Algunos tópicos sobre Conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera entonces

Algunos tópicos sobre Conjuntos

Denotaremos por



al conjunto universo, que es el

conjunto que posee todos los elementos de interés.

A un subconjunto de



Algunos tópicos sobre Conjuntos

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera entonces

Unión

:

A

∪

B = { x / x

∊

A o x

∊

B}

Intersección

:

A

∩

B = { x / x

∊

A y x

∊

B}

Complemento

:

A

_{= { x}

_∊

_Ω

_{/ x A }}

Diferencia

:

A



B

= A – B = { x

∊

Ω

/ x

∊

A y x B}



Algunos tópicos sobre Conjuntos

Conjunto Vacío

es el conjunto que no posee

elementos, se denota por



(Notemos que A



A

₌

_

₎

PROBABILIDAD

En el capítulo anterior se vieron algunos de los

métodos utilizados para describir un conjunto de

datos con el único propósito de describir los

resultados de un experimento concreto.

Probabilidad

Estudia

los fenómenos

aleatorios,

los

cuales

obedecen ciertas reglas

de comportamiento

.

Es cualquier acción que pueda dar lugar a resultados identificables.

Suponemos que es posible repetir el experimento gran número de veces bajo la mismas condiciones y que todos los posibles resultados son conocidos antes de la realización del experimento.

Experimento

Aleatorio

Determinístico

• Lanzar una moneda al

aire.

• Extraer un artículo de

un lote que contiene

artículos defectuosos

y no defectuosos.

•

Soltar una piedra en

el aire.

Se puede definir como aquél experimento que verifica lo siguiente:

• se puede repetir bajo las mismas condiciones.

• se conocen todos los posibles resultados antes de la realización del experimento.

• no se puede predecir el resultado del mismo antes de realizarlo.

– Lanzamiento de un dado .

– Lanzamiento de dos monedas.

– Medición del nº de accidentes que ocurren en una ciudad durante un día.

– Germinación de una semilla después de aplicar un la fórmula X.

– Contenido de alguna sustancia contaminante en una muestra tomada en un lago.

Definiciones

• Espacio Muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a dicho experimento aleatorio.

• Evento o Suceso es un subconjunto del espacio muestral.

– Suceso Seguro. – Suceso Imposible.

Espacio muestral

Evento o Sucesos

Evento

imposible

Evento

seguro

Ejemplo:

Determine el espacio muestral

1. Lanzar una moneda y observar su cara superior.



C S

,



 

2. Lanzar un dado y observar su cara superior.



1,2,3,4,5,6



Ejemplo:

Determine el espacio muestral

3. Contar el número de autos que pasan por una

esquina, hasta que se produzca un accidente.

4. Observar el tiempo de vida de un artefacto

eléctrico.

5. Lanzar dos monedas al aire y observar su cara

superior.

Técnicas de Conteo

Principio de Multiplicación:

Técnicas de Conteo

Principio de Multiplicación:

Ejemplo:

¿Cuántos puntos muestrales hay en el

espacio muestral cuando se lanza una vez un par de

dados?

Solución:

El primer dado puede caer de n

= 6

maneras.

Para cada una de esas 6 maneras el segundo dado

puede caer n

= 6 maneras.

Definición: Una

permutación

es un arreglo de todos

o parte de un conjunto de objetos.

Definición: El

número de permutaciones

de n

objetos diferentes está dado por:

n n

P



n!

    

1 2 3 ... n

Ejemplo:

Las permutaciones posibles para las letras “a, b y c”

son:

abc - acb - bac - bca - cab - aba

Es decir podemos arreglar los tres elementos de 6

maneras diferentes.

P

n!

P

3 !

P

3 2 1

P

6





El

número de permutaciones

distintas de “n”

elementos tomando “k” a la vez. Está dado por:

)!

(

!

k

n

n

P

_n

k





Ejemplo:

Ejemplo:

Un grupo está formado por 5 personas y desean

formar una comisión integrada por un presidente y

un secretario.

( 5 2 ) ! 5 !

3 !

Definición:

El número de permutaciones de n

objetos, de los cuales n

son de tipo i, i=1,2,...,k es:

Ejemplo:

Un estante tiene capacidad para 10 libros

de matemáticas que tiene tapa verde, 8 de física de

tapa roja y 7 de química de tapa azul. ¿De cuántas

maneras pueden colocarse los libros según los

colores?

!

!...

!

!

2

1

...,

,

1

k

n

n

n

n

n

n

n

Ejemplo:

Un estante tiene capacidad para 10 libros

de matemáticas que tiene tapa verde, 8 de física de

tapa roja y 7 de química de tapa azul. ¿De cuántas

maneras pueden colocarse los libros según los

colores?

1,...,

1 2

1 0 ,8 ,7 2 5

1 0 ,8 ,7 2 5

!

!

!...

!

2 5 !

1 0 ! 8 ! 7 !

2 1 .0 3 4 .4 7 0 .6 0 0

k n n n k

n

P

n

n

n

Definición:

Se llama

combinación de n objetos,

tomando k a la vez,

a la selección de objetos

con independencia de su ordenamiento. Es el

número de subconjuntos de k objetos elegidos de

entre los n.

)!

(

!

!

r

n

r

n

r

n

C

_r

n

Ejemplo:

Un grupo está formado por 5 personas y

desean formar una comisión integrada por 2

personas ¿De cuántas formas distintas puede formar

esta comisión?

!

!(

)!

5

_5!

2

2!(5

2)!

5

10

2

n

_n

C

r

r n

r

Métodos para asignar probabilidades

personal

de

frecuencias

relativas

Personal

La probababilidad que se asigne a c/u de los

sucesos es una

apreciación subjetiva

.

Ventajas

Desventajas

Siempre es aplicable

Su acierto depende de lo

correcta que sea la

Frecuencia relativa.

Es aplicable a situaciones en las que el experimento

pueda repetirse varias veces y sus resultados

puedan ser observados.

Frecuencia relativa

Ventajas

_Desventaja

Es más precisa que la

anterior.

Se basa en la

observación real del

experimento.

Puede ocurrir que el

experimento no se lleve

Ejemplo

Se lanza 100 veces un dado y en 30 de estos

sale el dos. ¿Cuál es la probabilidad que saga

dos?

30

(2)

100

(2)

0,3

P

P





Probabilidad clásica

Se basa en que todos los resultados posibles de un

experimento sean equiprobables.

La probababilidad de

un evento elemental A

es:

N

A

P

(

_i

)



1

La probabilidad de un

evento compuesto

N

n

A

P

A

P

(

)





(

_i

)



n: Nº de elementos del evento A

Probabilidad clásica

Ventajas

Desventaja

Si es aplicable, la

probabilidad obtenida es

exacta.

No exige la realización de

experiencias ni recoger

datos.

Es de fácil uso.

Definición de Probabilidad.

Teorema Sean A y B dos eventos arbitrarios, entonces:

– P (  ) = 0

– P( AC _{) = 1 – P( A )}

– Si A  B, entonces P( A )  P( B )

– Si A  B, entonces P(B – A) = P(B) – P(A)



A

A B

• Corolario. Para todo evento A, 0  P( A )  1

• Teorema. Para dos eventos arbitrarios A y B se tiene que: P( A  B ) = P( A ) + P( B ) - P( A  B)



A _B

Ejemplo

– En una determinada ciudad, el 60% de los hogares se suscriben a un periódico de circulación nacional, el 80% a un periódico de circulación local y el 50 % se suscriben a ambos periódicos. Si se selecciona al azar un hogar, ¿Cuál es la probabilidad de que :

Solución

: el conjunto de hogares de una cierta ciudad.

A: conjunto de hogares que se suscribe a un periódico de circulación nacional.

B: conjunto de hogares que se suscribe a un periódico de circulación local.

P(A)= 0,6 P(B)=0,8

AB: conjunto de hogares que se suscribe a ambos periódicos.

P(AB)= 0,5

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 0,6+ 0,8-0,5=0,9

Luego la probabilidad de que un hogar esté suscrito al menos en uno de estos dos periódicos es de 0,9.

– ¿Cuál es la probabilidad de que esté suscrito exactamente a uno de los dos periódicos?

P(A)+P(B)-2P(AB)= 0,6 + 0,8 – 2*0,5 = 0,4

Luego la probabilidad de que un hogar esté suscrito a exactamente un periódico es 0,4.

Solución

– ¿Cuál es la probabilidad de que no esté suscrito a ningún periódico?

P([AB]c_{) o bien}

1-P(AB) =1-0,9=0,1

Probabilidad Condicional.

– _

A B

– _

– Observar que

P(AB)=P(B)P(A/B)

– Análogamente podemos observar que:

– Así P(AB)=P(A)P(B/A)

(

)

( / )

( )

P A

B

P A B

P B





(

)

( / )

( )

P A

B

P B A

P A

Ejemplo

– En la ciudad de Concepción, la probabilidad que llueva el día uno de junio es 0,5 y la probabilidad que llueva el 1 y 2 de junio es 0,4.

• Dado que llovió el 1 de junio ¿cuál es la probabilidad que llueva el día 2 de junio?.

– A: llueve el 1 de junio B: llueve el 2 de junio – P(A)=0,5 P(AB)=0,4

( ) 0, 4

( / ) 0,8

( ) 0, 5

P A B P B A

P A



  

Ejemplo

• ¿Cuál es la probabilidad que no llueva el día 2 de junio dado que el 1 de junio llovió?

– A: llueve el 1 de junio B: llueve el 2 de junio – P(A)=0,5 P(AB)=0,4 P(B/A)=0,8

– P(Bc_{/A)=1-P(B/A)=0,2}

Regla de multiplicación

P(AB) = P(B) P(A/B) = P(A) P(B/A)

Una generalización de lo anterior está dada por:

P( ) =P(A_k ₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)…P(A_k/A₁A₂...A_k-1)

i i

A

1

Ejemplo

• Una caja contiene cinco bolas roja y seis negras; se extrae al azar sucesivamente y sin reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las dos resulten rojas?

Intuitivamente tenemos que la probabilidad de sacar una bola roja la primera vez de la caja es de 5/11, luego la caja queda con 10 bolas de las cuales cuatro son rojas. Observe que al sacar nuevamente una bola roja de la caja tenemos que la probabilidad se modificó, ahora es 4/10.

Definamos A_i como el evento de sacar una bola roja en a i-ésima extracción, así,

A₁ : será el evento de sacar una bola roja la primera vez, A₂ : sacar una bola roja la segunda vez,

A₂/A₁ : será el evento de sacar una bola roja la segunda vez dado que la primera vez se sacó una bola roja y

A₁A₂ : será el evento de sacar sucesivamente dos bolas rojas. P(A₁)=5/11 P(A₂/A₁)=4/10

Ejemplo

• Una caja contiene 5 bolas roja y seis negras; se extrae al azar sucesivamente y con reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las dos resulten rojas?

Regla de la Probabilidad Total

– Supongamos que los eventos A₁, A₂, ... A_k forman una partición del espacio muestral , entonces para cualquier evento B se tiene que:

Regla de la Probabilidad Total

P(B) = P(B/A₁) P(A₁) + P(B/A₂) P(A₂) +...+ P(B/A_k) P(A_k)

Podemos escribir B como: B=[BA₁]  [BA₂]  [BA₃]  [BA₄]. Dado que son conjuntos disjuntos tenemos que:

P(B)=P[BA₁] + P[BA₂] + [BA₃] + [BA₄]

y por la regla de la multiplicación:

P(B)= P(A₁) P(B/A₁) + P(A₂) P(B/A₂) +...+ P(A_k) P(B/A_k)

– En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay un 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del proceso B. Si se extrae al azar un producto, hallar la probabilidad que sea defectuoso.

– En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay un 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del proceso B. Si se extrae al azar un producto, hallar la probabilidad que sea defectuoso.

P(A)=200/300. P(D/A)=0,20 P(B)=100/300. P(D/B)=0,25

D: extracción de defectuoso considerando ambas líneas, esto es si se saca de A que sea defectuoso o si se saca de B y que sea defectuoso, es decir: P[DA] + P[DB].

P(D)= P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)=0,217

Teorema de Bayes

– Bajo las mismas condiciones de la regla anterior, se tiene que: 1

(

/

) (

)

(

/

)

(

/

) (

)

P B A P A

P A

B

P B A P A







(

)

(

/ )

( )

P B

A

P A B

P B

Ejemplo

– En el ejemplo anterior. Si al extraer el producto resultó ser defectuoso, hallar la probabilidad de que sea del proceso A.

D: extracción de defectuoso considerando ambas líneas. P(D)= P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)=0,217

P(A/D)=P(DA)/P(D)= P(D/A)P(A)/P(D)=0,615

Luego la probabilidad de ser de la línea A dado que resultó ser defectuoso es de 0,615.

• Definición: Dos eventos A y B son independientes si P(A/B)=P(A) y P(B/A)=P(B). De manera equivalente se dice que dos eventos A y B son independientes si y sólo si P(AB) = P(A) P(B).

• Teorema:Si A y B en  son eventos independientes, entonces:

– A y Bc _{son eventos independientes.}

– Ac _{y B son eventos independientes.}