01 Número complejo Primera parte pdf

(1)

1 Profesorado de Física 2018

Tema 1: NÚMERO COMPLEJO (Primera parte)

INTRODUCCIÓN

Los números reales tienen una gran deficiencia que por muchos años han inquietado a más de un matemático. Esta deficiencia es que no toda función polinómica de coeficientes reales, admite una raíz real. El ejemplo más sencillo es la ecuación

x

2

+

1 =

0

, la cual no tiene solución en el conjunto de los números reales, ya que no existe un número real

x

para el cual

x

2

=

−

1

.

Este problema ha llevado a los matemáticos a inventar un número, que llamaron unidad imaginaria, y lo representaron con la letra

i

, que cumple la igualdad

i

2

+

1 =

0

. Es decir, este nuevo número

i

, tendría la característica, que ningún número real tenía y es que su cuadrado es

−

1

. Escribieron entonces igualdades como

2

₁

i

= −

o

i

=

−

1

. Teniendo en cuenta esto, por ejemplo, la ecuación

x

2

+

x

+

1 =

0

, tendría soluciones

2

3

1 ±

−

=

x

. Además, dado que

−

3 =

3 ⋅

(

−

1 )

y asumiendo que podemos aplicar la propiedad

b

a

ab

=

⋅

, válida para números reales no negativos, tenemos que

−

3 =

3 ⋅

(

−

1 )

=

3 ⋅

i

y por lo tanto las soluciones de la ecuación 2

1

0 =

+

x

, se podrían expresar de la forma:

x

i

2

3

2

1

2

3

1 ±

−

=

±

−

=

Aparecen de esta manera, nuevos números, de la forma

z

=

a

+

bi

con

a

∈

R

,

b

∈

R

.

Estos números, llamados por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), “números complejos” , tienen importantes aplicaciones en diversas áreas de la matemática, física e ingeniería.

LA DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO Y SUS OPERACIONES

ELEMENTALES

Si consideramos

i

=

−

1

como definición de unidad imaginaria y asumimos que se cumple la propiedad

b

a

ab

=

⋅

, tenemos problemas como los siguientes:

i)

1 =

(

−

1 )(

−

1 )

=

−

1 −

1 =

i

⋅

i

=

i

2

=

−

1

ii)

−

4 −

9 =

36 =

6

y por otro lado,

−

4 −

9 =

−

1

4 −

1

9 =

i

4 ⋅

i

9 =

i

2

4

9 =

−

6

Tal dificultad, así como otras, hace que sea necesario dar una definición algo más formal de lo que es la unidad imaginaria y los números complejos.

La definición formal de número complejo está basada en la noción de par ordenado de números reales.

DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO

Al conjunto

C

, cuyos elementos son todos los pares ordenados de números reales. lo llamaremos conjunto de los números complejos y a cada uno de sus elementos lo llamaremos número complejo.

Es decir, un número complejo es un par ordenado de números reales y el conjunto

C

, es el conjunto

R

2.

C

=

{

(

a

,

b

)

,

a

∈

R

,

b

∈

R

}

(2)

2

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS

De la definición de par ordenado, surge que dos números complejos

z

=

(

a

,

b

)

y

w

=

(

c

,

d

)

son iguales si y sólo si

a

=

c

y

b

=

d

. Es decir,

z

=

w

⇔

Re(

z

)

=

Re(

w

)

∧

Im(

z

)

=

Im(

w

)

De lo anterior, surge que si los números reales

a

y

b

son distintos, entonces los números complejos

z

=

(

a

,

b

)

y

w

=

(

b

,

a

)

también lo son.

ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Supongamos que asumimos la existencia de nuevos números de la forma

a

+

bi

donde

a

y

b

son números reales e

i

es un número no real que verifica la igualdad:

i

2

=

−

1

.

Si a estos nuevos números les aplicamos las propiedades elementales de la adición y multiplicación de los números reales, tenemos lo siguiente:

(

a

+

bi

)

+

(

c

+

di

)

=

(

a

+

c

)

+

(

b

+

d

)

i

(

a

+

bi

)

⋅

(

c

+

di

)

=

ac

+

adi

+

bci

+

bdi

2

=

(

ac

−

bd

)

+

(

ad

+

bc

)

i

Esto motiva las siguientes definiciones:

Definimos en el conjunto

C

=

{

(

a

,

b

)

,

a

∈

R

,

b

∈

R

}

las siguientes operaciones:

Adición:

+

:

C

×

C

→

C

tal que

(

a

,

b

)

+

(

c

,

d

)

=

(

a

+

c

,

b

+

d

)

∀

a

∈

R

,

∀

b

∈

R

,

∀

c

∈

C

,

∀

d

∈

R

Multiplicación:

⋅

:

C

×

C

→

C

tal que

(

a

,

b

)

⋅

(

c

,

d

)

=

(

ac

−

bd

,

ad

+

bc

)

∀

a

∈

R

,

∀

b

∈

R

,

∀

c

∈

C

,

∀

d

∈

R

Definiendo de esta forma la adición y la multiplicación en

C

nos aseguramos que en

C

se cumplen las siguientes propiedades que también se verifican en

R

:

Propiedad conmutativa:

z

w

z

+

=

+

y

z

⋅

w

=

w

⋅

z

∀

z

∈

C

,

∀

w

∈

C

,

∀

t

∈

C

Propiedad asociativa:

z

+

(

w

+

t

) (

=

z

+

w

)

+

t

y

z

⋅

( ) ( )

w

⋅

t

=

z

⋅

w

⋅

t

∀

z

∈

C

,

∀

w

∈

C

,

∀

t

∈

C

Propiedad de neutro:

1) Existe un (único) número complejo

θ

, llamado neutro de la suma, tal que

z

+

θ

=

z

2) Existe un (único) número complejo

n

, llamado neutro del producto tal que

n

⋅

z

=

z

,

∀

z

∈

C

Propiedad de opuesto:

Para cada

z

∈

C

existe un (único) número complejo, llamado opuesto de

z

, que anotaremos

−

z

, que cumple:

θ

=

−

+

(

z

)

z

Propiedad de inverso:

Para cada

z

∈

C

(

z

≠

θ

)

existe un (único) número complejo, llamado inverso de

z

, que anotaremos

_z

−1 , tal que

z

−1

=

n

.

Propiedad distributiva del producto respecto a la suma:

t

z

w

z

t

w

z

⋅

(

+

)

=

⋅

+

⋅

∀

z

∈

C

,

∀

w

∈

C

,

∀

t

∈

C

(3)

3 Profesorado de Física 2018

DIFERENCIA Y COCIENTE ENTRE DOS COMPLEJOS

1) De la definición de adición se puede deducir que dados los complejos

u

y

w

, existe y es único el número complejo

z

que verifica la igualdad

u

+

z

=

w

. El complejo

z

se le llama diferencia entre

w

y

u

y se anota

z

=

w

−

u

2) De forma análoga dados dos números complejos

u

y

w

≠

θ

, existe y es único el número complejo

z

que verifica la igualdad

w

⋅

z

=

u

. El complejo

z

se le llama cociente entre

u

y

w

y se anota

w

u

z

=

LOS NÚMEROS COMPLEJOS COMO EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Llamemos

C

O al subconjunto de

C

formado por todos los números complejos con parte imaginaria cero, es decir,

C

_O

=

{

(

a

,

0 )

/

a

∈

R

}

.

Dado que

(

a

,

0 )

+

(

b

,

0 )

=

(

a

+

b

,

0 )

y

(

a

,

0 )

⋅

(

b

,

0 )

=

(

ab

,

0 )

, concluimos que la suma y el producto de dos números complejos pertenecientes a

C

_O también pertenecen a

C

_O. Es decir, los elementos del conjunto

O

C

se comportan con respecto a la adición y a la multiplicación como si fueran números reales. Por tal motivo no haremos distinción entre el número complejo

(

a

,

0 )

y el número real

a

y convenimos en escribir:

a

,

0 )

=

(

y en particular:

θ

=

(

0 ,

0 )

=

0

.

De esta forma podemos pensar al conjunto de los números reales como un subconjunto del conjunto de los números complejos.

UNIDAD IMAGINARIA

Observar que número complejo

(

0 ,

1 )

cumple:

(

0 ,

1 )

⋅

(

0 ,

1 )

=

(

−

1 ,

0 )

=

−

1

Es decir, si definimos

(

0 ,

1 )

2

=

(

0 ,

1 )

⋅

(

0 ,

1 )

, llegamos a que

(

0 ,

1 )

2

=

−

1

. DEFINICIÓN DE UNIDAD IMAGINARIA

Al número complejo

(

0 ,

1 )

lo llamaremos unidad imaginaria y lo anotaremos con la letra

i

, es decir

i

=

(

0 ,

1 )

En base a lo anterior, podemos escribir:

i

2

=

−

1

.

La unidad imaginaria tiene la propiedad de que su cuadrado es

−

1

, propiedad que no goza ningún número real. Es común, en física, denotar a la unidad imaginaria con la letra

j

, ya que

i

se utiliza en general para representar la intensidad.

La unidad imaginaria está presente en algunas de las fórmulas fundamentales de la física como lo son las fórmulas de Heisemberg o Schrodinger.

NOTACIÓN BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Observemos que dado cualquier número complejo

(

a

,

b

)

, podemos escribir las siguientes igualdades:

bi

a

b

a

b

a

b

a

,

)

=

(

,

0 )

+

(

0 ,

)

=

(

,

0 )

+

(

,

0 )

⋅

(

0 ,

1 )

=

+

(

Es decir, todo número complejo

(

a

,

b

)

puede expresarse de la forma

a

+

bi

.

La notación de un número complejo

(

a

,

b

)

como par ordenado de números reales se le llama forma cartesiana del complejo y a la expresión

a

+

bi

se le llama forma binómica.

(4)

4

Expresando los números complejos en forma binómica es más fácil recordar la expresión para calcular el producto de dos números complejos y permite expresar el producto

(

a

,

b

)

⋅

(

c

,

d

)

=

(

ac

−

bd

,

ad

+

bc

)

de la forma:

(

a

+

bi

)

⋅

(

c

+

di

)

=

ac

+

adi

+

bci

+

bdi

2

=

ac

+

(

ad

+

bc

)

i

−

bd

=

(

ac

−

bd

)

+

(

ad

+

bc

)

i

, donde para realizar la multiplicación sólo se debe recordar las reglas habituales de la multiplicación en

R

y que

1

2

−

=

i

SOBRE EL ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Supongamos que

C

es un conjunto ordenado compatible con su estructura algebraica. Es decir, si

C

es ordenado, entonces existe un subconjunto

C

+

⊂

C

tal que:

1) Si

z C

∈

+ y

w C

∈

+, entonces

(

z w

+

)

∈

C

+ y

zw C

∈

+

.

2)

∀ ∈

z C

se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones: i)

z C

∈

+ ii)

− ∈

z C

+ o iii)

z

=

0

Supongamos que

i

∈

C

+. Por 1)

i

2

=

−

1 ∈

C

+

y

(

−

1 )(

−

1 )

=

1 ∈

C

+ y esto contradice 2).

Si suponemos que

−

i

∈

C

+ , un razonamiento análogo permite concluir que

−

1 ∈

C

+ y

1 ∈

C

+ lo cual vuelve a contradecir 2).

De todo esto concluimos que

C

no es un conjunto ordenado compatible con su estructura algebraica.

Por lo tanto, es imposible definir un concepto de número complejo positivo de forma que la suma y el producto de complejos positivos sea un complejo positivo.

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Fue en el siglo XIX cuando el matemático alemán Carl Gauss (1777 -1855) divulga por primera vez la representación geométrica de los números complejos.

Dado que cada número complejo es un par ordenado de números reales, es que puede hacerse la siguiente interpretación geométrica.

Si consideramos en un plano un sistema cartesiano ortogonal

xOy

, podemos asociar a cada número complejo

)

,

(

a

b

z

=

un único punto

P

de dicho plano cuyas coordenadas son

(

a

,

b

)

.

Recíprocamente, a cada punto

P

del plano cuyas coordenadas sean

(

a

,

b

)

se le asocia un único número complejo

z

=

(

a

,

b

)

. Al punto

P

se lo llama afijo del complejo

z

Los números complejos representados en el eje

Ox

son los de la forma

(

a

,

0 )

=

a

, es decir, números reales. Por tal motivo, el eje

Ox

se llama eje real y lo denotaremos como:

Re

.

Los números complejos representados en el eje

Oy

son los de la forma

(

0 ,

b

)

=

bi

, es decir, números complejos con parte real nula, los cuales habitualmente se llaman imaginarios puros.

Por tal motivo, el eje

Oy

se llama eje imaginario y se representa por:

Im

. Im

b

P

=

(

a

,

b

)

O

a

Re

De esta forma hemos establecido una biyección entre el conjunto de los números complejos y el conjunto de los puntos del plano. Es debido a esta biyección que se suele identificar al conjunto

C

con el plano cartesiano y que además se utilice la palabra número complejo y punto indistintamente. Interpretado de esta manera el plano cartesiano se suele llamar plano complejo o plano de Argand - Gauss.

(5)

5 Profesorado de Física 2018

CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO

DEFINICIÓN DE CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO

Dado el número complejo

z

=

a

+

bi

(

a

∈

R

,

b

∈

R

), llamamos conjugado de

z

al número complejo que anotaremos

z

definido por:

z

=

a

−

bi

.

OBSERVACIONES

1) El afijo del conjugado de un complejo

z

es el simétrico del afijo de

z

con respecto al eje real.

2) La conjugación resulta útil para hallar el cociente de dos números complejos.

Dado que

z

⋅

z

=

(

a

+

bi

)(

a

−

bi

)

=

a

2

+

b

2

∈

R

, para expresar el complejo

w

z

de la forma binómica,

bastará con multiplicar numerador y denominador por el conjugado de

w

y transformar así el problema de

dividir dos números complejos, en el de dividir un número complejo entre un número real:

w

z

w

z

⋅

=

Por ejemplo:

i

2

5

2

1

2

5

1 )

1 (

)

1 (

)

1 (

)

3

2 (

1

3

2 +

−

=

+

−

=

+

⋅

−

+

⋅

+

=

−

+

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

Veremos a continuación la representación polar de un número complejo, representación que resulta ser muy útil para trabajar con el producto de números complejos.

Si consideremos en el plano, un sistema cartesiano ortogonal, cada número complejo

z

=

(

a

,

b

)

, queda representado, de manera única, por el punto

P

=

(

a

,

b

)

o por el vector

→

OP

con

O

=

(

0 ,

0 )

.

DEFINICIÓN DE MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO

Dado el número complejo

z

=

(

a

,

b

)

, llamamos módulo o valor absoluto de

z

al número real, que anotaremos

z

y tal que

z

=

a

2

+

b

2

Observar que el módulo del complejo

z

, no es más que la distancia (euclidiana) entre el punto

O

=

(

0 ,

0 )

y el punto

P

=

(

a

,

b

)

, es decir, la longitud o módulo del vector

→

OP

asociado a

z

.

Además, cuando

z

∈

R

, el módulo de

z

, es el valor absoluto de

z

.

(6)

6

DEFINICIÓN DE ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

Un argumento de un número complejo

z

≠

0

, es cualquiera de los ángulos

ϕ

, determinado por la dirección positiva del eje real y la dirección del vector

→

OP

.

ϕ

se considera positivo si es medido en sentido anti horario y negativo si es medido en sentido horario.

Observar que el argumento de un complejo no es único, ya que para un mismo

z

existen infinitos

ϕ

, que difieren en múltiplos de

2 π

. Si al conjunto de todos los argumentos de un complejo

z

no nulo se lo anota

)

arg(

z

tenemos que, si

ϕ

₀

∈

arg(

z

)

entonces

arg(

z

)

=

{

ϕ

∈

R

/

ϕ

=

ϕ

₀

+

2 k

π

,

k

∈

Z

}

Im

b

P

=

(

a

,

b

)

ϕ

O

a

Re

Muchas veces es conveniente asignar a cada complejo un único argumento. Esto pude hacerse limitando

ϕ

a variar en un intervalo semi abierto de longitud

2 π

. Por convención, cuando se toma

ϕ

en el intervalo

(

−

π

;

π

]

, al argumento de

z

, lo llamamos argumento principal y anotamos:

ϕ

=

Arg

(

z

)

Observar que un complejo queda determinado por sus partes real e imaginaria o bien por su módulo y un argumento. En este último caso se dice que el complejo está definido en forma polar.

Si

r

y

ϕ

son módulo y un argumento de

z

respectivamente, escribiremos

z

=

r



ϕ

La pareja ordenada

(

r

,

ϕ

)

son las coordenadas polares del afijo

P

=

(

a

,

b

)

del complejo

z

=

a

+

bi

Dado el complejo

z

=

a

+

bi

.

Si

r

es el módulo de

z

y

ϕ

es uno de sus argumentos, entonces

a

=

r

cos

ϕ

y

b

=

rsen

ϕ

, es decir,

ϕ

cos

)

Re(

z

=

r

e

Im(

z

)

=

rsen

ϕ

Teniendo en cuenta esto último es que podemos escribir :

z

=

r

(cos

ϕ

+

isen

ϕ

)

. Esta última forma de escribir el número complejo

z

se llama forma trigonométrica de

z

Dados

a

y

b

se tiene que

r

=

z

=

a

2

+

b

2 y











≠

=

<

=

−

=

>

=

0

2 /

)

(

0

2 /

)

(

a

si

a

b

tg

b

y

a

si

z

Arg

b

y

a

si

z

Arg

ϕ

π

(7)

7 Profesorado de Física 2018

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

Ejercicio 1

Se consideran los números complejos

z

=

(

x

−

3 ,

y

+

2 )

y

w

=

(

x

2

−

3 ,

x

−

3 y

)

con

x

e

y

números reales.

1) Hallar

x

de manera que

z

y

w

tengan la misma parte real. 2) Hallar

x

e

y

para que

z

=

w

.

3) Hallar

x

e

y

para que

w

=

(

0 ,

0 )

.

Ejercicio 2

1) Expresar cada uno de los siguientes números complejos de la forma

a

+

bi

con

a

∈

R

y

b

∈

R

.

a)

2 i

(

1 −

i

)(

3 +

2 i

)

b)

i

−

+

1

c)

i

2 )

1 )(

2

1 (

+

−

d)

1

2

1 +

i

+

1 2

−

i

2) Para cada uno de los siguientes números complejos se pide, representarlo, escribirlo en forma polar, hallar su opuesto, su conjugado y su inverso.

a)

1 +

i

b)

3 i

c)

−

1 +

i

3

d)

−

3 −

3 i

e)

2 −

i

2

3) Representar los siguientes números complejos y escribirlos en forma binómica.

a)

3

7 

π

b)

2 

π

c)

2

2 

−

π

Ejercicio 3

1) Demostrar que para cada número complejo

z

=

(

a

,

b

)

su opuesto es

−

z

=

(

−

a

,

−

b

)

y que si

z

≠

(

0 ,

0 )

su inverso es













=

+ − +

−

2 2 , 2 2

1

b a

b

b a

a

z

2) Supongamos que se define la multiplicación de dos números complejos

z

=

(

a

,

b

)

y

w

=

(

c

,

d

)

de la siguiente forma:

(

a

,

b

)

⋅

(

c

,

d

)

=

(

ac

,

bd

)

. Investigar si este producto cumple todas las propiedades enunciadas anteriormente.

Ejercicio 4

Tener en cuenta que dos números complejos son iguales cuando tienen respectivamente iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, es decir

a

+

bi

=

c

+

di

⇔

a

=

c

y

b

=

d

.

1) Hallar en cada caso todos los números reales

x

e

y

para que se verifique: a)

2 x

+

3 +

(

i

−

y

)

i

=

0

b)

(

x

+

iy

)

2

=

(

x

−

iy

)

2 c)

x

+

iy

=

x

+

iy

2) Hallar

x

∈

R

en cada caso para que

i

xi

z

−

+

=

1

2

sea:

a) un número real. b) un imaginario puro.

Ejercicio 5

Hallar en cada caso el o los números complejos

z

que verifican:

1)

iz

+ =

1

2 i

2)

2 z

+

z

=

16 +

8 i

3)

3

2

1

2

2 −

=

−

+

−

i

iz

i

z

Ejercicio 6

Dado el complejo

z

, sabiendo que

z

(8)

8

Ejercicio 7

Representar, en cada caso, el lugar geométrico de los afijos de los complejos

z

que cumplen:

1)

Re(

z

)

<

2

2)

z

=

z

3)

z

=

2

4)

z

−

i

=

z

+

i

5)

z

−

z

≤

r

0 ,

z

0 es un complejo dado y

r

es un número real positivo. 6)

z

+

1 <

z

−

1 −

i

7)

z

=

t

+

i

1 −

t

2

,

t

∈

R

,

t

∈

[ ]

−

1 ;

1

8)

z

⋅

z

+

z

+

z

=

0

9)

z

−

z

=

2 Re(

z

−

1 )

Ejercicio 8

Se considera el número complejo

w a bi a R b R

= +

,

∈

,

∈

cuyo afijo es el punto

M

.

Reconocer y representar en cada caso, el lugar geométrico de los afijos de los números complejos

z

que cumplen: 1)

wz w z

+

=

0

2)

wz w z

−

=

2 abi

Ejercicio 9 (PROPIEDADES DEL CONJUGADO)

Siendo

z

y

w

dos números complejos cualesquiera, demostrar que se cumple:

a)

z

=

z

b)

z

±

w

=

z

±

w

c)

z

⋅

w

=

z

w

d)

w

z

w

z

=













si

w

≠

0

e)

z

+

z

=

2 .

Re(

z

)

f)

z

−

z

=

2 i

Im(

z

)

g)

z

⋅

z

=

(

Re(

z

)

) (

2

+

Im(

z

)

2

POTENCIA DE BASE COMPLEJA Y EXPONENTE ENTERO

Si

z

es un número complejo y

n

un número natural, definimos

z

n de la siguiente forma:

• Si

z

=

0

y

n

>

0

entonces

z

n

=

0

n

=

0

• Si

z

≠

0

entonces

z

0

=

1

• Si

z

≠

0

entonces

z

n

=

z

⋅

z

n−1 (

z n

n

_z

z

factores

...

⋅

=

)

• Si

z

≠

0

entonces n _n

z

−

=

1

Observaciones

a) La definición anterior coincide con la dada para números reales.

b) La potencia de base compleja y exponente entero cumple las propiedades que la potencia de base real y exponente entero.

Ejercicio 10

1) a) Calcular

i

n con

n

∈

N

,

0 ≤

n

≤

11

.

b) Demostrar que cualquiera sea el natural

n

se cumple:

i

n

=

i

r donde

r

es el resto de la división entera de

n

entre

4

.

c) Calcular

i

934789

(9)

9 Profesorado de Física 2018

Ejercicio 11 (PROPIEDADES DEL MÓDULO)

Siendo

z

y

w

dos números complejos cualesquiera, demostrar las siguientes propiedades:

a)

z

.

z

=

z

2 y si

z

≠

0

entonces 1 ₂

z

−

=

b)

z

.

w

=

z

.

w

c)

w

z

w

z

=

si

w

≠

0

d)

z

+

w

≤

z

+

w

(Desigualdad triangular)

La propiedad a) es de gran utilidad y permite utilizar el producto de números complejos para trabajar con módulos.

Para demostrar la propiedad b) usar la propiedad a) y tener en cuenta que

z

.

w

=

z

.

w

↔

z

.

w

2

=

( )

z

.

w

2

Ejercicio 12

1) Demostrar que

( )

z

n

=

z

n y

z

n

=

( )

z

n ,

∀

n

∈

N

y

∀

z

∈

C

2) Hallar el módulo de los siguientes números complejos:

z

=

(

1 +

2 i

)

4 y

( )

4 3

)

2

3 (

1 i

i

w

=

+

−

Ejercicio 13 (OPERACIONES EN POLARES)

Las operaciones con números complejos, salvo la adición y la sustracción, son más fáciles de realizar en forma polar que en forma binómica.

Se consideran los números complejos

z

=

r



ϕ

y

w

=

p



λ

dados en forma polar. 1) Demostrar que:

r



ϕ

=

p



λ

↔

r

=

p

y

ϕ

=

λ

+

2 k

π

para algún

k

∈

Z

.

2) Demostrar que

z

⋅

w

=

(

r

⋅

p

)



(

ϕ

+

λ

)

Recordar que:







−

=

+

=

+

senasenb

b

a

b

a

senb

b

sena

b

a

sen

cos

)

cos(

cos

)

(

3) Demostrar que si

w

≠

0

entonces

w

−1

=

p

−1



−

λ

y

=



(

ϕ

−

λ

)

p

r

w

z

4) Demostrar que

z

n

=

r

n



n

ϕ

∀

n

∈

N

5) Resolver la ecuación

z

3

=

z

usando polares.

6) Deducir la fórmula de Moivre que afirma que:

(

r

cos

ϕ

+

irsen

ϕ

)

n

=

r

n

(cos(

n

ϕ

)

+

isen

(

n

ϕ

))

y luego usarla para hallar las fórmulas que dan

sen

(

3 ϕ

)

y

cos(

3 ϕ

)

en función de

sen

ϕ

y

cos

ϕ

7) Calcular en forma binómica:

(

1 +

i

3 )

20 y

(

1 −

i

)

30

8) Hallar los números enteros

n

para los cuales

(

−

3 +

i

)

n es un número real. 9) Hallar los números enteros

n

para los cuales

(

1 +

i

)

n

=

(

1 −

i

)

n .

Ejercicio 14 (POLINOMIOS)

Sea

P

un polinomio de coeficientes reales. a) Demostrar que

P

( )

z

=

P

(

z

)

,

∀

z

∈

C

b) Deducir que si un polinomio de coeficientes reales admite una raíz compleja, admite su conjugada. c) Explicar, proponiendo un ejemplo, que si