MODELO DE RESPUESTAS PREGUNTAS y RESPUESTAS

46 

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Texto completo

(1)

ALGEBRA I(752)

Vicerrectorado Académico Fecha: 5-5-2007

Área de Matemática EDUC. MATEMATICA

MODELO DE RESPUESTAS

PREGUNTAS y RESPUESTAS

OBJ 1 PTA 1

Demostrar por inducción matemática( o aplicando otro método) que si un conjunto A tiene n

elementos entonces el conjunto de partes(subconjuntos) de A tiene 2n elementos.

Sugerencia: Aplique cuidadosamente inducción matemática observando que ocurre cuando añadimos un elemento al conjunto que tenemos. También es posible demostrar el resultado calculando e interpretando adecuadamente 2n=(1+1)n y aplicando el binomio de Newton. Solución:

Vamos a resolver e problema de las 2 maneras propuestas.

a) Recordamos un poco de combinatoria: si tenemos un conjunto de m elementos

podemos formar entonces m

j

⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ grupos de j elementos, j<m, en el caso que el orden

no es relevante. Es decir que si tenemos un conjunto de n elementos podemos

formar 0

n

⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ conjuntos de 0 elementos ( el subconjunto vacío), 1

n

⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ subconjuntos de

n elementos, etc. En total tendremos

1 n k n k = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

subconjuntos, pero

0 1 1 0

(1 1) 1 1 1 1 1 1

0 1

n n n n n n n

n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ L ⎝ ⎠ = 1

n k n k = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(2)

b) Hagamos la prueba por inducción. Si el conjunto es el φ(vacío) este solo tiene un subconjunto, el mismo, luego P(φ) tiene un elemento pero 1=20. Supongamos que el resultado es cierto para n=k. Es decir el número de subconjuntos de un conjunto de tamaño k es 2k. Agreguemos al conjunto un elemento más. Obviamente podemos formar los subconjuntos anteriores y además aquellos donde aparece el nuevo elemento. Es decir tendremos 2k+2k subconjuntos pero 2k+2k=22k=2k+1

Esto demuestra el resultado por inducción.

¿Sabía Ud qué?

La teoría de conjuntos fue desarrollada, de manera intuitiva por el matemático alemán George Cantor(1845-1918). En particular Cantor se intereso en los conjuntos infinitos y generalizo el resultado del problema anterior a estos conjuntos.

George Cantor

Observe que si n es cualquier se cumple la desigualdad estricta 2 ,n 0,1, 2,

n< n= L

Es decir el conjunto de partes es de mayor “tamaño” o tiene más elementos que el conjunto original. El tamaño de un conjunto es lo que Cantor designo por el cardinal del mismo. Cantor demostró que el conjunto de partes de un conjunto infinito tiene un cardinal mayor que el conjunto original. Esto demuestra que es imposible hablar de un mayor tamaño del infinito: el infinito constituye una escalera de infinitos peldaños ascendentes, que no tiene fin a su vez.

OBJ 1 PTA 1

(3)

ESCOJA SOLO UNA DE LAS DOS PREGUNTAS PROPUESTAS PARA EVALUAR EL

OBJETIVO 1

Solución:

Si B y C están P(A) esto significa que B⊂A,C⊂A. Tenemos que ver que B∪ ⊂C A. Tomemos un x∈ ∪ ⇒ ∈B C x B o x∈ ⇒ ∈C x A. Esto concluye la demostración. OBJ 2 PTA 2

Consideremos H el conjunto de todos los hombre (y mujeres). Definimos en H la relación “ser hermano de” y decimos aRb si y solo si a es hermano de b. Por hermano entendemos tener al menos un progenitor en común.

a) ¿Es esta relación reflexiva? b) ¿Es simétrica?

c) ¿Es transitiva?

Criterio de corrección: Debe contestar razonadamente para lograr crédito por su trabajo. Para lograr el objetivo al menos 2 de las tres partes deben estar respondidas de manera correcta.

Solución:

a) La relación es reflexiva ya que mis dos progenitores coinciden.

b) La relación es simétrica ya que si yo tengo un progenitor en común con mengano entonces el tiene un progenitor común conmigo.

c) La relación es no transitiva ya que yo puedo tener el padre en común con mengano y mengano tener la misma madre que zutano pero yo puedo tener ningún progenitor en común con zutano.

OBJ 3 PTA 3

Tomemos los enteros Z y definimos en Z la suma ⊕ de la siguiente manera 2 2

a⊕ =b a+ bab

a)¿Tiene elemento neutro esta operación? b)¿Es conmutativa?

(4)

Criterio de corrección: Debe contestar razonadamente para lograr crédito por su trabajo. Para lograr el objetivo al menos 2 de las tres partes deben estar respondidas de manera correcta.

Solución:

La operación es obviamente simétrica en los argumentos a,b luego es conmutativa. No tiene elemento neutro ya que si

2 2 2 0

a⊕ =b a+ b ab− = ⇒ −a a ab+ b= y esto no se cumple para cualquier valor de a.

Dejamos al estudiante UNA verificar si la operación es o no asociativa. OBJ 4 PTA 4

Tomemos un grupo finito G, supongamos que el grupo es conmutativo. Sea x un elemento de G. Demostrar que alguna potencia de x debe ser igual al elemento neutro del grupo. ¿Es esto cierto si omitimos la hipótesis que el grupo sea finito?

Sugerencia: Demuestre primero que en algún momento xj =xm siendo j<m, usando esta relación el resultado sigue.

Criterio de corrección: Debe contestar razonadamente para lograr crédito por su trabajo. Para lograr el objetivo debe contestar completamente la pregunta. Solución:

Esto puede ser visto como una aplicación del principio del palomar de Dedekind.

Richard Dedekind(1831-1916)

(5)

j m

x =x

siendo

j<m

Pero esto implica, multiplicando por x-j , a ambos lados de la última ecuación, que xm j− =e

Y esto era lo que queríamos demostrar.

Si el grupo es infinito el resultado es falso. Tomemos por ejemplo en el grupo aditivo de los enteros Z, las diferentes potencias de 2: 2,4,6,8,10….obviamente no regresemos jamás a 0, que es el elemento neutro del grupo.

¿Sabía Ud qué?

El principio del palomar es un caso particular de una teoría muy general, que se extiende a conjuntos finitos e infinitos, denominada teoría de Ramsey.

Frank Ramsey(1903-1930)

Frank Ramsey fue un filósofo y matemático ingles lamentablemente muerto a los 26 años. Desarrollo una teoría demostrando que el desorden absoluto es

imposible. Para más detalle consulte los artículos en http://www.math.ucsd.edu/~fan/ron/papers/papers.html

En particular el artículo de 1990 aparecido en la revista Scientific American.

OBJ 5 PTA 5

Consideremos el anillo de todos los enteros Z. Estudie la estructura de los subanillos de Z tratando de caracterizar los mismos.

(6)

Solución:

Estos subanillos son esencialmente los múltiplos de un entero fijo. Veamos esto en detalle. Tomemos el menor elemento positivo del subanillo. Este elemento existe en virtud del principio de inducción. Llamémoslo k. Sea j otro elemento positivo del subanillo. Dividamos j por k, afirmamos que j es múltiplo de k. De no serlo

j=kt+s con 0< <s k pero , contradiciendo que k era el menor elemento positivo del anillo.

Una corta reflexión nos permite concluir que todos los elementos negativos deben ser también múltiplos de k. El estudiante UNA debe proveer el argumento para demostrar este hecho.

OBJ 6 PTA 6

Demuestre que el anillo A[X] no es un cuerpo para cualquier anillo A. Solución:

Tomemos el polinomio p(x)=ax con a elemento no nulo del anillo. Para que A[X] sea cuerpo debemos suponer que A debe ser un anillo con identidad, es decir que podemos tomar el polinomio p=x. Este polinomio no tiene inverso multiplicativo ya que el grado de

pq debe ser superior al grado de p

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...