Método de Gauss

(1)

Sistemas

de

Ecuaciones Lineales

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

Matemáticas

de

2º de Bachillerato

Por Javier Carroquino Ca

Z

as

Catedrático de matemáticas

del I.E.S. Siete Colinas

(2)

Sistemas

de

Ecuaciones Lineales

(3)

Matemáticas de 2º de bachillerato

–•–

Ciencias de la Naturaleza y la Salud

Tecnología

Sistemas

De

Ecuaciones Lineales

Por

Javier Carroquino Cañas

Catedrático de matemáticas

I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)

Departamento de Matemáticas

(4)

I.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Depósito Legal : CE & 45 & 2004 ISBN : 84&688&6799&3

(5)

Prólogo

E

n ocasiones, encontrar la solución a un problema real, en el que la matemática juega un papel importante para llegar a ella, se reduce a la resolución de una ecuación o de un sistema de dos ecuaciones o de tres, etc, siendo esto la culminación de todo un proceso en el que dicho problema real (o parte de este) ha quedado “reducido” a un sistema de ecuaciones. Es por ello, por lo que la matemática debe afrontar el estudio de métodos que nos permitan resolver sistemas de ecuaciones, esto es, encontrar los valores que deben tomar las incógnitas para que todas las igualdades de que consta dicho sistema sean verdaderas.

Veremos en este tema distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales (o de primer grado), dando por supuesto que el alumno conoce los distintos métodos de resolución de ecuaciones y sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (reducción, igualación y sustitución).

Concluyamos diciendo que estos métodos son de aplicación en numerosos problemas relacionados con el estudio de espacio, la arquitectura, la construcción de máquinas y grandes estructuras, la economía, etc.

(6)

Índice

Página

1.Conceptos previos ... 1

1.1.Ecuación lineal... 1

Ejemplo 1... 1

1.2.Incógnitas de una ecuación... 1

Ejemplo 2 ... 2

Ejemplo 3... 2

1.3.Coeficientes de una ecuación ... 2

Ejemplo 4... 2

1.4.Término independiente de una ecuación ... 2

Ejemplo 5... 2

1.5.Solución de una ecuación ... 2

Ejemplo 6... 3

Ejemplo 7... 3

1.6.Resolución de una ecuación... 3

2.Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales.. 4

Ejemplo 8... 5

Ejemplo 9... 5

3.Solución de un sistema... 5

4.Discusión de un sistema... 6

5.Resolución de un sistema... 6

Ejemplo 10 ... 6

6.Expresión de un sistema en forma matricial... 7

Ejemplo 11 ... 8

Ejemplo 12 ... 9

Ejemplo 13 ... 9

Ejemplo 14 ... 11

Ejemplo 15 ... 11

Ejemplo 16 ... 12

7.Matriz ampliada de un sistema ... 12

Ejemplo 17 ... 13

8.Sistemas equivalentes ... 13

Ejemplo 18 ... 13

9.Clasificación de los sistemas respecto de sus soluciones .14 10.Propiedades de los sistemas ... 15

Propiedad I ... 15

Ejemplo 19 ... 15

Ejemplo 20 ... 15

Ejemplo 21 ... 18

Propiedad II ... 18

Ejemplo 22 ... 18

Propiedad III ... 19

Ejemplo 23 ... 20

11.Resolución de un sistema. Métodos de resolución... 21

12.Método de la matriz inversa para resolver un sistema ... 21

Ejemplo 24 ... 22

Ejemplo 25 ... 23

Ejemplo 26 ... 24

13.Método de Gauss para la resolución de un sistema ... 25

(7)

Página

Ejemplo 28 ... 27

Ejemplo 29 ... 29

14.Método de Gauss para la resolución de un sistema ... 29

Ejemplo 30 ... 30

Ejemplo 31 ... 31

15.Método de Cramer para la resolución de un sistema ... 32

15.1.Sistema de Cramer ... 32

Ejemplo 32 ... 33

Ejemplo 33 ... 33

Ejemplo 34 ... 34

Ejemplo 35 ... 36

Ejemplo 36 ... 37

Ejemplo 37 ... 37

16.Teorema de Rouché ... 39

16.1.Observaciones y consec. del teorema de Rouché .. 42

Ejemplo 38 ... 42

Ejemplo 39 ... 43

Ejemplo 40 ... 44

Ejemplo 41 ... 45

Ejemplo 42 ... 47

Ejemplo 43 ... 49

Ejemplo 44 ... 50

Ejemplo 45 ... 54

17.Sistemas homogéneos ... 54

Ejemplo 46 ... 55

17.1.Propiedades de los sistemas homogéneos ... 55

Propiedad I ... 55

Propiedad II... 55

Propiedad III ... 56

Propiedad IV. ... 56

17.2.Forma de discutir un sistema homogéneo ... 57

Ejemplo 47 ... 57

Ejemplo 48 ... 58

18.Los conjuntos ú2_,ú3_,ú4_,ÿÿ_,ún_{... 59}

18.1.El conjunto ú2_... ₅₉

Ejemplo 49 ... 60

18.2.El conjunto ú3_... ₆₀

Ejemplo 50 ... 60

18.3.El conjunto ú4_... ₆₀

Ejemplo 51 ... 60

18.4.El conjunto ún_... ₆₀

19.El conjunto de las soluciones de un sistema ... 61

Ejemplo 52 ... 62

Ejemplo 53 ... 62

Ejemplo 54 ... 62

Ejemplo 55 ... 63

20.Formas implícita y paramétrica de un subconjunto de ún_{.. 63}

Ejemplo 56 ... 64

21.Eliminación de parámetros ... 65

Ejemplo 57 ... 65

Ejemplo 58 ... 66

Ejemplo 59 ... 67

(8)

Página

Ejercicios resueltos ... 70

Ejercicio nº 1 ... 70

(9)

a x

_{1 1}

+

a x

_{2 2}

+

a x

_{3 3}

+

_LL

+

a x

_{n n}

=

c

3 2

5 11 0 73 12

1 2 3 4 5

x + x − x − ′ x +

π

x = −

a1 3 a2 a3 a4 a5 c

2

5 11 0 73 12

= ; = ; = − ; = − ′ ; =

π

; = −

A

ntes del estudio de este tema, el alumno debe afrontar previamente el desarrollado bajo el título “Matrices y determinantes” perteneciente a esta colección de apuntes de matemáticas para 2º de bachillerato (modalidad Ciencias de la Naturaleza y Salud o Científico Tecnológico).

Hay que suponer que el alumno conoce y maneja distintos conceptos previos, tales como “ecuación”, “sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas”, métodos de resolución de “sustitución”, “igualación” y “reducción”, “solución de una ecuación” ,etc.

Veremos en este tema distintos métodos de resolución de ecuaciones lineales (o de primer grado), tales como Gauss, Matricial, Cramer, Rouche, así como la interpretación y significado que tiene, en algunos casos, la solución o soluciones de un sistema. Finalicemos diciendo que en este caso nos dedicaremos a ecuaciones con coeficientes reales.

1.Conceptos

previos.-En el estudio de los distintos métodos de resolución de un sistema de ecuaciones, aparecen unos términos que el alumno debe conocer y que recordamos en este apartado.

1.1.Ecuación

lineal.-Se llama ecuación lineal o ecuación de primer grado a una expresión algebraica de la siguiente forma:

en la que

a

1,

a

2,

a

3, ...,

a

n y

c

son números conocidos, mientras que

x

1,

x

2,

x

3

,

....

,

x

n son números desconocidos

Ejemplo

1.-es una ecuación lineal. En 1.-este caso 1.-es:

1.2.Incógnitas de una

ecuación.-Hemos visto que en una ecuación lineal hay números conocidos y números desconocidos. A los números conocidos se les denomina incógnitas de la ecuación.

Por tanto, en la ecuación a x_{1 1}+ a x_{2 2} + a x_{3 3} +_LL+a x_{n n} = c las incógnitas son x1, x2, x3, ...., xn , es decir, es una ecuación con n incógnitas.

(10)

3 2

5 11 0 73 12

1 2 3 4 5

x + x − x − ′ x +

π

x = −

a

₁

3 a

₂

2 a

₃

a

₄

a

₅

5

11 0 73

=

;

=

;

= −

;

= − ′

;

=

π

Ejemplo

2.-Consideremos la ecuación del ejemplo 1.

Se trata de una ecuación lineal con cinco incógnitas: x1, x2, x3, x4, x5

Generalmente, si el número de incógnitas de una ecuación lineal es n = 3, suelen emplearse las letras x , y, z.

Ejemplo

3.-La ecuación lineal

x

− +

y

5 z

=

9

tiene tres incógnitas, que son: x , y , z. En este caso

a

1 = 1 ;

a

2 = -1;

a

3= 5 ;

c

= 9

1.3.Coeficientes de una

ecuación.-Los números (generalmente conocidos) que “van” multiplicando a las incógnitas se denominan coeficientes de la ecuación o coeficientes de las incógnitas.

Es decir, en la ecuación a x_{1 1} + a x_{2 2} + a x_{3 3} +_LL+a x_{n n}= c los coeficientes son los números reales

a

1,

a

2,

a

3

, ...,

a

n.

Ejemplo

4.-Consideremos la ecuación 3 2

5 11 0 73 12

1 2 3 4 5

x + x − x − ′ x +

π

x = − En este caso los coeficientes son :

1.4.Término independiente de una

ecuación.-Es el número real que no multiplica a ninguna de las incógnitas.

En la ecuación a x_{1 1}+ a x_{2 2} + a x_{3 3} +_LL+ a x_{n n} = c, el término independiente es

c

. El término independiente puede aparecer a cualquier lado de la igualdad, es decir, a la izquierda o a la derecha. Consideraremos como el valor de

c

cuando se encuentra aislado a un lado de la igualdad.

Ejemplo

5.-En la ecuación

9 x

−

7 y

+

3 z

+

45 0

=

, el término independiente es c = &45, ya que la ecuación es

9 x

−

7 y

+

3 z

= −

45

.

1.5.Solución de una

(11)

2⋅ − − + ⋅α ( 8 2 α)= ⋅ + − ⋅ =2 α 8 2 α 8

Es decir: a x_{1 1} + a x_{2 2} + a x_{3 3} +_LL+ a x_{n n}= c es una ecuación.

Supongamos que sustituimos la incógnitas x₁, x_2, x₃, ...., x_n por los valores siguientes: α1, α2,α3, ...., αn, es decir, x1=α1, x2 =α2, x3 =α3, ...., xn=αn , de tal modo que la igualdad a₁⋅

α

₁ + a₂⋅

α

₂ + a₃⋅

α

₃ +_LL+a_n ⋅

α

_n=c es verdadera.

Pues bien, en este caso se dice que el conjunto de números {α1, α2,α3, ...., αn} es una solución de la ecuación.

La solución de la ecuación puede expresarse de distintas formas:

Una forma: x1=α1, x2 =α2, x3 = α3, ...., xn= αn es solución de la ecuación. Otra forma: S = {α1, α2,α3, ...., αn} es solución de la ecuación.

Otra forma: sr = ( ,

α α α

₁ ₂, ₃, ,_K

α

_n)es solución de la ecuación.

Ejemplo

6.-Dada la ecuación 4x− 5y z+ = 20, una solución es S = { 7, &3, &23 } ya que si sustituimos en la ecuación los valores x = 7 ; y = &3 ; z = &23 tenemos que la igualdad 4·7&5·(&3) & 23 = 20 es verdadera.

Por tanto:

x = 7 ; y = &3 ; z = &23 es una solución de la ecuación Puede expresarse:

s

r

=

( , ,

7 3 23

− −

)

o también S = { 7, &3, &23 }.

A una ecuación lineal le puede ocurrir uno de los siguientes apartados:

L Que no tenga solución.

L Que tenga una única solución.

L Que tenga infinitas soluciones.

Ejemplo

7.-R La ecuación lineal con tres incógnitas0x+ 0y+ 0z=3 no tiene solución ya que no existen tres números reales α1, α2 , α3 que verifique la igualdad

. 0α₁+ 0α₂ + 0α₃=3

R La ecuación 54x =108 (ecuación con una incógnita) tiene una única solución: x = 2.

Nótese que cualquier otro número distinto de x = 2 no verifica la igualdad.

R La ecuación

2 x y

− =

8

tiene infinitas soluciones. Veamos: es una solución, ya que 2 · 0 &(&8) = 8

r

s

₁

=

( ,

0 −

8 )

es otra solución, ya que 2 · 1 &(&6) = 8

r

s

₂

=

( ,

1 −

6 )

es otra solución, ya que 2 · (&1) &(&10) = 8

r

s

₃

= − −

( ,

1 10

)

Observa que cualquier par (α , &8 + 2α) es una solución. En efecto:

1.6.Resolución de una

(12)

( ):

1

2

3

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

a x

c

a x

c

a x

c

m a x

a x

c

S

n n

m m m mn n m

+

=

+

=

+

=

+

=













LL

LLLLLLLLLLLLLLLLL

LL

{ }

a

con

i m

j

n

ij

1

1 ≤ ≤

≤ ≤







{ }

Incognitas

_&

:

x

_j _j₌_{1 2 3}_{, , ,....,}_n

Terminos

_&

independientes

c

_i _i₌_{1 2 3}_{, , ,....,}_m

2.Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes

reales.-Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto formado por m ecuaciones lineales, cada una de ellas con las mismas n incógnitas.

En forma genérica (es decir, sin concretar) se escribe:

Siendo:

S S el nombre que le hemos dados al sistema.

S (1) , (2), (3) , ... , (m) la numeración de las ecuaciones que identifica a cada una de ellas.

S m = número de ecuaciones.

S x₁ , x2 , x3 , .... , xn son las incógnitas (en este caso n).

S n = número de incógnitas.

S a11 , a12 , a13 , ..., a1n Son los coeficiente de las ecuaciones.

a21 , a22 , a23 , .... , a2n Se trata de números reales.

a31 , a32 , a33 , .... , a3n Nótese que

a

ij representa al coeficiente de la

þþþþþþþþþþþþþþ ecuación i , incógnita

x

j.

am1 , am2 , am3 , .... , amn

S c1 , c2 , c3 , .... , cm son los términos independientes.

Una forma abreviada e expresar el sistema S de m ecuaciones con n incógnitas sería:

Nótese en la expresión anterior como queda perfectamente determinado el número de ecuaciones m y el de incógnitas n.

Podemos expresar los coeficientes de las ecuaciones abreviadamente del siguiente modo:

Lo mismo podemos hacer con las incógnitas y los términos independientes:

El tamaño o dimensión de un sistema viene dado por el número de ecuaciones y de incógnitas. Convenimos en decir que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es de dimensión m×n (m por n).

( ):

i

a x

_ij _j

c siendo i

_i

, , ,....,

m

j n

=

∑

1

(13)

( ):

i

a x

_ij _j

c

_i

con

i

j=

=

≤ ≤

∑

1 4

1

3 ( ):

i

a x

_ij _j

c siendo i

_i

, , ,....,

m

j

n

=

∑

1

1 2 3

( ):

1

2

3

11 1 12 2 13 3 14 4 1

21 1 22 2 23 3 24 4 2

31 1 32 2 33 3 34 4 3

a x

c

a x

c

a x

c

S

+

=

+

=

+

=











( ):

1

2

5

8

2

6

3

11

1 2 3

1 2 32 3 5

4 1 2 3

x

S

−

+

=

−

+

= −

−

+

=











1 2 5

1 1 3 1

3 2 4 5

, ,

.

− −

−

  



 son los coeficientes

Ejemplo

8.-Un sistema genérico (es decir, sin determinar o concretar) de tres ecuaciones con cuatro incógnitas expresado abreviadamente es:

Si queremos expresarlo en forma desarrollada, será:

Ejemplo

9.-Un sistema concreto de dimensión 3×3 es:

En este caso: x1 , x2 , x3 son las incógnitas.

8, &6, 11 son los términos independientes.

3.Solución de un

sistema.-Supongamos un sistema de orden (dimensión) m×n, es decir:

Supongamos que s1 ,s2 , s3, .... , sn son n números reales que al ser substituidos por las

n incógnitas, es decir, x1 = s1 ,x2 = s2 , x3 = s3, .... , xn = sn , en las m ecuaciones del sistema, dichas ecuaciones se convierten en identidades (es decir, las igualdades son verdaderas). En este caso se dice que los n números s1 ,s2 , s3, .... , sn constituyen una solución de ese sistema.

Una solución puede expresarse de distintos modos:

 s = {s1 ,s2 , s3, .... , sn} es decir, un conjunto de n números reales.



r

_s

_{s s s}

_s

es decir, un vector (se llama así) del conjunto ún n

=

( ,

₁ ₂

, ,...., )

₃

(14)

( ):

i

a s

_{ij j}

c siendo i

_i

, , ,....,

m

j

n

=

∑

1

1 2 3

( ):i a r_{ij j} c_i para _& i , , ,....,m

j n

≠ =

=

∑

1

1 2 3 algun

( ):

i

a s

_{ij j}

c siendo i

_i

, , ,....,

m

j

n

=

∑

1

1 2 3

( ):

i

a s

_{ij j}

c siendo i

_i

, , ,....,

m

j

n

=

∑

1

1 2 3

A un sistema S de dimensión m×n le puede ocurrir alguno de los apartados siguientes:

 Que tenga solución única. Esto significa que únicamente existe un conjunto de n números S1= { s1 ,s2 , s3, .... , sn } que verifican las m ecuaciones del sistema. Es decir:

Cualquier otro conjunto S2= { r1 ,r2 , r3, .... , rn } no verifica alguna (al menos) de las m ecuaciones. Es decir:

 Que tenga infinitas soluciones. En este caso existen infinitos conjuntos de n números que verifican las m ecuaciones (es decir, la m igualdades).

Existen infinitos

s

r

=

( ,

s s s

₁ ₂

, ,...., )

₃

s

_n tal que:

 Que no tenga solución. En este caso no existe un vector sr=( ,s s s₁ ₂, ₃,...., )s_n que verifique las m igualdades. Es decir:

ò (s1, s2, s3, ...., sn)0 ún

*

4.Discusión de un

sistema.-Discusión o discutir un sistema es utilizar un método para averiguar si ese sistema tiene solución (una o infinitas) o no tiene solución. Como es lógico, la información para decidir si un sistema tiene o no solución y si este es única o no, se obtiene del propio sistema. Veremos en este tema como se obtiene.

5.Resolución de un

sistema.-Resolución o resolver un sistema es emplear un método para encontrar la o las soluciones de dicho sistema (en caso de que tenga). Generalmente, la resolución se hace después de la discusión, aunque es posible lo contrario, es decir, que al intentar resolver el sistema nos encontremos con que no tiene solución, o si la tiene, esta es única.

En este tema veremos distintos métodos de resolución de sistemas.

Ejemplo

10.-P Queremos saber si sr=( ,2 −1 3, ) es solución del sistema S.

(15)

( ): ( ): ( ): ( ):

1 2 2 4 26

2 3 3 2

3 4 3 21

4 3 4 6 7

x y z x y z x y z x y z

S

+ + =

− + + = −

− − =

− − = −



 

  

( ): ( ) ( ): ( ) ( ): ( ) ( ): ( )

1 2 5 2 2 4 5 10 4 20 26 2 3 5 2 3 5 15 2 15 2 3 4 5 3 2 5 20 6 5 21 4 3 5 4 2 6 5 15 8 30 7

⋅ + ⋅ − + ⋅ = − + = − ⋅ + − + ⋅ = − − + = −

⋅ − ⋅ − − = + − = ⋅ − ⋅ − − ⋅ = + − = −



 

  

Se verifican las cuatro igualdades

( ):

1

2

3

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

a x

c

a x

c

a x

c

m a x

a x

c

S

n n

m m m mn n m

+

=

+

=

+

=

+

=













LL

LLLLLLLLLLLLLLLLL

LL

a a a a

x x x

x

c c c

c

Sistema S

n

m m m mn n m

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

L L L

M M M M M

L

M M



      



      

⋅



      



      

=



      



      

siendo :

Veamos:

c Substituimos x = 2 ; y = &1 ; z = 3 en las tres ecuaciones:

No se verifica la igualdad (1).

( ):

1 2 2 2

⋅ + ⋅ − + ⋅ =

( )

1 4 3 14 26

≠

Por tanto, rs=( ,2 −1 3, ) no es solución del sistema S (no hace falta seguir)

c Substituimos x = 5 ; y = &2 ; z = 5 en las cuatro ecuaciones:

Por tanto, rr=( ,5 − 2 5, ) es una solución del sistema S.

6.Expresión de un sistema en forma

matricial.-Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, es decir:

Este sistema se puede expresar utilizando matrices, su producto e igualdad, del siguiente modo:

A la izquierda de la igualdad tenemos un producto de una matriz de orden m×n por otra matriz columna de orden n×1. El resultado de este producto es otra matriz de orden m×1.

(16)

( ) ( )

a x

( )

c siendo i m

j n

ij ⋅ j = i

= =

  

1 2 3 1 2 3

, , ,...., , , ,....,

( ):

1 4

3

5 2 2

7

8 x

y z

x y

z

S

−

+ =

+ +

=







4 3 1

2 1 7

5

8 −













⋅













=













x

y

z

A

a a a a

X x x x

x

C c c c

c

n

m m m mn n m

=



      



      

=



      



      

=



      



      

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

L L L

M M M M M

L

M M

; ;

A es la matriz de los coeficientes

X x y z

es la matriz de las incognitas

C es la matriz de los independientes

= _ − _

=



   



   

=_ _

4 3 1 2 1 7

5 8

& .

terminos Pongamos nombre a las matrices:

) A es la matriz de los coeficientes. Su orden es m×n

) X es la matriz de las incógnitas. Es de orden n×1, con n = nº de incógnitas

) Y es la matriz de los coeficientes. Su orden es m×1, com m = nº de ecuaciones. En forma abreviada se expresa:

A X

⋅

=

C

También se puede expresarse : _{A X}_⋅ _{− =}_{C O} siendo O la matriz cero de orden m×1 Para la expresión matricial de un sistema, también podemos emplear la forma abreviada:

Ejemplo

11.-Sea el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas siguiente:

Vamos a expresarlo en forma matricial:

En este caso:

Abreviadamente es

A X C

⋅ =

(17)

2

1

6

1

4

5

8

0

3

7

0

2

1 2 3

−













⋅













=

₋













x

3 2 2

2 1 5

1 29 − −    _ ⋅           =    _ x y z

3 2 2

2 1 5

5 4 3 1 29 − −      ⋅ −           =     

 debemos ver si esta igualdad es verdad o falsa.

3 2 2

2 1 5

5 4 3

15 8 6 10 4 15

1

29 5 4 3

− −       ⋅ −           = − − + +       =_    = = = −   

la igualdad es verdad

x y z es solucion

.

; ; _&

a a a a

c c c c n n n

m m m mn n m

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3 L L L

M M M M M

L M M                 ⋅                 =                 α α α α

es una solución del sistema. Esto significa que se verifica la siguiente igualdad matricial:

Ejemplo

12.-Un sistema viene dado por su expresión matricial siguiente:

Vamos a expresarlo mediante sus ecuaciones.

( ):

.

&

.

1 2

6

7

2

4

5

0 3 8

3

2

1 2 3

1 3

x

S Sistema de tres ecuaciones con tres incognitas

−

=

+

=

−

= −











Ejemplo

13.-Sea el sistema de orden 2×3 expresado en forma matricial, siguiente:

Queremos saber si x = 5 ; y = 4 ; z = &3 es una solución del sistema. Veamos:

(18)

(

A B⋅

)

t = Bt ⋅ At

(

)

A X C Igualdad matricial

A X C La traspuesta de la izquierda es igual a la de la derecha X A C Hemos aplicado la propiedad mencionada

t t

t t t

⋅ =

⋅ = .

X A C siendo

X x de orden n

A b de orden n m Siendo b

C c de orden m

a

t t t

t

j j n

t

ji j n

i m ji

t

i i m

ij

⋅ =

= ×



  

   

=

= =

 

=

( )

( ) .

( )

, , ,...., , , ,...., , , ,...., , , ,...., 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1

(

x x x x

)

(

)

a a a a

c c c c

n

m

n n n mn

m

1 2 3

11 21 31 1

12 22 32 2

13 23 33 3

1 2 3

L

K K K

L L L L L

K

⋅ 

      



      

= Veamos otra forma de expresar un sistema en forma matricial:

9 Sea el sistema

A X C

⋅ =

un sistema de orden m×n expresado en forma matricial.

Siendo:

( )

A

a

matriz de los coeficientes m n

X

x

matriz de lasincognitas n

C

c

matriz de

independientes m

ij i m

j n

j j n

i i m

=

×

=

×

=

×













= =

 

=

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1

, , ,...., , , ,....,

, , ,....,

(

)

&

(

)

&

(

)

terminos

9 Recordemos la siguiente propiedad del producto de matrices:

Es decir: “La traspuesta de un producto de dos matrices es igual al producto de las traspuestas de las matrices, pero conmutando ambas”

9 Apliquemos esta propiedad a la expresión matricial del sistema:

9 Tenemos, por tanto:

9 En forma desarrollada será:

Observa como b₁₁ = a₁₁ ; b₁₂ = a₂₁ ; b₁₃ = a₃₁ ; .... ; b_1m = a_m1 ; .... etc.

9 Conclusión:

A X C

Xt At Ct Formas matriciales de un sistema

⋅ = ⋅ =

(19)

( ):

1 4

3

5

8

2

3

5

2

9 3 3

6

9

7

1 2 3 4

1 3 4

x

S

−

+

=

−

+

−

= −

+

=











4

3

5

1

3

5

2

3

0

6

9

8

9

7

1

2

3

4

−













⋅













= −













x

(

x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

)

(

)

4

1

3

3 3 0

5

6

1 2 9

8 9 7

⋅

−

₋

−













=

−

(

)

(

)

S

:

x y z

⋅ −

−













=

7

1

0

3

0

1

2

4 5

12 5

( ) :

( ):

&

( ) :

( ):

1 7

2

3

0 1 7

2

0

3

0

4 5 125 1

2

4 5 125 1

2

x y

z

x

z

S o tambien

x y

z

x

y

z

S

− +

=

−

=









− +

=

+

−

=









Ejemplo

14.-Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas:

Vamos a expresarlo matricialmente de la forma A · X = C :

Vamos a expresarlo matricialmente de la forma

X

t

⋅

A

t

=

C

t

:

Nótese que:

A

M

X

M

C

M

A

t

M

X

t

M

C

t

M

∈







× × ×

3 4 4 1 3 1

4 3 1 4 1 3

;

Ejemplo

15.-Dado el sistema S expresado en forma matricial, queremos expresarlo en forma desarrollada por sus ecuaciones y en la otra forma matricial:

Veamos:

‘ Mediante sus ecuaciones (dos ecuaciones con dos incógnitas):

(20)

S

x

y

z

:

7

1

0

3

0

4 5 1

2

12 5

−













_⋅













=













( ):

1

2

3

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

a x

c

a x

c

a x

c

m a x

a x

c

S

n n

m m m mn n m

+

=

+

=

+

=

+

=













LL

LLLLLLLLLLLLLLLLL

LL

(

x y z

)

⋅

( )

−













=

2

4

3

1

6

2 4 8

(

0 )

(

) ( )

2

4

3

1

6

2 0 2

3

6 4 0

1

2 4 8

14

3 −35

⋅

143 53 143 53

−













= ⋅ +

⋅ − ⋅

− ⋅ +

⋅ −

(

−

)

=

A

a a a a c

M

n

m m m mn m

m n *

( )

= 

      



      

∈ _{× +}

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

1 2 3

1 L

L L

L L L L L L

L

‘ Expresemos el sistema mediante la otra forma matricial:

Ejemplo

16.-Dado el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:

averiguar si la matriz

S

₁

=

(

0

14₃

−

5₃

)

es solución del sistema. Veamos:

Por tanto, la matriz

S

₁

=

(

0

14₃

−

5₃

)

es solución del sistema.

7.Matriz ampliada de un

sistema.-Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, es decir:

Si a la matriz de los coeficientes (A) le añadimos otra columna (última columna) con los términos independiente ( elementos ci), obtenemos otra matriz de orden m×(n+1). Dicha matriz se denomina matriz ampliada del sistema S. La expresaremos de la forma A*_,_B*_{, etc., según}

(21)

A

*

=

M

−













∈

×

2

1 3 1 14

1

3

0

5

6

3

1 1 0 17

3 5

( ):

1 8

12

28 2 15

12

45

2

x

y

x

y

S

+

=

−

=







( ): ( ):

1 8 12 28

2 23 45 3

x y

x S

+ =

=   

Ejemplo

17.-Sea el sistema S

x x x x

x x x

x x x :

( ): ( ): ( ):

1 2 3 14

2 3 5 6

3 3 17

1 2 2 4

1 2 4

1 2 3

+ − + =

− + = −

+ − =

  

 

La matriz ampliada es:

Nótese que la matriz de los coeficientes es de orden 3×4.

8.Sistemas

equivalentes.-Dos sistemas de ecuaciones lineales S1 y S2 se dice que son equivalentes si tienen las

mismas soluciones, es decir, cualquier solución de S1 es solución de S2 y cualquier solución de

S2 lo es de S1.

Se expresa S1

]

S2 o también S1

≡

S2

Para que dos sistemas sean equivalentes debe ocurrir que tengan el mismo número de incógnitas, aunque pueden tener distinto número de ecuaciones.

Ejemplo

18.-Sea el sistema

S

x

y

de dos ecuaciones con dos incógnitas.

x

y

1

2

3

7

2

5

4

15 :

( ) :

( ):

+

=

−

=







Vamos a resolverlo por el método de reducción. Veamos:

R Multiplicamos (1) por 4 y (2) por 3 :

Observa que lo que tenemos es otro sistema S₂ distinto del original S₁, ya que los coeficientes y términos independientes no coinciden.

R Pues bien, los sistemas S1 y S2 son equivalentes, es decir, tienen las mismas

soluciones. Eso significa que si encontramos la o las soluciones de S2 tendremos

las de S1. Por tanto: S1

≡

S2.

R Sumemos las dos ecuaciones de S₂ (obtenemos otra ecuación) y consideremos esta y la (1) de S2 . Tendremos otro sistema S3 :

(22)

( ):

1

8

12

28

2

73

23

4

x

y

x

S

+

=









x substituimos en y

y y y

= ⋅ + =

= − = =

73

23 1 8

73

23 12 28

12 28 584

23 12

60 23

5 23 ( ):

; ;

equivalentes: S1

≡ ≡

S2 S3

R En el sistema S3 despejamos x en la segunda ecuación y consideramos la

ecuación (1) de S₃.

Hemos obtenido otro sistema S4 que es distinto de los anteriores pero equivalente

a ellos, es decir, S1

≡ ≡ ≡

S2 S3 S4

R Como S4 tiene la o las mismas soluciones que S1 (que el que queríamos resolver)

y nos resulta fácil resolverlo, lo hacemos:

Es decir,

x

=

y

=

es la solución del sistema S4

73

23

5

23 ;

R Como S1

≡

S4 , la solución de S4 es la solución de S1.

Por tanto:

es la solución del sistema S1

En general, cuando resolvemos un sistema, vamos construyendo otros sistemas equivalentes a él que resultan más manejables y fáciles, hasta llegar a uno lo suficientemente sencillo que nos permita obtener la solución (si las tiene) de forma inmediata. Este proceso se realiza empleando un método que se denomina método de resolución de sistemas. Existen diversos métodos que veremos seguidamente.

Es decir:

S S sistema que queremos resolver.

S El método nos lleva a S S

≡

1

≡

S2

≡

S3

≡ ≡

ÿ S k

S S _k es un sistema tan sencillo que nos da la (o las) soluciones de forma inmediata. Si no tuviese solución, también se aprecia con facilidad. Las soluciones de S k

son las mismas que las de S.

9.Clasificación de los sistemas respectos de sus

soluciones.-Los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas, según tengan o no solución y según el número de estas sea finito o infinito, los clasificamos del siguiente modo que recogemos en el siguiente cuadrante:

x

₌

73 y

₌

23

(23)

SISTEMA m n COMPATIBLE

DETERMINADO tiene solucion unica

INDETERMINADO tiene soluciones INCOMPATIBLE

tiene solucion

no tiene solucion

×

   

 

  

:

( _{& &} )

( )

( & ) ( & )

infinitas

S

x

y

z

x y

z

1

1 4

5

3

7 2 2

5

9 :

( ):

+

−

=

− + =







10.Propiedades de los

sistemas.-Dado un sistema S, el objetivo que se persigue generalmente es encontrar su o sus soluciones, es decir, resolver el sistema. Para ello, vamos a dar una serie de propiedades que tienen los sistemas y que nos permitirán alcanzar dicho objetivo.

Propiedad I.- Si en un sistema S hay una ecuación que es combinación lineal de otra u otras ecuaciones, podemos suprimirla y obtenemos otro sistema S1 que es equivalente a S. La ventaja que tiene S1 sobre S es que tiene una ecuación menos.

NOTA: Una ecuación es combinación lineal de otra u otras, si se obtiene de ellas al multiplicarlas por un número y sumándolas o restándolas.

Ejemplo

19.-Sea el sistema S de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. x y z

x y z x y z :

( ): ( ): ( ):

1 4 5 3 7

2 2 5 9

3 8 10 6 14

+ − =

− + =

+ − =

  

 

Obsérvese que la tercera ecuación es la primera multiplicada por 2, es decir, (1) es el doble de (3). La tercera ecuación es múltiple de la primera.

Lo expresamos (3) = 2·(1).

Si suprimimos la tercera ecuación obtenemos el siguiente sistema:

Pues bien, resulta que

S

≡

S

₁ (Son equivalentes) y por tanto tiene la misma o mismas soluciones.

Ejemplo

20.-Sea el sistema S de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. x y z

x y z

x z

: ( ): ( ): ( ):

1 2 3 4 8

2 2 5

3 11 1

+ − =

+ + =

− =

  

 

Observamos que la ecuación (3) es el doble de la ecuación (1) menos el triple de la ecuación (2), es decir : (3) = 2·(1) &3·(2).

(24)

S

x

y

z

x

y z

1

1 2

3

4

8

2

5 :

( ):

+

−

=

+

+ =







( ):

(

):

( )

1

2

3

1

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

1 2

a x

c

a x

c

a x

c

k

a x

c

k

n n

k k k kn n k

+

=

+

=

+

=

+

=

+

⋅

+

LL

LLLLLLLLLLLLLLLLLLL

LL

λ

⋅

+

⋅

+

⋅

=

+

=











+

( )

( ):

2

₃

3

₁

1 1 2 2 3 3

λ

LL

λ

LLLLLLLLLLLLLLLLLLL

LL

k k

m m m mn n m

k

c

m

a x

c

S

(

)

(

)

(

)

λ1⋅ a x11 1+ +L a x1n n + λ2⋅ a x21 1+ +L a x2n n + +L λk⋅ a xk1 1+ +L a xkn n = λ1⋅ +c1 λ2⋅ + +c2 L λk⋅ck

λ1 11 1a x + +L λ1 1a xn n + λ2 21 1a x + +L λ2 2a xn n+ +L λk ka x1 1+ +L λk kn na x = λ1⋅ +c1 λ2⋅ + +c2 L λk ⋅ck

(

λ1 11a + +L λk ka 1

) (

x1+ λ1 12a + +L λk ka 2

)

x2+ +L

(

λ1 1an+ +L λk kna

)

xn = λ1⋅ +c1 λ2⋅ + +c2 L λk ⋅ck

Siendo

S

≡

S

1

Demostración

Imaginemos un sistema S de m ecuaciones con n incógnitas y supongamos que la ecuación (k+1) es combinación lineal de la k primeras, es decir, de (1), (2), (3), ... , (k&1), (k):

Aclaremos la ecuación (k+1):

Nótese que

c

_k₊1

=

λ

1

⋅ +

c

1

λ

2

⋅ + +

c

2

L

λ

_k

⋅

c

_k Quitando paréntesis:

Sacando como factores comunes a x1 , x2 , x3 , .... , xn :

Esta última igualdad es la ecuación (k+1) del sistema S.

Supongamos que eliminamos la ecuación (k+1) del sistema S. Tendremos otro sistema S1 que tiene m&1 ecuaciones, es decir, las mismas que S excepto la ecuación (k+1).

Pues bien, aseguramos que el sistema S1 es equivalente al sistema S (S1

⇔

S), esto es, ambos tienen la misma o las mismas soluciones. Vamos a demostrarlo:

û Supongamos que

r

s

=

( ,

s s s

₁ ₂

, , ,

₃

_K

s

_n

)

es una solución cualquiera de S. Si demostramos que

r

s

=

( ,

s s s

1 2

, , ,

3

K

s

n

)

es también una solución de S1, habremos demostrado que las soluciones de S lo son de S1, esto es, S

⇒

S1

(25)

(

)

(

)

(

)

λ1⋅ a x11 1+ +L a x1n n + λ2⋅ a x21 1+ +L a x2n n + +L λk⋅ a xk1 1+ +L a xkn n = λ1⋅ +c1 λ2⋅ + +c2 L λk⋅ck

(

)

(

)

(

)

λ1 11 1 1 λ2 21 1 2 λ 1 1 λ1 1 λ2 2 λ

1 2

⋅ a s + +a sn n + ⋅ a s + +a s + + ⋅ a s + +a s = ⋅ +c ⋅ + +c ⋅c

c

n n c

k k kn n

c

k k

k

L

1442443 1444L24443 L 1444L24443 L

( ):

(

):

₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎

1

2

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

2 1 1 2 2 2 2 3 3 2

a s

c

a s

c

k

a s

c

k

a

s

a

s

a

s

a

s

n n

k k k kn n k

k k k k n n

+

+ +

=

+

+ +

=

+

+ +

=

+

₊

+

₊

+

₊

+ +

₊

=

L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLL

L

c

m

a s

c

S

k

m m m mn n m

+

+ +

=











2

1 1 2 2 3 3

1

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

L

( ):

solución de S verifica las

r

_K

s

=

( ,

s s s

₁ ₂

, , ,

₃

s

_n

)

⇒

s

r

=

( ,

s s s

₁ ₂

, , ,

₃

_K

s

_n

)

ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+1) , þ , (m) ⇒

r

s

=

( ,

s s s

₁ ₂

, , ,

₃

_K

s

_n

)

verifica las m&1 ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+2) , þ , (m) del sistema S1 ⇒

es también solución del sistema S₁

r

_K

s

=

( ,

s s s

₁ ₂

, , ,

₃

s

_n

)

Por tanto: S

⇒

S1 ( cualquier solución de S lo es de S1 ).

û Ahora nos preguntamos: ¿Toda solución de S₁ lo es de S ? Vamos a demostrar que sí. Supongamos que

s

r

=

( ,

s s s

1 2

, , ,

3

K

s

n

)

es una solución cualquiera de S1. Tenemos que demostrar que también lo es de S. Veamos:

solución de S1 verifica las m&1

r

_K

s

=

( ,

s s s

₁ ₂

, , ,

₃

s

_n

)

⇒

s

r

=

( ,

s s s

₁ ₂

, , ,

₃

_K

s

_n

)

ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+2) , þ , (m) de S₁ ⇒

s

r

=

( ,

s s s

₁ ₂

, , ,

₃

_K

s

_n

)

verifica todas las ecuaciones de S, excepto la (k+1).

Si somos capaces de demostrar que

s

r

=

( ,

s s s

₁ ₂

, , ,

₃

_K

s

_n

)

también verifica la ecuación (k+1) de S, habremos demostrado que

s

r

=

( ,

s s s

₁ ₂

, , ,

₃

_K

s

_n

)

también es solución del sistema S.

Veamos:

Como

r

s

=

( ,

s s s

1 2

, , ,

3

K

s

n

)

es solución de S1 , podemos poner:

Anteriormente vimos que la ecuación (k+1) la poníamos de la forma:

Substituimos x₁ = s₁ ; x₂ = s₂; x₃ = s₃ ; þþ ; x_n = s_n en la ecuación (k+1):

Obsérvese que tenemos la identidad :

(26)

S

x

y

x

y

1

3

5

9

2

3

7 :

( ):

+

=

−

= −







Para x e y tenemos S

verifica verifica verifica

= = −

⋅ + ⋅ − = − = − ⋅ − ⋅ − = − + = − − ⋅ − ⋅ − = − + = − 

 

 

8 3

1 3 8 5 3 24 15 9 1

2 2 8 3 3 16 9 7 2

3 2 8 2 3 16 6 10 3

:

( ): ( ) ( )

( ) ( )

1 6 10 18

2 6 9 21

2

3 2

×

 → + =

 → − − = −

   

x y

x y S

Por tanto, se verifica la ecuación (k+1), es decir,

s

r

=

( ,

s s s

₁ ₂

, , ,

₃

_K

s

_n

)

es también solución del sistema S. Hemos demostrado así que S₁

⇒

S

Conclusión final: S ⇔ S1 (ambos sistemas son equivalentes)

Ejemplo

21.-Sea el sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas S

x y

: ( ): ( ): ( ):

1 3 5 9

2 2 3 7

3 2 2 10

+ =

− − = −

    

Observamos que la ecuación (3) es combinación lineal de las ecuaciones (1) y (2). En este caso es (3) = 2·(1) + 4·(2).

Según la propiedad anterior, podemos eliminar la ecuación (3) y obtenemos otro sistema S1 con una ecuación menos:

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Vamos a resolverlo por el método de reducción.

Hemos obtenido otro sistema S2 que es equivalente a S y a S₁, es decir: S

]

S₁

]

S₂

Sumando (1) y (2) en S2 : y = &3

Substituyendo en (1) de S2 : 6x& 30 = 18 ; 6x = 48 ; x = 8

Es decir:

s

r

=

( ,

8 −

3 )

es la única solución de S2. También es la única solución de S1 y la única solución de S. No olvidemos que el objetivo era encontrar la solución de S. Comprobemos:

Propiedad II.- Para resolver un sistema S, debemos eliminar aquellas ecuaciones que sean combinación lineal de las demás y realizamos sucesivas transformaciones que nos llevan a obtener sistemas equivalentes a S, hasta conseguir una lo suficientemente sencilla que nos permita encontrar la o las soluciones.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo

22.-Queremos resolver el sistema S x y . Actuamos del siguiente modo: x y

: ( ):

( ):

1 4 3 9

2 5 7 10

+ =

− =

  