I
I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ
A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
SEPTIEMBRE - 2001
(RESUELTOS por Antonio Menguiano)
MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos
El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opcio-nes. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo en cada uno de ellos una sola de las opciones (A o B). Debe exponerse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.
BLOQUE 1
1-A) Sea
( )
x x x
f
− − =
1 1
. Se pide:
a ) Dominio y cortes con los ejes.
b ) Asíntotas.
c ) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y gráfica de la función.
---
La función
( )
x x x
f
− − =
1 1
puede redefinirse de la forma:
( )
≥ =
− −
< +
− =
0 1
1 1
0 1
1
x si x x
x si x x x
f .
a )
La función f(x) está definida para cualquier valor real de x, excepto para x = -1.
( )
f ⇒R−{ }
−1D
( )
= ⇒ ∉( )
⇒− −
⇒
= x D f
x x x
f 0
1 1
0 No corta al eje X.
( )
0 =1 ⇒f Corta al eje Y en el punto A(0, 1).
b )
( )
=− ⇒+ − −∞ → = −∞
→ 1 1
1
x x x
lím x
f x
lím
Para x = -1 es f
( )
x =∞ ⇒ La recta x = -1 es asíntota vertical.Las tendencias de la asíntota vertical son las siguientes:
( )
= =−∞ ⇒ ↓+ − − → = −
→ − − −
0 2 1
1 1
1 x
x x
lím x
f x
lím
.
( )
= =+∞ ⇒ ↑+ − − → = −
→ + + +
0 2 1
1 1
1 x
x x
lím x
f x
lím
.
La función f(x) no tiene asíntotas oblicuas.
c )
Siendo
( )
x x xg
+ − =
1 1
, es
( )
(
) (
)
(
)
2(
)
2(
)
21 2 1
1 1 1
1 · 1 1
· 1 '
x x
x x x
x x
x g
+ − = +
+ − − − = +
− − + −
= . (*)
( )
(
)
≥ < +
− =
0 0
(*) 0 1
2
' 2
x si
x si x x
f . f'
( )
x <0, ∀x∈(
−∞, −1) (
∪ −1, 0)
.f(x) es decreciente en (-∞, -1)U(-1, 0). En (0, +∞) es constante.
La representación gráfica, aproximada, es la indicada en la figura, donde se ha te-nido en cuenta la continuidad de la función en el punto dudoso de x = 0, como se prueba a continuación.
Y
X O
y = -1 f(x)
x
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
00 0
1 0 1 0 0
1 1 1 1
1 0 0
f x f x
lím x
f x
lím
f x
lím x
f x
lím
x x x
lím x
f x
lím
= →
= →
⇒
= = → = →
= = + − → = →
+ −
+ +
− −
.
1-B) a ) Determinar los valores de α y b para los cuales la función f
( )
x =aLx+bx2 +x tiene extremos relativos en los puntos x = 1 y x = 2. Averiguar si estos extremos son máximos o mínimos.b ) Con los valores obtenidos de α y b, calcular razonadamente el área del recinto limi-tado por la función, el eje OX y las rectas x = 1 y x = 2.
--- a )
Para que una función tenga un extremo relativo en un punto es condición necesa-ria que la derivada de la función se anule en ese punto,
( )
( )
( )
− = + =
+ + =
+ + ⇒ =
− = + =
+ + ⇒ =
⇒ + + =
) 2 ( 2 8 ; ; 0 2 8 ; ; 0 1 4 2 0 2 '
) 1 ( 1 2 ; ; 0 1 2 1 0 1 '
1 2 '
b a b
a b
a f
b a b
a f
bx x a x f
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2):
6 1 ;
; 1 6 ; ; 8 2 2 1 2
. 8
1 2
− = −
= −
− = − − ⇒ − = +
− = +
b b
b b
b a
b a
.
3 2 ;
; 2 3 ; ; 3 1 3 ; ; 1 3 1 ; ; 1 6 2 ; ; 1
2 =− − =− − =− − =− =− =−
+ b a a a a a
a .
La función resulta f
( )
x =− Lx− x2 +x6 1 3
2
.
Para diferenciar los máximos y mínimos se recurre a la segunda derivada: si es negativa para los valores que anulan la primera, se trata de un máximo relativo y, si es positiva, de un mínimo relativo.
( )
( )
−
= − = +
− −
= 2 1
3 1 3 1 3
2 ''
; ; 1 3 1 3
2
' 2 2
x x
x f x
x x
f .
( )
= > ⇒
−
= 0
3 1 1 1
2 3 1 1
'' 2
f Mínimo relativo para x = 1.
( )
=− < ⇒ − =
−
= 0
6 1 2 1 · 3 1 1 2
2 3 1 2
'' 2
f Máximo relativo para x = 2.
b )
Teniendo en cuenta que la función f
( )
x =− Lx− x2+x6 1 3
2
correspondiente al intervalo de la superficie a calcular son positivas, por lo cual, el área pedida es la siguiente:
( )
∫
∫
+ − −
= =
2
1
2 2
1
· 6
1 3
2
·dx Lx x x dx
x f
S .
Sabiendo que la integral de Lx es ⇒
= → =
= → = ⇒
∫
x v dv dx
dx x du u x L dx
x
L ·
1 ·
= − = − = −
⇒
∫
dx xLx∫
dx xLx xx x x x
L · · 1 · x
(
Lx−1)
, la expresión anterior continúa de la forma siguiente:(
)
(
)
(
)
=
+ − − −
−
+ − − −
=
+ − − −
=
2 1 18 1 1 1 · 1 · 3 2 2
2 18
2 1 2 · 2 · 3 2 2
18 1 3
2 2 3 2 3 2
1 2 3
L L
x x x
L x S
= − + + − + −
= − + + − + −
= − + − + + − + −
=
18
9 1 36 8 12 2 24 2
1 18
1 2 9 4 3 2 2 · 3 4 2 1 18
1 3 2 0 · 3 2 2 9 4 3 4 2 · 3
4 L
L L
S u L
= ≅
−
= 2
80 ' 0 18
2 24 31
.
BLOQUE 2
2-A) Se consideran las matrices
= 6 3 5 2 4 1
A y
= f e d c b a
B . Comprobar que el
deter-minante de A · B siempre es 0 y que pueden elegirse valores de α, b, c, d, e y f de for-mas que el determinante de B · A sea distinto de 0.
--- + + + + + + + + + = = f c e b d a f c e b d a f e e b d a f e d c b a B A 6 3 6 3 6 3 5 2 5 2 5 2 4 4 4 · 6 3 5 2 4 1 · . 0 0 0 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 6 3 6 3 6 3 5 2 5 2 5 2 4 4 4 · = + = + = + + + + + + + + + = f e d f e d f e d c b a c b a e b a f c e b d a f c e b d a f e e b d a B A R f e d c b a B
A· =0, ∀ , , , , , ∈ , (como queríamos comprobar).
Se han tenido en cuenta para hacer lo anterior las siguientes propiedades de los determinantes:
1ª.- Si los elementos de una línea de una matriz se descomponen en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de los dos determinantes obtenidos al considerar por separado cada sumando de esa línea, y el resto de las líneas iguales a las del determinan-te inicial.
2ª.- Si una matriz tiene dos líneas paralelas proporcionales, su determinante es nulo.
+ + = + + + + + + + + = = f f c c e e b b d d a a f e d f e d c b a c b a f e d c b a A B 6 3 6 3 5 2 5 2 4 4 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 3 5 2 4 1 · . 0 0 0 0 6 3 6 3 5 2 5 2 4 4 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 · = + + = + + = + + + + + + + + = f f c c e e b b d d a a f e d f e d c b a c b a A B .
En contra de lo que nos dice el enunciado:
R f e d c b a A
B· =0, ∀ , , , , , ∈ , (aunque queríamos comprobar lo contrario).
2-B) a ) Discutir el sistema
= + +
= + +
= + −
6 2
7 3 3
1 3
az y x
z ay x
z y x
, según los valores de α.
b ) Si para algún valor de α es compatible indeterminado, resolverlo en ese caso.
--- a )
Las matrices de coeficientes y ampliada son:
−
=
−
=
6 7 1
1 2
3 3
3 1 1 ' 1
2
3 3
3 1 1
a a M
y a a
M .
El rango de la matriz de coeficientes en función de α es el siguiente:
(
3)
0 0 ;; 33 3
3 6 6 9 1
2
3 3
3 1 1
2 1
2
2+ − − − + = − = − = ⇒ = =
= −
= a a a a a a a a a
a a
M .
ado er
Compatible incóg
n M
Rango M
Rango a
a
Para ' 3 º . det min
3 0
⇒
= = =
⇒
≠ ≠
{
}
' 26 7 1
0 1 2
3 0 3
3 1 1 '
0 ⇒ 1+ 3 = 2 ⇒ =
−
=
⇒
= M F F F Rango de M
a
Para .
ado er
in Compatible incóg
n M
Rango M
Rango a
Para =0⇒ = '=2< º .⇒ det min
{
}
=−
⇒ ⇒
⇒
−
=
⇒
=
6 1 2
7 3 3
1 1 1 ,
, '
6 7 1
3 1 2
3 3 3
3 1 1 '
3 M Rango M C1 C2 C4
a Para
3 ' 0
12 27 39 18 7 6 14 3
18+ − − − + = − = ≠ ⇒ =
= Rango M .
le Incompatib M
Rango M
Rango a
Para =3⇒ =2 ;; '=3⇒
b )
Resolvemos para α = 0 que el sistema
= +
= +
= + −
6 2
7 3 3
1 3
y x
z x
z y x
es compatible indeterminado.
λ λ
λ+ = = − = −
⇒
=
+ 3
7
; ; 3 7 3 ; ; 7 3 3 7 3
3x z z z z .
R z
y x
Solucíón ∀ ∈
− =
− = =
λ λ
λ λ
, 2 6 :
3 7
.
BLOQUE 3
3-A) Se considera la recta
− = +
= − + ≡
3 0 9 2
z y
y x
r y el punto P(2, 1, 2).
a ) Determinar la ecuación del plano perpendicular a r por P.
b ) Entre todas las rectas del espacio que pasan por P y son ortogonales a r, determinar una recta s que no corte a r.
c ) Hallar el punto de s que está más próximo a la recta r.
--- a )
Un vector director de la recta r es cualquiera que sea linealmente dependiente del producto vectorial de los vectores normales de los planos que la determinan, que son los siguientes: n1 =
(
1, 2, 0)
y n2 =(
0,1,1)
.(
2, 1,1)
22 1 1 0
0 2 1
'r = = i+k− j= i− j+k ⇒ vr = −
k j i
v .
El haz de planos β perpendiculares a r tiene una expresión general de la forma
0
2 − + + =
≡ x y z D
β . De los infinitos planos del haz β, el plano π que contiene al punto P(2, 1, 2) es el que satisface su ecuación:
(
)
2·2 1 2 0 ;; 4 1 0 ;; 52 , 1 , 2
0 2
− = =
+ + =
+ + − ⇒ = + + − ≡
D D
D P
D z y x β
.
0 5
2 − + − =
≡ x y z π
b )
Por ser el plano π perpendicular a la recta r, todas las infinitas rectas contenidas en π son perpendiculares a la recta r, por lo cual, para encontrar una recta s que cumpla la condición, basta encontrar una recta contenida en π y que no pase por P(2, 1, 2).
Los puntos de π son de la forma Q
(
x, y, 5−2x+y)
; para encontrar dos puntos de πbasta con dar valores arbitrarios a x e y; por ejemplo: Q1(0, 0, 5) y Q2(0, 1, 6).
Los puntos Q1 y Q2 determinan el vector vs =Q1Q2 =Q2−Q1 =
(
0, 1, 1)
.La recta s dada por unas ecuaciones continuas es
1 5 1
0
− = = ≡ x y z
s .
c )
Una forma de hallar el punto de s más próximo a r es la siguiente.
El haz de planos α perpendiculares a s tiene por expresión general α ≡ y+z+D=0.
De los infinitos planos del haz α, el plano δ que contiene al punto P(2, 1, 2) es el que satisface su ecuación:
(
)
1 2 0 ;; 3 0 ;; 3 3 02 , 1 , 2
0
= − + ≡ ⇒ − = =
+ =
+ + ⇒ = + + ≡
z y D
D D
P
D z y
δ α
.
El punto E de la recta s más próximo a la recta r es la intersección del plano δ con la recta s:
1 ;
; 4 ; ; 2 8 ; ; 5 3
5 3 5
0 3
1 5 1
0
0 3
− = =
= −
= −
⇒
− =
− =
⇒
− = =
= +
⇒
− = = ≡
= − + ≡
y z
z z
z z
y z y
z y x
z y
z y x s
z y
δ
.
El punto de s más próximo a r es E(0, -1, 4).
3-B) Dadas las rectas
= + −
= − + ≡
0 2
9 2
4
z y x
z y x
r y
− = −
= − + ≡
2 2
0
y ax
z y x
s , determinar un valor de α para que las rectas r y s sean paralelas y otro valor de α para que r y s se crucen. Con el valor de α para el cual r y s son paralelas, calcular:
a ) Ecuación del plano π que contiene a r y s.
b ) El punto del plano π que está más próximo al origen de coordenadas.
---
Se hace el estudio mediante el sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas que determinan las dos rectas expresadas por sus ecuaciones implícitas.
El sistema que forman las rectas r y s es
− = −
= − +
= + −
= − +
2 2
0 0 2
9 2
4
y ax
z y x
z y x
z y x
, cuyo estudio mediante el
teorema de Rouché-Fröbenius se hace a continuación.
Las matrices de coeficientes y ampliada son:
− −
− −
−
=
− − −
−
=
2 0 0 9
0 2
1 1 1
2 1 1
1 2 4
' ; ;
0 2
1 1 1
2 1 1
1 2 4
a M
a
M .
En función de los rangos de las matrices M y M’, la posición relativa de las dos rectas es la siguiente:
Rango M = Rango M’ = 2 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Son rectas coincidentes.
Rango M = 2 ;; Rango M’ = 3 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Son rectas paralelas.
Rango M = Rango M’ = 3 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Las rectas se cortan en un punto.
Rango M = 3 ;; Rango M’ = 4 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Las rectas se cruzan.
= − − − − =
− − − −
− =
⇒
+ →
+ → ⇒
2 4 2
0 1 2
9 3 6
2 0 0 9
4 2 2
1 1 2
0 1 0
3 2 6
' 2
'
2 3 3
2 1 1
a a
M C
C C
C C C M
Rango
(
)
[
4 24 32 4]
3·(
24 6 3)
3·(
18 3)
8·(
6)
0 6· 3 2 4 2
0 1 2
3 1 2 ·
3 = + − − − = − + = + = + = ⇒ =−
−
= a a a a a
a
Para que las rectas r y s sean paralelas tiene que ser el Rango de M’ = 3 y el rango de M = 2. Para que Rango M’ = 3 tiene que ser α = -6.
Para α = -3 es
− − − − − = 0 2 6 1 1 1 2 1 1 1 2 4
M . Para determinar el rango de M tenemos en
cuenta que la última fila es igual a la suma de las restantes. Considerando el menor for-mado por las tres primeras filas:
2 0 2 8 1 4 1 4 1 1 1 2 1 1 1 2 4 = ⇒ = + − − + − = − − − M Rango .
Para α = -6 las rectas r y s son paralelas.
Para α≠ -6 el Rango de M’ es 4 y el rango de M es 3.
Para α≠ -6 las rectas r y s se cruzan.
a )
Para determinar un punto y un vector director de r la expresamos por unas ecua-ciones paramétricas: ; ; 6 9 3 2 4 2 4 9 2 2 4 9 2 0 2 9 2 4 λ λ λ λ λ λ ⇒ = − − = + − − = − − = + − − = − ⇒ = ⇒ = + − = − + ≡ z z y z y z y z y x z y x z y x r
(
0, 6, 3)
;;(
1, 3, 2)
2 3 3 6 3 6 4 6 2 ; ; 23 ⇒ = − −
− = − = = ≡ ⇒ = − = + − = + = −
= A vr
z y x r y z y z λ λ λ λ λ λ λ λ .
Para determinar un punto de s la expresamos por unas ecuaciones paramétricas:
= − + = + = − = = ⇒ = + = − + ≡ ⇒ − = − − = − +
≡ λ ;; 1 3λ ;; λ 1 3λ
1 3 0 2 2 6 0 y x z y x y x z y x s y x z y x s
(
0, 1, 1)
2 1 3 1 2 1 P z y x s z ⇒ − = − = = ≡ ⇒ = − = λ λ λ λ .
Los puntos A y P determinan el vector w =PA=A−P=
(
0, 6, 3) (
− 0, 1,1) (
= 0, 5, 2)
.(
)
0 ;; 6 5( )
1 10 2(
1)
0 ;; 25 0
2 3 1
1 1 ,
; − − = − + − + − − =
− −
≡ x z x y
z y x w v P r
π
(
)
0 ;; 6 5( )
1 10 2(
1)
0 ;;2 5 0
2 3 1
1 1 ,
; − − = − + − + − − =
− −
≡ x z x y
z y x w v P r
π
(
1) ( )
5 1 0 ;; 4 2 2 5 5 0 24x− y− + z− = x− y+ + z− = .
0 3 5 2
4 − + − =
≡ x y z π
b )
Un vector normal de π es n =
(
4, −2, 5)
.La ecuación de la recta t, perpendicular al plano π y que pasa por el origen de
coordenadas tiene la siguiente expresión:
= − = = ≡
λ λ λ
5 2 4
z y x
t .
El punto Q pedido es la intersección de la recta t y el plano π;
(
2)
5·5 3 0 ;;16 4 25 3 0 ;; ·2 4 · 4
5 2 4
0 3 5 2 4
= − + + =
− +
− − ⇒
= − = = ≡
= − + − ≡
λ λ λ λ
λ λ
λ λ λ π
z y x t
z y x
− ⇒
= =
− =
−
15 5 , 15
2 , 15
4 15
1 ; ; 0 1 15 ; ; 0 3
45λ λ λ Q .