Punto v y x s v

Texto completo

(1)

DISTRITO UNIVERSITARIO DE MÁLAGA

2012

MATEMÁTICAS ( Mayores de 25 años).

Ejercicio 1.-

a) [5 puntos] Sea x un número real positivo, exprese como un único radical la expresión,

3 3

4

8

4

x

x

+

x

x

+

x

+

x

y calcule el valor de la misma para x = 2

b) [5 puntos]

Calcule el siguiente límite:

lim

(

n

6

26

n

3

n

3

)

n→∞

+

.

(

)

(

)

( )

( ) (

2

5

2

6

)

2

16

2

6

5

6

5

6

5

4

2

5

4

2

4

4

2

4

4

2

4

4

2

4

)

2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 6

3 2 1

2 3 2 1 6

1 2 2 3 2 3 2 1 6

1 3 1 2 1 1 2 3 2 1 6

1 3 1 2 1

=

+

=

=

+

=

+

=

+

=

+

+

=

+

+

+

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

+ + +

P

x

P

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

a

(

)

(

)(

)

13

1

0

1

26

1

26

1

26

1

26

1

26

lim

26

26

lim

26

26

lim

26

26

lim

26

26

26

lim

26

lim

)

3 3

3 6 3 6

6 3 3

3 3 6

3

3 3 6

6 3 6

3 3 6

3 3 6

3 3 6

3 3 6

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

=

+

+

=

=

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

=

+

∞ → ∞

→ ∞

∞ → ∞

→ ∞

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

b

n n

n

n n

n

Ejercicio 2.-

(

)

(

)

( )

( )

(

)(

)(

)

( )

(

)(

)(

)

>

>

>

>

+

>

>

>

+

>

+

=

+

=

=

=

+

=

±

=

=

+

=

=

=

=

+

±

2

0

2

1

0

1

1

0

1

0

2

1

1

0

2

1

1

2

2

2

,

1

,

1

1

2

3

1

2

2

3

1

1

2

9

1

0

9

8

1

2

1

4

1

0

2

0

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

2

1

2

1

1

2

,

1

)

2 3

2 2

2 2

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

p

Si

x

x

x

x

x

x

Soluc

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

polinomio

(2)

Solución

x

/

(

1

<

x

<

1

) (

x

>

2

)

-1 1 2

La solución es la parte en negrilla y gruesa

(

)

[ ]

( )

(

)

[ ]

[ ]

3

(

2 2

) (

3 3

)

2

0 3 3

0

3 0 2 2

2

2

6

27

6

54

81

3

27

2

27

0

3

3

1

0

3

2

3

3

1

2

1

3

3

0

4

2

6

2

2

3

2

3

,

0

2

0

3

0

3

0

3

0

3

0

)

u

x

x

dx

x

x

A

Positivo

f

x

x

x

x

x

x

x

y

OX

con

corte

de

Puntos

b

=

=

=

=

=

=

>

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Ejercicio 3.-

( )

(

,

,

) (

0

,

4

,

5

)

0

3

3

3

5

4

2

4

3

12

12

3

7

5

3

5

2

10

10

2

min

3

10

7

3

2

0

0

1

3

0

1

2

1

11

7

3

5

9

0

1

3

0

1

2

1

2

1

3

2

3

3

1

1

2

1

2

1

)

=

=

=

+

=

+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

z

y

x

Solución

x

x

x

y

y

y

z

z

ado

Deter

Compatible

Sistema

incognitas

de

Número

A

rang

a

(

)

2

2 2 2

2

2

3

25

3

5

5

2

1

5

2

1

3

3

5

3

5

15

10

3

5

5

5

3

5

75

75

25

100

5

10

10

2

1

5

6

5

5

6

)

cm

C

A

cm

H

C

Perimetro

C

C

C

C

cm

sen

H

H

sen

b

=

=

=

+

=

+

=

+

+

=

+

+

=

=

=

=

+

=

+

=

=

=

=

=

π

(3)

Ejercicio 4.-

(

)

[

]

[

(

)

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

e

e

x

e

ex

e

ex

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

x

e

x

x

e

x

x

e

x

x

e

x

x

e

x

x

e

x

x

a

3

1

3

1

1

3

3

1

3

1

3

1

3

ln

3

ln

ln

3

ln

ln

3

3

ln

ln

3

3

ln

ln

3

3

ln

ln

3

ln

3

ln

ln

3

ln

2

3

ln

ln

3

ln

0

2

3

ln

ln

3

ln

1

ln

2

3

ln

)

2 3 2 3 2

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2

3

2 3 2

2 1 2

3 2

2 1 2

3 2

2 1

2 3 2

2 3 2

2 3

2 3 2

3

=

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=





+

=





+

=





+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

− −

− −

b) Si son perpendiculares el producto escalar de sus vectores directores es nulo

( )

(

)

( )

(

) ( )

(

2

,

1

)

1

2

2

0

2

2

2

5

10

10

5

0

10

5

0

10

2

4

0

2

0

2

2

2

,

1

1

,

2

2

,

1

0

5

2

1

,

2

0

2

0

2

2

2

2

2

1

2

1

8

4

2

1

6

2

3

1

2

1

=

=

=

+

=

=

=

=

=

=

+

=

+

=

=



=

=

=

=

+

=

+

+

=

+

=

+

=

+

=

+

P

y

y

y

x

x

x

y

x

y

x

P

corte

de

Punto

v

v

v

v

v

y

x

s

v

y

x

r

y

x

y

x

x

y

x

y

x

y

r

de

Ecuación

s r s

r s

(4)

( )

(

)

(

)(

)

( )

(

)(

)

>

>

+

>

>

>

>

>

+

>

+

=

=

=

2

0

2

2

0

2

0

0

4

0

2

2

4

0

'

2

2

4

4

4

16

4

'

)

2 3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

Creciente

x

x

x

x

x

x

x

x

f

a

-2 0 2

4 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + )

x > -2 ( - ) ( + ) ( + ) ( + )

x > 0 ( - ) ( - ) ( + ) ( + )

x > 2 ( - ) ( - ) ( - ) ( + )

Solución ( - ) ( + ) ( - ) ( + )

Creciente

x

/

(

2

<

x

<

0

) (

x

>

2

)

Decreciente

x

/

(

x

<

2

) (

0

<

x

<

2

)

Mínimo relativo

x

=

2

f

( ) ( )

2

=

2

4

8

( )

2

2

=

16

32

=

16

de Decreciente pasa a Creciente Máximo relativo

x

=

0

f

( )

0

=

0

4

8

0

2

=

0

de Creciente pasa a Decreciente

Mínimo relativo

x

=

2

f

( )

2

=

2

4

8

2

2

=

16

32

=

16

de Decreciente pasa a Creciente

b) El punto medio O del vector AB es el centro de la circunferencia y su módulo es el doble del radio de la circunferencia C buscada

( )

( )

( )

(

) (

) (

)

( )

(

) (

)

( )

( )

( )

(

)

=

=

=

=

+

=

±

=

=

+

=

=

=

=

+

=

=

+

=

+

+

+

=

+

=

=

=

=

=

+

=

=

=

=

+

=

=

+

=

1

,

2

1

,

8

1

2

2

10

6

8

2

10

6

1

2

100

6

100

64

36

16

1

4

6

0

16

6

0

15

1

2

6

1

1

0

15

2

6

0

25

1

2

9

6

5

1

3

5

2

10

2

10

100

6

8

6

,

8

4

,

1

2

,

7

1

,

3

1

2

2

4

3

2

7

1

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

0 0

y

con

corte

de

Puntos

x

x

x

x

x

x

x

y

Si

y

x

y

x

C

y

y

x

x

y

x

AB

R

AB

AB

O

y

(5)

Ejercicio 6.-

( )

( )

( )

( )

( )

º

240

º

60

º

180

3

4

3

2

1

cos

2

3

2

3

2

3

4

3

4

3

2

2

3

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

cos

2

3

2

1

4

1

cos

4

1

2

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

cos

2

2

cos

1

2

cos

1

2

2

2

cos

1

cos

2

cos

1

cos

2

2

cos

cos

1

cos

)

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

=

+

=

=

+

=

=

=

<

<

±

=

±

=

=

=

+

=

=

=

<

<

±

=

±

=

=

=

=

+

=

=

=

+

=

+

=

=

=

+

rad

arc

sen

Como

sen

sen

Como

sen

sen

sen

sen

a

π

π

π

θ

θ

π

θ

π

θ

θ

θ

π

θ

π

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

3

1

1

3

lim

1

3

lim

1

3

lim

1

3

3

3

lim

3

1

3

lim

lim

3

0

1

3

1

1

3

1

1

3

lim

3

lim

3

lim

1

3

lim

lim

6

6

lim

1

6

lim

1

3

lim

0

3

0

0

3

1

1

3

1

1

3

lim

1

3

lim

1

3

lim

1

0

3

1

1

1

3

1

1

)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

' 2

2 2

2 2 2 2

2

=

+

=

+

=

=

+

=

+

=





+

=

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

=

+

=

+

=

=

−∞

−∞

=

=

=

=

=

=

+

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

=

+

=

=

=

+

=

=

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞

→ ∞

→ ∞

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞

→ ∞

−∞ → −∞

→ −∞

∞ → ∞

→ ∞

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

mx

x

f

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

m

oblicuas

Asíntotas

x

cuando

horizontal

asíntota

existe

No

x

x

x

x

y

x

cuando

horizontal

asíntota

existe

No

solución

Sin

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

horizontal

Asíntota

x

en

vertical

Asíntota

solución

Sin

f

x

b

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

Hopital L Utilizando x

x x

x

(6)

( )

( )

[

]

−∞

=

=

=

=

=

+

=

+

=





+

=

=

=

=

=

=

=

+

=

=

=

+

=

+

=

=

∞ → ∞

→ −∞

→ −∞

→ −∞

→ −∞ →

−∞ → −∞

→ −∞

→ −∞

x

cuando

x

y

oblicua

asíntota

Existe

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

mx

x

f

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

m

x Hopital L Utilizando x

x x

x x

Hopital L Utilizando x

Hopital L Utilizando x

x x

,

3

3

,

3

1

3

lim

1

3

lim

1

3

3

3

lim

3

1

3

lim

lim

3

2

6

lim

1

2

6

lim

3

lim

1

lim

lim

' 2

2 2

' '

Figure

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