Condiciones para la existencia de la solución local y soluciones extremales de una ecuación diferencial fraccionaria de orden α (0 ă α ă 1) no lineal

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(1)Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AT EM AT IC AS. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. IC AS. Y. M. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. FI S. CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE LA SOLUCIÓN LOCAL Y SOLUCIONES EXTREMALES DE UNA ECUACIÓN. S. DIFERENCIAL FRACCIONARIA DE ORDEN α (0 ă α ă 1). CI A. NO LINEAL. EN. TRABAJO DE TESIS. CI. PARA OBTENER EL TÍTULO DE:. BI. BL. IO. TE. CA. DE. LICENCIADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS AUTOR: BACH. ALEX NERI GUTIERREZ ASESOR: DR. GILBERTO AMADO MÉNDEZ CRUZ. TRUJILLO - PERÚ 2013. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedicatoria. M. A mis queridos hermanos Jhoni y Perciles y muy en especial a mis padres Ricardo. Y. y Victoria por su apoyo y sacrificio desplegado para la culminación exitosa del. IC AS. presente trabajo.. A mi compañera, amiga y confidente Ana Laksmy, por su comprensión y apoyo. BI. BL. IO. TE. CA. DE. CI. EN. CI A. S. FI S. brindado en los momentos difíciles.. ii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Presentación. M. Señores miembros del jurado:. Y. En cumplimiento a lo prescrito por el reglamento de Grados y Títulos de la. IC AS. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la escuela de Matemáticas de la Universidad Nacional de Trujillo, me es honroso presentar a vuestra consideración. FI S. el presente trabajo intitulado:. “CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE LA SOLUCIÓN LOCAL Y. S. SOLUCIONES EXTREMALES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. CI A. FRACCIONARIA DE ORDEN α (0 ă α ă 1) NO LINEAL”. EN. con el propósito de optar el Título de Licenciado en Matemáticas. Teniendo en consideración que el presente trabajo es uno de los primeros que se hacen en esta. CI. área en nuestra Universidad, soy conciente que es posible aún mejorar, por lo que. DE. acepto muy honestamente todas sus apreciaciones y sugerencias que tengan a bien formular sobre este trabajo, lo cual me servirá para mejorarlo en el futuro.. BI. BL. IO. TE. CA. El Autor. iii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Agradecimiento. Y. M. Mis mas sinceros agradecimientos:. IC AS. Primeramente por encima de todo a Dios, por haberme dado la vida y permitir llegar hasta los dias actuales con salud y alegria de vivir.. FI S. A mis padres y hermanos por el apoyo y por siempre estar a mi lado. Y de lo mas intimo de mi corazón, por el cariño que siempre me brindó, Ana Laksmy te. CI A. S. amo mucho.. A mi asesor Prof. Amado Mendez Cruz por la orientación, incentivo, creencia y. CI. Nacional de Trujillo.. EN. paciencia en la elaboración de este trabajo. Y todos mis profesores de la Universidad. DE. A todos mis amigos y colegas tanto de graduación como de maestría que siempre. BI. BL. IO. TE. CA. fueron un apoyo en los momentos de dificultad, mis más sinceros agradecimentos.. iv Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Resumen. M. El presente trabajo se dedica al estudio de las condiciones para la existencia de. Y. la solución local y soluciones extremales de una ecuación diferencial fraccionaria de. IC AS. orden α (0 ă α ă 1) no lineal. El operador diferencial y las condiciones iniciales son tomadas en el sentido de Caputo. El procedimiento seguido para lograr los objetivos trazados es siguiendo la idea intuitiva del teorema de Peano y existencia de soluciones. BI. BL. IO. TE. CA. DE. CI. EN. CI A. S. FI S. extremales de ecuaciones diferenciales ordinarias.. v Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. M. Índice general. Y. Resumen. IC AS. Introducción 1. Preliminares. FI S. 1.1. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iv vii 1 1 4. S. 1.3. Desigualdades Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 20. EN. 2. Cálculo Fraccionario. CI A. 1.3.1. Soluciones Extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 2.1. Funciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. CI. 2.1.1. Funciones Gamma y Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. DE. 2.1.2. Función de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.3. Función de Wright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. CA. 2.2. Derivación e Integración Fraccionaria de Riemann-Liouville . . . . . . 25 2.2.1. Relación entre la Derivada e Integral Fraccionaria . . . . . . . 32. TE. 2.3. Derivada fraccionaria de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 39. 3.1. Desigualdades Estrictas y No Estrictas . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. Existencia Local y Soluciones Extremales . . . . . . . . . . . . . . . . 44. BI. BL. IO. 3. Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias. vi Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Conclusiones. 49 51. BI. BL. IO. TE. CA. DE. CI. EN. CI A. S. FI S. IC AS. Y. M. Bibliografía. vii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Introducción. M. En las últimas décadas, la utilidad del cálculo fraccionario, se ha hecho más. Y. evidente, especialmente debido a que el modelamiento de muchos problemas físicos. IC AS. se formulan mediante ecuaciones diferenciales fraccionarias [1], [7], [9],[12]. En consecuencia, las ecuaciones diferenciales fraccionarias han tomado una importancia relevante para el desarrollo teórico y aplicado del cálculo fraccionario [1],. FI S. [7], [10].. Algunos de estos fenómenos son modelados mediante la ecuación diferencial frac-. CI A. S. cionaria no lineal de la forma. (1). EN. $ ’ & c0 Dxα y “ f px, yq ’ % yp0q “ y0. CI. donde, f P CpE, Rq, E “ tpx, yq P R2 {x P I “ r0, T s, | y ´ y0 |ď bu y 0 ă α ă 1.. DE. En consecuencia, para establecer una teoría más amplia de las ecuaciones diferenciales fraccionarias, es preciso determinar condiciones para la existencia de una. CA. solución de la ecuación (1), las cuales pueden ser desarrolladas en forma paralela a. TE. las ecuaciones diferenciales ordinarias. Una técnica interesante y fructífera para proporcionar resultados de existencia. IO. para problemas no lineales, en el caso entero, es el método de soluciones superiores. BL. e inferiores (soluciones extremales). Esta técnica permite establecer la existencia de. BI. resultados en un conjunto cerrado, es decir en un intervalo, generado por soluciones. viii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. superiores e inferiores y analizar el comportamiento cualitativo de las soluciones. Así, surge naturalmente la siguiente pregunta. ¿ Es posible determinar las condiciones necesarias para la existencia de la solución local y soluciones extremales de la ecuación (1) ?. Para tratar de responder esta pregunta, se consideraran algunas condiciones im-. puestas sobre la función f de la ecuación (1). Así, suponiendo que f sea contínua,. pretende dar respuesta a la pregunta presentada.. M. acotado y no decreciente en y para cada x fijo en un cierto conjunto cerrado, se. Y. De modo que los lectores puedan comprender y apreciar las complejidades de las. IC AS. teorías involucradas, es presentado un relato, desde el estudio de las desigualdades diferenciales ordinarias, calculo fraccionario y por fin el estudio de existencia de. FI S. soluciones local y extremales de una ecuación diferencial fraccionaria. De esta manera este trabajo se encuentra dividido en tres partes, los cuales proporcionan de alguna manera la bibliografía básica para poder entender el tema:. CI A. S. En el capítulo 1, se estudia la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, envolviendo el estudio de desigualdades diferenciales y soluciones maximales.. EN. En el capítulo 2, el cálculo fraccionario es presentado para la comprensión de las ecuaciones diferenciales fraccionarias. Inicialmente se estudia algunos funciones. CI. especiales que ayudan al desarrollo del cálculo fraccionario, posteriormente se define. DE. la derivada e integral fraccionaria. En el capítulo 3, se presenta el concepto de ecuación diferencial fraccionaria,. CA. siguiendo la idea intuitiva del teorema de Peano, se demuestra un resultado para el caso fraccionario, lo que vendría a ser el teorema de Peano para el caso fraccionario. TE. y se estudia también algunos resultados de desigualdades integrales que nos permi-. IO. ten posteriormente estudiar la existencia de soluciones extremales de una ecuación. BL. diferencial fraccionaria.. BI. El Autor. ix Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 1. IC AS. Y. M. Preliminares. En este capítulo, se establecen definiciones, teoremas y resultados básicos de las ecuaciones diferenciales ordinarias, que permitirán comprender los capítulos poste-. S. Conceptos Básicos. CI A. 1.1.. FI S. riores.. EN. A menudo es necesario calcular el limite de una sucesión infinita de números reales, más no siempre existe el limite de cualquier sucesión de números reales [15].. CI. Por tanto, es útil trabajar con el mayor y menor limite de todas las subsucesiones.. DE. Sea txn u una sucesión infinita de números reales, si `8 y ´8 son considerados también como limites, entonces se puede afirmar que txn u posee al menos una sub-. CA. sucesión convergente. Así, si S el conjunto de todos los limites de las subsucesiones de la sucesión txn u, entonces S es un subconjunto no vació de la recta real extendida. TE. R. Luego, se sigue que S posee un supremo y un ínfimo [15].. 1 1 1 2 1 3 3 1 7 4 1 15 , , ´ , , , ´ , , , ´ , , , ´ , .... 2 2 2 3 3 4 4 4 8 5 5 16. BI. BL. IO. Ejemplo 1.1 Si se considera la sucesión infinita de números reales. 1 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Como se puede observar, la sucesión txn u no tiene limite, mas la subsucesión x1 , x4 , x7 , ... converge a 1, la subsucesión x2 , x5 , x8 , ... converge a 0 y la subsucesión. x3 , x6 , x9 , ... converge a ´1. Luego, si S“ t´1, 0, 1u, entonces 1 y ´1 son el supremo e ínfimo de S respectivamente.. A 1 y ´1 se les denomina el limite superior e inferior de la sucesión txn u respectivamente.. M. Definición 1.1 Se define el limite superior de la sucesión txn u como el supremo. Y. de S (sup S) y se denota por. o simplemente. lı́m sup xn .. IC AS. lı́m sup xn nÑ8. FI S. Análogamente, se define el limite inferior de txn u como el ínfimo de S (ı́nf S) y se denota por lı́m inf xn. o simplemente. lı́m inf xn .. S. nÑ8. CI A. Los limites superior e inferior forman una generalización natural del concepto. EN. básico de limite, como lo muestra el siguiente resultado.. CI. Teorema 1.1 Sea txn u una sucesión de números reales. Entonces se cumple que. lı́m xn “ x ðñ lı́m sup xn “ lı́m inf xn “ x. nÑ8. nÑ8. DE. nÑ8. CA. Demostración: Ver [15]. Definición 1.2 Sea F “ tfn unPN una familia de funciones de valor real definida. TE. sobre E Ă R. Se dice que F es uniformemente acotada en E, cuando existe un. IO. M ą 0 tal que, para todo x P E y todo n P N se tiene |fn pxq| ă M .. BL. Ejemplo 1.2 La sucesión de funciones definida por fn pxq “ sin nx, es una sucesión. BI. de funciones uniformemente acotada. En efecto, dado x P R y @n P N, se tiene que |fn pxq| “ | sin nx| ď 1 ă 1 ` ϵ “ M . 2. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AT EM AT IC AS. Definición 1.3 Sean A un conjunto arbitrario y F “ tfα uαPA una familia de funciones de valor real definida sobre E Ă R. Se dice que F es equicontinua en E, si. para todo ε ą 0, existe δ ą 0 tal que para todo x1 , x2 P E que cumplen |x1 ´ x2 | ă δ, se tiene |fα px1 q ´ fα px2 q| ă ε para todo α.. Ejemplo 1.3 La familia de funciones tfα uαPr3,5s definidas en r0, 1s mediante fα pxq “ αx, es una familia de funciones equicontinua.. M. En efecto, dado ε ą 0, D δ ą 0 { @ x1 , x2 P r0, 1s, si |x1 ´ x2 | ă δ, entonces. Y. |f px1 q ´ f px2 q| “ |αx1 ´ αx2 | “ |α||x1 ´ x2 | ă 5δ “ ε. Por tanto, para garantizar la. IC AS. existencia de δ es suficiente tomar δ “ 5ε .. Definición 1.4 Sea tfn unPN una sucesión de funciones de valor real definida sobre E Ă R. Se dice que tfn unPN converge uniformemente. en E a una fun-. FI S. ción f : E Ñ R, cuando para todo ε ą 0, existe n0 “ n0 pεq tal que si n ą n0 ,. S. |f pxq ´ fn pxq| ă ε para cualquier x P E.. CI A. Ejemplo 1.4 La sucesión de funciones tfn unPN definida por fn pxq “. sen nx , n. conver-. ge uniformemente a f pxq “ 0.. EN. ˇ En efecto, dado ε ą 0, D n0 { n ą n0 ñ |f pxq ´ fn pxq| “ ˇ0 ´. ˇ. sin nx ˇ n. ď. 1 n. ă. 1 . n0. CI. Por tanto para garantizar al existencia de n0 es suficiente tomar n0 “ 1ε .. DE. Teorema 1.2 (Teorema del valor medio) Sea f : ra, bs Ă R Ñ R contínua. Si f es derivable en pa, bq, existe c P pa, bq tal que f 1 pcq “. f pbq´f paq . bá. CA. Demostración: Ver [3]. TE. Teorema 1.3 (Teorema fundamental del cálculo)Sea f : I Ă R Ñ R contínua. IO. en el intervalo I. Las siguientes afirmaciones sobre la función F : I Ă R Ñ R son. BI. BL. equivalentes: 1. F es una integral indefinida de f , esto es, existe a P I tal que şx F pxq “ F paq ` a f ptqdt, @x P I. 3. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2. F es una primitiva de f , esto es, F 1 pxq “ f pxq, @x P I. Demostración: Ver [3].. Teorema 1.4 (Ascoli-Arzela) Sea tfk ukPN una familia de funciones definidas so-. bre un conjunto compacto E Ă R, la cual es equicontinua y uniformemente acotada. Entonces existe una subsucesión tfkn ukn PN la cual es uniformemente convergente.. M. Demostración: Ver [13].. Y. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. IC AS. 1.2.. Sean I, J intervalos en abiertos R, E “ I ˆ J Ă R2 un conjunto abierto. La clase de aplicaciones continuas de E hacia R es denotada por CpE, Rq; así , si f es un. S. Sea el problema de valor inicial :. FI S. miembro de esta clase, se escribirá f P CpE, Rq.. CI A. $ ’ & x1 ptq “ f pt, xq. (1.1). dx , dt. t0 P I, x0 P J y f : E Ñ R.. CI. donde x1 “. EN. ’ % xpt0 q “ x0. DE. Definición 1.5 Una función diferenciable φ : I Ñ J es llamada solución del problema de valor inicial (1.1) en I si:. CA. 1. El gráfico de φ en I, esto es, tpt, φptqq P E{t P Iu esta contenido en E.. TE. 2. φ1 ptq “ f pt, φptqq para todo t P I y φpt0 q “ x0 .. IO. Encontrar al menos una solución del problema de valor inicial (1.1) no siempre. BI. BL. es posible, como se observa en el siguiente ejemplo.. 4 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. $ $ & 1, t P Q ’ ’ ’ & x1 “ f pt, xq “ % ´1, t P R ´ Q ’ ’ ’ % xp0q “ 0.. AT EM AT IC AS. Ejemplo 1.5 Dado el problema de valor inicial, con f : R2 Ñ R:. (1.2). De la Definición 1.5, se sigue que el problema de valor inicial (1.2) no tiene. solución, pues no es posible encontrar una función que cumpla las condiciones 1 y. Y. M. 2 de la Definición 1.5.. IC AS. Si f P CpE, Rq, el Teorema 1.3 brinda una forma de como puede ser una solución del problema de valor inicial (1.1). Dada una ecuación de la forma. FI S. żt. xptq “ x0 `. f ps, xpsqqds. (1.3). S. t0. CI A. para todo t P I. Se entiende que una solución en I para esta ecuación, es una función. EN. contínua φ de variable real definida en I, tal que pt, φptqq P E, @ t P I y además, żt. φptq “ x0 `. f ps, φpsqqds,. @ t P I.. CI. t0. DE. Teorema 1.5 Sea f : E Ñ R una función contínua, pt0 , x0 q P E. Entonces se afirma que la función ϕptq es solución de (1.1) si y sólo si ϕptq es solución de la. CA. ecuación (1.3).. $ ’ & ϕ1 ptq “ f pt, ϕptqq ’ % ϕpt0 q “ x0. BI. BL. IO. TE. Demostración:ÑsSi ϕptq es solución de (1.1) entonces. 5 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Integrando y usando el Teorema 1.3 se obtiene żt ϕptq ´ x0 “ ϕptq ´ ϕpt0 q “. żt. 1. ϕ psqds “. f ps, ϕpsqqds. t0. t0. Por lo tanto, żt ϕptq “ x0 `. f ps, ϕpsqqds. t0. Ðs Si ϕptq “ x0 `. f ps, ϕpsqqds. Y. t0. M. żt. entonces ϕpt0 q “ x0 `. IC AS. ż t0. f ps, ϕpsqqds “ x0 t0. d ϕ ptq “ dt. żt. ˆ x0 `. f ps, ϕpsqqds. ˙ “ f pt, ϕptqq.. t0. CI A. S. 1. FI S. Además, del teorema 1.3 se sigue que. . El siguiente teorema llamado teorema de Peano impone algunas condiciones. CI. de valor inicial (1.1).. EN. sobre la función f para garantizar la existencia de al menos una solución del problema. DE. Teorema 1.6 Sean R0 “ tpt, xq P R2 : t0 ď t ď t0 à, | x´x0 |ď bu Ă E, f : E Ñ R contínua, M una cota superior para | f pt, xq | en R0 y α “ minta, Mb u, entonces la. CA. ecuación (1.1) tiene al menos una solución definida en rt0 , t0 ` αs.. TE. Demostración: Sean δ ą 0, ϕ0 : rt0 ´ δ, t0 s Ñ R una función de clase C 1 que. IO. satisface ϕ0 pt0 q “ x0 , | ϕ0 ptq ´ x0 |ď b, | ϕ1 ptq |ď M y 0 ă ϵ ď δ, a partir de ϕ0 ptq se. BI. BL. construirá una nueva función ϕϵ ptq de clase C 1 en el intervalo rt0 ´ δ, t0 ` δs.. 6 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Entonces tómese para t P rt0 ´ δ, t0 s, ϕϵ ptq “ ϕ0 ptq y para t P rt0 , t0 ` α1 s defínase żt ϕϵ ptq “ x0 `. (1.4). f ps, ϕϵ ps ´ ϵqqds t0. con α1 “ mintα, ϵu.. Notar que la función ϕϵ ptq está bien definida pues si t0 ď s ď t0 ` α1 entonces t0 ´ δ ď t0 ´ ϵ ď s ´ ϵ ď t ´ ϵ ď t0 ` α1 ´ ϵ ď t0 , luego ϕϵ ps ´ ϵq “ ϕ0 ps ´ ϵq y. M. ps, ϕϵ ps ´ ϵqq “ ps, ϕ0 ps ´ ϵqq P R0 , por lo tanto, la función f puede ser definida en. Y. este punto.. IC AS. Por otro lado, ϕϵ ptq es diferenciable por la forma como se ha definido y además ˇż t ˇ ˇ ˇ ˇ | ϕϵ ptq ´ x0 |ď ˇ f ps, ϕϵ ps ´ ϵqqdsˇˇ ď M | t ´ t0 |ď M α1 ď M α ď b. FI S. t0. sobre rt0 ´ δ, t0 ` α1 s.. S. Ahora, defínase ϕϵ ptq para t P rt0 ` α1 , t0 ` α2 s, usando la ecuación (1.4), donde. CI A. α2 “ mintα, 2ϵu. Siguiendo de esta manera se puede definir ϕϵ ptq sobre el intervalo rt0 ´ δ, t0 ` αs, como:. (1.5) t P rt0 , t0 ` αs. DE. CI. EN. $ ’ & ϕ0 ptq, t P rt0 ´ δ, t0 s ϕϵ ptq “ şt ’ % x0 ` t0 f ps, ϕϵ ps ´ ϵqqds,. Afirmación 1. Si t, r P rt0 ´ δ, t0 ` αs entonces |ϕϵ ptq ´ ϕϵ prq| ď M | t ´ r |.. CA. Demostración:. | ϕϵ ptq ´ ϕϵ prq |“| ϕ0 ptq ´ ϕ0 prq |. BI. BL. IO. TE. Caso 1: Si t0 ´ δ ď t, r ď t0 , entonces. 7 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. luego por el teorema 1.2, existe u P rt, rs tal que;. | ϕ0 ptq ´ ϕ0 prq |“| ϕ1 puq || t ´ r |ď M | t ´ r |. Caso 2: Si t0 ´ δ ď t ď t0 ď r ď t0 ` α, entonces. M. ˇ ˆ ˙ˇ żr ˇ ˇ ˇ | ϕϵ ptq ´ ϕϵ prq | “ ˇϕ0 ptq ´ x0 ` f ps, ϕϵ ps ´ ϵqqds ˇˇ ˇżt0 r ˇ ˇ ˇ ď | ϕ0 ptq ´ x0 | ` ˇˇ f ps, ϕϵ ps ´ ϵqqdsˇˇ. Y. t0. IC AS. Luego, por el Teorema 1.2 y la acotación de f se tiene;. FI S. | ϕϵ ptq ´ ϕϵ prq |ď M | t0 ´ t | `M | r ´ t0 |“ M pt0 ´ tq ` M pr ´ t0 q “ M | r ´ t |. Caso 3: Si t0 ď t, r ď t0 ` α, en este caso se tiene. CI A. S. ˇż r ˇ ˇ ˇ | ϕϵ ptq ´ ϕϵ prq |“ ˇˇ f ps, ϕϵ ps ´ ϵqqdsˇˇ ď M | r ´ t | t. EN. y con este caso termina la demostración de la afirmación. Esta afirmación demuestra que la familia de funciones tϕϵ pxqu es equicontinua.. CI. La siguiente afirmación prueba que esta familia es uniformemente convergente y. DE. acotada.. Afirmación 2. Si t P rt0 ´ δ, t0 ` αs entonces | ϕϵ ptq ´ x0 |ď b. CA. Demostración:. Si t0 ´ δ ď t ď t0 ,. TE. | ϕϵ pxq ´ y0 |“| ϕ0 pxq ´ y0 |ď b. BI. BL. IO. Si t0 ď t ď t0 ` α, ˇ ˇż t ˇ ˇ b “ b. | ϕϵ ptq ´ x0 |“ ˇˇ f ps, ϕϵ ps ´ ϵqqdsˇˇ ď M | t ´ t0 |ď M α ď M M t0. 8 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Sea ahora, la sucesión tϵn u Ñ 0, por el Teorema 1.4, la sucesión tϕϵn ptqu tiene una subsucesión uniformemente convergente sobre rt0 ´ δ, t0 ` αs.. Sea esta sucesión tϕεn ptqu que converge uniformemente a una función ϕptq. Entonces, para t0 ď t ď t0 ` α se sigue que; żt. ˙ ϕptq “ lı́m ϕεn ptq “ lı́m x0 ` f ps, ϕεn psqqds nÑ8 nÑ8 t0 żt żt “ x0 ` lı́m f ps, ϕεn psqqds “ x0 ` lı́m f ps, ϕεn psqqds nÑ8 t t0 nÑ8 0 żt “ x0 ` f ps, ϕpsqqds.. Y. M. ˆ. IC AS. t0. De donde se sigue que la función ϕptq es solución de la ecuación (1.3) y por el Teorema. Ejemplo 1.6 El. FI S. 1.5, ϕptq es solución de (1.1). problema. de. valor. inicial. con. S. f : R0 Ñ R, con R0 “ tpt, xq P R2 : 0 ď t ď a, | x ´ x0 |ď bu Ă E.. (1.6). EN. CI A. $ & x1 “ f pt, xq “ 3x 32 % xp0q “ 0.. CI. Tiene una solución.. En efecto, se observa que f es contínua, pues es composición de funciones con2. DE. tinuas, además f en R0 es acotada por 3b 3 , luego por el Teorema 1.6 existe una 1. solución en r0, αs, con α “ mı́nta, b33 u.. CA. Además, mediante la Definición 1.5, se observa que las funciones φ1 ptq “ t3 y. BI. BL. IO. TE. φ1 ptq “ 0, @t P R; son soluciones del problema de valor inicial (1.6).. 9 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) 1.3.. Desigualdades Diferenciales. Sean las derivadas de Dini denotadas como: ˆ. D xptq “ D` xptq “ D´ xptq “. Y. D´ xptq “. ˙ xpt ` hq ´ xptq lı́m sup h hÑ0` ˆ ˙ xpt ` hq ´ xptq lı́m inf hÑ0` h ˆ ˙ xpt ` hq ´ xptq lı́m sup h hÑ0´ ˆ ˙ xpt ` hq ´ xptq lı́m inf hÑ0´ h. M. `. AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC AS. donde x P Cprt0 , t0 àq, Rq, a ą 0. Ahora cuando D` xptq “ D` xptq, se dirá que existe 1. la derivada por la derecha y sera denotada por x` ptq y cuando D´ xptq “ D´ xptq, 1. FI S. se dirá que existe la derivada por la izquierda y sera denotada por x´ ptq. Definición 1.6 Sean E un conjunto abierto en R2 , f P CpE, Rq y el problema de. S. valor inicial (1.1).. Sea además, v P Cprt0 , t0 ` aq, Rq, tal que v` ptq existe para todo t P rt0 , t0 ` aq y. CI A. 1. EN. pt, vptqq P E. Luego, si vptq satisface la desigualdad diferencial: 1. CI. v` ptq ă f pt, vptqq, @ t P rt0 , t0 ` a ą,. 1. v` ptq ą f pt, vptqq, @ t P rt0 , t0 ` a ą,. TE. CA. DE. entonces vptq es llamada sub-función. Por otro lado si. IO. entonces vptq es llamada sobre-función.. BL. Algunos resultados fundamentales sobre desigualdades diferenciales son:. BI. Teorema 1.7 Sean. E. un. conjunto. abierto. en. R2 ,. f. P. CpE, Rq. y. v, w P Cprt0 , t0 ` a ą, Rq tal que pt, vptqq, pt, wptqq P E, para todo t P rt0 , t0 ` a ą. 10. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Suponer además que:. (1.7). vpt0 q ă wpt0 q y para toda t P rt0 , t0 ` aq, se cumple las desigualdades:. (1.8). D´ vptq ď f pt, vptqq. (1.9). M. D´ wptq ą f pt, wptqq. Entonces,. (1.10). IC AS. Y. vptq ă wptq, @ t P rt0 , t0 ` a ą. Demostración: (Por el absurdo) Supóngase que la afirmación (1.10) es falsa. En-. FI S. tonces, sea Z el conjunto de todos los puntos t tal que wptq ď vptq, es decir. S. Z “ tt P rt0 , t0 ` aq{wptq ď vptqu.. CI A. Definiendo t1 “ inf Z, se tiene de (1.7) que t0 ă t1 . Además. (1.11). vptq ă wptq, @t P rt0 , t1 q.. (1.12). EN. vpt1 q “ wpt1 q. DE. CI. y. vpt1 ` hq ă wpt1 ` hq ñ vpt1 ` hq ´ vpt1 q ă wpt1 ` hq ´ wpt1 q ñ. vpt1 ` hq ´ vpt1 q wpt1 ` hq ´ wpt1 q ą h h ñ D´ vpt1 q ě D´ wpt1 q. (1.13). BI. BL. IO. TE. CA. Para h ă 0 y de las desigualdades (1.11) y (1.12), se sigue. 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. De las desigualdades (1.7), (1.8), (1.11) y (1.13), se sigue. f pt1 , vpt1 qq ą f pt1 , wpt1 qq. la cual es una contradicción. Por tanto, Z “ H, luego. M. vptq ă wptq, @t P rt0 , t0 ` a ą .. Y. . IC AS. Observación 1.1. 1. En la demostración del Teorema 1.7, las desigualdades (1.8) y (1.9) pueden. D´ vptq ă f pt, vptqq. (1.14). S. FI S. ser reemplazadas por:. (1.15). CI A. D´ wptq ě f pt, wptqq. EN. 2. La demostración del Teorema 1.7 no demanda la validez de las desigualdades. CI. (1.8) y (1.9), @ t Pă t0 , t0 ` a ą.. DE. El siguiente teorema, es consecuencia de la observación 1.1-2. Teorema 1.8 Sean E un subconjunto abierto de R2 , f. P. CpE, Rq y. CA. v, w P Cpă t0 , t0 ` a ą, Rq tal que pt, vptqq, pt, wptqq P E, para todo t P rt0 , t0 ` a ą.. vpt0 q ă wpt0 q. (1.16). IO. TE. Supóngase además que:. D´ vptq ď f pt, vptqq. (1.17). BI. BL. y para toda t P Z1 “ tt P rt0 , t0 ` a ą {wptq “ vptqu, se cumple las desigualdades:. 12 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. (1.18). D´ wptq ą f pt, wptqq Entonces,. (1.19). vptq ă wptq, @ t P rt0 , t0 ` a ą . Demostración: Ver [17].. Ahora se mostrará que cualquier solución del problema de valor inicial (1.1) se. M. encuentra limitada por la sub-función y sobre-función respectivamente.. Y. Teorema 1.9 Sean vptq y wptq una sub-función y sobre-función con respecto a el. IC AS. problema de valor inicial (1.1) sobre rt0 , t0 ` a ą. Si uptq es una solución de (1.1) sobre rt0 , t0 ` a ą, tal que. FI S. vpt0 q “ u0 “ wpt0 q. Entonces,. (1.21). S. vptq ă uptq ă wptq, @ t P rt0 , t0 ` a ą .. (1.20). CI A. Demostración: La demostración se dividirá en dos partes.. EN. u(t)<w(t).. 1. m` pt0 q ą 0.. (1.22). DE. CI. En efecto, defínase mptq “ wptq ´ uptq, luego de (1.20) se sigue. CA. De (1.22) se sigue que mptq es creciente en un pequeño intervalo rt0 , t0 ` εs, lo. uptq ă wptq, @t P rt0 , t0 ` εs.. (1.23). upt0 ` εq ă wpt0 ` εq.. (1.24). En particular,. BI. BL. IO. TE. cual implica. 13 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Además, @t P rt0 ` ε, t0 ` a ą u1 ptq ď gpt, uptqq;. (1.25). 1. (1.26). w` ą gpt, wptqq.. Luego de las desigualdades (1.24)-(1.26) y el Teorema 1.7 se sigue. IC AS. Por tanto, de las desigualdades (1.23) y (1.27). (1.27). Y. M. uptq ă wptq, @t P rt0 ` ε, t0 ` a ą .. FI S. uptq ă wptq, @t P rt0 , t0 ` a ą .. uptq ą vptq.. CI A. S. De similar forma, defínase mptq “ vptq ´ uptq, luego de (1.20) se sigue 1. (1.28). EN. m´ pt0 q ă 0.. CI. De (1.28) se sigue que mptq es decreciente en un pequeño intervalo rt0 , t0 ` εs,. DE. lo cual implica. vptq ă uptq, @t P rt0 , t0 ` εs.. (1.29). vpt0 ` εq ă upt0 ` εq.. (1.30). TE. CA. En particular,. BI. BL. IO. Además, @t P rt0 ` ε, t0 ` a ą u1 ptq ě gpt, uptqq; 1. v` ă gpt, vptqq.. (1.31) (1.32). 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Luego de las desigualdades (1.30)-(1.32) y el teorema 1.7 se sigue. vptq ă uptq, @t P rt0 ` ε, t0 ` a ą .. Por tanto, de las desigualdades (1.29) y (1.33). . Y. M. vptq ă uptq, @t P rt0 , t0 ` a ą .. (1.33). IC AS. Un resultado que se sigue del Teorema 1.9 es el siguiente.. FI S. Corolario 1.1 Sean E un conjunto abierto en R2 , f1 , f2 P CpE, Rq y f1 pt, xq ă f2 pt, xq, pt, xq P E.. CI A. S. Sean además, x1 ptq, x2 ptq las soluciones de 1. 1. x2 “ f2 pt, xq,. EN. x1 “ f1 pt, xq,. DE. Entonces,. CI. respectivamente sobre rt0 , t0 ` a ą tal que x1 pt0 q ă x2 pt0 q.. x1 ptq ă x2 ptq, @t P rt0 , t0 ` a ą .. CA. Demostración: Ver [17].. Soluciones Extremales. TE. 1.3.1.. IO. Definición 1.7 Sea rptq una solución del problema de valor inicial (1.1), donde. BI. BL. t P rt0 , t0 ` a ą. Entonces rptq, es una solución maximal de (1.1), si para toda. 15 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. xptq solución del problema de valor inicial (1.1), se cumple la desigualdad:. (1.34). xptq ď rptq, @ t P rt0 , t0 ` a ą. y es una solución minimal del problema de valor inicial (1.1), si para toda xptq solución del problema de valor inicial (1.1), se cumple la desigualdad:. (1.35). M. xptq ě rptq, @ t P rt0 , t0 ` a ą .. Y. Véase ahora, la existencia de las soluciones maximal y minimal del problema de. IC AS. valor inicial (1.1), bajo las hipótesis del Teorema 1.6.. Teorema 1.10 Sea E “ tpt, xq P R2 : t0 ď t ď t0 ` a, |x ´ x0 | ď bu, f P CpE, Rq y. FI S. |f pt, xq| ď M sobre E. Entonces existen las soluciones maximal y una minimal del. S. problema de valor inicial (1.1) sobre t0 ď t ď t0 ` α, donde α “ minta, 2Mb`b u.. CI A. Demostración: Sea 0 ă ε ď 2b . Considerando el problema de valor inicial. CI. EN. $ & x1 pt, εq “ f pt, xq ` ε % xpt , εq “ x ` ε.. Eε. 0. fε pt, xq “ f pt, xq ` ε.. observa que fε pt, xq esta bien definida y contínua sobre ( ␣ Eε Ă E y sobre Eε “ pt, xq P R2 : t0 ď t ď t0 ` a, |x ´ px0 ` εq| ď 2b ,. CA. Se. DE. Definiendo. 0. (1.36). TE. |fε pt, xq| ď M ` 2b .. BI. BL. IO. Del Teorema 1.6, se sigue que existe una solución xε pt, εq del problema de valor ( ␣ inicial (1.36) sobre el intervalo rt0 , t0 ` αs, donde α “ mı́n a, 2Mb`b .. 16 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Ahora para 0 ă ε2 ă ε1 ď ε y @t P rt0 , t0 ` αs se cumple. xpt0 , ε2 q ă xpt0 , ε1 q, x1 pt, ε2 q ď f pt, xpt, ε2 qq ` ε2 , x1 pt, ε1 q ą f pt, xpt, ε1 qq ` ε2 .. M. Luego, del Teorema 1.7 se sigue. AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC AS. Y. xpt, ε2 q ă xpt, ε1 q, @t P rt0 , t0 ` αs.. Defínase la familia de funciones. żt. xpt, εq “ xpt0 , εq `. fε ps, xqds. FI S. t0. S. la cual es equicontinua y uniformemente acotada sobre rt0 , t0 ` αs, se sigue por el. CI A. Teorema 1.4 que existe una sucesión decreciente tεn u, tal que εn Ñ 0 cuando n Ñ 8, y el limite. EN. rptq “ lı́m xpt, εn q nÑ8. CI. existe y converge uniformemente sobre rt0 , t0 `αs. Además se observa que rpt0 q “ x0 .. DE. La continuidad uniforme de f implica que f pt, xpt, εn qq tiende uniformemente a. żt. xpt, εn q “ x0 ` εn `. f ps, xps, εn qqds, t0. TE. CA. f pt, rptqq cuando n Ñ 8, y Por tanto,. muestra que el limite rptq es una solución de (1.1) sobre rt0 , t0 ` αs.. IO. Ahora se muestra que rptq es la solución maximal deseada de (1.1) sobre rt0 , t0 `αs. BI. BL. satisfaciendo (1.34).. 17 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Sea xptq cualquier solución de (1.1) existente sobre rt0 , t0 ` αs. Entonces,. xpt0 q “ x0 ă x0 ` ε “ xpt0 , εq, x1 ptq ă f pt, xptqq ` ε, x1 pt, εq ě f pt, xpt, εqq ` ε, para todo rt0 , t0 ` αs y ε ď 2b .. Y. M. De la Observación 1.1-1 y el Teorema 1.4 se sigue. IC AS. xptq ă xpt, εq, @t P rt0 , t0 ` αs.. sobre rt0 , t0 ` αs cuando ε Ñ 0.. FI S. La unicidad de la solución maximal muestra que xpt, εq tiende uniformente a rptq. La demostración de la existencia de la solución minimal se hace de similar forma. S. hecha para la solución maximal. Por tanto, la demostración del Teorema 1.10 es. CI A. completa.. EN. . CI. Ejemplo 1.7 El problema de valor inicial con f. :. R0. Ñ. R, con. TE. CA. DE. R0 “ tpt, xq P R2 : 0 ď t ď 0 ` a, | x ´ x0 |ď bu Ă E. $ & x1 “ f pt, xq “ 3x 32 % xp0q “ 0.. (1.37). Del Teorema 1.6, se sigue que el PVI, tiene una solución en r0, αs, con 1. BL. IO. α “ mı́nta, b33 u. Además, mediante la Definición 1.5, se observa que las funciones φ1 ptq “ t3 y. BI. φ1 ptq “ 0, @t P R; son soluciones del problema de valor inicial (1.6).. 18 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Veamos ahora si existen soluciones extremales. En efecto, se observa que f es contínua, pues es composición de funciones continuas y además que f en R0 es 2. acotada por 3b 3 , luego del Teorema 1.10, se sigue la existencia de las soluciones ! ) 1 extremales en r0, αs, con α “ mı́n a, ´ 1 . 3 `1. BI. BL. IO. TE. CA. DE. CI. EN. CI A. S. FI S. IC AS. Y. M. 6b. 19 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC AS. Y. Cálculo Fraccionario. M. Capítulo 2. El nombre de cálculo fraccionario, no significa el cálculo de fracciones. Tampoco significa una fracción de cualquier cálculo diferencial, integral o cálculo de varia-. FI S. ciones. El cálculo fraccionario es el nombre para la teoría de integrales y derivadas de orden arbitrario, que unifica y generaliza la noción de n-sima derivada y n-sima. CI A. S. integral de orden entero.. Considérese la sucesión infinita de integrales y derivadas. ...,. ż τ2 dτ2. f pτ1 qdτ1 ,. a. f pτ1 qdτ1 , f ptq, a. df ptq d2 f ptq , , ..., dt dt2. (2.1). CI. a. żt. EN. żt. La derivada de orden real arbitrario α puede ser considerada como una interpo-. α a Dt f ptq,. α ą 0,. (2.2). TE. CA. DE. lación entre estos operadores; para tal fin se usara la notación sugerida por [6],. que significará la derivada fraccionaria de orden α.. IO. Los subíndices a y t denotan los limites relacionados a la operación de derivada. BL. fraccionaria, los cuales los llamaremos terminales de la derivada fraccionaria. La. BI. aparición de los terminales en el símbolo de la derivada fraccionaria es esencial;. 20 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. éste ayudara a evitar ambigüedades en las aplicaciones de derivada fraccionaria a problemas reales.. La palabra integral fraccionaria significara en este trabajo, integral de orden arbitrario y corresponde al valor negativo de α en (2.2). Con la finalidad de evitar. posibles confusiones entre derivada e integral fraccionaria, se usara una notación separada para integral fraccionaria,. M. “ aDt´α f ptq, ´α “ β ą 0,. Funciones Especiales. FI S. 2.1.. IC AS. que significará la integral fraccionaria de orden β.. (2.3). Y. β a It f ptq. En esta sección se introducen brevemente algunas funciones especiales tales como. S. la función gamma, beta, Mittag-Leffler y Wright, que juegan un papel relevante en. CI A. las aplicaciones del cálculo fraccionario, debido a que aparecen de forma natural en. Funciones Gamma y Beta. CI. 2.1.1.. EN. la resolución de ecuaciones Integrodiferenciales fraccionarias [4], [7].. DE. Indudablemente, una de las funciones básicas del cálculo fraccionario es la función gamma de Euler, la cual generaliza al factorial n! y permite tomar valores no enteros. CA. e incluso valores complejos.. ż8 Γpzq “. e´t tz´1 dt. (2.4). 0. IO. TE. La función Gamma, denotada por Γ es definida por la integral. BI. BL. la cual converge en el semiplano complejo Repzq ą 0.. 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Una de las propiedades básicas de la función Gamma es. AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. (2.5). Γpz ` 1q “ zΓpzq. la cual es facilmente probada, al efectuar una integración por partes en (2.4). Obviamente, Γp1q “ 1, y usando (2.5) para z “ 1, 2, 3, ..., se tiene. M. Γpn ` 1q “ nΓpnq “ npn ´ 1q! “ n!.. Y. Para valores de Γpzq, cuando z P N, existen tablas o son fácilmente calculados. IC AS. en el computador. Mas, cuando z R N, en muchos casos, es conveniente el uso de la llamada función Beta, en lugar de ciertas combinaciones de valores de la función. ż1 Bpz, wq “. FI S. Gamma. La función Beta es usualmente definida por. sz´1 p1 ´ sqw´1 ds, pRepzq ą, Repwq ą 0q. (2.6). CI A. S. 0. Para establecer la relación entre la función Gamma definida por (2.4) y la función. EN. Beta (2.6), se hace uso de la Transformada de Laplace [7]. Obteniendo así la siguiente. Bpz, wq “. ΓpzqΓpwq Γpz ` wq. (2.7). DE. CI. expresión para la función Beta. CA. Con la ayuda de la función Beta se puede establecer dos relaciones importantes. ΓpzqΓp1 ´ zq “. π sinpπzq. (2.8). IO. TE. para la función Gamma [7]. La primera. BI. BL. y la segunda relación importante para la función Gamma, facilmente obtenida con. 22 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ayuda de la función Beta, es la fórmula de Legendre. ? 1 ΓpzqΓpz ` q “ π21´2z Γp2zq, p2z ‰ 0, ´1, ´2, ...q. 2. 2.1.2.. Función de Mittag-Leffler. (2.9). Otra de la funciones especiales del cálculo fraccionario es la función de Mittag-. M. Leffler Eα pzq, α ą 0, z P C, que fue introducida por el matemático sueco G. M. Mittag-Leffler al principio del siglo pasado, y se define por medio de las siguientes. IC AS. Y. expresiones en serie y en forma integral: 8 ÿ. zj 1 “ Eα pzq “ Γpαj ` 1q 2πi j“0. ż. Ha. eσ σ α´1 dσ, σα ´ z. (2.10). FI S. donde Ha es el contorno de Hankel, es decir, una curva que empieza y acaba en ´8 y que rodea al disco |σ| ď |z|1{α en el sentido positivo | arg z| ď π. Esta definición. CI A. S. sigue siendo valida si α P C con Repαq ą 0. La función de Mittag-Leffler proporciona una generalización de la función expo-. EN. nencial sustituyendo en la expresión en serie de esta última el n! “ Γpn ` 1q por Γpαn ` 1q, y resultando, por lo tanto, E1 pzq “ ez .. CI. También pueden recuperarse otras funciones elementales como casos particulares. DE. de la función de Mittag-Leffler [5]:. (2.11) (2.12). TE. CA. ` ˘ ` ˘ E2 `z 2 “ cosh z, E2 ´z 2 “ cos z, ˘ ˘‰ ` “ ` ˘ ` E1{2 ˘z 1{2 “ ez 1 ` erf ˘z 1{2 “ ez erf c ¯z 1{2 ,. IO. donde, en (2.12), se asume el valor principal de la raíz cuadrada de z en el plano. BL. complejo cortado a lo largo del eje real negativo; y las funciones de los errores y su. BI. complementar se definen como. 23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) 2 erf pzq “ ? π. żz. 2. eú du,. AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. erf cpzq “ 1 ´ erf pzq.. 0. En 1953 Agarwal propuso una sencilla generalización de la función de Mittag-. Leffler sustituyendo la constante 1 en el argumento de la función Gamma, por un. nuevo parámetro complejo β. Esta función fue llamada función de Mittag-Leffler generalizada o de dos parámetros y para ella se utiliza la siguiente notación: eσ σ α´β dσ, σα ´ z. M. zj 1 Eα,β pzq “ “ Γpαj ` βq 2πi j“0. ż Ha. (2.13). Y. 8 ÿ. IC AS. Claramente, se cumple que Eα pzq “ Eα,1 pzq. Una propiedad que es muy importante en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales fraccionarias es la siguiente. n. m. FI S. (véase [7]). mz Emα,β`nα pz q “. m´1 ÿ. e. i2πvpmńq m. Eα,β pze. i2πv m. q,. (2.14). S. v“0. CI A. con α ą 0, β ą 0 y enteros m ě 1, n ě 0; una consecuencia de la propiedad (2.14). EN. es la fórmula llamada de duplicación, que asume la forma 1 rEα,β pzq ` Eα,β p´zqs . 2. (2.15). CI. E2α,β pz 2 q “. Función de Wright. DE. 2.1.3.. CA. Pasamos ahora a definir la ultima función especial, la llamada función de Wright, que resultará fundamental en la resolución de las ecuaciones fraccionarias y que,. TE. cómo veremos, está relacionada con la función de Mittag-Leffler.. IO. La función de Wright, introducida por Wright, puede ser definida por medio de. BI. BL. las siguientes fórmulas en serie e integral. 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) 8 ÿ. zn 1 W pz; α, βq “ “ Γpαn ` βqn! 2πi n“0. ż Ha. AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. eσ`zσ σβ. para argumentos complejos z P C, e índices α ą ´1,. ´α. dσ,. (2.16). β ą 0. En realidad, la. expresión (2.16) sigue definida cuando β “ 0, resultando:. 8 ÿ zn zn W pz; α, 0q “ “ , Γpαnqn! n“1 Γpαnqn! n“0. (2.17). M. 8 ÿ. al ser Γp0q “ 8.. Y. La función de Wright, así como la de Mittag-Leffler, también representa una. IC AS. generalización de la función exponencial, siendo W pz; 0, 1q “ ez . Otro caso particular de esta función que es muy útil conocer, es él que fue considerado por Mainardi z2 1 “ ? e´ 4 . π. (2.18). Derivación e Integración Fraccionaria de. CI A. 2.2.. ˙. S. W. ´1 1 ; ´z; 2 2. FI S. ˆ. EN. Riemann-Liouville. CI. Como se sabe, los hechos históricos que caracterizaron el surgimiento del cálculo fraccionario empezaron motivados por la curiosidad de entender el significado de la 1 2. de una función. Durante muchos años la atención se centró prin-. DE. derivada de orden. cipalmente en la derivada fraccionaria, dando origen a numerosas definiciones de la. CA. misma, para posteriormente desplazar el foco de interés hacia la integral fraccionaria.. TE. La integral fraccionaria alcanzó relativamente pronto una definición universalmente aceptada, que aunque seguida de muchas otras, todavía se encuentra entre. El punto de partida para esta definición predominante de integral fraccionaria. BI. BL. IO. las más utilizadas.. 25 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. fue la fórmula n a Ix f pxq. żx. ż x1 dx1. “ a. ż xn dx2 .... a. a. 1 f psqds “ pn ´ 1q!. żx. px ´ sqn´1 f psqds, x ą a. a. (2.19). que reduce la integral multiple de orden n a una única integral de convolución, generalizada por medio de la función gamma a un orden real o complejo cualquiera żx. px ´ sqα´1 f psqds, Repαq ą 0.. M. 1 “ Γpαq. a. Y. α a Ix f pxq. IC AS. Esta expresión es denominada la definición actual de integral fraccionaria de Riemann-Liouville.. De aqui en adelante se asume lo siguiente:. CI A. S. FI S. $ & vαw ` 1, si α R N0 dn ` α P R , n “ rαs; donde rαs “ 1. ra, bs Ă R, Dn “ dx , n % α, si α P N0 con N0 “ N Y t0u. 2. Lp pra, bsq denotará el espacio de todas las funciones f medibles según lebesgue. DE. CI. EN. en ra, bs, para las cuales }f }p ă 8, donde ˆż. p. }f }p :“. ˙1{p. |f | dµ X. para 1 ď p ă 8 y }f }8 :“ ess sup |f pxq|.. CA. 0ďxďa. TE. 3. ACra, bs, denotara el espacio de todas las funciones absolutamente contínuas 1. en el intervalo ra, bs.. 1. i“1. BI. BL. IO. Una función f definida en el intervalo ra, bs, es llamada Absolutamente Continua, si para todo ϵ ą 0, existe δ ą 0 tal que n ÿ |f pbi q ´ f pai q| ă ϵ (2.20). 26 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 4. El espacio de las funciones f que tienen n ´ 1 derivadas continuas en ra, bs con f pn´1q pxq P ACra, bs, sera denotado por AC n ra, bs, donde n “ 1, 2, ..... Definición 2.1 Sea f P L1 ra, bs. La integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden α de la función f sobre ra, bs, será definida como żx. px ´ sqα´1 f psqds, a ă x ă b.. a. (2.22). 1. Cuando α “ n, resulta que (2.22) coincide con (2.19).. Y. Observación 2.1. 1 “ Γpαq. M. α a Ix f pxq. IC AS. 2. a Ix0 f pxq “ f pxq, ver [7].. El siguiente teorema garantiza la existencia de la integral fraccionaria.. FI S. Teorema 2.1 Sea f P L1 ra, bs y α P R` . Entonces la integral fraccionaria a Ixα f existe para casi todo x P ra, bs. Además la función a Ixα f es un elemento de L1 ra, bs.. CI A. S. Demostración: Ver [2].. Ejemplo 2.1 Considérese la función f pxq “ xβ , β P R, entonces la integral frac-. EN. cionaria de f sobre r0, bs de orden α ą 0, es dada por:. CI. α β 0 Ix px q. 1 “ Γpαq. żx. px ´ sqα´1 sβ ds. 0. DE. para toda colección finita de intervalos disjuntos dos a dos pai , bi q en ra, bs con n ÿ. p bi ´ ai q ă δ.. (2.21). BI. BL. IO. TE. CA. i“1. 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) mediante el cambio de variable ζ “ α β 0 Ix px q. s x. AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. y de la ecuación (2.7) se obtiene. ż1 1 px ´ ζxqα´1 pζxqβ xdζ Γpαq 0 ż xα`β 1 p1 ´ ζqα´1 ζ β dζ Γpαq 0 xα`β Bpβ ` 1, αq Γpαq xα`β Γpβ ` 1qΓpαq . Γpαq Γpα ` β ` 1q Γpβ ` 1qxα`β . Γpα ` β ` 1q. “ “ “. M. “. (2.23). En particular, cuando α “. 1 2. IC AS. Y. “. y β “ 2, de las ecuaciones (2.23) y (2.9) se tiene Γp3qx1{2`2 Γp1{2 ` 3q 15x5{2 ? . “ 16 π. (2.24). S. FI S. 1{2 2 0 Ix px q “. CI A. Algunas de la muchas propiedades importantes del operador integral de orden entero son preservadas al generalizar esté, las cuales son dados en los siguiente. EN. resultados:. DE. CI. Teorema 2.2 Sean λ, µ P R. Entonces f pxq ` µ gpxqq “ λ a Ixα f pxq ` µ a Ixα gpxq. (2.25). CA. α a Ix pλ. Demostración: Ver [2].. α a Ix. `. β a Ix f pxq. ˘. “a Ixβ pa Ixα f pxqq “a Ixα`β f pxq. (2.26). BI. BL. IO. TE. Teorema 2.3 Sean α, β P R` y f P L1 ra, bs. Entonces,. para casi en todo x P ra, bs.. 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Demostración: Ver [7].. AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Teorema 2.4 Supóngase que tfk ukPN es una sucesión de funciones continuas uniformemente convergente en ra, bs. Entonces α a Ix. ´. ¯ lı́m fk pxq “ lı́m. kÝÑ8. kÝÑ8. α a Ix fk pxq.. (2.27). M. En particular, la sucesión de funciones ta Ixα fk ukPN es uniformemente convergente.. Y. Demostración: Ver [1].. IC AS. Definición 2.2 Sean α P R` y n “ rαs. La derivada fraccionaria de RiemannLiouville de orden α de una función f , es definida como `. n´α f pxq a Ix. ˘. (2.28). S. donde 0 ď x ď a.. “ Dn. FI S. α a Dx f pxq. CI A. Observación 2.2 Para α “ k ě 1 donde k P Z y x ą 0 “ Dk pa Ix0 f pxqq “ Dk f pxq.. (2.29). CI. EN. α a Dx f pxq. Por lo tanto, la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville (2.28) de orden α “ k. DE. coincide con la derivada convencional de orden k.. CA. El siguiente resultado, establece una condición suficiente para que a Dxα f exista.. TE. Teorema 2.5 Sea f P ACra, bs y 0 ă α ă 1. Entonces a Dxα f existe casi en todo. BI. BL. IO. x P ra, bs. Además a Dxα f P Lp ra, bs para 1 ď p ă 1{α y α a Dx f pxq. 1 “ Γp1 ´ αq. ˆ ˙ żx ´α ´α 1 f paqpx ´ aq ` px ´ tq f ptqdt .. (2.30). a. Demostración: Ver [1]. 29. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Ejemplo 2.2 De forma similar con el Ejemplo 2.1, considérese la función f pxq “ xα , entonces la derivada fraccionaria de f de orden β, es dada por: α β 0 Dx px q. “ Dn. `. n´α β px q 0 Ix. ˘. ,. n “ rαs;. de la ecuación 2.23 se sigue. “. (2.31). FI S. “. M. “. ˆ. Y. “. ˙ Γpβ ` 1qxn´α`β D Γpn ´ α ` β ` 1q Γpβ ` 1q dn ` n´α`β ˘ x Γpn ´ α ` β ` 1q dxn Γpβ ` 1q Γpn ´ α ` β ` 1q ´α`β x Γpn ´ α ` β ` 1q Γp´α ` βq Γpβ ` 1q xβ´α . Γp´α ` β ` 1q n. IC AS. α β 0 Dx px q. En particular,. CI A. S. ‚ Si β “ 0, de (2.31) se sigue que la derivada de una constante, en general, no es. EN. igual a cero.. 1 2. (2.32). y β “ 2, de las ecuaciones (2.31) y (2.9) se tiene 1{2 2 0 Dx px q. Γp3q x´1{2`2 Γp´1{2 ` 3q 8 “ ? x3{2 . 3 π. “. (2.33). TE. CA. DE. ‚ Si α “. Γp1q x´α x´α “ . Γp´α ` 1q Γp1 ´ αq. CI. α 0 Dx p1q “. IO. Con el mero objetivo de mostrar, en un caso sencillo, cómo se comporta la deri-. BL. vada fraccionaria de Riemann-Liouville con respecto a las derivadas ordinarias, en la. BI. Figura 2.1 se representa el comportamiento de 0 Dxα x2 cuando 0 ď α ď 1 y 0 ď x ď 3. Se puede observar que el resultado fraccionario interpola los resultados ordinarios,. 30 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. variando entre la parabola x2 obtenida cuando α “ 0 y la recta 2x obtenida cuando. S. FI S. IC AS. Y. M. α “ 1.. CI A. Figura 2.1: Gráfico de 0 Dxα x2 cuando 0 ď α ď 1 y 0 ď x ď 3. EN. Contrariamente al caso entero, la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville es. CI. un operador no local, quedando definido por medio de una integral que depende de los valores que la función asuma en todo el intervalo de integración.. DE. Algunas de las principales propiedades del Operador Diferencial fraccionario de. CA. Riemann-Liouville son las siguientes:. α a Dx pλ. f pxq ` µ gpxqq “ λ a Dxα f pxq ` µ a Dxα gpxq.. (2.34). IO. TE. Teorema 2.6 Sean λ, µ P R. Entonces. BI. BL. Demostración: Ver [2]. En forma análoga al teorema 2.4, se tiene el siguiente teorema.. 31 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AT EM AT IC AS. Teorema 2.7 Sea α P R` y n “ rαs. Supóngase que tfk ukPN es una sucesión uni-. formemente convergente de funciones continuas en [a,b], y que a Dxα fk existe para. todo k. Además, supongase que ta Dxα fk ukPN es uniformemente convergente en rϵ, bs para todo ϵ ą 0. Entonces, para todo x P pa, bs, se tiene. lı́m. kÝÑ8. α a Dx fk pxq. “a Dxα lı́m fk pxq kÝÑ8. Y. Relación entre la Derivada e Integral Fraccionaria. IC AS. 2.2.1.. M. Demostración: Ver [1].. (2.35). En este sección se presenta algunas de las propriedades que relacionan la derivada fraccionaria con la integral fraccionaria.. FI S. Primeramente, se recuerda algunos resultados del cálculo clásico.. CI A. S. Dn I n “ I y I n Dn ‰ I donde n P N y I denota el operador identidad. Es decir Dn es inversa por la izquierda. CI. EN. (y no inversa por la derecha) del correspondiente operador integral I n n´1 ÿ. f k p0q k pxq , k! k“0. x ą 0.. (2.36). DE. I n Dn f pxq “ f pxq ´. CA. Estas propiedades son generalizadas en el cálculo fraccionario.. α α a Dx a Ix f pxq. “ f pxq. (2.37). IO. TE. Teorema 2.8 Sea α ą 0 y x ą a ě 0, entonces. BI. BL. Demostración:Ver [7]. En consecuencia, la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville es el inverso por. 32 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. la izquierda de la integral fraccionario de Riemann-Liouville de orden α. Observación 2.3 En general α µ a Dx a Ix f pxq. “a Dxα´µ f pxq,. (2.38). Ver [7]. R` y n. “. rαs. Supóngase que f es tal que. α α a Ix a Dx f pxq “ f pxq ´. Y. P AC n ra, bs. Entonces, n´1 ÿ. ‰ px ´ aqα´k´1 “ α´k´1 f pzq z“0 . a Dx Γpα ´ kq k“0. IC AS. n´α f a Ix. P. M. Teorema 2.9 Sea α. FI S. Demostración:Ver [2].. (2.39). Observación 2.4 Del Teorema 2.9, se sigue que si 0 ă α ă 1,. S. px ´ aqα´1 lı́m a I 1´α f pzq. Γpαq zÑa` x. (2.40). CI. EN. Ver [7].. Derivada fraccionaria de Caputo. DE. 2.3.. “ f pxq ´. CI A. α α a Ix a Dx f pxq. El estudio de la derivada fraccionaria de orden α P R` según Riemann-Liouville,. CA. presenta dos grandes dificultades, la primera, como se observó en la Sección 2.2, es que la derivada de una constante es no nula, por lo cual este resultado no puede. TE. ser interpretado como una tasa de variación; la segunda es que la transformada. IO. de Laplace de ésta, depende de condiciones iniciales que no poseen una adecuada. BL. interpretación física [7]. Con el objeto de evitar estos problemas, Caputo en 1967. BI. publicó un trabajo [12], donde una nueva definición de derivada fraccionaria es dada, la cual hoy en dia es llamada Derivada fraccionaria de Caputo. 33. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AT EM AT IC AS. Definición 2.3 Sea α P R` y n “ rαs. El operador ca Dxα definido mediante la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville « c α a Dx f pxq. “a Dxα. ff f pkq paq f pxq ´ px ´ aqk , k! k“0 n´1 ÿ. (2.41). para a ď x ď b, es llamado el operador diferencial fraccionaria de Caputo de la. M. función f de orden α.. “a Dxα rf pxq ´ f paqs .. IC AS. c α a Dx f pxq. Y. En particular, cuando 0 ă α ă 1, la ecuación (2.41) adopta la siguiente forma. (2.42). Si α R N0 y f pxq es una función para la cual la derivada fraccionaria de Caputo y la derivada fraccionaria de Riemann Liouville a Dxα f pxq de orden α P R`. FI S. c α a Dx f pxq. “a Dxα f pxq. n´1 ÿ. f pkq paq px ´ aqk´α . Γpk ´ α ` 1q k“0. CI A. c α a Dx f pxq. S. existe, entonces, ellas se conectan entre sí, mediante la siguiente relación:. ´. (2.43). EN. En particular, cuando 0 ă α ă 1, de las ecuaciones (2.42) y (2.43) se sigue que “a Dxα f pxq ´. f paq px ´ aq´α . Γp1 ´ αq. (2.44). DE. CI. c α a Dx f pxq. Si α P N0 , entonces la derivada fraccionaria de Caputo (2.41) coincide con la. c α a Dx f pxq. “a Dxα f pxq,. (2.45). IO. TE. CA. derivada fraccionaria de Riemann-Liouville (2.28), i.e.,. BI. BL. si f paq “ f 1 paq “ ¨ ¨ ¨ “ f pn´1q paq “ 0, con n “ rαs.. 34 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) En particular, cuando 0 ă α ă 1, c α a Dx f pxq. “a Dxα f pxq, si f paq “ 0.. AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. (2.46). Si α “ n P N0 y la derivada f pnq pxq de orden n existe, entonces ca Dxα f pxq coincide con f pnq pxq, i.e.,. “ f pnq pxq.. M. c α a Dx f pxq. (2.47). Y. La derivada fraccionaria de Caputo ca Dxα f pxq es definida para funciones f pxq para. IC AS. las cuales la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville (2.28) existe. En particular, ella es definida para f P AC n ra, bs.. FI S. Teorema 2.10 Sean α P R` y n “ rαs. Si f P AC n ra, bs, entonces la derivada fraccionaria de Caputo existe ca Dxα f pxq existe sobre ra, bs y. 1 “ Γpn ´ αq. żx. px ´ tqn´α´1 f pnq ptqdt “a Ixn´α Dn f pxq.. (2.48). a. EN. c α a Dx f pxq. CI A. S. a) Si α R N0 , ca Dxα f pxq es representada por. CI. En particular, cuando 0 ă α ă 1 y f pxq P ACra, bs,. DE. c α a Dx f pxq. 1 “ Γp1 ´ αq. żx. px ´ tq´α f 1 ptqdt “a Ix1´α Df pxq.. (2.49). c 0 a Dx f pxq. “ f pxq.. (2.50). IO. TE. CA. b) Si α “ n P N0 , entonces ca Dxα f pxq es representada por (2.47). En particular,. BI. BL. Demostración:Ver [1]. La derivada fracciona de Caputo ca Dxα f pxq tiene propiedades similares a las pro-. piedades de la derivada fraccional de Riemann-Liouville a Dxα f pxq. 35. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(45) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. c α 0 Dx. `. xβ. ˘. “. AT EM AT IC AS. Ejemplo 2.3 Sean α P R` , n “ rαs y β P R` , entonces. Γpβ ` 1q xβ´α , β ą n. Γpβ ´ α ` 1q. y ` k˘ c α D “ 0, para k “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , n ´ 1. 0 x x. “ 0.. (2.52). (2.53). IC AS. Y. c α 0 Dx p1q. M. En particular,. (2.51). En efecto, por el Teorema 2.10, se sigue que. ` β˘ ` ` ˘˘ x “0 Ixn´α Dn xβ ,. β ą n.. (2.54). FI S. c α 0 Dx. CI A. S. Pero,. ` ˘ Dn xβ “ βpβ ´ 1qpβ ´ 1q . . . pβ ´ n ` 1qxβń , β ą n Γpβ ` 1q xβń . Γpβ ´ n ` 1q. (2.55). EN. “. DE. CI. Luego, de las ecuaciones 2.54, 2.23 y 2.55 se sigue `. β. x. ˘. “ “ “ “. ˙ Γpβq βń x Γpβ ´ n ` 1q ` βń ˘ Γpβ ` 1q n´α x 0 Ix Γpβ ´ n ` 1q Γpβ ` 1q Γpβ ´ n ` 1q β´α x Γpβ ´ n ` 1q Γpβ ´ α ` 1q Γpβ ` 1q xβ´α . Γpβ ´ α ` 1q. n´α 0 Ix. ˆ. (2.56). BI. BL. IO. TE. CA. c α 0 Dx. 36 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(46) Ahora, si β “ k, con k “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , n ´ 1, de 2.54 se sigue c α 0 Dx. `. xβ. ˘. “. n´α 0 Ix. “. n´α p0q 0 Ix. `. ` ˘˘ Dn xk. AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. (2.57). “0. Al igual que el operador diferencial fraccionario de Riemann-Liouville a Dxα , el operador diferencial fraccionario de Caputo ca Dxα , es el operador inverso por la dere-. M. cha del operador integral fraccionaria, mas no sucede lo contrario.. IC AS. Y. Teorema 2.11 Sean α P R y f pxq P L8 pa, bq o Cra, bs. Si α R N o α P N, entonces c α α a Dx pa Ix f pxqq. (2.58). FI S. Demostración:Ver [1].. “ f pxq.. S. Teorema 2.12 Sean α P R y n “ rαs. Si f pxq P AC n ra, bs o f pxq P C n ra, bs,. CI A. entonces. n ÿ f pkq paq px ´ aqk . “ f pxq ´ k! k“0. (2.59). EN. α c α a Ix pa Dx f pxqq. En particular, si 0 ă α ď 1 y n “ rαs. Si f pxq P AC n ra, bs o f pxq P C n ra, bs,. CI. entonces. “ f pxq ´ f paq.. (2.60). DE. α c α a Ix pa Dx f pxqq. CA. Demostración:Ver [1]. Un resultado interesante que se obtiene con la derivada fraccionaria de Caputo. TE. es el siguiente.. IO. Teorema 2.13 Sean α ą 0, n ´ 1 ă α ď n pn P Nq, tal que f pxq P C n pR` q,. BI. BL. f n pxq P L1 p0, bq, para cualquier b ą 0. Supóngase también que |y n pxq| ď Beq0 x , px ą b ą 0q 37. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.