Departamento de Matem´atica y C.C. - Universidad de Santiago de Chile

Texto completo

(1)

C´alculo - Ingenier´ıa Civil

Gu´ıa de Ejercicios N

o

1

Departamento de Matem´atica y C.C. - Universidad de Santiago de Chile

1

Repaso

1. Estudie los ejercicios de repaso 1, 2, 3, 4 y 5 desde la p´agina siete de la secci´on 1.1 del

libro gu´ıa.

2. Resuelva los problemas propuestos p´agina diez de la secci´on 1.1 que van del n´umero 1 al 7.

3. Demuestre las siguientes propiedades usando los axiomas de cuerpo y orden en IR.

(a) (x+y)2 =x2+y2+ 2xy.

(b) x2y2 = (xy)(x+y).

(c) x2+bx+c= (x+b/2)2+c(b/2)2.

(d) Si a6= 0, ax2+bx+c=a(x+b/(2a))2+c(b/(2a))2.

(e) x3y3 = (xy)(x2+xy+y2).

(f) (x−r1)(x−r2)>0, con r1 ≤r2, si y s´olo six < r1 ´ox > r2 .

( Ver libro p´ags. 16, 17 y 18).

(g) Extienda el resultado anterior para una desigualdad del tipo

(x−r1)(x−r2)(x−r3)>0.

(h) Si x≤y y a≥0, entonces ax≤ay.

(i) Si x≤y y a≤0, entonces ax≥ay.

(2)

4. Si a =

31

22 , calcule : b =

1−a2 ,

s

1 +b

2 , 2ab.

5. Si b = 1

6 +2 y c= 1

6−√2 ,

(a) Deduzca que b tambi´en puede escribirse como

31 22 . (b) Calcule a2 =b2+c2bc y a2+b2.

6. Encuentre las ecuaciones , con coeficientes racionales, que satisfacen los siguientes

n´umeros: 1 +2 +3,

2 +3

2−√3 ,

q

2 +3 +

q

2−√3, 3

2 +2

3.

7. Calcular:

1

1 1

1 + 1

a

1

1 1

11

a .

8. Calcular:

1

a− 3

a+1 3

· 1

3 + 1

a

: a 3a−94a

a−1

.

9. Calcular:

x2

1 1

x2+

1

x x+ 1

x

+ x

22

1 1

x2

1

x x− 1

x

10. Six= b2+c2−a2

2bc e y=

a2(bc)2

(b+c)2a2, calcular:

z = x+y 1−xy.

11. Determine a y b para los cuales se cumple:

4x−7

x23x+ 2 =

a x−1 +

(3)

12. Determine a ,b y cpara los cuales se cumple:

9x216x+ 4

x33x2+ 2 =

a x +

b x−1 +

c x−3.

13. Determine a ,b ,c y d para los cuales se cumple:

x3

x41 =

a x−1 +

b x+ 1 +

cx+d x2+ 1.

14. Factorice los polinomios:

x2+ 11x80

x2+ 4ax12a2.

(2 +x)2(7x)2(6x)2.

x38

x4+ 2x2+ 9(x2+ 3)2+ 4x2.

x2y2.

15. Encuentre dos n´umeros enteros consecutivos cuyo producto sea 182.

(4)

2

Desigualdades

1. Estudie los ejercicios resueltos de la secci´on 1.1.3 que van del n´umero 1 al 16.

2. Resuelva los problemas propuestos de la secci´on 1.1.3 que van del n´umero 1 al 37.

3. Estudie todos los ejercicios resueltos de la secci´on 1.1.4.

4. Resuelva todos los ejercicios propuestos de la secci´on 1.1.4 .

5. Resuelva las siguientes inecuaciones y exprese el conjunto soluci´on mediante inter-valos:

(a) x2+ 2x >3.

(b) x310.

(c) x410.

(d) 4−x 3x+ 1 2.

(e) x

2+ 1

x+ 3 1.

(f) x22 5−x >4.

(g) 3x+ 6

x2 <2.

(h) |2x+ 3| ≥1.

(i) |x+ 2|<3.

(j) |8x−1|>5.

(k) |x+ 1| − |2−x|>3.

(l) |5x−1|<|x+ 6|.

(m) |x2 + 3| ≤12.

(n) |x2 3| ≥1.

(o) |x2 4|<2x+ 4.

(p) |x2 4|>2x+ 4.

6. Demuestre que:

(a) |x−3|<1 implica 6< x+ 4 <8.

(b) |x−3|<1 implica 1 8 <

1

x+ 4 < 1 6.

(5)

3

Acotamiento de conjuntos y axioma del supremo

1. Estudie los ejercicios resueltos de la secci´on 1.1.5 que van del n´umero 1 al 15.

2. Resuelva los problemas propuestos de la secci´on 1.1.5 que van del n´umero 1 al 18.

3. Encuentre cotas superiores e inferiores, supremo e ´ınfimo en IR y enIR, de los siguientes conjuntos:

(a) {x2 ; xIR}.

(b) {x2 ; 3x1}.

(c) {x2 ; 3< x <1}.

(d) IN. (e) ZZ.

(f) {n2 ; nIN}.

(g)

½

1

n ; n∈IN

¾

.

(h)

½ 1

n+ 6 ; n∈IN

¾

.

(i)

½ 1

n2 ; n∈IN

¾

.

(j)

½

(1)n1

n ; n ∈IN

¾

.

(k)

½1

x ; x∈IR

¾

.

(l)

½

1

x ; 0< x <1

¾

.

(m)

½1

x ; x >1

¾

.

(n) {x∈IR :|x2 3| ≥1}.

4. Dados los n´umeros reales a, b, demuestre que:

(a) sup{a, b}= a+b+|a−b| 2 .

(b) inf{a, b}= a+b− |a−b| 2 .

5. (a) Calcule los valores de x para los cuales la

expresi´on 7x− 9

x define un n´umero real .

(b) Resuelva la ecuaci´on 7x+ 2 = 9

(6)

(c) Resuelva la inecuaci´on 7x− 9

x <−2 .

(d) Encuentre cotas superiores e inferiores, supremo e ´ınfimo del conjunto

{x∈IR: 7x− 9

x <−2}.

6. Suponga que Ud. quiere

cortar un espejo de forma rectangular de per´ımetro 40 m y cuya ´area sea m´axima, pero que no exceda los 60m2.

Adem´as quiere que las dimensiones del ancho y alto sean n´umeros enteros. Calcule las dimensiones del espejo.

7. Suponga que Ud. viaja desde Santiago a Vi˜na a una velocidad que est´a siempre entre 60 km/hr y 80 km/hr. Si la

distancia entre Santiago y Vi˜na es de 140 km

aproximadamente, calcule el tiempo m´aximo y m´ınimo que se demora en llegar a Vi˜na. Si sale a las 10 de la ma˜nana, ¿ entre qu´e horas llegar´a a su destino?

8. Dos amigos deciden juntarse en una ciudad equidistante en l´ınea recta del lugar en que cada uno vive. Suponga que ambos parten al mismo tiempo y que el primero viaja a una velocidad constante de 40Km/hr y el segundo a una velocidad constante

de 80 Km/hr. Si cada uno de ellos no espera m´as de 1/4 hr en el lugar acordado, ¿ cu´anto es el m´aximo que se puede haber demorado cada uno de ellos en recorrer la distancia ? ¿Cu´al es la distancia m´axima que puede separarlos ?

9. Una pelota se lanza de una cierta altura h(0). Calcular las posibles alturas que fue lanzada la pelota si se demor´o entre 1 seg y 2 seg en llegar al suelo. Calcular la m´axima y m´ınima alturas posibles desde las que fue lanzada la pelota.

10. Suponga que el modelo para una poblaci´on de peces est´a dada por

Pn = 2nP0,

donde Pn es el n´umero de peces al final del a˜no n. Suponga que al cabo de 5 a˜nos

(7)

11. (El tri´angulo de Sierpinski) Considere un tri´angulo equil´atero. Tome los puntos medios de cada lado y trace un tri´angulo que pase por estos puntos. Recorte el tri´angulo resultante y repita el proceso con los otros 3 tri´angulos que le quedaron y as´ı sucesivamente. Calcule que n´umero m´ınimo de veces que debe repetir el proceso para que el ´area de la figura resultante sea a lo m´as 0,2 veces el ´area del tri´angulo inicial.

12. ( Conjunto de Cantor) Considere un intervalo cerrado de longitud

L0 ∈IN.Divida el intervalo en tres partes iguales y quite de la del centro ( dejando

los extremos). Con los dos trozos que le quedaron repita el proceso y as´ı sucesi-vamente. Suponga que el proceso lo repite 3 veces. ¿ Cu´al es la longitud m´axima inicial que debe considerar si desea que la longitud en la tercera etapa sea menor que 1 ?

13. (a) Calcule los valores de x para los cuales la expresi´on 1

x−3 + 1

2x−7 define un n´umero real .

(b) Resuelva la ecuaci´on 1

x−3 + 1

2x−7 = 2 (c) Resuelva la inecuaci´on

1

x−3 + 1

2x−7 >2

(d) Encuentre cotas superiores e inferiores, supremo e ´ınfimo del conjunto

{x∈IR: 1

x−3+ 1

2x−7 >2}.

14. (a) Calcule los valores dexpara los cuales la expresi´on x+√x define un n´umero real .

(b) Resuelva la ecuaci´on

x+√x= 6

(c) Resuelva la inecuaci´on

x+√x <6

(d) Obtenga cotas superiores e inferiores, supremo e ´ınfimo del conjunto

{x∈IR: x+√x−6<0}.

15. (a) Calcule los valores de x IR de modo que x+√x+ 4 defina un n´umero real .

(b) Resuelva la ecuaci´on

(8)

(c) Resuelva la inecuaci´on

x+√x+ 416>0

(d) Obtenga cotas superiores e inferiores, supremo e ´ınfimo del conjunto

{x∈IR: x+√x+ 416}.

4

Sucesiones

1. Estudie los ejercicios resueltos de la secci´on 1.2.4 que van del n´umero 1 al 20.

2. Resuelva todos los problemas propuestos de la secci´on 1.2.5 que van del n´umero 1 al 29.

3. Analice el comportamiento de las siguientes sucesiones cuando n es muy grande.

(a) {(1)n}

(b)

(

(1)n

n

)

(c) {n(1)n}

(d) {n[1(1)n]}

(e) {(1)2n+1}

(f) 1

n−(1)n

(g) n−(1)n

4. Determine un n´umero natural N de modo que

(a) n

n2+ 1 <0.0001, cuando n≥N.

(b) 1

n +

(1)2

n2 <10

6, cuando nN.

5. Demuestre que la sucesi´on:

½µ2

3

n¾

tiende a cero

6. Demuestre que la sucesi´on:

n

(1−n(1)n

(9)

7. Para cada ε dado, obtenga un n´umero natural

N tal que 1

n < ε para cualquier n≥N y complete la tabla siguiente:

ε 10 0,5 0,003 3·104 7·1010

N

8. (a) Demuestre que para todo n∈IN se cumple que :

n+ 10 2n−1 >

1 2

(b) Obtenga todos los n∈IN para los cuales

n+ 10 2n−1 <

1 2 +ε, dondeε es igual a:

i. 1 6

ii. 1 10

iii. 1

2(2k+ 1), k ∈IN.

(c) Demuestre que lim

n→∞

n+ 10 2n−1 =

1 2.

9. Para cada ε dado, obtenga un n´umero natural N tal que

¯ ¯ ¯

¯n2n+ 0,15 2 ¯ ¯ ¯

¯< ε para todo n≥N

y complete la tabla siguiente

ε 10 0,5 0,003 3.104 7.1010

N

Demuestre que lim

n→∞

2n−1

n+ 0,5 = 2

10. Suponga que hoy Ud. decidi´o que va a ahorrar todos los d´ıas 3 pesos m´as que el d´ıa anterior. Suponga que parte con una cantidad x de pesos. ¿Cu´anto habr´a acumulado al cabo de n a˜nos? ¿ Con cu´anto puede partir si al cabo de 10 a˜nos desea tener m´as de 100000 pesos ?

11. Una poblaci´on de termitas que parte con 1048576 individuos se reduce cada a˜no en un 50%. ¿ Cu´antos a˜nos deben pasar para que la especie desaparezca ?

12. Una pelota de goma se deja caer desde una altura de 60 m. en cada rebote alcanza una altura igual a 3

(10)

(a) Halle la distancia que ha recorrido la pelota cuando toca el suelo por quinta vez.

(b) Si se supone que la pelota contin´ua rebotando una cantidad indefinidamente grande de veces, encuentre una cota superior para la distancia recorrida.

13. Una m´aquina neum´atica extre en cada golpe 1

3 del aire que contiene un dep´osito. ¿ Qu´e parte del aire habr´a extra´ıdo despues de 8 golpes ?

14. Se cuenta que Sirham, pr´ıncipe de la India, autoriz´o a Sissa, inventor del ajedrez, a pedir la remuneraci´on que fuese de su agrado, y el inventor respondi´o: ”Pido que se me d´e un grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 granos por la segunda, 4 por la tercera, y as´ı sucesivamente, siempre duplicando el n´umero de granos, hasta la casilla 64”. Sorprendido por la modestia del inventor orden´o Sirham que se le pagase inmediatamente, pero pronto descubrieron sus ministros que no bastaban los graneros reales, ni los de toda la India, para satisfacer lo demandado por Sissa. Suponiendo que haya aproximadamente 22.000 granos en un kilo de trigo, ¿ cu´antas toneladas de trigo hab´ıa pedido el inventor del ajedrez ? D´e la respuesta en notaci´on cient´ıfica con cuatro cifras significativas.

15. Use la serie geom´etrica para escribir los siguientes n´umeros reales como n´umeros racionales:

2.13; 0.3 ; 7,21526.

16. Sian=

n2+n1

3n2+ 1 y ε >0, obtenga un n´umero natural N de modo que :

|an−13|< ε cuando n≥N.

17. Calcule lim

n→∞xn si:

(a) xn=

9 + n n+1

2 + 1

n

(b) xn=

n

3n+ 2

(c) xn=

2−n n+ 1 +

2−n

n+ 2

(d) xn=

(n+ 5)3n(n+ 7)2

n2

(e) xn= 2

n+2+ 3n+3

(11)

(f) xn=

5·2n3·5n+1

100·2n+ 2·5n

18. Suponiendo que xn 6= 1 y nlim→∞xn = 1, calcule nlim→∞yn , en cada uno de los

siguientes casos:

(a) yn =

2xn−1

xn−2

(b) yn =

xn−1

x2

n−1

(c) yn =

x2

n+xn−2

xn−1

(d) yn =

x2

n−3xn+ 2

x2

n−1

19. Calcule lim

n→∞xn si:

(a) xn= 3

s

n+ 0,25 8n+ 1

(b) xn=

n2+ 1 +n

3

n3+n+n

(c) xn= 3

n3+ 2n2 n

(d) xn=

µ2n+ 3

n−1

n

.

(e) xn=

µn1

n+ 1

n

2 .

20. Deduzca que:

si xn→+e yn≥xn para todos los valores

den ∈IN,entonces yn→+.

21. Deduzca que: si xn 0 e |yn| ≤ xn para todos los valores de n IN, entonces

yn 0.

22. Deduzca que: si lim

n→+∞|xn|= 0

entonces lim

n→+∞xn= 0.

23. Deduzca que: si xn tiende a un l´ımite u oscila finitamente, y |yn| ≤ |xn| cuando

(12)

24. Deduzca que: si xn tiende a + ´o −∞ u oscila infinitamente, e |yn| ≥ |xn|

cuando n ≥N , entonces yn tiende a tiende a + ´o −∞ u oscila infinitamente.

25. Verifique que

½2n

n!

¾

es decreciente.

26. SiSn =

1

n2 + 1 +

1

n2+ 2 +· · ·+

1

n2+n,

acote superior e inferiormente el t´ermino general de la sucesi´on , y luego calcule lim

n→∞Sn.

27. Dada la sucesi´on

an =

1

n +

1

n+ 1 + 1

n+ 2 +. . . .+ 1 2n

(a) Calcule la diferencia an+1−an.

(b) Analice el signo de an+1−an y deduzca que la sucesi´on es decreciente.

(c) Encuentre cotas inferiores de la sucesi´on (an) y analice la existencia del l´ımite.

(d) Demuestre que

n+ 1

2n < an< n+ 1

n

y deduzca que

lim

n→∞∈[

1 2,1]. 28. Dada la sucesi´on

an=

1·3·5· · · ·(2n−1) 2·4· · · ·(2n)

(a) Demuestre que (an) es mon´otona.

(b) Demuestre que (an) es acotada.

(c) Analice la existencia del l´ımite de la sucesi´on.

29. Calcule el l´ımite, cuando exista, de las siguientes sucesiones:

(a) an=

1 + 2 + 3 +· · ·+n

n+ 2

n

2

(b) an=n

a+ 1

n

¶5

−a5

#

(c) n√n

(13)

(d)

( X

k=1

1

k(k+ 1)

)

30. Dada la sucesi´on:

an=

n+ 1

n2+ 1 +

n+ 2

n2+ 2 +· · ·+

n+n n2+n

Calcular l´ımite dean, acotando inferior y superiormente por sucesiones cuyos l´ımites

sean conocidos.

31. Sean a > b >0 , a1 = 1

2(a+b) y b1 =

ab.

Si{an} y {bn} son sucesiones definidas por:

an =

1

2(an−1+bn−1) y

bn =

an−1·bn−1

Demuestre que:

(a) {an} es mon´otona decreciente

(b) {bn} es mon´otona creciente

(c) Ambas sucesiones tienen l´ımites. (d) lim

n→∞an= limn→∞bn

32. Dada la sucesi´on (un) definida recursivamente por:

u1 =a >0

un+1 =

s

u2

n+

a2

2n

(a) Verifique que :

u1 =a

u2 =

s

a2+ a 2

2 =a

s

(14)

u3 =

s

a2·3

2 +

a2

4 =a

s

7 4

u4 =

s

a2·7

4 +

a2

8 =a

s

15 8

u5 =

s

a2·15

8 +

a2

16 =a

s

31 16

(b) Deduzca de la parte a) que un es de la forma

a

s

2n1

2n−1 .

(c) Usando el resultado de b) calcule el l´ımite de (un)

5

Funciones de variable continua.

1. Estudie todos los ejercicios resueltos, del 1 al 22, de la secci´on 1.3.3 del texto.

2. Resuelva todos los problemas propuestos, del 1 al 20, de la secci´on 1.3.4 del texto.

3. Determine el dominio , el recorrido , cotas superiores e inferiores de cada una de las siguientes funciones:

(a) 1−x 1−x2

(b) 1−x 1−x3

(c) 1 1−x2

(d) 1 1−x3

(e) 1 1 +x+x2

(f) 1 2−x3

(g) 14 +x+5 + 2x

(h) 5 + 2x

(i) √x2 2

(j) 1

x21

(k) 1

(15)

(l) [x] +x

(m) [x]−x

(n) [2x] + 1

(o)

·x

2

¸

+ 1

(p)

·

x+ 1 2

¸

(q) [x

2 + 1] + 1 (r) |2x−3|

(s) 2|x| −3 (t) |2x−4| −8

(u)

¯ ¯ ¯ ¯x1 3

¯ ¯ ¯ ¯

(v) |x2 6x−55|

4. Calcule los ceros, los valores de xpara los cuales cada

funci´on es positiva y bosqueje el gr´afico de las siguientes funciones:

(a) |2x+ 5| −2 (b) | −5x+ 8| − |3x|

(c) |x−1| − |2x+ 1|

(d) |2x−3|+|3x−4| − |3x+ 1|

5. Calcule el dominio, recorrido, los ceros de f , los intervalos donde f es positiva y donde es negativa. Utilice la informaci´on obtenida para se˜nalar la regi´on del plano donde se encuentra el gr´afico de f, para cada uno de los siguientes casos:

(a) f(x) = 1

x2+ 5x14

(b) f(x) = 1

x29

(c) f(x) = x

x29

(d) f(x) = 1 1−x3

6. Dada f(x), grafique: f(x), |f(x)|, max{f(x),0}, max{−f(x),0}.

(16)

(b) f(x) =x3

(c) f(x) =x23x1

(d)

f(x) =

(

3x−2, si x≤1 14x, si x >1

(e)

f(x) =

  

 

2, six <−2,4 [x+ 2], si2,4≤x≤1

3x+ 1, six >1

6

L´ımites de funciones de variable continua.

1. Estudie en el texto gu´ıa los ejercicios resueltos de la secci´on 1.4 del 1 al 19.

2. Resuelva los problemas propuestos de la secci´on 1.4 del texto gu´ıa, del n´umero 1 al 21.

3. Demuestre que:

(a) 0<|x−x0|< δ ⇔x6=x0 y x∈(x0−δ, x0+δ)

(b) f(x) =x+ 2 y 0 <|x−2|< δ ⇒ |f(x)4|< δ

(c) g(x) = 2x28

x−2 y 0<|x−2|< δ ⇒ |g(x)8|<2δ

(d) f(x) = 2x23x+ 1 y |x3|<1 ⇒ |f(x)10|<11

(e) Si f(x) = 3x2 y 0<|xx

0|< δ, entonces

¯ ¯ ¯

¯g(xx)gx(x0)

0

6x0

¯ ¯ ¯ ¯<3δ

(f) Si f(x) = x3 y 0<|x2|< δ 1, entonces

¯ ¯ ¯

¯f(xx)f2(2) 12 ¯ ¯ ¯ ¯<7δ.

4. Demuestre, usando la definici´on de l´ımite, que :

(a) lim

x→1(3−x) = 2

(b) lim

(17)

(c) lim

x→3(x

2+x) = 12

(d) lim

x→1(x

2x) = 0

(e) lim

x→0|x|= 0

(f) lim

x→3

µ 3x

93x

= 1 3

5. Demuestre cada una de las proposiciones siguientes:

(a) lim

x→af(x) = L⇔xlim→a|f(x)−L|= 0

(b) lim

x→0f(x) = limx→0f(2x)

(c) lim

x→0(f(x)) = limx→0f(cx), para todo c constante real

(d) lim

x→a|f(x)|= 0 ⇒xlim→af(x) = 0.

6. Determine si el l´ımite indicado existe :

(a) lim

x→a(f(x)) =

(

x2 si x > a

x si x < a

Analice tomando a=1,0,1,2.

(b) lim

x→n[x], para cada n∈IN, ([x] es la funci´on parte entera de x.)

(c) lim

x→2f(x), si f(x) =

(

−x+ 2 si x <2 (x−2)2 si x >2

7. Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, cuando exista:

(a) lim

x→0

Ã

(3 +x)327

x

!

(b) lim

x→0

µ1

x(

1 3 +x

1 3)

(c) lim

x→0

Ã

x(1 +x)

|x|

(18)

(d) lim

x→0

Ã

x+ 3−√3

x

!

(e) lim

x→0

Ã

|x|

x

!

(f) lim

x→0

Ã

(3 +x)29

3 +x−√3

!

(g) lim

x→1

Ã

x2x

1−√x

!

(h) lim

x→0

Ã

x x+√x

!

(i) lim

x→√2

Ã

x24

x−√2

!

(j) lim

x→2(f(x)) si f(x) =

   

  

x2

2 2 si 0< x < 2 2 8

x2 si x >2

8. Determine lim

h→0

Ã

f(x+h)−f(x)

h

!

, para cada una de las siguientes funciones

(a) f(x) =x

(b) f(x) =c, c= constante.

(c) f(x) =x2

(d) f(x) =x3

(e) f(x) =√x

(f) f(x) = 1

x

(g) f(x) = 1

x2

(h) f(x) = 1

x

(i) f(x) = 3 x2

(19)

7

Bibliograf´ıa

1. L. J. Davidson et al.: Problemas de Matem´atica Elemental 2. Ed. Pueblo y Educaci´on, La Habana, 1995.

2. R.D. Driver: Why Math?.Springer, 1984.

3. N. B. Haaser, J.P.Lasalle y J.A. Sullivan: An´alisis Matem´atico, Vol 1.Ed. Trillas, 1988.

4. G.H.Hardy : A Course of Pure Mathematics . Cambridge University Press, 1960.

5. F. Proschle : Algebra. Ediciones Ceres .´

6. R´eunion de Professeurs : Complements d ’Algebre. Ligel.

Colaboraron en la confecci´on de esta gu´ıa los profesores:

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...