Las teorías matemáticas, sobre todo las relacionadas con fenómenos naturales, a los que se trata de entender para luego poder predecir, se construyen siempre a partir de conceptos intuitivos, suficientemente claros para que puedan ser aplicados

36 

Texto completo

(1)

Temas a desarrollar

Probabilidad. Experimento aleatorio, espacio

muestral, variable aleatoria. Probabilidad condicional.

Sucesos mutuamente excluyentes e independientes.

(2)

Las teorías matemáticas, sobre todo las relacionadas

con fenómenos naturales, a los que se trata de

entender para luego poder predecir, se construyen

siempre a partir de conceptos intuitivos,

suficientemente claros para que puedan ser aplicados

en las primeras etapa de la teoría, pero no

suficientemente rigurosos para que queden a salvo

de objeciones cuando la misma alcanza cierto grado

de desarrollo. Se hace necesario, entonces, revisar

los fundamentos, precisar las definiciones y dar, si es

(3)

Sin embargo, para comenzar a estudiar una teoría, no

siempre el camino axiomático es el mas recomendable.

Los axiomas son elaborados por quienes conocen muy

bien la teoría, y su verdadero sentido se comprende con

facilidad cuando se está familiarizado con el tema.

Es mejor empezar por definiciones tal vez no muy

exactas y con ejemplos simples, pero substanciales,

para poder comprender luego el verdadero sentido de

los axiomas, y para que los mismos aparezcan de

manera natural como expresión sintética y firme de

(4)

Probabilidad:

Es un valor comprendido entre 0 y 1, incluidos

estos dos valores, que describe la posibilidad de ocurrencia

de un evento.

Experimento:

Cualquier proceso que produce un resultado.

·

Determinístico

: Ante la repetición del mismo se obtiene

siempre el mismo resultado.

·

Aleatorio

: Repitiendo el experimento en idénticas

condiciones se obtienen distintos resultados.

Punto muestral ó Resultado:

Es un resultado particular de

un experimento.

(5)

Evento o Suceso Aleatorio:

Es una colección

de uno o mas resultados de un experimento.

·

E1=Sacar un 5 al tirar un dado

·

E2=Sacar un número par al tirar un dado.

·

E3=Sacar un número menor que 7 al tirar

un dado=EVENTO CIERTO

(6)

Sucesos mutuamente excluyentes:

·

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes

cuando la ocurrencia de uno de ellos impide la

ocurrencia del otro.

·

P(A

B)=P(AyB)=P(AB)=0

Sucesos colectivamente exhaustivos

·

Dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos

cuando al menos uno de ellos deba ocurrir siempre

que se realiza el experimento.

(7)

Espacio muestral:

Es el conjunto de todos los posibles

resultados de un experimento.

Suele representarse con la letra S. Puede visualizarse a través de

·

Listas

Conjunto de posibles resultados al tirar un dado={1;2;3;4;5;6}

·

Diagramas de árbol

Conjunto de posibles resultados al tirar dos monedas

C

C

S

C

S

S

(8)

·

Tablas rejilla

Conjunto de posibles resultados al tirar un dado rojo

y uno azul

11

21

31

41

51

61

12

22

32

42

52

62

13

23

33

43

53

63

14

24

34

44

54

64

15

25

35

45

55

65

16

26

36

46

56

66

(9)

·

Conjuntos ( Diagramas de Venn)

Se pretende representar a las mujeres, a los

universitarios pero es necesario tener en cuenta que

existen mujeres universitarias.

4-3

A

B

mujeres

universitarios

(10)

·

Tablas de doble entrada

Cuando se tienen dos o mas variables con dos o

mas categorías cada una, por ejemplo hombres y

mujeres, Ingenieros Agrónomos y Licenciados en

Economía y Administración Agraria.

155

55

100

90

30

60

H

65

25

40

M

Lic.Ec. y Adm.

Ing.Agr.

(11)

DEF INICION

CLASICA

P ROB AB ILIDAD

CLASICA

DEF INICION

F RECUENCIAL

P ROB AB ILIDAD

EMP IRICA

P ROB AB ILIDAD

OB JETIVA

DEF INICION

SUB JETIVA

P ROB AB ILIDAD

SUB JETIVA

TIP OS DE P ROB AB ILIDAD

(12)

Se basa en que todos los resultados son

·

igualmente probables o equiprobables.

·

Mutuamente excluyentes

·

Colectivamente exhaustivos

posibles

resultados

de

Número

de

resultados

favorables

Número

=

evento

un

de

ad

Probabilid

Ejemplo

: Sea el experimento de tirar dos monedas a la vez

•El espacio muestral será S = {CC, CS, SC, SS}

•Consideremos el evento de que salga una sola cara.

(13)

Cuando los resultados no son equiprobables la probabilidad de

ocurrencia de un evento se determina por observación del número

de veces que eventos similares ocurrieron en el pasado.

(frecuencia relativa)

nes observacio

de

Númeroque el evento ocurrió en el pasado veces

de Número =

evento un

de ad Probabilid

Ejemplo

: Sea el experimento de estudiar una droga que cura

cierta enfermedad en vacunos enfermos. Se aplicó a 1000

vacunos y se curaron 700.

(14)

Cuando no se tienen datos para ningún tipo de cálculo,

ni posibilidad de efectuar repetidamente el experimento,

se recurre a un experto, quien de acuerdo a su buen

saber y entender estimará la probabilidad.

Ejemplos:

Calcular la probabilidad de que un tenista gane un campeonato

Calcular la probabilidad de que un club de futbol salga campeón

(15)

Independientemente de que definición de probabilidad

utilicemos, siempre se deberán cumplir los siguientes

tres axiomas.

Axiomas:

Axioma 1: La probabilidad de un evento existe y es un número

mayor o igual a cero

)

(

0

P

A

Axioma 2: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1.

P(S)=1

Axioma 3: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes

(16)

φ

(17)

Si A y B son dos sucesos no mutuamente

excluyentes, luego la probabilidad de la unión entre

ambos está dada por la siguiente fórmula.

P(A

B) = P(A) + P(B) - P(A

B)

A and B

A

B

Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes,

se cumple:

(18)

Un experimento genera un espacio muestral que contiene ocho sucesos E1,...,E8 con p(Ei)=1/8, i=1,...,8. Los sucesos A y B se definen así:

A= {E1,E4,E6}

B= {E3,E4,E5,E6,E7} Encuentre:

(a) P(A) (b) P(Â)

(c) P(A U B)

A

B

E1

E4

E6

E7

E3

E5

E8

E1

a) P(A)= 3/8 (b) P(Â)= 5/8

(c) P(A U B)= P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A U B)= 3/8 + 5/8 – 2/8= 6/8= 0,75 resultado que es muy fácil verificar

(19)

Dos eventos A y B son independientes cuando se

cumple que la probabilidad conjunta es igual al

producto de las probabilidades marginales.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad Condicional

es la probabilidad de

ocurrencia de un evento en particular, dado que

otro evento ha ocurrido. La probabilidad

(20)

Dados dos eventos A y B la probabilidad conjunta

de que ambos sucedan se calcula según la

siguiente fórmula:

P(A

B) = P(A)*P(B|A) = P(B

A) = P(B)*P(A|B)

Si los eventos A y B son independientes la

probabilidad conjunta de que ambos sucedan

se calcula según la siguiente fórmula:

(21)

Un experimento genera un espacio muestral que

contiene ocho sucesos E1,...,E8 con p(Ei)=1/8,

i=1,...,8. Los sucesos A y B se definen así:

A= {E1,E4,E6}

B= {E3,E4,E5,E6,E7}

Resolver: (a) ¿Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes? ¿Por qué? (b) ¿Son los sucesos A y B

independientes? ¿Por qué? (C) P(A∩B) (d)

A

B

E1

E4

E6

E7

E3

E5

E8

E2

(a) No, porque AB0

(b) No, porque P(A)*P(B)P(AB) 3/8 * 5/82/8

(c) P(AB) = 2/8= 0,25

(d) P(A/B)= P(AB) / P(B)= (2/8) / (5/8)= 2/5

(22)

Dos candidatos a los consejos de administración A y B, compiten por el control de una corporación. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y 0,3, respectivamente. Si gana A, la probabilidad de introducir un nuevo producto es 0,8; si gana B, la correspondiente probabilidad es 0,4. Demuestre que, antes de las elecciones, la probabilidad de que sea introducido un nuevo producto es 0,68.

A

B

N

Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta

Considerar todo el espacio muestral

Datos:

P(A)= 0,7

P(N/A)= 0,8

P(B)= 0,3

P(N/B)= 0,4

Solución:

P(N)= P(N

A) + P(N

B)

P(N)= P(N/A)*P(A) + P(N/B)*P(B)

P(N)=

0,8*0,7 + 0,4*0,3=

0,68

(23)

El 34% de los árboles de un bosque tienen más de 15 años. El 54% son de la

variedad A. De los de la variedad A, el 7% tiene más de 15 años. Si se elige un árbol al azar,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 15 años y sea de la variedad A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que teniendo menos de 15 años, sea de la variedad A?

1

0,66

0,34

0,46

0,1578

0,3022

Â

0,54

0,5022

0,0378

A

-15

+ 15

Datos:

P(+15)= 0,34

P(A)= 0,54

P(+15/A)= 0,07

Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta

Considerar tablas de contingencia

Solución:

a)

P(+15

A)=

P(+15/A)*P(A)

= 0,07*0,54=

0,0378

b)

P(A/-15)=

P(A

-15) / P(-15)

(24)

El 70% del ganado es inyectado con una vacuna para combatir una enfermedad grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1 en 20 si no ha habido tratamiento y de 1 en 5 si hubo tratamiento. Si un animal infectada se recupera, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido la vacuna preventiva?

Datos:

P( I )= 0,7

P( R / I )= 0,2

P(

Î

)= 0,3

P( R /

Î

)= 0,05

Incógnita: P( I /R )

Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta

Regla del producto.

9

,

0

3

,

0

*

05

,

0

7

,

0

*

2

,

0

0

,

2

*

0

,

7

)

(

*

)

/

(

)

(

*

)

/

(

)

(

*

)

/

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

/

(

=

+

=

+

=

=

+

=

=

I

P

I

R

P

I

P

I

R

P

I

P

I

R

P

I

R

P

I

R

P

I

R

P

R

(25)

Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio

muestral se denomina variable aleatoria a la función que

asigna a cada elemento del espacio muestral un número real.

x

s

X

R

S

X

:

/

(

)

=

Ejemplo: Si se define la variable aleatoria X=número de caras obtenidas al arrojar dos monedas

¿Quá valores puede tomar x? X(SS)=0

X(CS)=X(SC)=1 X(CC)=2

Se denomina recorrido Rx al conjunto de valores que puede tomar la variable.

S

Rx

SS

CC

SC

CS

0

2

(26)

Una variable aleatoria es discreta cuando toma un número

contable de valores.Entonces entre dos valores

consecutivos de una variable aleatoria discreta no hay

ningún número que pertenezca al recorrido de la variable

Rx={X1;X2;…,

Xn

,…}

donde cada Xi es un valor de la v.a.

En general , estos valores no serán igualmente probables,

sino que cada X tendrá asignada una probabilidad.

Luego, para caracterizar una variable aleatoria discreta es

necesario conocer su recorrido y la probabilidad de cada

(27)

Sigamos con el ejemplo X= Cantidad de caras al

tirar dos monedas

P(X=0)= P(SS)= ¼

P(X=1)= P(SC;CS)= ½

P(X=2)= P(CC)= ¼

Función de distribución de probabilidad

0 0,25 0,5

0 1 2

X

P(X)

Propiedades

1) P(Xi)

0

Xi

=

Ri

Xi

Xi

P

(

)

1

)

(28)

Una variable es continua en un intervalo cuando puede tomar cualquier

valor perteneciente al intervalo.

En general definiremos variables aleatorias continuas cuando las

experiencias consistan en medir peso, altura, longitud, tiempo,

temperatura, etc.

En este caso se define (en lugar de la función de distribución) una

función de densidad de probabilidad que tiene las siguientes

propiedades

1) f(x)

0

X

ε

R

=

<

=

+∞ ∞ − b

a

f

x

dx

(29)

La esperanza es un parámetro de la distribución.

Es una medida de tendencia central.

i

R

x

i

p

x

x

X

E

x i

=

=

µ

=

=

E

X

x

f

x

dx

µ

Si X es discreta

(30)

La esperanza E(x) no es un resultado que esperararíamos cuando X se observa sólo una vez.

Pero si observáramos un gran número de observaciones independientes de X el promedio de esos resultados estará cerca de E(x).

Ejemplo:

En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1000 o sufrir una pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0,6, demuestre que la utilidad esperada en dicha operación es de $400.

Primero definimos la variable aleatoria X= utilidad en operación comercial

) ( )

( i

R x

ip x x

X E

= =

(31)

Sean X e Y variables aleatorias y c una constante

perteneciente a los reales:

1) E (c ) = c

2) E (X+c ) = E(X) + c

3) E (cX) = c E(X)

4) E (X+Y) = E(X) + E(Y)

5) E (X-Y) = E(X) - E(Y)

(32)

La variancia es un parámetro de la distribución. Es

una medida de dispersión de los valores de x

alrededor de E(X)

2

2

(33)

Sean X e Y variables aleatorias y c una constante

perteneciente a los reales:

1) V (c ) = 0

2) V (X+c ) = V(X)

3) V (cX) = c

2

V(X)

(34)

P A B

P A

P B A

P A

P B A

P A

P B A

1

1

1

(35)

Permutaciones:

Algunos arreglos de r objetos

seleccionados de n posibles objetos.

Nota

:

El orden de los arreglos es importante

en las permutaciones.

n

n

n

r

r

=

(36)

Combinaciones:

El número de formas de

elegir r objetos de un grupo de n objetos sin

considerar el orden.

n

C

r

n

r

n

r

=

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