Ecuación general de la circunferencia

Secciones Cónicas

Se denomina sección cónica a la curva de intersección, que se obtiene al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en cuatro tipos: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.

Circunferencia

La circunferencia es un contorno continuamente curvado (puntos cuya inclinación es variable), cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto central, llamado centro del círculo. Dentro de las secciones cónicas es aquella que es paralela a la base del cono.

Elementos

 Centro: punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.  Radio: segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

 Diámetro: el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro.

 Cuerda: segmento (Recta Secante) que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son un diámetro.

 Recta Tangente: recta que toca a la circunferencia en un sólo punto.

 Punto de Tangencia: punto de contacto de la tangente con la circunferencia.  Arco: segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

Longitud de la Circunferencia 2r

L

Centro Diámetro

Radio

Cuerda Recta Tangente

Representación Gráfica

Ecuación en Coordenadas Cartesianas (Formas de Ecuación)

La circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

   

2 2 2 r k -y h

-x  

Despejando la Y para Graficar

 

2 2

 

2

h -x r k

-y   → y-k r2

 

x-h2 → yk r2

 

x-h2 Que tiene origen en la longitud del Radio (distancia entre dos puntos)

   

x-h2 y-k2 r

Ecuación general de la circunferencia

Proviene de desarrollar la ecuación anterior y agrupar algunos términos

   

2 2 2

r k -y h

-x  

2 2 2

2 2

r k 2ky -y h 2hx

-x    

0

 



 2 2 2 2

2

r -k h 2ky -2hx -y x

-2h D

2k E

-2 2 2

r -k h

F 

0 F Ey Dx y

x2 2    

Ejemplo 1:

Encontrar la ecuación de la circunferencia de centro en C (-3, 2) y radio 6.



x3

  

2  y-22 36

36 4 4y y 9 6x

x2   2  

0 23 4y 6x y

x2



2  



Ejemplo 2:

Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto de intersección de las rectas:

x – 2y – 1 = 0 x + 3y – 6 = 0

1. Obtener intersección (algún método de resolución de sistema de ecuaciones) 1

2y

x 

0  

1 3y-6 2y

0



5 -5y

5 5 y

1 y

 

1 1 2

x 

3 x

Centro (3,1)

2. Obtener Radio (calculando con la fórmula de distancia entre dos puntos)

   

2 2

0 -1 0 -3

d 

1 9

d 

10 d

3. Obtener la Ecuación



x3

  

2  y-12 10

10 1 2y y 9 6x

x2   2  

0 2y 6x y

Ejemplo 3:

Encontrar la ecuación de la circunferencia, donde su diámetro está formado por el segmento de los extremos (-1, -3) y (7, -1).

1. Obtener el Punto medio del Segmento para encontrar el Centro de la Circunferencia

2 1 -7 Pmx

2 3 -1 -Pmy Centro (3, -2)

2. Obtener Radio (calculando con la fórmula de distancia entre dos puntos)

  

2



2

1 2 -7 -3

d  

1 16

d 

17 d

3. Obtener Ecuación



x3

 

2  y2



2 17

17 4 4y y 9 6x

x2   2



 

0 4 4y 6x y

x2 2 



 

Ejemplo 4:

Encontrar las coordenadas del centro y el radio de la siguiente Ecuación

0 6 – 14y 6x + y +

x2 2  

1. Escribir la ecuación en una forma equivalente para agrupar términos



x2+6x

 

+ y2 14y



6

2. Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto de cada agrupación



x2+6x9

 

+ y2 14y49



6949

3. Factorizar para encontrar la ecuación original



x +3

 

2+ y 7



264

4. Obtener los valores correspondientes

Ejemplo 5:

Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (0, 6), B (4, -2) y C (9, 3). 1. Sustituir en la Ecuación General de la Circunferencia cada uno de los puntos para obtener 3

ecuaciones 0 F Ey Dx y

x2 2    

0 F 6 E 0 D 6

02  2      0

F 6E

36   Ecuación 1

 

-2 D 4 E

 

-2 F 0

42 2    

0 F E 2 -D 4 4

16     

0 F 2E -4D

20   Ecuación 2 0 F 3 E 9 D 3

92  2       0 F 3E 9D 9

81    

0 F 3E 9D

90    Ecuación 3 2. Resolver el sistema de ecuaciones

0 F 6E

36  

0 F 2E 4D

20   



0 8E 4D

16   Ecuación 4 0

F 6E

36  

0 F 3E 9D

90   



0 3E 9D

54  

 Ecuación 5

9D 54

3E 

3D 18

E 

Sustituyendo



18 3D



0 8

4D

16   

8 D

Sustituyendo

 

-8 3 18

E 

6 E

Sustituyendo

 

6 F 0 6

36   

0 F

3. Sustituir en la Ecuación General de la Circunferencia los valores obtenidos 0

6y 8x y

Ejemplo 6:

Encontrar la ecuación de la circunferencia que sea Tangente a la recta 3x – 4y + 30 = 0, y de centro C (-4, -3).

1. Calcular el radio utilizando la distancia de un punto a una recta

2 2 1 1 B A C By Ax d     →

   

   

2 2

4 -3 30 3 -4 4 -3 d

- 

 → d = 6

2. Obtener la ecuación con los datos



 

2



2 2

6 3 y 4

x   

36 9 6y y 16 8x

x2   2   

0 11 6y 8x y

x2 2   

Ejemplo 7:

Determinar el punto común a la circunferencia x2y2 9 y a la recta 2x 5y90 1. Resolver por medio de Sistema de Ecuaciones

5 9 2x

y 

9 5 9 2x x 2

2_  _













_→ 9 5 9 5 2x x 2

2_{  }













_→ 9 5 81 5 36x 5 4x x 2

2_{   }

0 5 45 5 81 5 36x 5 4x 5

5x2 2

   

 → 0

5 36 5 36x 5 9x2  

 → 9x236x360

2. Factorizar para encontrar las raíces 0

36 36x

9x2    →



3x6



2 0 →



3x6



3x6



0 0

6

3x 

6 3x 3 6 x 2 x

3. Sustituir en el despeje inicial

 

5 9 2 2

y  →

5 9 4

y  →

5 5 y  →

2 1

5 5

y  → 2

1

5 5

y   → 2

1

5

Ejemplo 8:

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 y22x2y23 en el punto T (4,-5)

1. Encontrar el centro de la circunferencia 23

2y 2x y

x2 2   



x22x

 

 y22y



23



x22x1

 

 y2 2y1



2311



x1

  

2  y12 25

Centro (1, -1)

2. Calcular la pendiente de la recta desde C a T

1 1

x x

y y m

  

1 4

1 5 m

  

 →

3 4 m 

3. Encontrar la ecuación de la recta con el punto T y la pendiente



1



1 mx x

y

y  



x 4



4 3 5

y  

12 3x 20

4y  

0 32 4y

3x  

Ejemplo 9:

Encontrar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones: C1: x2y22x4y0

C2: x2y22x6y0

Parábola

Se define como el lugar geométrico donde los puntos son equidistantes desde una recta (directriz) y un punto fijo llamado foco, (es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz). Todas las parábolas son similares, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.

Elementos

 Foco: es el punto fijo F.

 Directriz: recta perpendicular al eje.

 Parámetro: distancia del foco al vértice, se designa por la letra p.  Eje: recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.  Vértice: punto de intersección de la parábola con su eje.

 Radio Vector: segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Eje Foco

D

ire

c

tr

iz

Vértice

Representación Gráfica

Gráfico de la Función y2=8x, siendo p (parámetro) la distancia del Foco al Vértice

Ecuaciones de la Parábola

Parábolas verticales con vértice en el origen 4py

x2 

Parábolas horizontales con vértice en el origen 4px

y2 

Que tiene su origen en la localización de cualquier punto en la parábola, y dado que tiene la misma distancia desde la Directriz un punto cualquiera al Foco queda:

   

2 2



  

2 2

y -y p x 0

-y p

-x    

    

2 2

  

2 2

y -y p x 0 -y p

-x    

2 2

2 2 2

p 2px x

y p 2px

x



  





2 2

2 2

2

p 2px x

p 2px x

y 











4px y2 

Ejemplo 1:

Encontrar la ecuación de la parábola que tiene vértice en el origen, abre hacia abajo y pasa por el punto (3, -7)

1. Determinar el tipo de ecuación a utilizar 4py

x2  Ya que dice que abre hacia abajo 2. Sustituir en la ecuación el punto dado

 

-7 4p 32 

28p 9

3. Encontrar la distancia del Foco al Vértice y sustituir

28 9 p

y 28

9 4

x2













_



y 28 36

x2  Simplificando y

7 9 x2 

4. Graficar para comprobar

2

Ejemplo 2:

Encontrar la posición del Foco y ecuación de la directriz de la siguiente parábola y2 3x 1. Sustituir en la ecuación simplificada

3x

y2  ↔ y2 4px Por lo tanto 3

4p

4 3 p



2. Dado que es horizontal las coordenadas del Foco son F (p , 0)













_{ ,0}

4 3 F

3. La ecuación de la directriz será x_d p

Ejemplo 3:

Encontrar la ecuación de la parábola que tiene su foco en F (2, 0), y la ecuación de su directriz está definida por x=-2

1. Determinar la ecuación a utilizar por su foco es horizontal, sustituyendo el valor de p por x de la coordenada del foco

 

2 x 4 y2 

8x y2 

2. Graficar para comprobar 8x

Parábola con vértice fuera del origen

Si en el plano cartesiano se establecen nuevos ejes paralelos a los ya existentes, entonces ha habido una "traslación de ejes". Por lo cual el nuevo origen del sistema será O’ (h, k), de donde

un punto P (x, y) {inmóvil} que tenia de origen O (0, 0) tendrá las coordenadas de P’ (x’, y’) referentes al sistema x’, y’.

Por lo que su posición será (considerando el punto P como el vértice de la parábola): x = h + x’

y = k + y’ De donde: x’ = x - h y’ = y - k

Así las ecuaciones de las parábolas con vértice fuera del origen serán: 4py'

x'2

 

x-h2 4p

 

y-k Parábolas verticales

4px' y'2

 

y-k 2 4p

 

x-h Parábolas horizontales

Para graficar:

 

x-h 4p k

y  xh 4p

 

y-k

O (0, 0)

O’ (h, k)

Eje X Eje Y

Eje X’ Eje Y’

P (x, y)

→

P’ (x’, y’) y’

h x’

k

Ejemplo 1:

Encontrar la ecuación de la parábola que tiene el foco en F (0, 4) y la ecuación de la directriz que está definida por y=-2

1. Graficar para determinar los valores restantes

Dado que el foco tiene la misma distancia entre un punto de la parábola y la directriz, sabiendo que el vértice forma parte de la parábola, debe de estar en el punto medio entre el foco y la directriz.

Así p = 3

Y el vértice se encuentra en V (0, 1)

2. Realizar la sustitución en la ecuación correspondiente (por el foco y la directriz es vertical)

 

x-h2 4p

 

y-k



x-0



2 4

  

3 y-1

 

y-1 12 x2 

12 -12y x2 

Despejando para graficar 12

x 12y 2

1 12

x y

2

Ejemplo 2:

Encontrar la ecuación de la parábola que tiene el foco en F (3, 0), p = 2 y abre hacia la derecha 1. Graficar para determinar los valores restantes

Dado que se tiene el parámetro de 2 quiere decir que el vértice se encuentra en V (1, 0) 2. Realizar la sustitución en la ecuación correspondiente (por el foco y la directriz es horizontal)

 

y-k 2 4p

 

x-h

 

y-02 4

  

2 x-1

 

x-1 8 y2 

8 -8x y2 

Despejando para graficar 8

Ejemplo 3:

Encontrar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en V (8, 6), 10

7

p y abre hacia la arriba

1. Graficar para determinar los valores restantes

Dado que abre hacia arriba se trata de una parábola vertical, así que el foco se encuentra arriba del vértice a una distancia de p, por lo que el foco esta en













10 67 8,

F .

2. Realizar la sustitución en la ecuación correspondiente (por el foco y la directriz es vertical)

 

x-h2 4p

 

y-k





 

y-6 10

7 4 8

-x 2















 

y-6 5 14 64 16x

x2

-

 

5 84 -y 5 14 64 16x x2

-

 

5 404 y 5 14 16x

x2  

Despejando para graficar

14 404 x 14 80 x 14

5

Ejemplo 4:

Encontrar las coordenadas del Foco, Vértice y parámetro de la siguiente ecuación: 0

3 2y x

y2   

1. Separamos los términos para factorizar (el término al cuadrado indica cual factorizar)



y22y



x3

 

y12 x31 Se completa el TCP

 

y12 x2

 

y12 1



x2



Si es que es necesario factorizar el otro extremo de la ecuación

 

y12 1



x2



↔

 

y-k 2 4p

 

x-h Comparamos para obtener datos

1 4p

4 1 p

2. Por lo que las coordenadas del vértice son V (2, 1) y del foco son













_,1

4 9 F 3. Graficamos para comprobar

Ejemplo 5:

Encontrar las coordenadas del Foco, Vértice y parámetro de la siguiente ecuación: 0

1 24y 3x

3x2    

1. Separamos los términos para factorizar (el término al cuadrado indica cual factorizar)



3x23x



24y1



x x



24y 1

3 2   





3 1 24y x

x2  





3 1 8y x x2  

4 1 3 1 8y 2 1 x 2

2_

_

_{  }











Se completa el TCP

12 7 8y 2 1 x 2

2_

_

_{ }











Factorizar dividiendo por 8 para dejar (x - h)

96 7 y 8 12 7 8y   

























_{  } 96 7 y 8 2 1 x 2 2

























_{  } 96 7 y 8 2 1 x 2

2 _↔

 

 

k -y 4p h

-x 2  Comparamos para obtener datos 8 4p 4 8 p 2 p

2. Por lo que las coordenadas del vértice son













_ 96 7 , 2 1

V y del foco son



Elipse

Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva. Resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría.

Elementos

 Focos: Son los puntos fijos F y F'.

 Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.  Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.  Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

 Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

 Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semi-distancia focal.  Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

 Eje mayor: Es el segmento AA’ de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.  Eje menor: Es el segmento BB’ de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Si F y F’ son dos puntos del plano y 2a es una constante mayor que la distancia de F a F’, un punto P pertenecerá a la elipse, si:

2a PF'

FP 

Donde a es el semieje (a, 0) mayor de la elipse.

A F’

B P (x, y)

Eje Focal F

A’

B’

Representación Gráfica

Gráfico de la Función 1 12 y 16 x2 2

 

Ecuaciones de la Elipse

Ecuación con centro en el origen

1 b y a x

2 2 2 2

 

Ecuación con centro fuera del origen

   

1 b

k -y

a h -x

2 2 2

2

 

Para graficar:

2

2 _y

b b a

x  a2 x2

a b

y 





2

2 _{y k}

b b a h

x    a2



x h



2

a b k

y   

Origen de la ecuación de la Elipse

Distancia entre los focos y un punto de la elipse

 

2 2

y x -c

FP 



_{x c}



2 _y2

PF'  

 

c-x 2 y2 



xc



2y2 2a Por la condición FPPF'2a



_xc



2_y2 _2a

 

_c-x 2_y2











 



2

2 2 2 2 2 y x -c 2a y c

x     Elevamos al cuadrado





2 2 2

 

2 ₂

 

2 2

y x -c y x -c 4a 4a y c

x      

 

2 2 2 2 2

2 2 2 2 y x 2cx c y x -c 4a 4a y c 2cx

x           Desarrollando binomios

 

2 2 2 y x -c 4a 4a

4cx  

 

4 2 y 2 x -c 4a 2 4a 4

4cx  

 Dividimos entre 4 para simplificar

 

2 2 2 y x -c a a

cx  

 

2 2 2 y x -c a a

cx  







 



2 2 2 2

2 _{a c-x y}

a

cx    Elevamos al cuadrado

 



2 2



2 4 2 2 2 y x -c a a cx 2a x

c    



2 2 2



2 4 2 2 2 y x 2cx c a a cx 2a x

c       Desarrollando binomio

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 y a x a cx 2a c a a cx 2a x

c      

2 2 2 2 2 2 4 2 2 y a x a c a a x

c    

2 2 4 2 2 2 2 2 2 c a a y a x c x

a     Se ordena para factorizar



2 2



2 2 2



2 2



2 c a a y a c a

x    

2 2 2 2 2 2 b a y a b

x   Se sustituye b2 a2



c2 ya que se forma un triángulo rectángulo

Excentricidad

Parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. Es un parámetro importante en la definición de las elipses.

La excentricidad de una elipse es:

a c e

Valores de la excentricidad en secciones cónicas:

 La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0).

 La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0<e < 1).  La excentricidad de una parábola es 1 (e = 1).

 La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1 (e > 1).

La excentricidad e es un número que define que tan separados se encuentran los focos entre sí, por lo que para la elipse será entre 0 y 1.

Excentricidad de los planetas del sistema solar:  Mercurio 0.206

Ejemplo 1:

Encontrar la ecuación de la elipse con centro en (0, 0), con focos en F’ (-3, 0) y F (3, 0) e intersección con el eje x en 5.

1. Graficar para visualizar la elipse

Dado que se corta el eje X en 5 a = 5, además por los focos sabemos que c = 3; finalmente necesitamos saber el punto donde se corta al eje Y, sabiendo que FPPF'2acuando midan lo mismo la distancia de PF = a, así que se forma un triángulo rectángulo. Por lo que

2

2 _c

a

b 

2. Obtener los valores restantes

2

2 _c

a

b 

2

2 ₃

5

b 

9 25

b 

16 b

4 b

3. Sustituir los valores en la ecuación ordinaria de la elipse

1 4 y 5 x

2 2 2 2

 

1 16 y 25 x2 2

Ejemplo 2:

Graficar y encontrar las coordenadas de los Focos y Vértices de la siguiente ecuación elíptica: 100

4y 25x2  2 

1. Pasar a la forma de la ecuación ordinaria

100 100 4y

25x2  2 

Se divide para dejar la ecuación igualada a uno

1 25 y 4 x2 2

 

1 5 y 2 x

2 2 2 2

 

a = 2 b = 5

2. Graficar para visualizar la elipse

3. Obtener datos faltantes

2

2 _b

a

c  → c 52 22 → c 254 → c 21 posición del foco Dado que se trata de una elipse vertical la posición del foco varia en Y



0, 21



F



0, 21



Ejemplo 3:

Graficar y encontrar las coordenadas de los Focos y Vértices de la siguiente ecuación elíptica:

0 = 13 + 2y + 16x – y +

4x2 2

1. Dado que existen términos al cuadro y lineales es necesario pasar a la forma de la ecuación ordinaria con centro fuera del origen



4x2 –16x

 

+ y2+2y



= –13 Agrupar términos



x –4x

 

+ y +2y



= –13

4 2 2 Factorizar



x –2

  

+ y+1 = –13 1 16

4 2 2   Completar el TCP, el 16 es de 4(4) de la factorización



x –2

  

+ y+1 =4

4 2 2



  

4

4 = 1 + y + 2 x –

4 2 2





 

1 = 4

1 + y + 1

2

x – 2 2





 

1 = 2

1 + y + 1

2 x –

2 2 2

2

a = 1 b = 2 C (2, -1) 2. Graficar

3. Obtener datos faltantes

2

2 _b

a

c  → c 2212 → c 41 → c 3 posición del foco Dado que se trata de una elipse vertical la posición del foco varia en Y



2, 1 3



F  

Ejemplo 4:

Encontrar y graficar la Ecuación de la Elipse con los siguientes datos: C (-3, 2), F (-1,2) y A (2, 2). 1. Graficar para encontrar los valores restantes

2

2 _c

a

b  → b 52 22 → b 21 2. Sustituir en la fórmula



  

 

1

21 2 -y

5 3 x

2 2 2

2

 





  

1 21

2 -y 25

3

x 2 2

 

Hipérbola

Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos

 Focos: Son los puntos fijos F y F'.

 Eje focal: Es la recta que pasa por los focos (longitud 2a para eje el mayor).  Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF’.

 Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

 Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

 Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

 Distancia focal: Es el segmento FF’ de longitud 2c.  Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: x

a b

y , x

a b y  Relación entre los semiejes: c2=a2+b2

A F’

B

P (x, y)

Eje Focal F

A’

B’

Eje Secundario

Representación Gráfica

Gráfico de la Función 1 12 y 4 x2 2

 

Ecuaciones de la Hipérbola

Ecuación con centro en el origen

1 b y a x 2 2 2 2 

 Para horizontales 1

b x a y 2 2 2 2 

 Para verticales

Ecuación con centro fuera del origen

   

1 b k -y a h -x 2 2 2 2 

 Para horizontales

   

1

b h -x a k -y 2 2 2 2 

 Para verticales

Para graficar horizontales: para graficar verticales:

2 2 2 2 b a x b

y  ₂

2 2 2 b x a a y 





2 2

2 2 b h x a b k

y    ₂





2

2 2 h x b a a k

Ejemplo 1:

Encontrar la ecuación de la hipérbola con foco en F (4, 0), de vértice A (2, 0) y de centro C (0, 0). 1. Graficar los puntos para visualizar la hipérbola

Dado que se forma un triángulo rectángulo es necesario obtener el valor de b, para determinar así la posición de los vértices restantes.

2. Encontrar los valores restantes

2

2 _a

c

b 

2 2

2 4

b 

12 b

3. Sustituir los valores en la ecuación ordinaria de la hipérbola

1 b y a x

2 2 2 2

 

 

1

12 y 2 x

2 2 2 2

 

1 12 y 4 x2 2

 

Graficando:

12 4 12x y

2

 

Ejemplo 2:

Encontrar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F' (-5, 0) y F (5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

1. Encontrar el vértice que corta al eje x Dado que F’P – PF = 2a entonces:

6 2a

2 6 a

3 a

2. Graficar para visualizar la hipérbola

3. Encontrar los valores restantes

2 2

a c

b 

2

2 ₃

5

b 

16 b

4 b

4. Sustituir en la ecuación ordinaria de la hipérbola

1 4 y 3 x

2 2 2 2



 → 1

16 y 9 x2 2



 , calculando la excentricidad: a c e →

3 5 e

Graficando:

16 9 16x y

2

 

Ejemplo 3:

Encontrar las coordenadas de los vértices y de los focos, y la excentricidad de la hipérbola que tiene por ecuación: 9x2 – 16y2 = 144.

1. Pasar la ecuación a la forma ordinaria de la hipérbola

144 144 = 16y 9x2



2

1 = 9 y 16

x2 2



4 a

3 b

2. Graficar para visualizar la hipérbola

3. Encontrar los valores restantes

2

2 _b

a

c 

2 2

3 4

c 

25 c

5 c

Dado que es una hipérbola horizontal los focos varían en x, por lo que: F (5, 0) y F’ (-5, 0)

Calculando la excentricidad:

a c e →

Ejemplo 4:

Encontrar la ecuación de la hipérbola con foco en F (0, 5), de vértice A (0, 3) y de centro C (0, 0). 1. Graficar para visualizar la hipérbola

2. Encontrar los valores restantes

2

2 _a

c

b 

2

2 ₃

5

b 

4 b

3. Sustituir en la ecuación ordinaria de la hipérbola

1 b x a y

2 2 2 2

 

1 4 x 3 y

2 2 2 2

 

1 16 x 9 y2 2

 

Graficando:

2 2 2 2

b x a a

y 

16 9x 9 y

2

Ejemplo 5:

Encontrar la ecuación de la hipérbola de foco F (7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C (3, 2) 1. Graficar para visualizar la hipérbola

2. Encontrar los valores restantes

2

2 _a

c

b 

2 2

2 4

b 

12 b

3. Sustituir en la ecuación ordinaria de la hipérbola

   

1 b

k -y a

h -x

2 2 2

2

 



  

 

1

12 2 -y 2

3 -x

2 2 2

2

 



  

1 12

2 -y 4

3

-x 2 2

 

Graficando:





2 2 2

2

b h x a b k

y   



x 3



12 12

2

Ejemplo 6:

Encontrar la ecuación de la hipérbola de foco F (-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C (-2, -5). 1. Graficar para visualizar la hipérbola

2. Encontrar los valores restantes

2 2

a c

b 

2

2 ₈

10

b 

36 b

6 b

3. Sustituir en la ecuación ordinaria de la hipérbola

   

1 b

h -x a

k -y

2 2 2

2

 



 



1 6

2 x 8

5 y

2 2 2

2

   



 



1 36

2 x 64

5

y 2 2

   

Graficando:





2 2

2 2

h x b a a k

y   





2 2 x 36 64 64 5