LA ENSEÑANZA DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

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Secuencia para 7º Grado: Estudiar la multiplicación y la división

Contenidos que se abordan: Tal como se expresan en los NAP:

El reconocimiento y uso de las operaciones entre número naturales y la explicitación de sus propiedades en situaciones problemáticas que requieran:

Producir y analizar afirmaciones sobre propiedades de la multiplicación y la división (distributiva, asociativa,...), y argumentar sobre su validez.

El uso de distintas expresiones simbólicas en situaciones problemáticas que requieran: • Explorar y explicitar relaciones y propiedades de la multiplicación y la división con

números naturales (distributiva, asociativa,...)

Producir y validar enunciados sobre relaciones y propiedades, avanzando desde las argumentaciones empíricas hacia otras más generales.

Propósito y comentarios sobre las actividades:

Esta secuencia promueve la profundización del análisis de la multiplicación y la división, ya no solo como operaciones útiles para resolver cierto tipo de problemas, sino como objetos matemáticos en sí mismos. Para ello, se proponen actividades…

 en las que se centra la atención sobre la relación a x b = c (a, b y c naturales) y se estudia la variación del producto cuando se modifica el valor de sus factores,

 que involucran las propiedades de la multiplicación,

 que incluyen la manipulación de expresiones con letras que permiten trabajar sobre argumentos de validez general,

 que relacionan los términos de la división (D = c x d + r (0 ≤ r ≤ d))

 que recapitulan lo estudiado y ponen en común aquellos conocimientos que han circulado y que es necesario registrar para tenerlos disponibles.

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Estructura de las secuencias en general

Actividad 1

Actividad 8 Actividad 3

Actividad 4

Actividad 5

Actividad 6

Actividad 7 Actividad 2

Actividad 9

Actividad 10

Actividad 0/11

Recuperación de saberes previos

Trabajo con saberes específicos

Institucionalizaciones parciales

Institucionalización Final

Autoevaluación

Seguimiento

Comprobar los avances Conocer las herramientas de las

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Actividad N° 1: Juego “Multiplico y Sumo”

En la Actividad 1 se propone un juego que tiene como foco de trabajo la realización de cálculos mentales para primer jugador cuando uno de los factores es la unidad seguida de ceros y la suma de números llamados “redondos”.

Y el segundo jugador toma como tarea validar los cálculos, a través de un instrumento, en este caso la calculadora.

El registro de los cálculos permitirá al docente el posterior debate sobre los mismos, partiendo de la idea que ningún número debe ser borrado, ni corregido.

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Actividad N° 1: Juego “Multiplico y Sumo”

Preparen los materiales para este juego con el maestro y organícense en parejas. Necesitan una calculadora, papel, lápiz, tapitas u otros elementos para contar puntos y seis tarjetas:+ 10, +100, +1000, x 10, x 100 y x1000.

Reglas del juego: Se colocan las tarjetas con el signo de suma en una pila y las tarjetas con el signo de multiplicación en la otra pila, todas boca abajo. Uno de los jugadores dice un número de dos cifras. El otro saca una tarjeta de cada pila y deberá, mentalmente, primero multiplicar el número que dijo su compañero por el número que indica la tarjeta con x y luego sumarle el número que indica la tarjeta con +; por último, debe anotar en un papel el número inicial, las operaciones que aparecen en las tarjetas y el resultado que había calculado. Por ejemplo: Número x... +... Resultado 25 x10 +100 350

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Actividad N° 2: Comparación de los cálculos que aparecieron en el juego

Al reflexionar el juego en la actividad 2, se busca que los alumnos analicen los cálculos que aparecieron para lo cual tendrán que explicar cómo cambian los números al sumar o multiplicar por la unidad seguida de ceros, analizar las propiedades de las operaciones y en particular con la resta.

Aparece en forma explícita considerar el orden de las operaciones. Es el momento de probar y justificar los cálculos realizados para que se escriban “conclusiones”, identificando casos del uso de paréntesis en las cuentas.

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Actividad N° 2: Comparación de los cálculos que aparecieron en el juego

a. Jugando a “Multiplico y sumo” Jonás dijo 34:

 ¿Qué transformación produce multiplicar 34 por 10? ¿Y por 100? ¿Y por 1000? ¿Por qué?

 ¿Qué transformación produce sumarle 10? ¿Y sumar 100? ¿Y 1000? ¿Por qué?

b. ¿Cambian los resultados si en lugar de “Multiplico y sumo” el juego fuera “Sumo y multiplico”?

Por ejemplo, multiplicar primero por 100 y después sumar 10, ¿da lo mismo que sumar primero 10 y después multiplicar por 100? ¿Por qué?

 Si quiero obtener el número más grande posible, ¿qué conviene hacer primero, sumar 100 o multiplicar 100? ¿Por qué?

c. ¿Algunos de estos cálculos dan el mismo resultado? ¿Cómo pueden anticipar su respuesta antes de saber cuánto dan las cuentas?

56 + 10 x 100= 56 x 100 + 10= (56 + 10) x 100= 56 x (100 + 10)= 56 + 100 x 10= 56 x 10 + 100= 56 x (10 + 100)= (56 + 100) x 10=

d. Registren en sus carpetas cómo se modifica un número al sumar o multiplicar por la unidad seguida de ceros y en qué casos se usan los paréntesis cuando se combinan en un cálculo una multiplicación o una suma.

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Actividad N° 3: Baldosas con Propiedades

Cubrir una superficie con baldosas planteado en la Actividad 3, es un contexto extra matemático, que permite un análisis a nivel coloquial de modificación de cantidades de referencia al duplicar medidas, en el contexto de cálculo de superficies. La reflexión sobre esos procedimientos y la disposición rectangular son situaciones que le dan sentido a un significado de la multiplicación.

En el ítems II) se pretende iniciar un camino de búsqueda de posibilidades dado el total de baldosas.

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Actividad N° 3: Baldosas con Propiedades

I. Una terraza rectangular tiene 10 filas de 22 baldosas cada una.

a. Si se duplican la cantidad de filas y la cantidad de baldosas por fila, ¿se duplica la cantidad total de baldosas?

b. Si la cantidad de baldosas del largo y del ancho se triplican, ¿se triplica la cantidad total de baldosas? ¿Por qué?

c. Teniendo en cuenta los dos casos anteriores, ¿Qué sucedería si el patio fuese de 996 filas de 20 baldosas cada una? ¿Y de 42 filas de 112 baldosas?

d. ¿Llegaste a una conclusión? Enúnciala.

II. Una terraza rectangular se cubrió exactamente con 120 baldosas iguales.

a. ¿Cuántas baldosas de las mismas se necesitan para cubrir otra terraza, que tenga el doble del ancho y el doble del largo que la anterior? ¿Cómo la averiguaste? b. Comparen sus cálculos con los de otros compañeros, ¿hay otras formas de resolver

y obtener el mismo resultado? ¿Cuáles?

c. ¿Qué ventajas y desventajas tiene cada estrategia? Si tuvieses que elegir una de ellas, ¿cuál seleccionarías y por qué?

Tarea:

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Actividad N° 4: Las letras como recurso para estudiar sobre la multiplicación.

La Actividad 4 plantea, en un contexto intra-matemático, la continuidad de lo observado y analizado en la actividad anterior, situando a los alumnos en:

I) desde un resultado de referencia darle validez a otro cálculo donde no se conocen los factores pero desde ellos y considerando las propiedades de la multiplicación se puede realizar el análisis.

II) el uso de letras para reemplazar los factores (que en este caso son números naturales) lleva al alumno a un trabajo matemático donde el obstáculo de no conocer los valores de las “letras” les permite buscar otros tópicos de análisis sustentados en el uso de propiedades.

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Actividad N° 4: Las letras como recurso para estudiar sobre la multiplicación

I. El producto de dos números naturales es 924. A partir de este dato, ¿es posible conocer el producto del doble del primero por el triple del segundo? Si piensas que si, indica el resultado y explica cómo lo obtuviste; si piensas que no, explica por qué.

II. Se sabe que a x b = 450 (a y b son número naturales, pero no se conoce el valor de cada uno de ellos)

a. ¿Qué valores podrían tener los números a y b?

b. ¿Se podrá saber cuál es el resultado del doble del primero por el triple del segundo?

c. ¿Cambiaría la respuesta si se consideran distintos pares de números? ¿Por qué? d. Marcos, concluyó: “no se puede responder el ítem b si no se conocen los valores

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Actividad N° 5: Otras propiedades de la multiplicación.

En la Actividad 5 se inicia al alumno en el uso del lenguaje simbólico. Primero se propone discutir sobre la búsqueda de resultados de expresiones que son sometidas a distintas transformaciones:

I) Modificando uno de los factores al sumarle 1. Para luego en ese marco pensar “juntos” si lo que hizo otro “chico” permite arribar a la misma conclusión.

II) Se solicita revisar si la conclusión arribada anteriormente es válida si en vez de sumar 1 se restara 1 al mismo factor

III) Se les solicita la validez o no de expresiones simbólicas con el apoyo de un resultado, para concluir determinando y revisando las propiedades de la multiplicación.

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Actividad N° 5: Otras Propiedades de la Multiplicación

I. Se sabe que a x b = 240 (a y b son número naturales, pero no se conoce el valor de cada uno de ellos)

a. ¿Se podrá saber cuál es el resultado si se suma 1 al primer número y luego se lo multiplica por el segundo?

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II. Se sabe que a x b = 500. ¿Se podrá saber cuál es el resultado si se resta 1 al primer número y se multiplica por el segundo? Intenta responder sin hacer pruebas con distintos valores para a y b.

III. Determina si es posible averiguar los siguientes productos a partir de saber que a x b = 65.

a x (b + 1) = 5 x a x b = 5 x a x 4 x b =

a x (b x 10) =

a x (b - 1) =

a x (a x b) x b =

IV. Compara tus respuestas con las de otros compañeros. ¿Qué propiedades de la multiplicación usaron para resolver la situación anterior?

Actividad N° 6: Calculos

En la actividad 6 se proponen situaciones en contexto extramatemático e intramatemático para trabajar la división, en donde particularmente se analiza la relación entre los términos de ésta operación matemática.

--- Tarea:

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Actividad N° 6: Cálculos

Se repartió en partes iguales una cantidad de caramelos entre 12 personas. Cada una de ellas recibió 5 caramelos y quedaron 3 sin repartir.

a) Cuál era la cantidad original de caramelos?

b) Si en la calculadora, la división 63 : 12 da como resultado 5,25.¿ Cómo puedo hacer, usando la calculadora, para saber cuál es el resto de esa división? Probalo y escribí los cálculos que hiciste.

Actividad N° 7: Analizando la división

En la actividad 7 se avanza en el análisis de la relación Dividendo = cociente x divisor + resto (con r < d). Estableciendo condiciones a partir de las cuales esta relación admite, para la resolución de las actividades, infinitos valores, una solución única o no admite soluciones. ---

Actividad N° 7: Analizando la división

a)

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b) Analiza las respuestas de a) ¿Qué característica común tienen? Justifica la elección

c)

d) Cómo explicarías a un compañero que para la cuenta del ítem c) el mínimo valor del Dividendo puede ser 2 pero que no podrías calcular un valor máximo

Actividad N° 8: Ensayamos divisiones

En la actividad 8 se trabaja el concepto de la división y la variabilidad de sus partes. Luego se explaya el trabajo liberando el resto para obtener diversidad de resultados. Se realiza también estimaciones continuando con el inicio del trabajo algebraico, validando los procedimientos empleados, de modo que se obtengan regularidades.

---

Tarea:

Será posible encontrar un valor C en la cuenta de dividir de manera que D sea múltiplo de 15?

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Actividad N° 8: Ensayamos divisiones

I. Propón una cuenta de dividir que tenga divisor 15, cociente 3 y resto 7. a. ¿Hay una sola?

b. Encuentra todas las que puedas.

II. Propón una cuenta de dividir por 23, con resto 8.

a. ¿Qué elementos que intervienen en la división faltan?

b. ¿Hay una sola respuesta? Compara tus cálculos con los de sus compañeros. ¿Cuál es más fácil hallar primero de los elementos que faltan, el dividendo o el divisor?. c. Encuentra todas las que puedas.

III. ¿Son iguales los problemas I y II? ¿Por qué?

IV. a. Completa la tabla con valores posibles de dividendo y cociente para una cuenta en la que el divisor es 15 y el resto es 6.

Cociente 1 2 3 4 5 6

Dividendo

b. ¿Podrá ser el cociente cero?

c. ¿Cuál podría ser el cociente para que el dividendo sea mayor que 1000? d. ¿Cuál es el mayor dividendo que podes encontrar?

e. Escribe un “método” que sirva para encontrar dividendos a partir de asignarle valores al cociente para el caso “a”.

f. ¿Podrías encontrar una expresión general que represente los cálculos realizados?

Tarea:

Encuentra cuentas de dividir que cumplan, con las siguientes condiciones. Establece cuantas soluciones tiene el problema en cada caso.

a. Divisor = 8; cociente = 6 b. Cociente = 9; resto = 5

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Actividad N° 9: Abrimos la discusión

En la actividad 9 involucra problemas vinculado a la relación D= (d x c)+ r en donde es el alumno quien elabora el enunciado cumpliendo con las pautas diseñadas, se vuelve también a la actividad 8, en donde se apunta a las conclusiones obtenidas en relación al reconocimiento de los elementos y a la cantidad de soluciones posibles y por último se analiza multiplicaciones por la unidad seguida de ceros y una estimación de divisiones.

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Actividad N° 9: Abrimos la discusión

I. Propón una cuenta de dividir en la que el divisor sea 4 y el cociente sea 10 ¿Hay una sola cuenta? Encuentra todas las que puedas.

II. Propón una cuenta de dividir en la que el cociente sea 15 y el resto sea 6. Encuentra todas las cuentas posibles que cumplan esta condición.

III. ¿Cómo se puede aprovechar el método y expresión general que inventaron en el ítem IV de la actividad 8 para resolver el problema II?

IV. Analiza si son ciertas las siguientes afirmaciones:

a. En el problema I, si pones 0 para el resto, te da dividendo 40, si pones 1 para el resto te da dividendo 41; si pones 2, te da 42, etc. Así podes seguir poniendo cualquier valor al resto y calculando el dividendo.

b. Si en el problema 1 pones un resto cualquiera, por ejemplo, 15, te da dividendo 55. Pero si haces 55: 4, no te da 10 el cociente. ¿Es correcto que el resto sea mayor que el cociente?

V. ¿Cuál es el menor dividendo que podes encontrar para el problema I? ¿Y el mayor? ¿Por qué?

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Actividad opcional: ¡A calcular sin lápiz ni papel!

Resuelve las siguientes actividades: Sabiendo que:

12 x 10 = 120 12 x 100 = 1200 12 x 1000 = 12000 12 x 10000 = 120000 Decide si:

o 130:12 dará un número mayor, menor o igual que 10.

o 1000:12 dará un número mayor, menor o igual que 100.

o 11719:12 dará un número mayor, menor o igual que 1000. o 162985:12 dará un número mayor, menor o igual que 10000.

Actividad N° 10: Mirar lo que aprendimos.

En la actividad 10 la finalidad es una revisión y una reflexión de sí mismo, es decir, una autoevaluación de lo aprendido para la toma de conciencia de sus propios procesos de aprendizaje.

Retoma las actividades trabajadas haciendo referencia a las dificultades, reconocimiento de propiedades, estimación de resultados y valorizando el uso de la calculadora como herramienta potencial.

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Actividad N° 10: Mirar lo que aprendimos:

a) ¿Qué actividades te resultaron más fáciles? b) ¿Cuáles te costaron más?

c) ¿Cuáles son las propiedades de las operaciones que ya conocías y pudiste utilizar? Escribe esas propiedades de la manera más sintética que puedas.

d) ¿Cómo podes darte cuenta al mirar un cálculo resuelto, si se aplicó la propiedad distributiva? ¿Y la asociativa? ¿Y la conmutativa?

e) ¿Aprendiste alguna forma nueva de hacer cálculos o de estimar resultados? ¿Cuáles? f) ¿Te sentís cómodo usando calculadora? ¿Y resolviendo mentalmente?

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ACTIVIDAD 0/11: ¿Qué sabemos?

En la actividad 0/11 tanto como diagnóstico y como evaluación, debemos explicitar los objetivos a los alumnos; ya que deben tomar conciencia de sus propios procesos de aprendizajes para que de ésta forma, reconozcan cuáles son sus fortalezas y en donde se necesitan rever o profundizar.

El ejercicio I trata la multiplicación por descomposición aditiva y por la unidad seguida de ceros, argumentando el procedimiento de resolución.

El ejercicio II continúa las multiplicaciones por descomposición y propiedad conmutativa para luego usar la multiplicación por la unidad seguida de ceros.

El ejercicio III y el IV involucra la multiplicación en cada uno de los miembros de una igualdad por un mismo número, identificando la propiedad a aplicar.

El ejercicio V aplica la relación D= (dxc)+r, se continúa con estimaciones y la correspondiente validación en el ejercicio VI para terminar con un problema de división con descomposición del divisor.

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Actividad o/11 ¿Qué sabemos?

I. Tenemos una calculadora y la tecla 4 no funciona,

a) ¿Cómo puedes usarla para realizar las siguientes cuentas? 19 x 14= 440: 50 = 94 x 48 =

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II. Lee atentamente los diálogos y explica cómo pueden haber resuelto los cálculos mencionados, sin hacer las cuentas:

a)-

b)

III. a) Se sabe que 35 x 27 = 945. Utilizando sólo el resultado explica cómo se puede averiguar el resultado del doble de 35 por el triple de 27.

b)-Teniendo en cuenta que 7 x 13 = 91, aplica propiedades para mostrar que 35 x 26 = 91 x 10

c) Indica qué propiedades aplicaste en b)

IV. El producto entre dos números es 62.460, ¿Cuánto vale el triple del primero por el cuádruple del segundo?, ¿se puede contestar esta pregunta sin conocer cada uno de los números? Si la respuesta es afirmativa, indica que propiedades usas.

V. ¿Cuántas cuentas de dividir se pueden inventar que den 25 con resto 11? VI. a) Sin realizar las cuentas, estima cuántas cifras tendrá el cociente en cada caso:

1.530 : 26 3286: 528 4825: 249 2430:31 b) Explica que procedimientos empleaste

¡Es fácil… 1485! ¿15 x 99?

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Bibliografía:

Broitman, C. – Grimaldi, V. y Ponce, Héctor – Estudiar Matemática en 7º. Ed. Santillana. Buenos Aires. 2007

Díaz, Adriana – Aventura Matemática 7/1. Ed. AIQUE. Buenos Aires. 2010.

Barallobres, G. – Díaz, Adriana – Matemática 7. Ciencia en Foco. Ed. AIQUE. Buenos Aires. 2007.

Barallobres, G. - Chara, S. – Schaposchnik, R. – Chemello, G. Matemática 6. Carpeta de Actividades. Ed. AIQUE. Buenos Aires. 2007.

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