Límite de una función

(1)

Límite de una función

421

9

ACTIVIDADES

100 49 5 000

a = 101

99 10 201

a = 102

25 2 601

a =

a) an=2n−1 c) an=n n( −1)

b) 4 1₁

5 3

n n

n

a = −₋

⋅ d) 2

2 5

n

n a

n

− +

=

a) _nlim an 1

→∞ = d) nlim a→∞ n=0

b) _nlim an

→∞ = +∞ e) nlim a→∞ n=1

c) _nlim a_→∞ n= −∞ f) _nlim a_→∞ n= −7

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) 4

5 1

n

a n

=

+ d)

4 1

10 n

n a

n

− =

+ g) ( )1

n n

a = −

b) an=3n3−7 e)

1 3 n

n a

n

−

= h)

( )

2 2 1 n

an a

n

= −

c) an=4−n f)

5 2 n

n a

n

+

= i)

2 5

(2)

422

a)

nlim n→∞ = +∞ c)

3 nlim n→∞ = +∞

b) 1 2 ₂ ₇

2 nlim→∞ n n

 _

− − + = −∞

 _

  d)

3 2 n

nlim→∞     = +∞    

a) ₂ 8 0

2 3 1

n

n lim

n n

→∞ ₊ ₋ = b)

( ) ( ) 10 10 1 1 2 n n lim n →∞ − = + a)

5 2 2

6 2

4 3 1

3

2 1 1

n

n n n

lim n n →∞  ₋ _{− }  ₋ __{= −}  _    + +

  d)

2 2 3 1 3 2 n n lim n n →∞ + = + + b) 2 4 3 4

3 1 4

0 2 3 n n n lim n n →∞  − _  _⋅ _₌  _    +

  e)

1 1 0 1 1 n n n lim n n →∞  + _{− }  ₋ _₌  _  − +  c) 2 ₇ ln 2 n n lim n →∞ +

= +∞ f) ( )

3

4 2

1 4 1

2 1 2

n

n n

lim

n n n

→∞  ₋ _  _  + _= −  _  − −   a) 4 3 4 3 1 1

2 1 3 1 6

n

n n

lim

n n n

→∞  + − _  ₊ _₌  _    + + +

  c)

( )( ) ( )2

1 1 2 ln 1 n n n lim n n →∞  _ + −  __⋅  

  + → No existe. e)

2 1 0,1 1 n n nlim + → ∞ = b) 3 3 2 1 ln 0 2 n n lim n n →∞  _{+ }  _{ =}      +

  d)

2 2 2 1 1 9 81 n n nlim − +

→∞ = f)

(3)

423

a)

2 2

1 2 1 2

1

5 2 5 2

n n n

n n n n

lim lim lim

n n n n

→∞ →∞ → ∞  + _ +  ₋ _₌ ₋ _{= − − ∞ = −∞}  _   − − + − − +   b) 2 2 2 2

2 1 2 1

0

5 2 5 2

n n n

n n n n

lim lim lim

n n n n

→∞ →∞ → ∞ ₋ ₊ _ ₋ ₊  ₋ _₌ ₋ _{= − ∞ = −∞}      − + − +  

c) 5 1 5 1 0

2 3 2 2 3 2

n n

nlim→∞ _n nlim→∞ nlim→∞ _n

 _  _

 _ ₌  _ _⋅ _{= +∞ ⋅}

 __  __

 

  −   − → Indeterminación.

d) ( ) ( ) 3 3 0 0,3 0,3 n n n n n lim n n lim lim →∞ →∞ →∞ − − − − −∞ = = = −∞

a) 1 1

2 2

n n

lim lim

n n

→∞ ₋ = →∞ ₋ = = c)

1 1

0 0

5 5

n

n lim n

nlim _n nlim_n

→∞ +∞ →∞ →∞  _  _  _ ₌ _ ₌ ₌  __  __    +   +  b) 2 2 2 2

3 6 3 6

log log log 1 0

3 3 n n n n lim lim n n →∞ →∞ − − = = =

d) ( )

1 1

1

2 2

n

n lim n

n n n n lim lim n n →∞ _∞ →∞ →∞  − _  − _   =  = −      

 −   −  → No existe.

a) 3 2 2 6 lim 3 n n n n →∞ − + +∞ → − +∞

3 ₂ 2 ₆ ₃

El mayor grado de es .

3 2 n n n lim n n →∞ − + → − 3 2 3 2 3

3 2 ₂ 3

3 3

2 2

2 6 ₂ ₆

2 6 1

3 3 3 0 n n n n n n n n lim

n n n n

lim lim n n n _lim n n →∞ →∞ →∞ →∞ − + ₋ ₊ − + = = = = +∞ − − − b) 3 2 3 2 3 5 n n n lim n n →∞ + +∞ → +∞ − − 3 2 3 2 3

El mayor grado de es 3. 5 n n n lim n n n →∞ + → − −

3 2 3 2

3 2 ₃ ₃

3 2 3 2 3 2

3 6

3 3

3 1

0

5 5 5

n

n n

n

n n n n

lim

n n _n _n

lim lim

n n n n n n

(4)

424

a)

4 3

2

8 3 1

3 1 n n n lim n →∞ + − +∞ → − +∞ 4 3 2

8 3 1

El mayor grado de es 2.

3 1 n n n lim n n →∞ + − → − 4 3 4 3 ₂ 2 2 2

8 3 1

0

3 1

n n

n n _n

lim lim n n n →∞ →∞ + − + − = = − − b) 3 2 3 3

3 5 7 1

n

n lim

n n n

→∞ + +∞ → −∞ − + + − 3 2 3 3

3 5 7 1

n

lim n

n n n

→∞

+

→

− + + −

3

3 2 3 2

3 3

3

3 1

3

3 5 7 1 3 5 7 1

n n

n

n _n

lim lim

n n n n n n

n →∞ →∞ + + = = − − + + − − + + − a)

2 ₁ 2 1 n n n lim n n →∞  ₊ _  ₋ __{→ ∞ − ∞}  _    +  

2 2 2

2

1 1

1

n n n n

 ₊ _ _{+ +}  ₋ _₌  _    + +  

2 2 2

2

1 1

n n

n n n n

lim lim

n n n n

→∞ →∞  + _ + +  ₋ _₌ ₌  _    + +   b) 2 2

1 2 3

3 2 4

n n n lim n n →∞  ₋ ₋ _  ₋ __{→ −∞ + ∞}      − −  

2 2 3 2

2

1 2 3 7 2 4

3 2 4 3 14 8

n n n n n

n n n n

− − + + −

− =

− − − +

2 2 3 2

2

1 2 3 7 2 4

3 2 4 3 14 8

n n

n n n n n

lim lim

n n n n

→∞ →∞  ₋ ₋ _ ₊ _{+ −}  ₋ _₌ _{= +∞}  _    − − − +   c) 3 3 2 2

2 2 1

4 1 1

n

n n n

lim

n n n

→ ∞  + + _{+ }  ₋ __{→ ∞ − ∞}  _    − − +  

3 3 5 4 3

2 2 4 3 2

2 2 1 3 6 3 3

4 1 1 4 3 1

n n n n n n n

+ + + − + − + +

− =

− − + − + − −

3 3 5 4 3

2 2 4 3 2

2 2 1 3 6 3 3

4 1 1 4 3 1

n n

n n n n n n n

lim lim

n n n n n n n

nlim→∞ n n nlim→∞ _n _n

−

− − = =

− +

b)

(

₂ 2 ₁

)

nlim→∞ n− n − → ∞ − ∞

(

2

)

2

2 3 1 2 1 2 1 n n n

lim n n lim

n n

→∞ →∞

+

− − = = +∞

+ −

c)

(

3 1

)

nlim→∞ n+ −n → ∞−∞

(

3 1

)

2 3 1

3 1

n n

lim n n lim

n n

→∞ → ∞

− + +

+ − = = −∞

+ +

d)

(

2 ₄ ₁ 2 ₁

)

nlim→∞ n + n− − n + → ∞ − ∞

(

2 2

)

2 2

4 2

4 1 1 2

4 1 1

n n

n

lim n n n lim

n n n

→∞ →∞

−

+ − − + = =

+ − + +

a) 1 1 5 1

n

nlim _n ∞ →∞  _  +  →  _   1 1 5 5 5 1 1 1 1 n n

nlim→∞ _n nlim→∞ _n e

   _ _ _{ }  +  =  +  =          __ __ b) 1 3 1 1 n

nlim _n − ∞ →∞  _  +  →  _   ( ) 3 ₁ 3 1 3 3 1 1 1 3 n n n n

nlim _n nlim n e

⋅ − − →∞ →∞     _ _           +  =  +  =           __ _ _   _        c) 2 3 1 1 1 n

nlim _n ∞ →∞  _  −  →  _   2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 n n

nlim _n nlim _n e

− − − →∞ →∞    _ _ _{ }  ₋ _ ₌  ₊ _ ₌  __ _ _{ }_     __ −  __ d) 1 3 1 1 1 2 n

nlim _n

− ∞ →∞  _  −  →  _   1 1 3 2 1 2 1 3 6 1 1 1 1 2 2 n n n _n

nlim _n nlim _n e

(6)

426

 

 

b) 1 2 1

1 n

nlim _n

∞ →∞  _  −  →  _  +  2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 n n n n

− + + − − →∞ →∞     _ _   _        −  =  +  =  _      +   +  _ −  _   c) 3 2 3 1 1 2 n

nlim _n

− ∞ → ∞  _  +  →  _   ( )

3 3 2 2 2

3

3 2 9

2 3 1 1 1 2 2 3 n n n n

− − →∞ →∞     _ _           +  =  +  =           __ _ _   _        d) 2 2 1 1 1 n n n lim n ∞ →∞  _  +  →  _  +  2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n

lim lim e

n n n + + →∞ →∞   _ _   _   _ _ _   +  =  +   =  _      +  __ + _ _            a) 2 2

3 2 1 1

2 6 2

x x x lim x x →+∞ + − = −

− − b)

(

2

)

2 3 1 2 x x x lim x →+∞ ⋅ − = −∞ −

a)

(

1

)

xlim→+∞ x− −x = −∞ b)

2 2

3 3 3 2 3 2

3 3

3 1 1

1 ₃ ₂ 0

2 3 3 x x x x x x x lim lim x x  _ − ⋅     + + −      →+∞ →+∞     _ _   _   −       =  +  =  _      +   +  _ ₋ _  _ _    a) 1 2 1 1 x x lim x + → − + = −∞

− 1

2 1 1 x x lim x − → − + = +∞

− b) x 0 1

x lim

x +

→ = x 0 1

x lim x − → = − ( )

2 23 4 2

xlim f x_→−− =xlim_→−− x+ = − ( )

2

2 21 3

(7)

427

a) ₁ ( ) ₁ 2

3 1

1

2 3

x x

x

lim f x lim

x x

→ →

−

= =

− +

b) ₁ ( ) ₁ 1 ₁ ( )

1 2

2 1

No existe . 2

1

1 x

x x x

x

x lim

x x

lim f x lim lim f x

x x

lim x −

+

→−

→− →− →−

→−

 −

 = −∞



− _ +

= =_ →

−

+ _ _{= +∞}

 ₊



( )

( ) ( )

0 0

0

0 0

3 3

No existe . 2

2 1

x x

x

x x

lim f x lim x

lim f x x

lim f x lim

x

− −

+ +

→ →

→

→ →



= − = _

_→ 

− _

= _{= − }

+ 

( )

3 3

2 1

1 4

x x

x

lim f x lim

x

→ →

−

= =

+

a) 1 ( ) 2 1

2 8

x

y f x

x

−

= → =

+ b) ( ) ₍ ₎

2 2 2 2

1

x

y f x

x

= → =

+ c) ( )

2 2

3 5

3

7 3

x

y f x

x x

−

= → =

(8)

428

a) ( ) ( )

2 2

3 1 3 3

tiene una asíntota horizontal en .

2 1 2 2

x x

x

lim f x lim f x y

x

→∞ →∞

−

= = → =

−

b) ( ) ( )

3 3

1 2 1 1

tiene una asíntota horizontal en .

4 2 2 2

x x

x

x x

→∞ →∞

−

= = − → = −

−

c) ( ) 2 1 2 ( ) tiene una asíntota horizontal en 2.

x x

x

→∞ →∞

−

= = → =

d) ( ) ( )

2 2

1

1 tiene una asíntota horizontal en 1.

2 3

x x

x

x x

→∞ →∞

+

= = → =

− −

a) Dom f=ℝ

f(x)no tiene asíntotas verticales.

b) Dom f=ℝ− −{ 2}

f(x)tiene una asíntota vertical en x =−2.

( )

( ) ( )

2

tiene una asíntota vertical en 2. x

x

lim f x

f x x

lim f x −

+

→−

 = +∞_{ →}

= − 

 = −∞_

c) Dom f =ℝ− −{ 1, 1}

( )

( ) ( )

1

x

lim f x

f x x

lim f x −

+

→−

 = −∞_{ →}

= − 

 = +∞_

( )

( ) ( )

1

x

lim f x

f x x

lim f x −

+

→

 = +∞_{ →}

= 

 = −∞_

a) ( ) ( )

2 2 2

2 1 ₁ 1

x x x x

f x x x x x

lim lim lim f x x lim

x x x x

→+∞ → +∞ →+∞ → +∞

− +

= = → − = =

− −

(9)

429

b) ( ) 2 ₃ 0

x x

f x x

lim lim

x x x

→+∞ = → +∞ ₋ =

f(x)tiene una asíntota horizontal. Por tanto, no tiene asíntota oblicua.

c) ( ) ( )

3 3 3

3 2

3 2 3 2 3 9

3 3 0

9 9

x x x x

f x x x x x x x

lim lim lim f x x lim

x x x x

→+∞ → +∞ →+∞ → +∞

+ + − +

= = → − = =

− −

f(x)tiene la asíntota oblicua y= 3x.

a) Dom f=ℝ− −{ }3 →f x( ) es continua en ℝ− −{ }3 .

b) Dom f=ℝ→f x( ) es continua en .ℝ

(10)

430

a) Dom f=ℝ

( )

( ) ( ) ( )

1

1 1

No existe y no es continua en 1. 1

x

x x

lim f x

lim f x f x x

lim f x − + → → →  = −∞_{ →} =   = − _

La discontinuidad es de salto infinito. La función tiene una asíntota vertical en x= 1. b) Dom f=ℝ

( )

( ) ( ) ( )

1

1 1

x

x x

lim f x

lim f x f x x

lim f x − + → → →  = +∞_{ →} =   = _

La discontinuidad es de salto infinito. La función tiene una asíntota vertical en x = 1.

SABER HACER

a)

3 3

2

2 3 1

1 2 n n n lim n →∞ + − +∞ → +∞ + 3 3 2

2 3 1

El mayor grado de es 1. 1 2 n n n lim n n →∞ + − → + 3 3 3 3 3

3 3 3

6

2 2 2

2

2 3 1

2 3 1 2 1

2 2

1 2 1 2 1 2

n n n n n n n n lim

n n n n

lim lim

n n n

lim n n →∞ →∞ →∞ →∞ + − + − + − = = = = + + + b) 2 3 6 1 7 7 n n n lim n →∞ − + +∞ → − +∞ 2 3 6 1

7 7 n n n lim n n →∞ − + → − 2 2

2 3 6

3 3

3

3 3

6 1

6 1 0

0

7 7 7 7

7 7 7

n

n n

n

n n

n n _lim

n n n n

lim lim n n n lim n n →∞ →∞ →∞ →∞ − + − + − + = = = = − − − c) 2

3₂ ₇

8 1 n n n lim n →∞ + + +∞ → − +∞ 2

3₂ ₇

8 1 n n n lim n n → ∞ + + → − 2 2 3 3 2 3 3 2 7 2 7

2 7 0

0

8 1 8 1

8 1 8

n

n n

n

n n

n n _lim

n n n n

(11)

431

a) 3 2 2 1 1 1 n n n lim n ∞ →∞  _  +  →  _  −  2 2 2 ₃ 1 1 2 3 6 2 2 2 1 1 1 1 1 2 n _n n n n n n n n

lim lim e

n n n ⋅ − − →∞ →∞   _ _      _ _    +  =  +   =  _      −  __ − _ _            b) 2 ₃ 2 1 1 5 2 n n n lim n − ∞ →∞  _{− }  _ _→  _  + 

(2 )

2

6 ₃ 5 2 5 2

6 3

2 1 1

1 0 5 2 5 2 6 n n n n n n n

lim lim e

n n − ⋅ − + ₊ − − −∞ →∞ →∞     _ _      −       =  +  = =  _      +   +  _ ₋ __         c) 3 2 2 1 1 2 n n n lim n ∞ →∞  − _  _{ →}  _   − +   2 2 1 3

3 2 2

2 0 2 2 1 1 1 1 2 2 n

n n n

n n

n

lim lim e

n n ⋅ − − →∞ →∞    − _ _  _  _{ =}  ₊ _ ₌ ₌          − +  −    _ _ a) 2 2 4 16 0 16 x x lim x → − = + b) 2 3 2 3 2 3 5 9 5 9

2 6 _{no existe.}

5 9 2 6

2 6 x x x x lim x

x x _lim

x x x

lim x x − + →− →− →−  − _ = −∞_ ₋ + _{ →}   − _ + = +∞ +  a) 2 0

1 1 0

0 x x lim x → + − → 2 2 0 0 1 1 0 1 1 x x x x lim lim x x → → + − = = + + b) 2 2

5 3 0

2 0 x x lim x → + − → − 2 2 2 2

5 3 2 2

2 5 3 3

x x x x lim lim x x → → + − + = = − _{+ +}

( ) 2 ₂ ₃

x f x

x x

= −

(12)

432

a)

4 2

3 2 5 1

1 x

x x x

lim x →+∞ − + − = −∞ − 4 2

3 2 5 1

1 x

x x x

lim x →−∞ − + − = +∞ − b) 2 5 3 4 3 x x x lim x →+∞ + − = +∞ + 2 5 3 4 3 x x x lim x →−∞ + − = −∞ + c) 4 2 2 3 1 x x x lim x →+∞ + = −∞ − 4 2 2 3 1 x x x lim x →−∞ + = −∞ − d) 3 5 2 1 x x x lim x → +∞ − − = +∞ − 3 5 2 1 x x x lim x →−∞ − − = +∞ −

a) ( ) ( )

4 2

2 3

no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas. 1

x x

lim f x lim f x

x

→∞ →∞

+

= = −∞ →

−

b) ( )

2 2

3 1

3 3

x x

f x x

lim lim x x →∞ →∞ − = = − − ( ) ( )

2 ₃ ₁ ₁

0 tiene una asíntota oblicua en .

3 3 3

x x

x

lim f x lim x f x y x

x

→∞ →∞

−

= + = → = −

−

c) ( )

3 3 2

1

x x

f x x x

lim lim

x x x

→∞ → ∞ − = = − − ( ) ( ) 3 2 2

0 tiene una asíntota oblicua en . 1

x x

lim f x lim x f x y x

x

→∞ →∞

−

= + = → = −

−

d) ( ) 2 ( )

3 1

0 tiene una asíntota horizontal en 0. 5

x x

x

x x

→∞ → ∞

−

= = → =

−

a) Domf =ℝ

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1

No existe y no es continua en 2. x

x x

lim f x

lim f x f x x

lim f x − + → → →  = _  → =   = +∞_

( )

( ) ( )

3

1

es continua en 3. 1

x

lim f x

f x x

(13)

433

b) Domf=[0,+ ∞ −) { }4

( )

( ) ( )

0

No existe.

no es continua en 0. 0

x

lim f x

f x x

lim f x −

+

→



→ _

 → =

 

= _

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

6

2 x

x x

lim f x

lim f x f x x

lim f x −

+

→

→ →

 = _

_→ ₌

  = − _

La discontinuidad es de salto finito.

( )

( ) ( ) ( )

4

4 4

No existe y no es continua en 4. x

x x

lim f x

lim f x f x x

lim f x −

+

→

→ →

 = −∞_{ →}

= 

 = +∞_

a) ( ) ( ) ( )

1

es continua en 1 si se verifica que 1 : x

f x x f lim f x

→

= =

( )

1

1 1 1 2

1 1

x

lim f x

lim f x k k k

f k

−

+

→

 = − _  

= − + → − + = − → = 

 = − + _

b) ( ) ( ) ( )

0

es continua en 0 si se verifica que 0 : x

f x x f lim f x

→

= =

( )

0

3 2

3

1 1 1

2

0 1

x

k lim f x

k

lim f x k

f −

+

→

 − 

= _

− _ − 

= − _→ = − → = −

 

= − _



ACTIVIDADES FINALES

a) 1

1 n

n a

n

− =

+ c)

( 1)2 1

1 n

n a

n

− −

= +

b) ( 1)

2 n

n n

a = − d) n ₃1

n a

n

(14)

434

n 1 10 100 1000 10000

an 0,1818 0,4462 0,4942 0,4994 0,4999

1 2 n nlim a→∞ =

n 1 10 100 1000 10000

an 1 0,4857 0,0501 0,0050 0,0005

0 n nlim a→∞ =

a)

6 4 3

3 1

5 3 2 1

n

n lim

n n n

→∞

+

= +∞

+ + − d)

5 3 4 5 3

3 1 4

n

n n n

lim

n n

→ ∞

+ −

= −

− −

b)

3 2

1 2 5 1

2 3 6 1 2

n

n n n

lim

n n n

→∞

− + −

= −

− + − e)

(

2

)

2 3

4 1

2 2 n

n n

lim

n n n

→∞

− = −

+ −

c)

2 4

3 4

4 5 2 1

)

2 4

2 3 1

3 1 n n n lim n n →∞ + + +∞ → +∞ + +

(

)

2 4

2 3 1

3 3 1 n n n lim n n →∞ + + = + + e) 2 2 1 3 5 n n n lim n →∞ + + +∞ → + +∞ 2 2 1 1 3 5 n n n lim n →∞ + + = + f) 3 2 3 2 5 n n n lim n →∞ − + +∞ → + +∞ 3 2 3 2 0 5 n n n lim n →∞ − + = + a)

2 ₅ 2 1 n

n n n

lim n n →∞  ₊ _  ₋ __{→ ∞ − ∞}  _    +  

2 ₅ 2 ₄ 2 ₂ ₁

1 1

n n

n n n n n

lim lim

n n n

→∞ →∞  ₊ _ ₋ ₊ ₊  ₋ _₌ _{= −∞}  _    + +   b) 2 2 3 1 n

n n n

lim n n →∞  − − _  ₊ __{→ ∞ − ∞}      +  

2 2 2

2

3 2 3 3

2 1

n n

n n n n n

lim lim

n n n n

→∞ →∞  − − _ − + +  ₊ _₌ _{= −}      + +   c) 2 3 3 2 5 3 n n n lim n n →∞  ₋ _  ₊ __{→ ∞ − ∞}  _    − +  

2 3 4 3 2

2

3 2 2 13 9

5 3 2 15

n n

n n n n n

lim lim

n n n n

→∞ → ∞  ₋ _ ₋ ₊ ₊  ₊ _₌ _{= −∞}  _    − + − −   d)

3 2 3 2

3 3

3 4 4 3 4 4

0

2 7 2 7

n n n

n n n n n n

lim lim lim

n n n n

→∞ →∞ →∞  + _ +  ₋ _₌ ₋ _{= +∞ − = +∞}       e) 2 3 2

6 4 4

3 2

n

n n n

lim n n → ∞  ₊ _  ₋ __{→ ∞ − ∞}  _     2 3 2

6 4 4 4 4

3 2 3 3

n n

n n n

lim lim n n →∞ →∞  ₊ _  ₋ _₌ ₌  _     f)

2 3 2 3

3 4 3 4

7 4 5 7 4 5

0 0 0

2 3 2 3

n n n

n n n n n n

lim lim lim

n n n n

(16)

436

a)

1 1

2 3

n

nlim _n

− ∞ →∞

 _

 +  →

 _

 + 

1 1 2 1

1

2 3

n

nlim _n e

−

→ ∞

 _

 +  =

 _

 + 

b)

2 ₁

2 3

1

2 1

n

n n lim

n +

∞ →∞

 _{− }

  →

 _

 + 

2 ₁

2 3

0

2 1

n

n n lim

n +

→∞

 _{− }

  =

 _

 + 

c)

2 2

1 1 1

n

n lim

n

∞ →∞

 _{− }

 _{ →}

 

 +

 

2 2

1 1 1

n

n lim

n

→∞  _{− }

 _{ =}

 

 +

 

d) 2 1

1 n

n

n lim

n

∞ →∞

 _

 −  →

 _

 +  2 1

n

lim e

n

→∞

 _

 −  =

 _

(17)

xlim→−∞ x − x + x − x− = +∞

a) 2 ₅ ₁

xlim→+∞−x + x− = +∞

b) ₃ 3 ₂ 2 ₇

xlim→−∞ x − x + − = +∞x

c) ₁ 2 ₅ 6

(18)

438

a)

2 3 2

5 3

0 2

x

x x

lim

x x

→+∞

− +

=

− + c)

(

)

(

)

3 2

2 2 3 5

7 7 7 7

6

4 2

x

x x x

lim

x x x x

→+∞

+ + ₋

=

− −

b)

(

)

3 4 3

4 ₁

7 4 4

x

x x x

lim

x x

→+∞

− + =

− + + d)

4 3 2

1 6

3 2 3

x

x x x

lim

x x

→+∞

+ − +

= −∞

+ −

a)

2 2

5 7 1

2 1 2

x

x x

lim

x x

→−∞

+ +

=

+ + c)

3 2 2 3

2 10 1

2 3 2

x

x x x

lim

x x x

→−∞

− −

=

− + − +

b)

3 2

4 2

2 3 11

x

x x

lim

x x

→−∞

+ −

= +∞

− + d)

2 2 3

3 21

0

5 4 2

x

x x

lim

x x x

→−∞

− + +

=

− +

a)

2

2 3 2

5 1 5

x

x lim

x

→+∞ +

= −

c)

2

6 2

3 2

x

x lim

x

→+∞ −

= +∞ +

b)

2

4 3

4 2 1 4

3

3 3 1

x

x x

lim

x x

→+∞

− −

=

− +

d)

2

5 2

0

7 1

x

x lim

x x

→+∞ −

=

(19)

439

a)

2 3

2 2

2 1 1

x

x x

lim

x x

→+∞

 _

 ₋ __{→ ∞ − ∞}

 _

 

 + +

 

2 3

2

2 1

2 1 1 2

x

x x

lim

x x

→+∞

 _

 ₋ __{= −}

 _

 

 + +

 

b)

2 2

5 1 3

2 x

x x

lim

x x

→−∞

 ₊ ₋ _

 ₊ __{→ ∞ − ∞}

 _

 

 +

 

2 2

5 1 3

2 x

x x

lim

x x

→−∞

 ₊ ₋ _

 ₊ __{= −∞}

 _

 

 +

 

c)

3 2

2

2 1

2 2 4

x

x x

lim

x x x

→−∞

 _{+ }

 ₋ __{→ ∞ − ∞}

 _

 

 − −

 

3 2

2

2 1

0

2 2 4

x

x x

lim

x x x

→−∞

 _{+ }

 ₋ _₌

 _

 

 − −

 

a)

(

2 ₄

)

xlim x→+∞ − x + x → ∞ − ∞

(

2

)

2 4

4 2

4

x x

x

lim x x x lim

x x x

→+∞ →+∞

2 2

)

2 2

3

2 1 2 4 0

2 1 2 4

xlim→+∞ x x x x xlim→+∞ _x _x _x _x

−

− + − − + = =

− + + − +

a)

2

1 0

3 2

x

x x lim

x →+∞

 _{− }

 _ ₌

 _

 + 

b)

3 2 2

1 x

x

x lim

x

− ∞ →+∞

 _{+ }

 _ _→

 _  

3 2 6 2 x x

x

lim e

x

−

→+∞  _{+ }

 _ ₌

(20)

440

b) 3 2 1 3

8 x

x

x x

lim x

− →+∞

 ₋ _{+ }

 _ _{= +∞}

 _

 

 −

 

c)

2 3 2

2 4

3 1

1 x

x

x x x

lim x

x e

→+∞

 − + _

 ₋ _ ₌

 _

 

 +

 

a) ( )

1 1( 1) 0 xlim f x− xlim x−

→ = → − = b) ( ) ( )

2

1 1 1 2

xlim f x_→+ =xlim x_→+ + =

a) ( ) 2

0 0 0

xlim f x− xlim− x

→ = → − = c) xlim f x_→4− ( )=xlim_→4− x =2

b) ( )

0 0 0

xlim f x_→+ =xlim_→+ x =

d) ( )

4 4 3 3

xlim f x+ xlim+

(21)

441

a) ( )

2 1

xlim f x_→−− =

c) ( )

4 5

xlim f x_→− =

b) ( )

2 3

xlim f x_→−+ = −

d) ( )

4 5

xlim f x_→+ =

a) ( )

2 1

xlim f x−

→− = c) xlim f x→+∞ ( )=0

b) ( )

2

1 2 xlim f x_→−+ = −

d) ( )

(22)

442

a) _xlim f x( )

→−∞ = −∞ c) xlim f x2− ( ) 3

→− = − e) xlim f x→−2 ( )= −3 g) xlim f x3+ ( ) 5

→ = −

b) _xlim f x( )

→+∞ = +∞ d) xlim f x2+ ( ) 3

→− = − f) 3 ( )

9 2

xlim f x_→− = h) xlimf x→₃ ( )→No existe.

a) ₂

0

3 1 1

2 0 x x lim x x → + →

+ ₀ 2

3 1 2 x x lim x x − → + = −∞

+ ₀ 2

3 1 2 x x lim x x + → + = +∞ +

b) ₂

0 0 2 0 x x lim x x → ₊ → ( ) 2 0 0 1

2 2 2

x x

lim lim

x x x x

→ ₊ = → ₊ =

c) ₂

0 2 1 1 1 x x lim x → + = − − d) 2 2 2 4 0 2 0 x x lim x x →− − → + ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 x x x x x lim lim

x x x x

→− →−

− +

−

= =

+ +

e) ₂

2 4 2 2 1 x x lim x x →− + = + + f) 2 2 2 4 8 2 0 x x lim x x →− + → + 2 2 2 4 2 x x lim x x − →− + = +∞ + 2 2 2 4 2 x x lim x x + →− + = −∞ + a) 2 2 1 1 0 2 0 x x lim x x → − → + − ( )( ) ( )( ) 2 2 1 1 1 1 1 2

2 1 2 3

x x

x

lim lim

x x x x

→ →

− +

−

= =

+ − − +

b) ₂

3

3 0

6 9 0

x x lim x x → − →

− + 3

1 3 xlim_→−_x = −∞

− 3

1 3 xlim_→+_x = +∞

(23)

443

c)

3 2

3 2 4

3 12 4 0

7 14 8 0

x

x x x

lim

x x x

→− + − − → + + +

(

)

( ) ( )( )( ) 2 3 2 3 2 4 4

3 1 4

3 12 4 47

7 14 8 1 2 4 6

x x

x x x

lim lim

x x x x x x

→− →− − + + − − = = + + + + + + d) 3 2 3 2 5

9 15 25 0

5 2 10 0

x

x x x

lim

x x x

→ − + + → − + − ( )( )

(

)

( ) 2 3 2

3 2 2

5 5

1 5

9 15 25

0

5 2 10 2 5

x x

x x x

lim lim

x x x x x

→ → + − − + + = = − + − + − e) 3 2 3 2 0

5 3 0

2 3 0

x

x x

lim

x x x

→ − → − + ( )

(

)

2 3 2

3 2 2

0 0

5 3

0

2 3 2 3

x x

lim lim

x x x x x x

→ → − − = = − + − + f) 2 3 2 1

3 2 0

2 2 0

x

x x

lim

x x x

→ − + → − − + ( )( ) ( )( )( ) 2 3 2 1 1 1 2

3 2 1

2 2 1 2 1 2

x x

lim lim

x x x x x x

→ → − − − + = = − − + − − + a) 0

2 2 0

0 x x lim x → + − → 0 0

2 2 1 2

4 2 2 x x x lim lim x x → → + − = = + +

b) ₂

4

3 1 0

16 0 x x lim x → − − →

− ₄ 2 ₄₍ ₎

(

)

3 1 1 1

16 4 3 1 16

x x

x

lim lim

x x x

→ → − − = = − + − + c) 0

1 1 0

0 x x lim x → + − → 0 0

1 1 1 1

2 1 1 x x x lim lim x x → → + − = = + + d) 2 2 2

5 3 0

4 0 x x lim x → + − → − 2 2 2 2 2

5 3 1 1

4 ₅ ₃ 6

x x x lim lim x x → → + − = = − + + e) 1

2 1 1

0 2 2 x x lim x → − →

− 1

2 1 2 2 x x lim x + → − = +∞

− 1

2 1 No existe. 2 2 x x lim x − → − → − f) 2 4

3 4 0

0

2 1 3

x x x lim x → − − → + − ( )

₍

₎

2 4 4

1 2 1 3

3 4

15 2

2 1 3

x x x x x x lim lim x → → + + + − − = = + − 1

3 2 0

0 1 x x x lim x → + − → − ( )( ) ( )

(

)

( )( ) 2 2

1 1 1 1 1

1 4 3

3 2 1 3 4 3 4 1 1 7

1 2 1 2

1 1 3 2 3 2

x x x x x

x x

x x x x x x x x

lim lim lim lim lim

x x

x x x x x x

(24)

444

3 3 2 2 0 2 0 x x lim x → − → − ( )

(

)

( )

(

)

3 2 3 2

3 3 3

2 3 3

2 2 2 3 3

2 2 2 2

2 2 2 ₂ ₂ 8

x x x

lim lim lim

x x x _x _x

→ → →

− − −

= = =

− − + − +

a) ▪ Si a≠ 0:

0 0 x a x a lim x a → − → − ( )

( )

₍

₎

2

x a x a

x a

x a a

lim lim

x a x a x a a

→ →

− −

= =

− − +

▪ Si a= 0:

0 0 0 x x lim x

→ → 0 0 0

1 1

0

x x x

x x

lim lim lim

x x x x

→ = → = → → 0 0 1 x x x lim lim x x + _→

→ = = +∞ x 0 No existe.

x lim

x −

→ →

b) ▪ Si b≠ 0:

(

)

2

2 1 x b

x b b b b b

lim

x b b

0

2 2 ₂

0 x

x x a _a

lim x → + − − →

(

3

)

0

2 2

x

x x a

lim x

→

+ −

= ∞

▪ Si c=a y c≠ 0:

(

3

) (

3

)

2 2 0

0 x c

x x c c

2 2

3 2

x c x c

x c x cx c

x x c c

lim lim c

x c x c

→ →

− + + +

+ − +

= = +

− −

▪ Si c=a y c= 0:

3 0 2 0 0 x x x lim x → + → 3 2 0 0 2 2 2 x x x x

lim lim x

x

→ →

+

(25)

445

d) ▪ Si d≠ 0:

( )

2 2

4 4 0

1 0

x d

x d x d

lim

x d x d

→−

+ − −

→

+ − −

( )

( )( )

2 2

4 4 4 4

1 1 1

x d x d

x d x d x d x d

lim lim

x d x d x d x d

→− →−

+ − − + − +

= =

+ − − + − +

▪ Si d= 0:

2 2 0

4 0

0 x

x x

lim

x x

→ −

→

−

( )

2 2

0 0 0

4 4

4

1 1

x x x

x x x

x x

lim lim lim

x x x x x

→ → →

− −

−

= = =

− − −

a) 3 No existe.

x

lim cos x sen x

→π − →

b) 3 3

2

0 x

lim tg x cos x

π →

⋅ → ∞ ⋅

3

3 3 3 3

3

2 2 2

1

x x x

sen x

lim tg x cos x lim cos x lim sen x

cos x

π π π

→ → →

⋅ = ⋅ = =

c)

2 0

1 0

0 x

sec x lim

sec x sen x

→

− → ⋅

2

2 ₂ 2

0 0 0 0 0

1 1

1

1 1

x x x x x

cos x

sec x cos x cos x cos x sen x

lim lim lim lim lim

sen x

sec x sen x _{sen x} sen x sen x

cos x cos x

→ → → → →

− −

= = = = =

⋅ _⋅

d)

2 2 2

2 0

0 0 x

sen x tg x sen x

lim

tg x

→

⋅ +

→

2 4 2 2

2 2

2 2 2 ₂ ₂

2 2

2

0 0 0 0

2 2

1

x x x x

sen x sen x cos x sen x

sen x sen x

sen x tg x sen x _{cos x} _{cos x}

lim lim lim lim sen x cos x

sen x sen x

tg x

cos x cos x

→ → → →

+ ⋅

⋅ +

(26)

446

x 1 10 100 1000 10000

f(x) −0,5 −2,5455 −2,9505 −2,9950 −2,9995

x −2 −10 −100 −1000 −10000

f(x) −2,6666 −3,5556 −3,0505 −3,0050 −3,0005

Sí, es cierto que y =−3 es una asíntota horizontal.

Cuando x tiende a +_∞, la función está por encima de la asíntota.

(27)

447

x −1 −1,5 −1,9 −1,99 −1,999 −1,9999

f(x) 4 13,5 93,1 993,01 9993,001 99993,0001

x −2,0001 −2,001 −2,01 −2,1 −2,5

f(x) −100007 −10007,001 −1007,01 −107,1 −27,5

Sí, es cierto que x =−1 es una asíntota vertical.

Cuando x tiende a −2 por la izquierda, la rama infinita de la función tiende a −_∞.

Cuando x tiende a −2 por la derecha, la rama infinita de la función tiende a +_∞.

x 10 100 1000 10000

f(x) 42,2632 402,0251 4002,0025 40002,0003

Esta es la tabla de valores de la recta y= 4x+ 2.

x 10 100 1000 10000

y 42 402 4002 40002

Sí, es cierto que y= 4x+ 2 es una asíntota oblicua.

Cuando x tiende a +_∞, la función está por encima de la asíntota.

(28)

448

a) Dom f=ℝ− −{ 3}

( )

3

La función tiene una asíntota vertical en 3. x

x

lim f x

lim f x x

− + →− →−  = +∞_  = −∞__→ = −

( ) 1 ( ) tiene una asíntota horizontal en 1. 3

x x

x

→∞ = →∞ ₊ = → =

b) Dom f =ℝ− −{ 1, 1}

( ) ( )

1

La función tiene una asíntota vertical e n 1. x

x

lim f x

x lim f x

− + →− →−  = +∞_{ →} = −   = −∞_ ( ) ( ) 1 1

x

lim f x

x lim f x

− + → →  = −∞_{ →} =   = +∞_

( ) 2 ( )

2

xlim f x→∞ =xlim→∞_x ₋ = →f x y=

c) Dom f = ℝ _→_f₍_x₎_{no tiene asíntotas verticales.}

( ) 2 ( )

5

x x

x

→∞ →∞

− +

= = → =

− −

d) Dom f=ℝ− −

{

3, 3

}

( )

3

x

lim f x

x lim f x

− + →− →−  = −∞  → = −   = +∞_ ( ) ( ) 3 3

x

lim f x

x lim f x

− + → →  = −∞  → =   = +∞_

( ) 2 ( )

3 1

x x

x

→∞ →∞

−

= = → =

−

e) Dom f=ℝ− −_{ 2, 2_}

( )

2

x

lim f x

x lim f x

− + →− →−  = −∞_{ →} = −   = +∞_ ( ) ( ) 2 2

x

lim f x

x lim f x

− + → →  = −∞_{ →} =   = +∞_

( ) 2 ( )

1

x x

x

→∞ →∞

+

= = → =

−

f) Dom f = ℝ _→_f₍_x₎_{no tiene asíntotas verticales.}

( ) ( )

2 2 2

x x

x