Maximalidad Preservada Bajo
Isomorfismo de Subgrupos
David Camilo Molano Valbuena
Trabajo de tesis de pregrado presentado por David Camilo
Molano Valbuena para aspirar al título de Matemático, por la
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, bajo la
dirección del docente Carlos Orlando Ochoa Castillo.
Agradecimientos
Agradezco:
A mi familia, por todo su apoyo en este proceso.
Al Dr. Adolfo Ballester Bolinches, por su guía en la escogencia del tema del trabajo, y en cómo aproximarse al mismo.
A la profesora Verónica Cifuentes Vargas, por su apoyo en el semillero de Álgebra.
Al profesor Carlos Orlando Ochoa, por cumplir con su papel como director del trabajo de grado.
A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, por ser aquella que permitió mi formación en matemáticas, y a sus docentes, que imprimieron su esfuerzo en ello.
Al Instituto Politécnico Nacional de los Estados Unidos Mexicanos, por haber contribuído a expandir mis horizontes, en relación a mis estudios en matemáticas, y a los docentes de la Escuela Superior de Física y Matemáticas, por los retos que contribuyeron a ello.
Lista de Notaciones y Convenciones.
1. Si B ⊆ G, hBi es la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a B. hgi=h{g}i. hH, Ki=hH∪Ki.
2. |G:H|=|G/H|. 3. Si g ∈G, |g|=|hgi|.
4. HoK: Producto semidirecto de H y K cuando no hay ambigüedad con el homomorfismo H →Aut(G) escogido. En caso queH, K ≤G
con H∩K = 1, tal homomorfismo está dado por h 7→ ih, donde ih
es el automorfismo interno de HK inducido por h. 5. CG(H) = {g ∈G|ghg−1 =h para todoh ∈H}
6. NG(H) ={g ∈G|gHg−1 =H}.
7. hg =ghg−1.
8. HG ={gHg−1 |g ∈G}
9. σ: Siσ :N→℘(N), σ(n) es el conjunto de los divisores primos den. 10. kerφ=φ−1({1}).
In this work we study a partial solution, developed by I.M. Isaacs and G.R. Robinson in 2015 (see [12]), of a problem related to the maximal sub-groups of a group.
Let H and K be isomorphic subgroups of a solvable group G, and suppose that H is maximal in G. We show that if either H
is supersolvable, or a Sylow 2−subgroup of H is abelian, then
K is also maximal in G.
There are stronger conditions on which the result holds. If, H and K
are conjugate, instead of isomorphic, the result follows inmediately. Another example of such a thing can be seen in the appendix 5.1.
In chapter 3 we present the theory we consider necessary to analyze Isaacs and Robinson’s article. In particular, the sections 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.10, 3.11 y 3.12 are somewhat relevant.
Every group will be considered a finite group (We’ll still mention cases in which some results or their proofs will hold for infinite groups).
In chapter 4 we study the article as such. We separate the chapter in three sections. The first one is about a counterexample (A group with two isomorphic subgroups, of which only one of them is maximal), the second one is about the Theorem A, and the third one is about the Theorem B. To study the article, the proofs in [12] will be analyzed, in such a way some of the details of these proofs, which are not mentioned or proven in [12], will be completed in this work. There will be two important exceptions. The proof of the ZJ theorem, and of a theorem of Lausch about maximally nilpotent subgroups.
Keywords: Solvable Group, Maximal Subgroup, Nilpotent Injector, Sy-low Tower, ZJ Theorem.
En este trabajo se estudia una solución parcial de un problema relacio-nado a los subgrupos maximales de un grupo, desarrollada por I. M. Isaacs y G. R. Robinson en 2015 en [12].
Sean H, K subgrupos isomorfos de un grupo soluble G y su-pongamos que H es maximal en G. Demostramos que si H es supersoluble, o en su defecto un 2−subgrupo de Sylow de H
es abeliano, entonces K es maximal en G.
Hay condiciones más fuertes que hacen el resultado cierto. Si en lugar de ser isomorfos son conjugados el resultado es inmediato. Otro ejemplo de ello se puede ver en el Apéndice 5.1.
El capítulo 3 se presenta la teoría necesaria para analizar el artículo de Isaacs y Robinson. En particular, las secciones 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.10, 3.11 y 3.12 son considerablemente relevantes.
Todos los grupos serán considerados finitos (Aunque se realizarán al-gunas menciones en caso de que alal-gunas de las proposiciones y/o sus demostraciones valgan para grupos infinitos).
En el capítulo 4 se estudia el artículo como tal, separado en tres partes. Un contraejemplo (Un grupo con dos subgrupos isomorfos, de los cuales solo uno es maximal), el Teorema A y el Teorema B. Para estudiar el artícu-lo, las demostraciones en [12] serán analizadas, de tal modo que aquellos detalles de las demostraciones que no son mencionados o demostrados en [12], serán completados en este trabajo. Habrá dos excepciones importan-tes a esto. La demostración del Teorema ZJ, y la de un teorema de Lausch acerca de subgrupos maximalmente nilpotentes.
Palabras Clave:Grupo Soluble, Subgrupo Maximal, Inyector Nilpotente, Torre de Sylow, Teorema ZJ.
1. Introducción 1
2. Estado del Arte 5
3. Marco Teórico 6
3.1. Fundamentos . . . 6
3.2. Los Teoremas de Sylow . . . 10
3.3. Series . . . 11
3.4. Grupos Nilpotentes . . . 15
3.5. Grupos Solubles . . . 19
3.6. Teorema de Schur-Zassenhaus . . . 21
3.7. Torres de Sylow . . . 21
3.8. Grupos Supersolubles . . . 25
3.9. Simplicidad de A5. . . 29
3.10. Subgrupos de Hall . . . 31
3.11. Subgrupos Maximalmente Nilpotentes, Inyectores Nilpotentes 33 3.12. El Teorema ZJ de Glauberman . . . 36
4. Desarrollo 37 4.1. Contraejemplo General . . . 37
4.2. Teorema A. H tiene una torre de Sylow . . . 39
4.3. Teorema B. Un 2−subgrupo de Sylow de H es abeliano . . 44
5. Apéndices 50 5.1. G es nilpotente . . . 50
Introducción
En las matemáticas siempre ha sido un problema a solucionar, verificar qué propiedades de las estructuras son preservadas mediante un isomor-fismo.
En la mayoría de los casos el problema es tautológico: Si se tiene un objeto C con ciertas propiedades, y unisomorfismo C →D, que preserve algunas de ellas, se pueden definir en D estructuras correspondientes, de modo que el morfismo preserve todas las propiedades. Un ejemplo de ello es cuando se identifica el campo extendido de los números complejos con la esfera de Riemann y a pesar de que en principio, ésta no tiene estructura de campo, se le puede inducir de la estructura de los números complejos (Removiéndole un punto).
Un caso particular donde este problema no es trivial es cuando los objetos tienen varias estructuras, (Por ejemplo dos conjuntos Lebesgue-medibles en Rn que son también espacios topológicos, o dos k−álgebras
sobre un campo k, que son tanto espacios vectoriales como anillos), o cuando una propiedad es una relación con un tercer objeto (Por ejemplo, dos subgrupos de un grupo G, uno de los cuales tiene índice primo).
Varios ejemplos en el Análisis que reflejan el problema:
1. La estructura métrica de un espacio métrico no es preservada por funciones continuas: Un homeomorfismo no siempre preserva la com-pletitud de un espacio métrico. En particular R es homeomorfo a
(0,1), el primero siendo completo y el segundo claramente no (La sucesión (n1)n∈N es de Cauchy y no converge).
2. La existencia de los conjuntosgordos de Cantor muestra que la
da de Lebesgue de un conjunto tampoco es preservada bajo homeo-morfismo. Para todo ∈ (0,1), uno puede construir un subconjunto
C ⊆[0,1] homeomorfo al conjunto de Cantor, tal que µ(C) =
Otros ejemplos se pueden encontrar en el Álgebra: Si k es un campo, y
E, F son k−álgebras, no todo homomorfismo de anillos entre ellas pre-serva la estructura de k−espacio vectorial. Si k = E = F = C, la con-jugación compleja es el ejemplo de ello. Otros ejemplos de ello resultan de tomar k = Q(√p), E = F = Q(√p,√q) con p, q primos. El elemento
σ ∈ Gal(E/Q(√q)) determinado por σ(√p) = −√p y σ(√q) = √q es el homomorfismo buscado.
Un teorema importante que nos muestra bastantes propiedades pre-servadas mediante un homomorfismo de grupo es el Cuarto Teorema de Isomorfismo o el Teorema de Isomorfismo de Retículo (También llamado
Teorema de Correspondencia).
Teorema 1.1(Teorema 3.20, [3], p. 99). SeaGun grupo yN EG. Entonces existe una correspondencia σ, uno a uno entre los subgrupos de G/N y los subgrupos de G que contienen a N, de modo que
1. H ≤K si y solo siσ(H)≤σ(K). 2. σ(hH, Ki) =hσ(H), σ(K)i.
3. σ(H∩K) =σ(H)∩σ(K)
4. H EG si y solo si σ(H)Eσ(G).
Demostración. Seaσdada porσ(H) =H/N, para todoH ≤GconN ≤H. Y para todo U ≤G/N, se defineσ0(U) = π−1(U) dondeπ es la proyección canónica. Para demostrar queσ está bien definida(I)se supone queH =K, y entonces σ(H) = {hN | h ∈ H} = {kN | k ∈ H = K} = σ(K). Para demostrar queσ0está bien definida, se supone queS =T ≤G/N. Entonces
σ0(S) = {g ∈G|π(g)∈S}={g ∈G|π(g)∈T}=σ0(T).
Si N ≤ H, se observa que σ0(σ(H)) =H. En efecto, h∈ σ0(σ(H)) si y solo si π(h)∈σ(H) =H/N si y solo si h∈H.
(I)Nota: Tantoσcomoσ0 están definidas, porque los cocientes e imágenes inversas bajo
Y para ver que si S ≤G/N, σ(σ0(S)), se observa que sN ∈σ(σ0(S)) =
σ0(S)/N si y solo si s ∈ σ0(S), si y solo si π(s) = sN ∈ S. Así, σ es una correspondencia uno a uno.
Es entonces inmediato que si N ≤ H ≤ K si y solo si H/N = {hN | h ∈ H} ≤ {kN | k ∈ K} = K/N, y esto demuestra 1. Entonces σ es un isomorfismo de conjuntos parcialmente ordenados. Como los isomorfis-mos de conjuntos parcialmente ordenados preservan ínfiisomorfis-mos y supreisomorfis-mos, se satisfacen 2 y 3. Para demostrar 4, se toma gN ∈ G/N, hN ∈ H/N. Entonces
(gN)(hN)(gN)−1 = (gN)(hN)(g−1N) = (ghg−1)N.
Así, (gN)(hN)(gN)−1 ∈H/N si y solo si ghg−1 ∈H.
El teorema de correspondencia se satisface, no solo para grupos, sino para anillos, espacios vectoriales, módulos, k−álgebras etc. Es un teorema muy importante. Como nos determina un isomorfismo entre dos conjuntos parcialmente ordenados, no solo preserva supremos e ínfimos. Preserva elementos maximales, por ejemplo, y por eso mismo, el teorema es fun-damental para demostrar que si G satisface la condición maximal (Toda familia no vacía de subgrupos posee un elemento maximal) entonces G/N
también la satisface. En Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica esta propiedad es fundamental; Si R es noetheriano (Toda familia no vacía de ideales posee un elemento maximal) e I es un ideal de R, entonces R/I
también es noetheriano. Es mediante este teorema que se puede demostrar que toda curva algebraica se puede escribir como unión finita de curvas algebraicas irreducibles.
El marco teórico estará en su mayoría basado en el libro de Doerk y Hawkes (Ver [2]), y en el libro de Huppert (Ver [9]), en especial las secciones sobre series, grupos nilpotentes, grupos solubles y el teorema de Schur-Zassenhaus.
La teoría sobre grupos supersolubles está basada parcialmente en el libro de Hall (Ver [6]). La teoría sobre torres de Sylow está basada ligera-mente en [10] y [15]. Varios de los resultados presentados en estas secciones son sugeridos en [12], o como ejercicios (O comentarios en los ejercicios) en [11]. La sección sobre subgrupos de Hall está basada en [11].
La sección sobre la simplicidad de A5 está basada en [3].
Estado del Arte
El origen del problema trabajado por Isaacs y Robinson se basa en una pregunta en MathOverflow (Ver [8]). Allí él pregunta para qué pares de grupos finitos solubles H, G, es cierto que, si H ,→G de dos maneras distintas, e.g. H ∼=H1 ∼=H2 con H1, H2 ≤ G, entonces la maximalidad de
H1 implica la maximalidad de H2. En eso, introduce una terminología: Si
H1 es maximal y H2 no, se dice que H es un subgrupo paradójico de G.
Allí también es dado el ejemplo básico mencionado por Isaacs y Robinson en su artículo, que demuestra la existencia de subgrupos paradójicos en general, excluyendo la restricción de solubilidad; tal ejemplo es atribuido por él a Yair Glasner, profesor titular de la Universidad Ben-Gurión del Néguev, en Israel.
También menciona otros casos, en el caso en queG es supersoluble, el caso en queHsea unp−grupo, y el caso en que tantoH1 comoH2 carezcan
de núcleo. En este último caso, la existencia de subgrupos paradójicos es rápidamente descartada.
El problema general permanece abierto (Hasta ahora no hay ejemplos de un grupo solubleGcon subgrupos paradójicos), sin embargo hay resul-tados incompletos. Isaacs y Robinson demuestran la inexistencia en caso que H sea supersoluble o tenga un 2−subgrupo de Sylow Abeliano.
Isaacs y Robinson se fundamentan en un teorema clave: el TeoremaZJ
de Glauberman (Ver [4]). Además, usa algunos resultados de Hans Lausch sobre las Clases de conjugación de subgrupos maximalmente nilpotentes.
Marco Teórico
En este capítulo se desarrollan los conceptos necesarios para anali-zar el artículo, pero que no necesariamente se ven en un curso de Teoría de Grupos. Se parte de series de subgrupos, e.g. Series Subnormales, Normales, Características, Series centrales ascendente y descendente, que serán necesarias para analizar la demostración de los teoremas A y B y para desarrollar la teoría de los grupos Nilpotentes y Solubles. También es necesario definir algunos subgrupos distinguidos de cada grupo, como el subgrupo de Fitting, el de Frattini, el subgrupo Op(G) y el subgrupo
de Thompson. A lo largo del capítulo se mencionan varios teoremas im-portantes, como lo son el Teorema de Jordan-Hölder y el Teorema de Schur-Zassenhaus, que es fundamental para mostrar la equivalencia entre distintas definiciones de Grupo con Torres de Sylow.
3.1. Fundamentos
En esta sección se introducen algunos conceptos básicos necesarios para analizar el artículo de Isaacs y Robinson. El primero no podría faltar. Definición 3.1. Sea G un grupo y H ≤G. Se dice que H es un subgrupo maximal deG, o H es maximal en G, siH 6=G, y H ≤K ⇒K =H∨K =
G. Se denotará ocasionalmente por HlG.
El siguiente lema es clásico. Se menciona de todos modos. Lema 3.2. Sea G un grupo, H ≤G y U EG. Entonces H∩U EH.
Demostración. Sea h∈ H∩U. Entonces, ya que h∈H, para todo g ∈H,
ghg−1 ∈ H. Además, como h ∈ U E G, para todo g ∈ H, ghg−1 ∈ U. Así,
ghg−1 ∈H∩U para todo g ∈H y h∈H∩U, y H∩U EH.
La ley modular de Dedekind es fundamental para estudiar la estructura del retículo de subgrupos de un grupo, cosa que se usa constantemente, teniendo en cuenta que se trabaja con subgrupos maximales.
Lema 3.3 (Ley Modular de Dedekind (Lema A.1.2, [2], p. 2)). Sean G un grupo y U, V, W ≤G con V ≤W. Entonces V U ∩W =V(U ∩W)
Corolario 3.4. Sea G un grupo y H, K ≤ G con KH = G. Entonces existe una función inyectiva entre los subgrupos S con K ≤S ≤ G, y los subgrupos T con K∩H ≤T ≤H.
Demostración. Sea τ tal que τ(S) = H ∩S. Es inmediato que K ∩H ≤ τ(S)≤H. Además, si S =S0 entoncesH∩S=H∩S0, i.e. τ(S) =τ(S0), así queτ está bien definida. Para demostrar que es inyectiva, siS∩H =S0∩H, entonces por la Ley Modular de Dedekind,
S =KH∩S =K(S∩H) =K(S0∩H) =KH ∩S0 =G∩S0 =S0,
que es lo que se deseaba.
En particular, del corolario anterior se deduce que la cantidad de sub-gruposSconK ≤S ≤G, es menor o igual que la cantidad de subgruposT
conH∩K ≤T ≤H. La función de la proposición es en realidad biyectiva, aunque solo se requiere la inyectividad.
Definición 3.5(Cerradura Normal (Definición A.7.1, (c), [2], p. 22)).SiH ≤G, la cerradura normal de U enG es definido por:
hHGi=hgHg−1 |g ∈Gi,
el subgrupo normal de G más pequeño que contiene a H(I).
Definición 3.6 (Subgrupo Característico (Ejemplo A.3.4, [2], p. 8)). Sea G
un grupo. Se dice que H ≤ G es un subgrupo característico de G si
(∀σ ∈Aut(G)), σ(H) =H y se escribeHcarG. Es claro que todo subgrupo característico es normal.
(I)Nota: En contraste, el normalizador es el subgrupo más grande deGen el que H es
Ejemplo 3.7. Todo subgrupo de un grupo cíclico es característico. En efec-to, si G es cíclico, entonces para todo d| |G|, G posee un único subgrupo
H de orden d, así, siσ ∈AutG,|σ(H)|=|H|=d y por lo tantoσ(H) = H. La siguiente propiedad nos permite usar los subgrupos característicos, como subgrupos normales donde la normalidad es transitiva. Es una de las características fundamentales de este tipo de subgrupos.
Proposición 3.8 ((Ejercicio 4.4.8, (a), [3], p. 137)). Sea H / G y KcarH. Entonces K EG.
Demostración. Sea σ ∈ InnG, entonces, como H E G, σ |H∈ AutH. Pero
como KcarH, σ(K) =σ |H (K) =K, así que K EG.
Mediante el mismo razonamiento se puede demostrar que la relación
car es transitiva.
Ahora se menciona una consecuencia del Segundo Teorema de Isomor-fismo, que será usada en la demostración del Teorema A.
Corolario 3.9. Sea G un grupo, con K, V ≤ G y V E G de modo que
G = KV. Entonces existe una correspondencia σ, uno a uno entre los subgrupos de G/V y los de K/K ∩V, de modo que para V ≤H ≤G,
σ(H/V) = (K∩H)/(K∩V).
Tal correspondencia determina un isomorfismo de retículos.
Demostración. Se considera el isomorfismo del segundo Teorema de Iso-morfismo:
φ:K/K ∩V →G
dado por k(K∩V) 7→kV. Es inmediato que φ induce un isomorfismo de retículos entre los retículos de subgrupos (Dos grupos isomorfos tienen retículos de subgrupos isomorfos).
A continuación se demuestra, siV ≤H ≤G, queϕ((H∩K)/(K∩V)) =
H/V. Seah=k ∈H∩K. EntonceskV =hV y ϕ(k(K∩V)) =hV, así que
ϕ((H∩K)/(K∩V))≤H/V.
De manera recíproca, sea h ∈ H. Se tiene que demostrar que existe
k ∈H∩K tal que ϕ(k(K∩V)) =hV, i.e. kV =hV. Sean v ∈V, k∈K tal que h=kv. Entonces hV =kvV =kV, y por lo tanto, h−1k∈V ≤H. Así,
La siguiente proposición también es usada en el Teorema A, y es de rutina.
Proposición 3.10. Sea G un grupo, H, K ≤ G y σ ∈ Aut(G) tal que
σ(H) =K. Entonces NG(K) =σ(NG(H)).
Demostración. Se observa primero queH =σ−1(K). Ahora, se demostrará que σ(NG(H)) ≤ NG(K). En efecto, si σ(n) ∈ σ(NG(H)) y σ(h) ∈ K,
entonces
σ(n)σ(h)σ(n)−1 =σ(n)σ(h)σ(n−1) =σ(nhn−1)∈K
ya que nhn−1 ∈H.
Ahora, análogamente, σ−1(N
G(K))≤NG(H). Pero esto implica que
NG(H) = σ−1σ(NG(H))≤σ−1(NG(K))≤NG(H)
así que σ−1(NG(K)) = NG(H), o NG(K) =σ(NG(H)).
La demostración del Teorema A se basa en la inducción matemática de dos modos. El primero, es heredando las condiciones del problema a un subgrupo, y la segunda, heredando las condiciones a un cociente. El siguiente teorema nos dice cómo un isomorfismo de subgrupos induce un isomorfismo entre ciertos cocientes de los mismos, y será usado en la demostración del Teorema A.
Lema 3.11. Sean H, K ≤ G, N E G con N ≤ H. Sea θ : H → K un isomorfismo que deja invariante a N. Entonces N ≤H∩K y θ induce un isomorfismo θ :H/N →K/N.
Demostración. Como N ≤ H y θ(N) = N ≤ K, se tiene N ≤ H ∩ K. Ahora, sea θ : H/N → K/N dado por θ(hN) = θ(h)N. Sean h, h0 ∈ H y supóngase que hN =h0N, entonces h−1h0 ∈ N. Entonces θ(h)−1θ(h0) ∈N
y así, θ(h)N =θ(h0)N, así que θ está bien definida. Ahora,
θ((hh0)N) =θ(hh0)N =θ(h)θ(h0)N =θ(h)N θ(h0)N =θ(hN)θ(h0N),
así que θ es un homomorfismo. Para ver que es inyectiva, si θ(hN) =
θ(h)N = N, entonces θ(h) ∈ N, así, θ−1(θ(h)) = h ∈ N, y hN = N.
Así, kerθ = N/N = 1. Ahora, H/N y K/N tienen el mismo número de elementos, así que θ es un isomorfismo(II).
(II)Nota: El isomorfismo se tiene incluso si G, K, H son infinitos. En efecto, si se toma
También se menciona la Ecuación de Clase.
Teorema 3.12(Ecuación de Clase (Teorema 4.7, [3], p. 124).). SeaGun grupo y g1, . . . , gr representantes de las distintas clases de conjugación de G no
contenidas en Z(G). Entonces
|G|=|Z(G)|+
r
X
i=1
|G:CG(gi)|
3.2. Los Teoremas de Sylow
Los Teoremas de Sylow son precisamente aquellos donde un curso estándar de Teoría de Grupos termina. Serán mencionados.
Definición 3.13. Sea G un grupo y p un primo. Se dice que G es un
p−grupo si existe α∈N tal que |G|=pα.
Si Π es un conjunto de primos, entonces G es un Π−grupo sii el con-juntoσ(|G|)de los divisores primos de |G| está contenido enΠ. Un natural
n es unΠ−número sii el conjunto de todos los divisores primos de n está contenido en Π.
Si G es cualquier grupo, se dice que H ≤ G es un p−subgrupo (Π−subgrupo) de G si H es un p−grupo (Π−grupo). Se denota
Pp(G) ={H ≤G|Hes un p−subgrupo de G}.
Se dice que H es un p−subgrupo de Sylow de G si H es un elemento maximal de Pp(G). O de manera equivalente, si dado |G| = pαm con
α ∈N, p-m, se tiene |H|=pα. Se define
Sylp(G) ={H ≤G|Hes un p−subgrupo de Sylow de G}.
Se denota np =|Sylp(G)|.
Teorema 3.14 (Primer Teorema de Sylow (SYLOW I, [13], p. 80)). Si G es un grupo, p es un primo, k ∈N y pk | |G|, entonces G posee un subgrupo
de orden pk.
Teorema 3.15 (Segundo Teorema de Sylow (SYLOW II, (1), [13], p. 80)). SiG
es un grupo, p es un primo con p| G, y P1, P2 ∈ Sylp(G), entonces existe
g ∈Gtal que P2 =gP1g−1, i.e. cualesquiera par de p−subgrupos de Sylow
de G son conjugados.
Teorema 3.16 (Tercer Teorema de Sylow (SYLOW II, (2), [13], p. 80)). Sea
G un grupo. Entonces np | |G : P|, P ∈ Sylp(G), y np ≡ 1 m´odp. Todo
p−subgrupo de G está contenido en un p−subgrupo de Sylow de G. Esto nos trae un resultado sobre subgrupos de Sylow normales. Ejemplo 3.17(Los subgrupos de Sylow normales de un grupo son caracte-rísticos). Sea Gun grupo,pun primo con p|G, y P ∈Sylp(G)conP EG. Entonces P carG. En efecto, si P E G, se sigue por el Segundo Teorema de Sylow que Sylp(G) = {P}. Así, si σ ∈ Aut(G), |σ(P)| = |P|, así que
σ(P)∈Sylp(G) y σ(P) =P. Así, P carG.
3.3. Series
Ahora se mencionan algunos conceptos relacionados con series de sub-grupos de un grupo.
Definición 3.18 (A.3, [2], p. 7). Sea G un grupo y H ≤ G. Se dice que H
es un subgrupo subnormal de G si existe una cadena de subgrupos
H =H0 EH1 E· · ·EHn =G.
La cadena anterior se conoce comoserie subnormal desdeH hasta G. Si H = 1 será nombrada simplemente serie subnormal.
Si para todo i∈ {0,· · · , n}, Hi EG, entonces se dice que la cadena es
unaserie normal. Si cada uno de los subgrupos de la serie es característico, i.e. σ(Hi) =Hi para todo σ∈Aut(G), la serie en este caso será una serie
característica.
Una serie subnormal de G se llamará una serie de composición de G
cuando los cocientes Hi/Hi−1 son simples para todo i∈ {1, . . . , n}.
Una serie principal de Ges caracterizada también como una serie nor-mal
donde para todo i∈ {1, . . . , n},
Hi/Hi−1
es un subgrupo normal minimal de G/Hi−1, i.e. Hi es un subgrupo
normal minimal de G que contiene a Hi−1.
Los cocientesHi/Hi−1 son conocidos como los factores de composición
en una serie de composición, y factores principales en una serie principal. Teorema 3.19 (Teorema A.3.1, [2], p. 8). Todo grupo G posee una serie de composición(III).
Teorema de Jordan-Hölder, ([Teorema A.3.2, [2], p. 8. )] SeaGun grupo, y sean
1 = H0 E· · ·EHr =G,
1 =K0 E· · ·EKs=G
dos series de composición paraG. Entoncesr=sy existe una permutación
π ∈Sr tal que para i= 1, . . . , r,
Hi/Hi−1 ∼=Kπ(i)/Kπ(i)−1.
El teorema también se satisface para series principales y característi-cas(IV).
Así como el centro de un grupo, el conmutador es una herramienta muy útil. En particular, nos sirve para determinar si un grupo es abeliano (Si el conmutador es trivial), si un grupo es nilpotente (Si la serie central descendente termina en 1) y si un grupo es soluble (Si la serie derivada termina en 1). También será usado para demostrar que todo subgrupo normal minimal de un grupo soluble es abeliano.
(III)Nota: La proposición es cierta bajo las condiciones de que todos los grupos
consi-derados son finitos. En general no es cierta, pero es cierta si Gsatisface las condiciones maximal y minimal, e.g. Toda familia no vacía de subgrupos posee un elemento maximal y uno minimal.
(IV)Nota: De hecho, la demostración en [2], es realizada de manera muy general
introdu-ciendo la teoría de losΩ−grupos, de modo que se cumple para, e.g.R−módulos, dondeR
Definición 3.20 (Definiciones A.7.1, [2], p. 22). Sea G un grupo. Para todo
g, h∈G, se define el conmutador
[g, h] =ghg−1h−1.
Si H, K ⊆G, se define el conmutador
[H, K] ={hkh−1k−1}.
Además, se definen los subgrupos derivados de G como
G0 =G(1) = [G, G], G(n) = G(n−1)0, i >1.
La cadena definida como
GDG0 DG(2) D· · ·
es conocida como la serie derivada de G. Si se define K1(G) =G, y
Ki(G) = [Ki−1(G), G]
para i >1, la cadena
G=K1(G)DK2(G)D· · ·
es conocida como la serie central descendente de G.
Los siguientes resultados son análogos a la existencia de series de com-posición. También muestran una equivalencia entre dos definiciones de factor principal.
Lema 3.21. Sea G un grupo. Entonces G posee un subgrupo normal mi-nimal.
Demostración. Si G es simple, entonces G es normal minimal. Si G no es simple, entonces existe 1< N1/ G. Si N1 es normal minimal, el problema
está resuelto. Si no, existe 1 < N2/ G con N2 < N1. Si N2 es minimal, el
problema está resuelto. Si no, se repite el proceso tantas veces como sea necesario.
El único modo de terminar el proceso en un pasok es siNk es minimal.
Pero como G es finito, G posee un número finito de subgrupos y por lo tanto el proceso debe terminar.
Teorema 3.22. Todo grupo tiene una serie principal.
Demostración. Se procede por inducción sobre el orden de G. Si |G|= 1
se cumple trivialmente. Ahora, supóngase que |G|>1 y que para todo G∗
con |G∗|<|G|, G∗ tiene una serie principal.
SeaN1 un subgrupo normal minimal deG. SiN1 =Gentonces1EGes
una serie principal de G. Si no, entonces se considera el grupoG∗ =G/N1.
Como |G∗| < |G|, |G∗| posee una serie principal, que por el Teorema de
Correspondencia tiene la forma:
1EN2/N1 E· · ·ENr/N1 =G/N1
donde N2,· · · , Nr =GEG. Se demostrará que
1EN1 E· · ·ENr =G
es una serie principal de G. Hay que demostrar que (∀i∈ {1, . . . , r−1}),
Ni+1/Ni es normal minimal en G/Ni. Pero
(G/N1)/(Ni/N1)∼=G/Ni.
Aplicando el Teorema de Correspondencia, hay un isomorfismo τ de re-tículo entre los rere-tículos de subgrupos correspondientes tal que
τ((Ni+1/N1)/(Ni/N1)) =Ni+1/Ni.
Pero (Ni+1/N1)/(Ni/N1) es normal minimal en (G/N1)/(Ni/N1), así que
Ni+1/Ni es normal minimal en G/Ni. Así, efectivamente, Gposee una serie
principal.
Corolario 3.23. Sea G un grupo y N cualquier subgrupo normal minimal de G. Entonces G posee una serie principal 1 E N1 E · · · E Nr =G con
N1 =N.
El siguiente corolario nos permite caracterizar los factores principales de G.
Corolario 3.24. Sea G un grupo, V E G y U tal que U/V es normal minimal en G/V. Entonces U/V es un factor principal de G.
Demostración. Como U/V es normal minimal en G/V, se toma una serie principal deG/V que contenga aU/V. Además,V posee una serie principal, así que como en el lema anterior, se construye una serie principal de G
que contiene a U/V como uno de sus factores (V).
(V)Nota: Por el Teorema de Jordan-Hölder se tiene entonces que cualquier serie principal
3.4. Grupos Nilpotentes
Definición 3.25 (Definición A.8.1, [2], p. 25). SeaG un grupo.
(a) El grupo G es se dice que es nilpotente de clase n=nG si y solo si
G= 1 (En este caso n= 0), o para n >0, la serie central descendente de G satisface Kn(G) 6= 1, y Kn+1(G) = 1. Se denota Nn como la
clase de los grupos nilpotentes de clase a lo más n, y
N=
∞
[
n=0
Nn.
(b) Se define recursivamente:
Z0(G) = 1, Z1(G) =Z(G), Zn(G) =π−1(Z(G/Zn−1(G)))
dondeπ :G→G/Zn−1(G)es la proyección canónica. Cada subgrupo
Zi(G) es característico en G y
[Zn(G), G]≤Zn−1(G).
Esta cadena es conocida como la serie central ascendente de G. Se define el hipercentro de G como
Z∞= ∞
[
i=0
Zi(G).
La serie central ascendente permite demostrar si un grupo es nilpoten-te. Es en cierto sentido dual a la serie central descendennilpoten-te. Hay definiciones alternas de grupo nilpotente. Por ejemplo, aquella dada en [6].
Definición 3.26 (Definiciones 10.1, [6], p. 149). Un grupo G es nilpotente si posee una serie normal
1 = H0 EH1 E· · ·EHn =G
tal que
Hi/Hi−1 ≤Z(G/Hi−1)
Ejemplo 3.27. Todo grupo abeliano es nilpotente. En efecto, si A es un grupo abeliano, se considera la serie normal
1EA.
Es inmediato que A/1≤Z(A/1).
Ahora siguen unos cuantos teoremas que sirven para construir nuevos grupos nilpotentes, y para caracterizarlos.
Teorema 3.28 (Teorema A.8.2, [2], p. 26). Sean G, H grupos.
(a) Sea K ≤ G y N E G. Si G es nilpotente entonces K y G/N son nilpotentes. Además, nK ≤nG y nG/N ≤nG.
(b) Si G, H son nilpotentes, entonces G× H es nilpotente y nG×H =
m´ax{nG, nH}.
(c) Si M, N E G y G/M, G/N son nilpotentes, entonces G/(M ∩N) es nilpotente y nG/(M∩N) = m´ax{nG/M, nG/N}. En particular, todo grupo
G posee un subgrupo normal mínimo con grupo cociente nilpotente (Conocido como el residual nilpotente de G y denotado por GN).
Teorema 3.29 (Teorema A.8.3, [2], p. 26). Sea G un grupo. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.
(a) G es nilpotente de clase nG.
(b) ZnG−1(G)< ZnG(G) =G.
(c) Si U < G entonces U < NG(U).
(d) Todo subgrupo maximal de G es normal.
(e) G es el producto directo de sus subgrupos de Sylow.
(f) Si H/K es un factor principal de G, entonces H/K ≤Z(G/K). (g) Si K ≤G, entonces existe una serie subnormal:
K =K0 EK1 E· · ·EKr =G
(h) Todos los subgrupos de G son subnormales.
Ahora, siguen dos definiciones fundamentales para la demostración de Isaacs y Robinson.
Definición 3.30 (Teorema A.8.5, [2], p. 28). Sea p un primo y G un gru-po. Sean P = {N | N E G, N es un p−grupo} y P0 = {N | N E G, G/N es un p−grupo}
(a) El subgrupo característico Op(G) es definido como:
Op(G) =hN |N ∈Pi.
Op(G) es el subgrupo normal más grande de G que es un p−grupo.
(b) Dualmente, se define
Op(G) = \
N∈P0
N
Se define de manera equivalente, para un conjunto Π de primos, los subgrupos OΠ, OΠ. Además, si Π0 es otro conjunto de primos, se definen
los subgrupos característicos OΠ,Π0(G) = OΠ0(G/OΠ(G)) y OΠ,Π 0
(G) =
OΠ0(OΠ(G)).
Los subgrupos así definidos son efectivamente característicos. Si σ ∈
Aut(G), entonces σ(OΠ(G)) = σ(hN | N ∈ Pi) = hσ(N) | N ∈ Pi =
OΠ(G), ya que bajo σ, la imagen de un Π−subgrupo normal de G es
también un Π−subgrupo normal deG, y además esta correspondencia es uno a uno (Ya que σ es un automorfismo).
Del mismo modo, si N E G y G/N es un Π−grupo, entonces |G :
σ(N)|=|G:N| y σ(N)EG así que σ(OΠ(G)) =OΠ(G).
Además,OΠ,Π0(G)es elOΠde un grupo: es característico. Y OΠ,Π 0
(G)es un subgrupo característico de un subgrupo característico: Es igualmente característico.
El siguiente lema caracteriza, los subgruposOp(G), Op(G), para un
pri-mo p.
Lema 3.31 (Lema A.8.6, [2], p. 28). Sea G un grupo y p un primo.
(a) Si K es un p−subgrupo subnormal de G, entonces K ≤ Op(G), i.e.
(b) Si p es un primo, entonces Op(G) = hP | P ∈ Syl
p(G)i = P[P, G],
para cualquier P ∈SylP(G) (VI).
El subgrupo de Fitting(VII) también es absolutamente necesario para la demostración de Isaacs y Robinson.
Definición 3.32 (Definición A.8.7, [2], p. 29). El subgrupo de Fitting F(G)
de un grupo G se define como sigue:
F(G) =hOp(G)|p| |G|i,
i.e.
F(G) = Y
p||G|
Op(G).
Observación:Op(G)∈Sylp(F(G))para cada p| |G|. Así queF(G)es el
producto directo de sus subgrupos de Sylow y por lo tanto nilpotente. Teorema 3.33 (Teorema A.8.8, [2], p. 29). Sea G un grupo.
(a) F(G) =hS |S es subnormal en G y nilpotentei.
(b) Si S1, . . . , Sn son subgrupos subnormales nilpotentes de G, entonces
hS1, . . . , Sni también lo es.
(c) Si N1, N2 son subgrupos normales nilpotentes de G con G = N1N2
entonces G es nilpotente.
Ejemplo 3.34. Sea G = S4. Dado que |S4| = 24 = 8 ·3, los subgrupos
O2(G), O3(G) están dados por
O2(G) = {1,(1,3)(2,4),(1,4)(2,3),(1,2)(3,4)} ∼=K4, O3(G) = 1,
donde K4 = {1, a, b, c} donde a2 = 1, b2 = 1, ab = ba= c. El subgrupo de
Fitting es
F(G) =O2(G)O3(G) =O2(G)∼=K4(VIII).
Corolario 3.35. Si G es un grupo, entonces Z(G)≤F(G).
Demostración. Es casi inmediato. Z(G) es normal y nilpotente por ser
abeliano.
(VI)Nota: En el lema, (a) se cumple reemplazandoppor un conjunto de primosΠ. (VII)Nota: Nombre en honor a Hans Fitting
(VIII)Nota: Con K
3.5. Grupos Solubles
Definición 3.36 (Definición A.10.1, [2], p. 34). SeaΠ un conjunto de primos. Se dice que un grupo G es Π−soluble si:
S1: Todo factor principal de G es un Π−grupo o un Πc−grupo. S2: Los factores principales de G son abelianos.
Si un grupo satisface S1, se dice que es Π−separable.
Un grupo es soluble si es Π−soluble para Π =P, i.e. si satisface S2. De la definición se sigue que un grupo soluble tiene un subgrupo normal minimal abeliano (Si 1 = H0 E H1 E· · · E Hr =G es una serie principal,
entonces H1/H0 ∼=H1 es un subgrupo normal minimal de G/H0 ∼=G y es
abeliano).
Una definición equivalente, dada en [6], es la siguiente.
Definición 3.37 (Definición 9.25, [6], p. 140). Sea G un grupo. Se dice que
G es soluble si existe una serie normal
1 = H0 EH1 E· · ·EHn =G
tal que para todo i∈ {1, . . . , n}, Hi/Hi−1 es abeliano.
Teorema 3.38 (Teorema A.10.2, [2], p. 34). Sean G un grupo, H ≤ G y
N, N1, N2 EG.
(a) Si G es Π−soluble, entonces H y G/N son Π−solubles. (b) Si N y G/N son Π−solubles, G es Π−soluble.
(c) Si G/N1, G/N2 son Π−solubles, entonces G/(N1∩N2)es Π−soluble.
(d) Si N2, N2 son Π−solubles, entonces N1N2 es Π−soluble.
Teorema 3.39(Teorema A.10.3, [2], p. 35). Las siguientes proposiciones son equivalentes.
(a) G es soluble.
(b) G(n)= 1 para algúnn∈
N. El númeron es conocido como la longitud
(c) Los factores de composición de G tienen orden primo.
El siguiente teorema dice que los grupos nilpotentes son también su-persolubles (La definición de grupo supersoluble se dará en el capítulo correspondiente).
Teorema 3.40. Sea G un grupo nilpotente. Entonces G posee una serie normal
1 =H0 EH1 E· · ·EHr =G
donde Hi/Hi−1 es cíclico para todo i∈ {1, . . . , r}.
Demostración. La demostración se realiza por inducción sobre |G|. Para
|G| = 1 el resultado es inmediato. Suponemos que todo grupo con orden menor a |G| tiene tal serie normal, y notamos que como G es nilpo-tente, G posee un centro no trivial, y Z(G), G/Z(G) también son nilpo-tentes. Aplicando hipótesis de inducción, construimos series normales de
Z(G), G/Z(G) dadas por
1 = Z0 EZ1 E· · ·EZt =Z(G)
y
Z(G)/Z(G) = G0/Z(G)EG1/Z(G)E· · ·EGs/Z(G) =G/Z(G)
con factores correspondientes cíclicos, donde, por el teorema de corres-pondencia,
Z(G) = G0 EG1 E· · ·EGs =G
es una serie normal de G desde Z(G) con cocientes cíclicos, y por ser central,
1 = Z0 EZ1 E· · ·EZt =Z(G)
es de hecho una serie normal de G hasta Z(G), con cocientes cíclicos. Es claro entonces que la serie
1 =Z0 EZ1 E· · ·EZt=G0 EG1 E· · ·EGs=G,
3.6. Teorema de Schur-Zassenhaus
Este Teorema se usará para demostrar la equivalencia entre dos defini-ciones de Torres de Sylow. Es tomado de [2], y la demostración se puede encontrar en [9].
Teorema 3.41 (Teorema de Schur-Zassenhaus (Teorema A.11.3, [2], p. 38)). Sea G un grupo y N E G, tal que (|N|,|G : N|) = 1. Entonces N es complementado en G (i.e. existe H ≤G tal que H∩N = 1 y N H =G), y si N o G/N es soluble, entonces todos los complementos a N en G son conjugados en G.
Como comentario, bajo las hipótesis del teorema, alguno entre N y
G/N es de orden impar y por el Teorema de Feit-Thompson, soluble: La hipótesis de solubilidad puede ser removida. Además, el Teorema implica, en particular, que G∼=N oG/N.
3.7. Torres de Sylow
Esta sección es fundamental para analizar la demostración de Isaacs y Robinson. El concepto de Torre de Sylow en la literatura en inglés o español es relativamente escaso. Isaacs y Robinson definen un grupo con Torre de Sylow como un grupo en el que todo cociente posee un subgrupo de Sylow normal. La definición más razonable incluye una serie normal donde los cocientes son isomorfos a subgrupos de Sylow, ya sea del grupo (Ver [15]), o de un cociente en particular (Ver [10]). Se trabajará con una de estas definiciones, pero ya que es necesario, se demostrará la equivalencia con la definición usada en [12]. A falta de referencias, las demostraciones de la sección están totalmente demostradas.
Definición 3.42 ([15], p. 577). Sea G un grupo. Se dice que G tiene una torre de Sylow si existe una serie normal
1 =P0 E· · ·EPr =G
tal que para todo p| |G| existe un único k ∈ {1, . . . , r} tal que
Pk/Pk−1
El siguiente lema hace el papel de complementar el Teorema de Co-rrespondencia.
Lema 3.43. SeaGun grupo y N EG. Sea P ∈Sylp(G), para algúnp| |G|. Entonces P N/N ∈Sylp(G/N).
Demostración. Como, por Segundo Teorema de Isomorfismo, P N/N ∼=
P/(P ∩N), se tiene que P N/N es un p−grupo. Además, por el Tercer Teorema de Isomorfismo(IX) (Ver Lema 3.44), y como P ∈Syl
p(G),
p-|G:P N|=|(G/N)/(P N/N)|=|G/N :P N/N|,
así que efectivamente, P N/N ∈Sylp(G/N).
El siguiente lema es de hecho una formulación del Tercer Teorema de Isomorfismo. En general no se usará la información sobre el kernel. Ver [3] para otra formulación del Teorema.
Lema 3.44(Tercer Teorema de Isomorfismo). SeaGun grupo, yH, K EG
con H ≤K. Entonces la función
π :G/H →G/K gH 7→gK
es un epimorfismo cuyo kernel es K/H.
Demostración. Sean g, g0 ∈G con gH =g0H. Entonces g−1g0 ∈H ≤K, así
que gK =g0K, así que π está bien definida. Ahora,
π((gH)(g0H)) = π(gg0H) = gg0K = (gK)(g0K) = π(gH)π(gK).
Además, si gK ∈G/K, entonces g ∈G, gH ∈G/H y π(gH) =gK, así que
π es un epimorfismo.
Por último, se demuestra quekerπ =K/H. En efecto, sik ∈K, enton-ces π(kH) =kK = 1 así que K/H ≤kerπ. Ahora, si se supone que g ∈G
y π(gH) =gK = 1, se tiene que g ∈K, i.e. gH ∈K/H, así, kerπ =K/H,
como se deseaba.
(IX)Nota: Se recuerda que el isomorfismo del Tercer Teorema de Isomorfismo sigue siendo
Y lo que sigue es el teorema más importante de la sección. La equiva-lencia entre definiciones de Torres de Sylow.
Teorema 3.45. Un grupo G tiene una Torre de Sylow si y solo si para todo N / G, G/N tiene un subgrupo de Sylow normal.
Demostración. Supóngase queG tiene una torre de Sylow y seaN / G. Si
N = 1, entonces G/N ∼= G tiene un subgrupo de Sylow normal, e.g. P1.
Así que se supone que 1 < N < G. Sea k ∈ {1, . . . , r} el menor entero tal que Pk/Pk−1 ∼= P donde P es un subgrupo de Sylow de G tal que
Pk N. Entonces, se conoce que Pk/Pk−1 es isomorfo a un subgrupo de
Sylow de G. Pero entonces Pk/Pk−1 es un subgrupo de Sylow de G/Pk−1
(Y en realidad, de cualquier subgrupo o cociente de G que lo contenga). Sea π : G/Pk−1 → G/N el epimorfismo descrito por el Tercer Teorema
de Isomorfismo. Entonces π(Pk/Pk−1) es un subgrupo de Sylow de G/N.
Además, por el Teorema de Correspondencia, es normal en G/N. Así, G/N
posee un subgrupo de Sylow normal.
Para el recíproco, se supone que todo cociente de Gtiene un subgrupo de Sylow normal no trivial. En particular, G tiene un subgrupo de Sylow normal no trivial, dígase P1. Pero entonces G/P1 tiene un subgrupo de
Sylow normal no trivial, llamado P2/P1. Se observa que entonces, por ser
(|G: P1|,|P1|) = 1, que G∼= P1oG/P1 (Teorema de Schur-Zassenhaus), y
además, 1×P2/P1 es un subgrupo de Sylow normal no trivial de 1×G/P1
y nuevamente, por ser (|G : P1|,|P1|) = 1, 1× P2/P1 es de hecho un
subgrupo de Sylow de P1oG/P1 ∼= G. Entonces P2/P1 es isomorfo a un
subgrupo de Sylow de G(Distinto de P1). Repitiendo el proceso hasta que
quede solo un subgrupo de Sylow de G, se han construido construido subgrupos normales
1≤P1 ≤ · · · ≤Pr−1 ≤G.
Pero G/Pr−1 es un p−grupo para algún primo p, así que G/Pr−1 es
su propio p−subgrupo de Sylow normal no trivial. Así, por el mismo razonamiento anterior, G ∼= Pr−1 oG/Pr−1 y G/Pr−1 es isomorfo a un
p−subgrupo de Sylow de G.
Lo que sigue va encaminado a demostrar que los grupos con Torre de Sylow son de hecho solubles.
Lema 3.47. Sea P un p−grupo, para un primo p. Entonces Z(P)6= 1.
Demostración. Por la Ecuación de Clase, si T es un conjunto de represen-tantes de las clases de conjugación de G (Exceptuando los elementos de
Z(G)),
|G|=|Z(G)|+X
g∈T
|G:CG(g)|.
Como, dado g /∈Z(G), |G:CG(g)|> 1 y p| |G :CG(g)|, y además p| |G|,
se tiene p| |Z(G)| y por lo tanto Z(G)6= 1.
Lema 3.48. Sea P un p−grupo, para un primo p. Entonces G es soluble.
Demostración. Se realiza por inducción sobre |G|. Por el Lema 3.47, se tiene 1 < |Z(G)|,|G/Z(G)| < |G|. Se aplica la hipótesis de inducción:
Z(G), G/Z(G) son solubles. Así, G es soluble.
Se tiene un resultado interesante como corolario del Teorema 3.45. Corolario 3.49. Sea G un grupo con una Torre de Sylow. Entonces G es soluble.
Demostración. Se realiza por inducción sobre|G|. ComoGposee una Torre de Sylow, G posee un subgrupo de Sylow normal P. Como P es un
p−grupo para algún primo p, P es soluble. Y como G/P posee también una Torre de Sylow, por hipótesis de inducción G/P es soluble. Entonces
G es soluble.
Ejemplo 3.50 (Grupo sin Torre de Sylow). Se consideran los subgrupos normales del grupo S4, i.e. 1, K4, A4, S4.
1
K4
A4
Así, las únicas series normales de S4 son:
1ES4
1EK4 ES4
1EA4 ES4
1EK4 EA4 ES4
las cuales tienen, respectivamente, cocientes
S4/1∼=S4
S4/K4 ∼=S3, K4/1∼=K4
S4/A4 ∼=C2, A4/1∼=A4
S4/A4 ∼=C2, A4/K4 ∼=C3, K4/1∼=K4.
Todas las series anteriores, excepto la última, tienen cocientes que no son
p−grupos. La última sí los contiene, pero ninguno de los cocientes tiene orden8, el orden de los 2−subgrupos de Sylow deS4. Así que S4 no tiene
Torres de Sylow.
3.8. Grupos Supersolubles
Con toda la teoría previa, estamos listos para presentar los grupos su-persolubles. La sección se dedica a presentar el concepto, y a demostrar una proposición fundamental para la demostración del Teorema A, que to-do grupo supersoluble tiene una Torre de Sylow. La parte esencial de esta demostración, que todo grupo supersoluble posee un subgrupo de sylow normal no trivial, y que los subgrupos y cocientes de un grupo superso-luble también lo son, está propuesta en [11] como parte de los ejercicios 3B.7. y 3B.8. La demostración de lo primero se realiza por inducción, y la demostración de lo segundo se realiza verbatim(X) como para grupos so-lubles (Reemplazando la palabra abeliano por cíclico), como se sugiere en las proposiciones 8.1.3 y 8.1.4 de [1]; se realizará la demostración en cual-quier caso, ya que no cualcual-quier demostración de la propiedad para grupos
solubles funciona para grupos supersolubles. El recíproco no es cierto. Se demostrará que A4 no es supersoluble, y sin embargoK4 EA4 sí lo es, y
A4/K4 también.
Definición 3.51 (Definiciones 10.1, [6], p. 149). Sea Gun grupo. Se dice que
G es supersoluble, si existe una serie normal
1 =H0 EH1 E· · ·EHr =G
tal que para todo i∈ {1, . . . , r}, Hi/Hi−1 es cíclico.
Nótese que la diferencia entre las definiciones de supersolubilidad y solubilidad es solamente que los cocientes tienen que ser, no solo abelianos, sino cíclicos.
Ejemplo 3.52. Cualquier grupo abeliano es supersoluble.
Ejemplo 3.53. El grupoA4 ∼=K4oC3 ∼= (C2×C2)oC3 no es supersoluble
(C3 es el grupo cíclico de 3 elementos, e.g. {1, α, α2}). Pero es soluble.
1
hbi
hai hci
hα1i hα2i hα3i hα4i
K4
A4
En efecto,A4 tiene un solo subgrupo normal no trivial, (isomorfo a)K4,
así que la única serie normal de G, es
1EK4 EA4
y los cocientes satisfacen
A4/K4 ∼=C3, K4/1∼=K4.
Como K4 no es cíclico, A4 no puede ser supersoluble. Sin embargo, como
tanto K4 como C3 son abelianos, A4 es soluble (XI). (XI)Nota: A
Lema 3.54. Los subgrupos y cocientes de un grupo supersoluble son su-persolubles.
Demostración. Sea G un grupo supersoluble. Sea K ≤G y
1 =H0 EH1 E· · ·EHr =G
una serie normal para G con factores cíclicos. Se considera la serie:
1 =K0 EK1 =H1∩K ≤ · · · ≤Kr−1 =Hr−1∩K ≤Kr =K.
Esta serie es normal en K: como para todo i∈ 0, . . . , r, Hi EG entonces
Hi ∩K E K. Además los cocientes son cíclicos. En efecto, para cada i ∈
{1, . . . , r}, se observa que Ki−1 =K∩Hi−1 =K∩Hi∩Hi−1 =Ki∩Hi−1.
Y ahora, usando el Segundo Teorema de Isomorfismo,
Ki/Ki−1 =Ki/(Hi−1∩K) =Ki/(Ki∩Hi−1)∼=KiHi−1/Hi−1 ≤Hi/Hi−1,
y como Hi/Hi−1 es cíclico, entonces Ki/Ki−1 también lo es. Así, K es
supersoluble.
Ahora, sea N EG. Se considera la serie
N/N =N0 ≤N1 =H1N/N ≤ · · · ≤Nr−1 =Hr−1N/N ≤Nr =G/N.
Esta serie es normal. En efecto, para todo i ∈ {0, . . . , n}, como Hi EG y
N EG, HiN E G y por el Teorema de Correspondencia HiN/N EG/N.
Además, la función
φi :Hi/Hi−1 →(HiN/N)/(Hi−1N/N)
dada por hHi−1 7→ (hN)(Hi−1N/N)es un epimorfismo. En efecto, sean
h, h0 ∈ Hi; Si hHi−1 = h0Hi−1 entonces h−1h0 ∈ Hi−1 ≤ Hi−1N.
Enton-ces h−1h0N ∈(H
i−1N/N), así, hN(Hi−1N/N) =h0N(Hi−1N/N). Luego, se
observa que
φi((hh0)Hi−1) = (hh0N)(Hi−1N/N)
= (hN)(Hi−1N/N)(h0N)(Hi−1N/N)
=φi(hHi−1)φi(h0Hi−1)
y si (gN)(Hi−1N/N)∈(HiN/N)/(Hi−1N/N), entonces existen h∈Hi, n∈
N tal que gN =hnN =hN, yφi(hHi−1) = (gN)(Hi−1N/N).
Así, comoφi es sobre, y su dominio es cíclico, su rango también. Y por
Lema 3.55. Sea G un grupo supersoluble. Entonces existe q | |G| tal que
G posee un subgrupo normal minimal de orden q.
Demostración. Sea
1 =H0 EH1 E· · ·EHr =G
una serie normal deGcon factores cíclicos. En particular,H :=H1es cíclico
y normal. Sea q un primo con q | |H|. Entonces H tiene exactamente un subgrupo característico de ordenq, sea ésteN. ComoH EGyNcarH, se tiene N EG. Y comoN es cíclico de orden primo,N no tiene subgrupos propios no triviales, y por lo tanto es normal minimal en G.
Teorema 3.56. Sea G un grupo supersoluble. Entonces G posee un sub-grupo de Sylow normal no trivial.
Demostración. La demostración se realiza por inducción sobre el orden de
G. Para |G|= 1 el resultado es trivial. Ahora se supone que |G|=n y que todo grupo de orden menor que n tiene un r−subgrupo de Sylow, donde
r es el mayor primo que divide su orden.
Seap el mayor primo tal que p| |G|. A continuación se demuestra que
G tiene un p−subgrupo de Sylow normal. Sea N un subgrupo normal minimal de G de orden primo q. Sea P ∈ Sylp(G). Supóngase primero que p = q, si N ∈ Sylp(G), el resultado se sigue. Si no, entonces p es el mayor primo tal quep| |G:N|. Por hipótesis de inducción,G/N posee un
p−subgrupo de Sylow normal, dígase,R/N. Pero entonces, por el Teorema de Correspondencia, P/N =R/N, P =R y P EG. Ahora se supone que
p 6=q. Entonces, todavía se cumple que p es el máximo primo que divide
|G :N|. Por hipótesis de inducción G/N posee un p−subgrupo de Sylow normal, dígase, R/N. Entonces R/N = N P/N así que R = N P E G. Además, N ∩P = 1 ya que (|N|,|P|) = 1. Así, R ∼=N oP. Pero |AutN|=
q−1< p, así que |Hom(P,AutN)|= 1. Así, R∼=N×P. Pero P ∈Sylp(R),
así que P carR, y por lo tanto P EG.
Corolario 3.57. Todo grupo supersoluble tiene una torre de Sylow.
Demostración. Se sigue de que todo cociente de un grupo supersoluble es supersoluble y todo grupo supersoluble tiene un subgrupo de Sylow
Ejemplo 3.58 (No todo grupo que tiene una Torre de Sylow es superso-luble). Sea G=A4. Como en el ejemplo 3.53, A4 tiene una serie normal
1EK4 EA4
con cocientes
A4/K4 ∼=C3, K4/1∼=K4.
Y en este caso, A4/K4 es el único cociente isomorfo a un 3−subgrupo de
Sylow de G (e.g. hα1i), y K4/1 a un 2−subgrupo de Sylow de G (K4).
Entonces A4 tiene una Torre de Sylow.
3.9. Simplicidad de
A
5Debido a que se usa en el contraejemplo, en esta sección se estudiará la simplicidad del grupo A5. Se empieza por algunos lemas.
Lema 3.59(Ejemplo, [3], p. 143). Un grupoGde orden15tiene un subgrupo normal, y por lo tanto característico de orden 5.
Demostración. Se tiene que15 = 5·3. Entonces, por el Tercer Teorema de Sylow, n5 | 3 y n5 ≡ 1 m´od 5, así que n5 = 1 y por el Segundo Teorema
de Sylow, G posee un 5−subgrupo de Sylow normal.
Lema 3.60(Ejemplo, [3], p. 143). Todo grupo de orden 30 tiene un5−subgrupo de Sylow normal (Y por lo tanto característico).
Demostración. Se tiene 30 = 2·3· 5. Por el Tercer Teorema de Sylow,
n3 | 10 y n3 ≡ 1 m´od 3, y además, n5 | 6 y n5 ≡ 1 m´od 5. Supóngase
que G no posee subgrupos normales de orden 3 ni 5. Entonces n5 = 6 y
n3 = 10. Así, G posee 2·10 + 4·6 + 1 = 45 elementos distintos, lo cual es
imposible. Así, G posee un subgrupo normal de orden 3 o uno de orden
5, y por lo tanto G posee un subgrupo H de orden 15 que es normal (Ya que |G : H| = 2). Como H posee un subgrupo característico P de orden
5, entonces P EG.
Demostración. Sea G un grupo de orden 12. Entonces n3 | 4 y n3 ≡ 1
m´od 3, así, n3 ∈ {1,4}. Del mismo modo, n2 ∈ {1,3}. Si n3 = 1 o n2 =
1 se ha terminado, y éste es el caso. En efecto, si se supone que no, entonces n3 = 4, n2 = 3, i.e. se tendrían 4 subgrupos de orden 3, lo que
nos da 8 elementos distintos, de orden 3, distintos del idéntico. Solo queda espacio para un subgrupo de orden 4: Dos subgrupos dejarían al menos
14 elementos en el grupo, algo imposible.
Lema 3.62. Todo grupo de orden 20 posee un subgrupo característico de orden 5.
Demostración. Si G es un grupo con |G| = 20 = 5·4, entonces n5 | 4 y
n5 ≡1 m´od 5, así que n5 = 1. Se sigue el resultado.
Lema 3.63 (Proposición 4.21, [3], p. 145). Sea G con |G|= 60 y supóngase que n5 >1. Entonces G es simple.
Demostración. Supóngase que G no es simple y sea 1 < N / G. Sea P ∈
Syl5(G). Entonces por el Tercer Teorema de Sylow,n5 |12yn5 ≡1 m´od 5.
Así, n5 = 6. Además, por el segundo, todos los 6 5−subgrupos de Sylow
de G son conjugados. El problema se divide en dos casos. 1. 5| |G|.
2. 5-|G|.
En el primer caso, como N / G, (∀Q ∈ Syl5(G)), Q ≤ N. En particular,
|N| >6∗(|P| −1) + 1 = 25, y por lo tanto |N|= 30. Pero N contiene los 6 subgrupos de orden 5 de G, de los cuales uno es normal, lo cual, por el Segundo Teorema de Sylow es imposible. Así, este caso es en realidad imposible.
En el segundo caso, si 5 - |G|, Entonces |N| = 3, |N| = 6 o |N| = 12. Si |N|= 3,6 entonces N tiene un subgrupo característico de orden 3 (En el caso que N ∼= C3, S3, C6). Si N tiene orden 12 entonces N posee un
subgrupo característico de orden 3 o 4. De esto se sigue que G posee un subgrupo normal P de orden 3 o 4. Para demostrar que G es simple, se calcula el orden del cociente G = G/P. Entonces |G| ∈ {15,20}. En cada uno de los casos, G posee un 5−subgrupo de Sylow normal, llamémoslo
K. Así por el Teorema de Correspondencia, G posee un subgrupo normal
N0 =π−1(K) con 5| |N0| lo que contradice el primer caso.
Proposición 3.64(Simplicidad de A5, (Corolario 4.22, [3], p. 145)). El grupo
A5 es simple.
Demostración. A5 no posee al menos dos subgrupos distintos de orden 5.
En efecto, h1,2,3,4,5i,h1,3,2,4,5ison dos subgrupos distintos de orden 5.
Así, A5 es simple.
3.10. Subgrupos de Hall
Los subgrupos de Hall generalizan a los subgrupos de Sylow.
Definición 3.65 ([11], p. 86). SeaGun grupo yΠ un conjunto de primos. Un
Π−subgrupo H de G es un Π−subgrupo de Hall de G, si satisface alguna de las siguientes propiedades equivalentes
(a) σ|G:H| ∩Π =∅.
(b) |G:H| es un Πc−número.
(c) (|H|,|G:H|) = 1.
Como se menciona en [11], Los dos primeros teoremas de Sylow también se generalizan; están demostrados en [11], donde además se propone hacer uso del Teorema de Schur-Zassenhaus, aunque en realidad no es necesario. Se demuestra el primero acá, como un buen ejercicio. La demostración del segundo se remite a [11].
Lema 3.66. El subgrupo G0 = [G, G] es característico en G.
Demostración. Sea σ∈Aut(G) y ghg−1h−1 ∈G0. Entonces
σ(ghg−1h−1) = σ(g)σ(h)σ(g)−1σ(h)−1 ∈G0,
así que, efectivamente, G0 es característico en G.
Lema 3.67. SeaGun grupo soluble yH EGun subgrupo normal minimal. Entonces H es abeliano.
Demostración. SeaH0 = [H, H]≤H. ComoH es soluble, la serie derivada de H termina en 1 y en particular, H0 < H. Como H0 es característico en
H y H E G, entonces H0 E G, de donde, por ser H normal minimal,
Lema 3.68. Sea G un grupo abeliano, y p | |G|. Entonces el conjunto
P ={g ∈G|gp = 1} es un subgrupo característico de G.
Demostración. Es inmediato que 1p = 1 ∈ P. Si g, h ∈ P, entonces gp =
hp = 1 y
(gh−1)p =gp(hp)−1 = 1,
así que gh−1 ∈ P, por lo tanto P ≤ G. Sea σ ∈ Aut(G), entonces, si
g ∈P, σ(g)p =σ(gp) =σ(1) = 1, de donde se sigue que σ(g)≤P, y como
σ ∈Aut(G), σ(P) =P. Asi, P carG.
Lema 3.69. SeaGun grupo soluble. EntoncesGtiene un subgrupo normal minimal, que además es abeliano y un p−grupo para algún primop| |G|.
Demostración. QueG tiene un subgrupo N normal minimal y abeliano se sigue de la definición de grupo soluble (XII). Por el Teorema de Cauchy se puede encontrar un elemento de orden p para algún primo p | |N| (Y de hecho, para cualquier primo p | |N|). Se considera el subgrupo P ={g ∈ N | gp = 1}carN, como en el lema 3.68. Entonces 1 < P E G, y por ser
N normal minimal, N =P: Todo elemento no trivial de N es de orden p,
y N es un p−grupo.
Corolario 3.70. SeaG un grupo soluble no trivial. Entonces F(G)>1.
Demostración. Sea p un primo tal que G posee un p−subgrupo normal minimal abeliano P. Entonces 1< P ≤Op(G)≤F(G).
Teorema 3.71 (Análogo al Teorema 3.14 (Teorema 3.13, [11], p. 86)). Sea G
un grupo soluble y Π ⊆σ(|G|) un conjunto de primos. Entonces G posee un Π−subgrupo de Hall.
Demostración. Se procede por inducción sobre |G| (Si |G| = 1 el resul-tado es trivial). Sean N un subgrupo normal minimal de G y H/N un
Π−subgrupo de Hall de G/N, donde N ≤H ≤G. Entonces |H :N| es un
Π−número y (Dado que|G:H|=|G/N :H/N|, (|H:N|,|G:H|) = 1. Sea
p de modo que N es un p−grupo. Si p ∈ Π, entonces |H| = |H : N||N|,
σ(|H|) ⊆ Π y (|H|,|G : H|) = 1. Si, por el contrario, p /∈ Π, entonces
(XII)Nota: El lema 3.67 se usa posteriormente, no acá, pero de hecho puede ser usado
(|N|,|H : N|) = 1 y se puede aplicar el Teorema de Schur-Zassenhaus: existe M ≤H tal que H ∼=N oM.
Así, |M|=|H :N| es un Π−número. Y
|G:M|=|G:H||H :M|=|G:H||N|.
Pero N es unp−grupo conp /∈Π, y |G:H| es unΠc−número. Así que
|G:M| es un Πc−número: M es un Π−subgrupo de Hall de G.
Teorema 3.72 (Análogo al Teorema 3.15 (Teorema 3.14, [11], p. 87)). Sea
G un grupo soluble, Π un conjunto de primos con Π ⊆ σ(|G|) y H, K
Π−subgrupos de Hall de G. Entonces H y K son conjugados.
Demostración. Ver [11]. La demostración se realiza de manera similar(XIII). Se toma un subgrupo normal minimalM deG, se aplica hipótesis de inducción en G/M, se usa el Teorema de Correspondencia para regresar la relación de conjugación sobre el grupo G, y por último se consideran los casos donde σ(|M|)⊆Π y σ(|M|)*Π. En el primer caso se deduce de manera inmediata que H y K son conjugados, y en el segundo caso, M es de hecho un p−subgrupo de Hall (de Sylow) normal, y se aplica el Teorema de Schur-Zassenhaus, para llegar al resultado.
La demostración del siguiente lema se realiza por inducción sobre |G|, como de costumbre.
Lema 3.73 ((Teorema I.3.3, (c), [2], p. 216)). Sean G un grupo soluble, Π un conjunto de primos que dividen a |G|y U un Π−subgrupo de G. Entonces
U está contenido en un Π−subgrupo de Hall de G.
3.11. Subgrupos Maximalmente Nilpotentes,
In-yectores Nilpotentes
En esta sección se da inicio a los temas necesarios para desarrollar el Teorema B. Las definiciones están dadas en [12], y los lemas son resultados sugeridos allí mismo.
(XIII)Nota: De hecho muchas demostraciones en Teoría de Grupos (Y de manera dual en
Definición 3.74. Sea G un grupo y H ≤ G un subgrupo nilpotente de
G. Se dice que H es maximalmente nilpotente en G si no existe ningún subgrupo nilpotente de G que lo contenga propiamente, i.e. si H es un elemento maximal de la familia de los subgrupos nilpotentes de G.
Definición 3.75. Sea G un grupo y H ≤G. Se dice que H es un inyector nilpotente de G si H es maximalmente nilpotente en G y F(G)≤H(XIV).
El siguiente lema determina algunas condiciones suficientes para que dos subgrupos de un grupo nilpotente conmuten.
Lema 3.76. Sea G un grupo nilpotente y H, K ≤ G con (|H|,|K|) = 1. Entonces H ≤CG(K) (Y viceversa).
Demostración. Sea Π el conjunto de los primos que dividen a |H|. Para cada p| |G|, sea Pp ∈Sylp(G). Entonces, como G es nilpotente,
G= Y
p||G|
Pp =
Y
p∈Π
Pp
!
Y
p /∈Π
Pp
∼= Y
p∈Π
Pp ! × Y
p /∈Π
Pp
.
Además,
H≤ Y
p∈Π
Pp
!
, K ≤
Y
p /∈Π
Pp
así que bajo este isomorfismo, H se identifica con H ×1 y K con 1×K, pero para todo h ∈ H, k ∈ K (h,1)(1, k) = (h, k) = (1, k)(h,1). Así, H, K
conmutan y en particular H ≤CG(K).
En [3] se deja como ejercicio demostrar, dado un grupo G, que si
G/Z(G) es nilpotente, entonces G es nilpotente. Esto se puede genera-lizar un poco sin ningún problema.
Lema 3.77. Sean G un grupo, N ≤ Z(G) tal que G/N es nilpotente. En-tonces G es nilpotente.
(XIV)Nota: De manera equivalente, un subgrupo maximalmente nilpotente es un inyector
Demostración. Se observa primero queN EG. En efecto, comoN ≤Z(G), si g ∈G, y n∈N, gng−1 =n ∈N. Ahora, sea
N/N =H0/N EH1/N E· · ·EHr/N =G/N
una serie normal de G/N, que satisface
(Hi/N)/(Hi−1/N)≤Z((G/N)/(Hi−1/N))
para todo i∈ {1, . . . , r}. Entonces, por el Teorema de Correspondencia, la serie
1≤H0 =N ≤H1 ≤ · · · ≤Hr =G
es en realidad una serie normal. Además, por el Tercer Teorema de Iso-morfismo, para todo i∈ {2, . . . , r} se satisface
Hi/Hi−1 ≤Z(G/Hi−1).
Y además, por hipótesis, N/1≤Z(G/1). Así, G es nilpotente.
Lema 3.78. Sea G un grupo y H EG. Entonces H∩F(G) = F(H).
Demostración. Como F(H) es nilpotente y normal en G (Ya que F(H) es característico en H E G), se tiene F(H) ≤ F(G), y por lo tanto F(H) ≤ F(G)∩H. De manera recíproca, F(G)∩H EG es nilpotente y normal en
H (Ya que F(G)∩H≤F(G)que es nilpotente), así que F(G)∩H≤F(H).
Así, se tiene la igualdad.
El siguiente lema es una de las innumerables extensiones del Teorema de Correspondencia.
Lema 3.79. Sea N ≤Z(G). Entonces F(G/N) =F(G)/N.
Demostración. Se recuerda que N ≤ Z(G) ≤ F(G). Sea H ≤ G tal que
H/N =F(G/N). Así, basta probar que H=F(G).
Primero, como F(G/N) = H/N es nilpotente, por el Lema 3.77, H es nilpotente y H≤F(G). De manera recíproca, comoF(G)/N es nilpotente, se tiene F(G)/N ≤ F(G/N) =H/N. Por el Teorema de Correspondencia se tiene entonces F(G) ≤ H. Así, efectivamente H = F(G) y F(G/N) =
F(G)/N.
Lema 3.80. Sea G un grupo soluble. Entonces CG(F(G))≤F(G).
Demostración. Nótese, ya que F(G)EG, que CG(F(G))EG(XV). Ahora, se
tiene queF(G)∩CG(F(G)) =F(CG(F(G))) ≤Z(CG(F(G))), por definición
de centralizador. Y además, por el lema anterior,
F (CG(F(G))/(F(G)∩CG(F(G)))) =F(CG(F(G)))/(F(G)∩CG(F(G))
=F(CG(F(G)))/F(CG(F(G)))
= 1
y así, el grupo M = CG(F(G))/(F(G)∩CG(F(G))) es soluble (Es un
co-ciente de un subgrupo de un grupo soluble) y posee un subgrupo de Fitting trivial. Por el corolario 3.70, se tiene que M = 1, i.e. F(G)∩CG(F(G)) =
CG(F(G)), o lo que es lo mismo, CG(F(G))≤F(G).
3.12. El Teorema
ZJ
de Glauberman
En esta sección se enuncia el teorema ZJ, y lo necesario para que se comprenda. Las definiciones están en [12]. La demostración de éste se puede encontrar en [5] o [4].
SeaGun grupo. Entonces, de todos los subgrupos abelianos de G, hay un orden máximo (Ya que el orden de todos los subgrupos abelianos de G
está acotado por |G|). Se considerará esto para la siguiente definición. Definición 3.81. SeaG un grupo yη el orden máximo para los subgrupos abelianos de G. Se define
A(G) = {A≤G|A es abeliano y |A|=η}.
Se define el subgrupo de Thompson de G J(G) = hA|A∈A(G)i.
Con esto se puede enunciar una versión del Teorema ZJ de Glauber-man.
Teorema 3.82(TeoremaZJ de Glauberman). SeaP ∈Sylp(G)dondep >2
y supóngase que un 2−subgrupo de Sylow de G es abeliano. Se supone además que Op(G)≥CG(Op(G)). Entonces Z(J(P)) carG.
(XV)Nota: En efecto, el lector debe recordar que siU
EG, yg∈G, c∈CG(U), u∈U, u0=
g−1ug ∈U, se tiene gcg−1ugc−1g−1 =gcu0c−1g−1 =gu0g−1 =gg−1ugg−1 =u, así que
Desarrollo
En este capítulo se estudia el contenido de [12]. Se parte del contra-ejemplo en su versión general, esto es, existe un grupo con dos subgrupos isomorfos, donde uno es maximal y el otro no.
4.1. Contraejemplo General
1
A5×1 1×A5
H A5× hσi
A5×A5
En [12] se propone un ejemplo donde la condición no se satisface, cuando
G no es soluble.
Ejemplo 4.1. SeaA5 el grupo alternante de permutaciones de 5 elementos.
Considérese G=A5×A5.
Sea H = {(u, u) | u ∈ A5} ∼= A5. Entonces H es maximal en G pero
A5 ×1 no.
Para la demostración se usa un lema.
Lema 4.2. Sea K un grupo simple y G = K ×K. Entonces la diagonal
H ={(k, k)|k∈K} es un subgrupo maximal.
Demostración. Para demostrar que H es maximal en G, se supone que existe J ≤G con H ≤J ≤G, y se demuestra que J =H o J =G.
SeaA=J∩(K×1). EntoncesA EK×1, y J ={(a, b)|(ab−1,1)∈A}. En efecto, para todo (a,1)∈A y (k,1)∈K×1,
(k,1)(a,1)(k,1)−1 = (k, k)(a,1)(k, k)−1 ∈J
ya que (a,1)∈J y (k, k)∈H ≤J. Además, como para todo b ∈K,(b, b)∈ H ≤ J, se tiene (a, b) ∈ J si y solo si (a, b)(b, b)−1 = (ab−1,1) ∈ J, lo que
a su vez sucede si y solo si (ab−1,1)∈ A. Así que en efecto, A EK×1 y
J ={(a, b)|(ab−1,1)∈A}.
ComoK×1es simple, entoncesA= 1 oA=K×1. SiA= 1, entonces
J ={(a, b)|(ab−1,1) = (1,1)}
={(a, b)|ab−1 = 1}
={(a, b)|a =b}=H.
Y si A=K×1, entonces
J ={(a, b)∈G|(ab−1,1)∈K ×1}=G
ya que G = K ×K (i.e. a, b ∈ K) y por lo tanto para todo (a, b) ∈ G,
ab−1 ∈K.
En cualquier caso se tiene J = H o J = G, y por lo tanto H es
maximal.
Demostración del Ejemplo. Para demostrar que H ∼= A5 basta con
consi-derar el isomorfismo ϕ :H →A5 dado por (u, u)7→u.
Es claro que A5×1 no es maximal en G: Si se toma una permutación
par σ, e.g. σ = (1,2,3), entonces A5 ×1< A5× hσi< G.
