Estadístico: atributo medido sobre la distribución muestral

Teoría de la decisión

Estadística

Conceptos básicos

Unidad 7. Estimación de parámetros

. Criterios para la estimación

. Mínimos cuadrados. Regresión lineal simple

. Ley de correlación

. Intervalos de confianza

. Distribuciones: t-student y chi cuadrado

Teoría de la decisión

Estadística

Estimación de parámetros

Objeto:

inferir

los valores de estadísticos descriptivos de una población a partir de

una muestra.

Parámetro

: atributo descriptivo de una población. Comúnmente; la media, la varianza y la

desviación típica.

Estadístico

: atributo medido sobre la distribución muestral



Puntuales: medidas discretas de los estadísticos



por Intervalos: medidas continuas, se define un intervalo en el cual se estima

con cierta probabilidad que el parámetro en estudio se encuentra.

Comúnmente: intervalos de confianza

1-α = coeficiente de confianza y expresa la

probabilidad que el valor del parámetro para la

población esté dentro

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Estadística

Estimación de parámetros

Ciertos criterios deben ser aplicados para considerar adecuado un estimador:

Ausencia de sesgo

: el estimador será insesgado si su esperanza matemática

es igual al valor del parámetro.

Consistencia

: será consistente si la esperanza del estimador tiende al valor del

parámetro y su varianza tiende a cero cuando el tamaño de la muestra tiende a

infinito

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Estadística

Intervalo de confianza

Estimación de la media

Caso I: conocida la desviación estándar poblacional

1. Distribución normal en la muestra.

2. Escala z ¿cuál es la puntuación

correspondiente al nivel de confianza?

3. Trasladar a la escala x

 

3 2   2 3 Escala z

2,5% 2,5%

95%

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Estadística

Intervalo de confianza

Estimación de la media

Tabla de valores z

para varios niveles de confianza

Nivel de

confianza

99,73%

99,00%

98,00%

96,00%

95,45%

95,00%

90,00%

80,00%

68,27%

50,00%

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Estadística

Intervalo de confianza

Estimación de la media

Caso II: desconocida la desviación estándar poblacional

1. Técnica de estimación para muestras pequeñas (N < 30)

2. Usar la varianza muestral y la aproximación será con la distribución t de student

con 1 grado de libertad:

3. Análogamente al anterior a partir de

obtenemos

donde 1-α es el nivel de confianza

 

S

N

S

X





N

S

t

X























_

_

_

_



1 1

1

N

S

t

X

N

S

t

X

Teoría de la decisión

Teoría de la decisión

Estadística

Intervalo de confianza

Estimación de la media

Ejercicio 1.- De un total de 200 calificaciones de matemáticas se tomó una muestra aleatoria (sin reemplazo) de tamaño 50. En esta muestra se observó una media de 75 y una desviación típica de 10. (a)¿cuáles son los límites de confianza de 95% para la estimación de la media de las 200 calificaciones? (b)¿con qué grado de confianza se puede decir que la media de las 200 calificaciones es de 75 ± 1?

1.- Se observa que el tamaño de la población no es muy grande con respecto a la muestra, y además el muestreo es sin reposición, por tanto es necesario introducir la corrección poblacional

2.- El tamaño de la muestra es mayor a 30; por tanto podemos usar la desviación típica muestral (S) como un buen estimador de la desviación típica poblacional (σ)

3.- Establecido el contexto, podemos trabajar bajo el esquema del caso I:

y del nivel de confianza del 95% se infiere z_c = 1,96.

así;

:intervalo de confianza para µ (a)

868

,

0

1

200

50

200

1













p p

N

N

N

1









p p X

X c

N

N

N

N

S

donde

z

X





4

,

2

75

868

,

0

50

10

96

,

1

75

96

,

1











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Estadística

Intervalo de confianza

Estimación de la media

En la segunda cuestión se requiere establecer el grado de confianza dado unos límites; así:

Buscamos en la tabla de la distribución normal cual es el área que corresponde a z_c = 0,81 y se obtiene 0,2910; el doble de esta área: 2*0,2910 será el nivel de confianza asociado a los límites 75±1, por tanto

58,2 %

Una conclusión interesante y estadísticamente significativa, es la observación que mientras menor la desviación aspirada del parámetro con respecto a la estimación, menor será el intervalo de confianza; asunto que ya trabajamos en clase, o, dicho de otra manera; menor la probabilidad que la estimación represente al parámetro en un conjunto de muestras.

81

,

0

1

23

,

1

23

,

1

75

868

,

0



















z

z

z

N

S

z

X

z

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Estadística

Intervalo de confianza

Estimación de la media

Ejercicio 2.- El administrador de un cadena de tiendas desea determinar la cantidad promedio que gastan

Las personas usando la tarjeta de crédito de la tienda. El registro de clientes tarjetahabientes muestra un Total de 10.000 clientes; de ellos selecciona una muestra aleatoria de 25 clientes; resultando en un promedio De gasto de Bs. 75,0 con una desviación típica de Bs. 20.

¿cuál será una estimación razonable para la media y la desviación típica de la población?

1.- Fijamos como aceptable un grado de confianza del 95%. Esto quiere decir que las colas de nuestra distribución serán de tamaño 0,025; es decir (5/2) %. Eso es porque la distribución t es simétrica.

2.- El valor crítico de t (el equivalente a z en la dist. normal) lo hallamos en la tabla de la distribución t; Intersectando en la columna de los α/2 correspondiente a 0,025 con la fila correspondiente a 24 24 grados de libertad (N-1); y el resultado es t_N-1 = 2,064.

3.- Así:

Estadísticamente significa que si se seleccionaran todas las posibles muestras de tamaño 25; el 95% de Los intervalos desarrollados incluirían a la media poblacional en algún lugar dentro del intervalo.



.

66

,

74

.

83

,

26



0

,

95

256

,

8

75

25

20

.

064

,

2

75

1



















Bs

Bs

P

N

S

t

X

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Estadística

Intervalo de confianza

Estimación de la media

Ejercicio 4.- Una empresa tiene 5.000 árboles navideños maduros y listos para cortar. En forma aleatoria

se seleccionan 100 de estos árboles y se miden sus alturas; los resultados se expresan en la tabla. Si

cada árbol se vende a razón de Bs. 15 por cada 5 cmts. de altura; calcular el valor del inventario de

árboles con un margen de confianza,

(i) de 95%; (ii) de 99% y (iii) de 90%.

Tabla de alturas en la muestra

142,24 154,94 160,02 86,36 119,38 88,90 111,76 127,00 160,02 149,86

177,80 154,94 134,62 165,10 182,88 139,70 180,34 144,78 190,50 190,50

134,62 121,92 139,70 170,18 152,40 152,40 185,42 187,96 109,22 121,92

180,34 134,62 198,12 149,86 142,24 160,02 121,92 165,10 129,54 144,78

185,42 157,48 203,20 134,62 162,56 111,76 170,18 114,30 121,92 124,46

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Estadística

Intervalo de confianza

Estimación de la media

(1) Contexto del problema:

. ¿cómo será la distribución?. Siendo un fenómeno natural (al igual que las de las

personas) podemos suponer que las alturas de los árboles se distribuyen normalmente, y en

consecuencia la distribución de la muestra también lo será.

. Por otra parte el tamaño de la muestra la ubica dentro de la clasificación de

muestra grande, en consecuencia;

(a) no hará falta la corrección poblacional;

(b) podemos calcular la distribución utilizando las puntuaciones z (a pesar de la relación entre

el tamaño de la muestra y el de la población); y

(c) La media muestral ( ) y la desviación típica muestral (S) pueden ser utilizadas para el

cálculo de la estimación sin que ello signifique un error apreciable en la estimación del valor

(i) Como el nivel de confianza es del 95% se define z_c = 1,96 y el valor se calcula como:

(ii) para el nivel de confianza del 99% se define z_c = 2,58 y el valor se calcula como:

(iii) para el nivel de confianza del 99% se define z_c = 1,645 y el valor se calcula como:

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Intervalo de confianza

Estimación de la media

Media muestral: 149,82

Desviación típica (S): 25,60

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Intervalo de confianza

Estimación de la media

Ejercicio 5.-

Para el ejercicio 4 ¿cuál sería el margen de confianza para un estimado

de la media poblacional de µ ± 2,5?

En la tabla se obtiene el valor del área correspondiente: 0,3023

Como la distribución es simétrica P=2*0,3023 = 60,26

Así el margen de confianza es del 60,26 %

85

,

0

5

,

2

95

,

2

5

,

2

5

,

2

82

,

149

82

,

149













z





z



N

S

z

N

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Intervalo de confianza

Estimación de la media

Ejercicio 6.-

Para el ejercicio 4 suponga una muestra de tamaño 25, según la tabla.

Calcule los mismos intervalos de confianza, 95, 99 y 90.

Contexto:

(1) Cae dentro de supuesto de muestras muy pequeñas

En relación a la población.

(2) Se utilizará la distribución t de student para calcular

El intervalo de confianza, utilizando distribución y media

muestral.

Tabla de alturas en la muestra

185,42 170,18 124,46 170,18 198,12 177,80 144,78 167,64 127,00 121,92

144,78 177,80 139,70 138,70 185,42 187,96 86,36 160,02 154,94 134,62

116,84 185,42 137,16 190,50 160,02

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Estadística

Intervalo de confianza

Estimación de la media

(1)

Con 95% => área de la cola: 0,025





95 , 0 000 . 15 . . * . 41 , 166 000 . 15 . . * . 77 , 143 32 , 11 09 , 155 5 48 , 27 06 , 2 09 , 155 25 06 , 2 ₁ 1           _{ }        _  Bs Bs P cmts Bs cmts cmts Bs cmts P S t X

t_{n n}





(2)

Con 99% => área de la cola: 0,005





99 , 0 000 . 15 . . * . 48 , 170 000 . 15 . . * . 70 , 139 39 , 15 09 , 155 5 48 , 27 80 , 2 09 , 155 25 80 , 2 ₁ 1           _{ }        _  Bs Bs P cmts Bs cmts cmts Bs cmts P S t X

t_{n n}





(3)

Con 90% => área de la cola: 0,05





9 , 0 000 . 15 . . * . 49 , 164 000 . 15 . . * . 69 , 145 40 , 9 09 , 155 5 48 , 27 71 , 1 09 , 155 25 71 , 1 ₁ 1           _{ }        _  Bs Bs P cmts Bs cmts cmts Bs cmts P S t X

t_{n n}



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Estadística

Estimación de la desv. típ.

Intervalo de confianza

2 1 2

2 2

)

(















N

i

i

X

X

Ns

IC

pa pb

pb pa

N

s

N

s

Ns























2 2 2

Chi cuadrado para varios grados de libertad

Grados de libertad (

v

En el caso de este estadístico, como se debe estimar σ; k = 1

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Estadística

Estimación de la desv. típ.

Intervalo de confianza

V

a

α = 0,05

1

,

11

2 95 ,

0





8

,

12

2 975 ,

0





61

,

1

2 1 ,

0





α = 0,05, asumimos igual tamaño

a

b

α2 = 0,025 α1 = 0,025

a

α = 0,1

61

,

1

2 1 ,

0





a

b

α1 = 0,1

α2 = 0,05

8

,

12

2 975 ,

0





831

,

0

2 025 ,

0



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Estadística

Estimación de la desv. típ.

Intervalo de confianza

Ejercicio nº 1

.- De una población de 1.000 alumnos se ha tomado aleatoriamente una muestra

de diez y seis, en la cual se ha observado que la desviación típica de las alturas es de 6 cmts.

Encontrar el intervalo de confianza del 95% para σ.

1. Grados de libertad = N-k = 16-1 = 15

2. Se determinan los valores críticos: α = 0,05 a partir de aquí se determinan:

en la tabla se obtiene: 6,26

en la tabla se obtiene: 27,5

3. Se aplica la función:

2 025 , 0



2 975 , 0



592

,

9

577

,

4

26

,

6

16

6

5

,

27

16

6

025 , 0 975

, 0



























cmts

cmts

N

s

N

Teoría de la decisión

Estadística

Estimación de la desv. típ.

Intervalo de confianza

Ejercicio nº 2

.- La desviación típica de una muestra de 200 bombillos es de 100 horas.

Encontrar el intervalo de confianza del 95% para σ de la producción total..

se observa que

v

es mayor que 30 grados de libertad, por tanto se puede aprovechar

La aproximación a la distribución normal

1. Se determinan los valores críticos: α = 0,05 a partir de aquí se determinan:

Z

en la tabla de distribución normal se obtiene: +1,96 y -1,96

2. Se aplica la función:

95

,

0

)

3

,

111

4

,

91

(

hs





hs



P



1 2 2

975 , 0 2 975 ,

0  z     

 ( 2(199) 1) 0,5( 1,96 19,925) 161,37

2

1 2 2

025 , 0 2 025 ,

0  z      

Teoría de la decisión

Estadística

Estimación del tamaño de

la muestra para la media

Problema:

¿Cuánto margen de error es razonable aceptar al estimar?

¿cuál su relación con el intervalo de confianza en la estimación de la media?