EJERCICIO 2 : Obtén el valor de k para que el polinomio P(x) ==== 3x5

(1)

TEMA 3 – ÁLGEBRA

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

EJERCICIO 1 : Realiza las siguientes operaciones con polinomios: a)

(

x2 −1

) (

3x2 −2x

) (

−2 x2 +1

)

b)

(

6x4−3x +2

) (

: x2−2x

)

c)

(

2

)

2 5 2

3

3x x x

x + + − d)

(

5 4₋3 2₊2

) (

: 2₊2

)

x x x x

e)

(

x2 −2x+3

)( )

x2−1−x2

(

x−3

)

f)

(

4x5−2x2+x−2

) (

: 2x2−1

)

g) 2

(

3 2 1

)

3

2 _2₋ 2₊ ₋

  

 

+ x x

x h) (2x3 – 3x2 + 2):(x2 + 1) i) x

(

2x2 ₊3

) (

2 ₋2x2 ₋3x

)

j)

(

4 3 ₋2 ₊2

) (

: 2 ₊1

)

2x x

x 2

Solución:

( )(

x 1 3x 2x

) ( )

2x 1 3x 2x 3x 2x 2x 2 3x 2x 5x 2x 2

a) 2− 2− − 2+ = 4− 3− 2+ − 2− = 4− 3− 2+ −

Cociente = 6x2+ 12x + 24 Resto = 45x + 2

(

₂_x2 ₃_x

)

2 _x5 ₃_x2 ₄_x4 ₁₂_x3 ₉_x2 _x5 ₃_x2 _x5 ₄_x4 ₁₂_x3 ₆_x2

c) + + − = + + + − = + + +

Cociente = 5x2− 13 Resto = 2x + 26

e)

(

x2 −2x+3

)( )

x2−1−x2

(

x−3

)

= x4 - 2x3 + 3x2 – x2 + 2x – 3 – x3 + 3x2 = x4 – 3x3 + 5x2 + 2x – 3

Cociente = 2x3+ x − 1 Resto = 2x − 3

(

)

x 5

3 2 x 9

23 1 x 2 x 3 4 x 3 8 x 9 4 1 x 2 x 3 2 x 3 2

g) 2 2 2 2

2

+ + −

= + − − + + = − + −

   

 

+

Cociente = 2x − 3 Resto =−2x +5

(

2x 3

) (

2x 3x

) (

x4x 12x 9

)

2x 6x 4x 12x 9x 2x 6x 4x 12x 2x 15x x

(2)

Cociente = 2x − 1 Resto =−2x + 3

TEOREMA DEL RESTO

EJERCICIO 2 : Obtén el valor de k para que el polinomio P(x) ==== 3x5++++ 2x3++++ kx2−−−− 3x ++++ 4 sea divisible entre x ++++ 1. Solución:

Para que P(x) sea divisible entre x + 1, ha de ser P(−1) = 0; es decir:

P(−1) =− 3 − 2 + k + 3 + 4 = k + 2 = 0 → k =−2

EJERCICIO 3 : Calcula el valor numérico de k para que la siguiente división sea exacta: (kx4−−−− 3x2++++ 4x −−−−5) : (x −−−− 2)

Solución:

Llamamos P(x) = kx4−3x2+ 4x − 5. Para que la división sea exacta, ha de ser P(2) = 0; es decir:

( )

16 9 0

9 16 5 8 12 16

2 = k − + − = k − = → k =

P

EJERCICIO 4 : Halla el valor de k para que el polinomio P(x) ==== kx3−−−− 3kx2++++ 2x −−−− 1 sea divisible entre x −−−− 1. Solución:

Para que P(x) sea divisible entre x − 1, ha de ser P(1) = 0; es decir:

( )

2 1 0

1 2 1 2 3

1 =k− k + − =− k+ = → k = P

EJERCICIO 5 : Consideramos el polinomio P(x) ==== 7x4−−−− 2x3++++ 3x2++++ 1.

a) Halla el cociente y el resto de la división: P(x) : (x ++++ 2) b) ¿Cuánto vale P(−−−−2)? Solución:

Cociente: 7x3 – 16x2 + 35x – 70 Resto: 141 b) P(-2) = 141

EJERCICIO 6 :

a) Calcula el valor numérico de P(x) ==== 14x6−−−− 2x4++++ 3x2 −−−− 5x ++++ 7 para x ==== 1? b) ¿Es divisible el polinomio anterior, P(x), entre x −−−− 1?

Solución:

a) P(1) = 14 − 2 + 3 − 5 + 7 = 17

b) No. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P(x) : (x − 1) coincide con P(1). En este caso P(1)

= 17 ≠ 0; por tanto, P(x) no es divisible entre x − 1.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

EJERCICIO 7 : Factoriza los siguientes polinomios:

a) x4 + x3 – 9x2 – 9x b) x4 −4x3 +4x2 −4x+3 c) x4+3x3−10x2 d) x4 ₊3x3 ₋x2 ₋3x e) x4 ₊2x3 ₋4x2 ₋8x

f) x3+3x2 −4x−12 g) x4 −4x3 −5x2 h) x3 −3x−2 i) x4 ₊2x3 ₊3x2 ₊6x

j) x4 ₊x3 ₋9x2₋9x Solución:

(3)

(

x3 +x2 −9x−9

)

= x

(

x−3

)(

x+3

)(

x+1

)

x

b)

(

1

)(

3

)(

1

)

3

4 4

4 3 2 2

4 ₋ ₊ ₋ ₊ ₌ ₋ ₋ ₊

x x x x

x x x

Raíces: x = 1, x = 3

c) Sacamos factor común:x4 +3x3 −10x2 =x2

(

x2 +3x−10

)

Buscamos las raíces de x2+ 3x − 10 resolviendo la ecuación:

Por tanto: 4 ₊3 3 ₋10 2 ₌ 2

(

₋2

)(

₊5

)

x x x x x x

d) Sacamos factor común: x4 +3x3 −x2−3x= x

(

x3 +3x2 −x−3

)

(

1

)(

1

)(

3

)

3

3 3 2

4 ₊ ₋ ₋ ₌ ₋ ₊ ₊

x x x x x x x x

e) Sacamos factor común: 4 ₊2 3 ₋4 2 ₋8 ₌

(

3 ₊2 2 ₋4 ₋8

)

x x x x x x x x

(

3 2

)

(

)(

)

2

2 2 8

4

2 − − = − +

+ x x x x x

x x

f)

1 3 –4 –12

2 2 10 12

1 5 6 0

–2 –2 –6

1 3 0

(

2

)(

2

)(

3

)

12

4 3 2

3₊ _x ₋ _x₋ ₌ _x₋ _x₊ _x₊

(4)

g) Sacamos factor común: 4₋4 3₋5 2 ₌ 2

(

2₋4 ₋5

)

x x x x x x

Buscamos las raíces de x2 – 4x – 5 resolviendo la ecuación:

2 6 4 2

36 4 2

20 16 4 0

5 4

2₋ ₋ ₌ _→ ₌ ± + ₌ ± ₌ ±

x x

x

1 5

− = =

x x

Por tanto:x4−4x3−5x2=x2

(

x−5

)(

x+1

)

h)

(

)(

)

2 3

1 2 2

3 − = − +

− x x x

x

i) Sacamos factor común:x4 +2x3 +3x2 +6x= x

(

x3 +2x2 +3x+6

)

(

2

)

(

3

)

6

3

2 3 2 2

4₊ _x ₊ _x ₊ _x₌ _x _x₊ _x ₊

x

j) Sacamos factor común: _x4 ₊_x3₋9_x2₋9_x₌_x

(

_x3 ₊_x2₋9_x₋9

)

1 1 –9 –9

3 3 12 9

1 4 3 0

–3 –3 –3

1 1 0

(

3

)(

3

)(

1

)

9

9 2

3

4₊ ₋ ₋ ₌ ₋ ₊ ₊

x x x x x x x x

FRACCIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIO 8 : Simplifica: a)

2 3

3 4 5

3 9 6

x x

x x x

+ + +

b)

x x x

x x

2 3 2 3

3

+ +

−

c)

x x x

2 3

2 2 3

2 3

+ −

− −

d)

2 4

2 3 4

9 3 2

x x

x x x

− − −

e)

x x x

+ −

− + −

2 3

2

1 3 3

f)

1 1

2

3 2

− + ⋅

   

 

+ −

x x x x

x x g)

(

)

1

1 1 2 1

1

2 2 + − + ₋

− x x

x

h) _

  

  

+ − −

− ⋅

   

 

− − +

−

1 6 1

3 1

1 2

2 3

x x

x x x

x x

x

i)

4 1 2

1 3 2 2

2 ₋ − +

− +

− x x

x x

x

j)

(

)

(

)

2 2

2

1 3 1 1 2

1

+ − − ⋅ −

x x x

x

k)

x x

x x x

2 2 3 2 1 1 2

2 2

+ + − + + + −

l)

3 9

4 2 3 4

2 2

+ + − + − − +

x x x

x

m)

2 1 1

2 x x x x x

x _ +

  



 +

−

⋅

n) x

x x x

x x

x 1

3 3 3 3

3 2

2

2 ₊

+ +

+ − +

+

ñ)

1 1 1 2

1 : 1 1

2₋

− −

+ x x

x

1 0 –3 –2

2 2 4 2

1 2 1 0

–1 –1 –1

1 1 0

1 2 3 6

–2 –2 0 –6

(5)

o) x x x x x x x + + − + − + 2 2 2 1 1 p)

(

)

2 1 1 2 1 : 1 1 + + +       + x x x

x q) ₁

5 1 3 1 1 2 2 2 − − + + − + x x x x x x

r)

(

)

x x x x 3 1 2 2 1 1 2

1 − 2

      −

−

⋅

s) x x

x x x x x x 2 7 5 1 3 2 2 2 2 + + − + + + Solución:

a)

(

)

(

)

x

(

x

)

x

(

x

)

x x x x x x x x x x x x x x 3 3 3 3 3 9 6 3 9 6 2 2 2 3 2 2 3 2 3 3 4 5 + = + = + + = + + + = + + +

b)

(

)

(

)

(

)(

)

2

1 2 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 2 3 3 + − = + + + − = + + − = + + − x x x x x x x x x x x x x x x x x x

c)

(

)

(

)

(

)(

)

1

1 1 2 1 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 3 − + = − − + − = + − − − = + − − − x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

d)

(

)

(

)

(

)(

)

3

1 3 3 1 3 9 3 2 9 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 4 + + = + − + − = − − − = − − − x x x x x x x x x x x x x x x x x x

e)

(

)

(

)

x

x x x x x x x x x x 1 1 1 2 1 3 3 3 2 3 2 3 ₋ = − − = + − − + −

f)

(

)

(

)

(

)

(

)

x 1

3 x 3 x 2 1 x 1 x x 1 x x x 2 3 x 3 1 x x x 1 x x x 2 1 x 3 1 x x x 1 x x 2 x

3 2 2 2 2 2

− + + − = − + ⋅ + − + = − + ⋅ + − + = − + ⋅       + ⋅ g)

(

)

(

) (

)(

)

(

( )

) (

(

)

(

) (

)

(

x 1

) (

x 1

)

2 x 2 x 2 1 x 1 x 1 x 2 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 1 x 2 1 x 1 1 x 1 1 x 2 1 x 1 2 2 2 2 2 2 2 2

2 ₋ ₊

− + = + − − + − + + = + − − + − + + = + − + − + − = − + − + − h)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

) (

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

x

1 x 6 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 6 x 1 x 6 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 3 x 3 1 x x 2 x 2 1 x 6 x x x 1 x 1 x 1 x x 3 1 x 1 x 2 1 x 6 x x x 1 x x 3 1 x 1 x 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 = + − − + − ⋅ − + + − − = + − − + − ⋅ − ⋅ + − − + − − = = + − − − ⋅ − + + − − − =         + − − − ⋅       − − + −

i)

(

) (

)(

)

4 x 3 x 11 x 4 x 1 2 x x 6 x 3 x 4 x 2 4 x 1 4 x 2 x 1 x 3 4 x 2 x x 2 4 x 1 2 x 1 x 3 2 x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₋ − + − = − − − + + − + = − − − − − − − + = − − + − + −

j)

(

)

(

)

(

)(

)

) ( )

(

) ( )

(

)

(

)

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 2 1 x 6 x 1 x 2 x 6 1 x 1 x x 3 1 x 2 1 x 1 x x 3 1 x 1 x 2 1 x 1 x x 3 1 x 1 2 1 x + − − = + − − = + − + − = + − + − − = + − − ⋅ −

k)

(

)(

)

(

)

x 2 x 4 x 4 x 2 x 2 x 3 x x 2 x x 4 x 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 1 x x x 2 x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 x 3 2 x 1 x x 1 x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − = + − − + + − − + = + + − + + + + + − = + + − + + + −

l)

(

)(

)

(

)

9 x 12 9 x x 3 x x 4 x 2 12 x 4 x 3 x 9 x 3 x x 9 x x 4 x 2 9 x 3 x 4 x 3 x x 9 x x 4 x 2 3 x 4 x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − − + − − + + + = − − + − + − − + + = + + − + − − + m)

(

)(

)

(

)

(

( )

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 x x 2 1 x x 2 1 x x 1 x x 1 2 1 x x 1 x x 1 x x 2 1 x x 1 x x 1 x x 2 x x 1 x x 1 x 1 x x 2 x x x 1 x 1 x

x 2 2 2 2 2 2 2

− + = − + = − + = + − = = + − + − = + − − − = + − − + − = +       ₊ − −

⋅

n)

(

)(

)

(

)

x 3 7 3 x x x 7 x 3 x x 7 x 3 x 3 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 x 3 x 3 x 1 x x 3 x 3 x 3 x 3 x x 3 x 2 x 1 x x 3 x 3 x 3 3 x 3 x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = + + + + + − − + = + + + + + + − + + = + + + + − + + ñ)

(

)(

)

1 x x 3 x 2 1 x 1 1 x 3 x 2 1 x 1 1 x 1 x x 2 x 2 1 x 1 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 1 x 1 x 2 1 x 1 1 x 2 1 : 1 x 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₋ − = − − + − = − − − + − − = − − − − − = − − + − = − − − +

o)

(

)

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − = + − − − + + = + + − + − + + = + + − + − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 p)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

(6)

q)

(

)(

)

(

)

1 x

1 1

x

x 5 x 3 x 3 1 x x 2 x 2 1 x

x 5 1 x

1 x x 3 1 x

1 x 1 x 2 1 x

x 5 1 x

x 3 1 x

1 x 2

2 2

2

2 2

− = −

− − + + + + = − − −

− + −

+ + = − − + + −

+

r)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2 2

x 6

1 x 2 x 3

1 x 2 1 x 2 x 2

1 x

3 1 x 2 1 x 2 x 2

1 x 2 x 2 x 3

1 x 2 x 2 1 x 2

1 x 2 x 2 x 3

1 x 2 x 2

1 1 x 2

1 −

= − −

+ − = − ⋅

− − − = −

   

 

−

⋅

s)

(

)(

)

x 2 x

2 x

x 7 x 5 2 x x 6 x 3 x 2 x 2 x

x 7 x 5 x 2 x

2 x 1 x 3 x 2 x

x 2 x 2 x

x 7 x 5 x

1 x 3 2 x

x 2

2 2

2

2 2

2

2 2

+ = +

− − + + + + = +

+ − +

+ + + + = +

+ − + + +

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

EJERCICIO 9 : Resuelve las siguientes ecuaciones:

3 4 3 3

4 4

1) 2

2 ₊

− = −

− x

x x x x

2)x4−11x2+28=0 3 4

3 3

4 15 3)

2

2₊ ₌ x −x+ ₊ x

0 100 21

4)x4− x2− =

(

)

(

)

3 1 5

4

5)x x+ − = x x− 6)x4−48x2−49=0 1

2 16 3

7) x+ = x− 8) x+5−x =3

3 14 2 2 4

9) =

− +

+ x

x x

x

6 11 4 2 3

10) =

+ +

x

x 4

5 1 2 1 2

11) =

+ − +

− x

x

x 12) x+4= 4x+12

2 11 1 4 1 2

13) =

− + −

x x x

14) x4 +x3−9x2−9x =0 15) x3 −2x2−11x +12=0 16) x4+x3−4x2−4x =0 17) x3−2x2−5x+6=0 18) x3+4x2−x−4=0

2 7 2

1 2 2

19) −1+ + =

x x

x

(

)

x log log

x

log −3 + 4=

20) 2 21) x4−37x2+36=0

(

1

)

( )

2 2

2

22) ln x+ −ln x =ln 23) 5x+4=2x+1 0

9 8 3 3

24) 2x − x+1+ = 2

2

6 3 3 1 4

5 25)

x x

=

− 26)log

(

x+1

)

−log

(

3x−2

)

=1 27)3 x−1+11=2x

0 4 2 3 2 2

28) x−1+ x+1− ⋅ x + =

x x x

x 1

6 16 1

29) − = +

+ 3

1 3

3 30)

1 1

2

=

+ + −

x x x

0 3 2 2

31) 1−x + x− = 32)1−x = 7−3x 33) 2x+2 +2x −5=0 Solución:

3 4 x 3 x x 3

x 4 x 4

1) 2

2 ₊

− = − −

;

3 4 3 3 3 3 3 3

4

4 2 2 +

− = −

− x x x x

x

; 4x2 −4x−3x=3x2−3x−4 0

4 x 4

x2 − + = ; 2

2 4 2

16 16 4

= = − ± =

x ; Solución: x = 2

0 28 x 11 x

2) 4− 2+ = Cambio: x2=z → x4 =z2 z2−11z+28=0

    

± = → =

± = → = → ± = ± = − ± =

2 4

7 7

2

3 11 2

9 11 2

112 121 11

x z

z

Cuatrosoluciones: x1=− 7, x2 = 7, x3 =−2, x4 =2

3 4

3 x x 3 4 15 x 3)

2

2₊ ₌ − + ₊

;

4 12 4

3 3

4 15 4

4 2 2

+ + − =

+ x x

x

; 4x2+15=3x2−x+3+12

0 x

x2 + = ;

(

)

   

− = → = + = → = +

1 0

1 0 0 1

x x

x

0 100 x 21 x

(7)

   

− =

± = → =

→ ±

= ±

= + ±

=

vale) (no 4

5 25 2

29 21 2

841 21 2

400 441 21

z

x z

z Dos soluciones: x1=−5, x2= 5

(

)

(

)

3 1 x x 5 4 x x

5) + − = − ;

3 5 4

2

2 x x

x

x + − = − ; x2+ x− =x2−x

15 12 3

0 15 x 13 x

2 2+ − = ;

   

− = − = = → ± − = ±

− = + ±

− =

2 15 4

30 1 4

17 13 4

289 13

4

120 169 13

x x

x

0 49 x 48 x )

6 4− 2− = Cambio :x2 =z → x4 =z2 z2−48z−49=0

   

− =

± = → =

→ ± = ±

= + ±

=

vale) (no 1

7 49

2

50 48 2

500 2 48 2

196 304 2 48

z

x z

z Dos soluciones: x1=−7, x2= 7

1 x 2 16 x 3

7) + = − ; 3x+16=

(

2x−1

)

2; 3x+16=4x2 +1−4x; 0=4x2−7x−15

   

− = − = = → ±

= ±

= + ± =

4 5 8 10 3

8 17 7 8

289 7

8 240 49 7

x x x

Comprobación:

vale. sí 3 5

25

3 → = → =

= x

x

vale. no 4

5 2

7 2 7 4 49 4

5 −

= → − ≠ = → −

= x

x

Hay una solución: x = 3

3 x 5 x

8) + − = ; x+5 =3+x; x+5=9+x2+6x; 0=x2+5x+4

  

− =

− = → ± − = ± − = − ± − =

4 1 2

3 5 2

9 5 2

16 25 5

x x x

Comprobación:

vale sí 1 3

1 2 1 4

1 → + = + = → =−

−

= x

x

vale no 4 3

5 4 1 4 1

4 → + = + = ≠ → =−

−

= x

x

Hay una solución: x =−1

3 14 2 x

x 2 x

x 4

9) =

− +

+ ;

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

2

)(

2

)

3

2 2 14 2 2 3

2 3 2 2 3

2 12

− +

− + = − +

+ +

− +

−

x x

x x x

x x x x

x x x

(

4

)

14 6 3 24

12x2− x+ x2+ x = x2 − ; 15x2 −18x =14x2−56; x2−18x+56=0

  

= = → ±

= ±

= − ±

=

4 14 2

10 18 2

100 18

2 224 324 18

x x x

6 11 4 x

2 x 3

10) =

+

+ ;

(

₍

)

₎

₍

₎

₍

(

₎

)

4 6

4 11 4 6

12 4

6 4 18

+ + =

+ + + +

x x

x x x

x x

; 18x+72+12x=11x2+44x; 0=11x2+14x−72

   

− = − = = → ±

− = ±

− = +

± − =

11 36 22

72 2 22

58 14 22

3364 14

22

3168 196 14

x x x

4 5 1 x

2 x 1 x

2

11) =

+ − +

− ;

(

)(

)

(

)(

)

4

(

1

)(

1

)

1 1 5 1 1 4

2 1 4 1 1 4

1 8

+ −

+ − = + −

− − + + −

+

x x

x x x

x x x x

x x

; 8x+8+4

(

x2−3x+2

) (

=5x2−1

)

5 5 8 12 4 8

8x+ + x2− x+ = x2− ; 0=x2+4x−21;

   

− = = → ±

− = ±

− = + ± − =

7 3 2

10 4 2

100 4

2 84 16 4

x x x

12 x 4 4 x

12) + = + ;

(

x+4

)

2 =4x+12; x2+16+8x=4x+12; x2 +4x+4=0;

Comprobación:x=−2 → 2= 4 → síesválida

2 11 1 x

4 x

1 x 2

13) =

− + −

;

(

₍

)(

₎

)

₍

₎

₍

(

₎

)

1 2

1 11 1 2

8 1

2

1 1 2 2

− − =

− + −

− −

x x

x x x

; 2

(

2x2−3x+1

)

+8x=11x2 −11x 2

2 4 2

16 16 4

(8)

x x x x

x 6 2 8 11 11

4 2− + + = 2− ;0=7x2−13x−2;

   

− = − = = → ±

= ±

= + ±

=

7 1 14

2 2 14

15 13 14

225 13

14 56 169 13

x x x

14) Sacamos factor común:x4+x3−9x2−9x=x

(

x3 +x2−9x−9

)

=0 :

9 x 9 x x os

Factorizam 3+ 2− −

x2 – 9 = 0 ⇒ x = ± 3

(

)(

)

      

− = → = +

= → = −

− = → = + =

→ = + − + = − − +

3 0

3

3 0

3

1 0

0 3 3 1 9

9 2 3 4

x x

x x x x x x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:x₁=0, x₂ =−1, x₃ =3, x₄ =−3 15) Factorizamos:

(

)(

)

    

− = → = +

= → = −

= → = − → = + − − = + − −

3 0

3

4 0

4

1 0

3 4 1 12 11 2 2

3

x x

x x x x

x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x₁=1, x₂ =4, x₃ =−3

16) Sacamos factor común:x4+x3−4x2−4x= x

(

x3 +x2−4x−4

)

=0

Factorizamos 3 ₊ 2 ₋4 ₋4:

x x x

(

)(

)

      

− = → = +

= → = −

− = → = + = → = + − + = − − +

2 0

2

2 0

2

1 0

0 2 2 1 4

4 2 3 4

x x

x x x x x x x

Por tanto las soluciones de la ecuación son:x₁=0, x₂ =−1, x₃=2, x₄=−2

17) Factorizamos:

(

)(

)

    

− = → = +

= → = −

= → = − → = + − − = + − −

2 0

2

3 0

3

1 0

2 3 1 6 5 2 2

3

x x

x x x x

x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:x₁=1, x₂ =3, x₃=−2

(9)

(

)(

)

    

− = → = +

= → = − → = + + − = − − +

4 0

4

1 0

1

1 0

4 1 1 4 4 2 3

x x

x x x x

x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:x₁=1, x₂ =−1, x₃ =−4

2 7 2

1 2 2 19)

x x 1

x− ₊ ₊ ₌

;

2 7 2

1 2 2 2

= +

+ x _x

x

Hacemos el cambio de variable: 2x= y :

2 7 1 2 +y+ y = y

; 2 ₊2 2 ₊2₌7 _→ 3 2₋7 ₊2₌0

y y y

y y

   

= = = → ± = ± = − ± =

3 1 6 2 2

6 5 7 6

25 7 6

24 49 7

y y y

1 2

2

2 → = → =

=

•y x x

58 1 2 3 3

3 1 3

1 2 3

1

2

2 ,

log log log

log x

y= → x = → = =− =− =−

•

Hay dos soluciones: x = 1; x2=−1,58

20) log (x − 3)2+ log 4 = log x ; log [4(x − 3)2 ] = log x ; 4(x − 3)2= x → 4(x2− 6x + 9)= x 4x2 − 24x + 36 = x → 4x2 − 25 x 6 + 36 = 0 ;

   

= = = → ± = ± = − ±

=

4 9 8 18 4

8 7 25 8

49 25 8

576 625 25

x x

x

4 9 ; 4 : soluciones dos

Hay x1= x2 =

21) x4−37x2+36=0 ; Cambio: x2 =z → x4 =z2⇒z2−37z+36=0

  

= = → ±

= ±

= − ±

=

1 36 2

35 37 2

1225 37

2

144 1369 37

z z z

1 1

6 36

36 36

2 2

± = → ± = → = → =

± = → ±

= → =

→ =

x x

x z

x x

x z

Hay cuatro soluciones: x1 =−6, x2=−1, x3= 1, x4= 6

22)2ln

(

x+1

) ( )

−ln 2x =ln 2; ln

(

x+1

)

2−ln

( )

2x =ln2;

(

)

(

)

2 2

1 2

2

12 2

= + → =

+

x x ln

(

x+1

)

2=4x → x2+2x+1=4x → x2−2x+1=0; 1 2 2 2

4 4 2

= = − ± =

x ; Hay una única sol: x = 1

23) 5x+4=2x+1⇒ 5x+4=

(

2x+1

)

2⇒5x+4=4x2+4x+1⇒ 0=4x2−x−3

   

− = − = = → ± = ± = + ± =

4 3 8

6 1

8 7 1 8

49 1 8

48 1 1

x x x

Comprobación:

válida Es 1

2 3 9

1 → = = + →

=

x

válida es No 2

1 1 2

3 2 1 4 1 4

3

→ − = + − ≠ = →

− =

x

2 0

9 8 3 3

4) 2x− x+1+ = ;

( )

0 9 8 3 3

3x 2− x⋅ + = :

3 cambio el

Hacemos x ₌y

0 8 y 27 y 9 0 9 8 y 3

(10)

      = = = = → ± = ± = − ± = 3 1 18 6 3 8 18 48 18 21 27 18 441 27 18 288 729 27 y y y 89 , 0 1 3 log 8 log 1 8 log 3 8 log 3 8 3 3 8 3

3 = − = − =

= → = → =

•y x x

1 3 1 3 3 1 − = → = → =

•y x x

Hay dos soluciones: x1=−1; x2= 0,89

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 ₁₂_x 15 4x 6 15 6 4x 9 4x

6 x 12 x 4 x 12 15 x 6 3 3 1 x 4 5

5) − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

     − = = → ± = → = 2 3 2 3 4 9 4 9 2 x x x x 2 3 ; 2 3 : soluciones dos

Hay 1 2 =

−

= x

x

26)log

(

x+1

)

−log

(

3x−2

)

=1; 10 1 10

(

3 2

)

2 3 1 1 2 3 1 − = + → = − + → = − + x x x x x x log 29 21 29 21 20 30

1= − → = → =

+ x x x

x

(

)

(

)

(

)

130 x 53 x 4 0 121 x 44 x 4 9 x 9 121 x 44 x 4 1 x 9 11 x 2 1 x 3 11 x 2 1 x 3 11 x 2 1 x 3 x 2 11 1 x 3 27) 2 2 2 2 2 + − = ⇒ + − = − + − = − ⇒ − = − ⇒ − = − − = − ⇒ = + −     = = = → ± = ± = − ± = 4 13 8 26 10 8 27 53 8 729 53 8 080 2 809 2 53 x x x Comprobación: válida Es 10 2 20 11 9 11 9 3

10 → + = + = = ⋅ →

= x válida es No 2 13 4 13 2 2 31 11 2 9 11 4 9 3 4 13 → = ⋅ ≠ = + = + → = x

28)2x−1+2x+1−3⋅2x+4=0; 2 2 3 2 4 0 2 2 = + ⋅ − ⋅

+ x x

x

; Hacemos el cambio: 2x= y

2 3 4 0

2 + y− y+ =

y

; y+4y−6y+8=0 → −y+8=0 → y=8; 2x =8 → x=3

(

)

(

)

(

)

(

)

0 3 x 14 x 8 0 6 x 28 x 16 0 6 x 28 x 16 6 x 12 x 6 x 16 x 16 x 6 1 x 2 x 6 x 16 x 16 x 6 1 x x 6 1 x 6 1 x x 6 1 x x 16 1 x x 6 x 6 x 1 x 6 16 1 x x 29) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + → = + + ⇒ = − − − ⇒ + + = − − + + = − − ⇒ + + = + + − + ⇒ + = − +      − = − = − = − = → ± − = ± − = − ± − = 2 3 16 24 4 1 16 4 16 10 14 16 100 14 16 96 196 14 x x x 2 3 ; 4 1 : soluciones dos

Hay 1 2

− = −

= x

x

( )

x 1 1 1 x x 1 x 1 x x 3 3 3 1 3 3 30) 2 2 − + − + − + + − = →

= ; x2−x+1−x−1=−1→ x2−2x+1=0: 1

2 2 2 4 4 2 = = − ± = x

Hay una única solución: x = 1

0 3 2 2 2 ) 31 x x 1 = −

+ ⇒Cambio: 2x ₌z. Así,

0 3 2 = − +z

z 2 3 0

2 ₋ ₌

+z z z2−3z+2=0

    = → = → = = → = → = ± = − ± = 0 1 2 1 1 2 2 2 2 1 3 2 8 9 3 x z x z z x x

32)

(

)

   − = = + ± − = → = − + → − = − + → − = − 3 x 2 x 2 24 1 1 x 0 6 x x x 3 7 x 2 x 1 x 3 7 x

(11)

33) 2x⋅22+2x−5=0⇒4⋅2x+2x−5=0⇒5⋅2x−5=0⇒2x =1 ⇒ x=0

SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIO 10 : Halla la solución de los siguientes sistemas, analítica y gráficamente:

a)

     

= +

4 2 2

3 2 3

y x

b)

   

+ =

= − −

x x y

x y

3 0 2 4

2 c) _

  

= − +

− =

0 6

2 2

x y

x x y

d)

    

= +

= + −

7 3

2 2 3

1 y x

y x

e)

   

= + −

− =

0 6 2

3 2

x y

x x y

Solución:

a)

• Resolvemos el sistema analíticamente: y x

y x

y x y

x y x y

x y x

− =

    

= +

     

= +

     

= +

8 8

18 3 2

2 8 2 2

6 18 6 3 6 2

4 2 2

3 2 3

2x +3(8−x)= 18; 2x + 24 −3x = 18; −x =−6 ; x = 6 → y = 8 − 6 = 2 ; Solución: x = 6; y = 2

• Interpretación gráfica:

     

− = → = +

+ − = − = − = → = +

x y y

x

x x x

y y

x

8 4

2 2

6 3

2 3

2 6 3

2 18 3

2 3

Estas dos rectas se cortan en el punto (6, 2).

b)

• Lo resolvemos analíticamente:

2 x x 0 ; x 3 x 2 x 4

2 x 4 y

x 3 x y

0 2 x 4 y

2 2

2 ₊ ₌ ₊ ₌ ₋ ₋

+ =

   

+ =

= − −

    

− = → − =

= → = → ± = ± = + ± =

2 1

10 2

2 3 1 2

9 1 2

8 1 1

y x

x

  

− =

  

= =

2 y

1 x y 10 y

2 x :

2 2

1 1

Solución

• Interpretación gráfica: Larecta y laparábolasecortanenlospuntos(2,10) y ( 1, 2). 3

2 4

2 − −

  

+

= +

=

x x y

(12)

c)

• Resolvemos analíticamente el sistema:

0 6 ;

0 6 2

2 0

6 2

2 2

= − − =

− + −

− =

  

= −

+= − x x x x x

x x y x

y

x x y

    

= → − =

= → = → ± = ± = + ± =

8 2

3 3

2 5 1 2

25 1 2

24 1 1

y x

x

  

= − =

  

= =

8 y

2 x y 3 y

3 x :

2 2

1 1

Solución

• Interpretación gráfica: Laparábola y larectasecortanenlospuntos(3,3) y ( 2,8). 6

2

−

  

−

= −

= x y

x x y

d)

• Resolvemos analíticamente el sistema:

  

= +

= + −

    

= +

= + −

    

= +

= + −

7 3

12 3 2 2

7 3

6 12 6 3 6

2 2

7 3

2 2 3

1

y x

(

7 3

)

14 3

2 ; 3 7 7

3

14 3 2

= − + −

=

  

=

+ =

+ _y _x _x _x

y x

4 3 7 1 3 7 ; 1 ; 7 7 ; 21 14 9 2 ; 14 9 21

2x+ − x= x− x= − − x=− x= y= − ⋅ = − =

Solución: x = 1; y = 4

• Interpretación gráfica: Estasdosrectassecortanenelpunto(1,4). 3

7 7

3

3 2 14 14

3 2

   

− = → =

+

− = → =

+

x y

y x

x y

y x

e)

• Lo resolvemos analíticamente:

0 6 5 ;

0 6 2 3

3 0

6 2

3

2 2

= + − =

+ − −

− =

  

= +

−= − x x x x x

x x y x

y

x x y

    

− = → =

= → = → ± = ± = − ± =

2 2

0 3

2 1 5 2

1 5 2

24 25 5

y x

x

   

− = =

   

= =

2 2 y 0 3 :

2 2

1 1

y x y

x Solución

• Interpretación gráfica: Laparábola y larectasecortanenlospuntos(3,0) y (2, 2) 6

2 3

2

−

  

−

= −

= x y

(13)

EJERCICIO 11 : Halla las soluciones de estos sistemas: a)     − = + + + = x y y x x y 4 1 3 b)      = − = − 3 2 0 3 y x y x

x c)

     = + = + 4 3 3 2 y x y

x d)

    − = − = + 3 6 2 y x y x e)        = + = + 2 5 1 1 5 2 1 y x y x f)    − = − = + 2 2 1 2 y log x log y log x log g)    = += + 6 32 2 ln y ln x ln y x h)     = = − + ₈ 2 0 2 2 x y y log x log i)

(

)

    = + = − 1 2 2 y x log x y j)     = − = + + 2 8 2 2 1 log x log y log y x k)    = − = − 1 9 y log x log y x l)     − = − = − 2 3 2 2 xy x y m)     − = + − = + 1 3 2 1 3 y x y x n)      = − = − 1 2 6 1 1 1 y x y

x ñ)

    = + = − 6 2 2 0 2 y x y x      = + − = − 6 5 1 1 1 2 o) y x y x     = = + 6 13

p) 2 2

xy y x     + − = − = 1 2 5 q) 2 y y x x y Solución: a) x x x x x y x y y x x y − + = + + + + =     − = + + + = 1 3 4 1 3 1 3 4 1

3

₍

₎

2

1 2 5 4 ; 1 2 5

4x+ = x+ x+ = x+

1 ; 4 4 ; 4 1 4 5

4 ₊ ₌ 2 ₊ ₊ ₌ 2 2 ₌

x x x x x ;      = → = → − = → ± = 4 1 válida no 1 1 y x x x

Hay una solución: x = 1; y = 4

b) 9 x x 6 ; 3 3 x x 2 3 x y 3 y x 2 0 x y 3 3 y x 2 0 y x x 3 2 2 2 2 = − = − =       = − = −      = − = − 3 3 2 6 2 36 36 6 ; 9 6

0=x2− x+ x= ± − = = → y =

Solución: x = 3; y = 3

c)

(

)

(

) (

)

x

(

x

)

x x x x x x x x x y x x y x y x − − = − + − −       − = = − +      = + = + 4 4 3 4 3 4 4 2 4 3 4 3 2 4 3 3 2

; 8₋2 ₊3 ₌12 ₋3 2; 3 2₋11 ₊8₌0

x x x x x x        = → = = → = = → ± = ± = − ± = 3 1 3 4 3 8 6 16 6 5 11 6 25 11 6 96 121 11 y x y x x     = =      = = 3 1 y 3 4 3 8 : soluciones dos Hay 2 2 1 1 y x y x d) x x x x y x x y y x y x = − + = −     = + − =     − = − = + 2 3 3 2 6 3 2 6 3 6 2

(

3 2

)

2

( )

2; 9 4 2 12 ; 4 2 13 9 0

= + − = − + =

− x x x x x x x

       = → = → = = → ± = ± = − ± = 4 1 válida no 4 9 8 18 8 5 13 8 25 13 8 144 169 13 y x x x         = ≠ − = ⋅ − = 2 3 4 9 2 3 4 9 2 3 que puesto válida, es no 4 9 solución

(14)

e)

(

)

x y xy xy y x xy x y y x y x y x 1 1 5 5 2 2 5 5 2 2 2 5 2 5 1 1 5 2 1 = → = → = + =     = + + =       = + = + 2 5 2 0 ; 2 2 5 ; 2 2

5₌ ₊ ₌ 2 ₊ ₌ 2₋ ₊

x x x x x x        = → = = = → = → ± = ± = − ± = 2 2 1 4 2 2 1 2 4 3 5 4 9 5 4 16 25 5 y x y x x      = =      = = 2 2 1 y 2 1 2 : soluciones dos Hay 2 2 1 1 y x y x

f)

(

)

   − = − + =    =

−+ = 2 2

2 2 2 2 2 1 2 y log x log y log x log y log x log y log x log 1 0 0 5 2 2 2 2 4 = → = → = − = − = + x x log x log y log x log y log x log

Sustituyendo en la primera ecuación este valor, queda:2logx+logy =1 → logy =1 → y =10 Por tanto, la solución es x = 1, y = 10.

g)

_{( )}

(

5

)

6 5 6 5 6 2 2 6 32 2 5 = − − =    = = +    = =    = += + + x x x y xy y x ln xy ln ln y ln x ln y x y x = − ± = → + − = → = − 2 24 25 5 6 5 0 6

5 2 2

x x x x x      = − = → = = − = → = → ± = ± 3 2 5 y 2 x 2 3 5 y 3 x 2 1 5 2 1 5

Hay dos soluciones: x1 = 3, y1= 2 ; x2= 2, y2= 3

h)    = +=    ==    =− = +

+ ₂ ₃

2 2 8 2 0 2 2 3 2 2 2 x y y x y log x log y log x log x y x

y 3 2 2 3 0

2 3 2 2 2 = − + → − =     − =

= _x _x _x _x

x y y x     − = = → = → ± − = ± − = + ± − = válida) (no 3 1 1 2 4 2 2 16 2 2 12 4 2 x y x

x Hay una única solución: x = 1, y = 1

i)

₍

₎

(

2

)

1 2 10

2 1 2 2 2 2 2 = + − → = + − = −    = += − y y y y log x y y x log x y     − = = → ± − = ± = + ± − = → = − + 4 3 2 7 1 2 49 1 2 48 1 1 0 12 2 y y y y y 7 2 9

3 → = − =

=

•y x

14 2 16

4 → = − =

− =

•y x

Hay dos soluciones: x1= 7, y1= 3 ; x2= 14, y2=−4

j) x 2 y 2 x y 8 2 2 2 log x y log 8 2 2 2 log x log y log 8 2 2 y 1 x y 1 x y 1 x =      = = +      = = +     = − = + + + +

( )

2 8 2

2 8

2

2x+1₊ 2x ₌ _→ x _⋅ ₊ x 2 ₌

; Cambio: 2 ₌ _→ 2 ₊ 2₌8 _→ 2₊2 ₋8₌0

z z z z z x     − = = → ± − = ± − = + ± − = 4 2 2 6 2 2 36 2 2 32 4 2 z z z 2 1 2 2

2 → = → = → =

=

•z x x y

vale No 4

2

4 → =− →

− =

• x

z

(15)

k)     = + =     = + =     = + =     = − = − y x y x y x y x y x log y x y log x log y x 10 9 10 9 1 9 1 9 10 1 9 9 10

9+y = y → = y → y = → x=

1 ; 10 : solución una

Hay x = y =

l) 2 2 3

3 2 3 2 2 2 2 2 2 − = −      ₋     − = − = −    − ==− − _x x x y x y xy x

y _; 4 2 ₃ ₄ 4 ₃ 2 ₀ 4 ₃ 2 ₄

2 −x =− → −x =− x → =x − x −

x 0 4 3 :

Cambio 2 ₌ _→ 2₋ ₋ ₌

z z z x      → − = ± = ± = → = → = → ± = ± = + ± = vale no 1 2 4 4 4 2 5 3 2 25 3 2 16 9 3 2 z x x z z 1 2 1 2 = → − = • − = → = • y x y x 1 ; 2 1 ; 2 : soluciones dos Hay 2 2 1 1 = − = =− = y x y x

m) 3 1 1 3 2

3 1 2 1 3 1 3 2 1

3 ₊ ₌₋ ₋ ₋

   − − = + = −    − =

++ = − y x x x

y x y x y x 1 1 3 3 3 1 3 3 1

3 x+ =− x− → x+ = − x− → x+ =−x−

(

x

)

x x x x x

x+1= − −12 → +1= 2+2 +1 → 0= 2+ ⇒

(

)

    = → − = → = → = + 2 1 válida no 0 0 1 y x x x x

Hay una única solución: x =−1; y = 2

n) 6

(

2 1

)

6

(

2 1

)

1 2 6 6 1 2 6 1 1 1 − = − −    = − = −      = − = − x x x x y x xy x y y x y

x ⇒12 ₋6₋6 ₌2 2₋ _→ 0₌2 2₋7 ₊6

x x x x x x     = → = = = → = → ± = ± = − ± = 2 2 3 4 6 3 2 4 1 7 4 1 7 4 48 49 7 y x y x x 2 y ; 2 3 x ; 3 y ; 2 x : soluciones dos

Hay ₁= ₁= ₂ = ₂ =

ñ)

( )

2 2 6

6 2 2 2 6 2 2 0 2 2

2 _ + =

   = + =     = + =

− _y _y

y y y x y x y x

Hacemos el cambio: 2y= z

    − = = → ± − = ± − = + ± − = → = − + 3 2 2 5 1 2 25 1 2 24 1 1 0 6 2 z z z z z 2 1 2 2

2 → = → = → =

=

•z y y x

válida no 3

2

3 → =− →

− =

• y

z

Hay una solución: x = 2; y = 1

y 2 1 x ) =− + o ⇒

(

)

(

) (

)

0 6 23 10 10 5 12 6 6 2 1 5 2 1 6 6 5 6 6 5 6 6 5 1 1 2

2 _⇒ ₋ ₊ ₌

+ − = + − + − = + − + ⇒ = + = + ⇒ = + y y y y y y y y y y xy x y xy x y y x     − = → = = = → = ± = − ± = 5 2 10 3 20 6 3 2 20 17 23 20 240 529 23 x y x y y 0 36 x 13 x x 13 36 x 13 x 36 x x 6

y 4 2 4 2

2

2₊ ₌ _→ ₊ ₌ _→ ₋ ₊ ₌

→ =

p) Cambio: x2 =z.Así:z2 −13z+36=0⇒

    ± = → = ± = → = ± = ± = − ± = 2 4 3 9 2 5 13 2 25 13 2 144 169 13 x z x z z    = =    − =− =    = =    − =− = 3 2 3 2 2 3 2 3 : 4 4 3 3 2 2 1 1 y x y x y x y x Soluciones

(

5 x

) (

2 5 x

)

1

x= − 2− − +

(16)

SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

EJERCICIO 12 : Obtén, mediante el método de Gauss, la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: a)     − = + +− − = = + + 2 5 8 2 2 7 2 3 z y x z y x z y x b)      = − + − = + − − = − + 4 8 3 2 6 2 3 z y x z y x z y x c)     = + + − = +− + =− − 6 2 6 2 3 4 2 z y x z y x z y x d)     = + − − = +− + = 1 3 2 3 2 2 2 2 z y x z y x z y x e)     − = + − + =− − − = + 3 2 7 3 6 2 2 z y x z y x z y x f)     = − +− + = = − + 4 2 1 3 2 2 2 z y x z y x z y x g)     = + −+ − = = + − 6 2 7 3 6 2 z y x z y x z y x h)     = + − − =− + + = − 9 2 2 5 3 7 2 z y x z y x z y x i)     − = − − − = − + = + 1 1 3 6 2 z y x z y x z y x Solución: a) 0 1 3 0 2 3 7 1 3 2 9 3 9 3 2 15 5 7 2 3 1 3 1 2 1 2 5 8 2 2 7 2 3 = − = = →          = − − = − = + − = = →        − = + − = = + + → − +        − = + + = − − = + + z y x y x z x y x y x x z y x ª ª ª ª ª z y x z y x z y x b) →         = − − = + = − + → −         − = + − − = + = − + → − +         = − + − = + − = − + 0 x 7 2 z x 5 6 z 2 y x 3 ª 2 ª 3 ª 2 ª 1 2 z x 2 2 z x 5 6 z 2 y x 3 ª 1 ª 3 ª 1 ª 2 ª 1 4 z y x 8 z 3 y x 2 6 z 2 y x 3 2 z 2 y 0 x 2 z 2 x 3 6 y 2 x 5 2 z 0 x − = = =         = + − = − = − − = = →

c) x 3 , y 1 , z 1

1 4 z x 2 y 3 z 2 x 1 z 2 z 2 2 z x 4 z y x 2 ª 1 ª 3 ª 1 ª 2 ª 1 6 z y x 2 6 z 2 y x 3 4 z y x 2 = − = =         − = + + − = = + = =         = = − − = + − + − → + +         = + + = − + − = + − − : Solución

d) →

− −         − = + − − = + − = − + → ⋅ − ⋅ −         = + − = + − = − + →         = + − = − + = + − 5) ( : ª 3 ª 3 ª 2 ª 1 5 z 5 y 5 4 z 4 y 5 2 z y 2 x ª 1 2 ª 3 ª 1 2 ª 2 ª 1 1 z 3 y x 2 2 z 2 y x 2 3 z y 2 x ª 3 ª 1 ª 2 1 z 3 y x 2 3 z y 2 x 2 z 2 y x 2 1 z 0 y 2 x 2 z y 2 3 x 0 z 1 y 1 z 1 z y 1 z 3 z y 2 x − = = =         = + − = = + = − = →         = − = − = − + → e)

( )

→ − −        − = + − − = + − = − + → ⋅ − −        − = + − − = + − = − + 5 : 3 3 2 1 15 5 5 13 3 5 6 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 7 3 6 2 2 ª ª ª ª z y z y z y x ª ª ª ª ª z y x z y x z y x 1 2 0 : 0 2 4 6 2 2 6 2 1 3 3 1 2 2 3 2 2 6 2 2 − = = =          = − − = + − = = − = + = − = − = →        = − = − = − +

→ Solución x , y , z