La importancia de la enseñanza del invariante en la estructura

/D LPSRUWDQFLD GH OD HQVHa

QDQ]D GHO

,QYDULDQWH HQ OD HVWUXFWXUD LWHUDWLYD

/LGLD 0DULQD /˜

RSH]

'HSDUWDPHQWR GH ,QIRUP˜DWLFD \ (VWDG˜•VWLFD )DFXOWDG GH (FRQRP˜•D \ $GPLQLVWUDFL˜RQ 8QLYHUVLGDG 1DFLRQDO GHO &RPDKXH

HPDLOOORSH]#XQFRPDHGXDU

.H\ZRUGVLQYDULDQWH EXFOH DVHUWR HGXFDFL˜RQ

-897,.9

/D FDUDFWHU˜•VWLFD P˜DV LPSRUWDQWH GH OD SURJUDPDFL˜RQ LPSHUDWLYD HV OD HVWUXFWXUD LWHUDWLYD ZKLOH XQWLO IRU $SXQWDU D PRVWUDU \ HQVHaQDU XQD W˜HFQLFD IRUPDO TXH SHUPLWD FRQVWUXLU GLFKD HVWUXFWXUD DVHJXUDQGR VX FRUUHFWLWXG \ DSRUWDQGR OD IRUPD GH GRFXPHQWDUOD \ YHUL‘FDUOD HV HO REMHWLYR GH HVWH WUDEDMR

(V FRQYHQLHQWH H[SUHVDU XQ SUREOHPD HQ W˜HUPLQRV GH XQ PRGHOR IRUPDO EDVDGR HQ UHJODV FRPSUREDEOHV &DVL FXDOTXLHU FDPSR GH OD PDWHP˜DWLFD X RWUD FLHQFLD SXHGH VHU XWLOL]DGR FRPR D\XGD SDUD PRGHODU HO GRPLQLR GH XQ SUREOHPD 8QD YH] KDOODGR XQ PRGHOR DGHFXDGR VH WUDWD GH HVWDEOHFHU XQD VROXFL˜RQ SDUD HO SUREOHPD DMXVWDGD D HVH PRGHOR

(O REMHWLYR GH HVWH WUDEDMR HV SUHVHQWDU XQD PDQHUD IRUPDO SDUD FDOFXODU \ GHVDU UROODU XQD LWHUDFL˜RQ FXLGDQGR KDVWD HO ˜XOWLPR GHWDOOH EULQGDQGR XQD SURIXQGD FRP SUHQVL˜RQ GH ORV SURJUDPDV \ VLHQGR XQD WDUHD PXFKR P˜DV I˜DFLO \ U˜DSLGD GH YHUL‘FDFL˜RQ \ FRUUHFFL˜RQ GH OD HVWUXFWXUD PHQFLRQDGD

/D LPSRUWDQFLD GH OD HQVHa

QDQ]D GHO ,QYDULDQWH HQ OD

HVWUXFWXUD LWHUDWLYD

,QWURGXFFL˜

RQ

! " # $ % & & ! " '()*+

& & , ! & " &

, % DEVWUDFFL˜RQ>/*@

3ULPHUR GHEHPRV GHVFULELU FXLGDGRVDPHQWH HO REMHWLYR GHO EXFOH HV GHFLU OD SRVW FRQGLFL˜RQ R JHQHUDOL]DQGR GHO DOJRULWPR \ ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV \ HVWDGR GH ODV YDUL DEOHV SDUD HMHFXWDU HO EXFOH HV GHFLU OD SUHFRQGLFL˜RQ \ OXHJR SRGUHPRV GHGXFLU LQVWUXF FLRQHV DOJRU˜•WPLFDV D SDUWLU GH HVWD HVSHFL‘FDFL˜RQ (VWH SURFHVR VH GHQRPLQD GHULYDFL˜RQ >*UL@

(Q OD GHULYDFL˜RQ GH XQ DOJRULWPR DO LJXDO TXH FXDQGR ˜HVWH VH GHVDUUROOD LQWXLWLYDPHQWH ORV UHVXOWDGRV TXH VH GHVHDQ REWHQHU LQ’X\HQ VREUH ODV GHFLVLRQHV GH GLVHaQR PXFKR P˜DV TXH ORV GDWRV GH TXH VH GLVSRQH

(VWH KHFKR VH WUDGXFH HQ TXH OD SRVWFRQGLFL˜RQ SURSRUFLRQD PXFKD P˜DV LQIRUPDFL˜RQ TXH OD SUHFRQGLFL˜RQ VLQ TXH ˜HVWD VHD LUUHOHYDQWH SRU VXSXHVWR (O DQ˜DOLVLV GH OD SRVWFRQGLFL˜RQ UHVXOWD DV˜•XQ EXHQ P˜HWRGR SDUD GHVDUUROODU DOJRULWPRV &XDQGR OD SRVWFRQGLFL˜RQ QR EULQGH VX‘FLHQWH LQIRUPDFL˜RQ VH EXVFD XQD H[SUHVL˜RQ HTXLYDOHQWH 9HDPRV DOJXQDV FRQVLGHUDFLRQHV QDWXUDOHV>*UL@

^ 6L HQ OD SRVWFRQGLFL˜RQ DSDUHFHQ LJXDOGDGHV HQWUH YDULDEOHV GHO SURJUDPD \ H[SUH VLRQHV SXHGH LQWHQWDUVH VDWLVIDFHU ˜HVWDV PHGLDQWH DVLJQDFLRQHV VLPSOHV R P˜XOWLSOHV ^ 6L HQ OD SRVWFRQGLFL˜RQ DSDUHFHQ GLV\XQFLRQHV XQ FULWHULR ˜XWLO SXHGH VHU LQWHQWDU

GLVHaQDU XQD DOWHUQDWLYD FDGD XQD GH FX\DV UDPDV REWHQJD OD SRVWFRQGLFL˜RQ D EDVH GH VDWLVIDFHU XQD GH ODV GLV\XQFLRQHV

^ 6L HQ OD SRVWFRQGLFL˜RQ DSDUHFHQ FRQMXQFLRQHV SXHGH VHU ˜XWLO FRQVLGHUDUODV GH IRUPD DLVODGD \ WUDWDU VH VDWLVIDFHUODV SRU VHSDUDGR RWUD SRVLELOLGDG HV FUHDU DOWHUQDWLYDV ^ 6L HQ OD SRVWFRQGLFL˜RQ DSDUHFHQ RSHUDFLRQHV TXH HIHFW˜XDQ F˜DOFXORV SRU UHSHWLFL˜RQ SRGH

PRV LQWHQWDU GLVHaQDU XQD LWHUDFL˜RQ

(Q HVWH WUDEDMR VH DSXQWD D GHVDUUROODU DOJRULWPRV FX\DV SRVWFRQGLFLRQHV FRUUHVSRQGDQ DO ˜XOWLPR SXQWR DQWHULRU WH[WR HQIDWL]DGR

& # & & $ & * &

$ * ! ) * ! ) * ! # !

$ . 2 # ! 3 4 ! 5 ! ! & "

&

RQFHSWRV

E˜

DVLFRV

/ #. 673

!" + " , ! L M [ \ ] ! ! ; < $ %

# " $ *

! $" $ , & YHUGDGHUR IDOVR * , /

" $ & ) &

$ " $ # 8 ) ! #

9 .

! :

š ! ™ :

9 .

A B !

+# . 3

VXPD 4

PXOWLSOLFDFL˜RQ XQLYHUVDO H[LVWHQFLDO

@ UHFXHQWR

8Q FXDQWL‘FDGRU HV XQD DEUHYLDWXUD GH XQD VHFXHQFLD GH RSHUDFLRQHV DQ˜DORJDV UHTXLHUH LU DVRFLDGR D XQD YDULDEOH OLJDGD TXH HV VLPSOHPHQWH XQ LGHQWL‘FDGRU \ D XQ GRPLQLR TXH LQGLFD HO FRQMXQWR GH YDORUHV TXH SHUPLWLPRV WRPDU D OD YDULDEOH OLJDGD \ TXH IUHFXHQWH PHQWH HV XQ LQWHUYDOR GH QDWXUDOHV /D H[SUHVL˜RQ DV˜• REWHQLGD GHQRWD OD UHSHWLFL˜RQ GH OD RSHUDFL˜RQ VREUH WRGRV ORV YDORUHV GHO GRPLQLR

$V˜• SXHV VL ([ HV XQD H[SUHVL˜RQ QDWXUDO R HQWHUD TXH GHSHQGH GH OD YDULDEOH [ ;

[ 'RPLQLR ([ <

[ 'RPLQLR ([

GHQRWDQ UHVSHFWLYDPHQWH OD VXPD \ HO SURGXFWR GH WRGRV ORV YDORUHV WRPDGRV GH OD H[ SUHVL˜RQ ( FXDQGR [ UHFRUUH WRGRV ORV YDORUHV LQGLFDGRV HQ HO GRPLQLR /D YDULDEOH OLJDGD HV [

6L ([ HV XQD H[SUHVL˜RQ ERROHDQD

[ 'RPLQLR ([

[ 'RPLQLR ([

GHQRWDQ UHVSHFWLYDPHQWH OD FRQMXQFL˜RQ \ GLV\XQFL˜RQ GH WRGRV ORV YDORUHV WRPDGRV GH OD H[SUHVL˜RQ ( FXDQGR [ UHFRUUH WRGRV ORV YDORUHV LQGLFDGRV HQ HO GRPLQLR/D YDULDEOH OLJDGD HV [

@[ 'RPLQLR ([

GHQRWD HO QDWXUDO TXH LQGLFD HO Q˜XPHUR GH YDORUHV HQ HO GRPLQLR GH [ SDUD ORV FXDOHV ( HV FLHUWD

6L ([ HV XQD H[SUHVL˜RQ QDWXUDO

0D[ [ 'RPLQLR ([

GHQRWDQ UHVSHFWLYDPHQWH HO PHQRU \ HO PD\RU GH WRGRV ORV YDORUHV WRPDGRV GH OD H[SUHVL˜RQ ( FXDQGR [ UHFRUUH WRGRV ORV YDORUHV LQGLFDGRV HQ HO GRPLQLR

$GHP˜DV VRQ DSOLFDEOHV ORV FXDQWL‘FDGRUHV VREUH XQ GRPLQLR YDF˜•R R QXOR 3RU FRQ YHQFL˜RQ HO UHVXOWDGR GH XQ FXDQWL‘FDGRU GH UHFXHQWR @ VREUH XQ GRPLQLR YDF˜•R HV FHUR \ ORV UHVXOWDGRV GH ORV FXDQWL‘FDGRUHV DULWP˜HWLFRV \ ERROHDQRV VREUH ORV GRPLQLRV QXORV VRQ ORV HOHPHQWRV QHXWURV GH ODV FRUUHVSRQGLHQWHV RSHUDFLRQHV ELQDULDV

$V˜• VL 1 HQWRQFHV

;[ ™ [ ™ 1 D[

<[ ™ [ ™ 1 D[ [ ™ [ ™ 1 D[ YHUGDGHUR

[ ™ [ ™ 1 D[ IDOVR @[ ™ [ ™ 1 D[

'

HULYDFL

˜

RQ GHO

E

XFOH

8QD EXHQD UHJOD SDUD LQWURGXFLU FRQFHSWRV QXHYRV D ORV HVWXGLDQWHV HV KDFHUOR SDXODWLQD PHQWH WDQ SURQWR FRPR VHD SRVLEOH \ VRODPHQWH VL HVW˜DQ FDSDFLWDGRV SDUD PDQHMDUORV (Q HO FDVR GH ORV LQYDULDQWHV GH EXFOH HV SRVLEOH LQWURGXFLU SDUWH GH OD LGHD DO PLVPR WLHPSR TXH OD HVWUXFWXUD LWHUDWLYD :+,/( HV PRVWUDGD SHUPLWLHQGR H[SRQHU OD LGHD \ DVRFLDU LQPHGLDWDPHQWH HO LQYDULDQWH FRQ OD VHQWHQFLD :+,/(

&XDQGR OD VHQWHQFLD :+,/( HV LQWURGXFLGD SRU SULPHUD YH] VH SXHGH

” 'DU XQD GH‘QLFL˜RQ SUHOLPLQDU GH XQ LQYDULDQWH HV XQD H[SUHVL˜RQ O˜RJLFD DVHUWR TXH HV YHUGDGHUR MXVWR DQWHV GHO :+,/( \ MXVWR GHVSX˜HV GHO FXHUSR GHO EXFOH

(VWH FRQFHSWR GHEH VHU LQWURGXFLGR FRQ VX‘FLHQWHV \ YDULDGRV HMHPSORV FRPR ORV VLJX LHQWHV TXH SHUPLWHQ UHFRQRFHU LQYDULDQWHV I˜DFLOPHQWH

%8&/( %8&/(

[ Q P

ZKLOH [ GR W

EHJLQ ZKLOH W GR

[ [ EHJLQ

HQG W W

Q Q HQG

(Q HO %8&/( VH SXHGH YHU TXH HO LQYDULDQWH LQFOX\H [ š \ TXH [ HV P˜XOWLSOR GH \ HQ HO %8&/( HO LQYDULDQWH LQFOX\H Q š P

6H LQWURGXFH DV˜• OD LGHD GH XQ LQYDULDQWH FRPR XQ PHGLR SDUD HO DQ˜DOLVLV GHO EXFOH (O SU˜R[LPR SDVR HV SUHVHQWDUOR FRPR XQD KHUUDPLHQWD SDUD FRQVWUXLUOR

/RV LQYDULDQWHV GHEHQ VHU XVDGRV SDUD FRQVWUXLU EXFOHV \ QR V˜ROR FRPR KHUUDPLHQWD XQD YH] TXH KDQ VLGR GLVHaQDGRV

( 0

2 * ! "

7 *

8

* 6 * ) #

” . (7 9 8 : (7 )

. :6 .

(7 8 ( ;

(7 8 2 5

(7 8 7 (

” <0 = $ 6

” <. = % 6

” * #

. :6 .

# # # #

” ) #

^ -# & † 4 ^ . #

^ ) # #& 4 ( ^ . #

I-# #& † 4 J 3) š

^ > ) % # #& ' #&

/ /

(M

HPSORV GH GHULYDFL

˜

RQ

* ?$ )@AB

6

XPD GH ORV HOHPHQ

WRV GH XQ YHFWRU HQWHUR

0 ?' (B * #

# &; # ' # ?B

* ) #

. & ' & '

-# % ) % / !" C

#

&; # ' # ?B

. # &

) # #& 4 ( . #

#& ' #& '

# &3 # ' # ?B 3)

#& 4 ?B #& 4 (

_0˜

D

_[

LPR HOHPHQWR GH XQ YHFWRU

0 ?' (B * #

# & # ' # ?B

D ) / #

0 ! "

$ /

* # & ?'B & (

-# E / / !" C #

& # ' # ?B

. # &

) # #& 4 ( . #

#& ?'B #& (

# & # ' # ?B 3)

?B ) #& ?B #& 4 (

&

RQFOXVL

_˜

RQ

% 6 # #

- - +,-* /

/ /

/ # * #

^ 0

^ $ ) )

^ . / #

6 ) WRGDV ODV SRVLEOHV HQWUDGDV SDUD SRGHU GHFLU TXH IXQFLRQD 3HUR HV GLI˜•FLO SRGHU IXQGDPHQWDUOR

(QVHaQDU D GLVHaQDU XQ EXFOH DSOLFDQGR HO P˜HWRGR TXH VH KD GHVFULSWR HV PRVWUDU F˜RPR WDPEL˜HQ HV SRVLEOH FDOFXODU ORV SURJUDPDV FXLGDQGR KDVWD HO ˜XOWLPR GHWDOOH SRUTXH HQ FXDOTXLHUD GH ˜HVWRV SXHGH HVFRQGHUVH HO HUURU 1R VH SXHGH DVHJXUDU TXH VLJXLHQGR HVWH P˜HWRGR WRGR SURJUDPD VHU˜D FRUUHFWR SHUR EULQGDU˜D XQD SURIXQGD FRPSUHQVL˜RQ GH ORV SURJUDPDV \ FRUUHJLUORV VHU˜D XQD WDUHD PXFKR P˜DV I˜DFLO \ U˜DSLGD

5

H

_I

HUHQFLDV

>%DO@ -RV˜H /XLV %DOF˜D]DU 3URJUDPDFL˜RQ 0HW˜RGLFD 0F *UDZ +LOO

>%LV@ -XG\ %LVKRS 'DWD $EVWUDFWLRQ LQ 3URJUDPPLQJ /DQJXDJHV ,QWHUQDWLRQDO &RP SXWHU 6FLHQFH 6HULHV$GGLVRQ :HVOH\ *UHDW %ULWDLQ

>*UL@ 'DYLG *ULHV 7KH 6FLHQFH RI 3URJUDPPLQJ 6SULQJHU 9HUODJ

>/*@ %DUEDUD /LVNRY DQG -RKQ *XWWDJ $EVWUDFWLRQ DQG 6SHFL‘FDWLRQ LQ 3URJUDP 'H YHORSPHQW 7KH 0,7 3UHVV 0F *UDZ +LOO /RQGRQ (QJODQG