VOLUMENES
Los cuerpos en el espacio (sólidos) poseen tres dimensiones: largo, ancho y profundidad
POLIEDROS
Un poliedro es un cuerpo limitado por polígonos
Los polígonos que limiten el poliedro, se llaman caras del poliedro.
Los lados de los polígonos se llaman aristas del poliedro El punto de intersección de dos aristas le llama vértice.
PRISMAS
Un prisma es un poliedro que cumple: Dos de sus caras son polígonos paralelos congruentes y las otras caras son rectángulos o paralelogramos.
Prisma Recto
Prisma oblicuo
PARALELEPIPEDOS
Son prismas cuyas bases son paralelogramos.
ORTOEDROS:
Son prismas en donde todas las caras son rectángulos.
VOLUMEN DE UN PRISMA
El volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura
V B h
Entonces el área de un ortoedro (una caja) es igual a largo por ancho por altura.
PIRAMIDES
Son poliedros cuyas caras laterales son triángulos y que tienen una sola base.
Las pirámides se clasifican en regulares rectas, cuando la base es un polígono regular y la altura cae en el centro del polígono de la base.
VERTICE O CUSPIDE: Punto donde concurren las aristas laterales. ARISTA: Segmento de recta común a dos caras
ALTURA: Perpendicular trazada desde la cúspide a la base.
APOTEMA DE LA PIRAMIDE: Es la altura de cualquiera de las caras laterales.
VOLUMEN DE UNA PIRAMIDE:
El volumen de una pirámide es la tercera parte del área de la base por la altura de la pirámide.
3
B h V
SÓLIDOS DE REVOLUCION
EL CILINDRO
VOLUMEN DE UN CILINDRO:
El volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura.
2 V B h r h
EL CONO
Si hacemos girar un triangulo rectángulo, una vuelta completa, alrededor de un de sus catetos, obtenemos un cuerpo geométrico denominado: cono circular recto o cono de revolución.
VOLUMEN DE UN CONO:
El volumen de un cono es igual a un tercio del área de la base por la altura.
2
3
r h V
LA ESFERA:
Si hacemos girar media circunferencia, una vuelta completa, alrededor del diámetro, obtenemos una superficie esférica
Todos los puntos de la superficie esférica equidistan de un punto fijo llamado centro y la distancia es el radio.
VOLUMEN DE LA ESFERA:
3 4 3
V r
EJRCICIOS SOBRE VOLUMENES
1. Un recipiente cilíndrico de 30 centímetros de diámetro se llena con agua. A continuación se sumerge en él una roca, provocando que se derrame algo de agua. Cuando se saca la roca el nivel de agua en el cilindro descendió 25 cm. ¿Cual es el volumen de la roca? Respuesta: 17671.459 cm3
3. Un cilindro recto de 6 m de diámetro y 6 m de altura tiene igual volumen que un cono recto de 6m. de diámetro. Calcular la altura y la generatriz del cono. Respuesta: 18 m. y 18.25 m respectivamente.
4. Se tiene un prisma regular recto cuyas bases son triángulos. Si el lado de la base es de 20 cm. Calcular el volumen del prisma. La altura del prisma es de 30 cm. Respuesta: 5.160 cm3
5. Calcular el volumen de una pirámide regular triangular, si la apotema de la base mide 5 cm. y la arista de la pirámide mide 12 cm. Respuesta: 287,41 cm3
6. Se tiene un cartón cuya forma es la de un triangulo equilátero de 24 cm. de lado, se pliega en sus tres ángulos para formar un tetraedro regular. Hallar el volumen del tetraedro. Respuesta: 144 2 cm3
7. Una esfera está inscrita en un cono circular recto, AB es un diámetro de la base y C es el vértice del cono. El triangulo ABC es equilátero. Determinar el volumen del cono en términos de R (el radio de la esfera). Respuesta 3 R3
8. ¿Cuantas bolas de cristal de 1.5 cm. de radio caben exactamente en una caja de 162 centímetros cúbicos? Respuesta: 6
9. Se vende café en dos tipos de recipientes cilíndricos. El más alto tiene el doble de altura que el más bajo, pero su diámetro es la mitad del diámetro del mas bajo. El mas alto cuesta $ 8000 y el mas bajo $ 12000
¿Cuál es más económico? Explique.
10. Con una cartulina de 12 cm. de ancho por 22 cm. de largo, se pretende hacer una caja sin tapa. Para ello se recortan cuadrados de 2 cm. de lado en sus cuatro extremos. La caja así armada que volumen tiene? Respuesta: 288 cm3
11. Al introducir un trozo de metal en forma de prisma rectangular de 20 cm. de largo por 10 cm. de ancho, en un tanque rectangular en parte lleno de agua, el nivel del agua aumenta en 2.5 cm ¿Cuál es el volumen y la altura del trozo de metal? Si el largo del tanque es de 80 cm. y el ancho del tanque es de 50 cm. Respuesta 10.000 cm3 y 50 cm.
12. Un cono de 3 cm. de radio y de 13 cm. de altura, se ha cortado horizontalmente a una distancia vertical de 4 cm. de la base donde el radio del circulo es 2 cm. ¿Cuál es el volumen del tronco de cono así formado?
13. ¿Cuál es la longitud máxima que puede tener una barra de acero contenida en una caja cúbica de 12 cm. de lado? Respuesta: 20.78 cm.
16. La base de una pirámide regular es un cuadrado de lado 6 cm. Calcular su volumen si la apotema de la pirámide es tres veces el lado de la base. Respuesta: 212,88 cm3
17. Hallar el volumen de una pirámide regular de base cuadrada, si la apotema de la base mide 4 cm. y la arista lateral de la pirámide mide 10 cm.
18. Hallar el volumen de una pirámide regular hexagonal, si la apotema de la base mide 10 cm. y la arista lateral de la pirámide mide 20 cm. Respuesta: 1.886,12 cm3
19. Hallar el volumen de una esfera circunscrita a un cilindro circular de 24 cm. de altura y 9 cm. de diámetro de la base. Respuesta: 8.825,77 cm3
20. Una esfera de 1 cm. de radio está inscrita en un cilindro. ¿Cuál es volumen del cilindro? Respuesta: 2 cm3
21. Se da un cono circular recto de altura h, de radio de la base R. Se inscribe en él un cilindro de altura h/3. Demostrar que le volumen del
cilindro es R2h
27 4
.
22. Un cono circular recto de altura 8 cm., se puede inscribir en una esfera
de 6 cm. de radio. Calcular el volumen del cono. Respuesta: 3 256
cm3
23. Una esfera de 8 cm. de diámetro se inscribe en cono de 16 cm. de
altura. Hallar el volumen del cono. 3 512
cm3
24. En un cono circular recto de radio de 6 cm. y altura 12 cm., se inscribe un cilindro de altura 4 cm. Hallar el volumen del cilindro. Respuesta: 64 cm3
25. Hallar el volumen de un cono circular recto de 4 cm. de radio inscrito en una esfera de radio
3 2 . Respuesta: 64 2
3 cm
3
26. ¿Cuál es la profundidad de una piscina cuyo piso rectangular es de 7 metros de ancho por 20 metros de largo y cuyo contenido de agua pesa 280 toneladas? (Un volumen de 1 m3 de agua pesa 1 tonelada) Respuesta: 2 m.
28. Que profundidad tiene un corriente de agua si el caudal es de 1.200 litros por segundo, en un cauce de 1,2 metros de ancho, si la velocidad de la corriente es de 2,2 m/seg.
Respuesta: 0,45 m
29. A un tanque de base rectangular de 180 metros de largo por 80 metros de ancho, llega el agua por una tubería de 40 cm. de diámetro, con velocidad de 4,50 metros por segundo. Calcular el tiempo que se necesitara para elevar el nivel del tanque 5 cm. Respuesta: 21,05 minutos.
30.
En esta caja se meten seis latas cilíndricas de jugo. ¿Cuál es la razón entre el volumen de la caja y los volúmenes de las 6 latas juntas?
Respuesta: 4
Ejercicios tomados de los siguientes textos:
Geometría Euclidiana de Hemmerling
Curso de Geometría. Reunión de profesores
Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
Geometría de Edwin E. Moise