Si se le aplica el primer paso general señalado en el primer párrafo de este nuevo tema, esta ecuación queda dividida entre

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(1)página 67. 5.1. INTRODUCCIÓN. Aunque no requiere ser presentada por conocida que es, la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado centro. A partir de este momento, las cónicas que restan por analizar tienen por lo menos un término cuadrático o “un cuadrado”. Para todas ellas existe, como un primer paso, el mismo procedimiento para transformar su ecuación de la forma general a la forma particular, el cual consiste en dividir toda la ecuación general entre el número, o números, que dejen con coeficiente 1 a todas las variables “al cuadrado”. En el caso de la circunferencia, su ecuación en forma general es. Ax 2  B y 2  D x  E y  F  0 pero como se mencionó en las páginas 24 y 25 al hablar del análisis de la ecuación general, para que sea circunferencia se requiere que “los cuadrados” sean iguales, es decir, que A  B . Por lo tanto, cuando se trata de una circunferencia, su ecuación general puede escribirse como. Ax 2  Ay 2  D x  E y  F  0 Si se le aplica el primer paso general señalado en el primer párrafo de este nuevo tema, esta ecuación queda dividida entre A , de la siguiente forma:. A 2 A 2 D E F x  y  x y 0 A A A A A que simplificada resulta. x2  y2 . D E F x y 0 A A A.

(2) página 68. Al final de cuentas, los coeficientes. D E F , ,y son números también, por lo que, para simplifiA A A. car la escritura simplemente se considera la ecuación de la circunferencia en su forma general como:. La ecuación general de la circunferencia es x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0. (5.1). Recordando lo que ya se dijo, la ecuación general proporciona una información bastante limitada acerca de las características de la figura; en cambio, con la ecuación particular se obtienen los datos necesarios para identificar plenamente a la cónica respectiva. En el caso de la circunferencia, sus características principales son la ubicación del centro y la medida del radio. La ecuación en forma particular proporciona esa información.. La ecuación particular de la circunferencia es (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2. (5.2). En donde: (h , k ) r. indican las coordenadas del centro; indica el valor del radio.. En esta ecuación, h indica el valor de la abscisa del centro, es decir, el valor en x del desplazamiento del centro, mientras que k indica el valor de la ordenada del centro, es decir, el valor en ye del desplazamiento del centro. Ver figura 5.1. Debe tenerse mucho cuidado en que los valores de las coordenadas del desplazamiento del centro, ya que cambian de signo al momento de reemplazarse en la ecuación particular debido al signo negativo que tiene su ecuación particular. figura 5.1.

(3) página 69. Por ejemplo, si una circunferencia tiene radio r  4 y su centro en C  2 ,  3  , le corresponden en este caso los valores de h  2 y de k   3 ; sin embargo, en la ecuación particular, por el signo menos que ésta tiene, los hace cambiar de signos, quedando.  x  2. 2.   y  3   16. Ejemplo: Si la ecuación de una circunferencia es. 2.  x  1. 2.   y  3   49 , deducir el valor de su radio y las 2. coordenadas de su centro. Solución: El 49 es r 2 , por lo tanto el radio es r  7 . Las coordenadas del centro son C   1, 3  .. 5.2 TRANSFORMACIONES Debe quedar claro que tanto la ecuación general como la particular son realmente la misma ecuación, solamente que escritas de diferente manera, por lo que es posible hacer transformaciones de una forma a la otra. Para transformar la ecuación de una circunferencia de su forma general a la particular es conveniente practicar antes un proceso algebraico consistente en que teniendo el polinomio cuadrático x 2  D x  G , en donde D y G son números cualesquiera, pasarlo a la forma.  x  m. 2.  k , en donde también m y. k son números cualesquiera. A éste último se le llamará binomio al cuadrado más un residuo, en el que m es el segundo término del binomio y k es el residuo. En simbología matemática lo dicho en el párrafo anterior es que. x 2  Dx  G   x  m   k 2. Para comprender el proceso conviene analizar primero el procedimiento inverso, es decir, pasar de un binomio al cuadrado más un residuo a un polinomio cuadrático. Por ejemplo, si se tiene el polinomio.  x  7. 2.  3 para convertirlo en un polinomio cuadrático es suficiente elevar al cuadrado el binomio y. luego sumar términos semejantes. Recordar que un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. De manera que.

(4) página 70.  2 x  7    3. x2 . cuadrado del primero. . 14 x . . doble producto del primero por el segundo. 49 .   3. cuadrado del segundo. y sumando 49  3 se llega a que.  x  7. 2.  3  x 2  14 x  52. El proceso inverso consiste en que dado el trinomio cuadrático anterior x 2  14 x  52 , transformarlo en un binomio al cuadrado más su residuo.  x  7. 2.  3 . Analizando el procedimiento hecho renglones. arriba, se deduce que: a) x 2 es el cuadrado del primer término del binomio buscado. Por lo tanto, dicho primer término es su raíz cuadrada, es decir x. b) 14x es el doble producto del primer término por el segundo, del binomio buscado. Por lo tanto, si 14 se divide entre 2 se le quita “lo doble” y así se obtiene el segundo término del binomio. En este ejemplo, es 7 dicho segundo término del binomio buscado. Hasta este momento se podría escribir que. ? 2 x 2  14 x  52   x  7     lado izquierdo. lado derech o. en donde el símbolo ? significa: ¿son iguales? lo cual no es cierto porque lo escrito del lado izquierdo no. . es igual a lo escrito del lado derecho, debido a que el proceso no está completo todavía. Hace falta verificar que lo que está escrito del lado izquierdo realmente sea igual a lo que está escrito del lado derecho: En el lado derecho existe un término de más y otro de menos respecto de lo que está escrito en el lado izquierdo para que ambos lados realmente sean iguales. Si se desarrolla mentalmente el binomio al cuadrado que está indicado en el lado derecho, lo que se tiene allí es:.

(5) página 71. a) x 2 : que es el cuadrado del primer término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo. b) 14x : que es el doble producto del primer término por el segundo del binomio. Obsérvese que también está en el lado izquierdo. c) + 49 : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este + 49 no aparece en el lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo. Ahora bien, el 52 que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto, para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese 52 que le falta y quitarse el 49 que le sobra, de la siguiente manera:. x 2  14 x  52   x  7   49  52 2. Finalmente, sumando  49  52 se llega a que. x 2  14 x  52   x  7   3 2. Ejemplo 1:. Transformar x 2  8 x  9 a un binomio al cuadrado más un residuo.. Solución:. Se sabe que del trinomio cuadrático x 2  8 x  9 , x 2 es el cuadrado del primer término del binomio buscado y además  8x es el doble producto del primer término por el segundo del mismo binomio. Por lo tanto, el primer término de ese binomio buscado es x mientras que el segundo término es  4 (se obtiene de dividir  8  2 ). Provisionalmente se comienza escribiendo que. ? 2 x2  8x  9   x  4 . (¿son iguales). en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito del lado derecho. Desarrollando mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se ve que allí hay lo siguiente: a). x 2 : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo.. b)  8x : que es el doble producto del primer término del binomio por el segundo. Obsérvese que también está en el lado izquierdo. c) + 16 : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este + 16 no aparece en el lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo..

(6) página 72. Ahora bien, el  9 que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto, para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese  9 que le falta y quitarse el 16 que le sobra, de la siguiente manera:. x 2  8 x  9   x  4   16  9 2. x 2  8 x  9   x  4   25 2. Ejemplo 2:. Transformar x 2  5 x  1 a un binomio al cuadrado más un residuo.. Solución:. Se sabe que del trinomio cuadrático x 2  5 x  1 , x 2 es el cuadrado del primer término del binomio buscado y 5x es el doble producto del primer término por el segundo del mismo binomio. Por lo 5 tanto, el primer término de ese binomio buscado es x mientras que el segundo término es (se 2 obtiene de dividir 5  2 ). Provisionalmente se comienza escribiendo que 2 ? 5  x  5x  1   x   2   2. (¿son iguales?). en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito del lado derecho. Desarrollando mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se ve que allí hay lo siguiente: a). x 2 : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo.. b)  5x : que es el doble producto del primer término del binomio por el segundo. Obsérvese que también está en el lado izquierdo.. 25 25 : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este  no aparece en el lado 4 4 izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo.. c) . Ahora bien, el  1 que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto, para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese  1 que le falta y quitarse el . 25 que le sobra, de la siguiente manera: 4.

(7) página 73. 2. 5  25  x  5x  1   x  1   2  4  2. 2. 5   25  4  x2  5x  1   x    2  4  2. 5  29  x2  5x  1   x    2  4 . EJERCICIO ADICIONAL Convertir a un binomio al cuadrado más un residuo los siguientes trinomios cuadráticos: 1). x 2  12 x  3. 2). x 2  10 x  7. 3). x 2  2 x  21. 4). x 2  14 x  11. 5). x 2  22 x  8. 6). x 2  16 x  32. 7). x 2  x  11. 8). x 2  3 x  13. 9). x2  9x. 10). x2  7 x.

(8) página 74. 5.3. REGLAS PARA LAS TRANSFORMACIONES. 1) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la forma general a la forma particular: * Se divide toda la ecuación entre el coeficiente de x 2 para que quede de la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. * Con los términos x2 + Dx se obtiene un binomio al cuadrado más su residuo. * Con los términos y2 + Ey se obtiene un binomio al cuadrado más su residuo. * Se escriben en el lado derecho todas las constantes y se suman. Nota:. No olvidar que inicialmente la ecuación original estaba igualada a cero.. 2) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la forma particular a la forma general: * Se desarrollan los dos binomios: (x - h)2 y (y - k)2 . * Se escriben todos los términos en el lado izquierdo para que quede igualado a cero. * Se suman los términos semejantes, si resultan algunos y se ordenan en la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.. Ejemplo 1:. Transformar a la forma particular la ecuación x 2  y 2  6 x  4 y  12  0. Solución:. Se juntan, en primer lugar, los términos con las mismas variables, es decir, por un lado los que contienen a la variable equis y por otro a los que contienen a la variable ye. Esto pueden hacerse mentalmente o en caso necesario escribirlo de la forma. x 2  6 x  y 2  4 y  12  0    .

(9) página 75. Con los términos en x , es decir, con x 2  6 x se obtiene un binomio al cuadrado más su residuo; luego, con los términos en ye , es decir, con y 2  4 y se obtiene también un binomio al cuadrado más su residuo:.    y2  4 y. x  6x   2.  12   x  3   9    2.   2   y  2  4.  12 . Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, significa que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que.  x  3.  9   y  2   4  12  0. 2. 2. Sumando las constantes  9  4  12 se reduce a.  x  3. 2.   y  2   25  0 2. Y finalmente escribiendo esa constante en el lado derecho, la ecuación particular buscada es.  x  3. 2.   y  2   25 2. Se trata de una circunferencia con centro C  3,  2  y cuyo. figura 5.2. radio es r  5 . Su gráfica está mostrada en la figura 5.2.. Ejemplo 2:. Transformar a la forma particular la ecuación x 2  y 2  2 x  35  0 .. Solución:. Obsérvese, conforme se estudió en el análisis de la ecuación general de las cónicas, que se trata de una circunferencia por tener los coeficientes de los dos términos cuadráticos iguales. Se juntan, en primer lugar, los términos con las mismas variables, es decir, por un lado los que contienen a la variable x y por otro a los que contienen a la ye. Esto pueden hacerse mentalmente o en caso necesario escribirlo de la forma.

(10) página 76. x2  2x   y 2  35  0   Con los términos en x , es decir, con x 2  2 x se obtiene un binomio al cuadrado más su residuo; luego, con los términos en ye , en este caso solamente con y 2 se obtiene también un binomio al cuadrado más su residuo:.   y2. x  2x   2.  35   x  1  1     2.  2   y  0.  35 . Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, significa que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que.  x  1. 2.  1   y  0   35  0 2. Al sumar las constantes  1  35   36 se reduce a.  x  1. 2.   y  0   36  0 2. Y finalmente escribiendo esa constante en el lado derecho, la ecuación particular buscada es.  x  1. 2.   y  0   36 2. que también puede escribirse, si se desea, como.  x  1. 2.  y 2  36 figura 5.3. Se trata de una circunferencia cuyo centro tiene por coordenadas C   1, 0  y radio r  6 . Su gráfica corresponde a la figura 5.3..

(11) página 77.  x  1. Ejemplo 5:. Transformar a la forma general la ecuación. Solución:. Se trata de la circunferencia con centro C 1, 2  y. 2.   y  2   16 . 2. radio r  4 , mostrada en la figura 5.4. Elevando al cuadrado ambos binomios, se obtiene:. x 2  2 x  1  y 2  4 y  4  16     igualando a cero:. x 2  2 x  1  y 2  4 y  4  16  0 sumando los términos semejantes y ordenando:. figura 5.4. x 2  y 2  2 x  4 y  11  0. Ejemplo 6:. La ecuación de una circunferencia es 2 x 2  2 y 2  20 x  192  0 . Encontrar las coordenadas del centro y el valor del radio.. Solución:. Lo primero que debe hacerse en toda cónica que tenga términos al cuadrado, es “quitarles el numerito a los cuadrados”, o sea dividir toda la ecuación entre los coeficientes de x 2 y de y 2 . En este caso, dividir entre 2 a toda la ecuación. Haciéndolo se obtiene:. x 2  y 2  10 x  96  0 Después debe pasarse la ecuación a la forma particular:.   2 2 2 x  10 x  y  96   x  5   25   y  0   96     2.

(12) página 78. Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, significa que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que.  x  5. 2.  25   y  0   96  0 2. Al sumar las constantes  25  96   121 se reduce a.  x  5. 2.   y  0   121  0 2. Y finalmente escribiendo esa constante en el lado derecho, la ecuación particular buscada es.  x  5. 2.   y  0   121 2. que también puede escribirse, si se desea, como.  x  5. figura 5.5 2.  y  121 2. de donde se deduce que h = 5 y k = 0 ,por lo que las coordenadas del centro son C  5, 0  y el radio es r = 11 (figura 5.5)..

(13) página 79. EJERCICIO 5.1 Transformar a la forma particular las siguientes ecuaciones y deducir las coordenadas del centro y el radio de cada circunferencia: 1). x2  y 2  2 x  4 y  1  0. 2). x 2  y 2  2 x  10 y  17  0. 3). x2  y2  4x  4 y  1  0. 4). x2  y 2  2 x  2 y  1  0. 5). x 2  y 2  10 x  6 y  2  0. 6). x 2  y 2  6 x  4 y  36  0. 7). 4 x 2  4 y 2  56 x  8 y  196  0. 8). 3x 2  3 y 2  60 x  30 y  300  0. 9). x 2  y 2  16 y  48  0. 10). x 2  y 2  18 x  65  0. Transformar a la forma general las siguientes ecuaciones de circunferencias: 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20). (x + 1)2 + (y + 9)2 = 9 (x + 7)2 + (y - 2)2 = 49 (x - 3)2 + (y + 12)2 = 169 (x + 10)2 + (y + 9)2 = 81 (x + 11)2 + (y - 1)2 = 25 (x + 13)2 + (y - 8)2 = 4 (x - 4)2 + (y + 3)2 = 1 (x - 2)2 + (y - 9)2 = 36 x2 + (y - 5)2 = 16 (x + 6)2 + y2 = 400. Hallar la ecuación de cada circunferencia que se describe a continuación: 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30). las coordenadas del centro son las coordenadas del centro son las coordenadas del centro son las coordenadas del centro son las coordenadas del centro son las coordenadas del centro son las coordenadas del centro son las coordenadas del centro son las coordenadas del centro son las coordenadas del centro son. C(2, 0) y su radio es r = 3 . C(5, - 1) y su radio es r = 2 . C(- 6, 10) y su radio es r = 7 . C(0, - 7) y su radio es r = 12 . C(3, - 4) y su radio es r = 4 . C(- 8, - 3) y su radio es r = 9 . C(- 9, 1) y su radio es r = 14 . C(0, 0) y su radio es r = 8 . C(11, 4) y su radio es r = 13 . C(7, 7) y su radio es r = 7 ..

(14) página 80. 5.4. CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS CONOCIDOS. Para que una circunferencia quede bien definida deben conocerse mínimo tres puntos por los que pasa. Con dos puntos nada más no queda bien definida, pues por allí pueden pasar un sinnúmero de circunferencias. La figura 5.6 muestra tres circunferencias que pasan por los puntos P y Q, pero pueden pasar muchas más. Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos por los que pasa una circunferencia, para hallar su ecuación existen tres opciones: Primera opción: se sustituyen los valores de x y de ye de cada punto en la ecuación general de la circunferencia, con lo que se obtienen tres ecuaciones con las tres incógnitas D, E y F, sistema que se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos o con la calculadora. Una vez encontrados los valores de esas constantes D , E y F , se reemplazan en la ecuación general.. figura 5.6. Segunda opción: se sustituyen los valores de x y de ye de cada punto en la ecuación particular de la circunferencia, con lo que se obtienen tres ecuaciones con las tres incógnitas h, k y r , sistema que se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos o con la calculadora. Una vez encontrados los valores de esas constantes h , k y r, se reemplazan en la ecuación particular. Tercera opción: Se trazan dos cuerdas uniendo los puntos conocidos; luego se calculan las ecuaciones de sus mediatrices y se obtienen las coordenadas del punto de intersección de dichas mediatrices. Como éstas pasan por el centro (ver propiedad 2 de la circunferencia, página 9), ese punto es el centro de la circunferencia. Finalmente se calcula distancia entre el centro y cualquiera de los puntos conocidos, obteniéndose así el radio. En general, cualquier razonamiento, mientras no sea falso, es válido. Simplemente hay que tener presente la regla del Álgebra que dice que se deben tener igual número de ecuaciones como de incógnitas, para poder resolver el sistema . O sea que si se tienen dos incógnitas, deben tenerse dos ecuaciones; si se tienen tres incógnitas, deben tenerse tres ecuaciones. De otra forma no se puede solucionar el sistema.. Ejemplo 1:. Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 8) ; Q(5, 1) y R(- 2, 0) . Hallar su ecuación empleando la primera opción. NOTA:. Solución:. La C no se emplea para nombrar a algún punto de una circunferencia ya que esta letra se reserva mejor para denominar así al centro.. La ecuación general de la circunferencia es.

(15) página 81. x2  y 2  Dx  Ey  F  0. (A). Para el punto P se tiene que x = 4 e y = 8 . Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) se obtiene la primera ecuación con tres incógnitas:.  4. 2.  8  D  4   E 8  F  0 2. Haciendo las operaciones indicadas y ordenando se obtiene que. 16  64  4 D  8E  F  0. 4 D  8E  F   80. (1). Para el punto Q se tiene que x = 5 e y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) se obtiene la segunda ecuación con tres incógnitas:. 5. 2.  1   D  5   E  1   F  0 2. Efectuando las operaciones indicadas y ordenando se llega a. 25  1  5D  E  F  0 5D  E  F   26. (2). Para el punto R se tiene que x = - 2 e y = 0. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) se obtiene la tercera ecuación con tres incógnitas:.  2 . 2.   0   D  2   E  0   F  0 2. Realizando las operaciones indicadas y ordenando se obtiene. 4  0  2D  0E  F  0  2D  F   4. (3). Juntando y resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que resultó:. 4 D  8E  F   80 5D  E  F   26  2D. F 4. 1  2  3. Este sistema se puede resolver directamente con la calculadora, o bien cambiándole de signo a toda la primera ecuación y luego sumándola con la ecuación (2) y con la (3), para eliminar la variable F , se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:.

(16) página 82.  4 D  8E  F  80 5D  E  F   26 D  7E  54.  4.  4 D  8E  F  80 2D  F  4  6 D  8E  76.  5. Debe ahora resolverse este nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (4) y (5), ya sea por el método de suma y resta, por igualación, por sustitución o por determinantes, aunque se aconseja que se haga mejor con la calculadora:.  4 5. D  7 E  54  6 D  8 E  76 Con la calculadora se obtiene que D  2 E  8 F  8. Teniendo ya los valores de las tres variables D, E y F , se reemplazan en la ecuación general de la circunferencia (A) , para obtener finalmente la ecuación de la circunferencia pedida:. x2  y2  2x  8 y  8  0. Ejemplo 2:. Una circunferencia pasa por los puntos P(2, 4) ; Q(1, - 3) y R(- 7, 1). Hallar su ecuación empleando la segunda opción.. Solución:. La ecuación particular de la circunferencia es.  x  h. 2.   y  k   r2 2. (B). Para el punto P se tiene que x = 2 e y = 4. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se obtiene la primera ecuación con tres incógnitas:. 2  h. 2.   4  k   r2 2. (6).

(17) página 83. Para el punto Q se tiene que x = 1 e y = - 3. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se obtiene la segunda ecuación con tres incógnitas:. 1  h . 2.   3  k   r 2 2. (7). Para el punto R se tiene que x = - 7 y y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se obtiene la tercera ecuación con tres incógnitas:.  7  h . 2.  1  k   r 2 2. (8). Juntando las tres ecuaciones y resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que resultó:. 2  h 1  h .   4  k   r2. (6).   3  k   r 2. (7). 2. 2. 2.  7  h . 2. 2.  1  k   r 2 2. (8). Como todas están igualadas a r 2 , significa que todos los lados izquierdos son iguales entre sí. De manera que igualando la ecuación (6) con la (7) y luego la (6) con la (8), se reduce el sistema a dos ecuaciones con dos incógnitas. Igualando entonces la ecuación (6) con la (7) : (2 - h)2 + (4 - k)2 = (1 - h)2 + (- 3 - k)2 desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los términos en el lado izquierdo y eliminando términos semejantes, se obtiene que: 4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 1 - 2h + h2 + 9 + 6k + k2 4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 - 1 + 2h - h2 - 9 - 6k - k2 = 0 - 2h - 14k + 10 = 0. (9). Igualando ahora la ecuación (6) con la (8) : (2 - h)2 + (4 - k)2 = (- 7 - h)2 + (1 - k)2 desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los términos en el lado izquierdo y eliminando términos semejantes: 4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 49 + 14h + h2 + 1 - 2k + k2 4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 - 49 - 14h - h2 - 1 + 2k - k2 = 0 - 18h - 6k - 30 = 0. (10).

(18) página 84. Juntando la ecuación (9) y la (10) se tiene ahora el siguiente nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: - 2h - 14k + 10 = 0 - 18h - 6k - 30 = 0. (9) (10). Resolviendo el sistema con la calculadora se llega a que h  2. k 1 sustituyendo estos valores en la ecuación (6) :.  2    2     4  1  r 2 2.  2  2. 2. 2.  32  r 2. 16 + 9 = r 2. r5 Teniendo ya los valores de las tres variables h , k y r , se reemplazan en la ecuación particular (3.2) de la circunferencia (página 68), para obtener finalmente la ecuación de la circunferencia pedida:.  x  2. 2.   y  1  25 2. Ejemplo 3:. Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 7) ; Q(6, - 7) y R(- 10, 5) . Hallar su ecuación empleando la tercera opción.. Solución:. Se trazan las cuerdas RP y PQ uniendo los puntos conocidos (paso 1, figura 5.7). Sobre estas cuerdas se trazan las mediatrices (paso 2, figura 5.7) y su intersección es el centro de la circunferencia buscada. finalmente, la distancia del centro a cualquiera de los puntos dados es el radio de la circunferencia (paso 3, figura 5.7)..

(19) página 85. figura 5.7. El procedimiento analítico es: a) Calcular la pendiente de la cuerda RP:. m. y1  y2 x1  x2. mRP . 75 4    10 . mRP . 2 1  14 7. b) Obtener la pendiente de la mediatriz a RP. Por el resultado anterior, significa que la pendiente de la mediatriz a RP, por la condición de perpendicularidad, es - 7 . c) Calcular las coordenadas del punto medio s de la cuerda RP :. xm . x1  x2 2. ym . y1  y2 2. xm . 4  10 2. ym . 75 2. xm . 6 3 2. ym . 12 6 2.

(20) página 86. Las coordenadas de ese punto medio son: s(- 3, 6). d) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a RP y su pendiente, su ecuación (de la mediatriz) es, utilizando la fórmula de punto y pendiente de la página 49:. y  y1  m  x  x1  que en este caso se tienen los valores:. x1   3 y1  6 m  7 sustituyendo valores:. y  6   7  x    3   y  6   7  x  3 y  6   7 x  21 y   7 x  21  6 y   7 x  15 7 x  y  15  0. (11). e) Se repiten todos los pasos anteriores ahora con la cuerda PQ. La pendiente de la cuerda PQ es:. m. y1  y2 x1  x2. mPQ  mPQ . 7   7  46 14  7 2. f) Obtener la pendiente de la mediatriz a PQ. Por el resultado anterior, significa que la pendiente de la mediatriz a PQ, por la condición de perpendicularidad, es. 1 . 7. g) Calcular las coordenadas del punto medio n de la cuerda PQ :. xm . x1  x2 2. ;. ym . y1  y2 2.

(21) página 87. xm . 46 2. ;. ym . 77 2. xm . 10 5 2. ;. ym . 0 0 2. Las coordenadas de ese punto medio son: n(5, 0). h) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a PQ y su pendiente, su ecuación (de la mediatriz) es, utilizando la fórmula de punto y pendiente de la página 49:. y  y1  m  x  x1  que en este caso se tienen los valores:. x1  5   coordenadas del punto medio n. y1  0  m. 1 7. sustituyendo valores:. y0 . 1  x  5 7. 7y  x  5 x  7y  5  0. (12). i) Obtener el punto de intersección de las dos mediatrices. Recordar que dicho punto se obtiene resolviendo por simultáneas las ecuaciones que se intersecan. En este caso el sistema de ecuaciones que debe resolverse es la (11) y (12), o sea. 7 x  y  15  0. x  7y  5  0 Con la calculadora se llega a que. x2 y  1 de manera que las coordenadas del centro de la circunferencia que son las coordenadas del punto donde se cortan estas dos mediatrices son C   2 ,  1 ..

(22) página 88. j) Calcular el valor del radio, que es la distancia entre el centro y cualquiera de los puntos conocidos, por ejemplo P, utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos de la página 31:. d .  x1  x2 . r.  4    2     7    1 . r.  4  2. r. 6 2  82. r. 36  64. r. 100  10. 2.   y1  y2 . 2. 2. 2.   7  1. 2. 2. k) Teniendo las coordenadas del centro y el valor del radio, se sustituyen en la ecuación particular de la circunferencia, para llegar a:.  x  h. 2.  x  2. 2.   y  k   r2 2.   y  1  100 2. Ejemplo 4:. Las coordenadas de un rombo son P(- 5, 2) ; Q(3, 8) , R(11, 2) y S(3, - 4). Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita a dicho rombo.. Solución:. La figura 5.8 muestra gráficamente lo que pide el enunciado de este problema. Para que la circunferencia sea inscrita al rombo debe tocar en un solo punto a cada uno de sus lados, es decir, cada lado del rombo es tangente a la circunferencia. Por lo tanto, la clave para solucionar este problema será recordar la propiedad 1 de la circunferencia vista en la página 9: Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado desde el punto de tangencia. En la figura 5.8, el punto C representa el centro de la circunferencia (que lo es también del rombo) y el punto F representa el punto de tangencia entre la circunferencia y el lado RS, por lo que el radio CF y el lado RS son perpendiculares.. figura 5.8.

(23) página 89. En este caso, las coordenadas del centro C se pueden deducir a simple vista, lo cual es válido ya que se tiene la seguridad de que los puntos P y R están a la misma altura horizontal mientras que los puntos Q y S están alineados verticalmente. Por lo tanto, las coordenadas del centro son C  3, 2  . De tal manera que para encontrar la ecuación de la circunferencia ya solamente hace falta saber la medida del radio. Dicha medida se puede obtener de dos formas: una, conociendo las coordenadas del punto de tangencia F de lo que el radio sería la distancia entre dos puntos, el centro y F. La segunda forma, teniendo la ecuación del lado RS se puede calcular la distancia de RS al punto C. En cualquiera de las dos formas es necesaria la ecuación del lado RS. La ecuación de RS se puede calcular porque se tienen dos puntos por los que pasa.. R 11, 2  ;. o sea que. x1  11 ; y1  2. S  3,  4  ;. o sea que. x2  3 ; y2   4. y  y1  y2. y1  y2 x1  x2.  x  x1 . 2    4 11  3.  x  11. y2. 6  x  11 8. y2. 3  x  11 4. Nótese que la pendiente de RS es mRS . 3 4. 4  y  2   3  x  11. 4 y  8  3x  33. 3 x  4 y  25. ecuación de RS.. A partir de la pendiente de RS que resultó mRS . 3 , por la regla de perpendicularidad entre dos 4. rectas, se deduce que la pendiente del radio CF es mCF  . 4 . Conociendo ya las coordenadas de 3. un punto por el que pasa el radio CF y su pendiente, se calcula su ecuación. Estos datos son:. C  3, 2 . ;. mCF  . o sea que. 4 3. x1  3 ; y1  2.

(24) página 90. y  y1  m  x  x1 . 4  x  3 3. y2. 3  y  2    4  x  3 3 y  6   4 x  12. 4 x  3 y  18. ecuación de CF.. resolviendo por simultáneas las ecuaciones de RS y de CF se obtienen las coordenadas del punto de tangencia F. Dicho sistema es:. 3x  4 y  25 4 x  3 y  18 que haciéndolo con la calculadora se llega a que. x  5 . 88 y   1 . 84 La longitud del radio CF se obtiene con la fórmula de distancia entre dos puntos, cuyos datos de esos dos puntos son:. C  3, 2 . o sea que x1  3 ; y1  2. ,. F  5 . 88 ;  1 . 84  d .  x1  x2 . o sea que x2  5 . 88 ; y2   1 . 84 2.   y1  y2 . CF .  3  5 . 88 . CF .   2 . 88 . CF . 8 . 2944  14 . 7456. CF . 23 . 04. 2. 2. 2.   2    1 . 84  . 2.  3 . 842. CF  4 . 8 Finalmente, teniendo las coordenadas del centro de la circunferencia C  3, 2  y la magnitud del radio r  4 . 8 , con la ecuación particular de la circunferencia se llega a que.

(25) página 91.  x  h.  x  3. 2.   y  k   r2. 2.   y  2   4.8 2.  x  3. 2. 2. 2.   y  2   23 . 04 2. Este problema también se pudo haber resuelto calculando la longitud del radio por medio de la fórmula de distancia entre un punto y una recta.. 5.5. CASOS ESPECIALES. 1). Si r  0 , la gráfica es un punto. Por ejemplo, x 2  y 2  4 x  6 y  13  0 . Pasándola a la forma particular se obtiene  x  2    y  3   0 . 2. 2). 2. Si r  0 , no existe gráfica. Por ejemplo, x 2  y 2  2 x  6 y  14  0 . Pasándola a la forma particular se obtiene  x  1   y  3    4 . 2. 2.

(26) página 92. EJERCICIO 5.2 Algunos problemas incluyen sugerencias para el estudiante para ayudarle al razonamiento respectivo que le llevará a la solución. Otros tendrán sugerencias en la página de las soluciones.. 1). Una circunferencia pasa por los puntos P(7, 16) ; Q(- 11, 4) y R(- 10, - 1). Por cualquiera de los tres métodos explicados, encontrar su ecuación.. 2). Una circunferencia pasa por los puntos P(11, 7) ; Q(4, - 10) y R(- 6, - 10). Por cualquiera de los tres métodos explicados, encontrar su ecuación.. 3). Una circunferencia pasa por los puntos P(10, - 12) ; Q(- 14, 0) y R(- 11, 9). Por cualquiera de los tres métodos explicados, encontrar su ecuación.. 4). Una circunferencia pasa por los puntos P(- 3, - 8) ; Q(- 2, - 1) y R(- 9, 0). Por cualquiera de los tres métodos explicados, encontrar su ecuación.. 5). Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: P  7 , 8  ; Q  5, - 6  y R  - 11, 2  . Hallar las coordenadas del centro. de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo (ver figura 5.9). Sugerencia: Ver propiedades de los triángulos, página 6. En la figura 5.9 el punto medio de PR es mPR y el punto medio de QR es mQR. De estos puntos se han trazado las mediatrices (perpendiculares a sus lados respectivos) y donde se cruzan C es el centro de la circunferencia circunscrita. La distancia de C a cualquiera de los vértices del triángulo es el radio.. 6). En el problema anterior, hallas la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo.. 7). Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia.  x - 2. 2. figura 5.9. +  y - 6  = 25 en el punto P(5, 2) . Ver figura 5.10. 2. Sugerencia: Con las coordenadas del centro C de la circunferencia y las del punto P se puede calcular la pendiente del radio CP. Dicho radio es perpendicular a la recta tangente. Entonces se pueden tener como datos la pendiente y un punto por el que pasa dicha recta tangente.. 8). Encontrar la ecuación de la recta que es tangente a la circunferencia x 2  y 2  4 x  12 y  15  0 en el punto P(- 2, 9).. 9). Los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia son los puntos P(-12, 14) y Q(6, -10). Hallar la ecuación de dicha circunferencia (ver figura 5.11).. figura 5.10.

(27) página 93. Sugerencia: El punto medio de los extremos del diámetro dado es el centro de la circunferencia. La distancia de dicho centro a cualquiera de los puntos P o Q es el radio.. 10). Los extremos de uno de sus diámetros de una circunferencia son los puntos P(- 8, - 11) y Q(- 2, - 3). Hallar la ecuación de dicha circunferencia.. 11). Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: P  2, 5  ; Q  - 12, 7  y R  - 3, - 5  . Hallar la ecuación de la circunferencia. figura 5.11. que tiene su centro en el vértice P y es tangente al lado QR (ver figura 5.12). Sugerencia: El radio de la circunferencia es la distancia que hay del lado QR al centro P, que con la fórmula de distancia de una recta a un punto se puede obtener.. 12). Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: P  4, 0  ; Q  -3, 17  y R  -13, - 7  . Hallar la ecuación de la circunferencia. que tiene su centro en el vértice P y es tangente al lado QR. 13). Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje ye y pasa por los puntos P(9, - 9) y Q(12, 12). Ver figura 5.13.. figura 5.12. Sugerencia: Si el centro está sobre el eje ye significa que h = 0 y la ecuación de la circunferencia es de la forma x   y  k   r . 2. 2. 2. En los puntos P y Q los valores de x y de ye están dados. Si se sustituyen en la ecuación de la circunferencia mencionada se obtienen dos 2. ecuaciones que son iguales a r , por lo tanto se pueden igualar para obtener el valor de k.. 14). Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje x y pasa por los puntos P(0, 3) y Q(7, - 4).. 15). Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto Q  9, - 5  y que es tangente a la recta 5x + 12y + 184 = 0 en el pun-. to P(- 8, - 12) (ver figura 5.14). Sugerencia: Por las propiedades de la circunferencia, la mediatriz de la cuerda PQ pasa por el centro de la circunferencia y el radio que pasa por P es perpendicular a la recta tangente. Esas dos ecuaciones se pueden calcular y el punto de intersección entre ellas es el centro de la circunferencia.. figura 5.13.

(28) página 94. 16). Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto Q  2, 7  y que es tangente a la recta 4x - 3y + 38 = 0 en el punto. P(- 5, 6). 17). Comprobar que la circunferencia cuya ecuación en forma general es x 2  y 2  18 x  6 y  65  0 es tangente exterior con la circunferencia de ecuación x 2  y 2 - 30 y  125  0 . Ver figura 5.15.. 18). Las coordenadas de los vértices de un triángulo son P(- 2, - 2),. Q   5, 2  y R(4, 6). Hallar la ecuación de la circunferencia que. figura 5.14. tiene por diámetro al lado PR como se ve en la figura 5.16. 19). En el triángulo del problema anterior, hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro a la mediana al lado PR (figura 5.17).. figura 5.15. figura 5.16. figura 5.17.

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