Tema 3: resoluci ´on de sistemas de
ecuaciones lineales
Matem ´atica II
´Indice
1
Sistemas de ecuaciones lineales
Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
M ´etodo de eliminaci ´on
2
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
´Indice
1
Sistemas de ecuaciones lineales
Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
M ´etodo de eliminaci ´on
2
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Observaciones preliminares
1
El problema central del ´algebra lineal es
resolver sistemas
de ecuaciones
.
2
Estas ecuaciones son siempre
lineales
, osea que las
inc ´ognitas
aparecen solo
multiplicadas por n ´umeros
.
3
En estos sistemas de ecuaciones
nunca
encontraremos
expresiones como
x
y
o
√
x
o sin
x
o log
y
.
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Observaciones preliminares
1
El problema central del ´algebra lineal es
resolver sistemas
de ecuaciones
.
2
Estas ecuaciones son siempre
lineales
, osea que las
inc ´ognitas
aparecen solo
multiplicadas por n ´umeros
.
3
En estos sistemas de ecuaciones
nunca
encontraremos
expresiones como
x
y
o
√
x
o sin
x
o log
y
.
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Observaciones preliminares
1
El problema central del ´algebra lineal es
resolver sistemas
de ecuaciones
.
2
Estas ecuaciones son siempre
lineales
, osea que las
inc ´ognitas
aparecen solo
multiplicadas por n ´umeros
.
3
En estos sistemas de ecuaciones
nunca
encontraremos
expresiones como
x
y
o
√
x
o sin
x
o log
y
.
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Observaciones preliminares
1
El problema central del ´algebra lineal es
resolver sistemas
de ecuaciones
.
2
Estas ecuaciones son siempre
lineales
, osea que las
inc ´ognitas
aparecen solo
multiplicadas por n ´umeros
.
3
En estos sistemas de ecuaciones
nunca
encontraremos
expresiones como
x
y
o
√
x
o sin
x
o log
y
.
4
Les decimos
sistemas
, porque la soluci ´on (si existe) debe
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas, una soluci ´on
x
−
2
y
=
1
3
x
+
2
y
=
11
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Las rectas se cortan ´unicamente en
x
=
3 e
y
=
1.
Se dice entoces que el conjunto de soluciones
S
tiene
solo
un
elemento
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas, una soluci ´on
x
−
2
y
=
1
3
x
+
2
y
=
11
1
y
1 2 3 4
x
x
−
2
y
= 1
3
x
+
2
y
=
11
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Las rectas se cortan ´unicamente en
x
=
3 e
y
=
1.
Se dice entoces que el conjunto de soluciones
S
tiene
solo
un
elemento
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas, una soluci ´on
x
−
2
y
=
1
3
x
+
2
y
=
11
1
y
1 2 3 4
x
x
−
2
y
= 1
3
x
+
2
y
=
11
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Las rectas se cortan ´unicamente en
x
=
3 e
y
=
1.
Se dice entoces que el conjunto de soluciones
S
tiene
solo
un
elemento
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas, una soluci ´on
x
−
2
y
=
1
3
x
+
2
y
=
11
1
y
1 2 3 4
x
x
−
2
y
= 1
3
x
+
2
y
=
11
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Las rectas se cortan ´unicamente en
x
=
3 e
y
=
1.
Se dice entoces que el conjunto de soluciones
S
tiene
solo
un
elemento
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas, ninguna soluci ´on
x
−
2
y
=
1
−
x
+
2
y
=
1
2
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Pero las rectas no se cortan, ya que son paralelas.
El conjunto de soluciones
S
es entonces el conjunto vac´ıo
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas, ninguna soluci ´on
x
−
2
y
=
1
−
x
+
2
y
=
1
2
1
y
1 2 3 4
x
x
−
2
y
= 1
−
x
+ 2
y
=
1 2
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Pero las rectas no se cortan, ya que son paralelas.
El conjunto de soluciones
S
es entonces el conjunto vac´ıo
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas, ninguna soluci ´on
x
−
2
y
=
1
−
x
+
2
y
=
1
2
1
y
1 2 3 4
x
x
−
2
y
= 1
−
x
+ 2
y
=
1 2
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Pero las rectas no se cortan, ya que son paralelas.
El conjunto de soluciones
S
es entonces el conjunto vac´ıo
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas, ninguna soluci ´on
x
−
2
y
=
1
−
x
+
2
y
=
1
2
1
y
1 2 3 4
x
x
−
2
y
= 1
−
x
+ 2
y
=
1 2
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Pero las rectas no se cortan, ya que son paralelas.
El conjunto de soluciones
S
es entonces el conjunto vac´ıo
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas,
∞
soluciones
x
−
2
y
=
1
−
x
+
2
y
=
−
1
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Las dos rectas se superponen, hay infinitas soluciones.
Por ejemplo
x
=
1 e
y
=
0, o tambi ´en
x
=
3 e
y
=
1, etc.
El conjunto de soluciones
S
tiene
∞
elementos
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas,
∞
soluciones
x
−
2
y
=
1
−
x
+
2
y
=
−
1
1
y
1 2 3 4
x
x
−
2
y
= 1
−
x
+ 2
y
=
−
1
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Las dos rectas se superponen, hay infinitas soluciones.
Por ejemplo
x
=
1 e
y
=
0, o tambi ´en
x
=
3 e
y
=
1, etc.
El conjunto de soluciones
S
tiene
∞
elementos
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas,
∞
soluciones
x
−
2
y
=
1
−
x
+
2
y
=
−
1
1
y
1 2 3 4
x
x
−
2
y
= 1
−
x
+ 2
y
=
−
1
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Las dos rectas se superponen, hay infinitas soluciones.
Por ejemplo
x
=
1 e
y
=
0, o tambi ´en
x
=
3 e
y
=
1, etc.
El conjunto de soluciones
S
tiene
∞
elementos
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Dos ecuaciones, dos inc ´ognitas,
∞
soluciones
x
−
2
y
=
1
−
x
+
2
y
=
−
1
1
y
1 2 3 4
x
x
−
2
y
= 1
−
x
+ 2
y
=
−
1
Cada fila (ecuaci ´on) corresponde a una recta en el plano.
Las dos rectas se superponen, hay infinitas soluciones.
Por ejemplo
x
=
1 e
y
=
0, o tambi ´en
x
=
3 e
y
=
1, etc.
El conjunto de soluciones
S
tiene
∞
elementos
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Generalizaci ´on para m ´ultiples inc ´ognitas
1
Los sistemas de ecuaciones lineales
siempre
pueden
interpretarse como el problema de encontrar
intersecciones.
2
Con dos inc ´ognitas, intersecci ´on de rectas; con m ´as
inc ´ognitas, intersecci ´on de “planos”.
3
Estos sistemas siempre tendr ´an
una, ninguna o infinitas
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Ejemplo 1
El sistema de
ecuaciones lineales
3
x
+
2
y
−
z
=
1
2
x
−
2
y
+
4
z=
−
2
−
x
+
y
−
z
=
0
corresponde a la
intersecci ´on de tres
planos.
La ´unica soluci ´on es
x
=
2
5
y
=
−
3
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
¿Qu ´e es un sistema de ecuaciones lineales?
Definici ´on 1 (sistema de ecuaciones lineales)
Tenemos
m
n ´umeros
b
1
, . . . ,
b
m
.
Y tambi ´en
m
×
n
n ´umeros
a
ij
, con 1
≤
i
≤
m
, 1
≤
j
≤
n
.
Se buscan
n
n ´umeros,
x
1
, . . . ,
x
n
, que satisfacen
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2
n
x
n
=
b
2
..
.
..
.
..
.
..
.
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
· · ·
+
a
mn
x
n
=
b
m
Esto es un
sistema de
m
ecuaciones lineales con
n
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
¿Qu ´e es un sistema de ecuaciones lineales?
Definici ´on 1 (sistema de ecuaciones lineales)
Tenemos
m
n ´umeros
b
1
, . . . ,
b
m
.
Y tambi ´en
m
×
n
n ´umeros
a
ij
, con 1
≤
i
≤
m
, 1
≤
j
≤
n
.
Se buscan
n
n ´umeros,
x
1
, . . . ,
x
n
, que satisfacen
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2
n
x
n
=
b
2
..
.
..
.
..
.
..
.
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
· · ·
+
a
mn
x
n
=
b
m
Esto es un
sistema de
m
ecuaciones lineales con
n
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
¿Qu ´e es un sistema de ecuaciones lineales?
Definici ´on 1 (sistema de ecuaciones lineales)
Tenemos
m
n ´umeros
b
1
, . . . ,
b
m
.
Y tambi ´en
m
×
n
n ´umeros
a
ij
, con 1
≤
i
≤
m
, 1
≤
j
≤
n
.
Se buscan
n
n ´umeros,
x
1
, . . . ,
xn
, que satisfacen
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2
n
x
n
=
b
2
..
.
..
.
..
.
..
.
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
· · ·
+
amnxn
=
bm
Esto es un
sistema de
m
ecuaciones lineales con
n
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
¿Qu ´e es un sistema de ecuaciones lineales?
Definici ´on 1 (sistema de ecuaciones lineales)
Tenemos
m
n ´umeros
b
1
, . . . ,
b
m
.
Y tambi ´en
m
×
n
n ´umeros
a
ij
, con 1
≤
i
≤
m
, 1
≤
j
≤
n
.
Se buscan
n
n ´umeros,
x
1
, . . . ,
xn
, que satisfacen
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2
n
x
n
=
b
2
..
.
..
.
..
.
..
.
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
· · ·
+
amnxn
=
bm
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Forma matricial de un sistema
Todo sistema de ecuaciones lineales puede expresarse
como el producto entre una matriz y un vector
Ax
=
b
A
z
}|
{
a
11
a
12
· · ·
a
1
n
a
21
a
22
· · ·
a
2
n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
m
1
a
m
2
· · ·
a
mn
x
z
}|
{
x
1
x
2
..
.
x
n
=
b
z
}|
{
b
1
b
2
..
.
b
m
A
es la
matriz de los coeficientes
.
x
el
vector de las inc ´ognitas
.
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
La matriz aumentada de un sistema
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizaremos
la
matriz aumentada de coeficientes
A b
=
a
11
a
12
· · ·
a
1
n
b
1
a
21
a
22
· · ·
a
2
n
b
2
..
.
..
.
. ..
..
.
..
.
a
m
1
a
m
2
· · ·
a
mn
b
m
En general representaremos los sistemas por su forma
matricial
Ax
=
b
, o por medio de la matriz aumentada
A b
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Ejemplo 2
Expresiones alternativas para
el sistema
x
−
2
y
=
1
3
x
+
2
y
=
11
Utilizando sub´ındices
x
1
−
2
x
2
=
1
3
x
1
+
2
x
2
=
11
Como producto
Ax
=
b
1
−
2
3
2
x
1
x
2
=
1
11
Con su matriz aumentada
1
−
2
1
3
2
11
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Ejemplo 2
Expresiones alternativas para
el sistema
x
−
2
y
=
1
3
x
+
2
y
=
11
Utilizando sub´ındices
x
1
−
2
x
2
=
1
3
x
1
+
2
x
2
=
11
Como producto
Ax
=
b
1
−
2
3
2
x
1
x
2
=
1
11
Con su matriz aumentada
1
−
2
1
3
2
11
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Ejemplo 2
Expresiones alternativas para
el sistema
x
−
2
y
=
1
3
x
+
2
y
=
11
Utilizando sub´ındices
x
1
−
2
x
2
=
1
3
x
1
+
2
x
2
=
11
Como producto
Ax
=
b
1
−
2
3
2
x
1
x
2
=
1
11
Con su matriz aumentada
1
−
2
1
3
2
11
Sistemas de ecuaciones lineales Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
Ejemplo 2
Expresiones alternativas para
el sistema
x
−
2
y
=
1
3
x
+
2
y
=
11
Utilizando sub´ındices
x
1
−
2
x
2
=
1
3
x
1
+
2
x
2
=
11
Como producto
Ax
=
b
1
−
2
3
2
x
1
x
2
=
1
11
Con su matriz aumentada
1
−
2
1
3
2
11
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
´Indice
1
Sistemas de ecuaciones lineales
Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
M ´etodo de eliminaci ´on
2
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Introducci ´on al m ´etodo de eliminaci ´on
Volvamos al primer sistema que graficamos
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
3
x
1
+
2
x
2
=
11
Ë
=
⇒
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
8
x
2
=
8
Ë
Ahora multiplicamos
Ê
por
−
3 y se la sumamos a
Ë
.
Luego de esta
eliminaci ´on
x
1
no aparece en la
nueva
segunda ecuaci ´on
Ë
.
La segunda ecuaci ´on 8
x
2
=
8 indica que
x
2
= 1.
Substituyendo hacia atr ´as
resulta
x
1
−
2
=
1, de donde
x
1
=
3.
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Introducci ´on al m ´etodo de eliminaci ´on
Volvamos al primer sistema que graficamos
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
3
x
1
+
2
x
2
=
11
Ë
=
⇒
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
8
x
2
=
8
Ë
Ahora multiplicamos
Ê
por
−
3 y se la sumamos a
Ë
.
Luego de esta
eliminaci ´on
x
1
no aparece en la
nueva
segunda ecuaci ´on
Ë
.
La segunda ecuaci ´on 8
x
2
=
8 indica que
x
2
= 1.
Substituyendo hacia atr ´as
resulta
x
1
−
2
=
1, de donde
x
1
=
3.
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Introducci ´on al m ´etodo de eliminaci ´on
Volvamos al primer sistema que graficamos
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
3
x
1
+
2
x
2
=
11
Ë
=
⇒
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
8
x
2
=
8
Ë
Ahora multiplicamos
Ê
por
−
3 y se la sumamos a
Ë
.
Luego de esta
eliminaci ´on
x
1
no aparece en la
nueva
segunda ecuaci ´on
Ë
.
La segunda ecuaci ´on 8
x
2
=
8 indica que
x
2
= 1.
Substituyendo hacia atr ´as
resulta
x
1
−
2
=
1, de donde
x
1
=
3.
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Introducci ´on al m ´etodo de eliminaci ´on
Volvamos al primer sistema que graficamos
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
3
x
1
+
2
x
2
=
11
Ë
=
⇒
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
8
x
2
=
8
Ë
Ahora multiplicamos
Ê
por
−
3 y se la sumamos a
Ë
.
Luego de esta
eliminaci ´on
x
1
no aparece en la
nueva
segunda ecuaci ´on
Ë
.
La segunda ecuaci ´on 8
x
2
=
8 indica que
x
2
= 1.
Substituyendo hacia atr ´as
resulta
x
1
−
2
=
1, de donde
x
1
=
3.
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Introducci ´on al m ´etodo de eliminaci ´on
Volvamos al primer sistema que graficamos
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
3
x
1
+
2
x
2
=
11
Ë
=
⇒
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
8
x
2
=
8
Ë
Ahora multiplicamos
Ê
por
−
3 y se la sumamos a
Ë
.
Luego de esta
eliminaci ´on
x
1
no aparece en la
nueva
segunda ecuaci ´on
Ë
.
La segunda ecuaci ´on 8
x
2
=
8 indica que
x
2
= 1.
Substituyendo hacia atr ´as
resulta
x
1
−
2
=
1, de donde
x
1
=
3.
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Introducci ´on al m ´etodo de eliminaci ´on
Volvamos al primer sistema que graficamos
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
3
x
1
+
2
x
2
=
11
Ë
=
⇒
x
1
−
2
x
2
=
1
Ê
8
x
2
=
8
Ë
Ahora multiplicamos
Ê
por
−
3 y se la sumamos a
Ë
.
Luego de esta
eliminaci ´on
x
1
no aparece en la
nueva
segunda ecuaci ´on
Ë
.
La segunda ecuaci ´on 8
x
2
=
8 indica que
x
2
= 1.
Substituyendo hacia atr ´as
resulta
x
1
−
2
=
1, de donde
x
1
=
3.
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Interpretaci ´on geom ´etrica de la eliminaci ´on
x
1
−
2
x
2
=
1
3
x
1
+
2
x
2
=
11
Ax
=
b
1
−
2
3
2
x
1
x
2
=
1
11
1
x
2
1
2
3
4
x
1
x
1
−
2
x
2
= 1
3
x
1
+
2
x
2
=
11
x
1
−
2
x
2
=
1
8
x
2
=
8
Bx
=
c
1
−
2
0
8
x
1
x
2
=
1
8
1
x
2
1
2
3
4
x
1
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Operaciones elementales de fila
El m ´etodo de eliminaci ´on consiste en hacer
combinaciones lineales
de las filas de
Ax
=
b
.
Pueden utilizarse solamente tres
operaciones elementales
de fila
:
1
multiplicaci ´on
de una fila por un n ´umero
c
no nulo
2
reemplazo
de la
r
-esima fila, por la fila
r
m ´as
c
veces la fila
s, con
c
6
=
0 y
r
6
=
s
3
intercambio
de dos filas.
Definici ´on 2
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Operaciones elementales de fila
El m ´etodo de eliminaci ´on consiste en hacer
combinaciones lineales
de las filas de
Ax
=
b
.
Pueden utilizarse solamente tres
operaciones elementales
de fila
:
1
multiplicaci ´on
de una fila por un n ´umero
c
no nulo
2
reemplazo
de la
r
-esima fila, por la fila
r
m ´as
c
veces la fila
s, con
c
6
=
0 y
r
6
=
s
3
intercambio
de dos filas.
Definici ´on 2
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Operaciones elementales de fila
El m ´etodo de eliminaci ´on consiste en hacer
combinaciones lineales
de las filas de
Ax
=
b
.
Pueden utilizarse solamente tres
operaciones elementales
de fila
:
1
multiplicaci ´on
de una fila por un n ´umero
c
no nulo
2
reemplazo
de la
r
-esima fila, por la fila
r
m ´as
c
veces la fila
s
, con
c
6
=
0 y
r
6
=
s
3
intercambio
de dos filas.
Definici ´on 2
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Operaciones elementales de fila
El m ´etodo de eliminaci ´on consiste en hacer
combinaciones lineales
de las filas de
Ax
=
b
.
Pueden utilizarse solamente tres
operaciones elementales
de fila
:
1
multiplicaci ´on
de una fila por un n ´umero
c
no nulo
2
reemplazo
de la
r
-esima fila, por la fila
r
m ´as
c
veces la fila
s
, con
c
6
=
0 y
r
6
=
s
3
intercambio
de dos filas.
Definici ´on 2
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Operaciones elementales de fila
El m ´etodo de eliminaci ´on consiste en hacer
combinaciones lineales
de las filas de
Ax
=
b
.
Pueden utilizarse solamente tres
operaciones elementales
de fila
:
1
multiplicaci ´on
de una fila por un n ´umero
c
no nulo
2
reemplazo
de la
r
-esima fila, por la fila
r
m ´as
c
veces la fila
s
, con
c
6
=
0 y
r
6
=
s
3
intercambio
de dos filas.
Definici ´on 2
Dado un sistema
Ax
=
b
, todo sistema
Bx
=
c
que se obtenga
aplicando las operaciones elementales de fila se denomina
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
¿Por qu ´e funciona la t ´ecnica de eliminaci ´on?
Bx
=
c
se obtiene de
Ax
=
b
mediante operaciones
elementales de fila.
Entonces,
Ax
=
b
y
Bx
=
c
son equivalentes.
Teorema 1
Si dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes,
tienen
exactamente las mismas soluciones
.
Entonces
Ax
=
b
y
Bx
=
c
tienen las mismas soluciones.
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
¿Por qu ´e funciona la t ´ecnica de eliminaci ´on?
Bx
=
c
se obtiene de
Ax
=
b
mediante operaciones
elementales de fila.
Entonces,
Ax
=
b
y
Bx
=
c
son equivalentes.
Teorema 1
Si dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes,
tienen
exactamente las mismas soluciones
.
Entonces
Ax
=
b
y
Bx
=
c
tienen las mismas soluciones.
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
¿Por qu ´e funciona la t ´ecnica de eliminaci ´on?
Bx
=
c
se obtiene de
Ax
=
b
mediante operaciones
elementales de fila.
Entonces,
Ax
=
b
y
Bx
=
c
son equivalentes.
Teorema 1
Si dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes,
tienen
exactamente las mismas soluciones
.
Entonces
Ax
=
b
y
Bx
=
c
tienen las mismas soluciones.
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
¿Por qu ´e funciona la t ´ecnica de eliminaci ´on?
Bx
=
c
se obtiene de
Ax
=
b
mediante operaciones
elementales de fila.
Entonces,
Ax
=
b
y
Bx
=
c
son equivalentes.
Teorema 1
Si dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes,
tienen
exactamente las mismas soluciones
.
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Repaso de ideas clave
1
Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse
siempre
como
Ax
=
b
.
2
Cada ecuaci ´on de
Ax
=
b
se corresponde a una recta (si
n
=
2) o un “plano” (si
n
≥
3).
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Repaso de ideas clave
1
Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse
siempre
como
Ax
=
b
.
2
Cada ecuaci ´on de
Ax
=
b
se corresponde a una recta (si
n
=
2) o un “plano” (si
n
≥
3).
Sistemas de ecuaciones lineales M ´etodo de eliminaci ´on
Repaso de ideas clave
1
Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse
siempre
como
Ax
=
b
.
2
Cada ecuaci ´on de
Ax
=
b
se corresponde a una recta (si
n
=
2) o un “plano” (si
n
≥
3).
3
Utilizando
operaciones elementales de fila
puede
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
´Indice
1
Sistemas de ecuaciones lineales
Interpretaci ´on geom ´etrica y definici ´on
M ´etodo de eliminaci ´on
2
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas compatibles
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan: Ejemplo A
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=2
4
x
1+
9
x
2−
3
x
3=
8
1
x
2+
1
x
3=4
−
2
x
1−
3
x
2+
7
x
3=
10
4
x
3=8
(A b) =
2
4
−
2
2
4
9
−
3
8
−
2
−
3
7
10
f
2−
(
4/
2)
f
1;
2
4
−
2
2
0
1
1
4
−2
−
3
7
10
;
f
3−
(
−2/2
)
f
1;
2
4
−
2
2
0
1
1
4
0
1
5
12
f
3−
(
1/1)
f
2;
2
4
−2
2
0
1
1
4
0
0
4
8
=
(
U c
)
Hemos encontrado una
matriz triangular
U
.
Los n ´umeros 2, 1 y 4 son los
pivotes
de
U
.
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan: Ejemplo A
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=2
4
x
1+
9
x
2−
3
x
3=
8
1
x
2+
1
x
3=4
−
2
x
1−
3
x
2+
7
x
3=
10
4
x
3=8
(
A b
) =
2
4
−
2
2
4
9
−
3
8
−
2
−
3
7
10
f
2−
(
4/
2)
f
1;
2
4
−
2
2
0
1
1
4
−2
−
3
7
10
;
f
3−
(
−2/2
)
f
1;
2
4
−
2
2
0
1
1
4
0
1
5
12
f
3−
(
1/1)
f
2;
2
4
−2
2
0
1
1
4
0
0
4
8
=
(
U c
)
Hemos encontrado una
matriz triangular
U
.
Los n ´umeros 2, 1 y 4 son los
pivotes
de
U
.
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan: Ejemplo A
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=2
4
x
1+
9
x
2−
3
x
3=
8
1
x
2+
1
x
3=4
−
2
x
1−
3
x
2+
7
x
3=
10
4
x
3=8
(
A b
) =
2
4
−
2
2
4
9
−
3
8
−
2
−
3
7
10
f
2−
(
4/2
)
f
1;
2
4
−
2
2
0
1
1
4
−
2
−
3
7
10
;
f
3−
(
−2/2
)
f
1;
2
4
−
2
2
0
1
1
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0
1
5
12
f
3−
(
1/1)
f
2;
2
4
−2
2
0
1
1
4
0
0
4
8
=
(
U c
)
Hemos encontrado una
matriz triangular
U
.
Los n ´umeros 2, 1 y 4 son los
pivotes
de
U
.
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan: Ejemplo A
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=2
4
x
1+
9
x
2−
3
x
3=
8
1
x
2+
1
x
3=4
−
2
x
1−
3
x
2+
7
x
3=
10
4
x
3=8
(
A b
) =
2
4
−
2
2
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−
3
8
−
2
−
3
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10
f
2−
(
4/2
)
f
1;
2
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−
2
2
0
1
1
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−
2
−
3
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;
f
3−
(
−2/
2)
f
1;
2
4
−
2
2
0
1
1
4
0
1
5
12
f
3−
(
1/1)
f
2;
2
4
−2
2
0
1
1
4
0
0
4
8
=
(
U c
)
Hemos encontrado una
matriz triangular
U
.
Los n ´umeros 2, 1 y 4 son los
pivotes
de
U
.
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan: Ejemplo A
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=2
4
x
1+
9
x
2−
3
x
3=
8
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x
2+
1
x
3=4
−
2
x
1−
3
x
2+
7
x
3=
10
4
x
3=8
(
A b
) =
2
4
−
2
2
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−
3
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2
−
3
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2−
(
4/2
)
f
1;
2
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−
2
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0
1
1
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−
2
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3
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;
f
3−
(
−2/
2)
f
1;
2
4
−
2
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0
1
1
4
0
1
5
12
f
3−
(
1/
1)
f
2;
2
4
−2
2
0
1
1
4
0
0
4
8
=
(U c)
Hemos encontrado una
matriz triangular
U
.
Los n ´umeros 2, 1 y 4 son los
pivotes
de
U
.
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan: Ejemplo A
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
4
x
1+
9
x
2−
3
x
3=
8
1
x
2+
1
x
3=
4
−
2
x
1−
3
x
2+
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x
3=
10
4
x
3=
8
(
A b
) =
2
4
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2
2
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2−
(
4/2
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f
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2
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0
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f
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(
−2/
2)
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−
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1
1
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(
1/
1)
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2
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4
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=
(U c)
Hemos encontrado una
matriz triangular
U
.
Los n ´umeros 2, 1 y 4 son los
pivotes
de
U
.
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan: Ejemplo A
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
4
x
1+
9
x
2−
3
x
3=
8
1
x
2+
1
x
3=
4
−
2
x
1−
3
x
2+
7
x
3=
10
4
x
3=
8
(
A b
) =
2
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2−
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4/2
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(
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2)
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(
1/
1)
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2
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0
1
1
4
0
0
4
8
=
(U c)
Hemos encontrado una
matriz triangular
U
.
Los n ´umeros 2, 1 y 4 son los
pivotes
de
U
.
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
x
1=−
1
1
x
2+
1
x
3=
4
x
2=2
4
x
3=
8
x
3=2
(
B c
)
=
2
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0
1
1
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0
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(
4/
1)
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1
1
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0
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;
f
1−
(
−6/4
)
f
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2
0
0
−
2
0
1
1
4
0
0
4
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f
2−
(
1/4)
f
3;
2
0
0
−
2
0
1
0
2
0
0
4
8
;
;
(
1/
2)
f
1;
(
1/
4)
f
3;
1
0
0
−
1
0
1
0
2
0
0
1
2
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
x
1=−
1
1
x
2+
1
x
3=
4
x
2=2
4
x
3=
8
x
3=2
(B c)
=
2
4
−
2
2
0
1
1
4
0
0
4
8
f
1−
(
4/
1)
f
2;
2
0
−6
−
14
0
1
1
4
0
0
4
8
;
f
1−
(
−6/4
)
f
3;
2
0
0
−
2
0
1
1
4
0
0
4
8
f
2−
(
1/4)
f
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2
0
0
−
2
0
1
0
2
0
0
4
8
;
;
(
1/
2)
f
1;
(
1/
4)
f
3;
1
0
0
−
1
0
1
0
2
0
0
1
2
Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
2
x
1+
4
x
2−
2
x
3=
2
x
1=−
1
1
x
2+
1
x
3=
4
x
2=2
4
x
3=
8
x
3=2
(B c)
=
2
4
−
2
2
0
1
1
4
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0
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)
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2
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−
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−
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−6/4
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0
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−
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1
0
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;
;
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4)
f
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1
0
0
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0
0
1
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Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles
2
x
1+
4
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2−
2
x
3=
2
x
1=−
1
1
x
2+
1
x
3=
4
x
2=2
4
x
3=
8
x
3=2
(B c)
=
2
4
−
2
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1/4)
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;
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Resoluci ´on de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles