Límite de una función

52  11  Descargar (0)

Texto completo

(1)

Límite de una función

421

9

ACTIVIDADES

100 49 5 000

a = 101

99 10 201

a = 102

25 2 601

a =

a) an=2n−1 c) an=n n( −1)

b) 4 11

5 3

n n

n

a = −

⋅ d) 2

2 5

n

n a

n

− +

=

a) nlim an 1

→∞ = d) nlim a→∞ n=0

b) nlim an

→∞ = +∞ e) nlim a→∞ n=1

c) nlim a→∞ n= −∞ f) nlim a→∞ n= −7

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) 4

5 1

n

a n

=

+ d)

4 1

10 n

n a

n

− =

+ g) ( )1

n n

a = −

b) an=3n3−7 e)

1 3 n

n a

n

= h)

( )

2 2 1 n

an a

n

= −

c) an=4−n f)

5 2 n

n a

n

+

= i)

2 5

(2)

422

a)

nlim n→∞ = +∞ c)

3 nlim n→∞ = +∞

b) 1 2 2 7

2 nlim→∞ n n



− − + = −∞



  d)

3 2 n

nlim→∞     = +∞    

a) 2 8 0

2 3 1

n

n lim

n n

→∞ + = b)

( ) ( ) 10 10 1 1 2 n n lim n →∞ − = + a)

5 2 2

6 2

4 3 1

3

2 1 1

n

n n n

lim n n →∞  −   = −    + +

  d)

2 2 3 1 3 2 n n lim n n →∞ + = + + b) 2 4 3 4

3 1 4

0 2 3 n n n lim n n →∞  −  =    +

  e)

1 1 0 1 1 n n n lim n n →∞  + −   =  − +  c) 2 7 ln 2 n n lim n →∞ +

= +∞ f) ( )

3

4 2

1 4 1

2 1 2

n

n n

lim

n n n

→∞   + = −    − −   a) 4 3 4 3 1 1

2 1 3 1 6

n

n n

lim

n n n

→∞  + − + =    + + +

  c)

( )( ) ( )2

1 1 2 ln 1 n n n lim n n →∞   + −   

  + → No existe. e)

2 1 0,1 1 n n nlim + → ∞ = b) 3 3 2 1 ln 0 2 n n lim n n →∞  +    =      +

  d)

2 2 2 1 1 9 81 n n nlim − +

→∞ = f)

(3)

423

a)

2 2

1 2 1 2

1

5 2 5 2

n n n

n n n n

lim lim lim

n n n n

→∞ →∞ → ∞  +  +  = = − − ∞ = −∞   − − + − − +   b) 2 2 2 2

2 1 2 1

0

5 2 5 2

n n n

n n n n

lim lim lim

n n n n

→∞ →∞ → ∞  + + = = − ∞ = −∞      − + − +  

c) 5 1 5 1 0

2 3 2 2 3 2

n n

nlim→∞ n nlim→∞ nlim→∞ n

   

= = +∞ ⋅

 

  −   − → Indeterminación.

d) ( ) ( ) 3 3 0 0,3 0,3 n n n n n lim n n lim lim →∞ →∞ →∞ − − − − −∞ = = = −∞

a) 1 1

2 2

n n

n n

lim lim

n n

→∞ = →∞ = = c)

1 1

0 0

5 5

n

n lim n

nlim n nlimn

→∞ +∞ →∞ →∞     = = =    +   +  b) 2 2 2 2

3 6 3 6

log log log 1 0

3 3 n n n n lim lim n n →∞ →∞ − − = = =

d) ( )

1 1

1

2 2

n

n lim n

n n n n lim lim n n →∞ →∞ →∞  −   −    =  = −      

 −   −  → No existe.

a) 3 2 2 6 lim 3 n n n n →∞ − + +∞ → − +∞

3 2 2 6 3

El mayor grado de es .

3 2 n n n lim n n →∞ − + → − 3 2 3 2 3

3 2 2 3

3 3

2 2

2 6 2 6

2 6 1

3 3 3 0 n n n n n n n n lim

n n n n

lim lim n n n lim n n →∞ →∞ →∞ →∞ − + + − + = = = = +∞ − − − b) 3 2 3 2 3 5 n n n lim n n →∞ + +∞ → +∞ − − 3 2 3 2 3

El mayor grado de es 3. 5 n n n lim n n n →∞ + → − −

3 2 3 2

3 2 3 3

3 2 3 2 3 2

3 6

3 3

3 1

0

5 5 5

n

n n

n

n n n n

lim

n n n n

lim lim

n n n n n n

(4)

424

a)

4 3

2

8 3 1

3 1 n n n lim n →∞ + − +∞ → − +∞ 4 3 2

8 3 1

El mayor grado de es 2.

3 1 n n n lim n n →∞ + − → − 4 3 4 3 2 2 2 2

8 3 1

8 3 1

0

3 1

3 1

n n

n n

n n n

lim lim n n n →∞ →∞ + − + − = = − − b) 3 2 3 3

3 5 7 1

n

n lim

n n n

→∞ + +∞ → −∞ − + + − 3 2 3 3

El mayor grado de es 1.

3 5 7 1

n

n

lim n

n n n

→∞

+

− + + −

3

3 2 3 2

3 3

3

3 1

3

3 5 7 1 3 5 7 1

n n

n

n n

lim lim

n n n n n n

n →∞ →∞ + + = = − − + + − − + + − a)

2 1 2 1 n n n lim n n →∞  + → ∞ − ∞    +  

2 2 2

2

1 1

1

n n n n

n n n n

+ + + =    + +  

2 2 2

2

1 1

1 1

n n

n n n n

lim lim

n n n n

→∞ →∞  +  + +  = =    + +   b) 2 2

1 2 3

3 2 4

n n n lim n n →∞  → −∞ + ∞      − −  

2 2 3 2

2

1 2 3 7 2 4

3 2 4 3 14 8

n n n n n

n n n n

− − + + −

− =

− − − +

2 2 3 2

2

1 2 3 7 2 4

3 2 4 3 14 8

n n

n n n n n

lim lim

n n n n

→∞ →∞  + + − = = +∞    − − − +   c) 3 3 2 2

2 2 1

4 1 1

n

n n n

lim

n n n

→ ∞  + + +   → ∞ − ∞    − − +  

3 3 5 4 3

2 2 4 3 2

2 2 1 3 6 3 3

4 1 1 4 3 1

n n n n n n n

n n n n n n n

+ + + − + − + +

− =

− − + − + − −

3 3 5 4 3

2 2 4 3 2

2 2 1 3 6 3 3

4 1 1 4 3 1

n n

n n n n n n n

lim lim

n n n n n n n

(5)

425

a)

(

2

)

nlim→∞ n− − n → ∞−∞

(

2

)

2 0

2

nlim→∞ n n nlim→∞ n n

− − = =

− +

b)

(

2 2 1

)

nlim→∞ nn − → ∞ − ∞

(

2

)

2

2 3 1 2 1 2 1 n n n

lim n n lim

n n

→∞ →∞

+

− − = = +∞

+ −

c)

(

3 1

)

nlim→∞ n+ −n → ∞−∞

(

3 1

)

2 3 1

3 1

n n

n n

lim n n lim

n n

→∞ → ∞

− + +

+ − = = −∞

+ +

d)

(

2 4 1 2 1

)

nlim→∞ n + n− − n + → ∞ − ∞

(

2 2

)

2 2

4 2

4 1 1 2

4 1 1

n n

n

lim n n n lim

n n n

→∞ →∞

+ − − + = =

+ − + +

a) 1 1 5 1

n

nlim n ∞ →∞    +  →     1 1 5 5 5 1 1 1 1 n n

nlim→∞ n nlim→∞ n e

        +  =  +  =            b) 1 3 1 1 n

nlim n − ∞ →∞    +  →     ( ) 3 1 3 1 3 3 1 1 1 3 n n n n

nlim n nlim n e

⋅ − − →∞ →∞                +  =  +  =                    c) 2 3 1 1 1 n

nlim n ∞ →∞    −  →     2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 n n

nlim n nlim n e

− − − →∞ →∞        =+ =        −  d) 1 3 1 1 1 2 n

nlim n

− ∞ →∞    −  →     1 1 3 2 1 2 1 3 6 1 1 1 1 2 2 n n n n

nlim n nlim n e

(6)

426

 

 

b) 1 2 1

1 n

nlim n

∞ →∞    −  →    +  2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 n n n n

nlim n nlim n e

− + + − − →∞ →∞                −  =  +  =        +   +   −     c) 3 2 3 1 1 2 n

nlim n

− ∞ → ∞    +  →     ( )

3 3 2 2 2

3

3 2 9

2 3 1 1 1 2 2 3 n n n n

nlim n nlim n e

− − →∞ →∞                +  =  +  =                    d) 2 2 1 1 1 n n n lim n ∞ →∞    +  →    +  2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n

lim lim e

n n n + + →∞ →∞              +  =  +   =        +  +             a) 2 2

3 2 1 1

2 6 2

x x x lim x x →+∞ + − = −

− − b)

(

2

)

2 3 1 2 x x x lim x →+∞ ⋅ − = −∞ −

a)

(

1

)

xlim→+∞ x− −x = −∞ b)

2 2

3 3 3 2 3 2

3 3

3 1 1

1 3 2 0

2 3 3 x x x x x x x lim lim x x − ⋅     + + −      →+∞ →+∞           −       =  +  =        +   +        a) 1 2 1 1 x x lim x + → − + = −∞

− 1

2 1 1 x x lim x − → − + = +∞

− b) x 0 1

x lim

x +

→ = x 0 1

x lim x − → = − ( )

2 23 4 2

xlim f x→−− =xlim→−x+ = − ( )

2

2 21 3

(7)

427

a) 1 ( ) 1 2

3 1

1

2 3

x x

x

lim f x lim

x x

→ →

= =

− +

b) 1 ( ) 1 1 1 ( )

1 2

2 1

No existe . 2

1

1 x

x x x

x

x lim

x x

lim f x lim lim f x

x x

lim x

+

→−

→− →− →−

→−

 −

 = −∞



+

= =

+ = +∞

 +



( )

( ) ( )

0 0

0

0 0

3 3

No existe . 2

2 1

x x

x

x x

lim f x lim x

lim f x x

lim f x lim

x

− −

+ +

→ →

→ →

= − = 



= = − 

+ 

( )

3 3

2 1

1 4

x x

x

lim f x lim

x

→ →

= =

+

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) 1 ( ) 2 1

2 8

x

y f x

x

= → =

+ b) ( ) ( )

2 2 2 2

1

x

y f x

x

= → =

+ c) ( )

2 2

3 5

3

7 3

x

y f x

x x

= → =

(8)

428

a) ( ) ( )

2 2

3 1 3 3

tiene una asíntota horizontal en .

2 1 2 2

x x

x

lim f x lim f x y

x

→∞ →∞

= = → =

b) ( ) ( )

3 3

1 2 1 1

tiene una asíntota horizontal en .

4 2 2 2

x x

x

lim f x lim f x y

x x

→∞ →∞

= = − → = −

c) ( ) 2 1 2 ( ) tiene una asíntota horizontal en 2.

x x

x

lim f x lim f x y

x

→∞ →∞

= = → =

d) ( ) ( )

2 2

1

1 tiene una asíntota horizontal en 1.

2 3

x x

x

lim f x lim f x y

x x

→∞ →∞

+

= = → =

− −

a) Dom f=ℝ

f(x)no tiene asíntotas verticales.

b) Dom f=ℝ− −{ 2}

f(x)tiene una asíntota vertical en x =−2.

( )

( ) ( )

2

2

tiene una asíntota vertical en 2. x

x

lim f x

f x x

lim f x

+

→−

→−

 = +∞ →

= − 

 = −∞

c) Dom f =ℝ− −{ 1, 1}

( )

( ) ( )

1

1

tiene una asíntota vertical en 1. x

x

lim f x

f x x

lim f x

+

→−

→−

 = −∞ →

= − 

 = +∞

( )

( ) ( )

1

1

tiene una asíntota vertical en 1. x

x

lim f x

f x x

lim f x

+

 = +∞ →

= 

 = −∞

a) ( ) ( )

2 2 2

2 1 1 1

x x x x

f x x x x x

lim lim lim f x x lim

x x x x

→+∞ → +∞ →+∞ → +∞

− +

= = → − = =

− −

(9)

429

b) ( ) 2 3 0

x x

f x x

lim lim

x x x

→+∞ = → +∞ =

f(x)tiene una asíntota horizontal. Por tanto, no tiene asíntota oblicua.

c) ( ) ( )

3 3 3

3 2

3 2 3 2 3 9

3 3 0

9 9

x x x x

f x x x x x x x

lim lim lim f x x lim

x x x x

→+∞ → +∞ →+∞ → +∞

+ + − +

= = → − = =

− −

f(x)tiene la asíntota oblicua y= 3x.

a) Dom f=ℝ− −{ }3 →f x( ) es continua en ℝ− −{ }3 .

b) Dom f=ℝ→f x( ) es continua en .ℝ

(10)

430

a) Dom f=ℝ

( )

( ) ( ) ( )

1

1 1

No existe y no es continua en 1. 1

x

x x

lim f x

lim f x f x x

lim f x − + → → →  = −∞ → =   = − 

La discontinuidad es de salto infinito. La función tiene una asíntota vertical en x= 1. b) Dom f=ℝ

( )

( ) ( ) ( )

1

1 1

No existe y no es continua en 1. 1

x

x x

lim f x

lim f x f x x

lim f x − + → → →  = +∞ → =   = 

La discontinuidad es de salto infinito. La función tiene una asíntota vertical en x = 1.

SABER HACER

a)

3 3

2

2 3 1

1 2 n n n lim n →∞ + − +∞ → +∞ + 3 3 2

2 3 1

El mayor grado de es 1. 1 2 n n n lim n n →∞ + − → + 3 3 3 3 3

3 3 3

6

2 2 2

2

2 3 1

2 3 1

2 3 1 2 1

2 2

1 2 1 2 1 2

n n n n n n n n lim

n n n n

lim lim

n n n

lim n n →∞ →∞ →∞ →∞ + − + − + − = = = = + + + b) 2 3 6 1 7 7 n n n lim n →∞ − + +∞ → − +∞ 2 3 6 1

El mayor grado de es 3.

7 7 n n n lim n n →∞ − + → − 2 2

2 3 6

3 3

3

3 3

6 1

6 1

6 1 0

0

7 7 7 7

7 7 7

n

n n

n

n n

n n lim

n n n n

lim lim n n n lim n n →∞ →∞ →∞ →∞ − + − + − + = = = = − − − c) 2

32 7

8 1 n n n lim n →∞ + + +∞ → − +∞ 2

32 7

El mayor grado de es 1.

8 1 n n n lim n n → ∞ + + → − 2 2 3 3 2 3 3 2 7 2 7

2 7 0

0

8 1 8 1

8 1 8

n

n n

n

n n

n n lim

n n n n

(11)

431

a) 3 2 2 1 1 1 n n n lim n ∞ →∞    +  →    −  2 2 2 3 1 1 2 3 6 2 2 2 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n n

lim lim e

n n n ⋅ − − →∞ →∞               +  =  +   =        −  −             b) 2 3 2 1 1 5 2 n n n lim n − ∞ →∞  −     + 

(2 )

2

6 3 5 2 5 2

6 3

2 1 1

1 0 5 2 5 2 6 n n n n n n n

lim lim e

n n − ⋅ − + + − − −∞ →∞ →∞           −       =  +  = =        +   +           c) 3 2 2 1 1 2 n n n lim n ∞ →∞  −  →   − +   2 2 1 3

3 2 2

2 0 2 2 1 1 1 1 2 2 n

n n n

n n

n

lim lim e

n n ⋅ − − →∞ →∞    −     =+ = =          − +  −     a) 2 2 4 16 0 16 x x lim x → − = + b) 2 3 2 3 2 3 5 9 5 9

2 6 no existe.

5 9 2 6

2 6 x x x x lim x

x x lim

x x x

lim x x − + →− →− →−  −  = −∞ +  →   − + = +∞ +  a) 2 0

1 1 0

0 x x lim x → + − → 2 2 0 0 1 1 0 1 1 x x x x lim lim x x → → + − = = + + b) 2 2

5 3 0

2 0 x x lim x → + − → − 2 2 2 2

5 3 2 2

2 5 3 3

x x x x lim lim x x → → + − + = = − + +

Respuesta abierta. Por ejemplo:

( ) 2 2 3

x f x

x x

= −

(12)

432

a)

4 2

3 2 5 1

1 x

x x x

lim x →+∞ − + − = −∞ − 4 2

3 2 5 1

1 x

x x x

lim x →−∞ − + − = +∞ − b) 2 5 3 4 3 x x x lim x →+∞ + − = +∞ + 2 5 3 4 3 x x x lim x →−∞ + − = −∞ + c) 4 2 2 3 1 x x x lim x →+∞ + = −∞ − 4 2 2 3 1 x x x lim x →−∞ + = −∞ − d) 3 5 2 1 x x x lim x → +∞ − − = +∞ − 3 5 2 1 x x x lim x →−∞ − − = +∞ −

a) ( ) ( )

4 2

2 3

no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas. 1

x x

x x

lim f x lim f x

x

→∞ →∞

+

= = −∞ →

b) ( )

2 2

3 1

3 3

x x

f x x

lim lim x x →∞ →∞ − = = − − ( ) ( )

2 3 1 1

0 tiene una asíntota oblicua en .

3 3 3

x x

x

lim f x lim x f x y x

x

→∞ →∞

= + = → = −

c) ( )

3 3 2

1

x x

f x x x

lim lim

x x x

→∞ → ∞ − = = − − ( ) ( ) 3 2 2

0 tiene una asíntota oblicua en . 1

x x

x x

lim f x lim x f x y x

x

→∞ →∞

= + = → = −

d) ( ) 2 ( )

3 1

0 tiene una asíntota horizontal en 0. 5

x x

x

lim f x lim f x y

x x

→∞ → ∞

= = → =

a) Domf =ℝ

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1

No existe y no es continua en 2. x

x x

lim f x

lim f x f x x

lim f x − + → → →  =   → =   = +∞

La discontinuidad es de salto infinito. La función tiene una asíntota vertical en x = 2.

( )

( ) ( )

3

3

1

es continua en 3. 1

x

x

lim f x

f x x

(13)

433

b) Domf=[0,+ ∞ −) { }4

( )

( ) ( )

0

0

No existe.

no es continua en 0. 0

x

x

lim f x

f x x

lim f x

+



 → =

 

= 

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

6

No existe y no es continua en 2. 1

2 x

x x

lim f x

lim f x f x x

lim f x

+

→ →

 = 

 =

  = − 

La discontinuidad es de salto finito.

( )

( ) ( ) ( )

4

4 4

No existe y no es continua en 4. x

x x

lim f x

lim f x f x x

lim f x

+

→ →

 = −∞ →

= 

 = +∞

La discontinuidad es de salto infinito. La función tiene una asíntota vertical en x = 4.

a) ( ) ( ) ( )

1

es continua en 1 si se verifica que 1 : x

f x x f lim f x

= =

( )

( )

( )

1

1

1

1 1 1 2

1 1

x

x

lim f x

lim f x k k k

f k

+

 = −   

= − + → − + = − → = 

 = − + 

b) ( ) ( ) ( )

0

es continua en 0 si se verifica que 0 : x

f x x f lim f x

= =

( )

( )

( )

0

0

3 2

3

1 1 1

2

0 1

x

x

k lim f x

k

lim f x k

f

+

 − 

= 

 − 

= − → = − → = −

 

= − 



ACTIVIDADES FINALES

a) 1

1 n

n a

n

− =

+ c)

( 1)2 1

1 n

n a

n

− −

= +

b) ( 1)

2 n

n n

a = − d) n 31

n a

n

(14)

434

n 1 10 100 1000 10000

an 0,1818 0,4462 0,4942 0,4994 0,4999

1 2 n nlim a→∞ =

n 1 10 100 1000 10000

an 1 0,4857 0,0501 0,0050 0,0005

0 n nlim a→∞ =

a)

6 4 3

3 1

5 3 2 1

n

n lim

n n n

→∞

+

= +∞

+ + − d)

5 3 4 5 3

3 1 4

n

n n n

lim

n n

→ ∞

+ −

= −

− −

b)

3 2

3 2

1 2 5 1

2 3 6 1 2

n

n n n

lim

n n n

→∞

− + −

= −

− + − e)

(

2

)

2 3

4 1

2 2 n

n n

lim

n n n

→∞

− = −

+ −

c)

2 4

3 4

4 5 2 1

5

3 2 5

n

n n n

lim

n n n

→∞

− + −

=

− + − f)

(

4 3

)

2

5 4

4 2

3 4

n

n n n

lim

n n

→∞

+ +

= +∞

(15)

435

a) 2 4 3 3 1 n n n lim n →∞ + − +∞ → + +∞ 2

4 3 2

3 1 3

n n n lim n →∞ + − = + b) 2 3 4

8 3 2

2 n n n lim n n →∞ + + +∞ → +∞ + 2 3 4

8 3 2

4 2 2 n n n lim n n →∞ + + = + c) 3 2

5 2 6

6 n n n lim n n →∞ − + +∞ → − − +∞ 3 2

5 2 6

0 6 n n n lim n n →∞ − + = − − d)

(

)

2 4

2 3 1

3 1 n n n lim n n →∞ + + +∞ → +∞ + +

(

)

2 4

2 3 1

3 3 1 n n n lim n n →∞ + + = + + e) 2 2 1 3 5 n n n lim n →∞ + + +∞ → + +∞ 2 2 1 1 3 5 n n n lim n →∞ + + = + f) 3 2 3 2 5 n n n lim n →∞ − + +∞ → + +∞ 3 2 3 2 0 5 n n n lim n →∞ − + = + a)

2 5 2 1 n

n n n

lim n n →∞  + → ∞ − ∞    +  

2 5 2 4 2 2 1

1 1

n n

n n n n n

lim lim

n n n

→∞ →∞  + + + = = −∞    + +   b) 2 2 3 1 n

n n n

lim n n →∞  − − + → ∞ − ∞      +  

2 2 2

2

3 2 3 3

2 1

n n

n n n n n

lim lim

n n n n

→∞ →∞  − −  − + +  + = = −      + +   c) 2 3 3 2 5 3 n n n lim n n →∞  + → ∞ − ∞    − +  

2 3 4 3 2

2

3 2 2 13 9

5 3 2 15

n n

n n n n n

lim lim

n n n n

→∞ → ∞  + ++ = = −∞    − + − −   d)

3 2 3 2

3 3

3 4 4 3 4 4

0

2 7 2 7

n n n

n n n n n n

lim lim lim

n n n n

→∞ →∞ →∞  +  +  = = +∞ − = +∞       e) 2 3 2

6 4 4

3 2

n

n n n

lim n n → ∞  + → ∞ − ∞     2 3 2

6 4 4 4 4

3 2 3 3

n n

n n n

lim lim n n →∞ →∞  + = =     f)

2 3 2 3

3 4 3 4

7 4 5 7 4 5

0 0 0

2 3 2 3

n n n

n n n n n n

lim lim lim

n n n n

(16)

436

a)

1 1

1 1

2 3

n

nlim n

− ∞ →∞



 +  →



 + 

1 1 2 1

1

2 3

n

nlim n e

→ ∞



 +  =



 + 

b)

2 1

2 3

1

2 1

n

n n lim

n +

∞ →∞

− 

  →



 + 

2 1

2 3

0

2 1

n

n n lim

n +

→∞

− 

  =



 + 

c)

2 2

1 1 1

n

n

n lim

n

∞ →∞

− 

 →

 

 

 +

 

2 2

1 1 1

n

n

n lim

n

→∞  − 

 =

 

 

 +

 

d) 2 1

1 n

n

n lim

n

∞ →∞



 −  →



 +  2 1

n

n

n

lim e

n

→∞



 −  =



(17)

437

a)

(

2 3 1

)

xlim x→+∞ − x+ = +∞

b)

(

3 2 7 4 3

)

xlim→+∞ xxx − = −∞

c)

(

2 3 5 2 1

)

xlim→−∞ xx +x − = +∞

d)

(

4 2 3 4 1

)

xlim→−∞ x − +x x − = +∞

e)

(

4 6 3 3 2 2 6 1

)

xlim→−∞ xx + xx− = +∞

a) 2 5 1

xlim→+∞−x + x− = +∞

b) 3 3 2 2 7

xlim→−∞ xx + − = +∞x

c) 1 2 5 6

(18)

438

a)

2 3 2

5 3

0 2

x

x x

lim

x x

→+∞

− +

=

− + c)

(

)

(

)

3 2

2 2 3 5

7 7 7 7

6

4 2

x

x x x

lim

x x x x

→+∞

+ +

=

− −

b)

(

)

3 4 3

4 1

7 4 4

x

x x x

lim

x x

→+∞

− + =

− + + d)

4 3 2

1 6

3 2 3

x

x x x

lim

x x

→+∞

+ − +

= −∞

+ −

a)

2 2

5 7 1

2 1 2

x

x x

lim

x x

→−∞

+ +

=

+ + c)

3 2 2 3

2 10 1

2 3 2

x

x x x

lim

x x x

→−∞

− −

=

− + − +

b)

3 2

4 2

2 3 11

x

x x

lim

x x

→−∞

+ −

= +∞

− + d)

2 2 3

3 21

0

5 4 2

x

x x

lim

x x x

→−∞

− + +

=

− +

a)

2

2 3 2

5 1 5

x

x lim

x

→+∞ +

= −

c)

2

2

6 2

3 2

x

x lim

x

→+∞ −

= +∞ +

b)

2

4 3

4 2 1 4

3

3 3 1

x

x x

lim

x x

→+∞

− −

=

− +

d)

2

5 2

0

7 1

x

x lim

x x

→+∞ −

=

(19)

439

a)

2 3

2 2

2 1 1

x

x x

lim

x x

→+∞



→ ∞ − ∞

 

 + +

 

2 3

2

2 1

2 1 1 2

x

x x

lim

x x

→+∞



= −

 

 + +

 

b)

2 2

5 1 3

2 x

x x

lim

x x

→−∞

+

+ → ∞ − ∞

 

 +

 

2 2

5 1 3

2 x

x x

lim

x x

→−∞

+

+ = −∞

 

 +

 

c)

3 2

2

2 1

2 2 4

x

x x

lim

x x x

→−∞

+ 

→ ∞ − ∞

 

 − −

 

3 2

2

2 1

0

2 2 4

x

x x

lim

x x x

→−∞

+ 

=

 

 − −

 

a)

(

2 4

)

xlim x→+∞ − x + x → ∞ − ∞

(

2

)

2 4

4 2

4

x x

x

lim x x x lim

x x x

→+∞ →+∞

− + = = −

+ +

b)

(

2 6

)

xlim→+∞ x + −x → ∞ − ∞

(

2

)

2 6

6 0

6 xlim→+∞ x + −x =xlim→+∞ x + +x=

c)

(

2 4 2 3

)

xlim→+∞ x + − x − → ∞− ∞

(

2 2

)

2 2

7

4 3 0

4 3

x→+∞lim x + − x − =xlim→+∞ x + + x =

d)

(

2 2 1 2 2 4

)

xlim→+∞ xx+ − xx+ → ∞− ∞

(

2 2

)

2 2

3

2 1 2 4 0

2 1 2 4

xlim→+∞ x x x x xlim→+∞ x x x x

− + − − + = =

− + + − +

a)

2

1 0

3 2

x

x x lim

x →+∞

− 

=



 + 

b)

3 2 2

1 x

x

x lim

x

− ∞ →+∞

+ 

  

3 2 6 2 x x

x

lim e

x

→+∞  + 

=

(20)

440

b) 3 2 1 3

8 x

x

x x

lim x

− →+∞

+ 

= +∞

 

 −

 

c)

2 3 2

2 4

3 1

1 x

x

x x x

lim x

x e

→+∞

 − + 

=

 

 +

 

a) ( )

1 1( 1) 0 xlim f xxlim x

→ = → − = b) ( ) ( )

2

1 1 1 2

xlim f x+ =xlim x+ + =

a) ( ) 2

0 0 0

xlim f xxlimx

→ = → − = c) xlim f x4− ( )=xlim4− x =2

b) ( )

0 0 0

xlim f x+ =xlim+ x =

d) ( )

4 4 3 3

xlim f x+ xlim+

(21)

441

a) ( )

2 1

xlim f x→−− =

c) ( )

4 5

xlim f x− =

b) ( )

2 3

xlim f x→−+ = −

d) ( )

4 5

xlim f x+ =

a) ( )

2 1

xlim f x

→− = c) xlim f x→+∞ ( )=0

b) ( )

2

1 2 xlim f x→−+ = −

d) ( )

(22)

442

a) xlim f x( )

→−∞ = −∞ c) xlim f x2− ( ) 3

→− = − e) xlim f x→−2 ( )= −3 g) xlim f x3+ ( ) 5

→ = −

b) xlim f x( )

→+∞ = +∞ d) xlim f x2+ ( ) 3

→− = − f) 3 ( )

9 2

xlim f x− = h) xlimf x3 ( )→No existe.

a) 2

0

3 1 1

2 0 x x lim x x → + →

+ 0 2

3 1 2 x x lim x x − → + = −∞

+ 0 2

3 1 2 x x lim x x + → + = +∞ +

b) 2

0 0 2 0 x x lim x x+ → ( ) 2 0 0 1

2 2 2

x x

x x

lim lim

x x x x

+ = → + =

c) 2

0 2 1 1 1 x x lim x → + = − − d) 2 2 2 4 0 2 0 x x lim x x →− − → + ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 x x x x x lim lim

x x x x

→− →−

− +

= =

+ +

e) 2

2 4 2 2 1 x x lim x x →− + = + + f) 2 2 2 4 8 2 0 x x lim x x →− + → + 2 2 2 4 2 x x lim x x − →− + = +∞ + 2 2 2 4 2 x x lim x x + →− + = −∞ + a) 2 2 1 1 0 2 0 x x lim x x → − → + − ( )( ) ( )( ) 2 2 1 1 1 1 1 2

2 1 2 3

x x

x x

x

lim lim

x x x x

→ →

− +

= =

+ − − +

b) 2

3

3 0

6 9 0

x x lim x x → − →

− + 3

1 3 xlimx = −∞

− 3

1 3 xlim+x = +∞

(23)

443

c)

3 2

3 2 4

3 12 4 0

7 14 8 0

x

x x x

lim

x x x

→− + − − → + + +

(

)

( ) ( )( )( ) 2 3 2 3 2 4 4

3 1 4

3 12 4 47

7 14 8 1 2 4 6

x x

x x

x x x

lim lim

x x x x x x

→− →− − + + − − = = + + + + + + d) 3 2 3 2 5

9 15 25 0

5 2 10 0

x

x x x

lim

x x x

→ − + + → − + − ( )( )

(

)

( ) 2 3 2

3 2 2

5 5

1 5

9 15 25

0

5 2 10 2 5

x x

x x

x x x

lim lim

x x x x x

→ → + − − + + = = − + − + − e) 3 2 3 2 0

5 3 0

2 3 0

x

x x

lim

x x x

→ − → − + ( )

(

)

2 3 2

3 2 2

0 0

5 3

5 3

0

2 3 2 3

x x

x x

x x

lim lim

x x x x x x

→ → − − = = − + − + f) 2 3 2 1

3 2 0

2 2 0

x

x x

lim

x x x

→ − + → − − + ( )( ) ( )( )( ) 2 3 2 1 1 1 2

3 2 1

2 2 1 2 1 2

x x

x x

x x

lim lim

x x x x x x

→ → − − − + = = − − + − − + a) 0

2 2 0

0 x x lim x → + − → 0 0

2 2 1 2

4 2 2 x x x lim lim x x → → + − = = + +

b) 2

4

3 1 0

16 0 x x lim x → − − →

4 2 4( )

(

)

3 1 1 1

16 4 3 1 16

x x

x

lim lim

x x x

→ → − − = = − + − + c) 0

1 1 0

0 x x lim x → + − → 0 0

1 1 1 1

2 1 1 x x x lim lim x x → → + − = = + + d) 2 2 2

5 3 0

4 0 x x lim x → + − → − 2 2 2 2 2

5 3 1 1

4 5 3 6

x x x lim lim x x → → + − = = − + + e) 1

2 1 1

0 2 2 x x lim x → − →

− 1

2 1 2 2 x x lim x + → − = +∞

− 1

2 1 No existe. 2 2 x x lim x − → − → − f) 2 4

3 4 0

0

2 1 3

x x x lim x → − − → + − ( )

(

)

2 4 4

1 2 1 3

3 4

15 2

2 1 3

x x x x x x lim lim x → → + + + − − = = + − 1

3 2 0

0 1 x x x lim x → + − → − ( )( ) ( )

(

)

( )( ) 2 2

1 1 1 1 1

1 4 3

3 2 1 3 4 3 4 1 1 7

1 2 1 2

1 1 3 2 3 2

x x x x x

x x

x x x x x x x x

lim lim lim lim lim

x x

x x x x x x

(24)

444

3 3 2 2 0 2 0 x x lim x → − → − ( )

(

)

( )

(

)

3 2 3 2

3 3 3

2 3 3

2 2 2 3 3

2 2 2 2

2 2 2 2 2 8

x x x

x x x

lim lim lim

x x x x x

→ → →

− − −

= = =

− − + − +

a) ▪ Si a≠ 0:

0 0 x a x a lim x a → − → − ( )

( )

(

)

2

x a x a

x a

x a a

lim lim

x a x a x a a

→ →

− −

= =

− − +

▪ Si a= 0:

0 0 0 x x lim x

→ → 0 0 0

1 1

0

x x x

x x

lim lim lim

x x x x

→ = → = → → 0 0 1 x x x lim lim x x +

→ = = +∞ x 0 No existe.

x lim

x

→ →

b) ▪ Si b≠ 0:

(

)

2

2 1 x b

x b b b b b

lim

x b b

+ − −

= = −

▪ Si b= 0:

0 Es el mismo límite del apartado anterior. x x lim x + → = +∞ →

c) ▪ Si ca y c≠ 0:

(

3 2

) (

3 2

)

2( )

0 x c

x x c a c a

lim x c → + − + − → −

(

3 2

) (

3 2

)

x c

x x c a

lim x c → + − + = ∞ −

▪ Si ca y c= 0:

(

3

)

0

2 2 2

0 x

x x a a

lim x → + − − →

(

3

)

0

2 2

x

x x a

lim x

+ −

= ∞

▪ Si c=a y c≠ 0:

(

3

) (

3

)

2 2 0

0 x c

x x c c

lim x c → + − + → −

(

3

) (

3

)

( )

(

2

(

2

)

)

2 2

2 2

3 2

x c x c

x c x cx c

x x c c

lim lim c

x c x c

→ →

− + + +

+ − +

= = +

− −

▪ Si c=a y c= 0:

3 0 2 0 0 x x x lim x → + → 3 2 0 0 2 2 2 x x x x

lim lim x

x

→ →

+

(25)

445

d) ▪ Si d≠ 0:

( )

( )

2 2

4 4 0

1 0

x d

x d x d

lim

x d x d

→−

+ − −

+ − −

( )

( )

( )( )

( )( )

2 2

4 4 4 4

1 1 1

x d x d

x d x d x d x d

lim lim

x d x d x d x d

→− →−

+ − − + − +

= =

+ − − + − +

▪ Si d= 0:

2 2 0

4 0

0 x

x x

lim

x x

→ −

( )

( )

( )

( )

2 2

0 0 0

4 4

4

4

1 1

x x x

x x x

x x

lim lim lim

x x x x x

→ → →

− −

= = =

− − −

a) 3 No existe.

x

lim cos x sen x

→π − →

b) 3 3

2

0 x

lim tg x cos x

π →

⋅ → ∞ ⋅

3

3 3 3 3

3

2 2 2

1

x x x

sen x

lim tg x cos x lim cos x lim sen x

cos x

π π π

→ → →

⋅ = ⋅ = =

c)

2 0

1 0

0 x

sec x lim

sec x sen x

− → ⋅

2

2 2 2

0 0 0 0 0

1 1

1

1 1

1 1

x x x x x

cos x

sec x cos x cos x cos x sen x

lim lim lim lim lim

sen x

sec x sen x sen x sen x sen x

cos x cos x

→ → → → →

− −

− −

= = = = =

d)

2 2 2

2 0

0 0 x

sen x tg x sen x

lim

tg x

⋅ +

2 4 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

0 0 0 0

2 2

1

x x x x

sen x sen x cos x sen x

sen x sen x

sen x tg x sen x cos x cos x

lim lim lim lim sen x cos x

sen x sen x

tg x

cos x cos x

→ → → →

+ ⋅

⋅ +

⋅ +

(26)

446

x 1 10 100 1000 10000

f(x) −0,5 −2,5455 −2,9505 −2,9950 −2,9995

x −2 −10 −100 −1000 −10000

f(x) −2,6666 −3,5556 −3,0505 −3,0050 −3,0005

Sí, es cierto que y =−3 es una asíntota horizontal.

Cuando x tiende a +, la función está por encima de la asíntota.

(27)

447

x −1 −1,5 −1,9 −1,99 −1,999 −1,9999

f(x) 4 13,5 93,1 993,01 9993,001 99993,0001

x −2,0001 −2,001 −2,01 −2,1 −2,5

f(x) −100007 −10007,001 −1007,01 −107,1 −27,5

Sí, es cierto que x =−1 es una asíntota vertical.

Cuando x tiende a −2 por la izquierda, la rama infinita de la función tiende a −.

Cuando x tiende a −2 por la derecha, la rama infinita de la función tiende a +.

x 10 100 1000 10000

f(x) 42,2632 402,0251 4002,0025 40002,0003

Esta es la tabla de valores de la recta y= 4x+ 2.

x 10 100 1000 10000

y 42 402 4002 40002

Sí, es cierto que y= 4x+ 2 es una asíntota oblicua.

Cuando x tiende a +, la función está por encima de la asíntota.

(28)

448

a) Dom f=ℝ− −{ 3}

( )

( )

3

3

La función tiene una asíntota vertical en 3. x

x

lim f x

lim f x x

− + →− →−  = +∞  = −∞→ = −

( ) 1 ( ) tiene una asíntota horizontal en 1. 3

x x

x

lim f x lim f x y

x

→∞ = →∞ + = → =

b) Dom f =ℝ− −{ 1, 1}

( ) ( )

1

1

La función tiene una asíntota vertical e n 1. x

x

lim f x

x lim f x

− + →− →−  = +∞ → = −   = −∞ ( ) ( ) 1 1

La función tiene una asíntota vertical en 1. x

x

lim f x

x lim f x

− + → →  = −∞ → =   = +∞

( ) 2 ( )

2

0 tiene una asíntota horizontal en 0. 1

xlim f x→∞ =xlim→∞x = →f x y=

c) Dom f = ℝ f(x)no tiene asíntotas verticales.

( ) 2 ( )

5

0 tiene una asíntota horizontal en 0. 4

x x

x

lim f x lim f x y

x

→∞ →∞

− +

= = → =

− −

d) Dom f=ℝ− −

{

3, 3

}

( )

( )

3

3

La función tiene una asíntota vertical en 3. x

x

lim f x

x lim f x

− + →− →−  = −∞  → = −   = +∞ ( ) ( ) 3 3

La función tiene una asíntota vertical en 3. x

x

lim f x

x lim f x

− + → →  = −∞  → =   = +∞

( ) 2 ( )

3 1

0 tiene una asíntota horizontal en 0. 3

x x

x

lim f x lim f x y

x

→∞ →∞

= = → =

e) Dom f=ℝ− −{ 2, 2}

( )

( )

2

2

La función tiene una asíntota vertical en 2. x

x

lim f x

x lim f x

− + →− →−  = −∞ → = −   = +∞ ( ) ( ) 2 2

La función tiene una asíntota vertical en 2. x

x

lim f x

x lim f x

− + → →  = −∞ → =   = +∞

( ) 2 ( )

1

0 tiene una asíntota horizontal en 0. 4

x x

x

lim f x lim f x y

x

→∞ →∞

+

= = → =

f) Dom f = ℝ f(x)no tiene asíntotas verticales.

( ) ( )

2 2 2

2 tiene una asíntota horizontal en 2. 1

x x

x

lim f x lim f x y

x

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...