Transformada Inversa de Laplace pdf

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(1)

1. Introducci´on 2

1.1. Transformaci´on inversa de Laplace - Expansi´on por fracciones parciales . . . 2

1.1.1. Expansi´on en t´erminos de factores lineales . . . 4

1.1.2. Polos complejos . . . 11

(2)

Introducci´

on

1.1.

Transformaci´

on inversa de Laplace - Expansi´

on

por fracciones parciales

El c´alculo de f(t) desde su transformaci´on de Laplace F (s) es llamada transformaci´on inversa de Laplace. La transformada inversa de Laplace de F (s) puede ser calculada desde

f(t) := £−1[F (s)] := 1 2πj

Z cj

c−j∞

F (s)estds para t 0 (1.1)

su c´alculo, sin embargo, es complicado y rara vez se utiliza en ingenier´ıa. En este documento

emplearemos s´olo el uso de la tabla (1.1). El m´etodo es aplicable ´unicamente siF (s) es una funci´on racional de s. Considere la funci´on racional

F(s) = N(s)

(3)

donde N(s) y D(s) son dos polinomios. Utilizaremos ”Grad” para denotar el grado de un polinomio. Dependiendo del grado relativo de N(s) y D(s), se tienen las siguientes definiciones:

F (s) es impropia↔grad N(s)> grad D(s) ↔F (∞) =±∞ F (s) es propia ↔grad N(s)≤grad D(s) ↔|F (∞)|=k <∞ F (s) es estrictamente propia ↔grad N(s)< grad D(s) ↔F (∞) = 0

F (s) es bipropia ↔grad N(s) = grad D(s) ↔F (∞) =k 6= 0<∞ Por ejemplo, las funciones racionales s2+1

s+1 s2+ 1 s

10

s9+s8+s7−10 son impropias.

Las funciones racionales

2 s

s+3 (s+2)(1s−3) s

3−1

s10

son propias. Las dos primeras son a la vez bipropias, mientras las dos ´ultimas son

estric-tamente propias.

Esta propiedad de una funci´on racional F (s) puede ser determ´ınada al evaluar F (s) en s=∞.

La idea b´asica es expandir F(s) como una suma de t´erminos cuya transformada inversa de Laplace est´e disponible en la tabla (1.1), y entonces usamos la tabla para encontrar la

transformaci´on inversa de Laplace. Para ser m´as espec´ıfico, expandamos F(s) como

F(s) =k0+F1(s) +F2(s) +...+Fm(s) (1.3)

donde k0 es una constante y Fi(s) es estrictamente propia y toma una de las formas de

la tabla de transformadas, debido a que F1(∞) = 0 ∀i, tenemos

k0 =F (∞) (1.4)

(4)

encontrar la inversa de Fi(s)y la transformada inversa de Laplace de F(s) es

f(t) =k0δ(t) +f1(t) +f2(t) +...+fm(t) para t≥0 (1.5)

Esto termina el c´alculo de la transformada inversa de Laplace deF(s). Por lo tanto los c´alcu-los principales involucran la expansi´on en (1.5). Existen dos posibilidades en la expansi´on:

1. Utilizamos exclusivamente t´erminos de la forma 1

s+a,s+1a

2

, ...,llamados factores lineales, donde a puede ser real o complejo. En este caso, nuestro c´alculo puede involucrar numeros complejos.

2. Podemos utilizar factores lineales y factores cuadr´aticos como b

[(s+c)2+b2] y

(s+c) [(s+c)2+b2], ...,

donde b y c son todos n´umeros reales. En este caso, podemos impedir los n´umeros complejos en nuestro c´alculo.

1.1.1.

Expansi´

on en t´

erminos de factores lineales

Usemos un ejemplo para ilustrar el procedimiento. Considere la siguiente funci´on racional

de grado 4.

F(s) = 2s2+s32s

s4+ 7s3+ 18s2 + 20s+ 8 (1.6)

Esta es una funci´on racional bipropia. El primer paso de la expans´on en fracciones parciales

es factorizar el denominador de F(s). Ciertamente esta no es una tarea f´acil si el grado es 3 o mayor. Desafortunadamente la factorizaci´on no se puede evitar, si el denominador de f(s) no se encuentra en forma de factores o no puede ser factorizada f´acilmente a mano, se puede

utilizar una computadora (o bien una calculadora cient´ıfica). Por lo pronto asumiremos que

todaF(s) est´a en forma factorizada, de tal manera que

F(s) = 2s4+s32s

(5)

La funci´on tiene un polo simple en−1 y un polo repetido con multiplicidad 3 en−2. Podemos

expandir (1.7) como

F(s) =k0+ k1 s+ 1 +

k2 s+ 2 +

k3 (s+ 2)2 +

k4

(s+ 2)3 (1.8)

De igual manera se puede expandir como

F(s) =k0+ k1 s+ 1 +

k2+k3s+k4s2

(s+ 2)3 (1.9)

Esta forma, no es tan deseable como (1.8) debido a que mientras todas las transformadas

inversas de (1.8) se encuentran en la tabla (1.1), mientras que la transformada inversa del

´ultimo t´ermino de (1.9) no lo est´a. por lo que expandamos F(s) como (1.8). Una vez que todos loski de (1.8) han sido calculados, la transformada inversa de Laplace deF(s) en (1.7)

utilizando la tabla de transformaciones es:

f(t) =k0δ(t) +k1e−t+k2e−2t+k3te−2t+ k4 2t

2e−2t (1.10)

Ahora consideremos el c´alculo de Ki en (1.8). La ecuaci´on (1.8) es una identidad; que se

cumple para todas, incluyendo s=∞. Con el objetivo de ilustrar la idea b´asica, analizare-mos diferentes m´etodos para calcular ki. Antes de continuar, evaluemos s = ∞. Entonces

(1.8) es igual a

F(s) =k0+k1·0 +k3·0 +k4·0 (1.11)

o

k0 =F(∞) = 2

1 = 2 (1.12)

este es simplemente la divisi´on entre los coeficientes con s4 en F(s). Por lo que k

o es

(6)

M´etodo 1 La multiplicaci´on de (s+ 1)(s+ 2)3 a (1.8) produce

2s4+s3−2s= 2(s+1)(s+2)3+k

1(s+2)3+k2(s+1)(s+2)2+k3(s+1)(s+2)+k4(s+1) Lo cual puede ser reordenado como

2s4+s32s2(s4+ 7s3+ 18s2 + 20s+ 8) =−13s336s2 42s16 =

(k1+k2)s3+ (6k1+ 5k2+k3)s2+ (12k1+ 8k2+ 3k3+k4)s+ (8k1+ 4k2+ 2k3+k4) (1.13)

igualando los coeficientes que tienen la misma potencia de s se obtiene

k1+k2 =−13

6k1+ 5k2+k3 =−36

12k1+ 8k2+ 3k3+k4 =−42

8k1+ 4k2+ 2k3+k4 =−16

o bien en forma matricial

       

1 1 0 0

6 5 1 0

12 8 3 1

8 4 2 1

                k1 k2 k3 k4         =         −13 −36 −42 −16         (1.14)

Esta ecuaci´on puede ser resuelta por alg´un m´etodo de eliminaci´on, de la resoluci´on de

este sistema se obtiene k1 = 3, k2 = −16, k3 = 26 y k4 = −28. Una vez que los k1 se han calculado la transformada inversa de Laplace de (1.7) tiene la forma (1.10).

(7)

Adem´as de k0 = 2 hay cuatro inc´ognitas en (1.8). Vamos a seleccionar cuatro valores diferentes de s para generar cuatro ecuaciones, estos valores de s son escogidos de acuerdo a lo que mejor convenga para los c´alculos. Si seleccionamos s= 0,1,2,−3 entonces (1.8) se convierte en

s= 0 0 = 2 +k1+ k2 2 + k3 4 + k4 8

s= 1 0 = 1

2·27 = 2 + k1 2 + k2 3 + k3 9 + k4 27 s= 2 0 = 32 + 84

3·64 = 2 + k1 2 + k2 4 + k3 16+ k4 64 s=−3 0 = 16227 + 6

(−2)1)3 = 2 + k1 −2 + k2 −1 + k3 1 + k4 −1

Note que excepto por −1 y −2 los valores de s pueden seleccionarse arbitrariamente. Estas ecuaciones puede acomodarse en forma de matriz

        1 1

2 14 18 1

2 13 19 271 1

3 14 161 641 1

2 −1 1 −1

                k1 k2 k3 k4         =         −2 107 54 29 16 137 2         (1.15)

de aqu´ı se obtiene k1 = 3, k2 = −16, k3 = 26 y k= 28. Este resultado es el mismo que el obtenido por el m´etodo 1, observe que tambi´en se puede usar la ecuaci´on polinomial

(1.13) para obtener las cuatro ecuaciones seleccionando diferentes valores de s. Utilizando esta ecuaci´on podemos seleccionar cualquier s, incluyendo los valores de los polos de F(s). Si usamos la funci´on racional (1.8), no podemos seleccionar los polos de F(s) como s.

M´etodo 3 Usando f´ormula

(8)

F(s)(s+ 1) =k0(s+ 1) +k1+ k2(s+ 1) s+ 2 +

k3(s+ 1) (s+ 2)2 +

k4(s+ 1)

(s+ 2)3 (1.16)

Si evaluamos la ecuaci´on en s = −1, todos los t´erminos excepto k1 son cero en (1.16), luego se tiene

k1 = F(s)(s+ 1)|s=−1 =

2s4 +s3 2s (s+ 2)3

¯ ¯ ¯ ¯

s=−1

= 2·11 + 2

1 = 3 (1.17)

La multiplicaci´on de (s+ 2)3 por (1.8) resulta

F(s)(s+ 2)3 =k

0(s+ 2)3+

k1(s+ 2)3

s+ 1 +k2(s+ 2) 2+k

3(s+ 2) +k4 (1.18)

al evaluar en s=−2, implica

k4 = F(s)(s+ 2)3¯¯s=−2 = 2s

4+s32s s+ 1

¯ ¯ ¯ ¯

s=−2

= 2·168 + 4

−2 + 1 =−28 (1.19)

Al derivar (1.18) se obtiene

d

ds[F(s)(s+ 2)

3] = 3k

0(s+ 2)2+ d ds

·

k1(s+ 2)3 s+ 1

¸

+ 2k2(s+ 2) +k3 (1.20)

y evaluando en s =−2 entonces se obtiene

k3 = d ds

£

F(s)(s+ 2)3¤

¯ ¯ ¯ ¯ s=−2 = d ds ·

2s4+s32s s+ 1

¸¯¯ ¯ ¯

s=−2

= (s+ 1)(18s

3+ 3s22)(2s4+s32s) (s+ 1)2

¯ ¯ ¯ ¯

s=−2

=−(8·(−8) + 122)(2·168 + 4) = 26) (1.21)

(9)

d2

ds2[F(s)(s+ 2)

3] = 6k0(s+ 2) + d2 ds2

·

k1(s+ 2)3 s+ 1

¸

+ 2k2

evaluando en s=−2 se obtiene

k2 = 1 2

d2 ds2

£

F(s)(s+ 2)”¤

¯ ¯ ¯ ¯

s−2

k2 = 1 2

·

(s+ 1)2(24s3+ 30s3+ 6s)2(6s4+ 10s3 + 3s22)(s+ 1) (s+ 1)4

¸

luego k2 =−16.

De la derivaciones anteriores, podemos establecer una f´ormula general para el c´alculo de

ki. Si

F(s) =k0+

X

i

·

ki

s−ai

+ c1 s−b +

c2

(s−b)2 +· · ·+ cm

(s−b)m

¸

(1.22)

esto es,F(s) tiene un n´umero de polos simples enai y un polo repetido con multiplicidad

m en b, entonces tenemos

k0 = F(∞) (1.23a)

ki = F(s)(s−ai)|s=ai (1.23b)

ci =

1 (m−i)!

dm−i

dsm−i [F(s)(s−b) m]

¯ ¯ ¯ ¯

s=b

(1.23c)

para i=m, m−1, ... ,2, 1.

Estas f´ormulas pueden ser utilizadas para calcular los coeficientes en una expansi´on en

fracciones parciales.

La f´ormula (1.23) requiere diferenciaci´on de funciones racionales y es complicada. Un

(10)

obtenido por la diferenciaci´on del polinomio y requiere menos c´alculos que con (1.23).

M´etodo 4 Este m´etodo utiliza primero al M´etodo 3 para calcular los coeficientes asociados

con polos simples y la potencia m´as alta del polo repetido y usa el M´etodo 2 para calcular los

coeficientes restantes.

Por ejemplo, considere (1.8) utilizando el M´etodo 3, se puede calcular f´acilmentek0 = 2, k1 = 3, k4 =−28, y (1.8) se convierte en

2s4+s32s

(s+ 1)(s+ 2)3 = 2 + 3 s+ 1 +

k2 s+ 2 +

k3 (s+ 2)2

28 (s+ 2)3

y a´un quedan 2 inc´ognitas por resolver. Seleccionemos arbitrariamente s = 0 y s = 1 para obtener:

s= 0 0 = 2 + 3 + k2 2 +

k3 4

28 8

s= 1 1

2·27 = 2 + 3 2+

k2 3 +

k3 9

28 27

Estas dos ecuaciones puedes ser simplificadas como

k2 2 +

k3 4 =

−3 2 k2

3 + k3

9 = −66

27

la soluci´on es k2 =−16 yk3 = 26.

En esta secci´on revisamos 4 M´etodos para realizar una expansi´on en fracciones parciales.

(11)

1.1.2.

Polos complejos

La discusi´on anterior se aplica de igual manera si un polo es complejo o real. Si es

com-plejo, los c´alculos implican n´umeros complejos, adem´as al final de la expansi´on en fracciones

parciales ser´a necesario alguna manipulaci´on adicional para transformar las funciones con

valores complejos en funciones con valores reales.

Considere la funci´on de transferencia

F(s) = s

(s+ 1)(s+ 1−j2)(s+ 1 +j2) (1.24)

Todos los polos son simples y distintos, La expansi´on tiene la forma

F(s) = k0+ k2

s+ 1−j2 +

k3 s+ 1 +j2

utilizando (1.23a) y (1.23b)

k0 = F(∞) = 0

k1 = F(s)(s+ 1)|s=−1 = s

s+ 1−j2)(s+ 1 +j2) = −1

4

k2 = F(s)(s+ 1−j2)|s=−1+j2 = −1 +j2 (j2)(j4) =

1−j2 8

k3 = F(s)(s+ 1 +j2)|s=−1−j2 = −1−j2 (−j2)(−j4) =

1 +j2 8

De hecho una vez que k2 es encontrado, el c´alculo de k3 es inecesario, debe ser igual al complejo conjugado dek2. Usando estoski t la tabla (1.1) la transformada inversa de Laplace

(12)

f(t) = −1 4 e

−t+ 1−j2

8 e

−(1−j2)t+1 +j2

8 e

−(1+j2)t (1.25)

para t 0.

Los coeficientes de F(s) en (1.1.2) son todos reales; luego la transformada inversa de Laplace debe ser una funci´on real. Esto implica que las dos funciones complejas en (1.25)

deben combinarse en una funci´on real.

Dado que la forma polar de un n´umero complejo x:=a+jbes x=rejθ.

Donde r=√a2+b2 y θ = arctan (b/a), entonces

k2 =

5 8 e

−j63,5◦ =

5 8 e

−j1,1radian

k3 =

5 8 e

j1,1radian

La soluci´on ahora tiene la forma

f(t) =−0,25e−t+

5 8 e

−j1,1e−(1−j2)t+

5 8 e

j1,1e−(1+j2)t (1.26)

f(t) = −0,25e−t+

5 8 e

−t¡e−j(2t−1,1)+e−j(2t−1,1)¢

usando

cosα = ejα+e−jα 2

se obtiene

f(t) =−0,25e−t+

5 8 e

(13)

1.2.

Expansi´

on en t´

erminos de factores lineales y cuadr´

aticos

-C´

alculo real

En la expansi´on en t´erminos de factores lineales si F(s) tiene polos complejos, entonces la expansi´on generalmente involucra n´umeros complejos. En esta secci´on los polos complejos

no ser´an factorizados y permanecer´an como un t´ermino cuadr´atico con coeficientes reales.

Por ejemplo, considere la funci´on racional estrictamente propia

F(s) = s

(s+ 1)(s2+ 2s+ 5) (1.28)

el factor cuadr´atico tiene un par de polos complejos. En lugar de factorizarlo como

(s+ 1 + 2j)(s+ 12j), usaremos la f´ormula

s2+bs+c=s2+bs+

µ

b 2

2

µ

b 2

2

+c=

µ

s+ b 2

2

+

µ

c−b 2 4

para expresarlo como

s2+ 2s+ 5 = (s2+ 2s+ 1)1 + 5 = (s+ 1)2+ 22

Ahora se puede expandir como

F(s) = k1 s+ 1 +

k2s+k3

(s+ 1)2 + 22 (1.29)

esta expansi´on no es tan conveniente como la siguiente expresi´on

F(s) = k1 s+ 1 +

k2(s+ 1) (s+ 1)2+ 22 +

k3·2

(s+ 1)2+ 22 (1.30)

dado que (1.29) necesita algunos manipulaciones adicionales antes de poder usar la tabla

(14)

k1 puede ser calculada como

k1 =F(s)(s+ 1)|s=−1 =

s s2+ 2s+ 5

¯ ¯ ¯ ¯

s=−1 = −1

4

Para encontrar k2 y k3, seleccionamos 2 valores reales de s diferentes de −1 en (1.30) para obtener 2 ecuaciones, sea s= 0 y 1, entonces

0 = k1 1 +

k2 5 +

2k3 5

y

1 2·8 =

k1 2 +

2k2 8 +

2k3 8

simplificando y sustituyendo k1 =−1/4

k2+ 2k3 = 5 4 k2+k3 =−2k1+

1 4 =

3 4

la soluci´on es k2 = 1/2 y k3 = 1/4 y la transformada inversa de Laplace de (1.28) es

f(t) = −1 4 e

−t+1

4e

−tcos2t+1

2e

−tsin2t (1.31)

(15)

Resumiendo tenemos:

una funci´on racional es el cociente de 2 polinomios, por otro lado una fracci´on propia es

aquella en la cual el numerador es de grado inferior que el denominador.

Toda fracci´on racional pertenece a alguno de los 4 casos siguientes.

1. Todos los factores del denominador son de primer grado y ninguno de ellos se repite.

2. Todos los factores del denominados son de primer grado y algunos de ellos se repiten.

3. El denominador contiene factores irreducibles de segundo grado, ninguno de los cuales

se encuentra repetido.

4. El denominador contiene factores irreducibles de segundo grado algunos de ellos se

encuentran repetidos.

En los cuatro casos anteriores se har´a uso del siguiente teorema:

Si una fracci´on propia reducida a su m´ınima expresi´on se expresa como la suma de

fracciones parciales:

1. A todo factorax+bdel denominados que no aparezca repetido corresponde una fracci´on parcial de la forma K

ax+b donde K es una constante

2. A todo factor (ax+b)r del denominador corresponden las fracciones parciales :

K1 ax+b +

K2 (ax+b)2 +

K3

(ax+b)3 +...+ Kr

(ax+b)r

K1, ...Kr =constante

3. A todo factor irreducible de segundo grado (ax2 +bx+c) del denominador que no aparezca repetido le corresponde la fracci´on parcial K1x+K2

(16)

4. Si ax2+bx+ces irreducible entonces a todo factor (ax2+bx+c)r del denominador

corresponden las fracciones parciales

A1x+B1 ax2+bx+c+

A2x+B2 (ax2+bx+c)2 +

A3x+B3

(ax2+bx+c)3 +...+

Arx+Br

(ax2+bx+c)r

(17)

1

2

(18)

Cuadro 1.1: Tabla 1 Pares de transformadas de Laplace

f(t), t≥0 F(s)

δ(t) 1

1 o q(t) 1

s

t 1

t2

tn (n: entero positivo) n!

sn+1

e−at (a: real o complejo) 1

s+a

te−at 1

(s+a)2

tne−at n!

(s+a)n+1

senωt ω0

s2+ω2 0

cosω0t s

s2+ω2 0

tsenωt 2ω0s

(s2+ω2 0)2

tcosω0t s2−ω20

(s2+ω2 0)2

e−atsenωt ω0

(s+a)2+ω2 0

Figure

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