DE LOS ENTEROS A LOS
DOMINIOS
Primer curso de ´Algebra Abstracta
————————————————
Roberto Ruiz Salguero (*)
Miembro del grupo VIALTOPO (**)
(*) Departamento de Matematicas, Universidad del Valle (**) Grupo VIsion ALgebraica de la TOPOlog´ıa
A mi maestro
James Stasheff
y
a mi hermano y maestro
Carlos Ruiz S
Estas notas, en lo fundamental, son una gu´ıa de estudio de los temas que aparecen en el ´ındice. Se trata de que el estudiante haga el trabajo matem´ a-tico con base en esta gu´ıa y, por supuesto, con la asesor´ıa del profesor. Los temas han sido organizados y subdivididos al punto que el estudiante debe dise˜nar y ejecutar las demostraciones´el solo. Algunos teoremas constituyen excepciones a este deseo y seguramente la intervenci´on del profesor se hace necesaria.
De acuerdo con lo precedente este trabajo no es recomendable como texto de consulta en lo relativo a la presencia exhaustiva de demostraciones y “ejemplos tipo”. Esto no existe en esta obra.
El cap´ıtulo 9 es fundamental dentro de la l´ınea pedag´ogica del texto y presupone la dedicaci´on de tiempo regular de clase como a cualquier cap´ıtulo de los anteriores pero a diferencia de ´estos en ese cap´ıtulo el expositor es el estudiante. Junto a un minucioso an´alisis de qu´e aspectos se usan en ellos (de parte del estudiante) lo usamos como un periodo ordenado y riguroso de preparaci´on de examen final. En ´el, nuestros estudiantes son responsables de todo detalle de los aspectos te´oricos cuya relevancia haya sido detectada en los ejercicios del cap´ıtulo.
El ´ındice y el t´ıtulo de la obra hablan por s´ı solos sobre el tema del texto, excepto por un punto: profundidad. Aqu´ı se da una visi´on somera de las estructuras algebr´aicas presentes en los enteros. Lo suficiente para que el estudiante maneje esos conceptos con cierta soltura. Lo hecho, sin embargo, sino es exhaustivo s´ı es riguroso.
Acerca de la notaci´on:
2 al final de un p´arrafo y significa que ah´ı se cierra una discusi´on iniciada
poco antes. Cierra definiciones y proposiciones, teoremas y corolarios con sus demostraciones. Cuando estos se cierran sin demostraci´on, salvo afirmaci´on que diga otra cosa, la demostraci´on queda como ejercicio para el estudiante. (W) significa contradicci´on y ((,)) es el s´ımbolo de m´aximo com´un divisor. Usamos doble par´entesis para evitar confusi´on con el s´ımbolo de pareja. Igualmente para evitar confusi´on con el signo de quebrado (/) usamos aDb
(en lugar de a|b) para la afirmaci´on “adivide ab”.
Acerca de requisitos: Las primeras proposiciones son un empalme con el curso de Sistemas Num´ericos, que es un requisito para este curso. Las demostraciones de ellas son hechas en el curso mencionado en los enteros, racionales, reales y complejos y se espera que el estudiante pueda reproducir-los y medir as´ı el nivel de actualizaci´on de estos conceptos.
Finalmente una nota acerca de los subt´ıtulos: En este texto un subt´ıtulo es simplemente una se˜nal f´acilmente detectable del sitio donde se introduce un concepto o se demuestra un teorema central, dentro del contexto. No significa el tema se desarrolla, con preponderancia, hasta cerrarlo.
Adendo a la Segunda Edici´
on
Agradezco las correcciones enviadas por los lectores que han permitido mejoras importantes en la impresi´on. Especial agradecimiento al profesor Jos´e M. Castro por sus invaluables sugerencias.
SIMBOLOS
S´ımbolo SIGNIFICADO PAG
ZZ Los n´umeros enteros 1
−a Inverso deapara operaci´on + 2
1
a Inverso deapara operaci´on × 2
a−1 Inverso deapara operaci´on × 2
0 M´odulo para operaci´on + 2
1 M´odulo para operaci´on × 2
(A,+) Conjunto A con operaci´on + 3
2 Cerrado de afirmaci´on matem´atica 3 (A,+,·) Conjunto A con operaciones + y· 4
A+ Conjunto de los positivos de un
dominio ordenado A 5
A− Conjunto de los negativos de un
dominio ordenado A 5
< El orden de un dominio ordenado 5
|b| El valor absoluto deben un
dominio ordenado 6
(W) S´ımbolo de contradicci´on 8
f : (A,+,·)→(B,+.·) Homomorfismof entre anillos 9
IR Los n´umeros reales 10
CI Los n´umeros complejos 10
∼
= Relaci´on de isomorfia 11
1
f−1(B1) El conjunto de los elementos del dominio
de f cuya imagen est´a enB1 13
⊕ S´ımbolo de operaci´on 15
⊗ S´ımbolo de operaci´on 15
ZZ⊕ Positivos de un sistema especial para ZZ 15
S´ımbolo de operaci´on 17
IN Los n´umeros naturales 18
QI Los n´umeros racionales 19
QI (√n) La extensi´on cuadr´atica de QI para la ecuaci´on
x2 =n 20
nDm ndivide a m 21
nZZ El conjunto de los m´ultiplos de nen ZZ 24
I1+I2 Suma de ideales 26
M.C.D. M´aximo Com´un Divisor 27
M.C.M. M´ınimo Com´un M´ultiplo 27
(( )) M´aximo Com´un Divisor 28
[ ] M´ınimo Com´un M´ultiplo 28
QI ∗ QI − {0} 35 Q∞
i=1 Producto desdei= 1 hasta infinito 35
∼ S´ımbolo de relaci´on 39
S
i∈I Reuni´on sobre el conjuntoI 40
Ai∈I Familia con ´ındices enI 40
{Ai∈I} Familia con ´ındices enI 40 [◦
Reuni´on disjunta 40
[a] La clase de equivalencia dea 40
A/∼ Conjunto cociente deA por la relaci´on 41
ZZq Los enteros m´odulo q 43
A/B El cociente de Apor la subestructura deB 45 q
∼ La relaci´on m´odulo q 45
∼(modq) La relaci´on m´odulo q 45
≡(modq) La relaci´on m´odulo q 45
< a > El subgrupo generado pora 59
A×G El producto cartesiano deA conG 59 T
T
C Intersecci´on de una familia C 60
< A > Subgrupo generado por un
subconjuntoA 60
f−1 El morfismo inverso def 61
x∼B y x·y−1 ∈B 63
∼
B x
−1·y∈B 63
Kerf El kernel (o n´ucleo ) de f 65
∼
f El morfismo 1 a 1 inducido porf 66
◦G Orden de G 67
min M´ınimo 68
aH Coclase dea(a la izquierda) 70
Ha Coclase dea(a la derecha) 70
P
i∈I Suma sobre el conjunto de ´ındicesI 71 Hom(G1, G2) Conjunto de homomorfismo deG1 en
G2 73
fa Homomorfismo inducido pora 73
An Producto cartesiano de ncopias deA 75
A1×A2× · · · ×An Producto cartesiano de A1, . . . , An 77
⊕ Suma directa 78
Ln
i=1 Suma directa desde i= 1 hastan 78
T(A) La torsi´on deA 79
∼
f La extensi´on de f de una base a ZZn 81 ZZ(mV) El subgrupo generado por el vector
mV 81
Ran El rango de un grupo abeliano 85
πi La i–´esima proyecci´on can´onica 86 Ap El subgrupo deA de los elementos
con orden una potencia dep 87 (pn1
1 , p n2
2 , . . . , pntt) Una descomposici´on primaria de un
entero positivo 89
S(X) El grupo de permutaciones deX 95
S(h) Morfismo inducido porh sobre grupos sim´etricos 95
f Extensi´on de la permutaci´on f 100
(x1 |x2 |. . .|xn) Ciclo x1 →x2, x2→x3, . . . ,
xn→x1 100
X/σ={X1, X2, . . . , Xn} Conjunto de ´orbitas deX inducidas por σ 100
φa La homotecia de Ginducida por
a 105
AU T(G) El conjunto de los automorfismo
de G 105
F(D) Las fracciones de un dominio D 110
K+K√m {a+b√m|a, b∈K} 114
K(√m) Extensi´on de K por la ecuaci´on
x2 =m 114
SPUNFI Salvo para un n´umero finito de
´ındices 122
L
NK Suma directa de K sobre N 123
CD Coeficiente Director 125
gr Grado 125
K[x] El conjunto de polinomios con
coeficientes enK y variablex 125
DIP Dominio de Ideales Principales 128
f La funci´on conjugada def 131
K[x]p(x) k[x]/p(x)K[x] 137
BA Grupo de morfismos de Aen B 138
N(A) Subgrupo normal generado por
1 NUMEROS ENTEROS 1
Dominios de Integridad . . . 1
Grupo Abeliano . . . 3
Propiedades de los Dominios . . . 4
Dominios Ordenados . . . 5
Relaci´on de Orden en un Dominio Ordenado . . . 5
Propiedades uniformes de<en un Dominio Ordenado . . . 6
Valor Absoluto en un Dominio Ordenado . . . 6
Dominios Bien Ordenados . . . 7
Homomorfismo de Anillos . . . 9
Ejemplos de Homomorfismos . . . 10
Propiedad de los Homomorfismos . . . 11
Isomorfismos . . . 11
Homomorfismo de Dominios . . . 14
El Dominio de Los Enteros . . . 15
2 DIVISIBILIDAD EN ZZ 21
Concepto de Divisibilidad enZZ . . . 21
Algoritmo de la Divisi´on . . . 22
Subgrupos, Subanillos e Ideales deZZ . . . 23
Subestructuras deZZ . . . 25
Suma de Ideales . . . 26
M´ınimo Com´un M´ultiplo y M´aximo Com´un Divisor . . . 27
Existencia de M.C.D y M.C.M. . . 28
Algoritmo de Euclides . . . 29
El Algoritmo de una Pareja . . . 30
N´umeros Primos . . . 31
Fundamental de la aritm´etica . . . 33
Ejercicios . . . 35
3 CONGRUENCIA EN ZZ 39 Relaciones y Operaciones Compatibles . . . 39
Los enteros M´oduloq . . . 42
Grupo Cociente, Anillo Cociente . . . 45
Propiedades del Producto enZZq . . . 47
Divisibilidad port . . . 49
Teorema de Fermat . . . 49
Ecuaciones Lineales con Congruencia . . . 50
4 GRUPOS 57
Concepto de Grupo . . . 57
Subgrupos . . . 58
Homomorfismos de Grupos . . . 61
Grupos Cocientes y Subgrupos Normales . . . 63
El Primer Teorema de Homorfismos de Grupos . . . 66
Grupos C´ıclicos . . . 66
Teorema de Lagrange . . . 70
Co–Conjuntos Definidos porH . . . 70
Ejercicios . . . 72
5 DESCOMPOSICION DE GRUPOS ABELIANOS 77 Suma Directa de Grupos . . . 78
Torsi´on . . . 79
Cocientes de Sumas . . . 82
Teorema de Descomposici´on de Grupos Finitamente Generados . . 83
Rango de un Grupo Finitamente Generado . . . 85
Orden den–uplas. Proyecciones . . . 86
Descomposici´on Primaria . . . 87
Descomposici´on Racional . . . 88
Ejercicios . . . 92
Orbitas . . . 98
Ciclos . . . 100
Ejercicios . . . 105
7 CONSTRUCCION DE CUERPOS 109 Cuerpos de Fracciones . . . 109
Cuerpos Cuadr´aticos . . . 112
Ejercicios . . . 117
8 POLINOMIOS 119 Familias . . . 120
Generalizaci´on de Producto Cartesiano . . . 120
Producto Directo y Suma Directa . . . 121
Polinomios sobre un Campo . . . 123
Ejercicios . . . 129
9 EJERCICIOS GENERALES 133
NUMEROS ENTEROS
Introducci´
on
El prop´osito del cap´ıtulo es estudiar losn´umeros enteros como estruc-tura primaria, es decir,su axiomatizaci´on.
Comenzaremos por introducir el tipo de estructura matem´atica a la cual pertenecen los enteros. Para tal efecto seguimos estos pasos:
1. Estudiamos los dominios bien ordenados y sus propiedades m´as inme-diatas.
2. Demostramos que, de haber un dominio bien ordenado, habr´ıa a lo m´as uno.
3. Axiomatizamos la existencia de los dominios bien ordenados lo cual implica que existe uno solo, al cual llamamos los enteros, que se denotan ZZ.
Adem´as haremos notar que una buena parte de lo hecho aqu´ı, no es sola-mente una propiedad de los enteros sino de cualquier estructura que tenga los mismos axiomas.
Dominios de Integridad
• ∗se dice asociativa enA, si para todoa, b, c∈A,a∗(b∗c) = (a∗b)∗c.
• ∗se dice modulativa enA, si existe une∈A tal que para todoa∈A,
a∗e=a=e∗a(un tal ese llama el m´odulo de ∗en A).
• ∗se dice invertiva enA, si ∗ es modulativa y para todoa∈A, existe un b∈Atal quea∗b=e=b∗a.
• ∗se dice cancelativa, si para todo a, b, c ∈A,a∗b= a∗c → b=c y
b∗a=c∗a→b=c.
• ∗se dice conmutativa, si para todoa, b∈A a∗b=b∗a.
Finalmente si ∗ y ♦son operaciones en A se dice que ∗ distribuye sobre
♦,si para todoa, b, c∈Atenemos quea∗(b♦c) = (a∗b)♦(a∗c) y (b♦c)∗a= (b∗a)♦(c∗a).
En matem´aticas hay un n´umero infinito de operaciones, pero se acostum-bra usar los mismos s´ımbolos para operaciones distintas. En general los s´ımbolos son +,·junto con las siguientes convenciones.
El s´ımbolo +: cuando se usa este s´ımbolo se dice que la operaci´on se denota aditivamente. Si + es modulativa, su m´odulo es denotado por 0. Si el inverso de a ∈A existe se llama “inverso aditivo de a” y ser´a denotado por −a.
El s´ımbolo·: Cuando se usa este s´ımbolo se dice que la operaci´on se denota multiplicativamente. Si · es modulativa, su m´odulo es denotado por 1. Si el inverso de a ∈ A existe, se llama “inverso multiplicativo de a” y ser´a denotado por 1a ´o a−1.
Ejemplo: Con el sentido corriente de tablas para operaciones, con-sidere la siguiente de la cual discutiremos la notaci´on.
1.
· 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
(a) Existe 1?. Es decir, existe el m´odulo (multiplicativo)?
(b) Existe 1/0? Es decir, existe inverso multiplicativo de 0? Si existe y es el 1. Simb´olicamente 1/0 = 1.
El uso de ·en esta operaci´on es inconveniente porque obliga al uso del 1 en dos sentidos distintos e incompatibles. El que 0 tenga aqu´ı inverso no crea internamente incompatibilidad pero choca innecesaria-mente con la notaci´on de sistemas con dos operaciones en donde, a no ser que el sistema sea singular (un elemento), “0” no es invertible multiplicativamente.
2. En el siguiente cuadro podremos observar:
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
(a) Existe 0? Es decir, existe el m´odulo aditivo?
S´ı existe y en la tabla esta denotado 0. Esto es compatible con el hecho de ser m´odulo aditivo.
(b) Existe −0? Es decir, existe el inverso aditivo de 0?
S´ı existe y est´a denotado por cero (0). Y esto es correcto tanto simb´olicamente como formalmente.
Elegir un s´ımbolo u otro para una operaci´on puede ser formalmente inocuo. Pero pr´acticamente, no necesariamente lo es.
Grupo Abeliano
1.1 Definici´on: SeaAun conjunto con una operaci´on +. Decimos que A con + (se denota (A,+)) es un grupo abeliano, si + es asociativa, modulativa, invertiva y conmutativa2
Las propiedades b´asicas que se desprenden de esta definici´on se dan a continuaci´on y su demostraci´on se deja como ejercicio.
i. El m´odulo es ´unico. ii. Cumple la ley cancelativa.
iii. “El” inverso de un elemento es ´unico. iv. −0 = 0.
v. −(a+b) = (−a) + (−b). vi. −(−a) =a.
vii. La ecuaci´onx+a=b tiene una y s´olo una soluci´on.
Demostraci´on: (de (iii) las dem´as quedan como ejercicio) Sia∈A, sean byc en Atales que
a+b = 0 = b+a a+c = 0 = c+a
As´ı puesa+c= 0 =a+b y (cancelandoa)b=c 2
1.3 Definici´on: SeaAun conjunto con dos operaciones +,·. Deci-mos que (A,+,·) es:
i. Un anillo si (A,+) es un grupo abeliano; · es asociativa y · distribuye sobre +.
ii. Un dominio de integridad si, adem´as de ser anillo, · es conmutativa, modulativa y cancelativa para elementosnocero 2
Nota: Esta definici´on de anillo no es universalmente aceptada.
Propiedades de los Dominios
Si (A,+,·) es un dominio, entonces (A,+) cumple las propiedades de grupo abeliano (1.2). Adem´as
1.4 Proposici´on: (A,+,·) cumple: i. Para cadaa∈A,a.0 = 0.
ii. (−a).b=−(ab) =a(−b). iii. (−a)(−b) =a.b.
Demostraci´on: (ii) Puesto que ab+ (−a)b= (a+ (−a))b= 0.b= 0. Se tiene que−(ab) = (−a)b. 2
Dominios Ordenados
1.5 Definici´on: Se dice que (A,+,·) es un dominio ordenado si existe un subconjunto no vacioA+, llamado de “los positivos deA”, que cumple:
i. Sia, b∈A+ entoncesa+b∈A+ ya.b∈A+.
ii. SiA− ={−a|a∈A+} entoncesA+∩A−=∅ yA+∪A−∪ {0}=A2
Nota: Los elementos deA− se llaman los elementos negativos de A. Las propiedades b´asicas de un dominio ordenado son:
1.6 Proposici´on: En un dominio ordenado se cumple: i. 06∈A+ y 06∈A−.
ii. 16= 0.
iii. Sia6= 0 entoncesa2 ∈A+. iv. 1∈A+.
v. Sia.b∈A+ entoncesa, b∈A+ ´o a, b∈A−.
Demostraci´on: de (iii) Sia∈A+, a2 ∈A+ por 1.5 (ii). Si a∈A−
entoncesa=−b,b∈A+ ya2 = (−b)2=b2∈A+ por el caso precedente 2
Relaci´
on de Orden en un Dominio Ordenado
Considere la relaci´on de Adada por a < b↔b−a∈A+. Entonces
1.7 Proposici´on: En un dominio ordenado la relaci´on < es una relaci´on de orden total. Es decir que cumple las propiedades:
i. Antisim´etrica: a < b yb < a→a=b. ii. Transitiva: a < b yb < c → a < c.
Demostraci´on:
i. Se trata de demostrar que la implicaci´on es cierta. Para esto veamos que a < b y b < a es una afirmaci´on falsa. En efecto se tiene la serie de equivalencias (a < b ∧ b < a) ↔ (b−a ∈ A+ ´o b−a ∈ A−) ↔
(b−a) ∈A+∩A− =∅ y como la ´ultima afirmaci´on es falsa tambi´en lo es la primera.
ii. Supongamos que a < b yb < c. Como (a < b)↔ (b−a)∈A+ y (b < c) ↔ (c−b) ∈A+, se tiene que [(b−a) + (c−b)∈ A+]↔(c−a) ∈
A+↔a < c.
iii. Si a∈ A entonces una sola de tres situaciones se da: a = 0, a∈ A+
´
o a∈ A− de acuerdo a las afirmacionesA =A+∪A−∪ {0}, 0 6∈A+
y 0 6∈ A− y A+∩A− = ∅. Ahora s´ı, sean a, b ∈ A; como a−b = 0,
a−b∈A+´oa−b∈A−entonces, equivalentemente, una sola dea=b,
b < a,a < b se da 2
Notaci´on:
i. a≤bsignifica a < b ´o a=b. ii. a < b < c significa a < b yb < c.
Propiedades uniformes de
<
en un Dominio
Ordenado
1.8 Proposici´on: En un dominio ordenado, para todo a, b ∈ A, tenemos:
i. a < b ↔ a+c < b+c, ∀c∈A. ii. a < b ↔ a.c < b.c, ∀c∈A+. iii. a < b ↔ a.c > b.c, ∀c∈A−.
iv. Si a, b∈A+ entonces a < b ↔ a2< b2. v. Si a, b∈A+ entonces a < b ↔ an< bn. vi. Si a < b y c < d entonces a+c < b+d. 2
Valor Absoluto en un Dominio Ordenado
1.9 Definici´on: Sea (A,+,·), A+ un dominio ordenado. Se define valor absoluto deb(y se denota|b|) comob, sib≥0 y−b sib <0. Es decir:
|b|= (
b si b≥0 y
Las propiedades elementales del valor absoluto en (A,+.·), A+, son:
1.10 Proposici´on: Para todo a, b∈A se tiene: i. |a| ≥0.
ii. |a| ≥a. iii. |a|=| −a|. iv. |a| ≥ −a. v. |a|2 =a2. vi. |a.b|=|a|.|b|. vii. |a+b| ≤ |a|+|b|.
Demostraci´on: (de (vii))
|a+b|2 = (a+b)2= (a+b)(a+b) = a2+ab+ab+b2
≤ |a|2+|ab|+|ab|+|b|2
= |a|2+|a||b|+|a||b|+|b|2
= (|a|+|b|)2.
As´ı pues|a+b|2≤(|a|+|b|)2 de donde, seg´un 1.8 (iv), |a+b| ≤ |a|+|b|2
Dominios Bien Ordenados
Se trata a continuaci´on de involucrar el orden especial (bueno), que se tiene en ZZ, a su estructura algebr´aica. Es esta parte la que hace de los enteros una estructura ´unica.
1.11 Definici´on: Sea (A,+,·), un dominio ordenado. Se dice que
A es bien ordenado si todo subconjunto no vacioB de A+ es minimado. Es decir existe b∈B tal que ∀x∈B, b≤x 2
La condici´on 1.11 se conoce como “el principio de buena ordenaci´on” (P.B.O.). La primera implicaci´on del principio de buena ordenaci´on es que no existen elementos entre los dos m´odulos. Formalmente
1.12 Teorema: SiAes un dominio bien ordenado entonces
Demostraci´on: Suponga que B = {x ∈ A| 0 < x < 1} y B 6= ∅. Es claro que B ⊂A+. Sea b = min B el cual existe por P.B.O. Entonces 0< b <1 por tanto 0< b2 < b <1, multiplicando por b la inecuaci´on. As´ı que 0 < b2 < 1 y b2 < b. As´ı pu´es b2 es un elemento de B menor que el m´ınimo. Como esto no puede ser, B=∅2
Nota: Un hecho m´as qued´o demostrado en el argumento 1.12: Si un elemento en un dominio ordenado est´a entre cero y uno entonces su cuadrado es menor que ´el. Se sigue as´ı que para un n´umero entre cero y uno, cualquiera de las potencias es menor que las potencias precedentes. As´ı: a > a2 > a3> a4 > a5 > a6 >· · ·2
Ahora podemos notar la similitud de nuestra estructura con los enteros: En efecto los positivos de nuestra estructura (dominios bien ordenados) poseen algo caracter´ıstico (propio) de los n´umeros naturales, conocido como elaxioma de inducci´on.
1.13 Teorema: Los positivos de un dominio bien ordenado A
cumplen el principio de inducci´on. Es decir: SeaB un subconjunto de A+. SiB cumple las dos condiciones
I.1. 1∈B.
I.2. Sik∈B →(k+ 1)∈B (principio de inducci´on). Entonces B =A+.
Demostraci´on: Suponga B 6=A+. Como B ⊆ A+ entoncesA+−
B 6=∅. As´ıA+−B tiene un elemento minimal, digamos m. Demostremos quem−1∈A+−B.
Que m−1∈A+:
Sim−16∈A+entoncesm−1 = 0 ´om−1<0. Perom−1 = 0↔m= 1∈B
y entoncesm6∈A+−B (W1).
Si m−1 < 0 entonces 0 < m < 1 lo cual no puede ser por 1.12. Hemos mostrado que m−1 ∈ A+. Ahora m−1 6∈ B, porque si m−1 ∈ B →
(m−1) + 1∈B, luegom∈B (W).
As´ı que m−1 ∈ A+−B pero adem´as m−1 < m claramente. Esto contradice la selecci´on dem como minimal deA+−B. As´ı queA+−B =∅
1
y (comoB ⊆A+) A+=B 2
Para acercarnos a la visi´on de los enteros notemos informalmente que si
A es un dominio bien ordenado entonces Una formalizaci´on de este punto requiere el conocimiento de “conjunto finito” el cual no es usable en forma pr´actica sin los n´umeros naturales, los cuales a´un no tenemos (esperamos extraerlos deZZuna vez exista ´este). Para facilitar las argumentaciones (ver por ejemplo 1.20 y 1.21) aceptamos que sabemos “contar” (medir el n´umero finito de elementos) usando los naturales. Si desea medir la dificultad que el no poder “contar” presupone trate de definir “sumas de unos” sin este recurso y si lo logra demuestre que ellas son positivas. Esta afirmaci´on se usa abajo sin demostraci´on.
SeaB ={x∈A|x es una suma de 10s} ∪ {1}. Mostremos queB =A+. Veamos que 1∈B y (x∈B →x+ 1∈B). Que 1∈B es obvio. Adem´as si x ∈B entonces x es una suma de 1’s y por tanto x+ 1 tambi´en es una suma de 1’s. As´ı que x+ 1∈B. Ahora como B ⊆A+ (las sumas de unos siempre son positivas en un dominio ordenado) entonces por 1.13,B =A+. Adem´as se tiene queA−={x|x es una suma de −10s}y queda por fuera el cero, exactamente como en los enteros. Pero s´ı es A el conjunto de los enteros con su estructura? Veamos como podemos compararlos.
Homomorfismo de Anillos
Se llama Homomorfismo de Anillos a los mecanismos iniciales (menos es-pecializados) de comparaci´on de anillos. Formalmente:
1.14 Definici´on: Si (A,+,·) y (B,+,·) son anillos, un homomor-fismof : (A,+,·)→(B,+,·) (se leef deAenB) es una funci´onf : A→B
que cumple:
1. f(a+b) =f(a) +f(b). 2. f(a.b) =f(a).f(b) 2
Ejemplos de Homomorfismos
1. Sea f : A → A la funci´on dada por f(x) = x. Veamos si f es un homomorfismo de anillos
(a) f(a.c) =a.cyf(a).f(c) =a.c. As´ı quef(a.c) =f(a).f(c). De la misma manera:
(b) f(a+c) =a+c=f(a) +f(c). As´ı puesf es un homomorfismo de anillos llamado elel homomorfismo id´entico de A. Se denora 1A: A→A.
2. Sean (A,+,·) y (C,+,·) anillos. Sea f :A → C la funci´on dada por
f(x) =cen dondec es un elemento fijo deC. Deseamos saber sif es homomorfismo. Si lo es, se tendr´a f(x+y) = f(x) +f(y). Es decir
f(x+y) =c y f(x) +f(y) = c+c. Se requiere por tanto c=c+c. Entoncesc= 0 (por que?). As´ı pues sic6= 0,f no es un homomorfismo de anillos. Veamos el caso de c= 0.
3. Redefinamos f : (A,+,·) → (C,+,·) dada por f(x) = 0 ∀x ∈ A. Se tiene:
(a) f(x.y) =f(x).f(y) puesto que f(x.y) = 0 y f(x).f(y) = 0.0 = 0. Adem´as
(b) f(x+y) =f(x) +f(y) puesto quef(x+y) = 0 y f(x) +f(y) = 0 + 0 = 0.
Por tanto f = 0 es un homomorfismo de anillos. Tenemos pues que la ´unica funci´on constante, entre anillos, que es un homomorfismo de anillos es la funci´on constante e igual a cero.
4. Sean A= IR y B = CI y sea g : IR→ CI la funci´on dada por g(a) =
a+ 0i∀a∈IR. ges un homomorfismo de anillos puesto queg(x+y) = (x+y) + 0iyg(x) +g(y) = (x+ 0i) + (y+ 0i) = (x+y) + 0i. Adem´as
Propiedad de los Homomorfismos
Las propiedades elementales de los homomorfismos son:
1.15 Proposici´on: Si f : A → B es un homomorfismo de anillos entonces
1. f(0) = 0 (f preserva el m´odulo aditivo). 2. f(−a) =−f(a) (f perserva el inverso aditivo).
3. SiA, Bson dominios diferentes de cero yf(1) = 1 entoncesf 6= 0. En otras palabras, los homomorfismos de dominios preservan el m´odulo multiplicativo.
4. f es inyectiva si y solo si (f(x) = 0 → x= 0)2
Isomorfismos
Isomorfismos son los mecanismos especializados que se usan para deter-minar cu´ando dos anillos son matem´aticamente indistinguibles. Realmente el t´ermino “isomorfismos” no solamente funciona para anillos y por tanto debieramos hablar de “isomorfismos de anillos”. Tambi´en existen los “iso-morfismos de grupos abelianos” por ejemplo, pero estamos interesados en los de anillos por lo pronto.
1.16 Definici´on:
1. Un homomorfismo de anillos f : A → B se dice un isomorfismo si f
es inyectiva y sobreyectiva.
2. Dos anillosA yB se dicen isomorfos (y se escribeA∼=B) si existe un isomorfismo de anillosf : A→B 2
Veamos que ∼= es un “tipo de igualdad”, es decir una relaci´on de equi-valencia, entre anillos. Para ello primero hacemos notar las propiedades correspondientes a nivel de homomorfismos.
1.17 Proposici´on:
2. Si f : A → B es un isomorfismo entonces f−1 : B → A es un isomorfismo.
3. Sif : A→B yg: B→C son isomorfismos, entonces g◦f : A→C
es un isomorfismo.
Demostraci´on:
1. Que 1Aes un homomorfismo ya se demostr´o. Veamos que es biyectiva. Es inyectiva: Si 1A(x) = 1A(y) entonces (reemplazando) x=y. Es sobreyectiva: Porque ∀y ∈A, ∃x∈A tal que 1A(x) = y. Es claro que es suficiente tomary=x.
2. Comof es biyectiva entoncesf−1 tambi´en es biyectiva. Ahora veamos sif−1 es un homomorfismo. Es decir que:
(a)
f−1(b1+b2) = f−1(b1) +f−1(b2) :
f−1(b1+b2) = f−1(f f−1(b1) +f f−1(b2)) = f−1(f(f−1(b1) +f−1(b2))) = f−1(b1) +f−1(b2).
Para mostrar otro tipo de procedimiento lo hacemos con el pro-ducto.
(b)
f−1(b1.b2) = f−1(b1).f−1(b2) ↔
b1.b2 = f[(f−1(b1)).(f−1(b2))] ↔
b1.b2 = f(f−1(b1)).f(f−1(b2)) ↔
b1.b2 = b1.b2.
Por equivalencias la primera afirmaci´on es cierta.
3. Comof yg son isomorfismos, entonces son biyectivas y tambi´eng◦f
es biyectiva.
Resta demostrar que g◦f es un homomorfismo:
g◦f(a+b) = g(f(a+b)) =g(f(a) +f(b)) = g(f(a)) +g(f(b))
= (g◦f)(a) + (g◦f)(b).
Regresemos ahora a la relaci´on de isomorf´ıa∼=.
1.18 Proposici´on: Entre anillos∼= es un tipo de igualdad o relaci´on de equivalencia: Es decir que ∼= es
1. Reflexiva: Para cada anilloA,A∼=A.
2. Sim´etrica: SiA,B son anillos yA∼=B entoncesB∼=A.
3. Transitiva: Si A, B, C son anillos y A ∼= B y B ∼= C entonces
A∼=C.
Demostraci´on: Sigue de manera obvia de 1.17 2
Veamos ahora, por lo menos en parte, el sentido de “isomorfismo” en el caso de anillos. Lo haremos considerando la pregunta: Qu´e tan iguales son dos anillos isomorfos?.
En la siguiente proposici´on mostramos que, al menos, lo son en los aspectos que nos interesan.
1.19 Proposici´on: Seaf:A→B un isomorfismo de anillos. Entonces
1. SiA es un dominio,B tambi´en.
2. SiA es un dominio ordenado,B tambi´en lo es conB+=f(A+). 3. SiA es un dominio bien ordenado,B tambi´en.
Demostraci´on: Demostremos (3) suponiendo ya demostrados (1) y (2). Supongamos que A es bien ordenado. Entonces B es ordenado y
B+ =f(A+). Si B1 ⊆B+ y B1 6=∅, entonces f−1(B1) ⊆f−1(B+) = A+ yf−1(B1)6=∅. ComoA es bien ordenado existea=minf−1(B1). Veamos quef(a) =minB1. En efecto, six∈B1 entoncesf−1(x)∈f−1(B1) as´ı que
a≤f−1(x) y por lo tanto f(a) ≤f(f−1(x)) =x. Por lo dem´as es obvio quef(a)∈B1.
Homomorfismo de Dominios
Considere f:A →B un homomorfismo de anillos en donde A es un do– minio bien ordenado. Veremos quef depende completamente de la ima-gen de 1. Para comenzar note.
1.20 Proposici´on: Seab∈B. Existe a lo m´as un homomorfismo
f:A→B tal quef(1) =b.
Demostraci´on: Supongamos que f:A → B, g:A → B son homo-morfismos con f(1) =by g(1) =b. Sea x∈A. Veamos que f(x) =g(x).
Six= 0, f(x) = 0 y g(x) = 0. Entoncesf(x) =g(x). Six >0,x= 1 + 1 +· · ·+ 1 (t unos).
f(x) =f(1 + 1 +· · ·+ 1) =f(1) +f(1) +· · ·+f(1) =b+b+· · ·+b (t b’s).
g(x) =g(1 + 1 +· · ·+ 1) =g(1) +g(1) +· · ·+g(1) =b+b+· · ·+b
Entonces f(x) =g(x).
Six <0 entonces−x >0, entonces,f(−x) =g(−x) por la parte anterior. Equivalentemente−f(x) =−g(x). Entoncesf(x) =g(x).
As´ı que f(x) =g(x), para todo x∈A 2
Como 1 debe tener imagen por homomorfismo la limitaci´on es grande seg´un los resultados que siguen:
1.21 Proposici´on: SeanAyB dominios conAbien ordenado. Sea
b∈B. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Existe un homomorfismo f:A→B, conf(1) =b. 2. b=b2 2
1.22 Corolario:
1. SiA yB son dominios bien ordenados entonces existe exactamente un homomorfismof:A→B distinto de cero.
2. SiA es bien ordenado el ´unico homomorfismo no ceroA→A es 1A.
un dominio esto implicax= 0 ´ox= 1. x= 0 induce el homomorfismo nulo. El otro es diferente de cero porquef(1) = 12
Lo anterior implica adem´as que hay un solo dominio bien ordenado, salvo isomorfismo. Esta propiedad la da justamente el homomorfismo diferente de cero, de 1.22.
El teorema que sigue requiere el resultado del ejercicio 16. Sugerimos solucionar antes de enfrentar el teorema.
1.23 Teorema: SeanAyBdominios bien ordenados, entoncesA∼=B.
Demostraci´on: Existe un ´unico homomorfismo no cerof:A→B y uno
g:B → A. Se tiene entonces que f(1) = 1, g(1) = 1 y por tanto tambi´en
g◦ f(1) = 1 y f ◦g(1) = 1. Luego g ◦f:A → A y f ◦g:B → B son homomorfismos no cero y por tanto (1.22; (1), (2)) g◦f = 1Ayf ◦g= 1B. Luego (Ejercicio 16)f es un isomorfismo yA∼=B 2
El Dominio de Los Enteros
Ahora axiomatizamos existencia:
Axioma: Existen dominios bien ordenados2
Entonces existe un dominio bien ordenado y a continuaci´on lo bautizamos.
1.24 Proposici´on: Al ´unico dominio bien ordenado, (salvo isomor-fismo) se le llamar´a el Dominio de los Enteros y se le denotar´a porZZ 2
Nota: Todos los dem´as dominios bien ordenados son “copias iso-morfas” de ZZ. A continuaci´on presentamos un procedimiento para obtener copias isomorfas de ZZ.
1.25 Proposici´on: SeaAun conjunto y seaf:A→ZZuna funci´on biyectiva. Seaa⊕b=f−1(f(a) +f(b)) ya⊗b=f−1(f(a)×f(b)). Entonces:
4. (A,⊕,⊗) es un anillo.
5. f es un isomorfismo de anillos.
6. (A,⊕,⊗) conA+=f−1(ZZ+) es un dominio bien ordenado.
Demostraci´on: Veamos (4). Las dem´as son similares. Aceptamos (1) y (3); resta demostrar que⊗es asociativa y distribuye sobre⊕.
⊗es asociativa: (a⊗b)⊗c=a⊗(b⊗c);
(a⊗b)⊗c = f−1(f(a⊗b)×f(c))
= f−1[f(f−1(f(a)×f(b)))×f(c)] = f−1[(f(a)×f(b))×f(c)]. a⊗(b⊗c) = f−1(f(a)×f(b⊗c))
= f−1[f(a)×f(f−1(f(b)×f(c))] = f−1[f(a)×(f(b)×f(c))].
⊗distribuye sobre ⊕: a⊗(b⊕c) = (a⊗b)⊕(a⊗c);
a⊗(b⊕c) = f−1[f(a)×f(b⊕c)]
= f−1[f(a)×f(f−1(f(b) +f(c)))] = f−1[f(a)×(f(b) +f(c))].
(a⊗b)⊕(a×c) = f−1[f(a×b) +f(a×c)]
= f−1[f(f−1(f(a)×f(b)) +f(f−1(f(a)×f(c)))] = f−1[(f(a)×f(b)) + (f(a)×f(c))] 2
Ejemplo: Demos a ZZ una estructura de dominio bien ordenado distinto de la com´un. Para esto, sea f:ZZ → ZZ definida por f(x) = x+ 5.
f es inyectiva porque f(x1) =f(x2) es equivalente a que x1+ 5 = x2+ 5. Entoncesx1=x2. Quef es sobreyectiva se sigue de que siy∈ZZ,y=x+ 5 parax=y−5. As´ı quef(y−5) = (y−5) +y=y. Veamos c´omo funcionan las operaciones. Sia, b∈ZZ
a⊕b = f−1(f(a) +f(b)) = f−1(a+ 5 +b+ 5) = a+b+ 5.
En cuanto al producto
De la demostraci´on de la parte (3) de 1.25 el m´odulo aditivo deAesf−1(0) =
−5. Verifiquemos directamente que act´ua como m´odulo. En efecto a⊕
(−5) = (a+ (−5)) + 5 =a. Para el producto se tiene: f−1(1) = 1−5 =−4. As´ı que 1 es -4. Verifiquemos: a⊗(−4) = a(−4) + 5(a+ (−4)) + 20 =
−40 + 5a−20 + 20 =a.
Ahora en cuanto a orden, identifiquemos los positivos de este sistema. Es decir calculemosZZ⊕ que es f−1 (ZZ+) :ZZ⊕ ={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}
2
Este es un ejemplo, un poco especial, de que un−frente a un s´ımbolo no convierte al resultado en un negativo. En este caso−4 es positivo. Natural-mente aqu´ı hay el problema, que seguraNatural-mente confunde, de usar simbolos, como −4, para el cual el sentido del − no corresponde a la nueva estruc-tura. Por esto usamos para el “menos” de la nueva estructura. Note que
Ejercicios
1. Muestre que si f:A → B es una funci´on inyectiva y si A1, A2 ⊆ A entoncesf(A1∩A2) =f(A1)∩f(A2). D´e un ejemplo que muestre que sif no es inyectiva entonces la igualdad no necesariamente se da. 2. Muestre que para cualquier funci´on f:X →Y se tiene
(a) f(A∪B) =f(A)∪f(B).
(b) f−1(A∩B) =f−1(A)∩f−1(B). (c) f−1(A∪B) =f−1(A)∪f−1(B).
3. Sea D un dominio ordenado. Denotemos IN los “Naturales” de D es decir el conjunto de sumas de 1’s yD+ sus positivos.
(a) Muestre queDcumple “el axioma de inducci´on” si y s´olo siD+= (0,1)∪IN ((0,1) ={x|0< x <1}).
(b) SeaDun dominio ordenado para el cual 1 es el m´ınimo positivo. Muestre que siDcumple el axioma de inducci´on, entoncesD∼=ZZ. (c) M´as a´un D cumple el axioma de inducci´on si y s´olo si D ∼= ZZ. (Sugerencia: en (a) D+ = (0,1)∪IN. Pero si t∈(0,1) en donde est´a t+ 1?).
4. Sea f:A→ B un homomorfismo de anillos en donde A yB son orde-nados. Demuestre que si f(A+) = B+ entonces f preserva el orden. Es decir que a1 < a2 →f(a1)< f(a2). As´ı mismoa1 ≤a2→f(a1)≤
f(a2).
5. Demuestre que en un dominio ordenado dos sumas de unos son iguales si y s´olo si tienen el mismo n´umero de unos. Ay´udese de esto para mostrar que un dominio ordenado contiene un subanillo bien ordenado. 6. Demuestre que un dominio ordenado no puede ser finito.
7. Que partes de 1.2 se cumplen en un grupo en general, es decir, si no se impone la propiedad conmutativa?
9. Demuestre que el ´unico subconjunto de un dominio bien ordenado que cumple el axioma de inducci´on de manera no trivial es el conjunto de sus positivos. (Un subconjunto B de un dominio ordenado cumple trivialmente el axioma de inducci´on si ning´un subconjunto T de ´el, cumple las dos condiciones 1∈T yn∈T →n+ 1∈T).
10. Suponga conocido el conjunto de los n´umeros naturales junto con sus operaciones y propiedades. Muestre que la estructura (A,+,·), A+ es un dominio bien ordenado, donde:
(a) A={(a, b)|a, b∈IN}.
(b) (a, b) = (c, d)↔a+d=b+c. (c) (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d). (d) (a, b).(b, d) = (a.c+b.d, a.d+b.c).
(e) A+={(a,0)|a∈IN− {0}}.
11. Construya en IN una estructura (IN,+,·); IN+ de dominio bien orde-nado (Use una funci´onf: IN→ZZ).
12. Suponga que∗ es una operaci´on modulativa y cancelativa en A. De-cimos que a ∈ A es idempotente si a2 = a. Demuestre que el ´unico elemento idempotente es el m´odulo.
13. Seana > b >0 en un dominio bien ordenado. Sea n∈IN. D´e an> bn
se puede concluir que a > b?
14. En la proposici´on 1.25 muestre que la estructura (A,⊕,⊗) es la ´unica que hace def un homomorfismo de anillos.
15. Cu´ales de los siguientes anillos son isomorfos, cu´ales no y por qu´e? ZZ,QI ,−IR, CI (Ay´udese del ejercicio 17 para relacionar QI ,CI ). 16. Suponga quef:A→B es un homomorfismo. Entoncesf es un
isomor-fismo si y s´olo si existe un homomorfismog:B→A tal queg◦f = 1A yf◦g= 1B.
17. Suponga que f:A → B es un isomorfismo de dominios. Muestre que
a0 +a1x+a2x2 +· · ·+anxn = 0 tiene soluci´on en A si y s´olo si f(a0) +f(a1)x+f(a2)x2· · ·+f(an)xn= 0 tiene soluci´on en B. 18. Considere un anillo D. Si n ∈ IN, denote na = 0 si n = 0 y na =
(a) Muestre que
na+nb = n(a+b) ∀n∈ZZ, ∀a, b∈D. na+ma = (n+b)a ∀m, n∈ZZ, ∀a∈D.
(b) Use las tablas 3.10, que constituyen el ejemplo de un anillo finito, para dar ejemplos de una igualdad: na = 0 sin n ser cero ni a
ser cero; un elemento na en el quen no es elemento del sistema; una ecuaci´onn(ax) =bque no tiene soluci´on; una ecuaci´onax2+
bx+c= 0 que no tiene soluci´on.
19. En IR la ecuaci´onax2+bx+c= 0 es equivalente a x= −b± √
b2−4ac
2a si a6= 0.
(a) Muestre que en un dominio D es equivalente a (2ax+ b)2 =
b2 −4ac, si 4a es cancelable con el producto. Justifique cuida-dosamente cada paso.
(b) D´e una condici´on necesaria y suficiente para que la ecuaci´onax2+
bx+c= 0 tenga soluci´on en D.
(c) Decida si la ecuaci´on [3]x2 + [2]x+ [1] = [0] tiene soluci´on en el anilloD de 3.10 (solo debe usar las tablas de ese ejemplo). (d) Responda lo mismo que (c) pero con tablas del ejemplo 3.16. 20. Sea QI (√n) = {a+b√n|a, b ∈ QI } donde n es positivo, no cuadrado
perfecto y un elemento de ZZ
(a) Muestre que QI (√n) es un campo con + y×. (b) Muestre que x2 =ntiene soluci´on en QI (√n).
(c) Decida si QI (√2) yQI (√3) son anillos isomorfos.
DIVISIBILIDAD EN ZZ
Concepto de Divisibilidad en
ZZ
2.1 Definici´on: Sean n, m ∈ ZZ. Decimos que n divide a m y lo denotamos nDm si m = nk para alg´un k ∈ ZZ (Tambi´en se dice que n es factor de m o quemes m´ultiplo de n).2
La relaci´on D enZZ+ es una relaci´on de orden. M´as a´un:
2.2 Proposici´on: La relaci´on Den ZZcumple:
1. Des reflexiva en ZZ: ∀n∈ZZ,nDn.
2. SimDn ynDmentonces|n|=|m| ∀n, m∈ZZ, es decirn=±m
3. SinDm ymDrentoncesnDr ∀n, m, r∈ZZ.2
Las propiedades elementales deD son:
2.3 Proposici´on: En los enteros (ZZ), tenemos:
1. aD0 para todoa∈ZZ. 2. 0Dasi y s´olo si a= 0.
4. aDbsi y s´olo si (±a)D(±b). 5. SiaDbyb6= 0 entonces |a| ≤ |b|.
Demostraci´on:
1. Comoa.0 = 0, aD0.
2. 0Da ↔ ∃b∈ZZtal quea=b.0 ↔ a= 0.
3. Sean k1, k2 ∈ ZZ tales que b = ak1 y c = ak2; entonces bx = ak1x y
cy = ak2y. luego bx+cy = ak1x+ak2y = a(k1x+k2y). As´ı que
aD(bx+cy).
4. aDb ↔ b=aq entonces±b= (±a)q.
5. aDb → b=at. Entonces |b|=|a||t|. Si t= 1 se da la igualdad, si no
|t| ≥1 y|a| ≤ |a||t|=|b|.2
Algoritmo de la Divisi´
on
2.4 Proposici´on: Sean a, b ∈ ZZ con b 6= 0 veamos que entonces existenq, r∈ZZtales que a=qb+r con 0≤r <|b|.
Demostraci´on: Sean a, b ∈IN∪ {0} entonces existen ´unicos q, r∈
IN∪ {0}tales que a=qb+r con 0≤r <|b|. Por inducci´on sobre a: Casoa= 0 0 = 0.b+ 0.
Casoa= 1 1 = 1.1 + 0 sib= 1 y 1 = 0b+ 1 sib >1.
Suponga que a=qb+r con 0≤r < bentoncesa+ 1 =qb+r+ 1. Sir+1< bqueda terminado. Sir+1 =bentoncesa+1 =qb+b= (q+1)b+0.
En el caso general para a, b cualesquiera se tiene |a|= q|b|+r con 0 ≤
As´ı quea= (−q)b−r=−(q+ 1)b+ (b−r) con 0< b−r < b=|b|. El otro caso queda como ejercicio. 2
2.5 Proposici´on: (Unicidad del Algoritmo) Si a = q1b+r1 y
a=q2b+r2 con 0≤r1, r2 <|b|entoncesq1=q2 yr1 =r2.
Demostraci´on: Suponga a =q1b+r1 con 0 ≤ r1 < |b| y a= q2b+r2 con 0≤r2 <|b|. Entonces
q1b+r1=q2b+r2.
Si r1 = r2 entonces q1b = q2b as´ı que q1 = q2. Si r1 6= r2 digamos r1 > r2 Entonces r1 −r2 = |q2 −q1||b|. Se tiene, para el lado izquierdo que 0 <
r1 −r2 <|b|. Para el otro lado, el que |q2−q1| ≥ 1 → |q2−q1||b| ≥ |b|. Es decir que el lado derecho es mayor o igual que |b| en contraposici´on al izquierdo.2
Cuando a = qb+r con 0 ≤ r < |b| entonces q es llamado el cociente de dividir a por b y r es llamadoel residuo. Ahora pasemos a estudiar estructuras internas de ZZen cuanto a estructuras algebr´aicas. Veamos que en ZZ todas ellas coinciden.
Subgrupos, Subanillos e Ideales de
ZZ
2.6 Definici´on:
1. Sea (A,+) un grupo abeliano yB subconjunto de A. Se dice queB es un subgrupo (abeliano) deAsi + es una operaci´on deB(B es cerrado para +) y (B,+) es un grupo abeliano.
2. Sea (A,+,·) un anillo y B un subconjunto deA. Se dice que B es un subanillo deA, si + y·son operaciones en B (B es cerrado para + y
·) y (B,+,·) es un anillo.
3. Un subanillo (B,+,·) de (A,+,·) se dice un ideal de A si para todo
a∈A, para todob∈B a.b∈B y b.a∈B.2
2.7 Ejemplos:
1. Es (IN,+) subgrupo de (ZZ,+)?
(a) Si∀a, b∈IN a+b∈IN y (b) Sia=b entonces
(
a+c = b+c c+a = c+b
Las dos son ciertas. La ´ultima por ser universal en ZZ. Sin embargo (IN,+) no es grupo. Luego no es subgrupo de (ZZ,+).
2. SeaTel conjunto de los n´umeros impares de ZZ. Es (T,+) un subgrupo de (ZZ,+)?
Nos preguntamos primero siT es cerrado para +. No lo es porque, por ejemplo 3 + 3 = 6 que no es impar.
3. Sea P el conjunto de los n´umeros pares deZZ. Es (P,+) un subgrupo de (ZZ,+)?
+ es una operaci´on en P porque si sumamos dos n´umeros pares el resultado es otro n´umero par. En efecto 2k+ 2n= 2(k+n). Ahora veamos que (P,+) es subgrupo abeliano. (P,+) es asociativa porque esta es una propiedad universal enZZ. (P,+) es modulativa porque 0 es par y es invertiva porque−(2k) = 2(−k), es decir que el inverso aditivo de un n´umero par es un n´umero par. Ahora (P,+) es conmutativa, porque ´esta es una propiedad universal en ZZ. Por tanto (P,+) es un subgrupo de (ZZ,+) (y es abeliano).
4. P es un subanillo de ZZ?
Vimos en (3) queP con + es grupo abeliano. Ahora veamos si cumple la parte del producto. El producto de pares es par porque 2k.2n = 2(k.2n). Por tanto P es cerrado para ·. En cuanto a propiedades tenemos: (P,·) es asociativa por ser propiedad universal de ZZ. Lo mismo para la distributividad de ·sobre +. Por tanto P es subanillo deZZ. Se nota aqu´ı que las propiedades axigidas para·son universales en el anillo y por tanto se trasmiten a cualquier subconjunto.
5. Sea (A,+) un grupo. ({0},+), (A,+) son subgrupos de (A,+) y se llaman lossubgrupos triviales de (A,+).
6. ({0},+,·) y(A,+,·) son subanillos de (A,+,·) y se llaman los subanillos triviales deA.
(a) (nZZ,+) es un subgrupo de ZZ:
Si x, y ∈ nZZ entonces x+y ∈ nZZ porque x = np y y = nq.
x+y =np+nq=n(p+q)∈nZZ. Por tanto + es una operaci´on ennZZ. La suma denZZes asociativa porque ´esta es una propiedad universal en ZZ. En nZZ, + es modulativa porque 0 = n.0 ∈ nZZ y el m´odulo de ZZ act´ua como tal sobre todo elemento de ZZ, en particular los de nZZ. En nZZ, + es invertiva porque −(np) =
n(−p) que est´a en nZZ. As´ı que cada elemento de nZZ tiene su inverso ennZZ. Finalmente + es conmutativa en nZZ porque ´esta es una propiedad universal enZZ.
(b) (nZZ,+,·) es un subanillo de (ZZ,+,·):
Que nZZ es cerrado para · es claro porque (np)(nq) = n(pnq) ∈
nZZ. Que ·es asociativa en nZZ es claro porque es una propiedad universal en ZZ. En cuanto a que ·distribuye sobre + en nZZ se cumple por ser propiedad universal enZZ.
(c) El subanillo nZZ es un ideal de ZZ. En efecto a∈ nZZ si y s´olo si
a=np. As´ı que si b∈ZZ entoncesa.b=n(pb)∈nZZ.
2.8 Proposici´on: Sea (A,+,·) un anillo conmutativo y sea b∈A. Entonces {b.a|a∈A}(denotado b.A) es un ideal de A.
Demostraci´on: En esencia la misma que ennZZdel ejemplo 7.2
2.9 Definici´on: Un ideal de la formab.Ase llama unideal principal yb se llama elgeneradordel ideal.2
Subestructuras de
ZZ
La facilidad para trabajar en ZZ se debe a que todas las subestructuras que hemos mencionado en ZZ coinciden. Esto est´a resumido en el siguiente teorema:
2.10 Teorema: (Fundamental de las subestructuras de ZZ). Sea
B un subconjunto no vacio de ZZ. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes
3. B es cerrado para + y∀a∈B,∀b∈ZZ,a(−b)∈B. 4. B es subanillo deZZ.
5. B es un ideal deZZ.
6. B es un ideal principal de ZZ.
Demostraci´on: Es claro que (6)→(5)→(4)→(3)→(1). Veamos que (1)→(2) y que (2)→(6).
Supongamos (1) y veamos que B es subgrupo de (ZZ,+). Si a∈ B, por hip´otesis, a−a ∈ B → 0 ∈ B. Ahora como 0 ∈ B y si a ∈ B entonces 0−a∈B → −a∈B. Sia, b∈B →a,−b∈B →a−(−b)∈B →a+b∈B. Ahora veamos que (2) → (6). Si B = {0}, B = 0ZZ que es un ideal principal. Si B 6= 0, entonces, B tiene positivos denotados aqu´ı B+. Se tiene que B = nZZ en donde n es el menor positivo de B. Para demostrar esto es suficiente demostrar queB+ =nZZ+. En cuanto a que B+⊆nZZ,sea
b∈B+. Entonces existeq, r∈ZZ+S{
0}tales que b=qn+r donde 0≤r < n. Pero de b = qn+r se recibe que r = b−qn ∈ B. As´ı pues no puede ser que 0 < r < n por la relaci´on de n. As´ı que b = qn∈ nZZ. En cuanto a que nZZ+ ⊆ B+, sea x ∈ nZZ+ entonces x = nt, (t ∈ ZZ+) es decir, que
x=n+n+· · ·+n∈B+. As´ı queB+=nZZ+ y entoncesB =nZZ.2 Al “combinar” ideales enZZse obtiene de nuevo ideales. Puesto que ellos son principales queda abierto el c´alculo de sus generadores. Esto se resuelve por medio del concepto de m´aximo com´un divisor y m´ınimo com´un multiplo cuando las combinaciones de ideales son T
y +.
2.11 Proposici´on: Sean I1 e I2 ideales de un anillo A. Entonces
I1∩I2 es un ideal de A.2
Suma de Ideales
2.12 Proposici´on:
1. Seann, m ∈ZZ. EntoncesnZZ+mZZ={np+mq|p, q∈ZZ} es un ideal de ZZ. M´as generalmente
Demostraci´on:
1. De acuerdo con 2.10 es suficiente ver quenZZ+mZZ6=∅y cerrado para
−. Para lo primero es suficiente notar que tanto n, como m est´an en
nZZ+mZZ. Por ejemplo n=n1 +m0. En cuanto a lo segundo, dados los elementos de (nr1+ms1) y (nr2+ms2) denZZ+mZZ se tiene que (nr1+ms1)−(nr2+ms2) =n(r1−r2) +m(s1−s2)∈nZZ+mZZ. 2. Se deja como ejercicio.2
La caracterizaci´on del generador denZZ+mZZcon base ennym es equi-valente a la determinaci´on del m´aximo com´un divisor de m y n. De la misma manera la caracterizaci´on del generador delnZZT
mZZes equivalente a la determinaci´on del m´ınimo com´un m´ultiplo de n, m. Comenzamos por la definici´on de los t´erminos empleados.
M´ınimo Com´
un M´
ultiplo y M´
aximo Com´
un
Divisor
Recordemos que si a, b∈ ZZ, a, b6= 0, se dice que c ∈ZZ∪{0} es un m´aximo com´un divisor (M.C.D.) de ayb si cumple las dos condiciones
M.C.D. 1. cDaycDb.
M.C.D. 2. SidDaydDbentoncesdDc.
Similarmente h∈ZZ∪{0} se dice un m´ınimo com´un m´ultiplo (M.C.M.) de
ayb si:
M.C.M. 1. aDh ybDh.
M.C.M. 2. aDtybDt entonceshDt.
En cuanto a unicidad del M.C.D., si C1 yC2 son m´aximos comunes divi-sores deayb entoncesC1 =C2. Verifiqu´emoslo.
Algo similar se tiene para m´ınimo com´un m´ultiplo: siC1 yC2son m´ınimos comunes m´ultiplos de a y b entonces C1 =C2. En efecto si C1 es M.C.M. de a y b entonces aDC1 y bDC1 y como aDC2 y bDC2, por definici´on de M.C.M., C1DC2. Ahora siendo C2 el M.C.M. de ay b, entonces, aplicando el com´un divisorC1 se tieneC2DC1. Por tanto, por 2.2 (2),C1 =C2.
Estos conceptos se pueden generalizar as´ı paraA⊆ZZ
2.13 Proposici´on:
1. Existe a lo m´as un entero positivo o ceron que cumple (M.C.D. 1.) ∀a∈A nDa y
(M.C.D. 2.) Si∀a∈A mDa→mDn.
2. Existe a lo m´as un entero positivo o ceron que cumple (M.C.M. 1.) ∀a∈A,aDn.
(M.C.M. 2.) Si∀a∈A,aDn→nDm2
2.14 Definici´on: SeaA⊆ZZ entonces:
1. Si existe un elemento de ZZ+ que cumple M.C.D. 1. y M.C.D. 2. (el cual es entonces ´unico) se le llama el m´aximo com´un divisor de A
y se denota ((A)). Para A = {a, b} se denota ((a, b)) en cambio de (({a, b})).
2. Si existe un elemento deZZ+ que cumple M.C.M. 1. y M.C.M. 2. se le llama el m´ınimo com´un m´ultiplo deAy se denota [A] y paraA={a, b}, [a, b].2
Existencia de M.C.D. y M.C.M.
2.15 Proposici´on:
1. {a1x1+a2x2+· · ·+anxn; con x1, x2, . . . , xn∈ZZ}es un ideal deZZ(se denotar´aa1ZZ+a2ZZ+· · ·+anZZ).
2. a1ZZ∩a2ZZ∩. . .∩anZZes un ideal de ZZ.
Demostraci´on: Aplique inducci´on y use 2.11 y 2.122 Se tiene entonces que existe p, q∈ZZtales que
a1ZZ+a2ZZ+· · ·+anZZ=pZZ y a1ZZ∩a2ZZ∩. . .∩anZZ=qZZ.
Para calcular p yq se tiene que:
2.16 Proposici´on: a1ZZ+a2ZZ+· · ·+anZZ= ((a1, a2, . . . , an))ZZy a1ZZ∩a2ZZ∩. . .∩anZZ= [a1, a2, . . . , an]ZZ.
Demostraci´on: Para la primera se trata de demostrar que: p = ((a1, a2, . . . , an)). Como ai = a10 +a20 +· · ·+ai1 +· · ·+an0 entonces ai∈a1ZZ+a2ZZ+· · ·+anZZ=pZZy por tanto pDai, para cadai. Si por otra parte qDai para cada i, entonces por 3.2(3) qD(a1x1 +a2x2+· · ·+anxn) parax1, x2, . . . , xncualesquiera elementos dea1ZZ1+a2ZZ2+· · ·+anZZn=pZZ. As´ı que qDp. Luego p cumple M.C.D. 1. y M.C.D. 2. y entonces p = ((a1, a2, . . . , an)). Una demostraci´on similar es v´alida para la otra parte.2
Como casos particulares tenemos:
2.17 Corolario: Sia, b∈ ZZ entonces ((a, b)) existe y coincide con el generador de aZZ+bZZ 2
2.18 Corolario: Si a, b∈ZZ entonces [a, b] existe y coincide con el generador deaZZ∩bZZ 2
Algoritmo de Euclides
primos y otro el uso del algoritmo de Euclides. El primero se presenta como ejercicio y el segundo ser´a desarrollado a continuaci´on. Usaremos la no-taci´on tDa, b en el sentido de que tDa y tDb. El algoritmo parte de algo muy simple:
2.19 Proposici´on: En ZZsea a=bq+r. Entonces tDa, bsi y s´olo sitDb, r.
Demostraci´on: Suponga que tDa, b. Ahora r = a−bq que es combinaci´on de a y b. As´ı que por 2.10 (3) tDr. De la misma manera
tDr, b→tDa.2
Note la siguiente consecuencia importante e inmediata: si a = bq +r
entonces ((a, b)) = ((b, r)).
El Algoritmo de una Pareja
Supongamos que para a, b∈ZZ,b6= 0 se tiene:
a = bq1+r1 con 0 < r1 < b
b = r1q2+r2 con 0 < r2 < r1
r1 = r2q3+r3 con 0 < r3 < r2
.. .
rn−1 = rnqn+1+rn+1 con 0 < rn+1 < rn rn = rn+1qn+2.
Como es claro, hay solamente una sucesi´on de este tipo para la pareja (ordenada) (a, b) y puesto que el residuo va disminuyendo, el proceso debe acabar, lo cual sucede cuando el residuo se hace cero. Esta sucesi´on se llama el algoritmo de Euclides de la pareja (a, b). A n+ 1 se le llama la longitud del algoritmoy a rn+1 se le llamael residuo del algoritmo.
2.20 Proposici´on: ((a, b)) es el residuo del algoritmo de (a, b).
Demostraci´on: Si el algoritmo de la pareja (a, b) tiene longitud 1, entonces
Supongamos que el teorema es cierto para parejas con algoritmo de lon-gitud menor o igual a n y veamos que se cumple para parejas de longitud
n+ 1.
Sia=bq+r con 0< r < b. Entonces 1. ((a, b)) = ((b, r)).
2. El residuo del algoritmo de (a, b) es igual al residuo del algoritmo (b, r) cuya longitud es n y se le puede aplicar la hip´otesis de inducci´on. Se tiene pues que ((a, b)) = ((b, r)) = residuo de (b, r) = residuo de (a, b).2
Ejemplo: Calculemos ((321,27)). Hallamos primero el algoritmo
Algoritmo de (321,27)
321 = 27×11 + 24 27 = 24×1 + 3 24 = 8×3 + 0.
Se tiene que la longitud del algoritmo es igual a 2 y el residuo del algoritmo es igual a 3. As´ı que ((321,27)) = 3.
N´
umeros Primos
2.21 Definici´on:
1. a∈ZZ es primo si|a| 6= 0,|a| 6= 1 y sibDa → |b|=|a|´o |b|= 1. 2. Sia1, a2, . . .,an∈ZZ−{0}se dice primos relativos si ((a1, a2, . . . , am)) =
1. 2
Note que si un elemento de un anillo A tiene inverso multiplicativo en-tonces es un factor de todo otro elemento deAy puede aparecer como factor cuantas veces uno desee. Por ejemplo siatiene inverso entonces
r =a.1 a.r.a.
1
a.
“elemento primo” se inicia por precisar que no puede ser invertible. Esto es lo que pretende la restricci´on|a| 6= 1 en 2.21, pues enZZ,aes invertible si y s´olo si |a|= 1 (demu´estrelo).
2.22 Proposici´on: (Propiedades elementales de los n´umeros primos y primos relativos).
1. aybson primos relativos si y s´olo si existex, y∈ZZ, tales queax+by= 1.
2. Si ((a, b)) = 1 yaDbcentoncesaDc. 3. Sip es primo yp6Db → ((p, b)) = 1.
4. p es primo si y s´olo si (p6= 0 yp=6 ±1pDab → pDa ´opDb).
Demostraci´on:
1. ((a, b)) = 1 ↔ aZZ+bZZ=ZZ. As´ı que en tal caso con 1∈ZZ, existen
x, y∈ZZtales que ax+by = 1. En el otro sentido, siax+by = 1 →
1∈a|Z+bZZ= ((a, b))ZZ. As´ı ((a, b))D1. Por lo tanto ((a, b)) = 1. 2. Porque si 1 = ((a, b)) entonces 1 = ax+by. Si multiplicamos la
igualdad por c, tenemos c = cax+cby y como aDa, bc tenemos aDc
(propiedad 2.3 (3)).
3. Sea k un factor de p yb. Entonces k= 1 ´o k=p porque p es primo. Es decir que ((p, b)) = 1 ´o ((p, b)) = p. Veamos que ((p, b))6= p. De ser igual,pDb lo cual, contradice la hip´otesis de que ((p, b)) = 1. 4. ←) Suponga p primo y quepDaby veamos pDa´o pDb. Suponga que
p6Dase tiene que pDb por 2.22(1).
→) Suponga que p es tal que pDab → pDa ´o pDb (con p, a, b no negativos) y veamos que p es primo. Sea p=ab, entonces pDab. As´ı quepDa´opDb. Como por hip´otesisaDpybDpsipDaentoncesa=p
y sipDb entoncesp=b. As´ı quep es primo.2
2.23 Definici´on: SeaI un ideal de un anillo A. Se dice que I es un ideal primo si para todo a, b∈A,a.b∈I implica a∈I ´o b∈I.2
2.24 Ejemplos de Ideales Primos:
1. En un anillo A,A mismo es un ideal primo.
2. Un anilloA es un dominio si y s´olo si{0}es un ideal primo deA. 3. ComoZZes un dominio {0} es un ideal primo2
Adem´as:
2.25 Proposici´on: Para r6= 0,rZZ es primo si y s´olo sir es primo.
Demostraci´on: →) SupongamosrZZprimo y veamos que sirDabenton ces rDa ´orDb. Equivalentementeab∈rZZimplica que“a∈rZZ´o b∈rZZ”. Pero la ´ultima afirmaci´on es cierta puesto querZZes primo. ←) Supongamos
r primo y veamos que rZZ es primo. Siab∈rZZentoces rDab. As´ı que rDa
´
o rDb(por serr primo). O sea quea∈rZZ´o b∈rZZ.2
La relaci´on entre M.C.D. y M.C.M. simplifica c´alculos cuando uno de ellos se tiene. En efecto
2.26 Teorema: Seaa, b∈ZZ− {0}, entonces [a, b]((a, b)) =ab.
Demostraci´on: Sea c = ((a,bab)). Que ((a,bab)) es un entero, es claro. Demostremos que [a, b] = ((a,bab)). Como ((a,bb)) y ((a,ba)) ∈ZZ entonces aDcy
bDc. Ahora sea d tal queaDb y bDdveamos que cDd. Como aDd y bDd,
abDad y abDbd luego adD(adx+bdy= d(ax+by)) ∀x, y ∈ZZ y por tanto tambi´en adDb.((a, b)). As´ı qued((a, b)) =kaby por tantod=k((a,bab)) =kc. Es decircDd.2
2.27 Corolario: Si ((a, b)) = 1 → [a, b] = ab. Damos ahora la descomposici´on de un n´umero en n´umeros primos2
Teorema de Descomposici´
on Unica
1. h=p1p2. . . pn conpi≤pj sii < j. 2. Sih=q1q2. . . qm conqi≤qj sii < j, entoncesn=my pi=qi ∀i= 1,2, . . . , n.
Demostraci´on:
1. Se usa inducci´on y se recuerda que bi´enhes un n´umero es primo, caso en el cual ´el mismo es su descomposici´on, o no lo es , caso en el cual tiene factores no triviales cada uno de los cuales es menor que ´el y descomponible por hip´otesis de inducci´on.
2. Dados de manera ordenada si p1p2. . . pn = q1q2. . . qm, entonces p1 (respectivamente q1) divide a q1q2. . . qm (respectivamente p1p2. . . pn) de donde p1 = qi (respectivamente q1 = pj) luego p1 = qj ≥ q1 =
pj ≥p1 → p1 = q1. Cancelando se tiene p2p3. . . pn =q2q3. . . qm y el proceso se repite. Si por ejemplo m > n entonces eventualmente
qn+1. . . qm= 1 lo cual no puede ser.2
2.29 Corolario: (Descomposici´on normal de un n´umero). Todo n´umero positivo distinto de 1 se puede escribir de una ´unica manera n =
pn1
1 p n2
2 . . . pntt. En donde pi es primo ypi < pj si i < j2
2.30 Proposici´on: Para n6= 0,n∈ZZ ((n, n+ 1)) = 1.
Demostraci´on: Sea k ∈ ZZ+ tal que kDn y kD(n+ 1). Entonces
kD((−1)n+ 1(n+ 1)) → kD1. As´ı quek= 1 2
2.31 Proposici´on: Existe un n´umero infinito de n´umeros primos.
Ejercicios
1. Demuestre que sir es primo y rDn−1→rDn
2. Muestre que ((n, m)) = 1↔((np, mq)) = 1, donde p, q∈IN.
3. (a) SeaQI ∗=QI − {0} yA={f:QI ∗→QI ∗|f preserva el producto}. Considere la operaci´on ♦en A as´ı (f♦g)(x) =f(x).g(x).
Muestre que si . denota la composici´on de funciones, entonces (A,♦, .) es un anillo.
(b) Supongamos t:P → QI ∗ (donde P denota el conjunto de primos positivos) una funci´on. Defina ft:QI ∗ →QI ∗ as´ı
Six =±pn1
1 p n2
2 . . . pnss entonces ft(x) =±t(pn11). . . t(ps)ns. Para n, m∈ZZ,ft(n/m) =ft(n)/ft(m).
D´e ejemplos de t(siquiera 2) y el ftrespectivo. Calcule, al menos, la imagen de 3 n´umeros no primos. Verifique queA es un (anillo)no conmutativo. (c) D´e un ejemplo de un subanillo hAque no sea un ideal.
4. Demuestre que sinymson enteros positivos el m´aximo com´un divisor es el producto de potencias de primos comunes en la descomposici´on de n y m, tomados con el menor exponente de los dos y el m´ınimo com´un m´ultiplo es el producto de los primos, las dos descomposiciones tomadas con el mayor exponente (el cual puede ser cero). Ay´udese del hecho que un n´umero n que se puede escribir como n = Q∞
i=1p ni
i en donde pi < pj si i < j,pi primo para todo iy ni = 0,1, . . . yn1 = 0 para casi todo i. Inicie escribiendo as´ı 7875 por ejemplo y notando cuando uno de estos productos divide a otro y cuando dos son iguales. 5. (a) D´e ejemplos deA⊆ZZinfinito con ((A)) = 1 y otro con ((A))6= 1. (b) Muestre que si A ⊆ ZZ, ((A)) 6= 1 ↔ A est´a contenido en un
ideal no trivialde ZZ.
(c) Sea|A|={|a|/a∈A}. Entonces ((|A|)) = ((A)) y [|A|] = [A]. (d) SiA es infinito entonces [A] es cero.
(e) SiA6={0} y 0∈A entonces [A] es cero. 6. Demuestre que
es una operaci´on asociativa, conmutativa, no modulativa y no cance-lativa.
7. Demuestre que
ZZ− {0} ×ZZ → ZZ (a, b) 7→ [a, b]
es una operaci´on asociativa, conmutativa y no cancelativa. Discuta la posibilidad de que [, ] sea modulativa.
8. Halle (si existen) elementosx, y ∈ZZ tales que 5x+ 12y = 1. Adem´as hallex1, y1∈ZZ tales que 513x1+ 12y1 = 1.
9. (a) Muestre que enZZ+, ((t, p)) =t ↔ pes m´ultiplo de t.
(b) Sea A ⊆ ZZ; sea p ∈ ZZ. Denotemos ((p, A)) = {((p, a))|a ∈ A}. Calcule ((10,ZZ+)).
(c) Demuestre que pes primo si y s´olo si ((p,ZZ)) ={1, p}.
10. Muestre que ((n1, n2, . . . , np)) = 1 si y s´olo si existenx1, x2, . . . , xp ∈ZZ tales que n1x1+n2x2+· · ·+npxp= 1.
11. Decimos que un conjuntoA es primo (relativo) si ((A)) = 1. Muestre que si ((A)) =m, m6= 0 entonces mA es primo, en donde mA ={a
m|a∈ A}.
12. En cada caso diga si paran, m∈ZZexistenx, y∈Atal quenx+my = 1 y h´allelos
(a) n= 34, m= 35. (b) n= 321, m= 443.
(c) n= 729, m= 341.
13. Demuestre que sinDmentonces∀a, b∈ZZ(an−bn)D(am−bm). Dis-cuta la validez de la afirmaci´on precedente en caso de que, en cambio de nDm, se tenga n≤m.
14. Deuestre que los n´umeros reales 1/n no pueden tener una expansi´on decimal finita sines primo distinto de 2 y 5 (Sugerencia: muestre que todo n´umero que tiene una expansi´on decimal finita es de la forma
15. Calcule
[m1, m2]
m2
((m1,m2)),[m1, m2]
.
16. Un dominio se dice “de ideales principales” si todo ideal es principal. SeaDun dominio. Muestre que las afirmaciones que siguen son equi-valentes:
(a) Des un dominio de ideales principales.
(b) Para todo idealI de Dexiste una funci´on biyectivah: I →Dtal que
i. hpreserva la suma.
ii. h(ai) =ah(i) ∀a∈Dy∀i∈I.
17. Complete la demostraci´on del algoritmo de la divisi´on (proposici´on 2.4) para los casosa >0, b >0; a <0,b <0. Apl´ıquelo a los casos:
(a) a= 3211, b=−527. (b) a=−3211, b= 527.
(c) a=−3211, b=−527.
18. Sea A un anillo modulativo (1 ∈ A). Muestre que el ´unico ideal de
A que contiene a 1 esA. Muestre que si A es un campo entonces sus ´
unicos ideales son los triviales.
19. D´e una condici´on necesaria y suficiente para que la ecuaci´onax2+bx+
c= 0 enZZ, tenga soluci´on en ZZ.
20. Considere el conjuntoM2 de las matrices
a b
c d
cona, b, c, d∈IR y con el producto
a b
c d
r s
t u
=
ar+bt as+bu cr+dt cs+du
CONGRUENCIA EN ZZ
En ´este cap´ıtulo vamos a estudiar un caso especial de tipos de igualdad matem´atica, que respeta una operaci´on, por lo cual se induce una nueva estructura que preserva propiedades de la original, m´as otras que se desean obtener. Las estructuras obtenidas se conocen como “enteros m´odulop” (p
un entero positivo).
Relaciones y Operaciones Compatibles
3.1 Definici´on: SeaAun conjunto y∼una relaci´on entre elementos de A. Decimos que ∼es una relaci´on de equivalencia si es:
1. Reflexiva: ∀a∈A,a∼a.
2. Sim´etrica: ∀a, b∈A, si a∼b entoncesb∼a.
3. Transitiva: ∀a, b, c∈A, si a∼b yb∼centoncesa∼c.
3.2 Definici´on: Sea ∼ una relaci´on de equivalencia en A y∗ una operaci´on en A. Decimos que∼y∗son compatibles sia∼b → a∗c∼b∗c
yc∗a∼c∗bpara todoa, b, c∈A 2
3.3 Ejemplo: Sea∼la relaci´on definida enQI − {0}as´ı: a∼bsi y s´olo si a2 =b2 2
1. a∼aes equivalente a a2 =a2 lo cual es cierto para todo a∈QI . 2. a ∼ b implica b ∼ a, ∀a, b ∈ QI . En efecto a ∼ b es equivalente a
a2=b2 y esto es equivalente a b2=a2, es decir b∼a.
3. a∼b yb∼c→ a∼c,∀a, b, c∈QI . Porque a∼bes equivalente a que
a2 =b2 yb ∼c es equivalente a que b2 = c2; por transitividad de =,
a2=c2, es decira∼c. Por otro lado:
1. ∼es compatible con el producto enQI − {0}. En efecto seaa∼by sea
x∈QI − {0}. Entonces (x.a)2 =x2.a2=x2.b2= (x.b)2 de manera que
xa∼xb y por conmutatividad de.en QI − {0}se cumple ax∼xb. 2. ∼ no es compatible con la suma en QI − {0}. En efecto 1∼ −1. Sin
embargo es falso que 1 + 1∼1 + (−1) ya que (1 + 1)2 6= (1 + (−1))2
3.4 Notaci´on:
1. Si ∼ es una relaci´on de equivalencia en A y a ∈ A denotamos [a] =
{x∈A|x∼a}. [a] se llamar´a “la clase de equivalencia dea, relativa a la relaci´on ∼”.
Cuando ´esta ´ultima es clara, se dir´a simplemente que “[a] es la clase de equivalencia dea”.
2. Sea Ai coni∈ I una familia de conjuntos. Llamamos “la reuni´on de la familia Ai con i∈I” y lo denotamos Si∈IAi ´o SAi∈I al conjunto formado por todos los elementos de los Ai con i ∈ I. As´ı que x ∈ S
i∈IAi si y s´olo si existe i∈I tal que x∈Ai.
3. La familia {Ai}i∈I se dice disjunta si y s´olo sii6=j implica que Ai∩ Aj = ∅ para i, j ∈ I. Cuando deseamos indicar la reuni´on de una familia que es disjunta , en lugar del s´ımbolo S usamos[◦
Con ´estas convenciones el hecho de que dada una relaci´on de equivalencia en un conjunto A, este quede partido, se resumen en las partes (2) y (3) de la siguiente proposici´on.
1. a∼b si y s´olo si [a] = [b]. 2. [a]6= [b] entonces [a]T[b] =∅. 3. A=[◦ {[a]|a∈A}= [
a∈A
◦ [a].
Demostraci´on: Sea∼una relaci´on de equivalencia enA. Seana, b, c
elementos de A.
1. Como∼es una relaci´on de equivalencia, a∼bsi y s´olo si [a]⊆[b]. En efecto:
→) Suponga a∼ b. Sea c ∈ [a]. Entonces c∼ a, luego, por transi-tividad de ∼,c∼b y por tanto c∈[b]. De donde [a]⊆[b].
←) Como a∈[a]⊆[b] entoncesa∈[b], luegoa∼b.
Haciendo uso de la propiedad sim´erica de ∼ y de la implicaci´on de-mostrada se completa f´acilmente la demostraci´on de (1).
2. Basta demostrar que si [a]∩[b] 6= ∅ entonces [a] = [b], que es la proposici´on contrarrec´ıproca de (2). Si [a]∩[b]6= ∅, existe un x ∈ A
tal que x∈ [a] y x∈ [b]; as´ı que x ∼ay x∼b, por tanto a∼b (por transitividad de ∼) de donde [a] = [b] por (1).
3. a ∈[a] para todo a ∈ A, as´ı que a pertenece al menos a una clase y por tanto est´a en la reuni´on de todas ellas. As´ı que S
a∈A[a]⊆A. Se tiene pues la igualdad 2
Nota: (2) y (3) equivalen a que la familia de todos los subconjuntos [a] deteminados por los elementos deA, seg´un la relaci´on∼, es una partici´on de A.
El rec´ıproco de esta proposici´on tambi´en es cierto. Este hecho, explicado y complementado, aparece en el ejercicio 9 de este cap´ıtulo.
3.6 Definici´on: SiA es un conjunto y∼es una relaci´on de equiva-lencia, al conjunto {[a]|a∈A} se llama el conjunto cociente deA por ∼, y se le denotaA/∼2
3.7 Proposici´on: Sea ∗ una operaci´on en A y ∼una relaci´on de equivalencia. Si∗y∼son compatibles entonces la f´ormula “[a]∗[b] = [a∗b]” para todoa, b∈A define una operaci´on , todav´ıa denotada∗, enA/∼.
Demostraci´on: La propiedad clausurativa es clara. En cuanto a la propiedad uniforme dice, en uno de sus casos que [a] = [b] → [a]∗[c] = [b]∗[c] ´
o traduciendoa∼b → a∗c∼b∗c que se cumple por compatibilidad de∗
y∼. 2
La siguiente proposici´on muestra las propiedades de ∗ en A que pasan a
∗ deA/∼.
3.8 Proposici´on: Sea ∗ una operaci´on en A y ∼ una relaci´on compatible con ∗. Se tiene:
1. Si∗ es asociativa enA, entonces∗ es asociativa en A/∼. 2. Si∗ es conmutativa enA, entonces∗es conmutativa en A/∼. 3. Si∗ es modulativa enA, entonces∗ es modulatica enA/∼. 4. Si∗ es invertiva enA, entonces∗ es invertiva enA/∼.
5. Si♦es otra operaci´on enA, compatible con∼y si♦distribuye sobre
∗ enA, entonces♦distribuye sobre∗ en A/∼2
3.9 Corolario: Sean ∗ y ♦ operaciones en A, ∼ una relaci´on de equivalencia y ∗,♦compatibles con∼ enA. Entonces
1. Si (A,∗) es un grupo, tambi´en lo es (A/∼,∗).
2. Si (A,∗,♦) es un anillo, tambi´en lo es (A/∼,∗,♦) 2
Nota: El Corolario 3.9 indica que las propiedades de grupo y anillo pasan al cociente. En cuanto a dominio, dominio ordenado y dominio bien ordenadonopasan al cociente como veremos en el siguiente ejemplo.
Los Enteros M´
odulo
q
se define n∼m si y s´olo si n−m ∈ qZZ. Equivalentemente si n−m =qk
conk∈ZZ(equivalentemete siresiduo de n÷q = residuo de m÷q). Se verifica f´acilmente que la relaci´on es compatible con + y ×. Se tiene pues un cocienteZZq=ZZ/∼con operaciones [n] + [m] = [n+m] y [n].[m] = [n.m]. EnZZ4 las tablas ser´an entonces:
+ [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2]
× [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [1] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1]
Como + y × en ZZ4 se han definido respectivamente por + y × de ZZ, se sigue inmediatamente que:
1. +, ×son asociativas, modulativas, conmutativas enZZ4. 2. ×distribuye sobre + enZZ4.
3. (ZZ4,+) en un grupo abeliano.
Como ilustraci´on veamos de manera directa un c´alculo de verificaci´on de propiedad asocitiva enZZ4. Veamos la igualdad: [2] + ([1] + [3]) = ([2] + [1]) + [3]. Calculemos cada lado de la igualdad.
[2] + ([1] + [3]) = [2] + [0] = [2] ([2] + [1]) + [3] = [3] + [3] = [2].