PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO - 2003 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Texto completo

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES

JUNIO - 2003

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4.

OPCIÓN A

1º) De la familia de planos π ≡ x+

(

k +1

)

yz+2k =0, hallar las ecuaciones de los que están a 2 unidades de distancia del punto P(1, 1, 1).

---

La distancia de un punto a un plano es

(

)

2 2 2

0 0 0

,

C B A

D Cz By Ax P

d

+ +

+ + + =

π ; aplicada

al caso presente sería:

(

)

(

)

(

) ( )

(

)

 

  

 

− =

+ =

± = ±

= ±

= +

± = =

− −

+ + = + + +

+ =

+ + +

+ =

+

= + +

+ =

+ + + +

+ − + + = −

+ + +

+ − +

+ =

5 14 2 1

5 14 2 1

5 14 2 1 10

14 4 2 10

224 2

10 220 4 2 ;

; 0 11 2 5

; ; 12 8 4 1 6 9 ; ; 3 2 4

1 6 9 ; ; 3 2 2

1 3

; ; 2 3 2

1 3

1 1 2 1

2 1 1 1

1 1

1

2 1 · 1 1 · 1 1

· 1 ,

2 1

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

k k k

k k

k k k

k k

k k

k k

k k

k k

k k

k

k k

k

k k

P

d π

Los planos pedidos son los siguientes:

; ; 0 5

14 4 2 5

14 2 6 ;

; 0 5

14 2 1 · 2 1

5 14 2 1

1 =

+ + − +

+ =

+ +

   

 

+ +

+

x y z x y z

π

(

3 14

)

5 2

(

1 2 14

)

0 2

5

1 ≡ x+ + yz+ + =

(2)

; ; 0 5

14 4 2 5

14 2 6 ; ; 0 5

14 2 1 · 2 1

5 14 2 1

2 =

− + − −

+ =

− +

   

 

+ −

+

x y z x y z

π

(

3 14

)

5 2

(

1 2 14

)

0 2

5

2 ≡ x+ − yz+ − =

π

(3)

2º) Una matriz 3 x 3 de números reales decimos que es triangular superior si aij = 0 siempre que i > j (es decir, si todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son todos 0). Encontrar las matrices triangulares superiores A tales que verifi-quen simultáneamente

          =                     =           0 0 1 1 1 0 · 0 0 0 1 1 1

· y A

A . ¿No hay alguna que sea

inversi-ble?

---

Sea la matriz pedida

          = f e d c b a A 0 0 0 . ) 1 ( 0 0 ; ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; ; 0 0 0 1 1 1 · 0 0 0    = ++ = +     = = ++ = + ⇒           =           + + + + + +           =                     e d c b a f e d c b a f e d c b a f e d c b a ) 2 ( 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ; ; 0 0 1 1 1 0 · 0 0 0 0    = + = + ⇒           =           + + + + + +           =                     e d c b e d c b e d c b a

Los sistemas (1) y (2) son equivalentes al sistema 1 0 1 0 − = ⇒     = + =

++ + = a e d c b c b a    − = − = ⇒    = + = + d e b c e d c b 1 0 1 R d b d d b b

A ∀ ∈

          − − − = , 0 0 0 0 1 1

No puede existir ninguna matriz A que sea inversible; ellos se debe a que el de-terminante de cualquier matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal y, en este caso, por ser el elemento a33 = 0, resulta siempre que A =0.

(4)

3º) Se considera la función

( )

x

e x x

f = · . Se pide:

a ) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b ) Calcular

( )

f

( )

x

x lím y

x f x

lím

+∞ → −∞

→ .

c ) Hacer una gráfica de la función.

--- a )

Se trata de una función continua en su dominio, que es R.

( )

1· ·

(

1

)

;; '

( )

0

(

1

)

0 ;; 1 0 ;; 1

' x = e +x e =e +x f x = ⇒ e +x = +x= x =−

f x x x x

( )

(

)

( )

>>

(

− +∞

)

− ∞ −

− <

<

, 1 1

0 '

1 , 1

0 '

e Decrecient x

x f

Creciente x

x f

b )

( )

(

)

=∞ ∞=∞

+∞ → = +∞

→ · ·

x

e x x

lím x

f x

lím

( )

(

)

( )

=− =−∞

−∞ → − = − −∞ → = − −∞ →

⇒ ⇒

−∞ →

⇒ ⇒

∞ ∞ − = ∞ − = −∞

= −∞

→ = −∞

∞ −

− ∞

∞ −

e e

x lím e

x lím e

x lím Hopital

L

e x x

lím In

e e

e x x

lím x

f x

lím

x x

x

x x

1 '

. det ·

·

c )

Con objeto de facilitar la representación gráfica de la función vamos a determinar su punto máximo que, según el apartado a ) se produce para x = -1, ya que la función es continua y pasa de ser creciente a decreciente para x = -1; no obstante, vamos a justifi-car analíticamente que se trata de un máximo.

( )

·

(

1

)

·1

(

2

)

;; ''

( )

1

(

2 1

)

1 0 , . . . '

' 1 Máximo cq j

e e

f x e

e x e

x

f = x + + x = x + − = − − = > ⇒

( )

  

 

− −

− = −

=

− −

e P

Máximo e

e

(5)

La concavidad, convexidad y punto de inflexión son:

( )

(

) ( )

(

) ( )

    

∪ −

∞ −

< → − <

∩ ∞ −

> → − >

− = =

+

=

2 , : 0

' ' 2

, 2 : 0

' ' 2

2 ;

; 0 2

0 '

'

Convexa y

x

Concava y

x x

x x

f

( )

(

)

( )

( )

− =− =− → → → → → → → →↑

   

≠ = −

+ =

2 2

2 2

2 ·

2 2

2 , 2 . . 0

2 ' ' ' 3

· '

' '

e e

f

e I

P e

f x e

x

f x

Para x = 0, y = 0. La función pasa por el origen de coordenadas.

Del apartado b ) se deduce que la curva tiene una asíntota horizontal en el eje de abscisas.

Para la representación gráfica formamos una tabla de valores que nos facilite su ejecución:

x 0 -1 1 1 2

y 0

e

1

− 22

e

− e 2e2 Mín P. I.

********** Y

-1

P. I. X

f(x)

-2 -3

-1

1 2

1 e

3

x = 1

Mín

(6)

4º) Hacer un dibujo de la región limitada por las curvas 2 5

x y e x

y = = , y calcular su área. Hallar también las ecuaciones de las rectas tangentes a estas curvas en sus puntos de corte.

---

Los puntos de corte de ambas funciones son los siguientes:

(

)

(

)

( )

   

→ =

→ =

= − =

− =

⇒   

= =

1 , 1 1

0 , 0 0

0 1 ;

; 0 ;

;

2 1 3

2 2

5 5

2 5

2

A x

O x

x x x

x x x x

y x y

Teniendo en cuenta que 2

x

y = es una función par y 5

x

y = es una función impar, la primera es simétrica con respecto al eje de ordenadas y la segunda es simétrica con respecto al origen.

La representación gráfica de la situación, con cierta aproximación, es la siguiente:

Para la curva 5

x

y = se ha utilizado la siguiente tabla de valores aproximados: x 0’7 0’8 0’9 1’1 1’2

y 0’2 0’3 0’6 1’6 2’5

Teniendo en cuenta que las ordenadas de la curva 2

x

y= son mayores que las de A

X

S

y = x2

y = x5

O 1

1

(7)

la curva 5

x

y = en el intervalo del área pedida, es:

(

x x

)

dx x x u S

S − = − = − = =

  

 

− =

   

 

− =

=

2

1

0 5 3 1

0

5 2

15 2 15

3 5 5 1 3 1 0 5 1 3 1 5

3 ·

Las tangentes a las funciones en sus puntos de corte son las siguientes, teniendo en cuenta que la pendiente en los puntos de corte es el valor de la derivada en ese punto y que la recta que pasa por un punto conocida la pendiente es yy0 =m

(

xx0

)

:

   

= → =

= → =

= =

2 1

0 0

2 ' ; ;

2 2

1 1

2

m x

m x

x y x

y Curva

(

)

(

1

)

2 2 ;; 2 1 0

2 1

) (

0 ;

; 0 0 0

1 2

1 1

= − − ≡ −

= − = −

= ≡ −

= −

y x t x

x y

t

abscisas de

Eje y

t x

y t

   

= → =

= → =

= =

4 1

0 0

4 ' ; ;

2 2

1 1

4 5

m x

m x

x y x

y Curva

(

)

(

1

)

4 4 ;; 4 3 0

4 1

) (

0 ;

; 0 0 0

1 3

1 1

= − − ≡ −

= − = −

= ≡ −

= −

y x t x

x y

t

abscisas de

Eje y

t x

y t

(8)

OPCIÓN B

1º) Hallar las asíntotas y los extremos relativos de la función

( )

1 2 + = x x x

f . Hacer una

gráfica aproximada de la función.

---

Asíntotas horizontales: son los valores finitos de la función cuando x→ ∞:

( )

( )

0 0 ( )

1

2 y Eje de abscisas

x x x lím x f x lím x f x lím = ⇒ = + ∞ → = −∞ → = +∞ →

Asíntotas verticales: son los valores finitos de x que hacen que la función valga más o menos infinito; son los valores que anulan el denominador.

. , 0 1 2 verticales asíntotas tiene No R x

x + ≠ ∀ ∈ ⇒

Asíntotas oblicuas: No tiene. (para que una función tenga asíntotas oblicuas es necesario que sea racional y el grado del denominador sea una unidad mayor que el gra-do del denominagra-dor).

Los máximos y mínimos relativos de la función son los siguientes:

( )

(

(

)

)

(

)

(

)

f

( )

x

x x x x x x x x x x f ' 1 1 1 2 1 1 2 · 1 · 1 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = + − + = + − + =

( )

(

)(

)

    − = = ⇒ = − + = − ⇒ = 1 1 0 1 1 ; ; 0 1 0 ' 2 1 2 x x x x x x f

( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

f

( )

x

(9)

( )

(

(

)

)

(

)

     

− = = =

= −

= +

=

3 3 0

0 3 2

0 1

3 2

0 '

'

3 2 1

2 3

2 2

x x x x

x x

x x x

f

( )

(

)(

) (

(

)

) (

)

(

)(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

f

( )

x

x x x x

x x

x

x x

x x x

x

x x x x

x x

x x

x x x

x x

f

' ' ' 1

1 6 6

1 6 36 6

1

36 12

6 6 6 6

1

6 2 6 1 6

6

1

2 · 1 3

· 6 2 1 6

6 '

' '

4 2

2 4

4 2

2 4

4 2

2 4

2 2 4

4 2

3 2

2

6 2

2 2 3

3 2 2

= +

+ − −

= +

− +

− = +

+ −

− − + =

= +

− −

+ −

= +

+ −

− + −

=

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )



  

 

− −

− = −

≠ + − − = −

   

  ⇒

=

≠ + − − =

=

≠ − =

4 3 , 3 4

3 3

; ; .

0 16

1 18 9 6 3

' ' '

4 3 , 3 4

3 3

; ; .

0 16

1 18 9 6 3

' ' '

0 , 0 0

0 ; ; .

0 2

6 0

' ' '

N f

Inflexión P

f

M f

Inflexión P

f

O f

Inflexión P

f

La representación gráfica es, aproximadamente, la siguiente:

**********

X Y

f(x)

O

1

1

P

Q

M

(10)

2º) Sabemos que las rectas 3 2 3 1 2 1 3 2

1 x y z k

s y z k y x

r ≡ = + = −

− − = + = +

≡ se cortan en

un punto. Hallar el valor de k y la ecuación en forma general del plano que determinan. ---

Existen varias formas de hacer el ejercicios.

Una forma: Un punto de r es A(-1, -k, 1) y un punto de s es B(0, -3, k) y los vectores directores de las rectas son vr =

(

2, 3, −2

)

y vs =

(

1, 2, 3

)

.

Si las rectas se cortan, determinan un plano, por lo tanto los vectores v ,r vs y el

vector w = AB son coplanarios, es decir: su rango es dos.

(

0, −3,

) (

− −1, − , 1

) (

= 1, −3, −1

)

= − =

= AB B A k k k k

w .

{

}

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

7 36 ; ; 36 7 ; ; 0 13 24 8 1 ; ; 0 13 3 8 1 ; ; 0 1 3 3 6 4 9 3 2 1 4 ; ; 0 1 3 1 3 2 1 2 3 2 2 , , = = = + + − − = + − − − = − − − − + + − − − = − − − ⇒ = k k k k k k k k k k k k w v v

Rango r s

Otra forma: Si las rectas se cortan, el sistema formado por las cuatro ecuaciones lineales con tres incógnitas que determinan tiene que ser compatible determinado, es decir: los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada tienen que ser iguales e igua-les a tres.

La expresión de ambas rectas por unas ecuaciones implícitas es:

(11)

{

}

(

3 2

)

4 0 4

24 3 ; ; 0 0

4

3 1

2

2 3 2 3

· 1 ; ; 0

1 0 4

3 0

1 2

0 1

0 0

2 3 0 2 3

0

1 0 3

3 0

1 2

0 1

0 1

2 3 0 2 3

0

' 1 1 3

= + − + + − =

− −

− −

− =

− −

− −

− →

= −

− −

− −

=

k k k

k k k

k

C C C k

k M

ser que Tiene

7 36 ;

; 7 36 ; ; 0 8 12

24+ − = = =

+ k k k

k

Tomando, por ejemplo, el punto de la recta s es    

7 36 , 3 , 0

B , el plano π se puede determinar por el punto P y por los vectores directores de las rectas, vr y vs .

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

7 36

) (

8 7 21

)

0 ;; 91 7 36 56 168 0 ;; 91 7 56 204 0 91

; ; 0 21 7 6 28 36 7 3 21 7 2 36 7 4 63

; ; 0 3

2 1

2 3

2

36 7 21 7 7 ; ; 0 3

2 1

2 3

2

3 ,

;

7 36

= − − + =

− − − + =

+ −

− +

= + −

+ − −

+ −

− +

= −

− +

= −

− +

y z x y

z x y

z x

y x

z y

z x

z y

x z

y x v

v

P r s

π

0 204 7

56

91 − + − =

x y z

π

(12)

3º) Se considera la ecuación 3 + 2 + −6=0

mx x

x . Utilizando el Teorema de Bolzano, demostrar que:

a ) Si m > -3 entonces la ecuación tiene al menos una raíz real menor que 2 b ) si m < -3 entonces la ecuación tiene al menos una raíz real mayor que 2.

---

El teorema de Bolzano dice que “Si una función f es continua en un intervalo ce-rrado [a, b] y en los extremos de éste toma valores de distinto signo, entonces existe al menos un valor c

(

a, b

)

tal que f

( )

c =0”.

a )

Considerando la función

( )

= 3 + 2 + −6

mx x

x x

f , que es continua en su dominio,

que es R, puesto que es polinómica ∀λ∈R, por lo cual le es aplicable el Teorema de Bolzano a cualquier intervalo real considerado.

Considerando la función para m = - 3,

( )

= 3 + 2 −3 −6

x x x x

f , observamos que se

anula para x = 2: f

( )

2 =23 +22 −3·2−6=8+4−6−6=0. Considerando la función derivada '

( )

=3 2 +2 −3

x x x

f , que es f'

( )

x >0, ∀xR, 1

>

x , lo que significa que es creciente en el intervalo

(

1, +∞

)

. Esto significa que si la función se anula para x = 2 y es creciente en el intervalo indicado, para cualquier valor de m > - 3 se cumple necesariamente que f(2) > 0. En resumen : f(0) < 0 y f(2) > 0, lo cual demuestra que, en efecto, si m > - 3 la ecuación tiene al menos una raíz real mayor que 2.

b )

Lo pedido en este apartado es equivalente a demostrar que la función f(x) consi-derada anteriormente tiene una raíz real mayor que 2, para valores de m < - 3.

Si la función se anula para x = 2 y es creciente en el intervalo indicado anterior-mente

(

1, +∞

)

, para cualquier valor de m < - 3 se cumple necesariamente que f(2) < 0.

O

f(x)

a Y

b c

f(a)

f(b) O

f(x)

a Y

b c

f(a)

(13)

Por otra parte, es fácil comprender que siendo

( )

= +∞ +∞

f x

x lím

, basta con dar a x un valor suficientemente grande, por ejemplo, x = 4, para que sea f(4) > 0.

En resumen : f(2) < 0 y f(4) > 0, lo cual demuestra que, en efecto, si m < - 3 la ecuación tiene al menos una raíz real menor que 2.

(14)

4º) Determinar todas las matrices X, tales que X · X

2 1

1 1 2 1

1 1

· 

  

 

− =

   

 

− .

---

Sea la matriz pedida 

  

 

=

d c

b a

X . Operando:

a d

c b a c

b d b d c

a b b b d c a c a d c

b d

d a b a

c b c a b a

d b c a

d a c a d

c d c

b a b a d

c b a d

c b a

2 ;

;

2 2

2 3 3

2

2 2

2 2

2 2 ;

; ·

2 1

1 1 2 1

1 1 ·

− = =

=

  

   

 

  

   

 

= → −

= −

= = − = + = → −

= +

− = → + = −

= → + = +

⇒    

 

− −

+ +

=

   

 

− +

− +

   

     

 

− =

   

 

   

 

Las matrices pedidas son de la forma: ,

{

0

}

2  ∀ ∈ ≠

 

 

= a R a

a a

a a X

Figure

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