 = =0´51

= s g h t t g

h ; 2 1´22

2 1

2 2

2 = =

=

s t

t

t = 1+ 2 =1´73

Problema n° 1) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la

horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire, calcular: a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?.

b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima?. c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?.

Respuesta: a) 2.038,74 m b) 1.732,05 m c) 3.464,1 m

Problema n° 2) Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El objetivo se

encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón. Determinar: a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil?.

b) Con la misma velocidad inicial ¿desde que otra posición se podría haber disparado?. Resp: a) 49,46 m/s b) 17 m

Problema n° 3) Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad inicial de 13 m/s y con un

ángulo de 45° respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m. Determinar: a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco?. b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué?.

c) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez?. Respuesta: a) 1,41 s b) No c) 17,18 m

Problema n° 4) Sobre un plano inclinado que tiene un ángulo α = 30°, se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s y formando un ángulo β = 60° con la horizontal. Calcular en que punto del plano inclinado pegará.Respuesta: 165,99 m

Problema n° 5) Un cañón que forma un ángulo de 45° con la horizontal, lanza un proyectil a 20 m/s, a 20 m

de este se encuentra un muro de 21 m de altura. Determinar: a) ¿A qué altura del muro hace impacto el proyectil?. b) ¿Qué altura máxima logrará el proyectil?.

c) ¿Qué alcance tendrá?.

d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el disparo y el impacto en el muro?. Respuesta: a) 9,75 m b) 10,2 m c) 40,82 m d) 1,41 s

Problema n° 6) Un mortero dispara sus proyectiles con una velocidad inicial de 800 km/h, ¿qué inclinación

debe tener el mortero para que alcance un objetivo ubicado a 4000 m de este?. Respuesta: 26° 16´ 16"

7) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire, calcular:

(11)

b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima?.

c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?. Rta.: a) 39,36 m b) 1732,05 m c) 3464,1 m

8) Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón. Determinar:

a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil?.

b) Con la misma velocidad inicial ¿desde que otra posición se podría haber disparado?. Rta.: a) 49,46 m/s b) 17 m

9) Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad inicial de 13 m/s y con un ángulo de 45° respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m. Determinar:

a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco?. b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué?.

c) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez?. Rta.: a) 1,41 s b) No c) 17,18 m

10) Sobre un plano inclinado que tiene un ángulo a = 30°, se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s y formando un ángulo b = 60° con la horizontal. Calcular en que punto del plano inclinado pegará. Rta.: 165,99 m

11) Un cañón que forma un ángulo de 45° con la horizontal, lanza un proyectil a 20 m/s, a 20 m de este se encuentra un muro de 21 m de altura. Determinar:

a) ¿A qué altura del muro hace impacto el proyectil?. b) ¿Qué altura máxima logrará el proyectil?.

c) ¿Qué alcance tendrá?.

d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el disparo y el impacto en el muro?. Rta.: a) 9,75 m b) 10,2 m c) 40,82 m d) 1,41 s

12) Un mortero dispara sus proyectiles con una velocidad inicial de 800 km/h, ¿qué inclinación debe tener el mortero para que alcance un objetivo ubicado a 4000 m de este?.

Rta.: 26° 16' 16” Responder:

1) En el tiro parabólico ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje “x”?. 2) En el tiro parabólico ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje “y”?. 3) ¿En qué posición es nula la velocidad en el eje “y”?.

Test de Selección múltiple ( Mov. Parabólico)

1.En la figura de la derecha se ilustra la gráfica de un cuerpo que fue lanzado y describió una trayectoria parabólica. Con base en ella podemos afirmar que el tiempo para alcanzar la altura máxima fue:

Figura 1 a) 11.25 s

b) 4.04 s c) 1.43 s d) 2.86s

2.El cuerpo de la pregunta anterior fue lanzado desde el piso. Por tanto su altura máxima respecto a

(12)

3. El tiempo que emplea el cuerpo del problema anterior en alcanzar la altura máxima es:

a) 10.00 s b) 22.01 s c) 11.25 s

d) Ninguno de los anteriores

4. El tiempo que de vuelo del proyectil del problema anterior es:

a) 20.00 s b) 44.02 s c) 22.50 s

d) Ninguno de los anteriores

5. La posición vertical ( y ) del problema anterior para t=10 s

a) 190 m b) 90 m c) 630m d) 330 m

6. Sí la componente horizontal de la velocidad de la figura 1 en t=10 s es 194 m/s la magnitud de la velocidad para ese tiempo es:

a) 194,5 m/s b) 274.4 m/s c) 112 m/s

d) Ninguna de las anteriores

7. El alcance horizontal es :

a) 4365 m b) 8540 m c) 3380 m

d) Ninguna de las anteriores

8. El ángulo que forma el vector velocidad con la horizontal en t=10 seg es :

a) 4.1 ° b) 0.0° c) 85.9° d) 30°

9. La rapidez inicial de cuerpo es en m/s es:

a) 14 b) 194 c) 114 d) 224

10. El ángulo inicial es:

a) 0° b) 60° c) 30°

d) Ninguno de los anteriores

11. La magnitud de la aceleración vertical del cuerpo del problema anterior en m/s2 es:

a) 0 b) 9.8 c)- 9.8 d)194

12. La magnitud de la aceleración horizontal del cuerpo del problema anterior en m/s2 es:

a) 0 b) 9.8 c) –9.8 d) 194

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects : Movimiento De Un Proyectil