Solución numérica de ED
Métodos de Runge-Kutta
Método de Heun
• Para mejorar la estimación de la pendiente emplea la determinación
de dos derivadas en el intervalo (una al inicio y otra al final).
• Las dos derivadas se promedian después con la finalidad de obtener
una mejor estimación de la pendiente en todo el intervalo
0 1 0 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 2n n n n
n n n n
n n
y y f x y h
f x y f x y h
Método de Heun
• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1
• Recuerde que la solución analítica es:
0 1 0 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 2
n n n n
n n n n
n n
y y f x y h
f x y f x y
y y Predictor Corrector 0.8
' 0.5 4 x y y e
0.8 0.5 0.5
4
( )0 2
1.3
x x x
Método de Heun
• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1
0 1 0 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 2
n n n n
n n n n
n n
y y f x y h
f x y f x y
y y Predictor Corrector 0.8
' 0.5 4 x y y e
xn xn+1 yn yteorico f(n,yn) yn+1_0 f(xn+1,yn+1_0) pendiente promedio yn+1 Error global
0 1 2 2 3 5 6,402163714 4,701081857 6,701082 0,00%
1 2 6,701082 6,194631 5,551623 12,2527 13,68577738 9,618700081 16,31978 -8,18%
2 3 16,31978 14,84392 11,65224 27,97202 30,10669519 20,87946696 37,19925 -9,94%
3 4 37,19925 33,67717 25,49308 62,69233 66,7839558 46,13851844 83,33777 -10,46%
4 5 83,33777 75,33896 56,46124 139,799 148,4930979 102,4771675 185,8149 -10,62%
-9,80%
Método de Heun
• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1 Si disminuimos el h a la mitad, el error
global disminuye cuatro veces
En cambio, si usamos el método de Euler, si disminuimos el h a la mitad el error disminuye a la mitad
0.8
' 0.5 4 x y y e
Heun
h=1 -9,80%
h=0,5 -2,24%
Método de Heun vs. Método de Euler
• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1
0.8
' 0.5 4 x y y e
Método de Heun vs. Método de Euler
• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1
0.8
' 0.5 4 x y y e
Heun Euler
h=1 -9,80% 22,81%
h=0,5 -2,24% 10,88%
h=0,25 -0,50% 4,95%
En el método de Euler, si reducimos en 2 el tamaño de h, el error se reduce a la mitad
Método del punto medio
1 2 1 2 ' 1 12 2 2
1 1 2 2 ( , ) 2 2 ( , ) ( , ) n n n n n n h
n n n
n n h
n n
f x y
y y h
h
x x
y f x y
y y f x y h
Método del punto medio
• Con el método del punto medio integre desde x=0
hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8
' 0.5 4 x y y e
h xn xn+h/2 yn f(xn,yn) yn+(h/2)*f(xn,yn) f(xn+(h/2),yn+(h/2)*f(xn,yn)) yn+1 yteorico Error global(%) 1 0 0,5 2 3 3,5 4,217298791 6,217299 2 0,00%
1 1,5 6,217299 5,793514 9,11405595 8,723439716 14,94074 6,194631 0,37% 2 2,5 14,94074 12,34176 21,11161873 19,00041503 33,94115 14,84392 0,65% 3 3,5 33,94115 27,12213 47,50221791 42,02747813 75,96863 33,67717 0,78% 4 4,5 75,96863 60,1458 106,0415341 93,3721707 169,3408 75,33896 0,84%
Método del punto medio
• Con el método del punto medio integre desde x=0
hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8
Método de Ralston
1
2 1
1 1 2
( , ) 3 3 ( , ) 4 4 1 2 3 3 n n n n n n
k f x y
k f x h y k h
y y k h k h
Método del punto medio
• Con el método de Ralston integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1
0.8
' 0.5 4 x y y e
h xn xn+3h/4 yn f(xn,yn) yn+(3h/4)*f(xn,yn) f(xn+(3h/4),yn+(3h/4)*f(xn,yn)) yn+1 yteorico Error global(%) 1 0 0,75 2 3 4,25 5,163475202 6,442317 2 0,00%
1 1,75 6,442317 5,681005 10,70307079 10,86926447 15,58216 6,194631 4,00% 2 2,75 15,58216 12,02105 24,59794825 23,80107988 35,45656 14,84392 4,97% 3 3,75 35,45656 26,36442 55,22988192 52,72720673 79,39618 33,67717 5,28% 4 4,75 79,39618 58,43203 123,220201 117,1946375 177,0033 75,33896 5,39%
Método del punto medio
• Con el método de Ralston integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1
0.8
Método del punto medio vs. Ralston
• Integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso
igual a h=1
0.8
' 0.5 4 x y y e
h punto medio ralston
1 0,66% 4,91%
0,5 0,23% 1,19%
0,25 0,06% 0,29%
En el método del punto, si reducimos en 2 el tamaño de h, el error se reduce cuatro veces
Comparación de todos los métodos
• Integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso
igual a h=1
0.8
' 0.5 4 x y y e
Heun Euler punto medio ralston
h=1 -9,80% 22,81% 0,66% 4,91%
h=0,5 -2,24% 10,88% 0,23% 1,19%
h=0,25 -0,50% 4,95% 0,06% 0,29%
Método de Runge-Kutta de tercer orden
1
2 1
3 1 2
1 1 2 3
( , )
1 1
( , )
2 2
( , 2 )
1 4 6 n n n n n n n n
k f x y
k f x h y k h
k f x h y k h k h
y y k k k
Método de Runge-Kutta de tercer orden
• Con el método de Runge_kutta de tercer orden integre
desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8
' 0.5 4 x y y e
h xn xn+h/2 xn+h yn f(xn,yn) yn+(h/2)*f(xn,yn) f(xn+(h/2),yn+(h/2)*f(xn,yn)) yn-k1h+2k2h f(xn+h,yn-k1h+2k2h) yn+1 yteorico Error global(%)
1 0 0,5 1 2 3 3,5 4,217298791 7,434597581 5,184864923 6,175677 2 0,00%
1 1,5 2 6,175677 5,814325 9,082839368 8,739048007 17,83944732 10,89240604 14,78616 6,194631 0,31% 2 2,5 3 14,78616 12,41905 20,99568779 19,0583805 40,48387719 23,85076693 33,53672 14,84392 0,39% 3 3,5 4 33,53672 27,32435 47,19889279 42,17914069 90,57065591 52,84479283 75,01767 33,67717 0,42% 4 4,5 5 75,01767 60,62129 105,3283131 93,72878125 201,853947 117,4656266 167,1847 75,33896 0,43%
Método de Runge-Kutta de tercer orden
• Con el método de Runge_kutta de tercer orden integre
desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8
Método de Runge-Kutta de tercer orden
• Con el método de Runge_kutta de tercer orden integre
desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8
' 0.5 4 x y y e
h runge kutta 3
1 0,384651%
0,5 0,051904%
0,25 0,006580%
Método de Runge-Kutta de cuarto orden
• Con el método de Runge_kutta de cuarto orden integre
desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8
Método de Runge-Kutta de cuarto orden
• Con el método de Runge_kutta de cuarto orden integre
desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8
' 0.5 4 x y y e
h Runge Kutta 4
1 0,12315997%
0,5 0,00754079%
0,25 0,00045801%
Comparación de los métodos
• integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso
igual a h=1
0.8
' 0.5 4 x y y e
Heun Euler punto medioralston runge kutta 3 Runge Kutta 4
h=1 -9,80% 22,81% 0,66% 4,91% 0,384651% 0,12315997%
h=0,5 -2,24% 10,88% 0,23% 1,19% 0,051904% 0,00754079%
Comparación de los métodos
• integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso
igual a h=1
0.8