PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CASTILLA Y LEÓN JUNIO - 2002 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CASTILLA Y LEÓN

JUNIO - 2002

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Criterios generales de evaluación de la prueba: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones.

Datos o tablas (si ha lugar): Podrá utilizarse una calculadora “en línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni las prestaciones gráficas.

Optatividad: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos proble-mas y cuatro cuestiones. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. El alumno deberá escoger una de las pruebas, A o B, y desarrollar las preguntas de la misma.

PRUEBA A PROBLEMAS

1º) Sean A, B y X tres matrices cuadradas del mismo orden que verifican lo siguiente:

I B X

A· · = , siendo I la matriz unidad.

a ) Si el determinante de A vale -1 y el de B vale 1, calcular razonadamente el determi-nante de X.

b ) Calcular de forma razonada la matriz X si _

  

 

− − =

     

=

3 2

2 1 4

3 3 2

B y

A .

--- a )

⇒

=I B X

A· · Multiplicando por la izquierda por A-1 y por la derecha por B-1:

(

)

(

) (

)

1 1 1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

· ;

; ·

· ·

; ; · · ·

· · · ;

; · · ·

· · ·

− − −

−

− −

− −

− −

− −

= =

= =

B A X B

A I X I

B I A B

B X A A B

I A B B X A A

matriz es igual a la inversa del determinante:

( )

X

B A

B A

X =− =

− = − = = = _{− −} − − − − 1 1 · 1 1 1 · 1 ·

· 1 1 1 1 1

1

b )

Este apartado lo vamos a resolver de dos formas diferentes:

I ) Sea _

     = d b c a

X . Entonces: ;;

1 0 0 1 3 2 2 1 · · 4 3 3 2       =       − −             d b c a ; ; 1 0 0 1 3 2 2 1 · 4 3 4 3 3 2 3 2       =       − −       + + + + d c b a d c b a                      = − − − − = + + +    = − − − − = + + + ⇒       =       − − − − + + + − − − − + + + ) 2 ( 1 12 9 8 6 0 8 6 4 3 ) 1 ( 0 9 6 6 4 1 6 4 3 2 1 0 0 1 12 9 8 6 8 6 4 3 9 6 6 4 6 4 3 2 d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a

Multiplicando en (1) la primera ecuación por 2 y sumando queda: 2c+3d =2. Multiplicando en (2) la primera ecuación por 2 y sumando queda: 3c+4d =1. Resolviendo el sistema resultante:

5 ; ; 10 2 ; ; 2 12 2 ; ; 2 3 2 ; ; 4 2 8 6 6 9 6 1 4 3 2 3 2 − = − = = + = + = ⇒    − = − − = +    = + = + c c c d c d d c d c d c d c

Sustituyendo estos valores, por ejemplo, en las primeras ecuaciones de (1) y (2):

6 ; ; 12 2 ; ; 3 15 2 ; ; 3 3 2 ; ; 5 ; ; 5 4 8 6 9 9 6 2 4 3 3 3 2 0 32 30 4 3 1 24 20 3 2 4 5 0 8 6 4 3 1 6 4 3 2 = = − = − − = + − = = − ⇒    − = + = − −    − = + − = +    = + − + = + − + ⇒       = − = ⇒    = + + + = + + + a a a b a b b b a b a b a b a b a b a d c d c b a d c b a       − − = 4 5 5 6 X II )

Basándonos en el desarrollo del apartado a ): = −1· −1 (*)

En primer lugar vamos a calcular las inversas de las matrices A y B:

   

 

− − =

   

 

− − =

     

= = =

− = − = =

     

=

−

2 3

3 4 ;

; 4 3

3 4 .

4 3

3 2 ;

; 1

9 8 4 3

3 2 ;

; 4 3

3 2

1

A A

de Adj

A A A

A A

T

T

   

 

− − =

   

 

− − =

   

 

− − = =

= + − = − − =

   

 

− − =

−

1 2

2 3 ;

; 1 2

2 3 .

3 2

2 1 ;

; 1

4 3 3 2

2 1 ;

; 3 2

2 1

1

B B

de Adj

B B

B B

T

T

Sustituyendo en (*) y operando:

X B

A

X _=

  

 

− − =

   

 

− −

   

 

− − =

= − −

4 5

5 6 1

2 2 3 · 2 2

3 4 · 1

1

2º) Dada por F

( )

x

( )

t e t dt

x

· · 1 2

0

2 −

∫

−

= , definida para todo x∈R.

a ) Calcular F’(x), estudiar el crecimiento de F(x) y hallar las abscisas de sus máximos y mínimos relativos.

b ) Calcular F’’(x), estudiar la concavidad y convexidad de F(x) y hallar las abscisas de sus puntos de inflexión.

--- a )

Por el concepto de integral indefinida : G

( )

x =

∫

g

( )

x · dx⇔G'

( ) ( )

x = f x . En nuestro caso sería:

( )

=

[

(

−

)

−

]

=

[

(

2 −

)

−

]

−

[

(

2 −

)

0

]

=

0 2

· 1 0 ·

1 ·

1

' x t e 2 x e 2 e

F t x x

(

)

F

( )

x

e x e

x

x

x 1 '

1 1

· 1 1

2 2

2 2

= + − = −

− −

= . '

( )

=0 ⇒ −21+1=0 ;; =0 ⇒

2

x e

x x

F

x

( )

x x R F

( )

x es creciente en su do io

F' >0, ∀ ∈ ⇒ min

⇒

Como consecuencia de lo anterior, F(x) no tiene máximos ni mínimos relativos; no obstante lo vamos a justificar:

( )

(

_{( )}

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

0 0

( )

, . . .

''

'' 2

2 1 1

2 2 · 1 2

· 2 · 1 ·

2

'' ₂ 2 2 2

2

2 _{2 2 2}

2 2

j q c mínimo ni

máximo ni

tiene no x F F

x F e

x x e

x x e

x x

x e

e x x

e x x F

x x

x x

x x

⇒

=

= − =

+ − =

− − = −

− =

b )

( )

(

)

( )

     

− = = =

⇒

=

⇒

− =

2 2 0

0 ''

2 2 ''

3 2 1 2

2

x x x x

F e

x x x

F _x

Para estudiar los intervalos de concavidad y convexidad solamente estudiaremos el numerador de la segunda derivada, ya que el denominador es positivo para cualquier valor real de x.

( )

(

)

( )

(

) ( )

( )

( )

(

) (

)

( )

     

⇒

∩

⇒

∞ ∪

−

⇒

<

⇒

∪

⇒

∪ − ∞ −

⇒

>

⇒

− =

Cóncava x

F

Convexa x

F e

x x x F

x

, 2 0

, 2 0

''

2 , 0 2 , 0

'' 2

2

'' 2

2

( )

( )

(

)

_{( )}

(

)

(

) (

)

(

)

_F

_{( )}

_x

e x x x e

x x x e

x x x x

e

e x x x e

x x

F e

x x x F

x x

x

x

x x

x

'' ' 2 4 3 2 2 4

8 6 4 2 · 2

2 6

4

· 2 · 2

2 ·

6 4 ''

' 2

4

2 2

2

2

2 2

2

2 3 3

2 2

2

2 2 2

3

= + − − =

+ − − = −

− −

=

= −

− −

=

⇒

− =

( )

( ) (

)

( ) (

2 2 4 2 6 4 2 2

)

8 0 . . 2 ''

'

2 .

. 0

8 2

2 4 6 2 4 2 2 '' '

0 .

. 0

4 1 4 0 '' '

2 2

2 2

− =

⇒

≠ − = + −

− −

= −

=

⇒

≠ − = + −

− =

=

⇒

≠ = =

x para I

P e

e F

x para I

P e

e F

x para I

P F

CUESTIONES

1ª) Si u y v son dos vectores del plano con u = v , probar que los vectores

(

u + v

) (

y u − v

)

son ortogonales.

---

Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero. Teniendo en cuenta que el producto escalar de vectores cumple las propiedades conmutativa y distri-butiva de la multiplicación con respecto a la suma, podemos hacer:

(

) (

·

) ( ) ( )

· ·cos 0 · · cos 0 0

2 2

2 2

= −

= −

= −

= −

+ v u v u v u u v v u v

u

(

u v

) (

y u v

)

son ortogonales efecto

En , + −

2ª) Calcular la distancia entre el plano π1 ≡x+ y−z−1=0 y el plano π2, que es

parale-lo a π1 y pasa por el punto A(4, 3, 7).

---

La distancia entre los planos π1 y π2 es la misma que la distancia del punto A al

plano π1:

La distancia de un punto a un plano es

(

)

2 2 2

0 0 0

,

C B A

D Cz By Ax P

d

+ +

+ + + =

π .

Aplicándola a este caso:

(

) (

)

( )

₂

(

1 2

)

2 2 1

2

1 ,

3 3 3 1 1

1 1

1 7 3 4

1 1

1

1 7 · 1 3 · 1 4 · 1 ,

, π π π π

π d A u d

d = = =

+ +

− − + = −

+ +

− −

+ =

=

3ª) Calcular dx x sen

x

· cos

3

∫

.

---

I C t sen

C t C

t C t

t dt I dt dx x

t x sen dx

x sen

x I

= + −

=

= + −

= + − = + + − = =

⇒    

 

= =

⇒

=

_∫

_∫

− + −

2

2 2

1 3 3

3

· 2

1

· 2

1 2

1 3 ·

cos ·

cos

4ª) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen de coordena-das y pasa por los focos de la elipse de ecuación: 1

9 25

2 2

=

+ y

x

.

---

Se trata de una elipse centrada en los ejes, siendo

    

    

= → =

= → =

1 9

5 25

2 2

b b

a a

.

La relación fundamental de la elipse es:

c b

a c c b

a2 = 2 + 2 ⇒ = 2 − 2 = 25−9= 16 =4=

Los focos de la elipse son los puntos F(4, 0) y F’(-4, 0). Si la circunferencia pasa por los focos, su radio es 4, por tanto, la ecuación de la circunferencia pedida es:

0 16

2 2 2

2

2 + = _⇒ + − =

y x r

y x

PRUEBA B PROBLEMAS

1º) a ) Hallar la recta t que corta a las rectas

   = − + = + + ≡ − = − − = ≡ 0 5 2 0 2 2 3 1 3 2

2 y z

y x s y z y x

r y

pasa por el punto P(-2, 0, -7).

b ) Calcular la distancia del punto P a la recta r. --- a )

En primer lugar determinamos un punto y un vector director de cada una de las rectas:

(

)

(

)

(

2, 1, 2

)

; ; 1 , 2 5 , 7 2 1 2 5 7 7 5 2 2 2 ; ; 2 1 2 5 ; ; 5 2 0 5 2 0 2 2 3 , 3 , 2 ; ; 1 , 2 , 0 3 1 3 2 2 − =      ₋ ⇒       = − = + − = ≡ ⇒ = + − = = + − − = − − = − = − = ⇒ = ⇒    = − + = + + ≡ − = ⇒ − = − − = ≡ v B k z k y k x s x k k y x k y k y k z z y y x s u A z y x r

En segundo lugar determinamos los vectores AP y BP:

(

) (

) (

)

(

)

BP

B P BP AP A P AP =       − − =       − − − − = − = = − − − = − − − = − = 8 , 2 5 , 5 1 , 2 5 , 7 7 , 0 , 2 8 , 2 , 2 1 , 2 , 0 7 , 0 , 2

A continuación vamos a determinar los planos π1 y π2 del siguiente modo:

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

2

)

(

7

)

0 ;; 3 6 7 0 3 1 0

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

2

)

2 0 ;; 2 2 0 2 2 0

; ; 0 26 2 13 ; ; 0 16 2 5 7 5 7 5 10 2 8

; ; 0 8 5

2 1 2

7 2

, ;

2 2

5 2

= + + ≡

⇒

= + + =

+ +

= +

+ =

+ + + + + + − + +

= − − −

+ +

≡

y x y

x y

x

y x

y x

z z

y x

z y x

BP v P

π π

La recta t pedida es la que determinan los planos π1 y π2:

  

= + +

= − − + ≡

0 2 2

0 1 3

y x

z y x t

b )

La distancia de un punto a una recta viene dada por:

(

)

u u AP r

P d

∧ =

, , siendo

A(0, 2, 1) un punto de r y u =

(

2, −3, 3

)

un vector director de la recta r.

(

)

( )

( ) ( )

( )

P r d unidades

k j i k

j i

j i k k j i k

j i

u u AP r

P d

, 2

5 2 10

22 11 10 22

1 1 9 10 22

1 1 3

10

22 3 · 10

22 10 10 30

9 9 4

6 24 4 6 16 6

3 3 2

3 3 2

8 2 2

,

2 2 2

2 2 2

= =

=

= =

+ + =

+ − + − +

− − =

+ − − =

= +

+

+ − + + − − = + − +

− − − −

= ∧ =

2º) a ) Enunciar la Regla de Barrow.

b ) Hallar el área del recinto limitado por las parábolas

2 ,

2

2 x

y x

y= = y la recta y = 2x. ---

a )

El enunciado de la regle de Barrow es el siguiente:

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F(x) es una función primiti-va de f(x) en dicho interprimiti-valo, entonces se verifica la siguiente igualdad:

( )

x dx F

( ) ( )

b F a f

b

a

− =

∫

·

b )

La situación aproximada de la situación es la indicada en la gráfica siguiente:

S u x

x x

dx x x dx x

dx x

x dx

x x dx

x dx x dx

x dx x S

= =

− = + − − + =

   

 

     

− −

   

 

− +

     

− =

=

   

 

− +

     

= −

+ =

=

   

 

− +

   

 

− =

   

 

− +

   

 

− =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2 4

2 3 2 2

0 3 2

0

4

2

2 2

2

0

4

2

2 2

2 4

2

4

2 2 2

0

2

0 2 2

4 3 24 12 3 4 4 3 32 16 3 4 3 8 8 3 64 32 · 2 1 0 3 8 · 2 1

3 2 4 · 2 1 3

· 2 1 ·

2 4 ·

2

· 2 2 ·

2 ·

2 ·

2 ·

2 ·

**********

O _X

Y

2

2

x y=

B

2 4

A

S

2

x y=

CUESTIONES

1ª) Calcular razonadamente la matriz A sabiendo que se verifica la siguiente igualdad:

          =           2 0 0 0 2 0 0 0 2 3 0 0 3 2 0 3 2 1 · A . ---

Llamando M a la matriz

          = 3 0 0 3 2 0 3 2 1

M , resulta: A·M =2· I (*)

La matriz inversa de M es:

          = = =           = 3 3 3 0 2 2 0 0 1 ; ; 6 3 · 2 · 1 ; ; 3 0 0 3 2 0 3 2 1 T M M M .

( )

          − − = ⇒           − − =                   − − − − = − 3 1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 1 1 2 0 0 3 3 0 0 6 6 2 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 3 3 0 1 3 3 0 1 3 3 0 0 3 3 2 2 3 3 0 2 3 3 0 2 M M Adj T

Multiplicando por la derecha en (*) por M-1, queda:

2ª) Calcular el ángulo que forma la recta

1 1 5

1 2

3

− − = + = −

≡ x y z

r con el plano de

ecua-ción π ≡2x−5y+7z−11=0.

---

Para facilitar la comprensión del ejercicio hacemos un esquema de la situación:

El ángulo α que forman el plano π y la recta r es el complementario del ángulo que forman un vector v director de r y un vector n , normal al plano π .

Sabiendo que el ángulo que forman dos vectores se deduce del concepto de pro-ducto escalar:

(*) ·

· cos

cos · · ·

n v

n v n

v n

v = β ⇒ β =

Un vector director de r puede ser v =

(

2, 5, −1

)

y un vector normal de π puede ser n =

(

2, −5, 7

)

.

(

) (

)

( )

( )

α α

α β

= =

=

⇒

=

= −

= − − = + − + −

+ +

− −

= =

=

' ' 6 ' 22 º 35 5788 ' 0 .

5788 ' 0

2340 28 78

· 30

7 25 4

7 5 2

· 1 5

2

7 , 5 , 2 · 1 , 5 , 2

· · cos

2 2 2

2 2

2

sen arc

n v

n v sen

**********

v

n β

α

π

3ª) Dadas las funciones

( )

=3 2 + +1

( ) (

= +8

)

x L x g y x x x

f , escribir la función g f y

calcular su derivada.

---

( )

( ) (

)

(

)( )

[

( )

]

(

)

(

)



 



+ + + =

+ + + =

=

⇒     

+ =

+ + =

8 1 8

1 8

1

3 1 2

3 2

3 2

x x L x

x L x f g x f g x

L x g

x x x f

(

)( )

= _

(

+ +1

)

3 +8_

1 2

x x L x f g

(

) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

g f

) ( )

x

x x x

x

x

x x x

x

x x

x x x

x x

x

x x

x x

f g

' 1

8 1 3

1 2

8 1 ·

1

1 2

8 1

1 1 2

8 1

1 2 · 1 3

1

'

3 2

2

3 2

3 2 2

3 2

3 2 2

3 2

3 2 2

= + + +

+ +

+ =

= + + + +

+

+ =

+ + +

+ +

+

= +

+ +

+ +

+ =

−

4ª) Calcular: _x

e x x

lím +1

∞

→ .

---

(

)

0 1 1 ·

· 2

1

1 2

1

' Re

1

= ∞ = + ∞

→ =

= + ∞

→

⇒ ⇒

∞ ∞ = + ∞ →

x e x

lím

e x x

lím Hopital

L de gla la

Aplicando e

x x

lím

x

x x