PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA SEPTIEMBRE - 2001 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Texto completo

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

SEPTIEMBRE - 2001

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opcio-nes. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo en cada uno de ellos una sola de las opciones (A o B). Debe exponerse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

BLOQUE 1

1-A) Sea

( )

x x x

f

− − =

1 1

. Se pide:

a ) Dominio y cortes con los ejes.

b ) Asíntotas.

c ) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y gráfica de la función.

---

La función

( )

x x x

f

− − =

1 1

puede redefinirse de la forma:

( )

     

≥ =

− −

< +

− =

0 1

1 1

0 1

1

x si x x

x si x x x

f .

a )

La función f(x) está definida para cualquier valor real de x, excepto para x = -1.

( )

fR

{ }

−1

D

( )

= ⇒ ∉

( )

− −

= x D f

x x x

f 0

1 1

0 No corta al eje X.

( )

0 =1 ⇒

f Corta al eje Y en el punto A(0, 1).

b )

( )

=

+ − −∞ → = −∞

→ 1 1

1

x x x

lím x

f x

lím

(2)

Para x = -1 es f

( )

x = ⇒ La recta x = -1 es asíntota vertical.

Las tendencias de la asíntota vertical son las siguientes:

( )

= =−∞ ⇒ ↓

+ − − → = −

→ − − −

0 2 1

1 1

1 x

x x

lím x

f x

lím

.

( )

= =+∞ ⇒ ↑

+ − − → = −

→ + + +

0 2 1

1 1

1 x

x x

lím x

f x

lím

.

La función f(x) no tiene asíntotas oblicuas.

c )

Siendo

( )

x x x

g

+ − =

1 1

, es

( )

(

) (

)

(

)

2

(

)

2

(

)

2

1 2 1

1 1 1

1 · 1 1

· 1 '

x x

x x x

x x

x g

+ − = +

+ − − − = +

− − + −

= . (*)

( )

(

)

    

≥ < +

− =

0 0

(*) 0 1

2

' 2

x si

x si x x

f . f'

( )

x <0, ∀x

(

−∞, −1

) (

∪ −1, 0

)

.

f(x) es decreciente en (-∞, -1)U(-1, 0). En (0, +∞) es constante.

La representación gráfica, aproximada, es la indicada en la figura, donde se ha te-nido en cuenta la continuidad de la función en el punto dudoso de x = 0, como se prueba a continuación.

Y

X O

y = -1 f(x)

x

=

(3)

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

0

0 0

1 0 1 0 0

1 1 1 1

1 0 0

f x f x

lím x

f x

lím

f x

lím x

f x

lím

x x x

lím x

f x

lím

= →

= →

  

  

 

= = → = →

= = + − → = →

+ −

+ +

− −

.

(4)

1-B) a ) Determinar los valores de α y b para los cuales la función f

( )

x =aLx+bx2 +x tiene extremos relativos en los puntos x = 1 y x = 2. Averiguar si estos extremos son máximos o mínimos.

b ) Con los valores obtenidos de α y b, calcular razonadamente el área del recinto limi-tado por la función, el eje OX y las rectas x = 1 y x = 2.

--- a )

Para que una función tenga un extremo relativo en un punto es condición necesa-ria que la derivada de la función se anule en ese punto,

( )

( )

( )

 

  

 

− = + =

+ + =

+ + ⇒ =

− = + =

+ + ⇒ =

⇒ + + =

) 2 ( 2 8 ; ; 0 2 8 ; ; 0 1 4 2 0 2 '

) 1 ( 1 2 ; ; 0 1 2 1 0 1 '

1 2 '

b a b

a b

a f

b a b

a f

bx x a x f

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2):

6 1 ;

; 1 6 ; ; 8 2 2 1 2

. 8

1 2

− = −

= −

− = − − ⇒    − = +

− = +

b b

b b

b a

b a

.

3 2 ;

; 2 3 ; ; 3 1 3 ; ; 1 3 1 ; ; 1 6 2 ; ; 1

2 =− − =− − =− − =− =− =−

+ b a a a a a

a .

La función resulta f

( )

x =− Lxx2 +x

6 1 3

2

.

Para diferenciar los máximos y mínimos se recurre a la segunda derivada: si es negativa para los valores que anulan la primera, se trata de un máximo relativo y, si es positiva, de un mínimo relativo.

( )

( )

  

= − = +

− −

= 2 1

3 1 3 1 3

2 ''

; ; 1 3 1 3

2

' 2 2

x x

x f x

x x

f .

( )

= > ⇒ 

  

= 0

3 1 1 1

2 3 1 1

'' 2

f Mínimo relativo para x = 1.

( )

=− < ⇒

     =    

= 0

6 1 2 1 · 3 1 1 2

2 3 1 2

'' 2

f Máximo relativo para x = 2.

b )

Teniendo en cuenta que la función f

( )

x =− Lxx2+x

6 1 3

2

(5)

correspondiente al intervalo de la superficie a calcular son positivas, por lo cual, el área pedida es la siguiente:

( )

  

 

+ − −

= =

2

1

2 2

1

· 6

1 3

2

·dx Lx x x dx

x f

S .

Sabiendo que la integral de Lx es ⇒

   

   

= → =

= → = ⇒

x v dv dx

dx x du u x L dx

x

L ·

1 ·

= − = − = −

dx xLx

dx xLx x

x x x x

L · · 1 · x

(

Lx−1

)

, la expresión anterior continúa de la forma siguiente:

(

)

(

)

(

)

=

  

 

+ − − −

−    

 

+ − − −

=    

 

+ − − −

=

2 1 18 1 1 1 · 1 · 3 2 2

2 18

2 1 2 · 2 · 3 2 2

18 1 3

2 2 3 2 3 2

1 2 3

L L

x x x

L x S

= − + + − + −

= − + + − + −

= − + − + + − + −

=

18

9 1 36 8 12 2 24 2

1 18

1 2 9 4 3 2 2 · 3 4 2 1 18

1 3 2 0 · 3 2 2 9 4 3 4 2 · 3

4 L

L L

S u L

= ≅

= 2

80 ' 0 18

2 24 31

.

(6)

BLOQUE 2

2-A) Se consideran las matrices

          = 6 3 5 2 4 1

A y 

     = f e d c b a

B . Comprobar que el

deter-minante de A · B siempre es 0 y que pueden elegirse valores de α, b, c, d, e y f de for-mas que el determinante de B · A sea distinto de 0.

---           + + + + + + + + + =                 = f c e b d a f c e b d a f e e b d a f e d c b a B A 6 3 6 3 6 3 5 2 5 2 5 2 4 4 4 · 6 3 5 2 4 1 · . 0 0 0 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 6 3 6 3 6 3 5 2 5 2 5 2 4 4 4 · = + = + = + + + + + + + + + = f e d f e d f e d c b a c b a e b a f c e b d a f c e b d a f e e b d a B A R f e d c b a B

A· =0, ∀ , , , , , ∈ , (como queríamos comprobar).

Se han tenido en cuenta para hacer lo anterior las siguientes propiedades de los determinantes:

1ª.- Si los elementos de una línea de una matriz se descomponen en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de los dos determinantes obtenidos al considerar por separado cada sumando de esa línea, y el resto de las líneas iguales a las del determinan-te inicial.

2ª.- Si una matriz tiene dos líneas paralelas proporcionales, su determinante es nulo.

      +       +       =       + + + + + + + + =                 = f f c c e e b b d d a a f e d f e d c b a c b a f e d c b a A B 6 3 6 3 5 2 5 2 4 4 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 3 5 2 4 1 · . 0 0 0 0 6 3 6 3 5 2 5 2 4 4 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 · = + + = + + = + + + + + + + + = f f c c e e b b d d a a f e d f e d c b a c b a A B .

En contra de lo que nos dice el enunciado:

R f e d c b a A

B· =0, ∀ , , , , , ∈ , (aunque queríamos comprobar lo contrario).

(7)

2-B) a ) Discutir el sistema

    

= + +

= + +

= + −

6 2

7 3 3

1 3

az y x

z ay x

z y x

, según los valores de α.

b ) Si para algún valor de α es compatible indeterminado, resolverlo en ese caso.

--- a )

Las matrices de coeficientes y ampliada son:

  

 

  

  −

=

  

 

  

  −

=

6 7 1

1 2

3 3

3 1 1 ' 1

2

3 3

3 1 1

a a M

y a a

M .

El rango de la matriz de coeficientes en función de α es el siguiente:

(

3

)

0 0 ;; 3

3 3

3 6 6 9 1

2

3 3

3 1 1

2 1

2

2+ − − − + = − = − = = =

= −

= a a a a a a a a a

a a

M .

ado er

Compatible incóg

n M

Rango M

Rango a

a

Para ' 3 º . det min

3 0

= = =

⇒      

≠ ≠

{

}

' 2

6 7 1

0 1 2

3 0 3

3 1 1 '

0 ⇒ 1+ 3 = 2 ⇒ =

  

 

  

  −

=

= M F F F Rango de M

a

Para .

ado er

in Compatible incóg

n M

Rango M

Rango a

Para =0⇒ = '=2< º .⇒ det min

{

}

=

⇒ ⇒

⇒   

 

  

  −

=

=

6 1 2

7 3 3

1 1 1 ,

, '

6 7 1

3 1 2

3 3 3

3 1 1 '

3 M Rango M C1 C2 C4

a Para

3 ' 0

12 27 39 18 7 6 14 3

18+ − − − + = − = ≠ ⇒ =

= Rango M .

le Incompatib M

Rango M

Rango a

Para =3⇒ =2 ;; '=3⇒

b )

Resolvemos para α = 0 que el sistema

    

= +

= +

= + −

6 2

7 3 3

1 3

y x

z x

z y x

es compatible indeterminado.

(8)

λ λ

λ+ = = − = −

=

+ 3

7

; ; 3 7 3 ; ; 7 3 3 7 3

3x z z z z .

R z

y x

Solucíón ∀ ∈

    

− =

− = =

λ λ

λ λ

, 2 6 :

3 7

.

(9)

BLOQUE 3

3-A) Se considera la recta

  

− = +

= − + ≡

3 0 9 2

z y

y x

r y el punto P(2, 1, 2).

a ) Determinar la ecuación del plano perpendicular a r por P.

b ) Entre todas las rectas del espacio que pasan por P y son ortogonales a r, determinar una recta s que no corte a r.

c ) Hallar el punto de s que está más próximo a la recta r.

--- a )

Un vector director de la recta r es cualquiera que sea linealmente dependiente del producto vectorial de los vectores normales de los planos que la determinan, que son los siguientes: n1 =

(

1, 2, 0

)

y n2 =

(

0,1,1

)

.

(

2, 1,1

)

2

2 1 1 0

0 2 1

'r = = i+kj= ij+kvr = −

k j i

v .

El haz de planos β perpendiculares a r tiene una expresión general de la forma

0

2 − + + =

x y z D

β . De los infinitos planos del haz β, el plano π que contiene al punto P(2, 1, 2) es el que satisface su ecuación:

(

)

2·2 1 2 0 ;; 4 1 0 ;; 5

2 , 1 , 2

0 2

− = =

+ + =

+ + − ⇒    = + + − ≡

D D

D P

D z y x β

.

0 5

2 − + − =

x y z π

b )

Por ser el plano π perpendicular a la recta r, todas las infinitas rectas contenidas en π son perpendiculares a la recta r, por lo cual, para encontrar una recta s que cumpla la condición, basta encontrar una recta contenida en π y que no pase por P(2, 1, 2).

Los puntos de π son de la forma Q

(

x, y, 5−2x+y

)

; para encontrar dos puntos de π

basta con dar valores arbitrarios a x e y; por ejemplo: Q1(0, 0, 5) y Q2(0, 1, 6).

Los puntos Q1 y Q2 determinan el vector vs =Q1Q2 =Q2Q1 =

(

0, 1, 1

)

.

La recta s dada por unas ecuaciones continuas es

1 5 1

0

− = = ≡ x y z

s .

(10)

c )

Una forma de hallar el punto de s más próximo a r es la siguiente.

El haz de planos α perpendiculares a s tiene por expresión general α ≡ y+z+D=0.

De los infinitos planos del haz α, el plano δ que contiene al punto P(2, 1, 2) es el que satisface su ecuación:

(

)

1 2 0 ;; 3 0 ;; 3 3 0

2 , 1 , 2

0

= − + ≡ ⇒ − = =

+ =

+ + ⇒    = + + ≡

z y D

D D

P

D z y

δ α

.

El punto E de la recta s más próximo a la recta r es la intersección del plano δ con la recta s:

1 ;

; 4 ; ; 2 8 ; ; 5 3

5 3 5

0 3

1 5 1

0

0 3

− = =

= −

= −

⇒   

− =

− =

⇒     

− = =

= +

⇒    

− = = ≡

= − + ≡

y z

z z

z z

y z y

z y x

z y

z y x s

z y

δ

.

El punto de s más próximo a r es E(0, -1, 4).

(11)

3-B) Dadas las rectas

  

= + −

= − + ≡

0 2

9 2

4

z y x

z y x

r y

  

− = −

= − + ≡

2 2

0

y ax

z y x

s , determinar un valor de α para que las rectas r y s sean paralelas y otro valor de α para que r y s se crucen. Con el valor de α para el cual r y s son paralelas, calcular:

a ) Ecuación del plano π que contiene a r y s.

b ) El punto del plano π que está más próximo al origen de coordenadas.

---

Se hace el estudio mediante el sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas que determinan las dos rectas expresadas por sus ecuaciones implícitas.

El sistema que forman las rectas r y s es

      

− = −

= − +

= + −

= − +

2 2

0 0 2

9 2

4

y ax

z y x

z y x

z y x

, cuyo estudio mediante el

teorema de Rouché-Fröbenius se hace a continuación.

Las matrices de coeficientes y ampliada son:

   

 

   

 

− −

− −

= 

  

 

   

 

− − −

=

2 0 0 9

0 2

1 1 1

2 1 1

1 2 4

' ; ;

0 2

1 1 1

2 1 1

1 2 4

a M

a

M .

En función de los rangos de las matrices M y M’, la posición relativa de las dos rectas es la siguiente:

Rango M = Rango M’ = 2 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Son rectas coincidentes.

Rango M = 2 ;; Rango M’ = 3 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Son rectas paralelas.

Rango M = Rango M’ = 3 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Las rectas se cortan en un punto.

Rango M = 3 ;; Rango M’ = 4 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Las rectas se cruzan.

= − − − − =

− − − −

− =

⇒    

 

+ →

+ → ⇒

2 4 2

0 1 2

9 3 6

2 0 0 9

4 2 2

1 1 2

0 1 0

3 2 6

' 2

'

2 3 3

2 1 1

a a

M C

C C

C C C M

Rango

(

)

[

4 24 32 4

]

(

24 6 3

)

(

18 3

)

(

6

)

0 6

· 3 2 4 2

0 1 2

3 1 2 ·

3 = + − − − = − + = + = + = ⇒ =−

= a a a a a

a

(12)

Para que las rectas r y s sean paralelas tiene que ser el Rango de M’ = 3 y el rango de M = 2. Para que Rango M’ = 3 tiene que ser α = -6.

Para α = -3 es

            − − − − − = 0 2 6 1 1 1 2 1 1 1 2 4

M . Para determinar el rango de M tenemos en

cuenta que la última fila es igual a la suma de las restantes. Considerando el menor for-mado por las tres primeras filas:

2 0 2 8 1 4 1 4 1 1 1 2 1 1 1 2 4 = ⇒ = + − − + − = − − − M Rango .

Para α = -6 las rectas r y s son paralelas.

Para α≠ -6 el Rango de M’ es 4 y el rango de M es 3.

Para α≠ -6 las rectas r y s se cruzan.

a )

Para determinar un punto y un vector director de r la expresamos por unas ecua-ciones paramétricas: ; ; 6 9 3 2 4 2 4 9 2 2 4 9 2 0 2 9 2 4 λ λ λ λ λ λ ⇒ = −    − = + − − = −    − = + − − = − ⇒ = ⇒    = + − = − + ≡ z z y z y z y z y x z y x z y x r

(

0, 6, 3

)

;;

(

1, 3, 2

)

2 3 3 6 3 6 4 6 2 ; ; 2

3 ⇒ = − −

     − = − = = ≡ ⇒ = − = + − = + = −

= A vr

z y x r y z y z λ λ λ λ λ λ λ λ .

Para determinar un punto de s la expresamos por unas ecuaciones paramétricas:

= − + = + = − = = ⇒    = + = − + ≡ ⇒    − = − − = − +

≡ λ ;; 1 3λ ;; λ 1 3λ

1 3 0 2 2 6 0 y x z y x y x z y x s y x z y x s

(

0, 1, 1

)

2 1 3 1 2 1 P z y x s z ⇒      − = − = = ≡ ⇒ = − = λ λ λ λ .

Los puntos A y P determinan el vector w =PA=AP=

(

0, 6, 3

) (

− 0, 1,1

) (

= 0, 5, 2

)

.

(13)

(

)

0 ;; 6 5

( )

1 10 2

(

1

)

0 ;; 2

5 0

2 3 1

1 1 ,

; − − = − + − + − − =

− −

x z x y

z y x w v P r

π

(

)

0 ;; 6 5

( )

1 10 2

(

1

)

0 ;;

2 5 0

2 3 1

1 1 ,

; − − = − + − + − − =

− −

x z x y

z y x w v P r

π

(

1

) ( )

5 1 0 ;; 4 2 2 5 5 0 2

4xy− + z− = xy+ + z− = .

0 3 5 2

4 − + − =

x y z π

b )

Un vector normal de π es n =

(

4, −2, 5

)

.

La ecuación de la recta t, perpendicular al plano π y que pasa por el origen de

coordenadas tiene la siguiente expresión:

    

= − = = ≡

λ λ λ

5 2 4

z y x

t .

El punto Q pedido es la intersección de la recta t y el plano π;

(

2

)

5·5 3 0 ;;16 4 25 3 0 ;; ·

2 4 · 4

5 2 4

0 3 5 2 4

= − + + =

− +

− − ⇒

      

    

= − = = ≡

= − + − ≡

λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ π

z y x t

z y x

   

 

= =

− =

15 5 , 15

2 , 15

4 15

1 ; ; 0 1 15 ; ; 0 3

45λ λ λ Q .

Figure

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