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Minimización de funciones convexas sobre la envoltura convexa de un conjunto finito de puntos usando el método de puntos interiores

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Academic year: 2020

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE POSTGRADO SECCIÓN DE POSTGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS MAESTRÍA EN INGENIERÍA MATEMÁTICA. Minimización de funciones convexas sobre la envoltura convexa de un conjunto finito de puntos usando el método de puntos interiores. AUTOR:. ASESORA:. LIC. LEYDIDIANA GAMBOA FERRER. DRA. JENNY ROJAS JERONIMO. TRUJILLO - PERÚ Agosto - 2016 1.

(2)

(3) Dedicatoria La presente tesis está dedicada primeramente a mi Padre Celestial y a Jesucristo porque sin ellos nada lograrı́a en ésta vida, en segundo lugar a mis queridos padres Arquı́mides Gamboa Orbegoso y Yolanda Ferrer Guzmán por su amor y apoyo moral e incondicional para seguir estudiando y lograr el objetivo trazado para un futuro mejor y ser orgullo para ellos y de toda la familia, en tercer lugar a mi querido esposo Carlos Michael Gutiérrez Ocas e Hijos Camila Michelle y Michael Salvador por su amor, apoyo y comprensión.. I.

(4) Agradecimiento En el transcurso de la realización de ésta tesis he recibido ayuda, apoyo y confianza de muchas personas a las que quiero expresar mi agradecimiento. A mi asesora de tesis, Dra. Jenny Margarita Rojas Jerónimo, quien me ha guiado siempre con valiosas sugerencias en su progreso; también quiero agradecer a los profesores de la Maestrı́a en Ingenierı́a Matemática, quienes han contribuido a mi formación profesional.. Gracias.. II.

(5) Índice Lista de figuras. IV. 1. Introducción. 1. 2. Material y Métodos. 3. 2.1. Objeto de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.2. Métodos y técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 3. Resultados. 4. 4. Análisis y Discusión. 5. 4.1. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 4.2. Algoritmo del punto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3.1. Paso de Corrección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3.2. Paso de Predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5. Conclusiones. 23. 6. Recomendaciones. 24. III.

(6) Índice de figuras 1.. a)Conj. convexo. b) Conj. no-convexo . . . . . . . . . . . . . . .. 2.. Envolturas convexas de diferentes tipos de conjuntos . . . . . . . 15. IV. 6.

(7) Resumen El presente Informe tiene como objetivo fundamental describir un algoritmo usando el método de puntos interiores para minimizar una función convexa f : Rn → R sobre la envoltura convexa de un conjunto finito de m puntos en Rn , usando las coordenadas baricéntricas para representar los puntos interiores del poliedro P = conv(Z); donde Z = {z 1 , · · · , z m } es el conjunto de m puntos de Rn y Z := (z 1 , ..., z m ) la matriz de orden n × m con columnas z i . En particular el algoritmo también puede ser usado para hallar la proyección ortogonal de un punto z c ∈ Rn hacia P .. PALABRAS Y FRASES CLAVES : Minimización de funciones convexas, envolvente convexa. Métodos de punto interior. Coordenadas baricéntricas.. V.

(8) ABSTRACT In this paper we are describe an interior-point method for minimizing a smooth strictly convex function f : Rn → R, on the convex hull P of m points in Rn using the barycentric coordinates for representing points in P and generates points en P . In particular, the algorithm can be use to compute the orthogonal projection of a point z c ∈ Rn hacia P .. Key words: Minimizing convex functions, hull convex. Interior-point methods. Barycentric coordinates.. VI.

(9) 1.. Introducción La Optimización es muy importante en la resolución de problemas aplica-. dos, en diferentes áreas de la ciencia, su finalidad es determinar las soluciones que representen el valor óptimo, al maximizar o minimizar una función objetivo, la que constituye una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo. Cuando la función objetivo y todas las funciones que definen las restricciones son lineales y son definidas sobre Rn se tiene un problema de optimización lineal o también conocido como problema de Programación lineal (PL) continua, en otro caso, es un problema de Programación no lineal [3]. Sin embargo cuando la función objetivo es una función convexa y las restricciones definen una región convexa, el problema es uno de Programación convexa, que es el que vamos a tratar en el presente trabajo[1],[2]. Durante décadas el método Simplex ha sido el método preferido para resolver problemas de programación lineal continua. Sin embargo, el tiempo de cálculo requerido por este método para resolver un problema lineal, crece exponencialmente a medida que el número de variables y el de restricciones del problema aumentan; esto es, según el tamaño del problema. Este crecimiento exponencial corresponde al peor caso posible y que puede presentarse en muchos casos reales[5]. Muchos investigadores trataron de desarrollar algoritmos cuyos tiempos de cálculo creciera en tiempo polinomial con el tamaño del problema. En 1987 Karmarkar[5] anunció el desarrollo de un nuevo algoritmo para resolver problemas de PL grandes, cuya complejidad computacional es polinomial y resultó altamente competitivo frente al método simplex en la solución de problemas de grandes dimensiones. Este algoritmo se basa en la búsqueda del óptimo a través de puntos del interior de la región factible, de allı́ el nombre de algoritmo de punto interior[6,7]. En realidad el algoritmo de Karmarkar y todas sus variantes se conocen como algoritmos de punto interior [7].. 1.

(10) En esta tesis se presenta un algoritmo de punto interior para resolver un problema de optimización lineal que define una función f : Rn → R convexa y diferenciable sujeta a la envoltura convexa de los puntos de Rn , Z = {z 1 , · · · , z m }. El problema a resolver es: minf (z). (1). s.a. : z ∈ conv(Z).. (2). En la tesis se muestra que la principal dificultad para resolver este problema usando el método Simplex, es que conocer explı́citamente conv(Z) no es tarea fácil. Por otro lado si m es mayor que d = dim{conv(Z)} entonces la aplicación afı́n Λ := Λ → conv(Z) tal que α → Zα no es inyectiva y en general cualquier x en la envolvente convexa de Z tiene más de una representación de la forma x = Zα, α ∈ Λ.. 2.

(11) 2.. Material y Métodos. 2.1.. Objeto de estudio. El problema de minimización de una función convexa restringida a la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos enteros de Rn usando un método de punto interior.. 2.2.. Métodos y técnicas. El material para el desarrollo de este trabajo se basa en los conceptos y teorı́as de la programación lineal, programación convexa, funciones convexas sobre un simplex, coordenadas baricéntricas, proyección de direcciones sobre simplexes y un método de punto interior para problemas de optimización lineal. Además se hace uso de los conceptos del álgebra lineal y de análisis real. Se utiliza el método constructivo, para la generación del algoritmo que caracteriza la metodologı́a propuesta, mediante el siguiente procedimiento: 1. Formulación del problema de minimizar una función convexa diferenciable, definida sobre la envolvente convexa de m puntos cada uno en Rn . 2. Basado en las coordenadas baricéntricas, se describe un algoritmo que permite resolver el problema planteado. 3. Usando el método de punto interior para resolver el problema de optimización, se describe un nuevo algoritmo para resolver el problema. 4. Se mostrará las ventajas y desventajas del algoritmo usando el método de puntos interiores.. 3.

(12) 3.. Resultados El planteamiento general de un problema de minimización restringido a la. envoltura convexa de un conjunto finito de puntos de Rn es: M inf (x) s.a. x ∈ conv(Z) donde Z = {z 1 , z 2 , . . . , z m } es un conjunto finito de puntos en Rn ,   1 2 m z z . . . z1  1 1   1 2  z2 z2 . . . z2m   Z=  .. .. .. ..  . . . .    zn1 zn2 . . . znm la matriz n × m con columnas z i y f : Rn → R una función convexa diferenciable. Este problema es equivalente a: Min. g(α). (3). s.a. α ∈ Λ donde m X g(α) := f ( αi z i ) = f (Zα) i=1 m. Λ := {α ∈ R : αi ≥ 0,. m X. αi = 1}. i=1. Considerando una función f cuadrática y estrictamente convexa, entonces H = ∇2 (g(α)) es una matriz fija. Si f es cuadrática, convexa y ∇2 (g(α)) = I, entonces f tiene la forma cuadrática (x − xc )T (x − xc ) y en el problema equivalente se precisa encontrar la proyección de xc al poliedro conv(Z) = {Zα : α ∈ Λ}. El algoritmo usa las coordenadas baricéntricas para representar puntos interiores del poliedro y generar nuevos puntos en él con coordenadas positiva. 4.

(13) En particular el algoritmo puede ser usado para calcular la proyección ortogonal de un punto xc ∈ Rn hacia el poliedro.. 4.. Análisis y Discusión. 4.1.. Convexidad. Definiciones básicas y algunas propiedades: Definición 1 Sean x1 , x2 ∈ Rn , el x1. SEGMENTO CERRADO. que une los puntos. y x2 , es el conjunto denotado por [x1 , x2 ] y definido como: [x1 , x2 ] := { λ x1 + (1 − λ) x2 ∈ Rn tal que λ ∈ [0, 1] }. Definición 2 Sean x1 , x2 ∈ Rn , el. SEGMENTO ABIERTO. que une los puntos x1. y x2 , es el conjunto denotado por (x1 , x2 ) y definido como: (x1 , x2 ) := { λ x1 + (1 − λ) x2 ∈ Rn , tal que λ ∈ h0, 1i } Definición 3 Un conjunto X ⊂ Rn es un. CONJUNTO CONVEXO,. si todo seg-. mento que une dos elementos arbitrarios de X está contenido en X. Esto es: X es un conjunto convexo si y sólo si ∀ x1 , x2 ∈ X, [x1 , x2 ] ⊂ X Equivalentemente: ∀ x1 , x2 ∈ X se tiene que t1 x1 + t2 x2 ∈ X con t1 + t2 = 1, 0 ≤ ti ≤ 1 , i = 1, 2 Las figuras (a) y (b) representan un conjunto convexo y uno no convexo, respectivamente. Notemos que en el conjunto de la figura (b) existen dos puntos para los que parte del segmento que los une no está contenido en dicho conjunto. OBS: Por convenio, el conjunto vacı́o es convexo.. 5.

(14) Figura 1: a)Conj. convexo. b) Conj. no-convexo. Definición 4 Sea x ∈ Rn , diremos que x es. COMBINACIÓN CONVEXA. de los. puntos x1 , x2 , ... , xm ∈ Rn cuando existan m números reales t1 , t2 , ... , tm no negativos y cuya suma sea la unidad, que verifiquen que: x = t1 x1 + t2 x2 + ... + tm xm Es claro que x ∈ Rn es combinación convexa de x1 , x2 ∈ Rn si y sólo si x ∈ [x1 , x2 ] El siguiente teorema caracteriza a los conjuntos convexos. Teorema 1 (Caracterización de Conjuntos Convexos) Un conjunto no vacı́o A ⊂ Rn es convexo si y sólo si t1 x1 + ... + tm xm ∈ A ∀ m ∈ N ∀ xi ∈ A donde 0 ≤ ti ≤ 1, i = 1, ..., m tal que. m X. ti = 1.. i=1. Demostración: ⇒) Si A es convexo entonces. m X. ti xi ∈ A con xi ∈ A,. i=1. m X. ti = 1 , 0 ≤ ti ≤. i=1. 1, i = 1, ..., m. En efecto, por inducción: para m = 2 se cumple, pues por definición A es convexo si se tiene que ∀ x1 , x2. t1 x1 + t2 x2 ∈ A donde t1 + t2 = 1 y t1 , t2 ∈ [0, 1]. Para m − 1 (H.I.), supongamos que A es convexo si: m−1 X i=1. ti xi ∈ A ,. m−1 X. ti = 1 , xi ∈ A, 0 ≤ ti ≤ 1, i = 1, ..., m − 1.. i=1. 6.

(15) Demostremos que se cumple para m , es decir, verificaremos: m X. ti xi ∈ A ∀ xi ∈ A, tal que. i=1. m X. ti = 1 . . . (∗) , 0 ≤ ti ≤ 1, i = 1, ..., m. i=1. En efecto:. sabemos que: m X. m−1 X. ti xi =. i=1. Sea t =. m−1 X. ti xi + tm xm. i=1. ti entonces:. i=1 m X. m−1 X. ti x i = t. i=1. Sea y =. m−1 X i=1. i=1. ti x + tm xm t i. m−1 X ti xi , como 0 ≤ ti ≤ 1 entonces 0 ≤ ti ≤ ti = t t i=1. luego: 0≤ Además:. m−1 X i=1. ti ≤1 t. m−1. ti 1X 1 = ti = . t = 1 t t i=1 t. y como xi ∈ A por lo tanto y ∈ A(por la (H.I.). Ası́ tenemos:. m X. ti xi = t y + tm xm , y ∈ A, xm ∈ A. i=1. Además: t + tm =. m−1 X. ti + tm =. i=1. ∴. m X i=1. m X. ti xi ∈ A. i=1. pues A es convexo.. 7. ti = 1.

(16) ⇐) Demostraremos que si: t1 x1 + ... + tm xm ∈ A, ∀ m ∈ N, ∀ xi ∈ A, 0 ≤ ti ≤ 1, i = 1, ..., m tal que. m X. ti = 1 entonces A es convexo. En efecto: tomando m = 2 se. i=1. cumple definición de convexidad.. 2. Veamos la definición de función convexa y unas propiedades importantes: Definición 5 Sea f : X → R una función definida sobre un conjunto convexo X ⊂ Rn (X 6= φ) , entonces f es una. FUNCIÓN CONVEXA. sobre X si:. f (t x1 + (1 − t) x2 ) ≤ t f (x1 ) + (1 − t) f (x2 ) ∀ x1 x2 ∈ X,. t ∈ [0, 1]. Definición 6 Sea f : X → R una función definida sobre un conjunto convexo X ⊂ Rn (X 6= φ) , entonces f es una. FUNCIÓN CÓNCAVA. sobre X si:. f (t x1 + (1 − t) x2 ) ≥ t f (x1 ) + (1 − t) f (x2 ) ∀ x1 x2 ∈ X , t ∈ [0, 1] Teorema 2 (Continuidad de Funciones Convexas) Sea X ⊂ Rn y sea f : X → R una función convexa, entonces f es continua en el interior de X [8]. OBS: Diremos que la función vectorial f es convexa si cada una de sus funciones componentes fi es convexa (análogamente, la concavidad). Dado el problema: (P M ). minf (x) x∈X. donde f : Rm → Rn Proposición 1 Si, en el problema (P M ), X es un subconjunto convexo de Rm y las funciones f1 (x), f2 (x), ...., fn (x) son cóncavas, entonces el conjunto: A = { u = (u1 , ..., un ) ∈ Rn : ∃ x ∈ X con f (x) ≥ u } es convexo en Rn . 8.

(17) Demostración: Sean u = (u1 , u2 , ..., un ) , v = (v1 , v2 , ..., vn ) ∈ A y t ∈ [0, 1] . Existen x, x0 ∈ X tales que: f (x) ≥ u , f (x0 ) ≥ v con lo cual: fi (x) ≥ ui. fi (x0 ) ≥ vi. ∀ i = 1, n. Evidentemente, tx + (1 − t)x0 ∈ X, ya que X es convexo, además, dado que f es cóncava, para i = 1, ..., n, se verifica que: fi (t x + (1 − t) x0 ) ≥ t fi (x) + (1 − t) fi (x0 ) ≥ t ui + (1 − t) vi de donde tu + (1 − t)v ∈ A, por lo tanto A es convexo.. 2. El siguiente resultado garantiza que, para problemas donde la función es cóncava, la lı́nea de eficiencia queda determinada mediante el procedimiento de escalarización. Proposición 2 Si, en el problema (P M ), X es un subconjunto convexo de Rn y f es cóncava, para cada solución de (P M ) x0 , existen c1 , c2 , ... , cn ≥ 0 no todos nulos y tales que x0 es solución de (P Ec ). Demostración: Sea x0 solución de (P M ), y consideremos los subconjuntos de Rn A = {u ∈ Rn : ∃ x ∈ X con f (x) ≥ u}. y. B = {u ∈ Rn : u ≥ f (x0 )}.. A es convexo por la proposición anterior, y se demuestra sin ninguna dificultad que B también lo es, Además, el interior de B es, obviamente, el conjunto formado por los u = (u1 , u2 , ... , un ) ∈ Rn. tales que:. ui > fi (x0 ), i = 1, ..., n. De ser x0 solución de (P M ) se obtiene que A ∩ B o = ∅, ya que, si existiera u ∈ A ∩ B o , existirı́a x ∈ X con fi (x) ≥ ui , i = 1, ..., n, y ui > fi (x0 ), i = 1, ..., n. Pero entonces: 9.

(18) fi (x) > fi (x0 ), i = 1, ..., n, y por consiguiente, x0 no resolverı́a (P M ). De los teoremas de separación de conjuntos convexos podemos deducir que existen c1 , c2 , ..., cn no todos nulos y tales que: n X. ck uk ≤. k=1. n X. ck vk. k=1. siempre que (u1 , ..., un ) ∈ A y (v1 , ..., vn ) ∈ B. En particular, puesto que f (x) ∈ A si x ∈ X. y. f (x0 ) ∈ B, es: n X. ck fk (x) ≤. k=1. y x0. n X. ck fk (x0 ),. k=1. resuelve (P Ec ). Sólo falta probar que ningún ci. es negativo. Si. alguno lo fuera (por ejemplo, c1 ) es claro que para cada z ≤ f1 (x0 ) es (z, f2 (x0 ), ..., fn (x0 )) ∈ B y que f (x0 ) ∈ A. Por consiguiente: c1 z +. n X. ck fk (x0 ) ≤. k=2. n X. ck fk (x0 ),. k=1. es decir: c1 z ≤ c1 f1 (x0 ). ∀ z < f1 (x0 ). −c1 z ≥ −c1 f1 (x0 ) Como −c1 > 0 z ≥ f1 (x0 )(→←). Por lo tanto c1 es positivo.. 2. Observaciones: Por consiguiente, si en el problema (P M ) la función es cóncava, para resolverlo basta solucionar los problemas (P Ec ) con c no negativo. Todas las soluciones que correspondan a un c positivo son ya soluciones de (P M ), ası́ como las que corresponden a un c no negativo, siempre que sean únicas. Finalmente, de la última proposición se deduce que todas las soluciones de (P M ) están entre las soluciones de los problemas (P Ec ) para c no. 10.

(19) negativo. Para cada c = (c1 , c2 , ... , cn ) no nulo y no negativo, se puede suponer que: n X. ck = 1,. k=1. ya que, si esta igualdad no se verifica, basta considerar, en lugar de c, el vector: 1 n X. c ck. k=1. y las soluciones de (P Ec ) no cambian. Por consiguiente, desde un punto de vista intuitivo, si en un problema práctico elegimos un óptimo de Pareto calculado mediante un proceso de escalarización, cada ci es un peso asociado al objetivo fi , que, de alguna manera, mide la importancia relativa que a fi le damos frente a los demás objetivos.. CONJUNTOS NOTABLES DE Rn Definición 7 : Sea a un vector no nulo de Rn , y α ∈ R. Llamaremos HIPERPLANO. en Rn , denotado por H, al conjunto: H = { x ∈ Rn / a · x = α }. Lema 1 : Un hiperplano H en Rn , es un conjunto convexo. Demostración: Sean. x1 , x2 ∈ H, entonces: a · x1 = α. a · x2 = α. Sea λ ∈ [0, 1] , tenemos: λ (a · x1 ) = λ α (1 − λ) (a · x2 ) = (1 − λ) α. 11.

(20) sumando miembro a miembro: λ(a · x1 ) + (1 − λ)(a · x2 ) = λ α + (1 − λ) α de donde: λ(a · x1 ) + (1 − λ)(a · x2 ) = α Luego usando las propiedades de producto interno, tenemos: a · (λ x1 ) + a · ((1 − λ)x2 ) = α a · (λ x1 + (1 − λ) x2 ) = α Luego. λ x1 + (1 − λ) x2 ∈ H. ∴ H es convexo.. 2. Definición 8 : Sea a un vector no nulo de Rn , y α ∈ R. Los conjuntos: H + = { x ∈ Rn / a · x ≤ α } H − = { x ∈ Rn / a · x ≥ α } se denominan. SEMIESPACIOS CERRADOS. de Rn .. Lema 2 : Los semiespacios cerrados H + y H − son conjuntos convexos. Demostración: Veamos que H + es convexo: Sean. x1 , x2 ∈ H + , entonces: a . x1 ≤ α. a . x2 ≤ α. Sea λ ∈ [0, 1] , tenemos: λ (a · x1 ) ≤ λ α (1 − λ) (a · x2 ) ≤ (1 − λ) α 12.

(21) sumando miembro a miembro: λ (a · x1 ) + (1 − λ) (a · x2 ) ≤ λ α + (1 − λ) α cancelando en el segundo miembro: λ (a · x1 ) + (1 − λ) (a · x2 ) ≤ α Utilizando las propiedades de producto interno: a · (λ x1 ) + a · ((1 − λ) x2 ) ≤ α a · (λ x1 + (1 − λ) x2 ) ≤ α Luego. λ x1 + (1 − λ) x2 ∈ H + ∴ H + es convexo.. 2. Análogamente para H − . Proposición 3 : Sean A1 , A2 ⊂ Rn dos conjuntos convexos, se cumplen las siguientes afirmaciones: 1. A1 ∩ A2 es un conjunto convexo. 2. A1 + A2 = { x1 + x2 / x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 }. es convexo.. 3. A1 − A2 = { x1 − x2 / x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 }. es convexo.. 4. La intersección arbitraria de un número finito o infinito de conjuntos convexos es un conjunto convexo. Demostración: 2.. Sean. u , v ∈ A1 + A2 , entonces: u = x1 + x2 donde x1 ∈ A1 y x2 ∈ A2 v = y1 + y2 donde y1 ∈ A1 y y2 ∈ A2. 13.

(22) Sea λ ∈ [0, 1], tenemos: λ u = λ x1 + λ x2 (1 − λ)v = (1 − λ)y1 + (1 − λ)y2 sumando miembro a miembro: λ u + (1 − λ)v = λ x1 + λ x2 + (1 − λ)y1 + (1 − λ)y2 λ u + (1 − λ) v = λ x1 + (1 − λ) y1 + λ x2 + (1 − λ) y2 Dado que A1 y A2 son conjuntos convexos, entonces: λ x1 + (1 − λ) y1 ∈ A1 λ x2 + (1 − λ)y2 ∈ A2 Por lo tanto: λ u + (1 − λ) v ∈ A1 + A2 . 2 3. De forma análoga, sean u, v ∈ A1 −A2 , entonces: u = x1 −x2 donde x1 ∈ A1 y x2 ∈ A2 y v = y1 − y2 donde y1 ∈ A1 y y2 ∈ A2 . Sea λ ∈ [0, 1], tenemos: λ u = λ x1 − λ x2 además. (1 − λ) v = (1 − λ) y1 − (1 − λ) y2 .. Sumando miembro a miembro, y ubicando convenientemente las igualdades anteriores, se tiene: λ u + (1 − λ) v = (λ x1 + (1 − λ) y1 ) − (λ x2 + (1 − λ) y2 ) | {z } {z } | ∈ A1. ∈ A2. Dado que A1 y A2 son conjuntos convexos, entonces: λ u + (1 − λ) v ∈ A1 − A2 . 2 4.. Sea Ai ⊂ Rn , i ∈ I una familia de conjuntos convexos. Supongamos. que ∩i∈I Ai = φ , concluirı́a la demostración. Pero, si la intersección fuera diferente del vacı́o, demos dos elementos x1 , x2 ∈ ∩i∈I Ai . Entonces, x1 ∈ Ai y x2 ∈ Ai , ∀ i ∈ I. Dado que todos los conjuntos Ai son convexos, tendremos: tx1 + (1 − t)x2 ∈ Ai , ∀ i ∈ I , ∀ t ∈ [0, 1] 14.

(23) Con lo que: tx1 + (1 − t)x2 ∈ ∩i∈I Ai , ∀ t ∈ [0, 1] Esto es, ∩i∈I Ai es un conjunto convexo. 2. Definición 9 : (Envoltura Convexa, Cerradura o Cápsula Convexa) Sea A un conjunto arbitrario en Rn . La. ENVOLTURA CONVEXA. de A denotada. por conv(A) es la colección de todas las combinaciones convexas de A , es decir: n. conv(A) = {x ∈ R /x =. k X. λj xj ,. j=1. k X. λj = 1, 0 ≤ λj ≤ 1, xj ∈ A, j = 1, ..., k}. j=1. Figura 2: Envolturas convexas de diferentes tipos de conjuntos. Definición 10 La envoltura convexa de un número finito de puntos x1 , ..., xk+1 ⊂ Rn es llamada. POLÍTOPO. .. Si x2 − x1 , x3 − x1 , . . . , xk+1 − x1 son linealmente independientes entonces conv(x1 , ..., xk+1 ) la envoltura convexa de x1 , ..., xk+1 es llamada el SIMPLEJO. SIMPLEX O. con vértices x1 , ..., xk+1 .. Definición 11 : La intersección de un número finito de semiespacios cerrados de Rn se denomina. CONJUNTO POLIÉDRICO O POLIÉDRO.. 15.

(24) Obs: Un conjunto poliédrico, convexo y acotado es un polı́topo. Tanto el polı́topo como el poliédro son conjuntos convexos. Es claro que un semiespacio cerrado es un conjunto cerrado de Rn . Por tanto, un polı́topo, al ser intersección de cerrados, es también un conjunto cerrado. Un polı́topo es, entonces, cerrado y acotado, por tanto compacto.. Teorema 3 (Carathedory) Sea S un conjunto arbitrario en Rn . Si x ∈ conv(S) entonces x ∈ conv(x1 , ..., xn+1 ) donde xj ∈ S , j = 1, ..., n + 1 . En otras palabras, x puede ser representado como: x=. n+1 X. λj xj ,. j=1. n+1 X. λj = 1 , λj ≥ 0 , xj ∈ S , j = 1, ..., n + 1. j=1. Demostración: Demostraremos que si x ∈ conv(S) entonces: x=. k+1 X. λ j xj ,. k+1 X. j=1. λj = 1 , λj ≥ 0 , xj ∈ S , j = 1, . . . , k + 1. j=1. Luego, se puede tener k < n, k = n, k > n, veamos: 1). Si k < n, entonces: x = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk ,. k X. λj = 1.. j=1. Tomando λk+1 = 0, . . . , λn+1 = 0 y xj = xk , j = k + 1, ..., n + 1, entonces: x=. n+1 X j=1. λj xj ,. n+1 X. λj = 1 , λj ≥ 0 , xj ∈ S , j = 1, ..., k + 1. j=1. 2). Si k = n se tiene la tesis.. 3). Si k > n, entonces: x − x1 , x3 − x1 , ... xk+1 − x1 |2 {z } más de n vectores (k vectores) 16. son linealmente dependientes.

(25) Ası́ que, existen constantes u2 , ... , uk+1 no todos ceros tales que: k+1 X. uj (xj − x1 ) = 0. j=2 k+1 X. u j xj =. k+1 X. j=2. u j x1. j=2. k+1 k+1 X X Sea u1 = − uj , entonces uj = 0 , y j=2. j=1 k+1 X. uj = u1 x1 + u2 x2 + ... + uk+1 xk+1. j=1 k+1 X. uj xj = u1 x1 +. j=1. u j x1. j=2 k+1 X. u j xj =. j=1 k+1 X. k+1 X. k+1 X. uj x1. j=1. uj xj = x1. j=1. k+1 X. ! uj. = x1 (0). j=1 k+1 X. u j xj = 0. j=1. donde algún uj son no nulos, es decir existen algunos uj > 0. Luego: k+1 X x= λ j xj + 0 j=1. x=. k+1 X. k+1 X λj xj − α uj xj = 0. j=1. j=1. x=. k+1 X. (λj − α uj )xj = 0. j=1. Para mantener la combinación convexa se requiere que tengamos λj −αuj ≥ 0, de donde: λj ≥ α uj. 17.

(26) λj ≥α≥0 uj Entonces, tomando: α = min {. λj , uj > 0} uj. existe algún j0 tal que: α=. λj0 uj0. luego: x=. k+1 X. (λj − αuj )xj. j 6= j0 .. j=1. posee k términos (pues hay uno que es cero), luego teniendo k + 1 términos, hemos llegado a tener k términos, repitiendo este proceso anterior se llega tener k = n. 2. Definición 12 Un conjunto C 6= ∅ en Rn es denominado ce cero si x ∈ C implica que λ x ∈ C , ∀ λ ≥ 0. Si el cono C es convexo, se denomina. CONO CONVEXO.. 18. CONO. con vérti-.

(27) 4.2.. Algoritmo del punto interior. En los métodos de punto interior, el concepto de ruta central α̃(µ), µ > 0 es muy importante. En el presente problema este concepto se define como: := argmin{ϕµ (α̂) : α̂ ∈ S 0 }. α̂(µ). = argmin{ϕµ (α, ξ) : α > 0, ξ > f˜(α), eT α = 1} es decir como la solución α̂ = α̂(µ) y y = y(µ), del sistema no lineal: ∇ϕµ (α̂) + ēy = 0. (4). ēT α̂ = 1. (5). La ruta central está bien definida para µ > 0 y además converge a la solución óptima de (3) cuando µ ↓ 0. Para cada α̂0 ∈ S 0 y µ0 > 0 se define también una ruta no-central ᾱ(µ), µ > 0 que pasa a través de α̂0 en µ0 y ᾱ(µ0 ) = α̂0 como: ᾱ(µ) := argmin{ϕµ (α̂) − ∇ϕµ0 (α̂0 )T α̂ : α̂ ∈ S} o equivalentemente, se puede definir como la solución del sistema no lineal: ∇ϕµ (ᾱ) − ∇ϕµ0 (α̂0 ) + ēy = 0. (6). ēT ᾱ = 1. (7). Diferenciando respecto a µ se obtiene un sistema de ecuaciones lineales para α̂0 y y 0 :      2 0 2 ∇ Φ(α̂) ē ᾱ e /µ     =  m+1  T 0 ē 0 y 0. 4.3.. (8). Algoritmo. Inicio: α̂0 = (α0 , ξ 0 ) ∈ S 0 arbitrarios, µ0 := ξ 0 − f˜(α0 ) > 0, estos generaran una sucesión µk ↓ 0 y α̂k = (αk , ξ k ) ∈ S 0 , k = 0, 1, · · · ,. 19.

(28) Iteración básica: (µ̄, α̂) := (µk , α̂k ) → (µ̄+ , α̂+ ) =: (µk+1 , α̂k+1 ) luego calcular un µ̄+ con 0 < µ̄+ < µ̄, α̂+ ∈ S 0 que consiste en calcular un paso de corrección y otro de predicción. El paso de corrección mejora α̂, es decir se aproxima con buena exactitud a la ruta central. El paso de predicción, reduce µ̄ a un adecuado µ̄+ y calcula un α̂+ ∈ S 0 . 4.3.1.. Paso de Corrección. Este paso consiste en una o más iteraciones del método de Newton para resolver el sistema (8) con µ = µ̄ usando como valor inicial α̂. Por lo tanto la corrección de Newton δ α̂ se obtiene de resolver el sistema:      2 ∇ϕ (α̂) ∇ Φ(α̂) ē 4α̂    = −  µ̄  0 ēT 0 y Luego con λmin := argmin{ϕµ̄ (α̂ + λ4α̂) : λ > 0}, el punto α̂+ := α̂ + λmin 4α̂ ∈ S 0 será la mejor aproximación a la ruta central. Los paso de Newton se repiten hasta que 4α̂ sea lo suficientemente pequeño. Un criterio de parada para las iteraciones de Newton es cuando 4α̂T ∇2 Φ(α̂)4α̂ ≤ 1/4. 4.3.2.. Paso de Predicción. Sea α̂ ∈ S 0 el resultado del paso de predicción. Entonces considerando la ruta no central ᾱ(µ), 0 < µ < µ̄, a través de α̂ ,ᾱ(µ̄) = α̂ y hallamos su derivada ᾱ0 en µ = µ̄ resolviendo el sistema:      2 0 2 ∇ Φ(α̂) ē ᾱ e /µ̄     =  m+1  ēT 0 y0 0 Para µ ≤ µ̄ se considera la tangente: α̌(µ) = α̂ + (µ − µ̄)ᾱ0 (µ̄). 20.

(29) Luego se encuentra µmin = min{µ > 0 : α̌(µ) ∈ S 0 } y sea µ̄+ = γµmin + (1 − γ)µ̄,. α̂+ = α̌(µ̄+ ). donde γ = 0,7. 4.3.3.. Ejemplo. Sea el conjunto : Z = {z i : z i = (ξi1 , ξi2 , · · · , ξin )T , i = 1, 2, · · · , m} de puntos donde ξij ∈ [0, 1] distribuidos aleatoriamente, sea la función cuadrática convexa f (x) = (x − xc )T (x − xc ) donde también xc ∈ [0, 1]n \ convZ. El criterio de parada usado fue: µ ≤ 10−6 . El punto inicial α0 = (1, 1, · · · , 1)T /m ∈ Rm . Se aplicó el algoritmo para valores grandes de n respecto a m. Los resultados se muestran en la siguiente tabla cuando n = 20 fijo y m se varı́a: m. Iter. tiempo. 1000. 28. 0.28. 2000. 36. 0.78. 3000. 42. 1.41. 4000. 45. 2.16. 5000. 48. 2.9. 6000. 51. 3.70. Cuando se fija m = 2000 y n va aumentando, los resultados son: n. iter. tiempo. 3. 35. 0.14. 5. 35. 0.27. 10. 35. 0.33. 20. 36. 0.78. 30. 36. 1.57. 40. 37. 2.49 21.

(30) Lo que se puede observar es que en ambos casos el óptimo se encuentra en un número finito de pasos sobre todo cuando se aplica este algoritmo para problemas cuadráticos estrictamente convexos y genera una sucesión finita αk de soluciones factibles tales que f˜(αk+1 ) < f˜(αk ). 22.

(31) 5.. Conclusiones En el presente trabajo sobre la minimización de funciones convexas sobre. la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos usando un algoritmo de puntos interiores, formulado matemáticamente como el modelo (3) se obtienen las siguientes conclusiones: 1. El algoritmo presentado resulta conveniente para problemas de optimización convexos, llegando a una buena aproximación. 2. El algoritmo puede usarse también para hallar la proyección de un punto de Rn sobre la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos. 3. El método de puntos interiores se puede usar en un problema de optimización donde la función objetivo no necesariamente es cuadrática pues se tiene bien definida la taza de convergencia lineal aún para problemas no-cuadráticos convexos.. 23.

(32) 6.. Recomendaciones Debido al amplio campo de aplicación que tiene el área de optimización. sobre todo en la toma de decisiones y los modelos económicos, muchos de ellos, son de minimización de funciones convexas, se recomienda seguir estudiando nuevas estrategias para obtener la solución con un tiempo y exactitud deseada.. 24.

(33) Referencias Bibliográficas [1] Bertsekas, DP,Projected Newton methods for optimization problems with simple constraints. 1982. Siam J. Control Optimo 20:221-246. [2] Botkin,N. Stoer. J., Minimization of a convex function on the convex hull of a point set, 2007. Mathematical Methods of Operations Research., 62. pp.167-185. [3] Fiacco,A., McCormick,G.P., Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques, Wiley. New York, pp.273-281. 2008. [4] Frisch, K.R., The Logarithmic Potential Method for Convex programming, Unpublished manuscript. Institute of Economics. University Oslo Norway, 1999. [5] Karmarkar, A New polynomial-time algorithm for linear programming, Combinatorica. 4 pp373-395. 1999. [6] Nestorov Yu, Nemirovsky, A., Interior Point Polynomial Methods in Convex programming,. Siam. Philadelphia .2000. [7] Wright, S.J.,Primal-Dual Interior Point Methods. Siam, philadelphia 1998. [8] Rockafellar, R.T.,Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970.. 25.

(34)

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Figure

Figura 1: a)Conj. convexo. b) Conj. no-convexo
Figura 2: Envolturas convexas de diferentes tipos de conjuntos

Referencias

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