8 Límites de sucesiones y de funciones

(1)

8

Límites de sucesiones y de funciones

ACTIVIDADES INICIALES

8.I. Calcula el término general, el término que ocupa el octavo lugar y la suma de los ocho primeros términos para las sucesiones siguientes.

a) 2, 6, 10, 14, ... b) 2, 6, 18, 54, ... c) 1 2, , 1, , ...4 3 3 3

a) Progresión aritmética: a1 = 2, d = 4  an =2+(n−1)⋅4=4n−2, 30a8= ,

(

)

128 2

8 30 2

8= + ⋅ =

S

b) Progresión geométrica: a1 = 2 , r = 3  an=2⋅3n−1, 4374a8=2⋅37= , 13120 1

2 2 3

2 8

8= ⋅ ₋− = S

c) Progresión aritmética: a1 = 3 1_{, d =}

3

1 _

3 3 1 ) 1 ( 3

1 n

n

a_n= + − ⋅ = ,

3 8 8 =

a , 12

2 8 3 8 3 1

8 =

⋅

      ₊

= S

8.II. En una región, la población crece anualmente en un 2%.

a) Escribe la sucesión del número de habitantes según el número de años transcurridos desde 2008, sabiendo que en ese año eran 3 500 000.

b) Calcula en qué año se alcanzará una población de 4 000 000 de habitantes. c) Calcula en qué año se doblará la población inicial.

a) a2008 = 3 500 000, a2009 = 3 500 000 · 1,02 = 3 570 000, ... , an = 3 500 000 · 1,02n −2008

b) an = 4 000 000 = 3 500 000 · 1,02n −2008 1,02n −2008 = 1,142857  n − 2008 = 6,75 02

, 1 log

857 142 , 1 log

= años

c) 1,02n −2008 = 2

000 500 3

000 500 3 2

=

⋅ __n₋_{2008 =} ₃₅

02 , 1 log

2 log

= . Cuando pasen 35 años.

EJERCICIOS PROPUESTOS

8.1. Dada la sucesión de término general

1 1 + − =

n n

an :

a) Calcula sus tres primeros términos. b) Halla el lugar que ocupa el término

17 15 = s

a .

c) Demuestra que es creciente.

d) Halla, si es que existen, una cota superior y una cota inferior.

a)

2 1 4 2 3

1 0

2 0

3 2

1= = a = a = =

a

b) 15

(

1

)

17

(

1

)

16

1 1 17 15

=



− ⋅ = + ⋅



+ − =

= s s s

s s

as . Es el término que ocupa el lugar 16.°.

c)

2 3 2 1

1

2 2

1

+ + = + − − + = −

+ a _nn _nn _n _n

an n > 0. Por tanto, an+1>an y la sucesión es creciente.

d)

1 2 1

+ − =

n

(2)

8.2. Se considera la siguiente sucesión definida por recurrencia: a1=3; an+1=2an.

a) Calcula sus cuatro primeros términos y di de qué tipo es. b) Halla su término general.

c) Demuestra que es monótona creciente.

d) Demuestra que no está acotada superiormente.

a) a1 = 3, a2 = 6, a3 = 12, a4 = 24. Es una progresión geométrica.

b) 1 1 1

1⋅ − =3⋅2−  =3⋅2 −

= n

n n n

n a r a

a

c) an+1−an=3⋅2n−3⋅2n−1=3⋅

(

2⋅2n−1−2n−1

)

=3⋅2n−1>0an+1>an Es creciente. d) Dado el número real M, se puede encontrar un término mayor que él:

1 2 ln

3 ln

3 ln 2 ln ) 1 ( 3 ln ) 2 ln( 3 2 2

3 1 1 1 ₊

   

>

      

> −

      

>



>



>

⋅ − − −

M n M n

M M

M n n

n

8.3. Demuestra que los términos de la siguiente sucesión tienden a 2.

an =

10 1 2

+ + n

n

ε < + = −

10 19 2

n

a_n para n > 19−10

ε

8.4. Calcula el límite de las siguientes sucesiones.

a)

∞ →

nlim (7 – n

2_{) b)}

10 2

1 2 3 lim ₂

3

+ +

+ + − ∞

→ n n

n n n

a) −∞ b) −∞

8.5. (TIC) Calcula los límites:

a) _

  



 ₋

∞

→ ₃

8 2 lim

3 _n

n

b)

) 5 (

) 6 5 3 )( 5 3 2 (

lim ₃

2 2

n n n

n n n n

n −

− + +

+ ∞ →

a) _=+∞

  



 ₋

∞

→ ₃

8 2 lim

3 _n n n

b)

5 6 5

3 2 )

5 (

) 6 5 3 )( 5 3 2 (

lim 2 ₃ 2 = ⋅ =

− − + +

+

∞

→ _n _n _n

n n n n

n

8.6. (TIC) Halla los límites siguientes.

a)

1 6

) 2 3 2 )( 2 3 3 (

lim 3 2 ₆ 2

+

+ − −

+ ∞

→ n

n n n

n

n b)

n n

n +

∞

→ 

   

−

+ 2 2

3 2

3 2 lim

a)

5 4 3 2

6

6 3 3 2 6 4

lim 0

6 1

n

n n n n n

n →∞

− − + + _{− =}

+

b)

2 2 3 2 6

lim (2 ) 1 lim (2 )

2 3 2 3

1 n n

n

n n n n

n n

l e→∞ e→∞ e

+

   

+  − +  

∞  −   −  +∞

 _{→ =} ₌ ₌ _{= +∞}

(3)

8.7. (PAU)(TIC) Estudia el dominio de las siguientes funciones:

a)

8 6 2 3 ) (

2 4₋ ₊

= x x

x

f c)

x x

f

ln 1 )

( = e) _f(_x)₌log

(

_x2₊3_x₋4

)

b)

5 6 3 2 )

(x = x+ x−

f d) ₃ ₂

2

3 3 2 ) (

x x

x x f

− −

= f) _x

e x f

− =

1 1 ) (

a) D(f) = R ya que se trata de una función polinómica.

b) − ≥  ≥ 

5 2 0

5 6

3x x D(f) = 2,

5  _+∞

   c) lnx>0x>1 D(f) = (1, +∞)

d) _x3−3_x2=0_x2(_x−3)=0_x=0,_x=3_{D(f) = (}_−∞_{, 0)}_∪_{(0, 3)}_∪_{(3 ,}_+∞₎

e) _x2+3_x−4>0(_x−1)(_x+4)>0 _{D(f) = (}_−∞_{, 4)}_∪_(1,_+∞₎

f) 1−ex =0ex =1x=0_{D(f) = (}_−∞_{, 0)}_∪_(0,_+∞₎

8.8. (TIC) Estudia el dominio de las funciones siguientes: a) _f₍_x₎₌ _x_⋅ _x₊₁₋₃_x2 _c)_f₍_x₎₌_x₊₂_cos_x

b)

x x

x x x f

− −

+ + =

1 1 )

( d)

x x x

f

sen 1

2 ) (

+ =

a) D(f) = R

b) 1 0 1 0 si 1

1 0 si 1

x x x

x x

x x x

− − = ≥



− − =  _{− + − =} _<

 con solución en x =2

1_{; D(f) =}

      _+∞

∪

    

₋_∞ _,

2 1 2 1 ,

c) D(f) = R

d) 1 + senx = 0  senx = −1  La función existe en todo R excepto en x = π±2kπ 2 3

, con k∈Z.

8.9. (TIC) Encuentra el dominio y el recorrido de las funciones: a) _f(_x)₌ _x2₊3_b)_f₍_x₎₌₂₊ _x₊₁

a) D(f) =R; R(f) = [3, +∞) b) D(f) = [–1, +∞); R(f) = [2, +∞)

8.10. Dada la gráfica de f(x): Calcula: lim ( )

2 f x

x→ + , xlim→2−f(x), xlim→2f(x), xlim→−5+f(x),

) ( lim

5 f x

x→− − , )xlim→−5f(x , xlim→0+f(x), xlim→0−f(x), xlim→0f(x)

6 ) ( lim

2+ =

→ f x

x , xlim→2−f(x)=2, no existe xlim→2f(x), 6

) ( lim

5+ =

−

→ f x

x , x→lim−5−f(x)=6,

6 ) ( lim

5 =

−

→ f x

x , xlim→0+f(x)=3, xlim→0−f(x)=3,

3 ) ( lim

0 =

→ f x

x

8.11. Dada la gráfica de g(x): Calcula: lim ( )

2

x g

x→−+ , xlim→−2−g(x), xlim→−2g(x), lim1 ( )

x g

x→+ , xlim→1−g(x),

) ( lim

1g x

x→ , xlim→2+g(x), xlim→2−g(x), xlim→2g(x)

3 ) ( lim

2+ =−

−

→ g x

x , x→lim−2−g(x)=2, no existexlim→2g(x), xlim→1+g(x)=1, 0

) ( lim

1− =

→ g x

x , no existelimx→1g(x), xlim→2+g(x)=0, xlim→2−g(x)=0, xlim→2g(x)=0

1 1

O X

f Y

1

O X

(4)

8.12. Dada la grafica de f(x), calcula:

a) lim ( )

1f x

x→

b) lim ( )

0f x

x→

a) ₊ =+∞

→ ( )

lim 1 f x

x , xlim→1−f(x)=−∞. No existe. lim ( )x→1f x b) xlim→0+f(x)=0. No existexlim→0−f(x), ni limx→0f(x)

8.13. Dada la grafica de g(x), calcula:

a) lim ( )

1g x

x→−

b) lim ( )

1g x

x→

a) ₋ =+∞

−

→ ( )

lim 1 g x

x , x→lim−1+g(x)=+∞, xlim→−1g(x)=+∞ b) _xlim_→₁−g(x)=−∞, _xlim_→₁+g(x)=−∞, limx_→1g(x)=−∞

8.14. Dibuja la función f(x) = lnx y calcula sus límites en el infinito.

+∞ = +∞

→ ( )

lim f x

x

lim ( )

x→−∞f x no existe, porque el logaritmo no está definido en (−∞,0].

8.15. Dada la grafica de f(x), calcula:

a) )lim f(x

x→+∞ b) xlim→−∞f(x)

a) lim ( )=0 +∞

→ f x

x b) xlim→−∞f(x)=0

8.16. Dada la grafica de g(x), halla los siguientes límites:

a) lim g(x) x→+∞

b) lim g(x) x→−∞

a) =+∞

+∞

→ ( )

lim gx

x b) xlim→−∞g(x)=0

1 1

O X

f Y

1 1

O g

X Y

O

X f

Y

2π –π

–2π π 3π

O X

g Y

1 1

O X

f Y

(5)

8.17. (TIC) Calcula el valor de los siguientes límites. a) 1 6 9 3 lim 2 3 1 + + − → x x x

x c) 

    ₋

→ x x

x

5 lim

0 e)

(

)

x x

x x e e

− −∞

→ 1− − +

lim b) 2 8 3 lim 2 2 + − − → x x

x d) 

 



 ₊ ₊ ₊

+∞

→ 1 1

lim _x2 _x

x

a) 0

2 0 1 6 9 3 lim 2 3

1 + = =

+ − → x x x x

b) 2

2

3 8 2

lim 2 0 x x x →− − ₌ _{= ∞}   +   , 2 2

3 8 2

lim 2 0 x x x + + →− − ₌ _{= +∞}   +   , 2 2

3 8 2

lim 2 0 x x x − − →− − ₌ _{= −∞}   +  

c) =_ − _=∞

     ₋ → 0 5 0 5 lim

0 x _x

x , =−∞

   ₋ =       ₋ + +

→ + ₀

5 0 5 lim

0 x x

x , =+∞

   ₋ =       ₋ − −

→− ₀

5 0 5 lim

0 x x x

d) _ + + + _=

[

+∞+∞

]

=+∞ +∞

→ 1 1

lim _x2 _x

x

e)

(

− − + −

)

=

[

+∞− +∞

]

=+∞ −∞

→ 1 0

lim x x

x x e e

8.18. Sabiendo que lim ( )=−2

→af x

x , xlim→ag(x)=2 y limx→ah(x)=2, calcula los siguientes límites. a) lim 2 ( ) 2 ( )

(

( )

)

x→a f x − g x +h x c) ( ) ( )

12 lim x g x f a

x→ +

b) lim

(

( )

) (

2 ( )

)

2

x→a f x g x

 ₊ 

 

  d) 2

( ) ( ) ( ) lim

( ) ( )

x

f x f x g x

g x h x

→

 ₋ + 

 

 

a) lim 2 ( ) 2 ( )

(

( )

)

2

( )

2 2 2 2 6

x a→ f x − g x +h x = ⋅ − − ⋅ + = − c) =∞

   + − = +

→ 2 2

12 ) ( ) ( 12 lim x g x f a x

b) _lim

(

_{( )}

) (

2 _{( )}

)

2 _{( 2)}2 ₂2 ₈ _{2 2}

x a→ f x g x

 ₊ ₌ ₋ ₊ ₌ ₌

 

  d) 2

( ) ( ) ( ) 2 2 2

lim 1 0 1

( ) ( ) 2 2

x

f x f x g x

g x h x

→

 ₋ + ₌ − ₋− + _{= − − = −}

 

 

8.19. (PAU)(TIC) Halla el valor de los siguientes límites.

a) lim

(

₋4 2₊5 ₋2

)

+∞

→ x x

x c) ₂ ₁

2 3 lim 3 4 2 − + − + +∞

→ _x _x

x x

x e) ₂

2 lim ₂

2

0 + −

+

→ x x

x x

x g)

2 1 2 ₂ 1 lim − → _   

 − x

x x b) 5 2 3 1 3 6

lim ₂ 2

3 + − + − − −∞

→ x x

x x

x d)

(

)

2 4

lim 2 4 1

x→+∞ x − x − f) 9

3 lim ₂ 3 − + − → x x

x h)

2 1

2 ₂ ₃

1 lim − → _     − − x x _x x

a)

(

− + −

)

= − =−∞

+∞ → +∞

→

2

2 ₅ ₂ _lim ₄

4

lim x x x

x x

b)

3 ₂ 3 ₂ ₃

2 2 2

6 3 1 6 3 1 6

lim lim = lim

3 2 5 3 2 5 3

x x x

x x x x x

l

x x x x x

→−∞ →+∞ →+∞

− − + ₌ − + ₌+∞_→ _{= +∞}

_+∞

− + + +  

c) 2 2

4 3 4

3 2 3 3 3 2

lim lim

2 2

2 1 2

x x

x x _l x

x x x

→+∞ →+∞

+ − ₌+∞_{→ =} ₌ ₌

_+∞

 

+ −

d)

(

)

[

]

(

)(

)

2 4 2 4

2 4

2 4 2 4

2 4 1 2 4 1 ₁ ₁

lim 2 4 1 lim lim 0

2 4 1 2 4 1

x x x

x x x x

x x l

x x x x

→+∞ →+∞ →+∞ − − + − _ _ − − = ∞−∞ → = = =_ _= +∞   + − + −

e) 0

2 0 2 2 lim ₂ 2

0 + − = − = +

→ x x

x x x

f) ₂

3 3 3

3 0 3 1 1

lim lim lim

0 ( 3)( 3) 3 6

9

x x x

x x

l

x x x

x →− →− →− + ₌ _{→ =} + ₌ _{= −}   ₋ ₊ ₋ −   g) 1 1 2 0 2

1 1 1

lim 0

2 2 2

x x x l + +   +∞   −   →   −   ₌  ₌_  __{→ =}           _  _ , _=+∞            =       =       −  −∞      − → − − ₂ 1 2 1 2 1 lim 0 1 2 1 2 x x x

, ∃ 2

1 2 2 1 lim − → _   

 − x

x x

h) ( )( )

1

2 ₂

2 2

1 ₁ ₂ ₁

lim

lim 1 lim

2 2 3 2 3 2 2 3 1

2 1 1 lim 1 2 3 x _x x x x x

x x x x x

x

x _l _e _e _e _e

(6)

8.20. (TIC) Calcula los siguientes límites:

a)

(

₃

)

0

cos 1 tg lim

x x x

x

−

→ d)

(

)

2 8 sen lim

3

2 −

−

→ x

x

b)

x x

x

2 sen lim

0

→ e) x

x

x _tg₂

5 tg lim

0

→

c)

1 ) 1 ( sen lim ₂

1 −

−

→ x

x

x f) lim ₁

2 0 −

→ x

x _e

x

a)

(

)

2

3

3 3 3

0 0 0

2

tg 1 cos 0 1

lim lim lim

0 2 2

x x x

x x

x x x

l

x x x

→ → →

 

 

− ₌ _{→ =}  ₌ ₌

   

b) limsen2 lim2 2 0

0 = → =

→ x

x x

x

x x

c)

2 1 1 1 lim 1 1 lim 1

) 1 sen( lim

1 2

1 − = + =

− = −

−

→ →

→ x x

x x

x

x x

x

d)

(

)

12

2 ) 4 2 )( 2 ( lim 2

8 lim 2

8 sen lim

2

2 3

2 − =

+ + − = −

− =

− −

→ →

→ x

x x x x

x x

x

x x

x

e)

2 5 2 5 lim 2 tg

5 tg lim

0

0 = → =

→ x

x x

x x x

f) lim 0

1 lim

2

0 2

0 − = → =

→ x

x e

x x x x

EJERCICIOS

Sucesiones. Límites de sucesiones

8.21. Halla el término general de las siguientes sucesiones.

a) 10, 7, 4, 1, –2, ... d) 1, 8, 27, 64, 125, ...

b) ,...

11 10 , 9 8 , 7 6 , 5 4 , 3

2 _{e) 0, 7, 26, 63, 124, ...}

c) ,... 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2

a) a_n=10+

(

n−1

)

⋅(−3)=−3n+13 d) _a _n3

n=

b) 2

2 1

n

n a

n =

+ e) 1

3₋ =n an

c)

2 1 1 3

1 2

+ + = − +

− + =

n n n n an

8.22. Halla el lugar que ocupa el término que vale 400 401

en la sucesión ,... 25 26 , 16 17 , 9 10 , 4 5 , 1 2

El término general de la sucesión es 2₂1 n n

a_n = + . Por tanto:



=



+ =



+ =

= 1 401 400 400 400

400

401 2 2 2

2 2

s s

s

a_s s= 400=20

(7)

8.23. (PAU) Estudia la monotonía y la acotación de las siguientes sucesiones:

2

3 2

n n

a_n= + , 2 2₂ 3

n n

b_n= − , c_n n_n

2 3 2 + =

2

1 2 2 2 2

2( 1) 3 2 3 2 8 3

0

( 1) ( 1)

n n

n n n n

a a

n n n n

+ − = + +₊ − + = − + ₊ + <  Es decreciente.

0 3 2

2 > + =

n n

an  Acotada superiormente por a1 = 5 e inferiormente por 0.

0 ) 1 (

) 1 2 ( 3 3 2 ) 1 (

1 4 2 3 2 ) 1 (

3 ) 1 ( 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

1 >

+ + = − − +

− + = − − +

− + = −

+ b n_n n_n n_n n n_n _n _nn

bn n  Es creciente.

2 3 2 3 2

2 2

2

< − = − =

n n

n

bn  Acotada superiormente por 2 e inferiormente por b1 = −1.

0 2

1 2 2

6 4 5 2 2

3 2 2

3 ) 1 ( 2

1 1

1

1− = +₊ + − + = + −₊ − =− +₊ <

+ n n n n n

n

n n

n c

c  Es decreciente.

0 2

3 2

> +

= _n

n

c  Acotada superiormente por c1 =

2 5

e inferiormente por 0.

8.24. Dada la sucesión

n

a_n=3+ 1:

a) Demuestra que es decreciente y acotada inferiormente. b) Calcula su límite.

c) Averigua a partir de qué término los siguientes se aproximan a 3, con un error menor de ε = 0,001.

a)

n n n n

a

an n

+ − = − − + + = −

+1 2

1 1 3 1 1

3 < 0. La sucesión es decreciente. Una cota inferior de la sucesión es 3.

b) lim 3 1 3 1 3 0 3

n→∞ _n l

 ₊  ₌ ₊ _{→ = + =}

   _+∞

   

c) −3 <0,001 3+ 1−3<0,001 1<0,001 n

n

a_n n≥1001. A partir del término 1001.

8.25. Calcula los límites de las siguientes sucesiones.

a) ₃ ₂

2 ₂ ₃

2 lim

n n

n +

− + ∞

→ d)

(

)(

)

7 2

3 2 3 3 2

lim ₂

+ −

+ + − +

∞

→ n n

n n

n g)

(

)(

)

3

2 ₃ ₆

3 3 8 lim

+ −

+ − +

∞

→ n n

n n

n

b)

3 2

3 2 2 lim ₂

2 3

+ −

− + ∞

→ n n

n n

n e) 2

2 3 1

lim ·

5 1 n

n n

n →∞

+ +

 

 ₋ 

  h)

1 2

1 3

7 5 2

lim +

+

∞

→ _

   

−

+ n

n

n n

n

c)

5 3 3

3 2 2 lim ₂

2

+ −

− + ∞

→ n n

n n

n f) ₄ ₃

3 lim

+ + ∞

→ n

n

n i)

2 2 ₃

3 2

1 2

lim n

n

n _n

n n

+

∞

→ 

   

  

+ +

a) 2 3

2 2 3

0

lim 0

1 1

1

n

n n n

l

n

→∞

+ −

∞

 _{→ =} ₌ ₌

 _∞

  ₊ f)

3 1 1

lim

4 3 4 2

n n

l n

→∞

+ ₌  ∞ _{→ =} ₌

 

+  ∞

b) 3

2 3

2 ₂

lim

1 2 3 0

n

n n

l

n n n

→∞

+ − ∞

 _{→ =} ₌ _{= +∞}

 _∞  

  ₋ ₊   g)

3

2 2

6 3

9 3 8 lim

+ −

+ + − ∞

→ n n

n n n

3

3 ∞ _l ₈ ₂

= _{ } → = − = −

∞

(8)

c) 2

2

2 3

2 ₂

lim

3 5 3

3

n

n n

l

n n

→∞

+ − ∞

 _{→ =} ₌

 _∞

  _{− +} h)

1 2

1 3 lim 7

5 2

lim +

+

∞ →

   

 

−

+ n

n

n ₂2 ₂3 ₈

3

= = =

d)

2 2

6 5 9

lim

2 7

n

n n

l

n n

→∞

− − + ₌ ∞ _{→ =}

 _∞

− +  

6 3 2

− = − i)

8 1 2 1 3

=

     

e)

n n

n ₅ ₅

3 5 2

lim 2 ₂

− + + ∞ →

2

5 3

2 ₂

lim

5 5

5

n

n n

l

n

→∞

+ + ∞

 

=_{ }→ = =

∞

  ₋

8.26. Calcula los límites de las siguientes sucesiones.

a) _ + − _

∞

→ n n

nlim 2 1

2 _b) _

  



 ₊ ₋ ₊

∞

→ 2 1 1

lim _n2 _n2

n c) 

 



 ₋ ₊ ₊

∞

→ 1

lim _n2 _n4 _n2 n

a)

(

)

[

]

(

) (

)

2 2

2

2 1 2 1

lim 2 1 lim

2 1

n n

n n n n

n n l

n n

→∞ →∞

+ − ⋅ + +

+ − = ∞ − ∞ → = =

+ + =+∞

  

+ = + +

− + ∞

→ 0 0

1 1

2 1 2 lim

2 2 2

n n

n n n

b)

[

]

_ _=∞

+ = + + + =

∞ − ∞ =

   



 ₊ ₋ ₊

∞ → ∞

→ 0 0

1 1 1 2 lim 1

1 2 lim

2 2

2

n n

n

n ind n

c)

(

)

[

]

(

)(

)

(

)

2 4 2 2 4 2

2 4 2

1 1

lim 1 lim

1

n n

n n n n n n

n n n l

n n n

→∞ →∞

− + + + + +

− + + = ∞ − ∞ → = =

+ + +

2

2 ₂ ₂

2 4 2 2 4 2

2 4 4 4

1

1 1 1

lim lim

1 1 2

1 1

n n

n

n _n _n

l

n n n n n n

n n n n

→∞ →∞

− −

− − −∞ −

= =_ _→ = = = −

∞ +

 

+ − + ₊ ₋ ₊

8.27. Halla los límites de las sucesiones siguientes.

a)

1 2

3 2

3 2 lim

+ ∞

→ _

   

+

− n

n _n

n

b) 3

1 3 2

2

3 2

lim

+

∞

→ _

 

 

− −

−

+ n

n _n _n

n n

c)

1 2

2

2 2

1 lim

+ + ∞

→ _

   

+

− n n

n _n

n n

a) ( ) ( )

2 3 6 12 6

2 1 _{lim 2} ₁ ₁ _{lim 2} ₁ _lim

6

2 3 2 3 2 3

2 3

lim [1 ]

2 3

n n n

n n

n _n _n

n n n

n n

l e e e e

n

→∞ →∞ →∞

− −

    − −

+ ₊ _ ₋_ ₊ _ _

∞  +   +  + −

→∞ −

  ₌ _{→ =} ₌ ₌ ₌

 ₊ 

 

b)

2 2

2 2 2

2

1 ₁ ₂ ₃ ₁ ₂ 6

3 _{lim 3} ₁ ₃

2 3 ₃ lim 3 lim

3

2 3 2 3 2 3 3

2

2 3

lim [1 ]

2 3

n n n

n n

n n n

n _n

n

n n n n n n

n

n n

l e e e e

n n

→∞ →∞ →∞

+

 _{+ −} 

   

+ _ ₊ __ ₋_  ₊ _ _

 

  − −

∞     − −  − +

→∞

 _{+ −} 

= → = = = =

 

 _{− −} 

 

c)

(

)

(

)

2

2 ₂

2

2 2

2 1 _lim ₂ ₁ ₁ 1

2 lim 2 1

1 1

2

lim [1 ]

1

n n

n n _n _n n

n n

n

n n

l e e

n

→∞ →∞

 ₋  _ _

+ + _∞ + + _ ₊ −_ + + _− − 

+ 

→∞

 ₋ 

= → = = =

 

 ₊ 

 

[ ]

0

1 ... 1 3 3 lim

2 2 3

= = −∞ +

− − − −

∞

→ _e

e n

n n n

n

8.28. a) Escribe una sucesión monótona creciente, acotada superiormente, con todos sus términos negativos. b) Escribe una sucesión que no sea creciente ni decreciente, y que sea acotada superiormente y acotada inferiormente.

c) Escribe una sucesión que sea creciente y decreciente a la vez.

d) Escribe una sucesión acotada superiormente, decreciente y no convergente.

a) n an

1 −

= → ,...

5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 ,

1− − − −

−

b) a_n=

( )

−1n → −1, 1, −1, 1, −1, ... Es oscilante. Además solo toma dos valores, por lo que está acotada. c) an = 1 → 1, 1, 1, 1, ... Las funciones constantes son crecientes y decrecientes a la vez.

(9)

Dominio y recorrido de una función

8.29. Halla el dominio y recorrido de las funciones cuyas gráficas se muestran a continuación.

a) b) c)

a) Dominio: R. Recorrido: [−3, +∞)

b) Dominio: [–2π, 2π]. Recorrido: [−1,75; 1,75] c) Dominio: (−∞, −1)∪(1, +∞). Recorrido: R

8.30. (PAU)(TIC) Halla el dominio de las siguientes funciones.

a)

20 2

1 2

)

( ₃ ₂

3

− +

− − =

x x

x x x

f e) f(x)=1−ln

(

x− x

)

b)

1 1 ) (

2₋

+ =

x x x

f f)

x x x

f

cos sen 1 ) ( = −

c)

4 log 1 )

( ₂

− + =

x x x

f g) f₍x₎₌₁₊_tg2x

d)

3 )

( ₂ ₁

+ = x₋

x

e e x f

a) 22_x3₊_x2₋20₌0_(_x₋2)(2_x2₊5_x₊10)₌0__x₌ __{D(f) = (}₋_∞_{, 2)}_∪_{(2, +}_∞₎

b) 

  

> ≥

 

 

> − ≥

1 0 0

1 0

2

2 _x

x x

x

D(f) = (1, +∞)

c) 

  

≠ >

4 0 2 x x

D(f) = (0, 2)∪(2, +∞)

d) x ≥0  D(f) = (0, +∞)

e) La función no existe ni para los x positivos ni para los negativos. D(f) = ∅

f) cosx = 0  la función existe en todo R excepto en los x = π+kπ

2 con k∈Z. g) La función existe en todo R excepto en los x = π+kπ

2 con k∈Z.

8.31. Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.

a)

2 1 ) (

− =

x x

f b)

x x

f( )= 1

a) D(f) = (−∞, 2)∪(2, +∞); R(f) = (−∞, 0)∪(0, +∞) b) D(f) = (0, +∞); R(f) = (0, +∞)

O Y

X f

1

1 O

Y

X g

1 1

π

–π 2π

–2π O

h Y

(10)

8.32. (TIC) Halla el dominio de las funciones siguientes.

a)

1 1

1 )

(

+ + − =

x x

f b) f(x)= x+1+ x+2 c) _f(_x)₌ _x2₋1 _d)

1 1

1 )

(

− − =

x x

f

a) 

  

≠ − ≥

 

 

≠ + + −

≥ +

0 1 0

1 1

0 1

x x x

x

D(f) =

[

−1, 0

) (

∪ 0, +∞

)

b) 

  

− ≥

 

 

≥ +

2 1 0

2 0 1

x x x

x

D(f) =

[

−1, +∞

)

c) Todos los valores del radicando son positivos. Por tanto, el dominio de la función es todo R.

d) 

  

< ≥

 

 

< − ≥

 

 

< − ≥

 

 

> − −

≥ −

2 1 1

1 1 1

1 1 0

1 1

0 1

x x x

x x

x

D(f) = [1, 2)

Límites de funciones

8.33. Dada la gráfica de la función y = f(x), indica, si existen, los valores

de los siguientes límites. En caso de que no existan, indica los valores de los límites laterales.

a) )lim f(x

x→−∞ c) xlim→+∞f(x) e) limx→0f(x)

b) )lim (

1f x

x→− d) limx→2f(x)

a) 2 c) 5 d) 5 b) lim ( ) 2

1+ =

−

→ f x

x , x→lim−1−f(x)=−∞ No existe e) 1

8.34. Dada la gráfica de la función y = f(x), indica, si existen, los valores de los siguientes límites. En caso de que no existan, indica los valores de los límites laterales.

a) )lim f(x

x→−∞ c) xlim→+∞f(x) e) limx→2f(x)

b) )lim (

2f x

x→− d) limx→0f(x)

a) −∞ b) lim ( ) 0

2− =

−

→ f x

x , x→lim−2+f(x)=−1 No existe. c) 0 d)0 e) 1

8.35. Dada la gráfica de la función y = f(x), indica, si existen, los valores de los siguientes límites. En caso de que no existan, indica los valores de los límites laterales.

a) )lim f(x

x→−∞ c) )xlim→+∞f(x e) limx→2f(x)

b) )lim (

2f x

x→− d) )limx→0f(x

a) –1 b) lim ( )

2 f x

x→−− = 0; x→lim−2+f(x) no existe. c) 1 d) No existe; no existen los laterales.

e) No existe; ₊ =+∞

→ ( )

lim 2 f x

x ; xlim→2−f(x) no existe.

O Y

X f

1 1

O Y

X f

1 1

O Y

X f

(11)

8.36. Dada la gráfica de las siguientes funciones halla, si existen, los valores de los límites que se indican a continuación. En caso de que no existan, indica los valores de los límites laterales.

) ( lim f x

x→−∞ xlim→+∞f(x) limx→0f(x)

a) b)

a) 1, 1 y 0, respectivamente b) lim ( )=0

−∞

→ f x

x , 0xlim→+∞f(x)= , no existexlim→0f(x).

8.37. Calcula los límites siguientes.

a) ₂

0

1 lim

x

x→ b) 0 3

1 lim

x

x→ c) 0 2

1 lim

x

x −

→ d) 0 3

1 lim

x

x −

→

a) =_ ₊_=+∞

→ + 0

1 1

lim ₂

0 x x

, =_ ₊_=+∞

→− 0

1 1

lim ₂

0 x x

, =+∞

→0 2 1 lim

x

b) =_ ₊_=+∞

→ + ₀

1 1

lim ₃

0 x

x , =−∞

  

= ₋

→ − ₀

1 1

lim ₃

0 x

x , →0 3 =∞

1 lim

x

c) − =_−₊_=−∞

→ + 0

1 1

lim ₂

0 x x

, − =_−₊_=−∞

→− 0

1 1

lim ₂

0 x x

, =−∞

→0 2 1 lim

x

d) − =_−₊_=−∞

→ + ₀

1 1 lim ₃

0 x

x , =+∞

  − = −

−

→− ₀

1 1

lim ₃

0 x

x , =∞

−

→₀ 3 1 lim

x

8.38. Halla los siguientes límites.

a)

4 4

2 ₁₆

1 lim

−

+

→ _x

x b) 2 4 4 ₁₆

1 lim

−

→ _x

x c) 24 4 ₁₆

1 lim

−

→ _x

x

a) =_ _=+∞

− +

→ + ₀

1 16 1 lim

4 4

2 _x

x

b)

4 4

2 ₁₆

1 lim

−

→ _x

x no existe, ya que no están definidas las raíces de índice par de los números negativos.

c) 4 4

2 ₁₆

1 lim

−

→ _x

x no existe al no existir 2 4 4 ₁₆

1 lim

−

→ _x

x .

8.39. (TIC) Halla los límites siguientes.

a)

x x

xlim→0+ln b) x

x

xlim→0−ln c) x

x

x ln

lim

0

→ d) x

x

ln lim

0+

→ e) x

x

ln lim

0−

→ f) x

x

ln lim

0

→

a) 0 b) No existe. c) No existe. d) _−∞₊_=−∞

0 e) No existe. f) No existe.

8.40. (TIC) Calcula los siguientes límites:

a)

x x

x cos

tg 1 lim

2

+

π →

b)

x x

x cos

tg 1 lim

2

+

−

π →

c)

x x

x cos

tg 1 lim

2 +

π →

a) + =_−∞₋_=+∞ π

→ + cos 0

tg 1 lim

2 x

x

b) + =_+∞₊_=+∞ π

→ − cos 0

tg 1 lim

2 x

x

c) _π + =+∞

→ x

x

x cos

tg 1 lim

2

O Y

X f

1 1

O Y

X f

(12)

8.41. (TIC) Halla los límites que se indican a continuación. a) 4 3 5 3 lim

2₊ ₋

+∞ →

x x

x e)

x

xlim→−∞2 i) ₃ ₅ ₃

4 lim

2₊ ₋

+∞

→ _x _x

x m)

x x − +∞ → _     2 1 lim b) 4 3 5 3 lim

2₊ ₋

+∞ →

x x

x f)

x

x 

    +∞ → 2 1

lim j)

(

x

)

x x e

− −∞

→ −

lim n)

x x − −∞ → _     2 1 lim

c)

(

x

)

xlim→+∞x+e g)

x

x _

    −∞ → 2 1

lim k) x

x

− +∞

→ 2

lim

d) x

xlim→+∞2 h) 3 5 3

4 lim ₂

− +

+∞

→ x x

x l)

x x − −∞ → 2 lim

a) + − =+∞

+∞

→ 4

3 5 3

lim x2 x

x f) ₂ 0

1 2 1 lim =               =       +∞ +∞ → x

x k) lim 2 =

[ ]

2 =0

−∞ − +∞ → x x

b) + − =+∞

+∞

→ 4

3 5 3

lim x2 x

x g) _ =+∞

    =       − +∞ → −∞ → x x x x ₂ 1 lim 2 1

lim l) = =+∞

+∞ → − −∞ → x x x

xlim 2 lim 2

c)

(

+

)

=

[

+∞+∞

]

=+∞

+∞ →

x

xlim x e h) ₃ ₅ ₃ 0

4

lim ₂ =

− +

+∞

→ _x _x

x m) __=+∞

           =       − −∞ +∞ → 2 1 2 1 lim x x

d) =

[ ]

+∞ =+∞

+∞

→ 2 2

lim x

x i) ₃ ₅ ₃ 0

4 lim

2₊ ₋ = +∞

→ _x _x

x n) ₂ 0

1 lim 2

1

lim  =

     =       +∞ → − −∞ → x x x x

e) lim 2 = lim 2− =0

+∞ → −∞ → x x x

x j)

(

−

)

=

[

−∞−∞

]

=−∞

− −∞ →

x

xlim x e

8.42. Calcula los límites: a) lim

(

4 3₋5 2₋3

)

+∞

→ x x

x c) lim

(

1

)

2

3₋ ₊ ₋

−∞

→ x x x

x e) lim(2 2 1)

2

4₊ ₋ ₊

+∞

→ x x x

x g) lim

(

2 2 5

)

2₋ ₊

−∞

→ x x

x

b) lim

(

₋2 5₊5 ₋6

)

+∞

→ x x

x d) 

   ₋ ₋ −∞ → 2 5 3 1 2 1

lim x x

x f) 3 2)

2 (

lim ₋ 6₊ 5₋

+∞

→ x x

x h) 

 



₋ ₋

−∞

→ x x

x 3

1 3

lim 4

a) +∞ c) −∞ e) +∞ g) +∞

b) −∞ d) +∞ f) −∞ h) −∞

8.43. Halla los límites:

a) 3 1 2 lim ₃ 2 3 + − − + +∞ → x x x

x d) 3

2 4 3 4 lim x x x x + + − −∞

→ g) 3 3

2 3 2 lim ₂ 2 + − + + −∞ → x x x

x j) 3

1 2 lim 2 + + −∞ → x x x b) x x x x x ₃ 3 2 2 lim ₂ 3 + − + + +∞

→ e) 2

3 2 lim x x x + − +∞

→ h) 3 5

2 3 4 lim 2 3 + − − + −∞ → x x x

x k) _x _x

x x + + − −∞ → 3 2 ₁ 4 lim c) x x x − + − +∞ → 1 3 2 lim 3 f) 3 3 1 2 lim ₄ 4 + − + − −∞ → x x

x i) 2

5 5 1 4 lim x x x − + − −∞

→ l) 3 3

2 lim ₂ 6 + + −∞ → x x x x

a) −2 d)

4 3 4 lim x x x →+∞ − _{= +∞}

− g)

2 3

− j)

2 2 lim x x x →+∞ − = −∞

b) −∞ e) lim −2 ₂+3=0

+∞

→ x

x

x h)

3 4 lim 3 x x x →+∞

− _{= −∞} _{k) 0}

c) +∞ f) 2

3 i)

5 2 4 lim x x x

→+∞− = −∞ l)