S UMA DE VECTORES

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UMA DE VECTORES

En nuestro estudio del Álgebra de Vectores los que más nos interesan son los vectores libres, ya que las reglas del Álgebra Vectorial son las mismas para todos, sean libres, deslizantes o fijos. Por lo tanto cuando hablemos de vectores daremos por sentado que estamos hablando de vecto-res libvecto-res.

V

Si varios vectores libres son paralelos a un mismo plano, los llamaremos coplanares, porque al ser libres siempre los podemos llevar a un mismo plano. Como una consecuencia de esto te-nemos que dos vectores libres cualesquiera siempre son coplanares

S

UMA O ADICIÓN DE VECTORES

Para sumar dos vectores ⃗ y , se procede de la siguiente manera:  Con origen en un punto arbitrario, llevamos el vector ⃗ ,  a partir del extremo de ⃗ se lleva el vector ,

 el vector cuyo origen es el origen de ⃗ y cuyo extremo es el extremo es el vector ⃗ , vector suma de ⃗ y .

Esta forma de sumar vectores es la llamada regla del polígono. Otra forma de efectuar la suma de ⃗ y es la siguiente:

 Con origen en un punto arbitrario, llevamos los vector ⃗ y ,

 a continuación, por el extremo de cada vector trazamos una paralela al otro vector, quedando formado un paralelogramo,

 el vector suma ⃗ es una de las diagonales del paralelogramo que tiene por lados los vectores ⃗ y , y que tiene por origen al punto , y por extremo el vértice opuesto del paralelogramo.

Esta es la llamada regla del paralelogramo. Entonces podemos decir que:

u

v

u

v

u + v O

u

v

u

El vector suma de dos vectores ⃗ y , es el vector ⃗ , que tiene por origen y extremo res-pectivamente, al origen y al extremo de la poligonal obtenida llevando un vector a conti-nuación del otro.

El vector suma ⃗ es un vector coplanar con ⃗ y .

Nota: La regla del polígono es más práctica para sumar más de dos vectores, para sumar dos vectores en algunos casos conviene la regla del polígono y en otros la regla del paralelo-gramo.

P

El conjunto de vectores forma con la suma una estructura de grupo abeliano.

 Por definición, la suma de vectores cumple con la ley de cierre, ya que la suma de dos vectores es un vector, es decir:

Si ⃗ y son vectores, entonces ⃗ es un vector.

 Para sumar más de dos vectores debemos asociar, pero el resultado de la suma no de-pende de la forma en que asociemos. Por lo tanto la suma de vectores es asociativa, en-tonces:

( ⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗ ).

 El vector nulo es el neutro para la suma de vectores, porque: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ .

 Cada vector tiene su opuesto y se verifica que: ⃗ ( ⃗ ) ( ⃗ ) ⃗ ⃗ .

 La suma de vectores es conmutativa, ya que: ⃗ ⃗ .

D

Como hemos visto la suma de vectores tiene como propiedad que cada vector tiene su vector opuesto , de tal manera que la suma de más nos da el vector nulo, es decir ( ) ⃗ . Entonces definimos:

La diferencia o sustracción de un vector ⃗ menos un vector es la suma de ⃗ más el opues-to de , es decir ⃗ ⃗ ( ).

Como la suma de vectores cumple con la ley de cierre, y como la diferencia de dos vectores está definida como la suma del primer vector más el opuesto del segundo, entonces la diferencia de vectores también cumple con la ley de cierre, es decir la diferencia de dos vectores es un vec-tor.

S

Como restar el vector es lo mismo que sumar el vector , cuando tenemos que sumar o restar entre sí varios vectores, bastará considerar únicamente el caso de una suma.

u

v

u

-v

u - v O

Para efectuar esta suma basta construir la poligonal que se forma llevando sucesivamente cada vector de manera que el origen de cada uno coincida con el extremo del precedente. El que vec-tor une el origen del primero con el extremo del último es el vecvec-tor suma.

En particular si los vectores forman una poligonal cerrada, la suma tiene su origen y su extremo coincidentes, es decir es el vector nulo.

La suma de los vectores , ⃗ , , y es el vector nulo, porque el origen del primer vector, vector , coincide con el extremo del último vector, vector .

S

En el caso particular de los vectores paralelos seguimos la misma regla que para los otros vecto-res, es decir vamos llevando sucesivamente cada vector de manera que el origen de cada uno coincida con el extremo del precedente. El vector que une el origen del primero con el extremo del último es el vector suma, este vector suma es un vector paralelo a los dados.

E

:

Efectuamos la suma de los vectores: , , , y .

En este ejemplo, por claridad, para efectuar la suma hemos desplazado lateralmente los vec-tores.

La suma de vectores paralelos se puede resolver fácilmente en forma analítica, ya que se trans-forma en la suma algebraica de los módulos de los vectores sumandos. Como los vectores parale-los tienen una misma dirección, para efectuar la suma adoptamos como positivo uno de parale-los dos sentidos naturales definidos por la dirección de los vectores. Le asignamos signo positivo a los módulos que tienen ese mismo sentido, y signo negativo a los vectores que tienen sentido opues-to. Efectuamos la suma como una suma algebraica cualquiera. El módulo del vector suma es el valor absoluto de la suma, el signo nos da el sentido, si es positivo el vector suma tiene el sentido

a c

b d

a

c b

R d

O

a c

b

e d

a

c b

e

d

O

 e

p

q

r

s

t

p

q

r

s

E

:

Efectuemos la suma de los vectores: ( ), ( ), ( ), ( ) y ( ).

Los vectores dados son todos paralelos entre sí, los vectores , y tienen el mismo senti-do, y los vectores y son opuestos a esos vectores. El vector suma ⃗ es un vector paralelo a los vectores sumandos, cuyo módulo lo obtenemos de la siguiente ma-nera:

Adoptamos como positivo el sentido del vector , entonces los vectores , y tienen signo positivo, y los vectores y tienen signo negativo, a continuación hacemos la su-ma algebraica:

| | | | | | | | | | El signo del resultado es negativo, esto nos indica que el sentido del vector suma ⃗ es contrario al sentido que adoptamos. El argumento de ⃗ es:

⃗⃗ y el módulo de ⃗ es:

| ⃗ | | |

expresando el resultado en forma polar: ⃗ ( _⃗⃗ ) ( )

A

PLICACIONES DE LA SUMA DE VECTORES

Dado un sistema de fuerzas ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , …, ⃗⃗⃗ , su suma vectorial ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , es la resul-tante ⃗ del sistema de fuerzas.

E

:

La resultante del sistema de fuerzas ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗ es la fuerza ⃗ . Para resolver la suma apli-camos la definición de suma de vectores (regla del polígono) y la propiedad asociativa de la suma de vectores.

F

F

F

F

F

F

F

F

R

A

CTIVIDADES

1 ) Dados los siguientes vectores:

i ) Efectúe en forma graficonumérica las siguientes sumas:

a ) ⃗⃗ b ) c ) ⃗

d ) ⃗⃗ ⃗ e ) f )

ii ) Calcule en forma graficonumérica el vector , tal que:

a ) ⃗⃗ ⃗ b ) ⃗⃗

2 ) Dados los siguientes vectores:

( ) ⃗ ( ) ( )

a

b

c

d

r

s

t

m

n

p

e

f

g

50

u

ni

da

de

s

O

x+

⃗ ⃗ ⃗ Exprese el resultado en forma polar.

ii ) Halle en forma graficonumérica, tal que: a ) ⃗ ⃗

b ) ⃗ ( ) Exprese el resultado en forma polar.

iii ) Resuelva gráfica y analíticamente ⃗ . Exprese el resultado en forma polar. iv ) Efectúe en forma graficonumérica:

a ) ⃗ b ) ⃗

Exprese el resultado en forma polar.

3 ) Investigue si dados dos vectores ⃗ y cualesquiera se cumple: | ⃗ | | ⃗ | | | ¿Cuando se cumple la igualdad?

4 ) Dados los siguientes vectores paralelos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i ) Resuelva gráficonumérica y analíticamente:

a ) b ) c ) d ) e ) f )

ii ) Halle gráficonumérica y analíticamente el vector , tal que:

a ) ⃗ b )

5 ) Investigue la asociatividad de la suma de vectores.

6 ) Investigue la conmutatividad de la suma de vectores.

7 ) Un barco sale de una posición A recorriendo 120 mi en dirección N 40° 20’ E y llega a la po-sición B. Al tratar de regresar a la popo-sición A, toma dirección S 20° O y recorre 140 mi, lle-gando a la posición C.

Calcule en forma graficonumérica la posición final del barco respecto del punto A.

8 ) Determine gráfica y analíticamente la resultante de las dos fuerzas dadas.

O

x+ F₂

F₁

9 ) Halle gráfica y analíticamente ⃗ , para que compuesta con , ⃗ sea vertical.

F = 200 N R = 800 N

10 ) El siguiente sistema está en equilibrio. Determine el valor de ⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗ .

F

P R

T2

T1

P