Evaluación del sistema de coordenadas de proyección local de la Ciudad De Medellín

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(1)EVALUACION DEL SISTEMA DE COORDENADAS DE PROYECCIÓN LOCAL DE LA CIUDAD DE MEDELLÍN. ROSA ADRIANA RINCON GONZALEZ RODRIGO MOSQUERA IBAÑEZ. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS FACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES PROYECTO CURRICULAR INGENIERIA TOPOGRAFICA BOGOTÁ D.C. 2017.

(2) EVALUACION DEL SISTEMA DE COORDENADAS DE PROYECCIÓN LOCAL DE LA CIUDAD DE MEDELLÍN. ROSA ADRIANA RINCON GONZALEZ CODIGO: 20142032265 RODRIGO MOSQUERA IBAÑEZ CODIGO: 20132032275. DIRECTOR: CARLOS ALFREDO RODRIGUEZ ROJAS INGENIERO TOPOGRAFICO ESPECIALISTA EN SISTEMAS DE INFORMACION GEOGRAFICA. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS FACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES PROYECTO CURRICULAR INGENIERIA TOPOGRAFICA BOGOTÁ D.C. 2017.

(3) NOTA DE ACEPTACIÓN __________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________. __________________________________ Firma director. __________________________________ Firma revisor. __________________________________ Ciudad y fecha.

(4) CONTENIDO 1. RESUMEN ...................................................................................................... 10 ABSTRACT ........................................................................................................... 11 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................. 12 3. JUSTIFICACION ............................................................................................. 13 4. OBJETIVOS.................................................................................................... 15 4.1. OBJETIVO GENERAL ............................................................................. 15. 4.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS .................................................................... 15. 5. MARCO TEORICO ......................................................................................... 16 5.1 INFORMACIÓN GEODÉSICA ..................................................................... 16 5.2 GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE EN REVOLUCIÓN ..................................... 16 5.3 FACTOR DE DEFORMACIÓN..................................................................... 20 5.4 QUÉ ES UN SISTEMA DE REFERENCIA ................................................... 21 5.5 DATUM GEODÉSICO ................................................................................ 21 5.6 TIPOS DE COORDENADAS MANEJADOS EN COLOMBIA ...................... 22 5.7 SISTEMAS DE COORDENADAS PROYECTADOS LOCALES .................. 27 5.8 EXACTITUD POSICIONAL Y SUS PARÁMETROS .................................... 29 5.9 TRANSGEOLOCAL. .................................................................................... 30 5. METODOLOGIA ............................................................................................. 33 6.1. Revisión de la información secundaria ..................................................... 33. 6.2 Determinación del área de estudio............................................................... 33 6.3 Evaluación en distancia y altura del actual plano de proyección local de Medellín y SPL antiguo, es decir en datum Bogotá ........................................... 33 6.4 Evaluación de los orígenes más cercanos a Medellín ................................. 34 6.5 Generación de una grilla en WGS84 con puntos muestrales en la zona de estudio. .............................................................................................................. 34 6.6 Comparación entre el SPL Medellín oficial y el SPL origen IGAC................ 35 6.7 Determinación de las tolerancias ................................................................. 35 6.8 Determinación del rango de altura en el que los SPL son funcionales según la escala de representación. .............................................................................. 35.

(5) 6.9 Determinación de la viabilidad en longitud de los PTL definidos según altimetría. ........................................................................................................... 35 6.10 Definición de un SPL alternativo usando el software transgeolocal que aplica coordenadas tridimensionales ................................................................. 36 6.10 Diagrama de flujo proceso metodológico ................................................... 37 7. RESULTADOS ............................................................................................... 38 7.1 Evidencia de la Información recopilada........................................................ 38 7.2 Delimitación del área de estudio .................................................................. 40 7.3 Análisis preliminar en distancia y altura del SPL actual y anterior ............... 41 7.4 Realización de la grilla con los puntos muestrales en los vértices ............... 45 7.5 Proyección de la grilla en cada uno de los sistemas de proyección local .... 46 7.6 Comportamiento de los meridianos en el SPL Medellín oficial y el SPL origen IGAC. ................................................................................................................. 46 7.7 Comportamiento de los paralelos en el SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC. ................................................................................................................. 50 7.8 Comparación entre las Coordenadas Proyectadas de los Puntos muestrales del SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC. ................................................ 54 7.9 Deformaciones presentadas teniendo en cuenta los factores de escala. .... 55 7.10 Determinación de las tolerancias ............................................................... 56 7.11 Determinación del rango de altura en el que los SPL son funcionales según la escala ............................................................................................................. 57 7.12 Determinación de los factores de deformación de escala para cada SPL determinado según la altura............................................................................... 58 7.13 Determinación de los SPL teniendo en cuenta las diferencias de longitud 58 7.8 Definición de un SPL usando el Software Transgeolocal............................. 59. 8. ANALISIS DE LOS RESULTADOS ................................................................ 61 8.1 Análisis preliminar de áreas ......................................................................... 61 8.2 Evaluación de los orígenes cercanos........................................................... 61 8.3 Proyección de los meridianos en el SPL Medellín oficial ............................. 62 8.4 Proyección de los meridianos en el SPL en el origen IGAC ........................ 62 8.5 Proyección de los paralelos en el SPL Medellín oficial ................................ 62 8.6 Proyección de los paralelos en el SPL origen IGAC .................................... 63.

(6) 8.7 Comparación entre los meridianos y paralelos de los SPL Medellín oficial y origen IGAC ....................................................................................................... 63 8.8 Comparación entre las Coordenadas Proyectadas de los Puntos muestrales del SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC. ................................................ 63 8.9 Evaluación del SPL de la ciudad de Medellín según área de influencia y rango de altura ................................................................................................... 64 8.10 Determinación de los rangos de altura según la tolerancia de la escala.... 64 8.11 Determinación de los PTL teniendo en cuenta las diferencias de longitud 65 8.12 SPL definido usando el software transgeolocal ......................................... 65 9. CONCLUSIONES ........................................................................................... 67. 10. RECOMENDACIONES ............................................................................... 68. 11. BIBLIOGRAFIA............................................................................................ 69. ANEXO 1 ............................................................................................................... 71 ANEXO 2 ............................................................................................................... 73 ANEXO 3 ............................................................................................................... 77 ANEXO 4 ............................................................................................................... 80 ANEXO 5 ............................................................................................................... 84 ANEXO 6 ............................................................................................................... 85.

(7) ÍNDICE DE ILUSTRACIONES. Ilustración 1: Coordenadas cartesianas tridimensionales y elipsoidales. .............. 23 Ilustración 2: Sistema de proyección cartográfica Gauss-Kruger. ......................... 25 Ilustración 3: Proyección cartesiana. ..................................................................... 27 Ilustración 4: Zonas Orígenes en Colombia sistema Gauss-Kruger. ..................... 29 Ilustración 5: Elipse en revolución. ........................................................................ 17 Ilustración 6: Paralelos y meridianos. .................................................................... 18 Ilustración 7: Longitud de arco de meridiano entre dos puntos. ............................ 20 Ilustración 8: Software Transgeolocal V.2.00. ....................................................... 31 Ilustración 9: Información geográfica en SHP. ...................................................... 39 Ilustración 10: Línea de tiempo SPL de Medellín oficiales. ................................... 40 Ilustración 11: Determinación del área de estudio................................................. 41 Ilustración 12: Selección curvas de nivel rango funcional del plano de proyección. .............................................................................................................................. 42 Ilustración 13: Polígono de influencia del SPL oficial de Medellín. ........................ 42 Ilustración 14: Polígono de influencia, antiguo SPL de Medellín. .......................... 43 Ilustración 15: Alcance en distancia de los orígenes Rionegro, Angelópolis y Guarne. ................................................................................................................. 44 Ilustración 16: Denominación segmentos de la grilla de puntos muestrales. ........ 45 Ilustración 17: Cobertura de la grilla de puntos muestrales. .................................. 46 Ilustración 18: Comportamiento de la proyección de los meridianos..................... 48 Ilustración 19: Comportamiento de la proyección de los paralelos........................ 52 Ilustración 20: Puntos según la diferencia entre Medellín oficial y origen IGAC. ... 55 Ilustración 21: Clasificación según deformaciones por altura. ............................... 56 Ilustración 22: Origen transgeolocal. ..................................................................... 59 Ilustración 23: Ejemplo de los Parámetros para la elección del Punto de origen del SPL. ...................................................................................................................... 60 Ilustración 24: Puntos transgeolocal...................................................................... 65.

(8) ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1: Porcentaje área SPL Datum Bogotá........................................................ 43 Tabla 2: Porcentaje área SPL Datum MAGNA. ..................................................... 43 Tabla 3: Orígenes cercanos a Medellín. ................................................................ 44 Tabla 4: Deformaciones en los meridianos al proyectar la grilla a Medellín oficial.46 Tabla 5: Deformaciones en los meridianos al proyectar la grilla a origen IGAC. ... 47 Tabla 6: Diferencias en distancia en los meridianos entre Medellín oficial y origen IGAC. .................................................................................................................... 48 Tabla 7: Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a Medellín oficial. .. 50 Tabla 8:Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a Origen IGAC. ...... 51 Tabla 9: Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a origen IGAC. ...... 53 Tabla 10: Prueba de varianzas a los meridianos................................................... 53 Tabla 11:Prueba de varianzas a los paralelos....................................................... 54 Tabla 12: Tolerancias. ........................................................................................... 56 Tabla 13: Rango de alturas de los SPL según tolerancias. ................................... 57 Tabla 14: Factores de escala según rangos de alturas. ........................................ 58 Tabla 15: Ejemplo de las coordenadas Cartesianas Locales obtenidas del software Transgeolocal. ....................................................................................................... 59.

(9) ÍNDICE DE GRÁFICAS. Gráfica 1:Proyección meridianos Medellín oficial. ................................................. 47 Gráfica 2: Deformaciones meridianos Medellín oficial........................................... 47 Gráfica 3: Proyección meridianos origen IGAC. .................................................... 48 Gráfica 4: Comparación de meridianos entre Medellín oficial y origen IGAC. ....... 49 Gráfica 5: Diferencias de distancia entre Medellín oficial y origen IGAC. .............. 49 Gráfica 6: Proyección paralelos Medellín oficial. ................................................... 50 Gráfica 7: Deformaciones paralelos Medellín oficial.............................................. 51 Gráfica 8: Deformaciones paralelos origen IGAC.................................................. 52.

(10) 1. RESUMEN Medellín es una de las ciudades más importantes de Colombia y es modelo en desarrollo urbano a nivel de Latinoamérica, y actualmente contempla un plan de desarrollo muy ambicioso denominado, Medellín Cuenta Con Vos 2016-2019 (Dinero, 2016), donde invertirá grandes recursos en obras de infraestructura para los cuales deberá contar, con información fiable para el diseño y ejecución de los proyectos, sobre todo en lo que respecta a la concordancia entre las coordenadas de proyecto de diseño y las del terreno. Cuando se trata de coordenadas, distancias y áreas llevadas de un plano proyectado al terreno se debe tener cuidado, ya que, según el plano de proyección local que se use se pueden presentar diferentes distorsiones como son: lineal, de distancias y angulares; por lo que surge la necesidad de evaluar el sistema de proyección local actual de Medellín, que garantice, que los parámetros que se están utilizando actualmente contemplen las dimensiones actuales de la ciudad y las deformaciones. Para llevar a cabo la evaluación del plano local de Medellín se propone una metodología de recolección de información, secundaria que permita la determinación de los parámetros base, que sirvieron para la realización del sistema de proyección local de la ciudad de Medellín y como resultados se podrá apreciar la comparación entre distintos trabajos cartográficos realizados y de esta forma arrojar un concepto evaluativo.. 10.

(11) ABSTRACT. Medellín is one of the most important cities in Colombia and is under development at a Latin American level, and is currently contemplating a very ambitious development plan called Medellín Cuenta Con Vos 2016-2019 (Dinero, 2016), where it will invest large resources in the infrastructure works for the results must have reliable information for the design and execution of the projects, especially as regards the concordance between the project design coordinates and the terrain.. When dealing with coordinates, distances and areas taken from a plane projected to the ground, care must be taken because, depending on the local projection plane used, different distortions can be present such as: linear, distances and angular; so the need arises to evaluate the current local projection system of Medellín, which guarantees, that the parameters that are currently contemplated in the current dimensions of the city and the deformations. In order to carry out the evaluation of the local plan of Medellín, a methodology of data collection is proposed, secondary that allows the determination of the base of the parameters, that served for the realization of the local projection system of the city of Medellín and like the results can appreciate the comparison between different cartographic works carried out and in this way an evaluative concept.. 11.

(12) 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El acelerado crecimiento de la ciudad de Medellín en los últimos años ha llevado a una expansión de su territorio y por consiguiente a la necesidad de crear nuevos y eficientes proyectos de ingeniería como autopistas, puentes, ciclorrutas entre otros y en este orden de ideas, es donde la topografía cumple un papel primordial para que esos nuevos proyectos se realicen y culminen exitosamente sin ningún tipo de contratiempos o problemas, estando presente desde el inicio hasta el final. Todos los proyectos de ingeniería deben estar sujetos a las especificaciones técnicas según las entidades competentes, el Instituto Geográfico Agustín Codazzi (IGAC) es el encargado de los sistemas de referencia a nivel nacional. Para el caso a nivel local de la ciudad de Medellín, la subsecretaria de tecnología y gestión de la información de la alcaldía de Medellín plantea un sistema de proyección local en conformidad con coordenadas planas MAGNA desde el 1 de diciembre de 2012, denominado PCS_MAG_Ant_Medellin, origen Medellín 2010, con plano de proyección 1510m con parámetros específicos, utilizado para la elaboración de planos y para la ejecución de proyectos de ingeniería. Teniendo en cuenta lo anterior y que la ciudad está construida en un valle donde la población urbana ha tenido una expansión en los últimos años hacia los bordes más altos, surge la necesidad de validar dicho sistema de proyección local, para garantizar que los parámetros que están utilizando actualmente contemplen las dimensiones actuales de la ciudad y las deformaciones, principalmente entre las distancias del terreno y sus proyectadas, a fin que garantice que la construcción de obras de ingeniería puedan ser plasmadas de forma expedita, puesto que muchas entidades y empresas tienen desconocimiento, de que valores se deben utilizar para definir los parámetros de las proyecciones locales, y esto les conduce a errores para el desarrollo y culminación exitosa de proyectos.. 12.

(13) 3. JUSTIFICACION Medellín ha sido una ciudad ejemplo a nivel Latinoamericano en cuanto a desarrollo urbanístico, infraestructura, equipamiento, entre otros, tiene un plan de desarrollo muy ambicioso “Medellín Cuenta Con Vos 2016-2019 en el cual se incluyen varios proyectos estratégicos como el Cable Picacho, la adecuación de 80 kilómetros nuevos de ciclorrutas, las intervenciones asociadas al Plan Integral del Centro y la construcción de un sistema de transporte público para el corredor de la carrera 80” (Dinero, 2016), teniendo en cuenta lo anterior es indispensable que Medellín pueda contar con un sistema de coordenadas proyectado ajustado no solo a su ubicación particular, sino también a los retos actuales de reestructuración por cuenta de la expansión que ya ha llegado a los bordes más altos y que por lo cual debe modernizarse para hacerse una ciudad sostenible. En Colombia la referenciación geodésica y la densificación de coordenadas empleadas en las etapas de construcción en obras de ingeniería, está regulado por el IGAC (Instituto Geográfico Agustín Codazzi), entidad encargada además de la producción de la información geográfica, en el año 2004 fue adoptado el sistema MAGNA_SIRGAS (Marco Geocéntrico Nacional de Referencia) que garantiza la compatibilidad de las coordenadas en Colombia con las técnicas de posicionamiento global, igualmente surge el planteamiento de definir sistemas de proyecciones locales para el manejo de la información cartográfica nacional, por un lado, está el sistema de Coordenadas Gauss-Kruger conocido anteriormente como Sistema de Coordenadas Planas de Gauss y para zonas urbanas de los municipios se disponen de sistemas proyectados locales (SPL) o conocidos también como planos topográficos locales (PTL), definidos en el centro de cada poblado y a la altura media del mismo, estos sistemas utilizan una proyección Plana local o cartesiana que se define desde un origen local, utilizando los parámetros de Falso Norte y Falso Este para cada proyección y definiéndolos convencionalmente (IGAC, 2004). Por otra parte existe el desconocimiento del valor del parámetro de escala a utilizar para las proyecciones locales, y en muchos casos se presenta desinformación por parte de algunas entidades en la utilización del factor de escala como parámetro fundamental del sistema de Coordenadas, pues este valor relaciona las medidas en campo utilizadas en geomensura, con las medidas en los planos (JAIRO, 2012), y si sumamos a ello la expansión de la ciudad y sus diferencias de altura, se puede decir que actualmente se trabaja sin tener el conocimiento de las tolerancias requeridas para los proyectos de ingeniería.. 13.

(14) En chile los ingenieros Geomensores René Zepeda G, Diego Ortiz J. Adoptaron como sistema cartográfico, la proyección Local Transversal de Mercator (LTM) (CARTOGRAFÍA), con parámetros específicos, bien definidos y de amplio dominio con el objeto de minimizar las deformaciones, principalmente entre las distancias de terreno y sus proyectadas, garantizando desde el inicio hasta la culminación el correcto desarrollo de las obras de ingeniería. Basandose en lo que los ingenieros realizaron en chile, surge la inquietud de proponer para la ciudad de Medellín un sistema de proyección local ajustado con los parámetros específicos y adaptados a las actuales condiciones de expansión y diferentes alturas que presenta la ciudad, sobre todo que tenga presente el parámetro del factor de escala, para que las entidades y profesionales puedan implementar estos parámetros en el inicio de sus proyectos, garantizando la concordancia entre las coordenadas de proyecto y las del terreno, con esto se logrará que las tolerancias de cierre lineal al momento de realizar mediciones poligonales, estén dentro de la precisión y esto a su vez garantiza que los proyectos constructivos tengan éxito ahorrando tiempo en correcciones que posiblemente se presenten y dinero a las empresas y a la ciudad.. 14.

(15) 4. OBJETIVOS 4.1 OBJETIVO GENERAL Validar el sistema de coordenadas de proyección local que usa actualmente Medellín, teniendo en cuenta que la ciudad está construida en un valle donde la población urbana ha ido expandiéndose hacia sus bordes más altos.. 4.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS 1 Recopilar información secundaria que permita caracterizar y conocer a cabalidad el actual sistema de coordenadas de la ciudad de Medellín. 2 Realizar un análisis comparativo entre las dos proyecciones usadas en los SPL oficiales para la ciudad de Medellín. 3 Identificar a partir de los resultados obtenidos las deficiencias que presenta el actual sistema de proyección local de la ciudad de Medellín, en cuanto a las diferencias en las magnitudes y deformaciones no permitidas. 4 Evaluar el actual sistema de coordenadas de proyección local estandarizado para la generación de información geodésica, cartográfica y por consiguiente utilizada para los proyectos de Ingeniería.. 15.

(16) 5. MARCO TEORICO 5.1 INFORMACIÓN GEODÉSICA En Colombia, el sistema de referencia geocéntrico adoptado desde el año 2004 se denomina MAGNA-SIRGAS - Marco Geocéntrico Nacional de Referencia, como densificación nacional del Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas, el cual, a su vez es la densificación continental del marco de referencia global (ITRFInternational Terrestrial Reference Frame). El Datum MAGNA-SIRGAS, está asociado al elipsoide GRS80 (Global Reference System 1980), equivalente al WGS84 (World Geodetic System 1984). La principal ventaja es que las coordenadas están en el mismo sistema de referencia que los satélites GNSS, lo cual garantiza alta precisión de las posiciones que se determinen en campo.. 5.2 GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE EN REVOLUCIÓN el elipsoide en revolución es el resultado de hacer rotar en el plano cartesiano OXYZ una elipse con el centro y el eje menor coincidentes con el origen OY con el eje OZ, esta elipse tiene la siguiente ecuación: ^2 ^2 + ^2 + =1 ^2 ^2 a= eje mayor o ecuatorial b= semieje menor o polar la forma de una elipse queda definida al establecer el semieje mayor a y el semieje menor b, ya que, a partir de ellos se obtiene el resto de parámetros.. 16.

(17) Ilustración 1: Elipse en revolución. Fuente: (Garcia & Garrigues Talens, 2007). Mediante los valores de los semiejes se define el cuadrado de la excentricidad (e) y el aplanamiento del elipsoide con las siguientes expresiones: El aplanamiento:. La excentricidad lineal que es la distancia que separa el centro de la elipse de los respectivos focos:. Primera excentricidad es el cociente entre la excentricidad lineal y el semieje mayor a:. Segunda excentricidad es el cociente entre la excentricidad lineal y el semieje menor b:. 17.

(18) Forma paramétrica Sobre la superficie de la elipse se define la ubicación de un punto con dos parámetros, en geodesia se usa la latitud y la longitud, las cuales se visualizan y se referencias con los paralelos y los meridianos. Paralelo: cualquier plano perpendicular al eje fundamental. Meridiano: cualquier plano que contenga al eje fundamental.. Ilustración 2: Paralelos y meridianos. Fuente (Garcia & Garrigues Talens, 2007). Radios principales de curvatura de la elipse Dado un punto del elipsoide, el horizonte local del mismo viene dado por un plano tangente al elipsoide en dicho punto. Todos los planos perpendiculares a él son planos verticales o normales al elipsoide en dicho punto (Garcia & Garrigues Talens, 2007). lo primero e importante es definir el plano meridiano, es el plano que contiene al eje menor del elipsoide y el plano perpendicular al plano meridiano se denomina primer vertical. Radio de curvatura de la sección normal del primer vertical El radio de curvatura de la sección normal del primer vertical puede definirse también como el radio de curvatura que presenta el elipsoide en un punto de latitud ϕ en la dirección de acimut 90° ó 270° y está dado por la fórmula:. 18.

(19) Radio de la curvatura de la sección normal meridiana Puede definirse también como el radio de curvatura que presenta el elipsoide en un punto de latitud ϕ en la dirección de acimut 0° ó 180° y está dado por la fórmula:. Radio medio Se denomina curvatura media de una superficie en un determinado punto a la semisuma de las curvaturas de las secciones normales principales.. Radio medio de Gauss Se define el radio medio de Gauss como la media aritmética de los radios de curvatura de las infinitas secciones normales de un punto.. Línea geodésica De todas las posibles curvas que unen dos puntos en una superficie, se define como línea geodésica aquella que produce la mínima distancia entre dos puntos. Una línea geodésica ha de cumplir que, sea cual sea la superficie considerada, la proyección de un entorno diferencial de la misma sobre el plano tangente a la superficie ha de ser una recta.. 19.

(20) Determinación de longitud de un arco paralelo entre dos puntos φ1 y φ2. Ilustración 3: Longitud de arco de meridiano entre dos puntos. Fuente: (Garcia & Garrigues Talens, 2007). Longitud de un arco de paralelo (Sp) Si se sitúa φ1 y φ2 sobre el mismo paralelo, su distancia sobre el elipsoide estará definida en función de la separación angular entre ellos (Δλ) y el radio paralelo. Si se define el radio paralelo “r” como r = N·cosφ, entonces: Sp = N·cosφ ·Δλ. 5.3 FACTOR DE DEFORMACIÓN Para calcular el rango de altura se debe usar la siguiente ecuación: =. +. Al realizar el despeje se obtiene: =. ∗. −. Hay que tener en cuenta que R no es Rm, sino, la media aritmética de los radios de curvatura, más conocido como radio medio de Gauss, el cual se obtiene, sacando la raíz, de la multiplicación de la gran normal (N) y de la primera vertical, para formular estos dos radios, se usó la latitud del punto de origen del plano de proyección local. La altura usada, es la altura ortométrica, como ya se había mencionado antes, puesto que es la altura oficial en Colombia. A modo de ejemplo, se calcula el K, que es la deformación que se presenta por la escala en un punto sobre la superficie topográfica. Como el SPL tiene un alcance de 20Km, esta longitud será la que servirá para calcular el K, entonces, por ejemplo, 20.

(21) para la escala 1:2000, K = 0.4 /20000, lo que da como resultado un delta de K de, 0.00002, Kmax = 1.00002 y un Kmin = 0.99998. Al aplicar estos valores en la formula, se obtienen dos valores uno con signo positivo y otro con signo negativo, lo cual indica, que el valor obtenido en metros se suma a la altura promedio del poblado y también se le resta, y este será el rango de altura donde el PTL es funcional según la altura.. 5.4 QUÉ ES UN SISTEMA DE REFERENCIA Un sistema de referencia se define como el conjunto de convenciones y conceptos teóricos adecuadamente modelados que permiten definir, en cualquier momento, la orientación, ubicación y escala de tres coordenadas [X, Y, Z]. Si el origen de coordenadas [X=0, Y=0, Z=0] coincide con el centro de la tierra se denomina sistema de referencia geocéntrico global, en caso contrario se habla de sistema de referencia local. El sistema de referencia global utilizado en Geodesia es el definido por el Servicio Internacional de Rotación Terrestre y sistemas de Referencia (IERS: International Earth Rotation and Reference Systems Service) de la Asociación Internacional de Geodesia (IAG) y la Unión Internacional de Astronomía (IAU). Su acrónimo ITRS (International Terrestrial Reference System). Este es un sistema geocéntrico (su origen de coordenadas [X, Y, Z] coincide con el centro de masas terrestre, incluyendo atmosfera y océanos), su tiempo corresponde con el tiempo geocéntrico coordinado (TCG: Geocentric Coordinate Time) y no presenta residuales en la rotación con respecto a los movimientos horizontales de la corteza terrestre. Su eje Z coincide con el eje medio de rotación terrestre, el eje X esta sobre el plano medio ecuatorial y su dirección apunta al meridiano de Greenwich, el eje Y también está sobre el plano ecuatorial y forma un sistema de mano derecha. En Colombia, el sistema global ITRS es materializado por MAGNASIRGAS, mientras que el sistema local de referencia está dado por el Datum Bogotá, cuyo desplazamiento con respecto al geocentro alcanza, aproximadamente, 500 m. 5.5 DATUM GEODÉSICO Un datum geodésico define la orientación y ubicación del elipsoide asociado a un sistema coordenado [X, Y, Z]; SI ESTE ES GEOCENTRICO SE TENDRA UN Datum Geodésico Geocéntrico o Global; si es local se tendrá un Datum Geodésico Local. 21.

(22) Estos últimos también se conocen como Datum Horizontales, dado que la determinación de la altura (H) de los puntos es independiente de sus coordenadas horizontales (ϕ, λ). Un datum geodésico geocéntrico permite establecer las coordenadas para un punto con respeto a la misma superficie de referencia: el elipsoide. En estos, la tercera coordenada se conoce como altura geodésica o elipsoidal (h). En Colombia, el datum geodésico geocéntrico o global está dado por Elipsoide GRS80 (Geodetic Reference System 1980) definido y adoptado por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) en 1980 (a=6 378 137 m, f= 1/298,257 222 101). Este es el elipsoide asociado al ITRS y, por tanto, a SIRGAS y a MAGNA-SIRGAS. En el caso del datum local, corresponde con el Datum BOGOTÁ, cuyo elipsoide asociado es el Internacional o de Hayford (a=6 378 388m, f= 1 /297).. 5.6 TIPOS DE COORDENADAS MANEJADOS EN COLOMBIA En Colombia se utilizan básicamente tres tipos de coordenadas: las cartesianas tridimensionales, las curvilíneas o elipsoidales y las planas de proyección, las cuales pueden ser Gauss-Krüger o cartesianas bidimensionales. Si bien, cada uno de estos tipos tiene sus ventajas y desventajas, en esencia, son tres formas diferentes, pero equivalentes, de establecer la ubicación geográfica de un punto. Coordenadas cartesianas tridimensionales Corresponden con la extensión, en metros, de las líneas paralelas a los tres ejes coordenados [X, Y, Z] que se extienden entre el punto y su intersección con cada eje ilustración 1. La ubicación ge o grá f ica del pu n to s e e xp re s a u n ívo c a m e n te con la t rip let a [Xp, Yp, Zp]. Si el origen del sistema cartesiano [X=0, Y=0, Z=0] coincide con el centro de masas terrestre, éstas se definen como coordenadas cartesianas geocéntricas. La principal ventaja de este tipo de coordenadas es que son independientes del elipsoide y permiten la referenciación de puntos u objetos alejados de la superficie terrestre, como por ejemplo los satélites. De allí, estas coordenadas se obtienen primariamente en el posicionamiento basado en técnicas espaciales (sistemas GNSS).. 22.

(23) Ilustración 4: Coordenadas cartesianas tridimensionales y elipsoidales. Fuente: (IGAC, 2004). Coordenadas elipsoidales También conocidas como geográficas o curvilíneas, corresponden con las cantidades latitud y longitud, las cuales se expresan en el sistema sexagesimal de grados, minutos y segundos. La latitud (φ) se define como el ángulo entre el plano ecuatorial y la normal (N) al elipsoide que pasa por el punto de interés (ilustración 1); es positiva hacia el norte de la línea ecuatorial y negativa hacia el sur. Su rango está dado por -90° ≤ φ ≤ +90° o 90° S ≤ φ≤ 90° N. La longitud (λ) es el ángulo, medido sobre el plano ecuatorial, entre el meridiano de referencia (normalmente Greenwich) y el meridiano del punto de interés (ilustración 1); es positiva al este de Greenwich y negativa hacia el oeste. Su rango se define mediante -180°≤ λ ≤ +180° o 180° W ≤ λ ≤ 180° E, lo que también equivale a 0° ≤ λ ≤ 360°. Los valores de la latitud y la longitud están en función del tamaño, forma y ubicación del elipsoide de referencia seleccionado, es decir, que dependen completamente del datum geodésico; pero una vez éste se ha definido, sus valores son unívocos. La tercera dimensión en este tipo de coordenadas está dada por la altura elipsoidal, la cual equivale a la distancia, medida a lo largo de la normal elipsoidal que pasa por el punto de interés, entre la superficie del elipsoide y dicho punto (ilustración 1); ésta se expresa en metros.. 23.

(24) Coordenadas planas Así sea que las coordenadas de las redes nacionales (o marcos) de referencia son representadas en términos de sistemas cartesianos tridimensionales [X, Y, Z] o sistemas elipsoidales [φ, λ, h], dichos valores resultan inconvenientes para el desarrollo de aplicaciones prácticas, ya que, por ejemplo, la extensión de un segundo de arco en longitud (λ), y en menor medida la de un segundo en latitud (φ), sobre la superficie terrestre varía de una latitud a otra o, en el caso de las coordenadas tridimensionales, sus diferencias en áreas pequeñas de trabajo se reflejan en las últimas cifras significativas de las cantidades. En este sentido, se acostumbra la representación de la superficie terrestre sobre un plano, mediante un sistema bidimensional de coordenadas rectangulares, llamado Sistema de Proyección Cartográfica, el cual muestra la correspondencia biunívoca entre los puntos de la superficie terrestre (φ, λ) y sus equivalentes sobre un plano de proyección (N, E). El tipo de proyección utilizada obedece al objetivo de la cartografía. Normalmente, para escalas pequeñas (menores que 1:10. 000) se utilizan proyecciones conformes (Gauss-Krüger, Lambert, UTM, etc.), cuyo plano de proyección se hace tangente al elipsoide de referencia, mientras que para escalas grandes (1:500 ... 1:5000) este plano se define a la altura media de la zona a proyectar. Las primeras se utilizan para obtener cartografía de conjunto de áreas amplias, como por ejemplo países, departamentos o áreas metropolitanas, las últimas para la representación de zonas urbanas, siendo de especial importancia para el desarrollo de trabajos catastrales, topográficos y de todas aquellas disciplinas que pueden asumir la superficie terrestre plana sin mayor pérdida de la precisión requerida en el desarrollo de sus labores. En Colombia se utiliza, para el primer caso, la proyección cartográfica de Gauss-Krüger y, para el segundo, la proyección cartesiana (IGAC, 2004).. Proyección cartográfica Gauss-Krüger La proyección cartográfica oficial de Colombia es el sistema Gauss-Krüger. Éste es una representación conforme del elipsoide sobre un plano, es decir, que el ángulo formado entre dos líneas sobre la superficie terrestre se mantiene al ser éstas proyectadas sobre el plano. Los meridianos y paralelos se interceptan perpendicularmente, pero no son líneas rectas, sino curvas 24.

(25) complejas, excepto el meridiano central (de tangencia) y el paralelo de referencia (ilustración 2). La escala de la representación permanece constante sobre el meridiano central, pero ésta varía al alejarse de aquel, introduciendo deformaciones en función de la longitud (λ). Por tal razón, el desarrollo de la proyección se controla mediante husos, que en el caso de Colombia se extienden 1,5° al lado y lado del meridiano central.. Ilustración 5: Sistema de proyección cartográfica Gauss-Kruger. Fuente: (IGAC, 2004). El sistema de proyección UTM (Universal Transverse Mercator) corresponde a nivel global, t ie n e u n meridiano central y husos de 6°. En Colombia, el origen principal de las coordenadas Gauss-Krüger se definió en la pilastra sur del Observatorio Astronómico de Bogotá, asignándose los valores N = 1 000 000 m y E = 1 000 000 m. Los orígenes complementarios se han establecido a 3° y 6° de longitud al este y oeste de dicho punto. Este sistema se utiliza para la elaboración de cartografía a escalas menores que 1:1 500.000, donde se proyecta la totalidad del territorio nacional. También se utiliza para cartografía a escalas entre 1:10 000 y 1:500 000 de las comarcas comprendidas en la zona de 3° correspondiente. Formulas usadas para la obtención de las coordenadas planas de GaussKruger (N, E) Coordenada Norte. 25.

(26) Fuente: (IGAC, 2004). Fuente: (IGAC, 2004). Donde: N = La gran normal l = λp – λ0 t = tan(φp) n2 = e´2 cos2 φp Arco meridiano del punto de calculo. 26.

(27) Fuente: (IGAC, 2004). Donde: a, b, e2, e´2 son las constantes del elipsoide.. 5.7 SISTEMAS DE COORDENADAS PROYECTADOS LOCALES Un sistema de Coordenadas proyectado está definido por dos componentes: [1] la parte geográfica que guarda relación con el elipsoide y Datum y [2] la parte proyectada o sistema de proyección, utilizada con los valores adoptados en el origen (ilustración 3):. Ilustración 6: Proyección cartesiana. Fuente: (IGAC, 2004). 27.

(28) Técnicamente todo sistema proyectado local debe tener los siguientes elementos: • • • •. • • •. Nombre o código: codificación respecto a un estándar o identificación dentro de un esquema (ISO 19111) o la OGP/EPSG. Datum: (elipsoide asociado) permite seleccionar los parámetros y el tipo de transformación en caso de ser requerida. Coordenadas Geodésicas en el Origen: son las coordenadas del punto de origen en el datum adoptado, expresadas en Latitud y Longitud. Proyección: tipo de proyección utilizada (cilíndrica TM, UTM) o Plana acimutal; cada proyección tiene una o varias zonas, en las proyecciones locales se define una zona simple. Falso Norte y Falso Este: son los valores definidos de forma convencional y que se establecen como las coordenadas de inicio en el origen. Factor de escala: representa la altura a la cual se define el plano de proyección, este factor depende de la elevación media del área de trabajo. Unidades: (m) Para los países que adoptan el sistema Internacional de Unidades.. En la ilustración 4 se pueden ver los puntos que corresponden a las cabeceras municipales o centros poblados de los municipios, y sobre ellos las 5 zonas de la proyección gauss-Kruger en Colombia.. 28.

(29) Ilustración 7: Zonas Orígenes en Colombia sistema Gauss-Kruger. Fuente: (IGAC, 2004). 5.8 EXACTITUD POSICIONAL Y SUS PARÁMETROS La exactitud de la posición tiene que ver con la veracidad de la ubicación y orientación de los objetos representados en una cartografía o plano topográfico, ya que, todos los elementos sobre la superficie terrestre tienen una posición única, tanto a nivel vertical, horizontal y también con los avances tecnológicos y los nuevos sistemas de navegación se está evaluando la exactitud en altura, y está en función de la escala para la cual fueron capturado los puntos. Pero como es que son evaluados estos objetos georreferenciados en una cartografía, para ello se usa el sistema de referencia, por esta razón todos los productos cartográficos deben tener nombre y apellido, es decir, deben especificar muy bien, cuál es su Datum o elipsoide asociado, el ITRF en el cual están calculadas las coordenadas para el caso de coordenadas planas, cuál es su época, etc. Con ello se podrá sin equivocación evaluar la veracidad en exactitud de los elementos.. 29.

(30) Exactitud absoluta o externa: se define como la exactitud en posición del conjunto de objetos del mapa respecto a su posición real en el terreno; es decir, es la diferencia existente entre las coordenadas que tienen los objetos en los archivos digitales o en el papel comparando con las coordenadas que estos mismos objetos tienen en el terreno (Niño Niño, 2009). Exactitud relativa o interna: se busca determinar la consistencia interna del mapa, o sea que, si en el terreno se mide una distancia X, dicho valor o uno muy cercano sea el que tiene la medida en el mapa. Exactitud de posición de datos de celdas: la precisión de los datos en formato raster está sujeta a la resolución espacial de la imagen fuente o tamaño de píxel en unidades métricas. En los programas utilizados para el manejo de imágenes, el píxel es referenciado por el valor de intersección entre una fila y una columna, pero la posición relativa del píxel está referida al centro de éste (Niño Niño, 2009). 5.9 TRANSGEOLOCAL. El software Transgeolocal utiliza matrices de rotación y translación para la transformación de los datos geodésicos en un Plano Topográfico Local. Es necesario ingresar los datos de referencia utilizados, e identificando los marcos, sus coordenadas Geodésicas o Cartesianas Geocéntricas respectivamente y la altura elipsoidal. Los resultados obtenidos son las coordenadas Planas determinadas por el software, a partir de las coordenadas ajustadas por el método de mínimos cuadrados. Una de las maneras de entrar los datos, en el software Transgeolocal, se muestran en el siguiente gráfico.. 30.

(31) Ilustración 8: Software Transgeolocal V.2.00.. Matriz de translación y rotación El método de matriz de translación y rotación considera: Una traslación del origen del sistema geodésico, para un origen de un Plano Topográfico Local, una rotación en torno para el eje t del Sistema Topográfico Local, para que el eje u sea paralelo al eje Z y una rotación en torno al eje u para que los ejes t y v del sistema topográfico local sean paralelos a los ejes X y Y del sistema Geocéntrico (Rapp, 1989). Segundo Dal´forno (2010), a partir del surgimiento de los sistemas de posicionamiento por satélite, como coordenadas tridimensionales geocéntricas pasaran a recibir una procedimiento especial. Con estas coordenadas tridimensionales es posible determinar sus coordenadas elipsoidales angulares, también realizar una conversión para cada sistema de coordenadas, tal como los Planos Topográficos Locales (PTL), o cartografía en la proyección (UTM). Los sistemas de coordenadas locales proporcionan un apoyo a los levantamientos topográficos en el cual se realizan medida de ángulos y distancias utilizando técnicas y equipos de topografía clásica (Mónico, 2008). Según Mónico, los sistemas de coordenadas locales son cartesianos, y poseen los tres ejes mutuamente ortogonales y es definido con relación al normal elipsoide o al vector de la gravedad local y sus tres ejes poseen, respectivamente, dirección Norte, Este y una normal. Una transformación de coordenadas geodésicas en coordenadas topográficas locales, a la misma escala, utilizando matrices de translación y rotación, puede ser realizada utilizando formulación matemática presentada por Andrade (1998, Pag 76) descritas a continuación:. 31.

(32) Donde: X0 Y0 y Z0, son las coordenadas geodésicas cartesianas tridimensionales del punto escogido para el origen del sistema. t, u, v, son coordenadas topográficas transformadas en el Plano Topográfico Local;. λ0 y φ0 representan la latitud y la Longitud geodésica del punto escogido como origen del sistema; X, Y, Z, son las coordenadas Geocéntricas cartesianas tridimensionales del punto a transformar.. 32.

(33) 5 METODOLOGIA 6.1 Revisión de la información secundaria El primer paso fue obtener la información que define el sistema de coordenadas proyectado que actualmente usa la ciudad de Medellín, identificando sus parámetros, su datum, su proyección, falso norte, falso este, altura media, para tal fin se encontraron diferentes documentos oficiales de la migración del plano de proyección local, datum Bogotá al plano de proyección datum MAGNA. En segunda estancia, es importante tener en cuenta la información del IGAC como entidad que produce, reglamenta, regula y divulga la información geográfica en el país, ya que esta institución cuenta con los parámetros oficiales del origen Medellín históricos, los cuales se obtuvieron directamente de la página del IGAC. También fue importante descargar todos los orígenes de los planos de proyección local de los municipios que rodean a Medellín. Se obtuvieron las curvas de nivel con altura ortométrica, ya que, en Colombia se trabaja con alturas referidas al nivel medio del mar, lo cual es consistente con el campo de gravedad de la tierra. Se obtuvieron del portal Geomedellin, curvas de nivel urbanas 2000 y curvas de nivel a nivel rural del municipio. Se realizó una clasificación y depuración de dicha información para contar solo con la información pertinente que pueda llegar a dar datos más precisos y exactos para el proyecto.. 6.2 Determinación del área de estudio Para este caso fue importante abarcar hasta las Áreas de Intervención Estratégica (AIE) delimitadas en el acuerdo 048 de 2014. 6.3 Evaluación en distancia y altura del actual plano de proyección local de Medellín y SPL antiguo, es decir en datum Bogotá. La valoración preliminar del actual SPL de Medellín se realizó usando el software ArcGIS 10.3, se tuvieron en cuenta para dicha valoración el origen MAGNA Medellín Antioquia 2010, de aquí en adelante será llamado: origen IGAC, que es consistente en altura y en coordenadas geográficas con el SPL PCS_MAG_Ant_Medellin actual sistema de coordenadas de Medellín, que de aquí en adelante será llamado: 33.

(34) Medellín oficial, también se realizó esta valoración al SPL PCS_BOG_Ant_Medellin antiguo sistema de coordenadas de Medellín en datum Bogotá.. 6.4 Evaluación de los orígenes más cercanos a Medellín Evaluación de los orígenes verificando el área, en la cual el SPL es funcional, es decir, que cumpla con las dos condiciones tanto en distancia como en altura, para el caso de distancia o área de influencia serán 20 Km máximo, después de esta distancia la proyección sufrirá deformaciones significativas, y para el caso del rango de altura será 250m, según lo que certifica el IGAC. La evaluación de los orígenes, será un estudio preliminar que dará como resultado un aproximado del área en la cual es funcional el SPL, para realizar esta selección se usa como herramienta el software ArcGIS, en primer lugar determinando en distancia hasta los 20Km, en segundo lugar para cumplir con la alturas se tuvo en cuenta el rango de los 250m, es decir entre la cota 1385 m.s.n.m. y 1635 m.s.n.m. se generó un polígono de influencia en el cual se calculó el área y se calculó el porcentaje con respecto al área total urbana del municipio de Medellín y el área total de las Áreas de Intervención Estratégicas del POT, acuerdo 048 del 2014. La valoración realizada a los orígenes de los municipios cercanos a Medellín se hizo teniendo en cuenta, que el área que no cubre en altura el origen 2010, tiene cotas entre los 1686m y los 2070m, entonces, se tendrán en cuenta los orígenes que superen la altura 1510 m.s.n.m. en la altura del plano de proyección, la cual es la altura del plano de origen de Medellín.. 6.5 Generación de una grilla en WGS84 con puntos muestrales en la zona de estudio. Para realizar un análisis más a fondo de las deformaciones que se presentan en cada uno de los SPL usados por Medellín y sus proyecciones usadas, se realizó una grilla de puntos en Datum WGS84, de esta forma se garantiza que, al proyectarse en los diferentes sistemas de coordenadas locales, se tengan unos datos de origen patrón, en un sistema de coordenadas geográficas estandarizado, al tener la grilla y sus segmentos en dirección de los paralelos y los meridianos, se procedió a proyectarse en el SPL Medellín oficial y en el SPL origen IGAC. 34.

(35) 6.6 Comparación entre el SPL Medellín oficial y el SPL origen IGAC Una vez se obtuvieron las coordenadas proyectadas en los dos SPL, se realizó una comparación entre estas, hallando las diferencias entre coordenadas Nortes y las diferencias entre las coordenadas Estés y distancia entre puntos.. 6.7 Determinación de las tolerancias Para determinar las tolerancias según cada escala se debe tener en cuenta el límite de percepción visual, es decir, lo que el ojo o el ser humano alcanza mínimo a ver en una cartografía o plano, a una escala determinada, el valor límite de percepción visual es de 0.2mm (Lpv). Y para que un elemento u objeto pueda ser representado en una cartografía se debe tener en cuenta el tamaño mínimo del elemento.. 6.8 Determinación del rango de altura en el que los SPL son funcionales según la escala de representación. Teniendo en cuenta que, “la tolerancia para una escala de representación es función de la magnitud que representa la mínima diferencia discriminable en el producto cartográfico. Entonces para vincular esta tolerancia con un PTL es necesario definir que diferencia de altura genera una deformación a lo sumo igual a la deformación definida según la escala.” (Fuentes Santibañez, 2006; Mena Berrios, 2008). 6.9 Determinación de la viabilidad en longitud de los PTL definidos según altimetría. Se determino para la escala que exige mayor exactitud, que para este caso es la escala 1:500, se realizó la diferencia entre el K0 y el K para el punto límite de los puntos muestrales, es decir el punto más alejado en el área de estudio, posteriormente se determinó la deformación métrica entre los dos para una longitud de 20Km.. 35.

(36) 6.10 Definición de un SPL alternativo usando el software transgeolocal que aplica coordenadas tridimensionales A partir de las coordenadas Geográficas de la grilla elaborada, se obtuvieron las coordenadas Cartesianas Geocéntricas Tridimensionales (X, Y, Z) utilizando el Software Magna Pro3. Utilizando el Software Transgeolocal se realizó una transformación de las coordenadas Cartesianas Geocéntricas Tridimensionales (X, Y, Z) a unas coordenadas Planas Cartesianas Locales (t, u, v) arrojadas por el software. Luego de tener las nuevas coordenadas Cartesianas Locales (t, u, v), se eligió el punto que mejor se adapte a las condiciones del terreno para nuestro caso en particular el punto central de nuestra grilla con una altura media de 1526.5, una vez señalado este punto el software reconoce que ese será el nuevo punto de origen para el nuevo SPL y recalculas las coordenadas (t, u, v) de todos los puntos.. 36.

(37) 6.10 Diagrama de flujo proceso metodológico. Recopilación y revisión de información secundaria. Evaluación preliminar de los SPL en distancia y altura. Determinación grilla con los puntos muestrales. Proyección de los puntos muestrales en los SPL. Comparación de las coordenadas obtenidas. Determinación de tolerancias según escala de representación. Determinación de las deformaciones. Identificación de deficiencias del SPL. Evaluación del SPL. 37. Determinación de rangos de altura según escala Determinación de los factores de escala.

(38) 7 RESULTADOS 7.1 Evidencia de la Información recopilada.. INFORMACIÓN TEÓRICO PRACTICA GENERAL. NORMATIVIDAD GENERAL. •OGC - ISO 1911 Información geográfica Sistemas de referencia espaciales por coordenadas. •IGAC - AASPECTOS TECNICOS ADOPCION MAGNA SIRGAS •NORMAS - NTC 5043 (CALIDAD DE DATOS GEOGRAFICOS). INFORMACIÓN TECNICA ESPECIFICA. •GEO MEDELLIN - Estándares Básicos para Manejo de Información Geográfica. •GEO MEDELLIN - Instructivo de Migración de datum Bogotá a Datum Magna. CONCEPTOS •Calidad de Datos Geoespaciales GENERALES CARTOGRAFICOS •Sistemas de Coordenadas de referencia. 38.

(39) INFORMACIÓN GEOGRÁFICA DIGITAL. INFORMACIÓN DIGITAL EN FORMATO SHP. •MGM. Municipios •MGM. Manzanas •Planificacion Complementaria •Areas de Intervencion estrategica •Curvas de Nivel 2000 y 5000. INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA. • Consulta de Puntos Geodesicos en Medellin. • Consulta de los origenes de los municipios cercanos a Medellin.. Ilustración 9: Información geográfica en SHP. Fuente: propia. 39.

(40) Ilustración 10: Línea de tiempo SPL de Medellín oficiales. Fuente: propia.. 7.2 Delimitación del área de estudio La ciudad de Medellín está ubicada en el Valle de Aburrá en el departamento de Antioquia, a los -75.521 y -75.646 de longitud y de latitud entre los 6.171 y 6.314. Para el área de estudio se tuvo en cuenta el Plan de Ordenamiento Territorial, en el acuerdo 048 de 2014 hay delimitadas una zonas denominadas Áreas de Intervención Estratégica (AIE), en estas zonas se harán proyectos y megaproyectos que necesitaran trabajos topográficos y cartográficos a nivel de ingeniería, los polígonos que conforman estas AIE están representados en la ilustración 11 en color rosado, como se puede observar, va mucho más allá del límite urbano actual, delimitado en la misma ilustración en color azul.. 40.

(41) Ilustración 11: Determinación del área de estudio. Fuente: propia.. 7.3 Análisis preliminar en distancia y altura del SPL actual y anterior Para empezar el análisis y evaluación de los orígenes o SPL más cercanos a Medellín, fue necesario realizar un análisis preliminar, que dio una primera idea de la pertinencia, funcionalidad y de cobertura del plano de proyección local, esta evaluación inicial se realizó visualizando la cobertura en distancia la cual es 20Km a partir del origen, como resultado se generó un Buffer con dicha distancia, y para la parte altimétrica se seleccionaron las curvas que están dentro de rango de cobertura del plano de proyección, que es entre los 1385m y los 1635m como se observa en la ilustración 12.. 41.

(42) Ilustración 12: Selección curvas de nivel rango funcional del plano de proyección. Fuente: propia.. Como resultado del proceso anterior, se generó un polígono de influencia en altura del SPL, con este polígono de influencia se calculó el porcentaje de área donde el origen es funcional, este porcentaje se determinó para el área urbana total y para el polígono de las Áreas de Intervención Estratégica. Este resultado se puede observar en la ilustración 12, donde el polígono de influencia está representado en color azul cian.. Ilustración 13: Polígono de influencia del SPL oficial de Medellín. Fuente: propia.. 42.

(43) También se realizó el mismo proceso para el SPL anterior de Medellín es decir con datum Bogotá, altura 1600m y una proyección Azimuthal_Equidistant, de esta forma conocer, cuál era el área que el plano de proyección antiguo cubría, teniendo en cuenta el rango de altura y la distancia.. Ilustración 14: Polígono de influencia, antiguo SPL de Medellín. Fuente: propia.. De la evaluación preliminar del área de influencia de los SPL, también se generaron las respectivas tablas del área de influencia. PCS_BOG_Ant_Medellin ZONA (AREA) Km % FUNCIONAL AREA METROPOLITANA TOTAL 112.58 69 AREA INTERVENCION ESTRATEGICA 188.38 41 AREA INFLUENCIA 77.96. % NO FUNCIONAL 31 59. Tabla 1: Porcentaje área SPL Datum Bogotá. Fuente: propia.. Medellín oficial ZONA (AREA) Km % FUNCIONAL AREA METROPOLITANA 112.57 73 AREA INTERVENCION ESTRATEGICA 188.39 44 AREA INFLUENCIA 82.71 Tabla 2: Porcentaje área SPL Datum MAGNA. Fuente: propia.. 43. % NO FUNCIONAL 27 56.

(44) También se proyectó en ArcGIS los círculos que representan el área de influencia de algunos orígenes más cercanos a Medellín, se tuvieron en cuenta los orígenes que tienen funcionalidad en las zonas con cota mayor a 1685 m y que tenían un alcance en distancia sobres las áreas que el SPL oficial no cubre, los cuales son Rionegro a 2136 m, Angelópolis a 1892 m y Guarne a 2090 m.. NOMBRE ORIGEN ANTIOQUIA-ANGEL POLIS-2010 ANTIOQUIA-BELLO-2010 ANTIOQUIA-COPACABANA-2010 ANTIOQUIA-EBAJICO-2010 ANTIOQUIA-ENVIGADO-2010 ANTIOQUIA-GUARNE-2010 ANTIOQUIA-HELICONIA-2010 ANTIOQUIA-ITAGUI-2010 ANTIOQUIA-LA ESTRELLA-2010 ANTIOQUIA-RIONEGRO-2010 ANTIOQU-SAN JERONIMO-2010. PLANO PROYECCIÓN (m) 1892 1510 1510 1199 1510 2090 1430 1510 1510 2136 740. RANGO ALTURA 1767 2017 1385 1635 1385 1635 1074 1324 1385 1635 1965 2215 1305 1555 1385 1635 1385 1635 2011 2261 615 865. Tabla 3: Orígenes cercanos a Medellín. Fuente: propia.. En la ilustración 15, se muestra el alcance y cobertura en distancia de cada uno de los orígenes anteriormente nombrados, Angelópolis en color amarillo, Guarne en color morado y Rionegro en color verde.. Ilustración 15: Alcance en distancia de los orígenes Rionegro, Angelópolis y Guarne.. 44.

(45) Fuente: propia.. 7.4 Realización de la grilla con los puntos muestrales en los vértices La grilla de puntos muestrales se realizó teniendo en cuenta toda el área de estudio, a una misma distancia, como se hizo en coordenadas geográficas, se escogió como medida, tanto para los paralelos como para los meridianos un minuto 1’, lo cual es aproximadamente en arco meridiano 1842.967 m y para el arco paralelo 1845.017 m en la latitud de 6° a 7° (INE, 2017). Para realizar la comparación de los segmentos es necesario enumerar o denominar cada uno, como se muestra en la ilustración 16, ya que esto, facilitará posteriormente identificar cada segmento dentro de la grilla y la ubicación en el área de estudio.. Ilustración 16: Denominación segmentos de la grilla de puntos muestrales. Fuente: propia.. Al finalizar la grilla se obtuvieron en toral 121 puntos, que dieron como resultado 11 líneas en los paralelos segmentados por los puntos, y 11 líneas en los meridianos igualmente segmentados por los puntos, como se observa en la ilustración 17.. 45.

(46) Ilustración 17: Cobertura de la grilla de puntos muestrales. Fuente: propia.. 7.5 Proyección de la grilla en cada uno de los sistemas de proyección local Al proyectar la grilla en los dos Sistemas de proyección local que se están comparando, Medellín oficial y origen IGAC, se realizaron diferentes tablas comparativas, no solo de las deformaciones generadas al pasar de arco meridiano y arco paralelo a cada proyección en estudio, sino también, las deformaciones al compararlas entre si, con los datos obtenidos se generaron gráficas, para visualizar como se comportaban cada uno de los segmentos de recta de la grilla y su total. 7.6 Comportamiento de los meridianos en el SPL Medellín oficial y el SPL origen IGAC. N° ARCO MERIDIANO (m) 1 18429.67 2 18429.67 3 18429.67 4 18429.67 5 18429.67 6 18429.67 7 18429.67 8 18429.67 9 18429.67 10 18429.67 11 18429.67. MED_OFICIAL (m) 18435.660 18435.650 18435.643 18435.636 18435.631 18435.628 18435.626 18435.626 18435.628 18435.630 18435.635. Δ ARCMER - MED_OFICIAL (m) 5.990 5.980 5.973 5.966 5.961 5.958 5.956 5.956 5.958 5.960 5.965. Tabla 4: Deformaciones en los meridianos al proyectar la grilla a Medellín oficial. Fuente: propia.. 46.

(47) PCS_MAG_Ant_Medellin 18435.660 18435.650 18435.640 18435.630 18435.620 18435.610 18435.600 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Gráfica 1:Proyección meridianos Medellín oficial. Fuente: propia.. PCS_MAG_Ant_Medellin. 5.990 5.980 5.973 5.966. 1. 2. 3. 4. 5.961. 5. 5.958 5.956 5.956 5.958 5.960. 6. 7. 8. 9. 10. 5.965. 11. Gráfica 2: Deformaciones meridianos Medellín oficial. Fuente: propia.. N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. ARCO MERIDIANO (m) 18429.67 18429.67 18429.67 18429.67 18429.67 18429.67 18429.67 18429.67 18429.67 18429.67 18429.67. IGAC 2010 (m) Δ ARCMER - IGAC 2010 (m) 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617. 5.95 5.95 5.95 5.95 5.95 5.95 5.95 5.95 5.95 5.95 5.95. Tabla 5: Deformaciones en los meridianos al proyectar la grilla a origen IGAC. Fuente: propia.. 47.

(48) MAGNA_Antioquia_Medellin_2010 18435.620 18435.616 18435.612 18435.608 18435.604 18435.600 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Gráfica 3: Proyección meridianos origen IGAC. Fuente: propia.. En la siguiente ilustración se puede apreciar grosso modo como se deformaron los meridianos en la proyección cartesiana que usa el IGAC.. Ilustración 18: Comportamiento de la proyección de los meridianos. Fuente: propia.. N° MED_OFICIAL (m) 1 18435.660 2 18435.650 3 18435.643 4 18435.636 5 18435.631 6 18435.628 7 18435.626 8 18435.626 9 18435.628 10 18435.630 11 18435.635. ORIG_IGAC (m) 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617. Δ MED_OFICIAL - IGAC 2010 (m) 0.043 0.033 0.026 0.019 0.014 0.011 0.009 0.009 0.011 0.013 0.018. Tabla 6: Diferencias en distancia en los meridianos entre Medellín oficial y origen IGAC. Fuente: propia.. 48.

(49) 18435.660 18435.650 18435.640 18435.630 18435.620 18435.610 18435.600 18435.590 1. 2. 3. 4. 5. 6. MED_OFICIAL. 7. 8. 9. 10. 11. IGAC. Gráfica 4: Comparación de meridianos entre Medellín oficial y origen IGAC. Fuente: propia.. OFICIAL - IGAC 0.043 0.033 0.026 0.019. 0.018 0.014. 1. 2. 3. 4. 5. 0.011. 6. 0.009. 0.009. 7. 8. 0.011. 9. 0.013. 10. Gráfica 5: Diferencias de distancia entre Medellín oficial y origen IGAC. Fuente: propia.. 49. 11.

(50) 7.7 Comportamiento de los paralelos en el SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC.. N° ARCO PARALELO (m) MED_OFICIAL (m) 1 18450.17 18445.438 2 18450.17 18446.028 3 18450.17 18446.616 4 18450.17 18447.203 5 18450.17 18447.788 6 18450.17 18448.372 7 18450.17 18448.955 8 18450.17 18450.114 9 18450.17 18450.114 10 18450.17 18450.692 11 18450.17 18451.268. Δ ARCPAR - MED_OFICIAL (m) 4.732 4.142 3.554 2.967 2.382 1.798 1.215 0.056 0.056 -0.522 -1.098. Tabla 7: Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a Medellín oficial. Fuente: propia.. PCS_MAG_Ant_Medellin 18442. 18444. 18446. 18448. 18450. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. Gráfica 6: Proyección paralelos Medellín oficial. Fuente: propia.. 50. 18452.

(51) -2.000. -1.000. 0.000. 1.000. 2.000. 3.000. 4.000. 1 4.142. 3. 3.554. 4. 2.967. 5. 2.382. 6. 1.798. 7. -1.098. 6.000. 4.732. 2. -0.522. 5.000. 1.215. 8. 0.635. 9. 0.056. 10 11. Gráfica 7: Deformaciones paralelos Medellín oficial. Fuente: propia.. N° ARCO PARALELO (m) 1 18450.17 2 18450.17 3 18450.17 4 18450.17 5 18450.17 6 18450.17 7 18450.17 8 18450.17 9 18450.17 10 18450.17 11 18450.17. IGAC (m) 18445.429 18446.019 18446.608 18447.195 18447.780 18448.364 18448.946 18449.527 18450.106 18450.684 18451.260. Δ ARCPAR - MED_OFICIAL (m) 4.741 4.151 3.562 2.975 2.390 1.806 1.224 0.643 0.064 -0.514 -1.090. Tabla 8:Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a Origen IGAC. Fuente: propia.. 51.

(52) -2.000. -1.000. 0.000. 1.000. 2.000. 3.000. 4.000. 1. 6.000. 4.741. 2. 4.151. 3. 3.562. 4. 2.975. 5. 2.390. 6 7. 5.000. 1.806 1.224. 8. 0.643. 9. 0.064. -0.514 10 11 -1.090. Gráfica 8: Deformaciones paralelos origen IGAC. Fuente: propia.. Como se puede observar en la ilustración 19, se da una idea de cómo la grilla sufrió la deformación al ser proyectada.. Ilustración 19: Comportamiento de la proyección de los paralelos. Fuente: propia.. 52.

(53) N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. MED_OFICIAL (m) 18435.660 18435.650 18435.643 18435.636 18435.631 18435.628 18435.626 18435.626 18435.628 18435.630 18435.635. ORIG_IGAC (m) 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617 18435.617. Δ MED_OFICIAL - ORIG_IGAC (m) 0.043 0.033 0.026 0.019 0.014 0.011 0.009 0.009 0.011 0.013 0.018. Tabla 9: Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a origen IGAC. Fuente: propia.. Se realizó una prueba de varianzas en excel a los resultados obtenidos de las diferencias en longitud de las dos proyecciones en estudio para comprobar que los datos no son iguales, se realizó la prueba para los datos resultantes de los paralelos y de los meridianos, las evidencias de las pruebas se observan en las tablas 10 y 11. 5.99 Media Varianza Observaciones Diferencia hipotética de las medias Grados de libertad Estadístico t P(T<=t) una cola Valor crítico de t (una cola) P(T<=t) dos colas Valor crítico de t (dos colas). 5.9633 6.24556E-05 10 0 9 6.52231946 5.42992E-05 1.833112933 0.000108598 2.262157163. Tabla 10: Prueba de varianzas a los meridianos. Fuente: propia. 53. 5.947 5.947 0 10.

(54) .. Media Varianza Observaciones Diferencia hipotética de las medias Grados de libertad Estadístico t P(T<=t) una cola Valor crítico de t (una cola) P(T<=t) dos colas Valor crítico de t (dos colas). 4.732 4.741 1.5129 1.5211 3.107656322 3.108174544 10 10 0 18 -0.01040074 0.495907984 1.734063607 0.991815969 2.10092204. Tabla 11:Prueba de varianzas a los paralelos. Fuente: propia.. 7.8 Comparación entre las Coordenadas Proyectadas de los Puntos muestrales del SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC. los resultados obtenidos de las diferencias entre las coordenadas del SPL Medellín oficial y origen IGAC se encuentran en el anexo 3, de los resultados de la comparación se generaron unas isolineas que representan las diferencias entre las coordenadas.. 54.

(55) Ilustración 20: Puntos según la diferencia entre Medellín oficial y origen IGAC. Fuente: propia.. 7.9 Deformaciones presentadas teniendo en cuenta los factores de escala. Se tuvieron en cuenta tres criterios para determinar las deformaciones presentadas, en primer lugar, el factor de escala del punto de origen, en segundo lugar, el factor de escala puntual, y en tercer lugar la precisión relativa, se calcularon los factores de deformación (K) según la topografía y se determinaron las deformaciones de los puntos muestrales del área de estudio, las cuales se observan a detalle en el anexo 5, en la ilustración 21 se observa una clasificación según las deformaciones generadas.. 55.

(56) Ilustración 21: Clasificación según deformaciones por altura. Fuente: propia.. 7.10 Determinación de las tolerancias Según como se expuso en la metodología, para hacer la determinación de las tolerancias se tuvo en cuenta el límite de percepción visual y la escala, como resultado, se obtuvo cada uno de los valores de tolerancia según la escala, como se muestra en la tabla 12. ESCALA 1:500 1:1000 1:2000 1:5000. TOLERANCIA 0.1 0.2 0.4 1. Tabla 12: Tolerancias. Fuente: propia.. 56.

(57) 7.11 Determinación del rango de altura en el que los SPL son funcionales según la escala Aplicando los pasos expuestos en el punto 6.8 de la metodología se obtiene una tabla, que muestra para cada cota máxima y mínima de Medellín, cuantos SPL o planos de proyección local, se necesitaran según cada escala de representación para que cumpla las tolerancias, dicha tabla se observa a continuación. ESCALA ΔH (Kh) SPL1 SPL2 SPL3 SPL4 SPL5 SPL6 SPL7 SPL8 SPL9 SPL10 SPL11 SPL12 SPL13 SPL14 SPL15 SPL16 SPL17 SPL18. 1:500 60 1450 1510 1570 1630 1690 1750 1810 1870 1930 1990 2050 2110 2170 2230 2290 2350 2410 2470. 1:1000 130 1510 1640 1770 1900 2030 2160 2290 2420 2550. 1:2000 250 1510 1760 2010 2260 2510. 1:5000 600 1510 2110 2710. Tabla 13: Rango de alturas de los SPL según tolerancias. Fuente: propia.. 57.