DISTRITO UNIVERSITARIO DE MÁLAGA
2012
MATEMÁTICAS ( Mayores de 25 años).
Ejercicio 1.-
a) [5 puntos] Sea x un número real positivo, exprese como un único radical la expresión,
3 3
4
8
4
x
x
+
x
x
+
x
+
x
y calcule el valor de la misma para x = 2b) [5 puntos]
Calcule el siguiente límite:
lim
(
n
626
n
3n
3)
n→∞
+
−
.(
)
(
)
( )
( ) (
2
5
2
6
)
2
16
2
6
5
6
5
6
5
4
2
5
4
2
4
4
2
4
4
2
4
4
2
4
)
2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 6
3 2 1
2 3 2 1 6
1 2 2 3 2 3 2 1 6
1 3 1 2 1 1 2 3 2 1 6
1 3 1 2 1
=
+
⋅
=
=
+
=
+
=
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
=
=
+
⋅
+
+
=
+
⋅
+
+
=
+
⋅
+
+
⋅
+ + +P
x
P
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
(
)
(
)(
)
13
1
0
1
26
1
26
1
26
1
26
1
26
lim
26
26
lim
26
26
lim
26
26
lim
26
26
26
lim
26
lim
)
3 3
3 6 3 6
6 3 3
3 3 6
3
3 3 6
6 3 6
3 3 6
3 3 6
3 3 6
3 3 6
=
+
+
=
+
∞
+
=
+
+
=
+
+
=
∞
∞
=
+
+
=
=
+
+
−
+
=
+
+
+
+
−
+
=
∞
−
∞
=
−
+
∞ → ∞
→ ∞
→
∞ → ∞
→ ∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
n n
n
n n
n
Ejercicio 2.-
(
)
(
)
( )
( )
(
)(
)(
)
( )
(
)(
)(
)
>
⇒
>
−
−
>
⇒
>
+
>
⇒
>
−
⇒
>
−
+
−
⇒
>
⇒
−
+
−
=
+
−
−
−
⇒
−
=
−
=
=
+
=
⇒
⋅
±
=
⇒
≥
=
+
=
−
⋅
⋅
−
−
=
∆
⇒
=
−
−
−
−
−
−
−
=
+
−
−
⇒
−
−
−
−
⇒
±
⇒
2
0
2
1
0
1
1
0
1
0
2
1
1
0
2
1
1
2
2
2
,
1
,
1
1
2
3
1
2
2
3
1
1
2
9
1
0
9
8
1
2
1
4
1
0
2
0
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
,
1
)
2 3
2 2
2 2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
p
Si
x
x
x
x
x
x
Soluc
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
polinomio
Solución
∀
x
∈
ℜ
/
(
−
1
<
x
<
1
) (
∪
x
>
2
)
-1 1 2
La solución es la parte en negrilla y gruesa
(
)
[ ]
( )
(
)
[ ]
[ ]
3(
2 2) (
3 3)
20 3 3
0
3 0 2 2
2
2
6
27
6
54
81
3
27
2
27
0
3
3
1
0
3
2
3
3
1
2
1
3
3
0
4
2
6
2
2
3
2
3
,
0
2
0
3
0
3
0
3
0
3
0
)
u
x
x
dx
x
x
A
Positivo
f
x
x
x
x
x
x
x
y
OX
con
corte
de
Puntos
b
=
−
=
−
=
−
⋅
−
−
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
=
−
=
⇒
>
=
−
=
−
⋅
=
⇒
∈
=
=
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
=
⇒
∫
Ejercicio 3.-
( )
(
,
,
) (
0
,
4
,
5
)
0
3
3
3
5
4
2
4
3
12
12
3
7
5
3
5
2
10
10
2
min
3
10
7
3
2
0
0
1
3
0
1
2
1
11
7
3
5
9
0
1
3
0
1
2
1
2
1
3
2
3
3
1
1
2
1
2
1
)
−
=
⇒
⇒
=
⇒
=
+
−
⇒
=
−
⋅
+
−
=
=
⇒
=
⇒
=
−
⇒
−
=
−
=
⇒
−
=
⇒
⇒
=
=
⇒
−
−
≡
−
≡
−
−
−
z
y
x
Solución
x
x
x
y
y
y
z
z
ado
Deter
Compatible
Sistema
incognitas
de
Número
A
rang
a
(
)
22 2 2
2
2
3
25
3
5
5
2
1
5
2
1
3
3
5
3
5
15
10
3
5
5
5
3
5
75
75
25
100
5
10
10
2
1
5
6
5
5
6
)
cm
C
A
cm
H
C
Perimetro
C
C
C
C
cm
sen
H
H
sen
b
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⇒
+
=
+
=
+
+
=
+
+
=
=
=
⇒
=
⇒
+
=
⇒
+
=
⇒
=
=
=
⇒
=
π
Ejercicio 4.-
(
)
[
]
[
(
)
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
e
e
x
e
ex
e
ex
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
x
e
x
x
e
x
x
e
x
x
e
x
x
e
x
x
e
x
x
a
3
1
3
1
1
3
3
1
3
1
3
1
3
ln
3
ln
ln
3
ln
ln
3
3
ln
ln
3
3
ln
ln
3
3
ln
ln
3
ln
3
ln
ln
3
ln
2
3
ln
ln
3
ln
0
2
3
ln
ln
3
ln
1
ln
2
3
ln
)
2 3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
3
2 3 2
2 1 2
3 2
2 1 2
3 2
2 1
2 3 2
2 3 2
2 3
2 3 2
3
−
=
⇒
−
=
⇒
=
+
⇒
=
+
⇒
=
+
⇒
=
+
⇒
=
+
⇒
=
+
⇒
=
+
⇒
=
+
+
⇒
=
+
+
⇒
=
+
+
⇒
=
+
−
+
⇒
=
+
⋅
−
+
⇒
=
+
−
⋅
+
+
⇒
=
+
−
⋅
+
+
− −
− −
b) Si son perpendiculares el producto escalar de sus vectores directores es nulo
( )
(
)
( )
(
) ( )
(
2
,
1
)
1
2
2
0
2
2
2
5
10
10
5
0
10
5
0
10
2
4
0
2
0
2
2
2
,
1
1
,
2
2
,
1
0
5
2
1
,
2
0
2
0
2
2
2
2
2
1
2
1
8
4
2
1
6
2
3
1
2
1
−
⇒
−
=
⇒
−
=
⇒
=
+
⇒
=
=
⇒
=
⇒
=
−
⇒
=
−
−
=
+
⊥
⇒
=
+
−
=
⋅
−
=
⋅
⇒
=
⇒
=
−
−
≡
−
=
⇒
=
+
≡
=
+
⇒
+
−
=
+
⇒
−
=
+
−
⇒
−
=
+
−
⇒
−
−
−
−
=
+
−
⇒
P
y
y
y
x
x
x
y
x
y
x
P
corte
de
Punto
v
v
v
v
v
y
x
s
v
y
x
r
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
r
de
Ecuación
s r s
r s
( )
(
)
(
)(
)
( )
(
)(
)
−
>
⇒
>
+
>
⇒
>
−
>
ℜ
∈
∀
⇒
>
⇒
>
+
−
⇒
>
⇒
⇒
+
−
=
−
=
−
=
2
0
2
2
0
2
0
0
4
0
2
2
4
0
'
2
2
4
4
4
16
4
'
)
2 3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
Creciente
x
x
x
x
x
x
x
x
f
a
∞
−
-2 0 2∞
4 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + )
x > -2 ( - ) ( + ) ( + ) ( + )
x > 0 ( - ) ( - ) ( + ) ( + )
x > 2 ( - ) ( - ) ( - ) ( + )
Solución ( - ) ( + ) ( - ) ( + )
Creciente
∀
x
∈
ℜ
/
(
−
2
<
x
<
0
) (
∪
x
>
2
)
Decreciente∀
x
∈
ℜ
/
(
x
<
−
2
) (
∪
0
<
x
<
2
)
Mínimo relativo
x
=
−
2
⇒
f
( ) ( )
−
2
=
−
2
4−
8
⋅
( )
−
2
2=
16
−
32
=
−
16
de Decreciente pasa a Creciente Máximo relativox
=
0
⇒
f
( )
0
=
0
4−
8
⋅
0
2=
0
de Creciente pasa a DecrecienteMínimo relativo
x
=
2
⇒
f
( )
2
=
2
4−
8
⋅
2
2=
16
−
32
=
−
16
de Decreciente pasa a Crecienteb) El punto medio O del vector AB es el centro de la circunferencia y su módulo es el doble del radio de la circunferencia C buscada
( )
( )
( )
(
) (
) (
)
( )
(
) (
)
( )
( )
( )
(
)
−
⇒
=
⇒
−
=
−
=
=
+
=
⇒
⋅
±
=
=
+
=
−
⋅
⋅
−
−
=
∆
⇒
=
−
−
⇒
=
−
⋅
−
−
+
⇒
=
=
−
−
−
+
≡
⇒
=
−
+
−
+
+
−
⇒
=
−
+
−
⇒
=
=
=
⇒
=
=
−
+
=
⇒
−
=
−
−
−
=
⇒
⇒
=
−
+
=
=
+
−
=
1
,
2
1
,
8
1
2
2
10
6
8
2
10
6
1
2
100
6
100
64
36
16
1
4
6
0
16
6
0
15
1
2
6
1
1
0
15
2
6
0
25
1
2
9
6
5
1
3
5
2
10
2
10
100
6
8
6
,
8
4
,
1
2
,
7
1
,
3
1
2
2
4
3
2
7
1
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
0 0
y
con
corte
de
Puntos
x
x
x
x
x
x
x
y
Si
y
x
y
x
C
y
y
x
x
y
x
AB
R
AB
AB
O
y
Ejercicio 6.-
( )
( )
( )
( )
( )
º
240
º
60
º
180
3
4
3
2
1
cos
2
3
2
3
2
3
4
3
4
3
2
2
3
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
cos
2
3
2
1
4
1
cos
4
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
cos
2
2
cos
1
2
cos
1
2
2
2
cos
1
cos
2
cos
1
cos
2
2
cos
cos
1
cos
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
=
+
=
=
+
=
−
=
⇒
−
=
⇒
<
<
⇒
±
=
±
=
⇒
=
=
+
=
−
−
=
−
=
⇒
<
<
⇒
±
=
±
=
⇒
=
=
−
=
−
+
=
⇒
−
=
⇒
−
=
+
=
⇒
+
=
⇒
=
−
=
+
rad
arc
sen
Como
sen
sen
Como
sen
sen
sen
sen
a
π
π
π
θ
θ
π
θ
π
θ
θ
θ
π
θ
π
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
3
1
1
3
lim
1
3
lim
1
3
lim
1
3
3
3
lim
3
1
3
lim
lim
3
0
1
3
1
1
3
1
1
3
lim
3
lim
3
lim
1
3
lim
lim
6
6
lim
1
6
lim
1
3
lim
0
3
0
0
3
1
1
3
1
1
3
lim
1
3
lim
1
3
lim
1
0
3
1
1
1
3
1
1
)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
' 2
2 2
2 2 2 2
2
−
=
+
−
=
+
⋅
−
=
∞
∞
=
+
−
=
+
−
−
=
−
+
=
−
=
=
+
=
∞
+
=
+
=
+
=
∞
∞
=
+
=
+
=
=
−∞
→
−∞
=
∞
−
⋅
=
=
=
→
=
∞
−
∞
=
+
=
∞
→
⇒
=
+
=
∞
+
∞
=
+
=
+
=
∞
∞
=
+
=
−
=
⇒
⇒
=
+
−
−
⋅
=
−
⇒
−
=
∞ → ∞
→ ∞
→ ∞
→ ∞
→ ∞
→
∞ → ∞
→ ∞
→ ∞
→ ∞
→
−∞ → −∞
→ −∞
→
∞ → ∞
→ ∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
mx
x
f
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
m
oblicuas
Asíntotas
x
cuando
horizontal
asíntota
existe
No
x
x
x
x
y
x
cuando
horizontal
asíntota
existe
No
solución
Sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
horizontal
Asíntota
x
en
vertical
Asíntota
solución
Sin
f
x
b
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
Hopital L Utilizando x
x x
x
( )
( )
[
]
−∞
→
−
=
−
=
−
=
→
=
∞
∞
=
+
−
=
+
−
−
=
−
+
=
−
=
=
=
=
→
=
∞
∞
=
+
=
→
=
∞
∞
=
+
=
+
=
=
∞ → ∞
→ −∞
→ −∞
→ −∞
→ −∞ →
−∞ → −∞
→ −∞
→ −∞
→
x
cuando
x
y
oblicua
asíntota
Existe
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
mx
x
f
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
m
x Hopital L Utilizando x
x x
x x
Hopital L Utilizando x
Hopital L Utilizando x
x x
,
3
3
,
3
1
3
lim
1
3
lim
1
3
3
3
lim
3
1
3
lim
lim
3
2
6
lim
1
2
6
lim
3
lim
1
lim
lim
' 2
2 2
' '
