Espacios de Hölder con pesos tipo Bernstein

(1)

FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICO MATEM ´ATICAS

LICENCIATURA EN MATEM ´ATICAS

ESPACIOS DE H ¨OLDER CON PESOS TIPO BERNSTEIN

T e s i s

para obtener el t´ıtulo de:

LICENCIADO EN MATEM ´ATICAS

PRESENTA:

´

ALVARO HERN ´ANDEZ CERVANTES

director de tesis:

PROF. DR., DR. SCIENT. MIGUEL ANTONIO JIM´ENEZ POZO

(2)

(3)

Cuando un sueño se hace realidad no siempre se le atribuye al em-peño que pongamos en realizarlo. Detrás de cada sueño siempre hay personas que nos apoyan y que creen en nosotros. Son seres especiales que nos animan a seguir adelante en nuestros proyectos brindándonos, de diferentes maneras, su solidaridad. Es por ello que quiero agradecer de todo corazón y dedicar este pequeño trabajo a las personas más queridas en mi vida. A mis padres, Hedilberto y Maria Irma, quienes con esfuerzos y sacrificios siempre me apoyaron durante toda la carrera compartiendo sus sabios consejos. A mis hermanos, a cada uno de ellos, Sandra, Hedilberto, José y Ulises. Quienes mostraron siempre un apoyo y cariño incondicional en los momentos más dif´ıciles de mi formación académica y moral. A Dios, por guiarme siempre por el buen camino de la vida y por darme una familia tan maravillosa, que sin todo esto no hubiese sido posible la culminación de esta etapa de mi vida.

A mi director de tesis el Dr. Miguel Antonio Jiménez Pozo, gracias por haber aceptado y dirigir este trabajo, por siempre confiar en m´ı, por la paciencia que me tuvo a lo largo de todo este proceso, y por todas las enseñanzas que compartió de buena manera conmigo. Al Dr. Slavisa V. Djordjevic, gracias por todo el apoyo que me brindó en los cursos que impartió hasta el desarrollo del pequeño trabajo que realizamos. Al M. C. José Nobel Méndez Alcocer por ayudar y mejorar este trabajo y por ser un buen compañero, nuevamente gracias y gracias a todas aquellas personas que no menciono pero que compartieron sus buenos consejos.

A mis sinodales, Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna, M.C. Julio Erasto Poisot Mac´ıas y la M.C. Maria Guadalupe Raggi C´ardenas, quienes

(4)

revisaron este trabajo y con sus cr´ıticas y comentarios lo favorecier´on.

Gracias director y sinodales por sus pacientes revisiones y correcciones.

También quisiera agradecer a todos los profesores y profesoras con los cuales tuve el agrado de tomar sus cursos y que fuerón una etapa ele-mental de mi formación.

Al cuerpo académico de análisis matemático, que me permitió partici-par en el seminario que organiza durante el tiempo en el cual estuve realizando este trabajo.

Esta tesis fue desarrollada con apoyo de los proyectos SEP-VIEP “Análi-sis de Convergencia de Operadores (II parte), 2012” y “Aproximación e Integración, 2013”.

´

(5)

T´ITULO: ESPACIOS DE H ¨OLDER CON PESOS TIPO BERNSTEIN ESTUDIANTE: ALVARO HERN ´´ ANDEZ CERVANTES

COMIT ´E

DR. JUAN ALBERTO ESCAMILLA REYNA

PRESIDENTE

M.C. JULIO ERASTO POISOT MAC´IAS

SECRETARIO

M.C. MARIA GUADALUPE RAGGI C ´ARDENAS

VOCAL

PROF. DR., DR. SCIENT. MIGUEL ANTONIO JIM´ENEZ POZO

(6)

Introducci´on 1

1. Preliminares 3

1.1. Espacios de H¨older . . . 3

1.1.1. Definici´on con norma uniforme . . . 3

1.1.2. M´odulo de continuidad θα _{. . . .} ₈

1.2. Polinomios de Bernstein . . . 13

1.2.1. Definiciones . . . 13

1.2.2. Teorema de Korovkin y su aplicaci´on a los polinomios de Bernstein . . . 14

1.2.3. El teorema de Elliott . . . 15

1.3. Splines . . . 16

2. El problema de Bernstein 17 2.1. El problema de Bernstein en R₊ _{. . . 17}

2.2. Soluciones del Problema de Bernstein . . . 20

3. Clases de Hölder con Pesos Tipo Bernstein 25 3.1. Aproximación Uniforme con Peso tipo Bernstein mediante Spli-nes . . . 27 3.2. Aproximación Uniforme en Norma de Hölder mediante Splines 30

Conclusiones 38

Bibliograf´ıa 40

(7)

(8)

Esta tesis se inicia con la idea de extender la aproximación de Hölder a funciones integrables con peso sobre la recta real; con base a los resultados obtenidos por el Dr. José Margarito Hernández Morales en su tesis, para in-tervalos finitos ([Morales, 2012]). Pronto nos percatamos que para considerar ese problema de manera más profunda, deb´ıamos estudiar primero los proble-mas de aproximación uniforme originados en ideas tempranas de Bernstein, como se verá en el desarrollo de la tesis.

Con estos objetivos futuros en mente, en esta tesis desarrollamos un es-tudio de aproximación uniforme de Hölder para funciones con peso de tipo Bernstein. Este tema es muy rico y conduce a problemas muy interesantes de aproximación. A continuación diremos grosso modo lo que se realizó en la tesis.

En el primer cap´ıtulo revisamos los conceptos de espacios de Hölder, módulo de continuidad, polinomios de Bernstein y splines, as´ı como de teore-mas clásicos para la aproximación en norma uniforme, además mencionamos las definiciones de conjuntos equilipschitzianos y sucesiones equilipschitzia-nas, algunas caracterizaciones de los primeros, as´ı como el Teorema de Ko-rovkin y su aplicación a la aproximación con polinomios de Bernstein, y el Teorema de Elliott.

En el segundo cap´ıtulo se define lo que es un peso de Bernstein y se dan ciertas condiciones necesarias y suficientes para que una funci´on sea un tal peso, se plantea el problema de Bernstein en R₊ _{y se dan algunas soluciones} de las personas que han trabajado en ello.

(9)

El tercer cap´ıtulo es novedoso, se introduce lo que es un peso de tipo Bernstein ω, se plantea y demuestra un teorema de Aproximación unifor-me con peso de tipo Bernstein unifor-mediante Splines, se definen los conceptos de función de Lipschitz local y función de Lipschitz y con ellos los de espa-cios Lipα

ω(R+) y lipαω(R+), se prueba que Lipαω(R+) es un espacio lineal real

normado de Banach, con la norma definida con la ayuda de la constante de Lipschitz. Por ´ultimo se define el espacio holα

ω(R+), para el cual se

(10)

Cap´ıtulo

1

Preliminares

1.1. Espacios de H¨

older

En esta tesis modificaremos ligeramente la definición tradicional de fun-ciones de Lipschitz o Hölder, para darle sentido a los espacios de Hölder sobre R₊_{, con un peso tipo Bernstein. Por tal motivo, comenzaremos con algunas} definiciones y resultados básicos de los espacios de Hölder clásicos.

1.1.1. Definici´

on con norma uniforme

En esta tesis consideramos R₊ ₌. _{_x_∈R_:_x_≥₀_}_.

Definición 1.1. Si (X, d) y (Y, ρ) son espacios métricos no triviales, una función f : (X, d) _→ (Y, ρ) se llama de Lipschitz si existe una constante

M ≥0 tal que

ρ(f(p), f(q))≤Md(p, q),

para todos los p, q _∈ X. El ´ınfimo de todos los M’s es llamado el n´umero de Lipschitz de f y aqu´ı lo denotamos por θ(f). Adem´as, si f es invertible y ambas f y f−1 _{son de Lipschitz, entonces decimos que} _f _{es bi-Lipschitz o}

una casi-isometr´ıa.

Alternativamente, θ(f) puede ser definido por

θ(f) = sup

ρ(f(p),f(q))

d(p,q) :p, q∈X, p6=q

.

(11)

O de forma equivalente

θ(f) = sup

θ(f, δ) : 0< δ

,

donde:

θ(f, δ) = sup

ρ(f(p),f(q))

d(p,q) :p, q∈X,0< d(p, q)≤δ

.

De acuerdo a lo anterior,f es de Lipschitz siθ(f)<+_∞, de otra forma (si

θ(f) =∞) se dice que f no es de Lipschitz. Como se puede ver, la condición de Lipschitz simplemente establece que estas funciones expanden distancias por no más de un factor universal. As´ı, una función de Lipschitz con 0_≤θ(f)_≤1, es llamada una contracción, y expansiva si 1 < θ(f) < ∞. Es fácil ver que toda función de Lipschitz es uniformemente continua y la rec´ıproca no es necesariamente cierta, como lo muestra la función f(t) =√1₋t2_, _t_∈_[0_,_1].

Ejemplo 1.1. SiCes un subconjunto cerrado no vac´ıo de un espacio métrico (X, d), entonces la función f(p) = d(p, C) es de Lipschitz, de hecho es una contracción y además satisfacef(p) = 0 si y sólo sip∈C.

Una ligera modificación de esta función proporciona una demostración constructiva del Lema de Urysohn para espacios métricos. Si C y D son subconjuntos cerrados disjuntos de un espacio métrico X, entonces existe una función de Lipschitz f :X →R _{que es cero sobre} _C _{y uno sobre} _D_.

Proposición 1.1. ([Morales, 2012]). Sea (X, d) un espacio métrico y 0 < α≤1, entonces dα₍_{x, y}₎_{= (}. _d₍_{x, y}₎₎α _{es también una métrica.}

Definición 1.2. Si (X, d) es un espacio métrico, para 0< α≤1, se denota porXα _{= (}. _{X, d}α₍_{x, y}_{)) al mismo conjunto} _X _{con la métrica} _dα₍_{x, y}_{). Se}

de-nomina a Xα _{como un espacio m´etrico de H¨older si 0}_{< α <}_1.

Una funci´on de Lipschitz de Xα _a _Y_{, 0} _{< α} _≤ _{1, es frecuentemente}

llamada de H¨older con exponente α. En la literatura especializada se utiliza H¨older o Lipschitz indistintamente. Por θα₍_f_{) denotamos la constante de}

Lipschitz de orden 0 < α _≤ 1 y por Lipα₍_{X, Y}_{) al conjunto de todas estas}

funciones de Lipschitz de Xα _a _Y_{. Si} _Y ₌ _R_{, simplemente escribiremos}

(12)

Observación 1.1. Por mencionar algunas cosas para las cuales los espacios de Lipschitz son importantes, diremos que en el contexto de estos espacios hay algunas versiones de teoremas importantes en Análisis Funcional, as´ı co-mo de Topolog´ıa. Por ejemplo : ”Sean X, Y espacios métricos y X,Y sus completaciones, respectivamente. Si f : X _→ Y es una función Lipschitz, entonces existe una única extensión también Lipschitzf :X →Y”; [Weaver, 1999].

Observación 1.2. Se pueden también considerar espacios de Hölder (o de Lipschitz) de orden superior Lipα₍_A_{) contenidos en los espacios} _C₍_A_{) y}

Lp(A), siendo A = [a, b], R+, R o T = ₂_πR_Z, con Z el grupo de n´umeros

enteros. Estos espacios est´an formados por aquellas funciones f para las cua-les θα₍_f₎_<₊_∞_{, donde} _θα₍_·_{) es el supremo de la familia de seminormas}

θα₍

·, δ)L = sup

k∆r t(·)kL

|t|α : 0<|t| ≤δ

; con δ >0,

donder es un n´umero natural y ∆r

t una diferencia de orden superior que

precisaremos enseguida, Lcualquiera de los espacios ya mencionados yk · kL

la norma en este espacio; [DeVore y Lorentz, 1993].

Denotaremos ft :R+ → R la funci´on trasladada, o sea ft(x) = f(x+t).

El incremento ∆r

tf se define por ∆1tf(x) = ∆tf(x) = (ft − f)(x), y los

incrementos de orden superior ∆R

tf = ∆t(∆Rt−1f) por inducci´on. Para la

de-finici´on deθα _{se toma}_r _{= [}_α_{]+1; donde [}

·] representa la funci´on parte entera.

Los espacios de Lipschitz t´ıpicos son aquellos formados por funciones f :

X _→F, donde X es un espacio m´etrico, usualmente con infinitos elementos y sin puntos aislados (excepto, a veces, un punto aislado privilegiado para el desarrollo de la teor´ıa, como en [Weaver, 1999]), F puede ser cualquiera de los campos R_oC_{, 0}_{< α}_≤_{1, y}_f _{satisface la siguiente condici´on equivalente} ya mencionada

θ(f) = sup

|f(x)−f(y)|

dα₍_x,y₎ :x, y ∈X, x6=y

<∞.

De aqu´ı se tiene el teorema siguiente de f´acil demostraci´on.

Teorema 1.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico, 0< α_≤1 yf, g_∈Lipα₍_{X, F}_),

(13)

1. θ(af) =_|a_|θ(f), para toda a _∈F.

2. θ(f +g)_≤θ(f) +θ(g).

De este teorema se infiere que las funciones de Lipschitz forman un espa-cio lineal que denotaremos por Lipα₍_{X, F}_{) y}_θ₍_f_{) es una seminorma en este}

espacio, que no es norma porque θ(f) = 0 para cualquier funci´on f cons-tante. Debido a que (Lipα₍_{X, F}₎_{, θ}₍

·)) no es un espacio normado, se puede considerar el subespacio lineal de funciones f : X → F, m´odulo el conjunto de funciones constantes, de tal forma queθ(_·) sea una norma sobre el espacio cociente resultante (denotado de la misma forma, por un abuso de notaci´on). Con lo anterior, se obtiene (Vea [Weaver, 1999]):

Proposici´on 1.2. (Lipα₍_{X, F}₎_{, θ}₍

·)) es un espacio lineal normado.

Otra v´ıa frecuente de definir una norma en Lipα₍_{X, F}_{) es la siguiente;}

SiLipα₍_{X, F}_{) es un subespacio del espacio normado} _B_{, se define}

kf_kLipα =kfk_B+θ(f).

M´as a´un, siBes de Banach, entonces

Lipα₍_{X, F}₎_,_k·k Lipα

es un espacio

de Banach.

En el caso t´ıpico de funciones continuas, se tendr´ıa

kfkLipα =kfk_∞+θ(f).

Existe una fuerte relaci´on entre funciones Lipschitz reales y funciones Lipschitz complejas:

Afirmación 1.1. ([Weaver, 1999]). SeaXun espacio métrico yf una función Lipschitz de X a C_{. Entonces}

m´ax

θ

Re(f)

, θ

Im(f)

≤θ(f)_≤√2 m´ax

θ(Re(f)), θ(Im(f))

.

Resultando as´ı, que f : X _→ C _{esta en} _Lipα₍_X,C_{) si y s´olo si} _Re₍_f_{) e}

Im(f) est´an en Lipα₍_X,_R₎_._{M´as aun:}

(14)

Por esta razón, aqu´ı nos enfocamos a trabajar en espacios que son de ti-po Lipα₍_X,_R_{), que para simplificar la notación escribiremos sólo}_Lipα₍_X_{), o}

de otra forma conveniente cuando consideremos espacios funcionales pesados.

Podemos ver que para 0< α_≤1, la cerradura deLipα₍_X_{) en}_C

B(Xα) (el

espacio de funciones continuas y acotadas) consiste precisamente del espacio de funciones uniformemente continuas, y que si X es compacto, Lipα₍_X_{) es}

denso en C(Xα_{) con la norma del supremo ([Weaver, 1999]).}

Como se ha mencionado, la constante de Lipschitz θ(f) es caracterizada de la manera siguiente:

θ(f) = sup

θ(f, δ) :δ >0

,

donde:

θ(f, δ) = sup

ρ(f(p),f(q))

d(p,q) :p, q∈X,0< d(p, q)≤δ

.

De importancia fundamental son los llamados espacios Lipschitz peque˜nos, que introducimos a continuaci´on con la ayuda de θ(f, δ).

Definici´on 1.3. Sea X un espacio m´etrico, 0 < α _≤ 1 y f _∈ Lipα₍_X_).

Entonces f es una funci´on Lipschitz peque˜na si para todo ǫ > 0, existe un

δ >0, tal que

0< dα₍_{p, q}₎_≤_δ

⇒

|f(p)−f(q)| ≤ǫdα₍_{p, q}₎

,

que es equivalente a

θα(f, δ)→0 cuando δ→0. (1.1)

El espacio Lipschitz peque˜no lipα₍_X_{) es el formado por cada una de las}

funciones en Lipα₍_X_{), que satisfacen (1.1).}

Sea 0< α <1. Si tratamos de aproximar polinomialmente enLipα_([0_,_1])_⊂

C[0,1] o en Lipα

2π(R+)⊂C2π(R+) encontrar´ıamos que esto s´olo es posible si

f _∈lipα_([0_,_{1]) o} _lipα

(15)

1.1.2. M´

odulo de continuidad

θ

α

El módulo de continuidad ω(f, t) de una función f puede ser definido cuando f esta definida sobre un espacio métrico X, pero nosotros vamos a restringirnos para trabajar conA=R_,R₊_,_[_{a, b}_]_oT_{. En este caso tenemos}

ω(f, t)= sup.

|f(x)₋f(y)_|:_|x₋y_{| ≤}t, x, y_∈A

;t_≥0, (1.2)

y

ω(f,0) = 0.

Observe que si A es acotado entonces ω(f, t) es constante para t _≥diam A, y la funci´on ω es continua en t = 0 si y s´olo si f es uniformemente con-tinua sobre A. Por tal motivo es usual asumir que f ∈ Ce(A), es decir, que

f pertenece al espacio de las funciones uniformemente continuas sobre A. Entonces ω(f, t) es finita para cada t fijo,ω es una seminorma, esto es,ω es subaditiva en f y homog´enea positiva.

Recordemos que, si (E,_kk) es un espacio normado, M _⊂ E no vac´ıo y

f _∈E. Se define la mejor aproximaci´on def por elementos de M como

EM(f)=. dist(f, M)= ´ınf.

g∈Mkf−gk.

Adem´as se conoce que siM es de dimensi´on finita siempre existegf ∈M

tal que

dist(f, M) =_kf₋gfk.

El módulo de continuidad ω es muy utilizado en teor´ıa de la Aproximación para estimar la aproximación, por ejemplo, polinomial. As´ı, si f _∈ C[0,1] y

Pn(f) son los elementos de mejor aproximaci´on af, se sabe que

kf ₋Pn(f)k∞=O

ω(f,1/n)

,

es decir, existek _∈R₊_,_{tal que}

kf ₋Pn(f)k∞≤k

ω(f,1/n)

(16)

Un m´odulo de continuidad en general es una funci´on real definida sobre R₊ _{que tiene las propiedades siguientes:}

(a) ω(t)→ω(0) = 0, cuando t →0,

(b) ω es no-negativa y no-decreciente sobre R₊_,

(c) ω es subaditiva, es decir, ω(t1+t2)≤ω(t1) +ω(t2),

(d) ω es continua sobreR₊_.

Obviamente, (a) es una consecuencia de (d) y de que ω(0) = 0.

La parte (c) se puede generalizar por inducci´on a

ω(t1+t2 +...+tn)≤ω(t1) +ω(t2) +...+ω(tn),

y para t =t1 =t2 =....=tn.

ω(nt)≤nω(t).

Tambi´en tenemos una desigualdad similar para un factor no-entero, es decir,

λ _∈R₊₋Z

ω(λt)_≤(λ+ 1)ω(t).

En realidad, tomando un entero n para el cual n _≤ λ < n+ 1, nosotros tenemos que

ω(λt)≤ω((n+ 1)t)≤(n+ 1)ω(t)≤(λ+ 1)ω(t).

La idea de utilizar

θα₍_{f, δ}_{) = sup}

0<t≤δ x,x+t∈A

|f(x+t)−f(x)|

tα ,

como un m´odulo de continuidad, fue desarrollado en ([Bustamante y Jim´enez, 1999]).

Un m´odulo de continuidad no puede ser muy peque˜no en el sentido si-guiente; si f ∈ C(A), (con A como en los casos particulares definidos ante-riormente) tal que θ(f,t_t ) _→ 0, cuando t _→ 0, entonces f′

(17)

tanto f es una constante.

Una función f : [a, b] _→ R _{es cóncava, si} _αf₍_x_{) +}_βf₍_y₎ _≤ _f₍_αx₊_βy_), para cada x, y ∈ [a, b] y α ≥ 0, β ≥ 0, α+β = 1. Una función cóncava

f : [0,1] _→ R_, _{la cual satisface} _f_{(0) = 0, tiene la propiedad de que} f(x)

x es

decreciente, por que si x < y, entonces

x

yf(y) = y−x

y f(0) + x

yf(y)≤f(x).

Si el módulo de continuidad ω no es cóncavo, este puede ser remplazado por un mayorante cóncavo. Primero tomemos la siguiente observación. SiL

es alguna colección de funciones lineales (más general, cóncavas), entonces asumimos que la función sobre R₊

ψ(t)= ´ınf.

l∈Ll(t), (1.3)

es finita (y cóncava). Esto puede ser utilizado como sigue. Seaφ una función sobreR₊_{, y sea} _L_{la colección de todas las funciones lineales}_l_{, tal que}_φ₍_t₎_≤

l(t), para t _∈R₊_{; asumimos que} _L₆₌_∅_{. De (1.3) observamos para} _{t >}_{0, que}

φ(t)= ´ınf.

l∈Ll(t), (1.4)

es una función cóncava con φ ≤ φ. Mas aún, si ψ es cóncava y ψ(t) ≥ φ(t) para t > 0, entonces también ψ(t) _≥ φ(t), t > 0. Para probar esto, usamos que para cada puntot0 >0, existen derivadas laterales finitas ψ

′

+(t0),ψ

′

−(t0)

y ψ+′ (t0) ≤ψ

′

−(t0). Si M es un n´umero entre las derivadas, y l es la funci´on

lineal con pendiente M la cual interpola aψ en t0, entonces l es una funci´on

soporte lineal; esta satisfacel(t)_≥ψ(t) para todot yl(t0) =ψ(t0), al aplicar

φ, tenemos la desigualdad φ(t0) ≤ ψ(t0). Esta desigualdad prueba que la

función en (1.4) es el m´ınimo mayorante cóncavo de φ. Si φ es una función acotada conφ(0) =φ+(0) = 0, entonces φ también tiene esas propiedades.

Es posible demostrar que:

Lema 1.1. ([DeVore y Lorentz, 1993]). Siω es un módulo de continuidad en-tonces el m´ınimo mayorante cóncavoωes también un módulo de continuidad y satisface para t >0 que

(18)

Observaci´on 1.3. Uno puede definir el m´odulo de continuidad ω(f, t)E,

para cada nuevo espacio invariante por traslaci´on E, por ejemplo Lp(A),

0 < p < ∞, con A como en los casos particulares definidos anteriormente. Una notaci´on usual es Ah = [. a, b − h] si A = [a, b], 0 < h < b − a y

Ah =. ∅ si h ≥ b−a. Otro posible caso Ah =. A, para h > 0. Th, h ∈ R,

denota el operador traslaci´on Th(f, x)=. f(x+h) y ∆h =. Th−I el operador

diferencia, donde I es el operador identidad. As´ı el m´odulo de continuidad para E =Lp(A) es entonces

θ(f, t, A)p = sup.

0≤h≤tk

∆h(f)kp(Ah). (1.5)

θ(f, t, A)p es un m´odulo de continuidad si 1≤p <∞, si p=∞ y f ∈ C(A)

este m´odulo se reduce al m´odulo (1.2).

La definición siguiente fue introducida en [Bustamante y Jiménez, 1999] y extendida a los espacios Lp en [Jiménez y Mart´ınez, 2001]. Los resultados

se refieren a Lp,con 1 ≤p≤ ∞,con el convenio usual de que p=∞ designa

el caso de funciones continuas.

Definici´on 1.4. Un conjunto no vac´ıo G de funciones reales en un espacio de Lipschitz arbitrario Lipα₍_L

p) es llamado equilipschitziano (en tal espacio)

si

θα₍_{G, δ}₎_{= sup}.

θα₍_{g, δ}_{) :}_g _∈_G

→0, cuando δ _→0.

Una sucesi´on (fn) de funciones en Lipα(Lp) es llamada equilipschitziana

si lo es el conjunto _{fn:n= 1,2,3, ....}.

Si el conjuntoGes equilipschitziano enLipα₍_L

p), entoncesG⊂lipα(Lp).

Si G_⊂lipα₍_L

p) y Ges un conjunto finito, entonces G es equilipschitziano.

Teorema 1.2. (Caracterizaci´on de convergencia de sucesiones en lipα_(L_{p)). Sea (}_f

n) una sucesi´on en lipα(Lp), 1 ≤ p ≤ ∞ y f una funci´on

sobre X, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

i) Sea f _∈lipα₍_L

p) y kfn−fkLipα₍_L

p) →0.

ii) La sucesi´on (fn) es equilipschitziana enLipα(Lp) y kfn−fkLipα₍_L p)→

(19)

Corolario 1.1. Sea (fn) una sucesi´on de funciones reales en lipα(Lp), 1 ≤

p_{≤ ∞}, tal que

sup

θα₍_f

n) :n= 1,2,3, ...

<_∞.

Adem´as supongamos que existe f ∈ C(A), (con A como en los casos par-ticulares definidos anteriormente) para la cual kfn −fk∞ → 0. Entonces

kfn−fkLipβ₍_L

(20)

1.2. Polinomios de Bernstein

1.2.1. Definiciones

Definición 1.5. Para una funciónf definida sobre el intervalo cerrado [0,1], la nueva función

Bn(f, x) = n X k=0 f k n n k

xk₍₁

−x)n−k_,

es llamada el polinomio de Bernstein de orden n de la funci´on f.

Bn(f, x) es un polinomio en la indeterminadaxde grado a lo m´as n∈N.

Fue introducido por S. Bernstein en 1912 para dar una simple y espec´ıfica demostración del teorema de aproximación de Weierstrass. Si f(x) es una función continua en [0,1], entonces tenemos que

l´ım

n→∞Bn(f, x) =f(x),

uniformemente en [0,1].

Paran = 0,1,2, ... se definen los operadores lineales

Bn :C([0,1])→Pn[x]

f _7→Bn(f).

Para cada n ∈ N_{∪ {}₀_} _{este operador es positivo (es decir,} _B_n₍_f₎ _≥ ₀_, _si

f _≥0), el operador es acotado y de norma 1, porque para x_∈[0,1],

Bn(1, x)≡1. (1.6)

Ahora veamos con detalles el c´alculo de losBn(ek),ek(x) =xk,k = 0,1,2.

Nosotros tenemos que si

pn,k(x)=. n_k

xk₍₁₋_x₎n−k_,

entonces

n X

k=0

kpn,k(x) = n X k=0 k n k

xk(1−x)n−k

=nx

n−1

X

j=0

n₋1

j

xj(1−x)n−1−j

(21)

As´ı

n X

k=0

kpn,k(x) =nx, (1.7)

tambi´en

n X

k=0

k(k−1)pn,k(x) =n(n−1)x2 n−2

X

j=0

n−2

j

xj(1−x)n−2−j

=n(n−1)x2.

Por lo tanto,

n X

k=0

k2pn,k(x) =n2x2+nx(1−x). (1.8)

De las f´ormulas (1.6),(1.7) y (1.8) se deriva que

Bn(e0) = e0.

Bn(e1) = e1.

Bn(e2) = e2(x) +

x(1₋x)

n .

1.2.2. Teorema de Korovkin y su aplicaci´

on a los

poli-nomios de Bernstein

Otro m´etodo aparentemente diferente para demostrar la densidad de los polinomios en el espacio de las funciones continuas con la norma uniforme, es el llamado teorema de Korovkin.

Teorema 1.3. (Korovkin,[Pinkus, 2005]). Sea (Ln) una sucesi´on de

opera-dores lineales positivos deC([0,1]) en si mismo. Asumamos que

l´ım

n→∞Ln(x

i

) =xi,

para i= 0,1,2. Y la convergencia es uniforme sobre [0,1]. Entonces

l´ım

(22)

uniformemente sobre [0,1], para cada f _∈C([0,1]).

Una inmediata aplicaci´on del teorema de Korovkin, es una demostraci´on de la convergencia de los polinomios de Bernstein Bn(f, x) a f, para cada

f _∈ C([0,1]). No obstante debe resaltarse que la demostración del teorema de Korovkin, esta inspirada en la aproximación de funciones continuas me-diante los polinomios de Bernstein. Por eso dec´ıamos que el método es sólo aparentemente diferente.

1.2.3. El teorema de Elliott

El teorema de Elliott garantiza o afirma que los polinomios de Bernstein est´an dominados en norma de Lipschitz. Este resultado ser´a utilizado en nuestra tesis.

Teorema 1.4. ([Elliott, 1994]). Si Bn(f, x) es el polinomio de Bernstein de

orden a lo m´asn def _∈Lipα_([0_,_{1]), 0}_{< α}_≤_{1, entonces}_θα₍_B

n(f))≤θα(f).

El resultado precedente es utilizado para la demostraci´on del siguiente teorema.

Teorema 1.5. ([Bustamante y Jim´enez, 2001]). Siα _∈(0,1) yf _∈lipα_([0_,_1]),

entonces k(Bnf)−fkLipα → 0, donde (B_n(f)) es la sucesi´on de polinomios

de Bernstein de f.

Observe que el teorema anterior, se puede extender a funciones sobre cualquier otro intervalo finito sobre los reales. Esto se obtiene mediante un cambio de variable utilizando la biyecci´on

φ: [0,1]_→[a, b]

(23)

1.3. Splines

Las funciones Splines han demostrado ser muy efectivas para la Aproxi-maci´on de funciones en diferentes modelos matem´aticos . Existe una amplia bibliograf´ıa al respecto. Por ejemplo ([Massopust, 2010],[Prenter, 1975],[Schu-maker, 1993],[Dahmen y Micchelli, 1987],[de Boor, 2001],[de Boor, 1976] y [C. de Boor y Riemenschneider, 1993]).

La idea general que conduce a la definición de Spline es la de una función polinomial a trozos que además, globalmente, es suave hasta un orden pre-fijado. Existen también otros tipos de funciones Splines como por ejemplo los llamados B−Splines que se forman a partir de una base de funciones que tienen soporte compacto. Pueden ser polinomios en varias variables o sim-plemente en una variable, y pueden tener valores prefijados.

En esta tesis construiremos Splines en una variable de la siguiente manera particular. Consideremos N₀ ₌N_{∪ {}₀_}_.

Sean k, n∈N₀_,_{k < n} _{y sea} _X_m _{el conjunto de puntos de} R_{dado por:}

Xm ={xν :ν = 0,1,2, ...., m;a≤x0 < x1 < x2 <· · ··< xm ≤b}.

Los elementos xν ser´an llamados nodos y el conjunto Xm el conjunto de los

nodos. Sea I un intervalo finito o infinito de extremos a y b con −∞ ≤a < b_≤+_∞, de manera que Xm⊂I.

Definición 1.6. Una función S : I _→ R _{será llamada un Spline relativo a}

k, n y Xm, si satisface las dos condiciones siguientes:

1.) S_∈Ck₍_I₎_,

2.) Para cada intervalo J = (xν, xν+1), ν = 0,1,2, ..., m−1; o J =

(a, x0), o J = (xm, b); si estos ´ultimos no son vac´ıos, se tiene queS|J

es un polinomio de grado a lo m´asn. El conjunto de Splines se denotada mediante Sn

k(Xm).

Observaci´on 1.4. En la notaci´on,Sn

k(Xm) pudiese ocurrir que los nodos no

estuvieran previamente definidos, que ser´a lo que ocurra en esta tesis. En este caso se acostumbra a decir que es un Spline de nodos libres. Aunque, por su-puesto, una vez definido un Spline quedar´an definidos sus nodos. Igualmente podemos no acotar el grado de los polinomios. En estos casos imprecisos a priori denotaremos los Splines mediante Sn

(24)

Cap´ıtulo

2

El problema de Bernstein

El primer cuarto del siglo pasado fue un gran periodo para la Teor´ıa de la Aproximación. En este tiempo, varios matemáticos lograron importantes avances en la disciplina. Entre ellos sobresalen los conocidos Stefan Bernstein y Dunham Jackson, pero también Müntz demuestra el Teorema de Aproxima-ción por series de potencias _{xλj_}∞

j=o resolviendo asi un problema propuesto

por Bernstein. Además, Faber introduce los polinomios y las series que hoy llevan su nombre y Szegö desarrolla la teor´ıa de los polinomios ortogonales sobre el c´ırculo unitario. Al final del primer cuarto de siglo, en 1924 Bernstein plantea un problema, conocido hoy en d´ıa como problema de aproximación de Bernstein, del cual derivan otros planteamientos. El problema en cuestión se plantea como sigue:

2.1. El problema de Bernstein en

R

₊

Nosotros conocemos del Teorema de Weierstrass que podemos aproximar uniformemente por polinomios toda función continua sobre un intervalo com-pacto. Bernstein se preguntó sobre la existencia de resultados análogos en la recta real o en la semirecta real positiva. Revisaremos algunos resultados ge-nerales de la literatura sobre el tema, aunque por comodidad con frecuencia nos referiremos solamente al semi-eje real positivo.

Consideremos una funci´onω :R₊_→R _continua, _ω₍₀₎_>_{0 y tal que:}

∀x_∈R₊_, ₀_{< ω}₍_x₎_<_∞ _y _∀_n _{= 0}_,₁_,₂_{, ...,} _l´ım

x→+∞

xn

ω(x) = 0. (2.1)

(25)

De (2.1) se deriva que

l´ım

x→+∞ω(x) = +∞. (2.2)

Debido a (2.2), asumiremos también queω es estrictamente creciente –lo que según veremos no será relevante en cuanto a la veracidad de los resultados; pero que, sin embargo, facilita técnicamente algunas demostraciones.

Continuaremos ahora con la definici´on de peso de Bernstein. Nosotros denotaremos porCω el espacio de todas las funciones continuasf,con valores

complejos o reales sobre R₊ _{tales que}

l´ım

x→∞

f(x)

ω(x) = 0, (2.3)

con la norma uniforme

kf_kCω = sup

x∈R+

|f(x)_|

ω(x) . (2.4)

Definición 2.1. Bernstein llamó a una función ω que satisface (2.1), una función peso si, además, cada f _∈ Cω es aproximada por polinomios (con

coeficientes complejos) en la norma (2.4).

Cωes un espacio de Banach, que contiene todos los polinomios. Para cada

peso ω el espacio Cω contiene al subespacio C0 de funciones f que cumplen

f(x)_→0 cuando x_→+_∞.

El espacio C0 es denso en Cω. Como las funciones continuas de soporte

compacto son densas en C0, entonces tambi´en son densas en Cω. Las

com-binaciones lineales de (x±ki)−1_{, k} _{= 1}_,₂_,₃_{, .}_{.. junto con la funci´on 1}_, _son

densas en Cω.

Bernstein propuso ciertas condiciones necesarias y suficientes para carac-terizar las funciones peso en el sentido por él definido. Si ω es una función peso y para todox _∈ R_, _ω₍_x₎ _≤_ω₁₍_x_{), entonces también} _ω₁ _{es una función} peso. Si 0 < c1 ≤ ω1(x)/ω2(x) ≤ c2, entonces ω1 y ω2 simultáneamente son

(26)

Los teoremas acerca de los polinomios de Laguerre y Hermite prueban que ex _y _ex2

(27)

2.2. Soluciones del Problema de Bernstein

Todas las soluciones conocidas del problema de Bernstein dependen de alguna manera de la teor´ıa de funciones complejas. Como estos resultados aqu´ı sólo tendrán un carácter divulgativo para completar la tesis, no profun-dizaremos en esa dirección.

Sea ω una funci´on peso que satisface

µ(ω) =

Z ∞

−∞

logω(x)

1 +x2 dx=∞. (2.5)

Esta es una condici´on necesaria para que ω sea un peso de Bernstein; pero no suficiente si ω no se comporta regularmente de cierta manera que ahora esclareceremos.

Para ello tenemos que utilizar un funcional m´as complicado dado por

λ(ω) = sup

P∈Mω

Z ∞

−∞

log_|P(x)_|

1 +x2 dx, (2.6)

donde Mω representa el conjunto de todos los polinomios complejos P de

grado arbitrario, que se mayoran porω:

|P(x)_{| ≤}ω(x), x_∈R_.

La integral (2.6) existe incluso si P tiene ceros reales; y obviamente λ(ω)_≤

µ(ω).

Propiamente Bernstein dio los primeros ejemplos significativos de funcio-nes peso; diferentes soluciofuncio-nes completas del problema han sido dadas por Pollard [1953], Akhiezer y Bernstein [1953], y algo más tarde por Mergelyan [1956]. La solución de los segundos dos autores por lo general se cree que es la más satisfactoria. Necesitaremos el valor de ciertas integrales del tipo (2.6).

Sea P(z) un polinomio sin ceros en el semiplano Im z > 0, y sea c _∈ C tal que Im c >0. Entonces

Z ∞

−∞

log|P(x)|dx

(x−c)(x−c) =

π

(28)

En efecto, podemos restringir logP(z) en Im z > 0 a una de sus ramas principales. Si g tiene un cero simple en c, el residuo en z =cde un cociente

f(z)/g(z), es f(c)/g′(c).

Podemos aproximar la integral (2.7) sobre una curva cerrada que consiste del intervalo [₋r, r], un semic´ırculo de radio ren el semiplano superior con r

suficientemente grande, y de peque˜nos semic´ırculos con centros en los ceros reales de P. Por lo tanto, por el c´alculo de residuos,

Z ∞

−∞

logP(x)dx

(x₋c)(x₋c) = 2πι

logP(c) 2ιIm c =

π

Im clogP(c),

y tomando las partes reales, obtenemos (2.7).

Para un polinomio arbitrarioP tenemos

Z ∞

−∞

log|P(x)|

1 +x2 dx≥πlog|P(ι)|. (2.8)

Para obtener esto, factorizamos

P(z) =P1(z)Π(z−aj),

dondeP1 no tiene ceros en el semiplano superior y cadaaj cumpleIm aj >0.

Para P1 se puede utilizar (2.7), con c = ι y para cada uno de los factores

z₋aj, tenemos, Z ∞

−∞

log_|x₋aj|

1 +x2 dx=πlog| −ι−aj| ≥πlog|ι−aj|.

Uniendo estas relaciones, obtenemos (2.8).

Por Nω denotamos el conjunto de polinomios P∗ que no tienen ceros en

Im z _≥0 tal que

1_{≤ |}P∗₍_x₎_{| ≤}p_{1 + (}_ω₍₀₎₎−2_ω₍_x₎_. _(2.9)

Lema 2.1. ([Lorentz y Makovoz, 1996]). Para cada polinomioP _∈Mω existe

un polinomio P∗ _∈_N

ω del mismo grado para el cual,

(29)

En el siguiente teorema mostramos una condición necesaria para que una función sea función peso;

Teorema 2.1. ([Lorentz y Makovoz, 1996]). Si ω es una funci´on peso, en-tonces

λ(√1 +x2_ω_{) =}_∞_. _(2.11)

Esto implica que µ(√1 +x2_ω_{) =}_∞_{, por lo tanto} _µ₍_ω_{) =} _∞_.

Una condici´on suficiente para una funci´on peso esta dada por:

Teorema 2.2. ([Lorentz y Makovoz, 1996]). Siλ(ω) = _∞, entoncesω(x)/√1 +x2_,

(y por lo tanto tambi´en ω) es una funci´on peso.

Finalmente tenemos que

Teorema 2.3. (Criterio de Pollard,[Lorentz y Makovoz, 1996]).

Una función ω es una función peso si y sólo siµ(ω) =∞ y si existe una sucesión (Pn) de polinomios y una constante M > 0 tal que

l´ım

n→∞Pn(x) =ω(x), |Pn(x)| ≤Mω(x), x∈

R_. _(2.12)

La prueba de este teorema y el teorema (2.1) implican que λ(ω) = _∞ para cada funci´on peso.

Teorema 2.4. (Akhiezer y Bernstein,[Lorentz y Makovoz, 1996]). Una funciónω es una función peso si y sólo si ω(x)/√1 +x2 _{es una función peso,}

si y s´olo siλ(ω) =_∞.

Como un ejemplo, tomemos las funciones e|x| _y _{ch x}_{. Ellas son}

compa-rables, debido a que su cociente se encuentra entre dos constantes no nulas. Tambi´en satisfacenµ(ω) =∞. Los polinomios Pn de (2.12) parach xse

pro-porcionan porPn(x) = 1 + x

2

(2)!+· · · ·

x2n

(2n)!.Por lo tanto ambas son funciones

peso.

Un poco m´as dif´ıcil es el tratamiento de las funcionesω(x) = exp(_|x_|/ψ(x)), donde:

ψ(x)es logα(2 +|x|) o log(2 +|x|) logα(4 +|x|). (2.13)

(30)

1) 0< ψ(x)_{→ ∞} para x_{→ ∞},

2) Bψ(x)≤ψ(√x), x >0, para alguna B >0 y

3) Para cada ǫ >0,ψ(x)x−ǫ _→₀_, _x_{→ ∞}_.

El siguiente teorema muestra que ω(x) = exp(_|x_|/ψ(x)) es una funci´on peso si α= 1 en (2.13).

Teorema 2.5. Sea x _∈ R_{, si} _ψ₍_x₎ _> _{0, es una funci´on par creciente para} todo x _≥ 0, que satisface las condiciones (1),(2) y (3), entonces ω(x) = exp(x/ψ(x)) es una funci´on peso si

∞

X

k=0

ψ(2k₎−1 ₌

(31)

(32)

Cap´ıtulo

3

Clases de H¨older con Pesos Tipo Bernstein

En este cap´ıtulo recogeremos nuestra contribuci´on al estudio de la apro-ximaci´on en los espacios de funciones continuasCω, definidas mediante pesos

ω tipo Bernstein sobre R₊_.

Los resultados que expondremos van en dos direciones. Por definici´on, ω

es un peso de Bernstein si los polinomios algebraicos (en este caso restrin-gidos a R₊_{), son densos en} _C_ω _{con la norma} _{k · k}_C

ω, as´ı que la mayor parte

de los trabajos iniciales en el estudio del problema de Bernstein, estuvier´on dirigidos precisamente a encontrar condiciones necesarias o suficientes para determinar si una funci´on ω es efectivamente un peso.

Pero los resultados de estas investigaciones no muestran como construir polinomios que aproximan una funci´on dada en Cω. Esta construcci´on es

dif´ıcil; pero posible si aproximamos con Splines. Es por ello que primeramen-te abordaremos el problema de la aproximaci´on uniforme en Cω con Splines,

mediante un procedimiento constructivo de aproximaci´on.

Este método de aproximación no sólo tiene la ventaja de ser constructivo, sino que no se necesita a priori, que ω sea un peso de Bernstein, o sea, de la densidad de los polinomios en Cω. Por ello trabajaremos con pesos que

llamaremos de “Tipo Bernstein”, m´as precisamente:

Definición 3.1. Una función ω : R₊ _→ R _{se llamará de tipo Bernstein, si} es continua, creciente, ω(0)>0 y satisface la condición (2.1). Es decir,

(33)

∀x_∈R₊_, ₀_{< ω}₍_x₎_<_∞_, _y _∀_n_{= 0}_,₁_,₂_{, ...,} _l´ım

x→+∞

xn

ω(x) = 0.

Igualmente consideramos los espaciosCω y la normak · kCω, definidos en

(2.3) y (2.4).

Entonces ω es un peso de Bernstein, si es de tipo Bernstein y si los poli-nomios algebraicos son densos en (Cω,k · kCω).

La segunda parte del cap´ıtulo esta dirigida a la definición de clases de Hölder en Cω, y a la aproximación en normas hölderianas de estas clases,

mediante Splines construidos de manera similar a lo expuesto en la secci´on (1.3).

(34)

3.1. Aproximaci´

on Uniforme con Peso tipo

Bernstein mediante Splines

Teorema 3.1. Sean ω un peso de tipo Bernstein y f ∈ Cω(R+). Entonces

para cada ǫ >0 podemos construir un Spline S _∈S0(R+), tal que

kf ₋S_kCω(R+) ≤Cǫ,

donde:

C = m´ax(2,1/ω(0)).

Demostraci´on:

Sea ǫ >0 dado. Como f_ω(₍x_x)₎ _→0 cuando x_{→ ∞}, existe M _∈N _{tal que,}

∀x≥M

fω((xx))

≤ǫ.

Definimos polinomios de Bernstein de la manera siguiente:

Sea m _∈ N_, _m _≤ _M_{, tomamos un polinomio de Bernstein de grado}_N_m_, que depender´a de m, f y ǫ, tal que

∀x∈[m−1, m],

BNm(f, x)−f(x)

≤ǫ.

Ahora construimos el Spline

S(x) =

BNm(f, x) si x∈[m−1, m]

f(M) si x_≥M.

Efectivamente,S _∈S0(R+), debido a las propiedades de interpolaci´on en

los extremos de los polinomios de Bernstein,

BNm(f, m) =f(m) =BNm+1(f, m); si m < M,

mientras que para todo x≥M,

(35)

Por otro lado, six∈[m−1, m],

SM(x)−f(x)

ω(x)

=

BNm(f, x)−f(x)

ω(x)

≤

BNm(f, x)−f(x)

ω(0) ≤ ǫ ω(0).

Six_≥M, comoω(M)_≤ω(x),

S(x)_ω−₍_x₎f(x) =

f(M_ω)₍−_x₎f(x) ≤ f_ω(₍M_M)₎

+ _ωf(₍x_x)₎

≤ǫ+ǫ= 2ǫ.

Nota 3.1. En esta demostraci´on se toma un cambio de variable a partir de la biyecci´on

[0,1]→[a, b]

t 7→(1−t)a+tb,

para trasladar la aproximaci´on en [a = m−1, b = m] al caso conocido de aproximaci´on tipo Bernstein en [0,1].

El grado máximo de los polinomios será K = máx{N1, N2, N3, ..., NM.}.

Con la misma técnica empleada, se puede reducir el problema de aproxima-ción a un sólo nodo correspondiente al punto M. El posible inconveniente, desde el punto de vista constructivamente práctico, es que el polinomioP que aproxima a la función dadaf en [0, M], podr´ıa tener un grado muy superior al grado máximo K de los polinomios utilizados en el primer método.

En efecto, al trasladar f a [0,1], desde [0, M] con M _≥1, se tendr´ıa que sifM esta trasladada

ω

fM,_M1_·_n

C[0,1]

=ω

f, 1_n

C[0,M]

(36)

De aqu´ı se deriva que utilizando una partici´on uniforme de longitud 1/n

en [0, M], se tendr´ıa K _≤ M; pero el polinomio de Bernstein P para obte-ner la misma aproximaci´on en [0, M], podr´ıa llegar a ser de grado∂P =M_·n.

(37)

3.2. Aproximaci´

on Uniforme en Norma de H¨

older

mediante Splines

En esta sección introducimos los espacios de Hölder con respecto a un peso de tipo Bernstein y estudiamos la aproximación mediante Splines en dichos espacios.

Recordemos que

C0(R+)=. {g ∈C(R+) :g(x)→0 cuando x→ ∞}.

Sif _∈Cω(R+) y g = _ωf, se tiene quef =gω con g ∈C0(R+) y, viceversa;

con ello tendr´ıamos el isomorfismo lineal

C0(R+)↔Cω(R+)

g !f

donde:

kgkC0(R+)= sup

x∈R+

|g(x)|= sup

x∈R+

f(x)

ω(x)

=kfkCω(R+).

En lo sucesivo α y δ designan numeros en (0,1].

Definición 3.2. Diremos que h : R₊ _→ R _{es localmente de Lipschitz (o} de Hölder) de orden α si y sólo si para toda x ∈ R₊_{, existe una vecindad}

V = [a, b] de x, tal que h _∈ Lipα₍_V_{) en el sentido usual. Denotaremos por}

Lipα

local(R+) al conjunto de las funciones h: R+ → R que son localmente de

Lipschitz.

Observe que si h∈Lipα

local(R+),entonces h∈C(R+).

Por ejemplo, si tomamos el peso de Bernstein ω0 = ex, entonces ω0 ∈

Lipα

local(R+).

Sea ω un peso de tipo Bernstein y h∈Lipα

local(R+).

(38)

θα

ω(h, δ) = sup x∈R+

0<t≤δ

|ht(x)−h(x)|

tα_ω₍_x₎ ,

donde: ht(x) =h(x+t).Observe que θωα(h, δ) es creciente en δ y que podr´ıa

ser finito o infinito. Adem´as, de la condici´on h ∈Cω(R+), no se infiere que

ht ∈ Cω(R+), como lo demuestra el ejemplo ω(x) = exp (x2) y la funci´on

h(x) = exp (x2₎_/_{(1 +}_x₎_.

Definici´on 3.3. Diremos queh∈Cω(R+)∩Lipαlocal(R+) es de H¨older de

or-denαrespecto del peso tipo Bernsteinω, y lo denotaremos porh∈Lipα ω(R+),

si y s´olo si

θα

ω(h) = sup

0<δ≤1

θα

ω(h, δ) =θ α

ω(h,1)<∞.

Teorema 3.2. Con las operaciones usuales,Lipα

ω(R+) define un espacio lineal

real, sobre el cual θα

ω(·) en una seminorma y con la norma

k · kLipα

ω(R+) =k · kCω(R+)+θ

α ω(·),

en un espacio de Banach.

Demostraci´on:

Probaremos solamente la completitud, pues lo dem´as es sencillo.

Supongamos que (fn) es una sucesi´on de Cauchy con la normak·kLipα ω(R+).

Como k · kLipα

ω(R+) =k · kCω(R+)+θ

α

ω(·), claramentek · kCω(R+) ≤ k · kLipαω(R+)

(pues θα

ω(·) ≥ 0 por ser una seminorma), esto significa que (fn) es una

su-cesi´on de Cauchy en Cω(R+) y como Cω(R+) es completo, (fn) → f con

f ∈Cω(R+), es decir, kfn−fkCω(R+) →0.

As´ı que s´olo resta probar que f _∈Lipα

ω(R+) y que θαω(fn−f)→0. Esto

´

ultimo quiere decir que fn−f ∈ Lipαlocal(R+) y que para cada ǫ > 0 dado,

existe N natural, tal que para toda n _≥N.

θα

ω(fn−f) = sup

0<t≤1

(fn)t−_tfαt_ω−fn+f ∞ ≤ǫ.

(39)

θα

[a,b](fn−f)≤Cθ

α

ω(fn−f)<∞,

donde C es una constante que depende de [a, b] y ω.

Utilizando los resultados cl´asicos para espacios de Lipschitz sobre inter-valos finitos y siendo fn de Lipschitz en [a, b], se deduce igualmente que f y

fn−f est´an en Lipαlocal(R+).

Demostremos ahora que para n suficientemente grande se tiene que,

θα

ω(fn−f)≤ǫ. (3.1)

Comoθα

ω(fn−fm) es de Cauchy existeN1 tal que, sin, m≥N1, y 0< t≤1

(fnt−fmt)ω−(fn−fm) ∞ ≤ ǫ 3t α_.

Fijemos arbitrariamente n≥N1.

Para demostrar (3.1) fijemos arbitariamente t _∈(0,1].

TomemosN2 que depende tambi´en de t, tal que, si m≥N2 se tenga

kfm−fkCω(R+)≤

ǫ

3t

α_.

Fijemos un m∗ _{auxiliar tal que} _m∗ _≥_m´ax(_N

1, N2). Entonces

k(fnt−ft)−(fn−f)kCω(R+) ≤ k(fnt −fm∗t)−(fn−fm∗)kCω(R+)

+kfm∗

t −ftkCω(R+)+kfm∗ −fkCω(R+)

≤ǫtα.

O sea, que para todo n_≥N1

θα

ω(fn−f) = sup

0<t≤1

(fn−f)t−(fn−f)

tα

Cω(R+)

≤ǫ,

como se quer´ıa demostrar. De aqu´ı tambi´en se implica que (fn − f) ∈

Lipα ω(R+).

PeroLipα

ω(R+) es un espacio vectorial. Luego f =fn−(fn−f)∈Lipαω(R+)

con lo cual finaliza la demostraci´on.

(40)

Como en los espacios de Lipschitz usuales introduzcamos el subespacio de Banach de Lipα

ω(R+), dado por

lipα

ω(R+)=. {f ∈Lipαω(R+) :θωα(f, δ)→0, cuando δ →0},

donde como antes

θα ω(f, δ)

.

= sup

0<t≤δ

ft−f

tα_ω ∞ = sup

0<t≤δ

ft−f

tα

Cω(R+)

.

Por construcci´on, θα

ω(f, δ) es un m´odulo de continuidad en lipαω(R+).

La aproximaci´on constructiva de funciones en lipα

ω(R+) mediante Splines en

Sk(R+), es un problema aparentemente dif´ıcil, si es que fuese posible

resolver-lo. Para mostrar algunas dificultades, veamos grosso modo un ejempresolver-lo. Dados

ω, f _∈ lipα

ω(R+) y ǫ > 0, si intentamos el m´etodo de aproximaci´on

relativa-mente simple de definir un polinomio (por ejemplo Bn(f, x), de Bernstein)

en [0, M] y el Spline S ∈S1(R+) mediante:

S(x) =

Bn(f, x) si x∈[0, M]

B′

n(f, x)(x−M) +f(M) si x≥M,

podr´ıamos obtener en el caso de polinomios de Bernstein Bn(f, x) y con

una utilizaci´on adecuada del teorema de Elliott, una mayoraci´on deBn′(f, x)

en funci´on de

θ

_[0α_,M_]

(

f

)

. Pero s´olo sabemos que

θ

α

[0,M]

(

f

)

/ω

(

M

)

,

se mantiene acotado, por lo que

θ

α

[0,M]

(

f

)

x/ω

(

x

)

≤

ǫ

,

que es una desigualdad necesaria para acotar θα

ω(S − f) en el proceso de

aproximaci´on, no se puede establecer a priori. Esto nos conduce a buscar una aproximaci´on mediante Splines menos exigentes, es decir, con S _∈ S0(R+)

como en el caso uniforme.

Fijemos entonces la suposici´on relativamente m´as sencilla de queS(x) =

f(M) para x ≥ M. En el c´alculo de θα

ω(S−f) y para valores x ≥ M, nos

(41)

R(M) = sup

x≥M

0<t≤1

|∆tf(x)|

ω(x) ,

que estar´ıa acotada porθα

ω(f)<∞, pero no necesariamente se cumplir´a

R(M)_→0 cuando M _{→ ∞},

como se necesitar´ıa en el proceso de demostraci´on para fijar previamente M

en funci´on deǫ.

Profundizando en este problema, observamos que en el caso de aproxima-ci´on polinomial en intervalos finitos, la condiaproxima-ci´on f _∈lipα₍_R

+), 0 < α < 1,

es necesaria porque cualquier polionomio la satisface. De hecho aqu´ı se nece-sita f ∈lipα

ω(R+) para tener f ∈ lipα([0, M]) y aproximar a f en norma de

H¨older en ese intervalo. En efecto, para examinar si f _∈lipα_([0_{, M}_{]); con el}

conocimiento previo de quef _∈lipα

ω(R+), basta tomar δ≤1, entonces

θα

[0,M](f, δ) = sup

x∈[0,M] 0<t≤δ

|∆tf(x)|

tα

= sup

x∈[0,M] 0<t≤δ

|∆tf(x)|

ω(x)tα

·ω(x)

≤ sup

x∈R+

0<t≤δ

|∆tf(x)|

ω(x)tα

·ω(M)

=θωα(f, δ)ω(M)→0; cuando δ→0,

luego si

f

∈

lip

α_ω

((

R

+

))

, entonces

f

|

[0,M]

∈

lip

α

([0

, M

])

.

¿Qu´e suceder´ıa para una aproximaci´on polinomial enlipα

ω(R+),

atendien-do a valores altos de la variable x?

Veamos:

(42)

∆tPtα(x)

=

|

P

′

(

ξ

)

_|

t

1−α

_,

donde ξ es un punto entre x y x+t. Significa que, para todo polinomioP y

n _∈N_{, si}_δ_≤ _1,

θ

α

[n,n+1]

(

P, δ

)

≤

θ

[αn,n+1]

(

P,

1)

≤ k

P

′

k

[n,n+1]

,

PeroP′

es tambi´en un polinomio, luego por definici´on de peso tipo Bernstein ocurre que

sup

x≥M

0<t≤1

∆tP(x)

ω(x)tα

→0, cuando M → ∞. (3.2)

Esto nos conduce a la definici´on siguiente:

Definici´on 3.4. Diremos que una funci´on f _∈ Cω(R+) esta en la clase de

Hölder pequeña (para diferenciar de la clase Lipschitz pequeña lipα

ω(R+)) y

lo denotaremos por f ∈holα

ω(R+), si f ∈lipαω(R+) y si

sup

x≥M

0<t≤1

|∆tf(x)|

ω(x)tα →0, cuando M → ∞.

Debido a la propiedad (3.2) se tiene que si P es un polinomio, entonces

P _∈holα ω(R+).

De manera m´as general, si P _{designa el espacio lineal de todos los} poli-nomios algebraicos, y ω es un peso de tipo Bernstein, entonces

P_⊂_hol_ωα₍R₊₎_⊂_lipα_ω₍R₊₎_⊂_Lipα_ω₍R₊₎_⊂_C_ω₍R₊₎_. Por construcci´on, para aproximar polinomialmente enk·kLipα

ω(R+)una funci´on

f, se necesita quef _∈holα

ω(R+). Esta propiedad, al menos para la

aproxima-ci´on mediante Splines, puede ser suficiente como lo muestra el teorema final siguiente.

Teorema 3.3. Sea f ∈ holα

ω(R+). Entonces para cada ǫ > 0, existe S ∈

S0(R+) tal que

kS−fkLipα

(43)

Demostraci´on:

Sean f _∈ holα

ω(R+) y ǫ

′

> 0 dados. Debemos primeramente seleccionar

M >0 para el cual se cumplan simultaneamente

(i) sup

x≥M |f(x)_|

ω(x) ≤ǫ ′

, (posible puesf _∈Cω(R+)),

(ii) sup

x≥M

0<t≤1

|∆tf(x)|

ω(x)tα ≤ǫ

′

, (posible pues f ∈holα

ω(R+)).

En ([Bustamante y Jim´enez, 2000]), se demuestra que sif _∈lipα_([0_{, M}_{]) y si}

η >0 es dado, entonces existe un polinomio de BernsteinBn(f, x) en [0, M],

tal que

kBn(f, x)−fkLipα_([0_,M_])≤η.

Definimos una funci´on S mediante

S(x) =

Bn(f, x) si x∈[0, M]

f(M) si x≥M,

dondeBn(f, x) esta dado por el teorema de Bustamante-Jim´enez, con η=ǫ

′

.

Esta claro que S ∈ S0(R+) por construcci´on, con un ´unico nodo en el

punto M, dondeS interpola a f por las propiedades de interpolaci´on en los extremos del intervalo del polinomio de Bernstein.

Tenemos que

kf ₋S_kCω(R+) = m´ax

sup

x∈[0,M]

|(f ₋S)(x)_|

ω(x) ,xsup≥M

|(f₋S)(x)_|

ω(x)

.

Por un lado,

sup

x∈[0,M]

|(f₋S)(x)_|

ω(x) ≤

kf ₋S_kLipα

[0,M]

ω(0) ≤

ǫ′

(44)

Por otro,

sup

x≥M

|(f−S)(x)|

ω(x) = supx≥M

|f(x)−f(M)|

ω(x)

≤2 sup

x≥M |f(x)|

ω(x)

≤2ǫ′.

Luego

kf₋S_kCω(R+)≤2ǫ

′ + ǫ

′

ω(0). (3.3) Veamos ahora con θα

ω(f −S). Se tiene igualmente que

θα

ω(f−S) = sup x∈R+

0<t≤1

|∆t(f−S)(x)|

ω(x)tα ≤Λ1+ Λ2,

donde

Λ1 = sup

x∈[0,M] 0<t≤1

|∆t(f −S)(x)|

ω(x)tα ,

y

Λ2 = sup

x≥M

0<t≤1

|∆t(f−S)(x)|

ω(x)tα .

Veamos que en Λ1, si x+t > M, conx6=M, yS(x+t) =f(x+t) =f(M)

y por tanto existe γ >0, tal quex+γ =M y

|∆t(S−f)(x)| ω(x)tα

=

|∆γ(S−f)(x)| ω(x)tα

≤

|∆γ(S−f)(x)| ω(x)γα

.

O sea, que utilizando limites para tratar el caso x=M, deducimos que

Λ1 ≤ sup

x,x+t∈[0,M] 0<t≤1

|∆t(S−f)(x)|

ω(x)tα . (3.4)

(45)

θα

[0,M](g) = sup

x,x+t∈[0,M]

t∈R+

|∆tg(x)|

tα .

La condici´on t _∈ R₊ _{puede cambiarse de inmediato por} _t _∈ _[0_{, M}_{], pues si}

x, x−t ∈ [0, M], con t > 0, definimos y = x−t y x= y+t, para tener de inmediato

|f(x₋t)₋f(x)_|=_|f(y+t)₋f(y)_|,

mientras que, si t > M, obviamente x+t /∈ [0, M]. Luego, para cualquier

g _∈C[0,M], se tiene

θα

[0,M](g) = sup

x,x+t∈[0,M] 0<t≤M

|∆tg(x)|

tα .

As´ı que de (3.5) deducimos

Λ1 ≤θα[0,M](S−f)/ω(0) =θ

α

[0,M](Bn(f, x)−f)/ω(0)≤ǫ

′

/ω(0). (3.5)

Para acotar Λ2 utilizamos que f ∈holαω(R+).

En efecto, si x≥M y 0< t≤1, se tiene

|∆t(S−f)(x)|=|f(M)−f(x+t)−f(M) +f(x)|=|∆tf(x)|.

Luego por la desigualdad (ii) utilizada para definir M, se tiene que

Λ2 ≤ǫ

′

. (3.6)

De (3.3),(3.5) y (3.6) se tiene

kS−fkLipα

ω(R+) ≤3ǫ

′

+ 2ǫ′/ω(0) =cǫ′ ≤ǫ,

si comenzaramos tomando ǫ′

=ǫ/c.

(46)

Hemos introducido el concepto de peso tipo Bernstein, en R₊ _{y dado} _ω en esta clase, tambi´en los espacios de Lipα

ω(R+) y lipαω(R+).

Para que una funci´onf _∈Cω(R+) pueda ser aproximada

polinomialmen-te en los subinpolinomialmen-tervalos finitos de R₊_{, en norma de H¨older, se necesita que}

f ∈ lipα

ω(R+); pero para el intervalo R+ esta condici´on necesaria debe ser

más exigente. Este análisis conduce a la definición de espacios de Hölder pe-queños holα

ω(R+).

Finalmente, si f ∈holα

ω(R+), hemos sido capaces de aproximarf en

nor-ma de H¨older mediante Splines en S0(R+) de manera constructiva.

Queda abierto un problema nuevo que parece interesante y dif´ıcil: ¿Si f _∈ holα

ω(R+), podr´a f aproximarse polinomialmente en la norma de

H¨older?

(47)

(48)

Bustamante, J. y Jim´enez, M. A. (1999). The Degree of Best Approxima-tion in the Lipschitz Norm by Trigonometric Polynomials. Aportaciones Matem´aticas SMM, Serie Comunicaciones 25.

Bustamante, J. y Jiménez, M. A. (2000). From Chebyshev to Hölder Appro-ximation. Aportaciones Matemáticas SMM, Serie Comunicaciones 27.

Bustamante, J. y Jim´enez, M. A. (2001). Trends in H¨older Approximation. Marc Lassonde, Physica-Verlag.

C. de Boor, K. H. y Riemenschneider, S. (1993).Box Splines. Springer verlag, New York.

Dahmen, W. y Micchelli, C. A. (1987). On theory and application of expo-nential splines, in Topics in Multivariate Approximation. Academic Press, New York,.

de Boor, C. (1976). Splines as linear combinations of B-Splines: A Surveys. Approximation theory II, Academic Press, New York.

de Boor, C. (2001). A practical Guide to Splines. Springer verlag, New York.

DeVore, A. y Lorentz, G. G. (1993). Constructive Approximation. Springer-Verlag,New York.

Elliott, D. (1994). On the H¨older semi-norm of the remainder in polynomial approximation. Bull. Austral. Math. Soc.

(49)

Jiménez, M. A. y Mart´ınez, G. (2001). Equilipschitzian sets of Hölder inte-grable functions. Aportaciones Matemáticas SMM. Serie Comunicaciones, Nr. 29.

Lorentz, G. G. V. M. G. y Makovoz, Y. (1996).Constructive Approximation( Advanced Problems). Springer-Verlag, New York.

Massopust, P. (2010). Interpolation and Approximation with Splines and Fratals. Oxford University Press, Inc.

Morales, J. M. H. (2012). Espacios de Lipschitz con normas asimétricas. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla; Puebla, México.

Pinkus, A. (2005). Density in Approximation Theory. Department of Mat-hematics, Technion, Haifa, 32000, Israel.

Prenter, P. M. (1975). Splines and Variational Principles. John Wiley, New York.

Schumaker, L. L. (1993).Spline Functions: Basic Theory. Krieger Publishing Company.

(50)

Lipschitz 3

N´umero de Lipschitz 3 Bi-Lipschitz 3

Contracci´on 4 Expansiva 4

Lema de Urysohn 4

Espacio métrico de Hölder 4 Extensión de Lipschitz 5 Espacio lineal 6

Seminorma 6 Función cóncava 10 Función trasladada 5

Funciones Lipschitz complejas 6 Funciones Lipschitz pequeñas 7 Espacio Lipschitz pequeño 7 Módulo de continuidad 8 Homogénea positiva 8 Subaditiva 9

M´ınimo mayorante c´oncavo 10 Operador traslaci´on 11

Operador diferencia 11 Operador identidad 11

Conjunto equilipschitziano 11 Sucesi´on equilipschitziana 11 Polinomio de Bernstein 13 Teorema de Korovkin 14 Teorema de Elliott 15

Spline 16

Conjunto Spline 16 Nodo 16

Conjunto de nodos 16 Nodos libres 16

El problema de Bernstein 17 Funci´on peso 18

Criterio de Pollard 22

Teorema de Akhiezer-Bernstein 22 Funci´on tipo Bernstein 25

Aproximaci´on uniforme con peso de Bernstein 27

Peso tipo Bernstein 26

Función localmente de Lipschitz 30 Conjunto localmente de Lipschitz 30 Función de Hölder 31

Conjunto de Hölder 31 Función Hölder pequeña 35 Clase Hölder pequeña 35