Capitulo III Matemática III (733)
Objetivo 5. Aplicar el cálculo integral a la solución de problemas específicos.
Ejercicio 1
Halla el momento de inercia de la región limitada por las curvas de
ecuaciones y= x, y 12 x
= , x=4 con respecto al eje OY.
Solución
Justificación: Primero quiero comentar que este objetivo es muy importante para ingeniería, porque se visualizan aplicaciones del conocimiento matemático adquirido hasta ahora, percibiendo con claridad la utilidad a la carrera de ingeniería y la intima relación que existe entre la Matemática y la
Física.
Este caso, es una aplicación del momento de inercia, el momento de
inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar (un número real) llamada momento de inercia. Recuerda que en Física, la inercia es la propiedad que tienen los cuerpos de permanecer en su estado de reposo o movimiento, mientras no se aplique sobre ellos alguna fuerza, o la resistencia que opone la materia a modificar su estado de reposo o movimiento. Como consecuencia, un cuerpo conserva su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme si no hay una fuerza actuando sobre él. En fin, la inercia es lo que hay que vencer para cambiar el estado de un cuerpo, y esto, se aplica inclusive a la vida, por ejemplo, hay que vencer la inercia del hábito de no estudiar que tiene un estudiante para cambiar su estado y se incentive a estudiar y así aprehender el conocimiento que adquiere.
( )
2 1n i i i
I m r
=
=
∑
En este momento notamos que el momento de inercia depende de la
masa y la distancia de un punto de la región a un eje, ahora bien, ¿Cómo poner esta expresión en términos geométricos, como funciones, distancias en el
plano, etc?, pues para dar respuesta a esto, lo primero que vamos a poner en función de variables geométricas es la masa, porque la distancia r ya es geométrica.
Seguro has escuchado el término densidad, y la conoces por la expresión:
m v
ρ =
Donde: ρ (ro) es la densidad, m, la masa y v es el volumen del cuerpo.
Pero ¿qué es densidad?, la densidad es la distribución de la masa en una longitud, en un área o superficie o un volumen, observa:
Densidad lineal: es la que se usa para medir la densidad de hilos, cables, varillas, alambres, etc. Resulta de la división de la masa entre la
longitud del cuerpo.
m l
ρ=
Donde: ρ (ro) es la densidad, m, la masa y l la longitud del cuerpo. Densidad superficial: es la que se usa para medir la densidad de placas, láminas, cartones, pisos, etc. Se obtiene dividiendo la masa entre el área del cuerpo.
m a
ρ=
Donde: ρ (ro) es la densidad, m, la masa y a el área del cuerpo.
m v
ρ =
Donde: ρ (ro) es la densidad, m, la masa y v es el volumen del cuerpo.
En nuestros ejercicios de aplicación matemática, si nos dan una región del plano, usaremos la densidad superficial, si el ejercicio es de 3 dimensiones, la densidad volumétrica y así sucesivamente.
En el ejerció que se nos presenta, es la región de un plano, por ende utilizaremos la densidad superficial, es decir:
m a
ρ=
Donde: ρ (ro) es la densidad, m, la masa y a el área del cuerpo.
Despejando la masa, se tiene:
.
m=ρa (1)
Por otro lado, tomando un diferencial de masa, se tiene:
2 I =
∫
r dmSuponiendo la densidad del cuerpo constante, al derivar la masa en (1), se tiene:
.
dm=ρda Entonces:
2 2
I =
∫
r ρda=ρ∫
r daRecuerda que cuando dibujamos el rectángulo típico, en una región, se
Que el área del rectángulo típico es el área de un rectángulo, es decir, base por altura, por ende:
(
) (
( ) ( ))
da= base altura× = f x −g x dx
Sustituyendo: dA=
(
f x( )−g x dx( ))
, se obtiene finalmente la fórmula que utilizaremos para calcular el momento de inercia de un cuerpo:(
)
2
( ) ( ) :
b EJE
a
I r f x g x dx
EJE EJE AL CUAL SE TOMA MOMENTO
ρ
=
∫
−La gráfica de y 12 x
= es conocida, a saber:
Mientras que la gráfica y= x es una semiparábola que abre a la derecha y su vértice es el origen, así:
Por lo tanto, la grafica conjunta de y 12 x
Como te has dado cuenta, en este tipo de ejercicios, que trata sobre el momento de inercia, hay que considerar 3 aspectos:
1) Dibujar el área y conseguir los puntos de intersección.
2) Destacar el eje al cual se pide el momento de inercia para colocar la distancia r desde en un punto ubicado en el rectángulo típico hasta dicho eje.
3) La densidad siempre se tomara como constante y de valor uno, es
decir, ρ=1, a menos que se diga lo contrario.
De las premisas a considerar, solo falta conseguir los puntos de intersección de las curvas:
La intersección de las curvas y 12 x
= , y= x es:
( )
2
2
4 5 5
2 2 4
1 1 1
1 . 1 1 1
x x x x x x x
x x x
= → = → = → = → = → = =
Por lo tanto el rectángulo típico varía en el eje equis desde x=1, hasta
4
Con toda la información anterior, se puede escribir:
( )
4 22 1
1 1
Y
I x x dx
x
= −
∫
Resolviendo Esta integral:
4 4 1 4 1 2 4 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
1 1
. 1
Y
x
I x x dx x x dx x x dx x dx
x x x
+
= − = − = − = −
∫
∫
∫
∫
5 7 7
1
4 5 2 2 2
7 2
1
4
4 1 2 2
1 4 1 4 4 1
5 7 7 7 7
1
2 1 2 2
Y
x
I x dx x
+
= − = − = − − − = − − −
+
∫
( )
6
6 2 3
2 2 7 2 5 2 5
4 .4 4 4 4 4 4 2 4
7 7 7 7 7 7
Y
I = − − − = − −− = − +
Respuesta: 233
7 Y
Ejercicio 2
Determine el centroide de la región limitada por las curvas:
( )
2y=sen x ; y=0; x=0 y
2
x=π
Solución
Justificación: Como se nos presenta una nueva situación física, vamos a deducir la fórmula que utilizaremos para hallar el centroide de una figura plana.
Quizás has oído hablar del centro de masas de un cuerpo plano, pues demostraremos en esta deducción que ese centro de masa es el mismo centro de gravedad, porque a las finales las fórmulas dependen únicamente de la geometría del cuerpo.
El centroide es el punto donde el cuerpo se mantendría horizontal, es decir en equilibrio:
Donde:
:
x Coordenada del centro de masas.
1:
x Coordenada de la masa 1. 2:
x Coordenada de la masa 2. 1:
m Masa 1. 2:
m Masa 2.
Arquímedes, demostró que el equilibrio de un cuerpo lineal se alcanza
cuando se cumple:
1 1 2 2 m d =m d (1)
Este principio de Arquímedes es conocido como el principio de la palanca.
Pero de la figura inmediata anterior se nota claramente que:
1 1
d = −x x y d2 = −x2 x
Sustituyendo estas expresiones en (1) se tiene:
(
)
(
)
1 1 2 2 m x−x =m x −x
Ahora despejemos de esta ecuación x, que es lo que deseamos:
1 1 1 2 2 2 m x m x− =m x −m x
1 2 2 2 1 1 m x+m x =m x +m x
(
1 2)
2 2 1 1 x m +m =m x +m x1 1 2 2 1 2 m x m x x
m m + =
+
Si tenemos un sistema con ene partículas, se tendría:
1 n
i i
i Y
t t
m x
M
x
m
m
=
=
∑
=
Donde la masa total
m
t es la sumatoria de todas las masas yM
Y es elCuando se tiene un sistema en 2 dimensiones, se tendrá que las coordenadas del centro de masa, aplicando el mismo principio anterior vendrán dado por las fórmulas:
1 n
i i
i Y
t t
m x
M
x
m
m
=
=
∑
=
1 n
i i
i X
t t
m y
M
y
m
m
=
=
∑
=
Y las coordenadas del centro de masas es:
( )
x y
,
.Ahora bien, el problema que nos atañe, es hallar el centro de masas de una región acotada por una función cualquiera f x( ), tres rectas, x=a y x=b y el eje equis, tal como se muestra:
Ahora bien, cuales son las coordenadas del centro de gravedad del rectángulo típico dibujado dentro de la región amarilla, pues se presenta a continuación:
desde el eje ye al centro de gravedad del rectángulo típico es: ( )
2
f x
, mientras
que la distancia desde el eje ye al centro de gravedad del rectángulo típico es equis.
Ya sabemos que las coordenadas del centro de gravedad se calculan así:
1 n
i i i
Y
t t
m x
M
x
m
m
=
=
=
∑
1n i i i
X
t t
m y
M
y
m
m
=
=
=
∑
En este caso el momento con respecto al eje ye
( )
M
Y es:masa distancia del punto rojo al eje "y"
Y
M
=
×
Tomando la densidad de área del rectángulo típico, se tiene:
.
m
m
A
A
ρ
= ∴ =
ρ
Por lo tanto:
( )
.
. .
Y
M
=
ρ
A
×
x
=
ρ
A x
Pero el área del rectángulo típico es base por altura, es decir:
( )
A
=
f x dx
Por lo tanto:
(
)
.
( )
.
( )
Y
M
=
ρ
f x dx x
=
ρ
xf x dx
Ahora calculemos el momento con respecto al eje equis
( )
M
X es:masa distancia del punto rojo al eje "x"
X
M
=
×
Tomando la densidad de área del rectángulo típico, se tiene:
.
m
m
A
A
ρ
= ∴ =
ρ
Se tiene:
( )
( )
.
. .
2
2
X
f x
f x
M
=
ρ
A
×
=
ρ
A
Pero el área del rectángulo típico es base por altura, es decir:
( )
Por lo tanto:
(
)
( )
1
(
)
2.
( )
.
( )
2
2
X
f x
M
=
ρ
f x dx
=
ρ
f x
dx
Solo falta calcular la masa total del rectángulo típico, y ésta se calcula haciendo uso de la densidad de área, es decir:
.
t t
m
m
A
A
ρ
=
∴ =
ρ
Y como el área del rectángulo típico es base por altura, se tiene:
( )
A
=
f x dx
Por lo tanto la masa total es:
. ( )
t
m
=
ρ
f x dx
Ahora bien, debemos sumar todos los rectángulos típicos, y esto se logra, al igual que las deducciones hechas hasta ahora, con una integral, por lo tanto:
( )
( )
b b
Y
a a
M
=
∫
ρ
xf x dx
=
ρ
∫
xf x dx
(
)
2(
)
21
1
( )
( )
2
2
b b
X
a a
M
=
∫
ρ
f x
dx
=
ρ
∫
f x
dx
. ( )
( )
b b
t
a a
m
=
∫
ρ
f x dx
=
ρ
∫
f x dx
Las coordenadas del centro de masa serán:
Y t
M x
m
ρ
= =
( )
b
a
xf x dx
ρ
∫
( )( ) ( )
b
a
b b
a a
xf x dx
f x dx f x dx =
∫
∫
∫
1 2 X t
M y
m
ρ = =
(
)
2( ) b
a
f x dx
ρ
∫
1(
)
2( ) 2
( ) ( )
b
a
b b
a a
f x dx
f x dx f x dx
=
∫
∫
∫
[image:12.595.88.513.218.637.2]( )
( )
b
a Y
b t
a
xf x dx
M
x
m
f x dx
=
=
∫
∫
(
)
21
( )
2
( )
b a X
b t
a
f x
dx
M
y
m
f x dx
=
=
∫
∫
Retomando nuestro ejercicio, debemos graficar primero la región
encerrada por las curvas: f x( )= =y sen
( )
2x ; y=0; x=0 y2
x=π
Claramente, podemos escribir:
2
0
( ) (2 )
b
a
xf x dx xsen x dx
π
=
∫
∫
La primitiva de esta integral, se calcula por partes, así:
2
(2 )
( ) u x
dv sen x dx
I = xsen x dx→
=
=
∫
Aplicando la derivada de u y la integral de dv, se tiene:
cos(2 ) (2 )
(2 )
2
x
dv sen x dx dv sen x
du dx du
dx v
dx
u x =
=
→ →
=
=
−
=
=
∫
∫
Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
cos(2 ) cos(2 )
2
. . .
2
u vdu x x dx
I = v − x −
cos(2 ) 1
cos(2 ).
2 2
x
I = −x +
∫
x dxcos(2 ) 1 (2 ) cos(2 ) (2 ) .
2 2 2 2 4
x sen x x sen x
I = −x + = −x +
Evaluando esta integral, se tiene:
( )
(
)
(
( )
)
2
0
cos 2. 2.
cos 2. 0 2. 0
cos(2 ) (2 ) 2 2
(2 ) 2 . 0.
2 4 2 2 4 2 4
0
sen
sen x sen x
xsen x dx x
π π π π π = − + = − + − − +
∫
( ) ( )
( ) ( )
2 01
0
1
0
(2 )
.
0.
2
2
4
2
4
xsen
x dx
π
π
−
= −
+
− −
+
∫
(
)
2 01
(2 )
.
0
0 0
2 2
4
xsen
x dx
π
π
π
=
+
− + =
∫
Continuando con la siguiente integral:
(
)
2 2(
)
20
1 1
( ) (2 )
2 2
b
a
f x dx sen x dx
π
=
∫
∫
Utilizando la identidad 2 1 cos(2 )
( )
2
ax
sen ax = − , se tiene:
(
)
(
)
2 2 2 2 2
2
0 0 0 0 0
1 1 1 cos(4 ) 1 1
(2 ) 1 cos(4 ) cos(4 )
2 2 2 4 4
x
sen x dx dx x dx dx x dx
π π π π π − = = − = −
∫
∫
∫
∫
∫
2 (4. )
1 (4 ) 1 2 (4(0))
0
4 4 4 2 4 4
0
sen
sen x sen
x
π
π
π
− = − − − (
)
2 2 01 1 (2 ) (0) 1 0 0
(2 )
2 4 2 4 4 4 2 4 4 8
sen sen
sen x dx
2
0
2
cos(2. )
cos(2 )
2
cos(2.(0))
cos( )
cos(0)
( )
(2 )
2
2
2
2
2
0
b
a
x
f x dx
sen
x dx
π
π
π
π
=
= −
= −
+
= −
+
∫
∫
( )
2 01
1
1
1
(2 )
1
2
2
2
2
sen
x dx
π
−
= −
+ = + =
∫
Por lo tanto el centro de gravedad de la figura, se encuentra en las coordenadas: 2 0 2 0
(2 )
4
1
4
(2 )
xsen
x dx
x
sen
x dx
π π
π
π
=
∫
=
=
∫
(
)
2 2 0 2 01
(2 )
2
8
1
8
(2 )
sen
x
dx
y
sen
x dx
π π
π
π
=
∫
=
=
∫
Respuesta: La coordenada del centro de gravedad es:
,
4 8
π π
. Ejercicio 3Halla el momento de inercia de la región limitada por las curvas de
ecuaciones
x
= + −
1
y
1
,x
=
2
con respecto al eje OY.Solución
Justificación: Para dibujar la región planteada, apliquemos la definición de valor absoluto:
( ) si ( )
0
( )
( ) si ( )
0
f x
f x
f x
f x
f x
−
<
=
+
≥
Así:(
1) si
1 0
1
(
1) si
1 0
y
y
y
y
y
− −
− <
− =
+ −
− ≥
1
si
1
1
1 si
1
y
y
y
y
y
−
<
− =
−
≥
Por lo tanto se tiene:
1 1
si
1
1
1
1
1 si
1
y
y
x
y
y
y
+ −
<
= + − =
+ −
≥
2
si
1
1
1
si
1
y
y
x
y
y
y
−
<
= + − =
≥
Para graficar las tres rectas:
x
= −
2
y
, x=y y x=2 vamos a conseguir sus puntos de intersección:2
x
= −
y
y x=y( )
2
2
2
2
2
1
1
1,1
2
x
y
y
y
y
y
x
y
x
x
y
= −
→ − = →
= ∴ = = → = → = →
=
2
x
= −
y
y x=2( )
2
2
2
2 2
0
2, 0
2
x
y
y
y
y
x
= −
→ − = → = − ∴ = →
=
x= y y x=2
( )
2
2, 2
2
x
y
y
x
=
→ = →
=
Es recomendable buscar los puntos de intersección porque nos ayuda a graficar y obtener simultáneamente los límites de integración. La grafica es:
Despejando ye en las rectas superior e inferior, se tiene:
2
2
x
y
y
x
x
y
y
x
Y recordando que la densidad
ρ
=
1
, se puede escribir:( )
2 2(
(
)
)
1
1 2
Y
I =
∫
x x− −x dx Resolviendo Esta integral:(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2 2 3 2
1 1 1 1
2 2 2 2 1 2
Y
I =
∫
x x− +x dx=∫
x x− dx=∫
x x− dx=∫
x −x dx4 3 2 4 3 4 3
2 2 1 1 16 8 1 1
2 2 2
4 3 4 3 4 3 4 3 4 3
1 Y
x x
I = − = − − − = − − −
8 3 4 12 8 1 4 1 16 1 34 17
2 4 2 2 2
3 12 3 12 3 12 12 12 6
Y
I = − − − = − − − = + = + = =
Respuesta: 17
6 Y
I =
Ejercicio 4
Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada
por las curvas de ecuaciones 2 2
y= a −x , y=x y y= −x, alrededor de la recta y= −x.
Solución
Justificación: Cuando se nos pida:
• Área de la superficie de revolución alrededor de una recta de la forma
0
ax by+ + =c , a b, ≠0.
• Volumen de la superficie de revolución alrededor de una recta de la forma ax by+ + =c 0, a b, ≠0.
Entonces se hará uso del teorema de Pappus-Guldin, que realmente son 2 teoremas, a saber:
Primer teorema
El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a C sobre el mismo plano, es
igual a la longitud de C, (l) multiplicada por la distancia, d, recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje.
El volumen V, de un sólido en revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A por la distancia, d, recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje.
V = ×A d
Observa que el teorema de Pappus no contiene el desarrollar integrales, es una sencilla fórmula, sin embargo, para dar solución a este tipo de ejercicios, se procederá así:
Dibujar la región, con sus puntos de intersección para visualizar los limites de integración y el eje de rotación.
Calcular el centro de gravedad de la figura con las fórmulas ya deducidas:
( )
( )
b
a Y
b t
a
xf x dx
M
x
m
f x dx
=
=
∫
∫
(
)
21
( )
2
( )
b
a X
b t
a
f x
dx
M
y
m
f x dx
=
=
∫
∫
Se calcula la distancia Dpr desde el centroide
( )
x y
,
hasta el eje de giro 0ax by+ + =c , a través, de la fórmula:
2 2
. .
pr
a x b y c D
a b
+ +
=
+
Se calcula la distancia d que recorre el punto (centroide) alrededor del eje, que por ser una circunferencia, se tendra:
2 rp
d = πD
No es necesario calcular el área, porque ya fue calculada en el
centroide, cuando obtuviste
( )
b
a
A
=
∫
f x dx
Finalmente calculas el volumen con la fórmula V = ×A d
Dibujar la región, con sus puntos de intersección para visualizar los limites de integración y el eje de rotación.
En este caso la región viene dada por: 2 2
y= a −x , y=x y y= −x. Eje de giro: y= −x.
Puntos de intersección:
2 2
y= a −x con y=x
(
)
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
a x= a −x →x = a −x →x =a −x →x +x =a → x =a →x =
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
a a a a a a
x = ∴ =x = = = =
La ordenada es: 2
2
a
y= =x , por lo tanto el primer punto de intersección es:
2 2
,
2 2
a a
2 2
y= a −x con y= −x
( )
(
)
2 22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
a x= a −x → −x = a −x →x =a −x →x +x =a → x =a →x =
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
a a a a a a
x = ∴ = −x = − = − = − = −
Las ordenadas son: 2 2
2 2
a a
y= − = − −x =
, por lo tanto el segundo
punto de intersección es:
2 2
,
2 2
a a
−
Sabiendo que 2 2
y= a −x es una circunferencia, porque: 2 2 2 2 2 2
Calcular el centro de gravedad de la figura con las fórmulas ya deducidas:
( )
( )
b
a Y
b t
a
xf x dx
M
x
m
f x dx
=
=
∫
∫
(
)
21
( )
2
( )
b a X
b t
a
f x
dx
M
y
m
f x dx
=
=
∫
∫
Ahora calcularemos, las 3 integrales correspondientes a las coordenadas del centro de gravedad:
Integral
( )
b
a
xf x dx
∫
:Como en la parte de arriba siempre esta
a
2−
x
2 pero abajo varia decurva, tendremos por un lado:
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
0 0
( )
( )
( )
a a
b
a
xf x dx
=
x f x
−
g x dx
=
x
a
−
x
−
x dx
(
)
(
)
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
0 0 0
a a a
x a
x
x
dx
x a
x
dx
x
dx
−
−
=
−
−
∫
∫
∫
La primera primitiva se calcula con el cambio de variable:
(
)
2 2 1 1 12
2 2
1
1
21
1
2
2
2
2
1
2
u
a
x
u
x a
x
dx
udu
u du
du
xdx
+
=
−
−
→
→ −
= −
= −
= −
+
∫
∫
∫
3 21
1
3
2
2
2
u
−
= −
2
31
(
2 2)
33
u
= −
3
a
−
x
La segunda primitiva es directa:
( )
2 1 32
2 1
3
x
x
x
dx
+=
=
+
∫
Evaluando:(
)
(
)
3 3 2 3 3 3 32 2 2 2 2
2
2
2
1
1
2
1
0
0
2
3
3
3
2
3
3
3
0
a
a
x
a
a
x
a
a
−
−
−
= −
−
−
− −
−
−
( )
3 3 2 3 2 28
8
1
2
1
0
3
4
3
3
a
a
a
a
= −
−
−
− −
−
3 2 3 2 31
8
1
3
2
24
3
a
a
a
a
= −
−
−
− −
32 2 3
3
1
2
2 2
1
3
2
24
3
a
a
a
3 3
2 3 3
3 3
1
2
1
1
2
1
3
2
12
3
3
2
12
3
a
a
a
a
a
a
= −
−
+
= −
−
+
3 3 3 3
3 3
1
2
1
2
1
.
3
2 2
12
3
6 2
12
3
a
a
a
a
a
a
= −
−
+
= −
−
+
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2
2
1
4
1
1
2
3
3
3
12 2
12 2
3 2
3 2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
−
− +
=
+
=
+
=
+
=
Por otro lado:
(
)
(
( )
)
0 0 2 2 2 2 2 2( )
( )
( )
ba a a
xf x dx
x f x
g x dx
x
a
x
x
dx
− −
=
−
=
−
− −
∫
∫
∫
(
)
(
)
( )
0 0 0
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
a a a
x a
x
x
dx
x a
x
dx
x
dx
− − −
−
+
=
−
+
∫
∫
∫
La primera primitiva se calcula con el cambio de variable:
(
)
2 2 1 1 12
2 2
1
1
21
1
2
2
2
2
1
2
u
a
x
u
x a
x
dx
udu
u du
du
xdx
+
=
−
−
→
→ −
= −
= −
= −
+
∫
∫
∫
3 21
1
3
2
2
2
u
−
= −
2
31
(
2 2)
33
u
= −
3
a
−
x
La segunda primitiva es directa:
( )
2 1 32
2 1
3
x
x
x
dx
+=
=
+
∫
Evaluando:(
)
(
)
3 3 2 3 3 3 32 2 2 2 2
2
0
2
1
1
0
1
2
0
2
3
3
3
3
3
2
3
2
a
x
a
a
x
a
a
a
( )
3 3 2 3 2 28
8
1
1
2
0
3
3
4
3
a
a
a
a
−
= −
+
− −
−
+
3 2 3 3 21
1
8
3
3
2
24
a
a
a
a
= −
− −
−
−
32 2 3
3
1
1
2
2 2
3
3
2
24
a
a
a
a
−
= −
− −
−
3 32 3 3
3 3
1
1
2
1
1
2
3
3
2
12
3
3
2
12
a
a
a
a
a
a
= −
− −
−
= −
− −
−
3 3 3 3
3 3
1
1
2
1
2
.
3
3
2 2
12
3
6 2
12
a
a
a
a
a
a
= −
+
+
= −
+
+
3 3 3 3 3 3
3 3 3
1
2
2
4
1
1
2
3
12 2
12 2
3
3 2
3
3 2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
−
= −
+
=
−
=
−
=
Sumando ambas integrales, tenemos:
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 0
0
3 2 3 2 3 2 3 2
a a a a a a a a
− + + − = − + + − = =
Es valido ahorrarte este calculo y tomar la abscisa del centro de gravedad como cero, porque tenemos una figura simetrica con respecto al eje
ye, por lo tanto la coordenada del centro de gravedad debe ser nula, ya que dicho centro de gravedad debe estar en el eje ye.
Continuemos con la segunda integral:
Integral
1
(
( )
)
22
b a
f x
dx
∫
:(
)
2(
) (
2)
21
1
( )
( )
( )
2
2
b b
a a
f x
dx
=
f x
−
g x
dx
(
)
( )
(
)
( )
2
0 2 2 2
2 2
2 2 2 2
0 2 2
1
1
2
2
a aa
x
x
dx
a
x
x
dx
−
−
− −
+
−
−
∫
∫
2 0 22 2 2 2 2 2
0 2 2
1
1
2
2
a aa
x
x
dx
a
x
x
dx
−
− −
+
− −
∫
∫
2
0 2 3 3
2 2 2 2 2 2
0 2
2
0
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
0
2
a aa
x
x
a
x
dx
a
x
dx
a x
a
a x
−
−
+
−
=
−
+
−
−
∫
∫
3 3 3 32 2 2 2
2
2
2
2
1
(0)
2
1
2
(0)
(0) 2
2
2
(0) 2
2
3
2
3
2
2
3
3
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
−
−
+
−
−
−
( )
( )
3 3 3 32 2
2 2
8
8
1
2
1
2
0
2
2
0
2
2
3
2
2
3
a
a
a
a
−
− −
−
+
−
−
3 3 3 3
1
2
4 2
1
2
4 2
2
2
24
2
2
24
a
a
a
a
− −
+
+
−
3 3 3 3
1
2
2
2
2
2
2
6
2
6
a
a
a
a
−
+
−
3 3 3 3
1
2
2
2
2
2
2
6
2
6
a
a
a
a
−
+
−
3 3 3 3
1
2
2
2
2
1
2
2
2
6
2
a
a
a
a
+
+
−
=
32
2
a
2 2
31
32
32
6
2
3
a
a
a
−
=
−
3 31 3 2
2
1
2
3
2
a
a
−
=
2
2
32
33
3
a
a
=
Ahora calculamos la tercera integral, que es el área de la región:
Integral
( )
b
a
f x dx
∫
:Como la figura es simétrica calculare la mitad del área y multiplicare por 2 el resultado:
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
0 0
( )
2
( )
( )
2
a a
b
a
f x dx
=
f x
−
g x dx
=
a
−
x
−
x dx
∫
∫
∫
En la tabla de integrales, conseguimos la primera primitiva:
2
2 2 2 2
2
2
u
a
u
a
u du
a
u
arcsen
a
−
=
−
+
∫
Por lo tanto:
2
2 2 2 2
2
2
x
a
x
a
x dx
a
x
arcsen
a
−
=
−
+
∫
La segunda primitiva es directa:
2
2
x
xd x
=
∫
Evaluando la integral:
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
0
a
x
a
x
x
a
x
arcsen
a
−
+
−
2 22 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
0
0
0
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
arcsen
a
arcsen
2 2 2
2
2
2
2
4
4
2
a
a
a
a
a
−
+
arcsen
2
a
22
4
0
2
a
−
−
2 2 2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
8
a
a
a
a
a
arcsen
−
+
−
2 2 2 2 2
2
2
2
2
.
4
2
2
4
4
4
2
8
4
a
a
a
π
a
a
a
a
π
a
+
−
=
+
−
2
2
21
.
4
2
a
2 2 22
8
4
4
a
π
a
a
+
−
=
2 28
4
a
π
a
+
−
2
2 28
4
a
π π
a
=
=
Este calculo te lo puedes ahoorra, si caes en la cuenta que la región dibujada se trata de un cuarto de círculo, porque las rectas
y
=
x
yy
= −
x
forman ángulos de 45º con rspecto al eje equis, y como el área de un círculo
completo es:
A
=
π
r
2 el área de un cuarto de cñirculo sería:2
4
a
A
=
π
Finalmente las coordenadas del centro de gravedad son:
2
0
0
4
x
a
π
=
=
3 3 22
4 2
3
4
a
a
y
a
π
=
=
23 a
π
4 2
3
π
a
=
La coordenada del centro de gravedad es:
0,
4 2
3
π
a
.Se calcula la distancia Dpr desde el centroide
( )
x y
,
hasta el eje de giro0
ax by+ + =c , a través, de la fórmula:
2 2
. .
pr
a x b y c D
a b
+ +
=