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ciertas familias con respecto a la interseccion. Veamos primero esto:´ Propiedad de Intersección Finita

6.1 DEFINICION:

i Una familia de conjuntos tiene la propiedad de interseccion finita (´ PIF ) si cada subfamilia finita tiene interseccion no vacía.´

ii Una familia Ti−I se dice compacta si para ella PIF Ç +Ti−IÁ9 En 6.1. es claro que siempre se tiene que +Ti−IÁ9, entonces para J finito, J©I, se tiene que

+

Á . Así que es una

i−J

Ti 9 +Ti−IÁ9 PIF p implicación cierta. Por tanto una familia es compacta si PIF p+Ti−IÁ9. Pasemos ahora a estudiar ciertas equivalencias que usaremos en la definicion de compacidad.´

6.2 PROPOSICION:

Sea f: D p X una red. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes

i Existe una subred g de f tal que x−lim g. ii x f[ n, )

n D

− ∞

−

+

Sea X un espacio topologico. Entonces las siguientes afirmaciones´ son equivalentes:

i Sea Ti−I una familia de abiertos. Si X œ -Ti−I, entonces existe J©I, J finito tal que X œ -Ti J− .

ii Toda familia de cerrados es compacta.

iii Para cada red f D À p X existe una subred h D À 1 p X tal que lim hÁ9.

DEMOSTRACION:

i ii Supongamos que todo cubrimiento de X por abiertos tiene unp subcubrimiento finito. Suponga ahora que C es una familia tal quei−I a ©J I, J finito

+

C œ , entonces

-

C Á , porque si no lo fuera,

i−I i−I

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es decir si

+

C , entonces

-

( X C ) X. Así que debe

i−I i−I

i œ9 i œ

existir J©I, tal que

-

( XC )œX. y por tanto

+

C œ lo cual

i−J i i−I i

9 no puede ser.

ii ii Sea f: D X una red. Entonces la familia [ a,p p ∞ ), a−D tiene la propiedad de interseccion finita. Tambien la tiene la familia f[ a,´ ´ ∞ ), a−D y entonces tambien f[ a,´ ∞ ), a−D. Pero como esta es una familia de cerrados es compacta ( por hipotesis ) y por tanto´

+

a D% n D

f[ a,∞ Á ) 9. Así pues existe x−+ [ n,∞ ). Por 6.2 existe una −

subred de f, digamos g: D X tal que x1p −lim g.

iii i Sea A , una familia de abiertos. Si no existe J finito, Jp i−I ©I tal que X œ

-

A entonces la familia D œ {

+

( XA ) | J es infinito } forma

i−I i−I

i i

una dirección con la inclusión©. Para cada J©I finito, sea xj−

+

(

i−J

XA ). Se tiene una red f D X tal que fi À p Š

+

( XA ) i ‹œx .i

i−J

Entonces existe una subred g: D X que converge a un x1p −X. Así pues por 6.2

f[ n, ] ( X A ) ( X A )

9Á

+

∞ ©

+

©

+

n−D j−IŠi−J ‹ i−I

+ i i

y por tanto XÁ

-

A . Ahora, si Xœ

-

A existe J© , J finito tal que

i−I i−I

i i I

Xœ

-

A

i−I

i

Espacios Compactos 6.4 DEFINICION:

i Un espacio topológico se dice compacto si cumple una de las afirmaciones de 6.3 ( y entonces todas).

ii Sea A©X. Se dice que A es compacto si el subespacio A es compacto

Compacidad no es una propiedad hereditaria. Recordemos que 6.5 PROPOSICION:

En ‘n con la topología corriente. Entonces, A es compacto si y solo si A es cerrado y acotado

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Sea A cerrado en X. Si X es compacto, entonces tambien lo es A.´ DEMOSTRACION:

Es de la definicion de subespacio que un conjunto A de X es compacto si´ toda familia de abiertos en X que recubre A lo hace tambien por una´ subfamilia finita. Así que suponga que A©

-

B donde cada B es abierto.

i−I

i i

Entonces existe un subcubrimiento finito. Si Xœ

-

B entonces A©

-

B

i−J i−J

i i

(J finito). Así que podemos suponer XœŠ

-

B ‹∪( XA ), J finito. Así

i−J i

que A©

-

B .

i−J i

6.7 NOTA:

i Si X œµY, X es compacto Ç Y es compacto.

ii En cuanto a cerradura de la categoría de los espacios compactos para la suma, esto claramente no se da, a no ser que sea suma finita. Mas formalmente.

Sumas de Espacios Compactos 6.8 PROPOSICION:

i Ninguna suma infinita de espacios topologicos es compacta.´

ii Sea X , i i 1, 2, , n una familia de espacios. Entonces X esi i

œ â

−I

compacto si y sólo si a œi 1,â, n, X es compacto.i

DEMOSTRACION:

Puesto que los espacios compactos son cerrados para isomorfismos, es suficiente demostrar las afirmaciones para reuniones disjuntas de espacios con la topología debil sobre los espacios.´

i Si X es una familia disjunta e infinita y X i−I œ

-

X entonces

i−I

i

claramente este cubrimiento de X no admite un subcubrimiento finito.

ii Si X 1 â X es compacto, como su subconjunto X es cerradon i

entonces es compacto. Si por otro lado X es compacto entoncesi

para una familia Ti−I, si X1 â Xnœ

-

A . Entonces X ( que esi j

i−I

subespacio de

X ) esta cubierto por y tiene un

n

i 1 i

œ

Ti−I

subcubrimiento finito. La reunion de los cubrimientos finitos de X´ i

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6.9 COROLARIO:

i

i i

−I

X es compacto Ç i es finito, ii X es compacto i I a

En cuanto a las equivalencias para producto iniciamos con una debilitacion de la afirmacion (hecho antes de otra manera ) que la´ ´ subcategoría de los espacios compactos es cerrada para isomorfismos:

Producto de Espacios Compactos 6.10 PROPOSICION:

Si f: X Y es continua y epiyectiva y X es compacto, entonces Y esp compacto.

DEMOSTRACION:

Si Y œ

-

B entonces X œ

-

f ( B ) así que si cada B es abierto,

i−I i−I

i i i

1

como X es compacto, X œ

-

f ( B ) para algun J´ © finito. Se recibe

i−J 1

i I

pues que Yœ

-

B

i−I

i

Tenemos ahora el correspondiente teorema para el producto. 6.11 PROPOSICION:

Sea X una familia cualquiera de espacios. Entonces Xi−I œ

#

X es

i−I

i

compacto si y solo si X es compacto para cada ii −I.

DEMOSTRACION:

Puesto que cada 1j:

#

X i X es una epiyeccion si Xj ´

#

X esi

i−I i−I

p œ

compacto, entonces los es tambien X , para cada j´ j −I.

En cuanto al converso, suponga que A es una familia de abiertos de X yi−I que para cada J©I, J finito

-

A ÁX. Puesto que los abiertos subbasicos´

i−J i

generan a los dados podemos suponer inicialmente que la familia en cuestion esta formada por abiertos subbasicos. Sea B la subfamilia que´ ´ i−I tiene un abierto de X en la ii esima coordenada y X en la j´ j esima´ coordenada, si jÁi. Claramente los abiertos B de X tal que i i 1i ( B )i −Bi

1

no cubren a X en numero finito, de otro modo la familia i 1i ( B ) cubriría

1

de manera finita a

#

X lo cual no se da por hipotesis. Tenemos pues que´

i−I

i

existe una familia B ninguna de cuyas reuniones finitas cubre X . Como Xi i i

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xi−Xi

-

B . Esto se puede hacer para cada ii −I. Luego el punto f X , dado por f( i ) x , no puede pertenecer a A

i

−

#

œ

-%I

i i i

i−I

Regresemos ahora a combinar compacidad con separacion.´ 6.12 PROPOSICION:

Sea X un espacio Haussdorff. Sea K compacto en X y sea p−XK. Entonces existen abiertos U−"( p ) y VªK tal que V∩U œ 9.

DEMOSTRACION:

Puesto que X es Haussdorff y p−XK, entonces para cada k−X, existen Uk− ( p ) y Vk− ( k ) tales que Uk∩Vkœ . Naturalmente los

‰

" " 9

Vk K− cubren K. Como K es compacto, existen finitos de ellos V , ki â, Vkt

que cubren K. Tomamos pues V œ

-

V y U ki œ

+

U ki

6.13 COROLARIO:

i Sea X un espacio Haussdorff. Entonces para K©X, si K es compacto entonces K es cerrado.

ii Sea X compacto y Haussdorff. Entonces K es compacto si y sólo si K es cerrado.

iii Sea X compacto y Haussdorff, entonces X es normal. DEMOSTRACION:

i Si K es compacto en X Haussdorff, entonces para cada p−XK existen V y U abiertos con V∩Uœ9 y p−U y VªK. Así que p−U©XV©XK. Así que XK es vecindad de cada uno de sus puntos.

ii Es obvio.

iii Si A y B son cerrados en X y A∩BÁ9 aplique la construccion de´ VkªA, Uk−" ( k ) para cada k−B. Los Uk B− cubren B y por tanto tambien lo cubren un numero finito de ellos U , k´ ki œ1,â,n. Tome V

œ

+

œ

-n n

iœ1 iœ1

V , Uki U ki

Si X es compacto y regular, entonces normal DEMOSTRACION:

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entonces XA es una vecindad abierta de B y como es compacto, entonces existe una vecindad cerrada B, con XAªB.

En efecto, puesto que A es cerrado XA es abierto. Así que para cada x−B existe una vecindad contenida en XA y por la regularidad podemos suponer que es cerrada. Así pues para cada x−B, se tine x O C ( x ) . Entonces B O C .

x B x B

− © − © ©

− −

x x "

-

x

-

x

Como B es compacto ( cerrado en compacto ) entonces B©

-

O ©

-

C ©XA

n n

iœ1 z iœ1 i

Tome B 1 œ

-

C . Así que Xi B y B separan a A y B 1 1

n

iœ1

Espacios Localmente Compactos

En el caso de los espacios Euclideanos estos no son compactos pero todo punto tiene al menos una vecindad compacta, así que se comportan “localmente" de manera compacta. Una suma infinita de espacios compactos no es compacto pero sí es localmente compacto porque para cada punto el compacto a que pertenece es una vecidad. Aquí generalizamos este punto:

6.15 DEFINICION:

X se dice localmente compacto si cada punto tiene una vecindad compacta

Por ejemplo si X es compacto entonces es localmente compacto. Si X ,1

â, X n son localmente compactos, tambien lo es ´

#

X . Por tanto si X esi

n

iœ1

j−J una familia en donde todos los espacios son compactos, excepto a lo mas un número finito que es localmente compacto, entonces #X esj−J localmente compacto.

i Si X es un espacio localmente compacto y K es cerrado en X, entonces K es localmente compacto

ii La imagen continua de localmente compacto es localmente compacta

Si X es localmente compacto y Haussdorff, entonces las vecindades cerradas compactas forman un sistema fundamental ( o base ) de vecindades de cada punto.

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Puesto que X es localmente compacto si x−X, entonces existe una vecindad compacta, digamos C la cual es Haussdorff y compacta y entonces normal. Así que C es Frechet y normal y por ende regular y por´ tanto las vecindades cerradas de cada x−C forman una base de vecindades de x en C. Así que si V−"( x ), entonces V∩C es una vecindad de x en C y por tanto existe una vecindad cerrada W©V∩C. W es entonces compacta también y como C es cerrado en X, W es cerrado en X.

6.18 COROLARIO:

Si X es localmente compacto y Haussdorff entonces X es regular Igualmente es claro que

Si X localmente compacto y regular entonces las vecindades cerradas y compactas forman una base de vecindades de cada punto Se trata ahora de decidir si cuando un espacio no es compacto el puede "generar" un compacto minimal. De hecho aquí la parte minimal está limitada por la adherencia del compacto en el sentido de que si C( X ) es el resultado de compactar a X entonces en C( X ), XœC( X ). En otras palabras X debe apenas "cerrarse" en un compacto.

Compactación

Consideremos ahora funtores TOP p COM. Estos funtores seran´ llamados “funtores de compactacion" o “compactaciones".´

Recordemos que un subconjunto A de X es denso en X si A œ X. Igualmente recordamos que una funcion i: X Y se dice una "inmension"´ p ´ si i: X i( X ) es un homeomorfismo ( isomorfismo ). Denotemos comop antes por al espacio singular o sea el objeto final de TOP.‡

Sea X un espacio topologico: Denotemos por X ( notacion de Hu ) a´ ‡ ´ X∪ Ö‡× y tomemos g‡ œ g ∪ Ö A©X | X‡ ‡A es cerrado y compacto en X . Entonces:×

i g‡ es una topología sobre X :‡

ii Para f: X Y sea f : X Y dada por f |p ‡ ‡ p ‡ ‡Xœf y f ( )‡ ‡ œ ‡. Entonces f puede ser continua y f no serlo. Así que ( ) no se completa en un‡ ‡ funtor TOP COM.p

(8)

iy

f*

Y Y*

ix

f

X Y

iv X es un espacio compacto.‡ DEMOSTRACION:

i Claramente 9−g‡. Por otro lado X‡X ‡ œ que es compacto y9 cerrado por tanto X‡ −g‡.

b X‡A y X‡B son cerrados y compactos. Así que X‡( A∩B ) œ ( X‡A ) ∪( X‡B ) es cerrado y compacto en X.

c A es abierto en X y X‡B es cerrado y compacto. Luego A∩B œ A∩( D∪X ) ‡ œ A∩D−g

En cuanto a la reunión de abiertos si Ti−I es una familia de ellos existiran unos de ellos en cuya reunion esta por supuesto en yg ´ g aquellos A tales que Xi A es cerrado y compacto en X. Entoncesi

‡

X‡-Ti−I œ

+

( X‡A ) que es cerrado e incluido en cualquiera

i − J

i

de los X‡A que es compacto. Así quei

+

( X‡ A ) es cerrado yi

i − J

compacto en X.

Resta pues demostrar que si A−g y X‡B es cerrado y compacto en X entonces A∪B−g‡. Pero

ii Para demostrar la no necesaria continuidad de f simplemente‡ damos un contra ejemplo. Sea f: la funcion seno. Tomemos‘p‘ ´

A œ Ö‡× ∪( ∞ , 1) ∪( 1,∞ )

Claramente ‘‡A œ [ 1, 1 ] que es cerrado y acotado en .‘ Luego A es abierto en ‘‡. Ahora la imagen recíproca de A por f es‡ ‡ y ‘‡ Ö‡× œ‘, que no es compacto.

iv Suponga que X ‡ œ

-

A donde cada A es abierto en X . Entoncesi−I i ‡

pertenece a algun A que denotaremos por A . Así que Xi ‡ A es‡

‡

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-

A entonces

i−I

i

XA‡©

-

A ∪A

n

iœ1

i ‡

El proceso se llama compactacion por punto al infinito. ´ Se tiene pues que no constituye un funtor TOP COM en realidad. Se tienen solucionesp posibles para hacer de la compactación un mecanismo funtorial como restricción del dominio, por objetos, por morfismos o por ambos, o cambiar de funtor o todos ellos. Aquí daremos una de esas soluciones pero agregamos primero el criterio que se toma como prototipo de la compactación óptima. Para ello diremos que una función f: X Y entrep espacios es una inmersión si flX,F( X ) es un homeomorfismo. Por ejemplo si A es un subconjunto abierto de X, entonces la inclusión i: A X es unap inmersión. La condición en este ejemplo es en realidad necesaria y suficiente como se le pide mostrar en los ejercicios.

Ahora, un proceso C de compactación se considera óptimo si X©C( X ), la inclusion i: X C( X ) es una inmersión y finalmente i ( X ) ´ p œ C( X ). La compactacion por punto al infinito desafortunadamente no es funtorial´ pero sí cumple esos tres criterios:

i La inclusion i: X X es una inmersión.´ p ‡ ii i ( X ) œ X ‡

Ahora damos la categoría donde un tipo de compactación actua funtorialmente y cumple con estos criterios.

Espacios Tychonoff 6.22 DEFINICION:

Sea X un espacio. Se dice que X es un espacio de Tychonoff si existe un conjunto M y una inmersion f: X ´ p IM en donde es el intervaloI

unidad

Nosotros aceptamos sin demostracion que la inmersion puede escogerse´ ´ así: se toma Mœ{ f: X | f Continua } y la inmersión es la funcion :p I ´ IX

X que a xpI −X, le asigna "la evaluación en x", es decir la función ( xI M

X

): M que a pI α−M la envía en ( x ). Así pues α ŠIX( x ) ( )‹α œα( x ).

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) M( X ) que a Y p pαI le asigna X Y pf pαI. Es decir que M( f ) ( )α œα‰f. M( f ) induce a su vez la función I : I I que a I le asigna

M( f ) M( x ) M( Y ) M( x )

p α−

α‰M( f ). Es decir que IM( f )( )α œα‰M( f ). Que IM( f ) es continua sigue de 6.23 PROPOSICION:

Si h: T J es una funcion, entonces X : X X que a p ´ h Jp T α−X loJ envía en α‰h (es decir X ( )h α œα‰h ) es continua.

DEMOSTRACION:

Para cada i−I veamos que 1i‰X es continua (lo cual implica que X esh

h

continua) . Pero 1i‰X ( )h α œ1i( X ( ) ) h α œ 1 αi( ‰h )œα‰h( i )œα( h( i ) )œ1h( i )( ) y entonces α 1i‰Xhœ1h( i ) que

es una proyección y entonces es continua Se tiene ademas que.´

Si f: X Y es una funcion continua entoncesp ´ X f Y IX IY

I I

I

M( x ) M( Y )

M( f )

conmuta.

DEMOSTRACION:

Sea g−M( Y ), es decir que g: Y es continua entonces para g: Y pI pI

se tiene.

1g ( f ) ( x ) Iy œ ( f( x ) ) ( g ) Iy œ g( f( x ) )

y

( 1gI Ix ) ( x ) 1M( f ) ( g ) ( ( x ) )Ix ( ( x ) ) ( gIx f ) ( g f ) ( x ) g(

M( f )

œ œ ‰ œ ‰ œ

f( x ) )

Como esto sucede para cada g−M( Y ) entonces el diagrama conmuta

La Compactación de StoneCechv

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6.25 DEFINICION:

C( X ) œ ( X ) en Ix I se llama “ la compactacion de Stone´ Cech

M( x ) v

" del espacio Tychonoff X. 6.26 COROLARIO:

i Para cada espacio Tychonoff X existe un espacio compacto C( X ) y una inmersion X´ ÄIx C( X ) tal que ( X ) Ix œ C( X )

ii C se extiende a las funciones continuas si f: X Y es una funcionp ´ continua, entonces existe una unica funcion continua C( f ) : C( X )´ ´

Ä C( Y ) tal que

X f Y

IX IY

C( X ) C( Y ) conmuta

C( f )

Ahora bien, note que C( X ) es un espacio Haussdorff, como tambien lo es´ X.

Sea TYC la categoría de los espacios Tychonoff y HC la categoría de los espacios Haussdorff Compactos . Entonces:

i C: TYC HC con Xp ÈC( X ) y fÈC( f ) es un funtor covariante. ii TYC contiene a HC. Es decir que todo espacio Haussdorff y

compacto es un espacio Tychonoff ( es suficiente localmente compacto) .

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PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

1 Demostrar la proposición 6.2. 2 Demostrar la proposición 6.20 iii. 3 Demostrar la proposición 6.21. 4 Demostrar la proposición 6.26. 5 Demostrar la proposición 6.27.

6 Denuestre que el cociente de un espacio localmente compacto es localmente compacto.

7 Cierto o falso: todo subespacio de un espacio Tychonoff es Tychonoff. Demuestre su afirmación. Si la respuesta es "falso" agregue al subespacio una condición para que la respuesta cambie a "cierto".

8 Muestre que la inclusion i:A X es una inmersión si y solo si A esp abierto en X. Decida si la siguiente "generalización" es cierta: sea f: X Y una funcion continua, inyectiva y tal que f( X ) es abierto en Y.p Entonces f es una inmersión.

9 Se denota S al subespacio de 1 ‘3 de todos los vectores de norma 1. Muestre que S es compacto, S1 1 Ö × œA S y que S1 1 Ö × œA µ‘. 10 Dé una topología sobre que contenga a la corriente y para la cual‘