Problemas resueltos (Curvas) - Mate 4

(1)

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA CAMPUS SANTIAGO

Problemas resueltos (Curvas) - Mate 4

Problema 1.Considere la curva

!r(t) = (

e

t_cos(t)_,

e

t_sen(t)_,

e

t₎

con t_∈[ 0, π].

a) Calcular la longitud de la curva.

b) Encuentre los vectores tangente, normal y binormal. Solución.

(a) Derivando se tiene:

!r!(t) = (etcos(t)−

e

t_sen(t)_,

e

t_{sen(t) +}

e

t_cos(t)_,

e

t₎

Luego la longitud de la curva es:

l= π

!

0

"

_e

2t_cos2_{(t) +}

_e

2t_sen2_(t)

−2

e

2tsen(t) cos(t) +

e

2tsen2(t) +

e

2tcos2(t) + 2

e

2tsen(t) cos(t) +

e

2t#1/2 dt

= π

!

0

"

_e

2t₊

e

2t₊

e

2t#1/2 _dt

=√3 π

!

0

e

t_dt ₌ √₃

e

π

−√3

(b) Observar que:

$!r!(t)$=$(

e

tcos(t)₋

e

tsen(t))2+ (

e

tsen(t) +

e

tcos(t))2+ (

e

t)2=√3

e

t

Por lo tanto

−

→_T ₌ _√1

3(cos(t)−sen(t), sen(t) + cos(t),1)

− →

N =

− →_T!

$−→T!_$ =

1

√₂(−sen(t)−cos(t),cos(t)−sen(t), 0)

Por otra parte:

− →_B ₌

% % % % % %

−

→_i −→_j −→_k

cos(t)₋sen(t) sen(t) + cos(t) 1

−sen(t)−cos(t) cos(t)−sen(t) 0

% % % % % %

1

(2)

Problema 2.

Sea r(t) = (t, t2_{, t}3₎_{. Encontrar los planos normal y osculador en el punto} _(1,_1,₁₎_.

Solución. Hacer

−

→_r_{(t) = (t, t}2_{, t}3₎

−

→_r!_{(t) = (1,}_2t,_3t2₎

−

→_r!!_{(t) = (0,}_2,_6t)

Evaluando en t= 1

−

→_r!_{(1) = (1,}_2,₃₎

−

→_r!!_{(1) = (0,}_2,₆₎

Luego se tiene

−

→_T ₌ 1

√₁₄(1,2,3)

−

→_B ₌ (1,2,3)×(0,2,6) $(1,2,3)×(0,2,6)$ =

1

√₁₉(3,−3,1)

Ecuación del plano normal

[(x, y, z)₋(1,1,1)]_· _√1

14(1,2,3) = 0 ⇔ x+ 2y+ 3z= 6

Ecuación del plano osculador

[(x, y, z)₋(1,1,1)]_·√1

(3)

Problema 3.Considerar las superficies

x2+y2+z2=a2 y x2+y2=ax 1. Hallar la curva intersección.

2. Hallar la curvatura en el punto&a₂,a 2, a √ 2 ' Solución.

x2+y2+z2=a2 x2+y2=ax

a2−ax+a

2

4 +y2= a2

4

(

x₋a 2

)2

+y2=(a 2

)2

Intersección de cilindro con esfera

a

(1) Parametrización. Usandor=acosθ

x=rcosθ=acosθcosθ=acos2θ

y=rsenθ=acosθsenθ= a 2sen 2θ z=$a2₋_r2₌$_a2₋_a2_cos2_θ₌_a_sen_θ

con 0_≤θ_≤π

(2) Observar que el puntoP =

&_a 2, a 2, a √₂ '

aparece cuandoθ=π

4. Usando

!r=(acos2θ,a

2sen 2θ, asenθ

)

!r!= (₋asen 2θ, acos 2θ, acosθ) !r!!= (₋2acos 2θ,₋2asen 2θ,₋asenθ)

Evaluando enθ=π 4

!r!(π 4

)

=&₋a,0,√a

2

'

!r!!(π 4

)

=&0,₋2a,₋√a

2

'

!r!_×!r!!=

*

√

2a2_, −a

2√₂

2 ,2a2

+

∴ k= $!r!×!r!!$

$!r!_$3 =

a2

,

13 2

a33 √₃

2√2 = 2

3a

,

(4)

Problema 4.Probar que la curva −→r(t) = (1 + 3t+ 2t2_,₂₋_2t_{+ 5t}2_,₁₋_t2₎ _{es una curva plana. Encuentre}

el plano que la contiene.

30 puntos Solución.

Para probar que es una curva plana basta probar que el vector binormal es constante(_⇔_B!! _{= 0}_{⇔ T} _{= 0)}_.

Hacer

!r(t) = (1 + 3t+ 2t2_,₂

−2t+ 5t2_,₁ −t2)

!r!(t) = (3 + 4t,−2 + 10t,−2t)

!r!!(t) = (4,10,−2)

!r!×!r!!= (4−20t+ 20t,−8t+ 6 + 8t,30 + 40t+ 8−40t) = (4,6,38)

∴ _{B(t) =}! _√1

1496(4,6,38) ∀t∈R

Observar que: !r!!! _{= (0}_,₀_,₀₎ _{para todo} _t_∈_R _{y por lo tanto la torsión es nula.}

El plano que contiene a la curva es el plano osculador. Para conocer su ecuación basta tomar un punto de la curva , por ejemplo: !r(0) = (1,2,1). La ecuación del plano queda:

[(x, y, z)₋(1,2,1)]_·2(2,_√ 3,9) 1496 = 0

o más simple

(5)

Problema 5.Considerar la cicloide C :

- _{x(t) =} _t

−sen(t) y(t) = 1₋cos(t)

con 0< t <2π. Encontrar el o los puntos donde la curvatura es máxima. Solución.

x(t) =t₋sen(t) x!_{(t) = 1}₋_cos(t) _x!!_{(t) = sen(t)}

y(t) = 1−cos(t) y!(t) = sen(t) y!!(t) = cos(t)

La curvatura esta dada por

k(t) = |y!!x!−x!!y!| [(x!₎2_{+ (y}!₎2_]3/2

=|cos(t)(1−cos(t))−sen2(t)| [(1₋cos(t))2_{+ sen}2_(t)]3/2

=|cos(t)−1| 2₋2 cos(t)

= 1−cos(t)

2√2(1₋cos(t))$1₋cos(t)

= 1

4 sen"t

2

#

(6)

Problema 6.Considerar la curvaC enR3_{, parametrizada por}−→_α_{(t). Hallar la curvatura, la torsión y el vector}

normal en el punto−→α(1) = (3,1,3), si se sabe:

El plano osculador en dicho punto es3y₋x= 0.

−

→_α₍₁₎_·−→_N₍₁₎_>₀_y−→_α!_{(1) = (6,}_2,₂₎

además

−

→_α!!_{(t) =}_√ 20t

10t2+ 1 −

→_T_{(t) +} 2√10 √_10t₂_{+ 1}−→N(t)

para todot.

Solución.De la segunda afirmación

−

→_T_{(1) =} −→α!₍₁₎ $−→α!₍₁₎_$ =

1

2√11(6,2,2) = 1

√₁₁(3,1,1)

De la primera afirmación

−

→_B_{(1) =} _√1

10(−1,3,0) o bien

−

→_B_{(1) =} _√1

10(1,−3,0)

Tomando −→B(1) =√1

10(−1,3,0):

−

→_N_{(1) =}−→_B₍₁₎

×−→T(1) = √ 1

10√11(3,1,−10)

Por otra parte, se debe verificar −→α(1)·−→N(1)>0. Haciendo el producto punto (3,1,3)_· √ 1

10√11(3,1,−10)<0 ⇒⇐

Por lo tanto:

−

→_B_{(1) =} 1

√₁₀(1,−3,0) −

→_N_{(1) =} 1

√

10√11(−3,−1,10)

Para obtener la curvatura, se necesita saber la rapidez:

v(1) =_$!v(1)_$= 2√11

De la tercera afirmación, la componente normal de la aceleración es : aN =kv2₌ 2

√₁₀ √

10t2_{+ 1} ∀t∈R. En particular para t= 1:

aN(1) =k(1)(v(1))2=2

√

10

√₁₁

∴ 44k(1) =2

√

10

√

11

⇒ k(1) = √₁₀

22√11

(7)

Problema 7.Dada la curva parametrizada por

−

→_r_{(t) =}&₁₋_cos_{t ,}_{2 sen}t

2, t−sent

'

, −π≤t≤π

Calcular la curvatura y la torsión, en el o los puntos, donde el plano normal a la curva es paralelo al plano y= 0.

La torsión esta dada por la fórmula:τ =!r

!_×_!r!!_·_!r!!!

$!r!_×_!r!!_$2

Solución.

!r!(t) ="sent,cos₂t,1₋cost#

Hacer

sent = 0

1₋cost = 0 =⇒ t=0

∴en el punto P0= (0,0,0)el plano normal es paralelo al planoy= 0.

Por otra parte

!r!(t) ="sent,cos₂t,1−cost# !r!!(t) ="cost,₋1₂sen₂t,sent# !r!!!(t) ="−sent,−1

4cos

t

2,cost

#

Evaluando ent= 0

!r!(0) = (0,1,0) !r!!(0) = (1,0,0) !r!!!(0) = (0,₋1

4,1)

Luego se tiene:

∴ k= $!v×!a$

$!v$3 =

$!r!(0)×!r!!(0)$ $!r!₍₀₎_$3 = 1

τ=!r!×!r!!·!r!!!

(8)

Problema 8.Considerar las superficies

x2+y2+z2=a2 y x2+y2=ax 1. Hallar la curva intersección.

Solución.Se trata de una esfera y un cilindro

Ecuación cilindro:

x2

−ax+a

2

4 +y2= a2

4

⇔(x−a₂)2+y2=(a 2

)2

∴ se puede parametrizar por

              

x= a 2 +

a 2 cosθ

y=a 2 senθ

z= √2₂√1−cosθ

0_≤θ≤2π

2. Hallar la curvatura en el punto

& a 2, a 2, a √₂ '

k= $!v×!a$

$!v_$3

% % % % %_θ₌π 2

!v(π 2

)

=(₋a 2,0,

a 2

)

!a(π 2

)

=&0,₋a 2,−

a 4√2

'

=_{⇒ $}!v_×!a_$=a

2

8

,

13 2

k=1 a

√

(9)

Problema 9.Probar que si todos los planos normales a una curva!r(t), pasan por un punto fijoP0, entonces

la curva está sobre una superficie esférica.

Ayuda:Piense el problema enR2 _{y generalice.}

Solución.Sea !r(t) una curva en R3 _{y sea}_P

0 ∈ R3 fijo, tal que ∀t: (P0−!r(t))·T!(t) = 0 (esto es: todos los

planos normales pasan porP0).

Considerar

h(t) = (P0−!r(t))·(P0−!r(t))

=_⇒h!(t) = 2(P0−!r(t))·(P0−!r(t))!

= 2(P0!r(t))·(−!r!(t))

=₋2(P0−!r(t))·!r!(t) = 0

∴ h(t) =C C constante=⇒ $P0−!r(t)$2=C

=_{⇒ $}P0−!r(t)$=R con R= √

C