Sobre las soluciones de una ecuación diferencial

Texto completo

(1)

XXIX

S

OBRE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

(2)

R ÉSUMÉ

(3)

SO

BR

E

LAS SOL

UCI

ONES DE

UNA

E

C

UACIÓN

DIFERENCIAL

i . E n esta b r eve n ot a exp on d r em os los r esu lt a d os ob t en id os p o r n o s ­

ot r os en el est u d io de u n t em a q u e n os fu é p r op u es t o co m o t r a b a jo de in ves t iga ción el a ñ o 19 2 6 p o r el d oct or J u lio R e y P a s t or , y q u e se r e­ fier en a las p r op ied a d es m á s ca r a ct er íst ica s de u n a cla se de fu n cion es , q u e se ob t ien en co m o s olu cion e s de la ecu a ción d ifer en cia l

sien d o n u n n ú m e r o en t er o y p os it ivo a r b it r a r io. E st a ecu a ció n p r esen t a in t er és p or el h ech o de d a r , p a r a va r ios va lor es de n , fu n cion e s clá s ica ­ m en t e con o cid a s y m u y u t iliza d a s en el An á lis is . As í p a r a n = 1 , se t ien e la fu n ción e xp o n e n cia l; p a r a /1 = 2, las fu n cion es h ip e r b ó lica s ; p a r a

(4)

CO N T R I B U C I Ó N A L E S T U D I O D E LAS C IE N C IA S F Í S IC A S Y M A T E M A T IC A S

En el caso n = I , este teor em a n os da un a p r op ied a d fu n d a m en t a l y m u y con ocid a de la fu n ción e x \ lo m ism o sucede para n = [ \ , con las

fu n cion es sen X1 eos

3. T eor em a I I .S i y0 = y 0( x ) es un a solu ción de ( i ) , y d efin im os las f u n cio n e s

tod as ella s son t a m bién solu cion es de ( i ) .

Su p on ga m os cier t o el t eor em a par a y ri es d ecir , sea

d er iva n d o esta ecu a ción , se obt ien e :

es d ecir , que la p r op ied a d , a d m it id a para u n ín d ice r , es ver dader a par a el ín d ice /’ —¡— i ; p or lo tan t o, com o vale par a y0, vald r á en gen er al.

Ob ser vem os que, en vir t u d de la m is m a ecu a ción ( i ) y de la defin i­ ción de las y rj se tiene

por con sigu ien t e, las fu n cion es y r se r ed u cen solam en t e a /I dist in t as, que son y o y sus n — i p r im er a s d er ivadas (su p u est a, n a t u r a lm en t e, la exis­ ten cia de estas d er iva d a s).

[\ . Va m os a h a llar ah or a la exp r esión de u n sist em a fu n d a m en t al de solu cion es d é l a ecu ación ( i ) ; bast ar á, de a cu er d o con la obser vación h ech a al fin del n ú m er o pr eceden t e, en con t r ar u n a solu ción ; der iván d ola

n — i veces obt en d r em os otr as n — i solu cion es qu e, ju n t o con la o r i­ gin a l, dar án u n sist em a fu n d a m en t al siem p r e qu e la fu n ción de que p a r ­ t im os sea lin ealm en t e in d ep en d ien t e d e s ú s n — i p r im er as d er ivadas.

Un a solu ción de la ecu ación pr opu est a está dada p or la serie

se ver ifica in m ed iat am en t e qu e esta fu n ción satisface a la ( i ) , y qu e la serie del segu n d o m iem b r o con ver ge par a cu a lq u ier va lor de X1 es decir ,

(5)

S e r ie m a t em á t ico -física : S a g a s t u m e B e r r a , E cu a ció n d if e r e n cia l

d on d e r va r ía de i a n — I ; d a n d o a r e í va lo r n , se obt ien e n u eva m en t e la E„ ( x I n ) , de a cu er d o con el r esu lt a d o del p á r r a fo 3. To d a s est as ser ies son t a m b ién con ver gen t es par a cu a lq u ie r va lor fin it o de x ; las E,. ( x | ri)

son t od as fu n cion es en t er as de x .

E n lo q u e s ign e, y s iem p r e q u e n o h a ya a m b igü e d a d , con ven d r em os en s u p r im ir el a r gu m en t o n q u e figu r a en E r ( x \ n ), escr ib ien d o s im p le ­ m en t e E r ( x ) . Ad em á s, co m o es fá cil ver q u e

(6)

lista constante se podrá calcular dando un valor cualquier a a x \ si ha­

cem os x = o, ten ien do en cuen t a qu e de la d efin ición (2) de las fu n cion es r esulta

se obt ien e el va lor bu sca d o

C O N T R IB U C IO N A L E S T U D I O D E LAS C IE N C IA S F Í S IC A S Y M A T E M A T IC A S

5. T eor em a I I I.— (T eor em a de a d ición ) . L a s f u n cio n e s E,. (x ) a d m it en un teorem a de a d ición ex p r esa d o p o r la f ó r m u la :

(7)

S e r ie m a t em á t ico -física : S a g a s t u m e B e r r a , E cu a ció n d if e r e n cia l

(3. Se p u ed e ob t en er ot r a exp r es ión de las fu n cion es E r (x | n) t en ien d o en cu en t a qu e, si a p lica m os a la ecu a ció n ( i ) el m ét od o u s u a l de in t e­ gr a ción de ecu a cion es d ifer en cia les lin ea les a coeficien t es con st a n t es, se obt ien e ot r o sist em a fu n d a m en t a l de s olu cion e s q u e son eux, ( i = o , i ,

/I — i ), d e s ign a n d o p o r a las r aíces en ésim a s de la u n id a d . Deb en e xis ­ tir , p or lo t an t o, r ela cion es lin ea les en t r e las fu n cion es E,. (x \ n ) y las eciX.

P a r a h a lla r est as r ela cion es, co n ve n ga m o s en q u e E0 = i , y q u e las d em á s r a íces est én or d en a d a s en tal for m a q u e S1- = S1' (lo qu e s iem p r e es p osible), de m o d o q u e

D e las fór m u la s q u e d efin en las E r (x \ n ), com p e n d ia d a s en la (2 ), se d ed u ce in m ed ia t a m en t e :

q u e p u ed e con sid er a r se co m o u n a gen er a liza ción de la fór m u la de E u le r

(8)

o, sea, p or la (7) e in virtien do las sum atorias del prim er m iem b r o :

C O N T R I B U C IÓ N A L E S T U D I O D E L AS C IE N C IA S F Í S IC A S Y M A T E M A T IC A S

Per o es, com o es fácil ver,

y, p or lo tanto,

qu e es la exp r esión bu sca d a .

Nos pr opon em os llevar adelante el estudio de estas fun cion es que pre­

sentan tan interesantes propiedades.

A lbe r to E . S agas t um e B er r a.

( E n t r ega d o a a Co m is ión de p u b lica cion es el i3 de

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...