Teor´ıa local de Cauchy

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Teor´ıa local de Cauchy

6.1 INTRODUCCI ´ON

Atravesaremos ahora la puerta de entrada a un mundo sin parang´on en la teor´ıa de funciones de una o varias variables reales. La llave: la f´ormula de Cauchy, que al expresar el valor en un punto de una funci´on holomorfa —en abiertos estrellados, de momento— como una especie de promedio integral de sus valores sobre un camino cerrado que rodee al punto, permite representar (localmente, al menos) la funci´on como una integral dependiente de un par´ametro, con consecuencias adivinables en algunos casos (analiticidad de las funciones holomorfas) o un tanto imprevisibles en otros (teorema de Liouville, teorema fundamental del ´algebra, . . .)

La f´ormula de Cauchy descansa, a su vez, en el teorema de Cauchy. Reflexio-nando a posteriori, parece absolutamente imposible que tal cantidad de resultados se sustenten, finalmente, en algo que podr´ıa parecer una simple curiosidad: la

in-tegral de una funci´on holomorfa en un disco (o, con la misma demostraci´on, en

un abierto estrellado) sobre un camino cerrado es nula (tambi´en si la funci´on deja de ser derivable en un punto, mientras mantenga la continuidad). Esta ser´a nuestra primera versi´on del teorema de Cauchy: m´as adelante nos ocuparemos de extender su alcance (comenzando por ampliar el ´ambito de validez de la f´ormula de Cauchy en la denominada “teor´ıa global de Cauchy”).

Sin embargo, el examen de la demostraci´on del teorema de Cauchy revela la causa de esta peque˜na maravilla, situ´andonos en terreno m´as conocido. Basta encon-trar una primitiva de la funci´on dada para saber que la integral es nula, y esto reduce el problema a probar la anulaci´on de la integral sobre el contorno de un tri´angulo (teorema de Cauchy-Goursat). Una exposici´on inmejorable de este planteamiento puede verse en Open University: Integration/Cauchy’s Theorem I/Taylor Series. The Open University Press, Milton Keynes (1974), p. 63; a partir de esa p´agina se encuentra perfectamente desglosada y explicada la demostraci´on, si bien bajo la hip´otesis de derivabilidad en todos los puntos.

Los enunciados y demostraciones que nosotros utilizaremos se encuentran b´asicamente en

Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987).

Como complemento en algunos detalles,

Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978).

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6.2 TEOREMA Y F ´ORMULA DE CAUCHY

1 Teorema. Sea un abierto no vac´ıo de C, f : C continua. Son equiva-lentes:

(1.1) existe una primitiva de f en, es decir, una funci´on FH()tal que

F = f;

(1.2) para todo camino cerrado γ contenido en,

γ

f(z)d z = 0;

(1.3) para dos caminos cualesquiera γ1, γ2 contenidos en que tengan los mismos or´ıgenes e iguales extremos,

γ1

f(z)d z =

γ2

f(z)d z.

Demostraci´on. (Recu´erdese el teorema de los campos conservativos para formas

diferenciales reales). (1.1)(1.2) Visto.

(1.2)(1.3) γ1∪(γ2) es un camino cerrado contenido en .

(1.3)(1.1)Sino es conexo, las componentes conexas deson abiertos disjuntos dos a dos cuya uni´on es . Por tanto, para construir una primitiva de f enes suficiente construir una primitiva de f en cada una de las componentes de .

Sea, pues, G una componente conexa de . Fijado aG, definimos F : GC haciendo

F(z) =

γz

f(w)dw,

dondeγz es cualquier camino contenido en G con origen a y extremo z (la funci´on F est´a entonces bien definida por ser la integral independiente del camino). Esta

funci´on F es derivable, y para cada z0G es F(z0) = f(z0). En efecto: dado

z0G, tomemos ε de modo que D(z0;ε)G; si γ0 es un determinado camino contenido en G con origen a y extremo z0, para cada zD(z0;ε) sea γz la uni´on

de γ0 con el segmento [z0,z], que por ser un camino contenido en G con origen a y extremo z nos permite escribir

F(z)F(z0)

zz0 =

1

zz0

γz f(w)dw

γ0

f(w)dw

= 1

zz0

[z0,z]

(3)

y por tanto

F(z)F(z0)

zz0f(z0)

= 1 zz0

[z0,z]

f(w)dw− 1

zz0

[z0,z]

f(z0)dw

≤ sup

wsop[z0,z]

|f(w)f(z0)|,

que tiende a 0 cuando z tiende a z0 por la continuidad de f en z0.

2 Teorema de Cauchy para un tri´angulo (Cauchy-Goursat). Sea un abierto no vac´ıo de C, p un punto de , f : C continua tal que fH(\ {p}). Para cualquier tri´angulo cerrado contenido en,

f(z)d z = 0.

Demostraci´on. Rudin, loc. cit., Teor. 10.13, pp. 232–234.

3 Teorema de Cauchy para abiertos estrellados. Seaun abierto estrellado de C, p un punto de, f : Ccontinua tal que fH(\ {p}). Para cualquier camino cerrado γ contenido en,

γ

f(z)d z =0.

Demostraci´on. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.14, p. 234.

4 F´ormula de Cauchy en abiertos estrellados. Seaun abierto estrellado de C y fH(). Si γ es un camino cerrado contenido en , para cualquier z de que no est´e en el soporte deγ es

f(z)·Indγ(z) = 1

2πi

γ

f(w)

wz dw.

Demostraci´on. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.15, pp. 234–235.

5 Corolario (F´ormula de Cauchy en un disco). Seaun abierto no vac´ıo de C,

D(a;r)un disco cerrado contenido en, f una funci´on holomorfa en. Entonces, para cada zD(a;r),

f(z) = 1

2πi

∂D(a;r)

f(w)

wz dw.

Demostraci´on. Puesto que D(a;r), la distancia d(a, c)de a al complemen-tario de es estrictamente mayor que r . Si r < R < d(a, c), el disco D(a;R)

es un abierto estrellado contenido en, en el que f ser´a holomorfa.

(4)

6.3 CONSECUENCIAS DE LA F ´ORMULA DE CAUCHY

1 Teorema (analiticidad de las funciones holomorfas). Toda funci´on holomorfa es anal´ıtica. Precisando m´as: Si es un abierto no vac´ıo de C y fH(), para cada aexiste una serie de potencias∞n=0an(za)ncon radio Rd(a, c)

(donde d(a, c)es la distancia de a al complementario de , considerada+∞ si c = ∅, o sea, si = C) tal que

f(z) = ∞

n=0

an(za)n

siempre que|za| < d(a, c).

Informalmente, “la misma serie representa a f hasta la frontera”.

Demostraci´on. Elegido a, sea z tal que|za| < d(a, c). Tomando r de modo que|za| <r <d(a, c), el disco cerrado D(a;r)est´a contenido en, y puesto que|za| <r , la f´ormula de Cauchy nos da

f(z) = 1

2πi

∂D(a;r)

f(w)

wz dw.

Pero el teorema de construcci´on de funciones anal´ıticas nos dice que

1 2πi

∂D(a;r)

f(w)

wz dw =

1 2πi

n=0

∂D(a;r)

f(w)

(wa)n+1 dw

(za)n

con tal que z no est´e en la circunferencia |wa| = r , y as´ı

f(z) = ∞

n=0

an(za)n

donde

an = 1

2πi

∂D(a;r)

f(w)

(wa)n+1 dw.

En principio los an parecen depender de r ; sin embargo no es ´este el caso, ya que

an = f

(n)(a)

(5)

Ejemplos.

1. La funci´on f definida en = (C\2πi Z)∪ {0}por

f(z) =

z

ez1 si zy z = 0

1 si z = 0

es holomorfa en, luego ser´a anal´ıtica eny en particular existir´an coeficientes

Bn (los llamados n´umeros de Bernoulli) de modo que

f(z) = ∞

n=0

Bn n! z

n

al menos siempre que|z| < 2π. De hecho, el radio de convergencia de la serie es exactamente 2π, ya que si fuese mayor f admitir´ıa una extensi´on continua en 2πi ,

lo que es falso.

2. En el ejemplo anterior, la serie de potencias que representa a f en el entorno del punto a = 0 resulta tener por radio exactamente la distancia d(a, c). ¿Siempre vamos a encontrar esta situaci´on? La respuesta, en general, es NO: basta tomar = C \ (−∞,0] y f : zf(z) = Log zC; para cualquier a el desarrollo de f en serie de potencias de za tiene radio |a|, mientras que si

e a <0 es d(a, c) = |m a| < |a|.

La f´ormula de Cauchy permite obtener una representaci´on de las derivadas de una funci´on holomorfa en t´erminos de la propia funci´on, de la que podremos extraer consecuencias importantes, que no tienen su correspondiente en la teor´ıa de funciones en R.

2 F´ormula de Cauchy para las derivadas. Sea un abierto no vac´ıo de C y

fH(). Dado a, sea r >0tal que D(a;r). Entonces, si|za| <r, para cada nN,

f(n)(z) = n!

2πi

∂D(a;r)

f(w)

(wz)n+1 dw.

Demostraci´on. Para cada zD(a;r) es

f(z) = 1

2πi

∂D(a;r)

f(w)

wz dw.

Aplicando reiteradamente el teorema de derivaci´on bajo el signo integral se obtiene la f´ormula deseada.

(6)

3 Desigualdades de Cauchy. Sea un abierto no vac´ıo de C y fH(). Dado a, sea r > 0 tal que D(a;r). Entonces, poniendo M(r) =

sup|wa|=r |f(w)|, para cada nNse tiene la acotaci´on

|f(n)(a)| ≤ n! M(r)

rn .

Demostraci´on. Obviamente

|f(n)(a)| = n!

2πi

∂D(a;r)

f(w)

(wa)n+1 dw

n! M(r)

2π rn+1 2πr.

4 Teorema de Liouville. Sea f una funci´on entera, es decir, fH(C). Si f est´a acotada, necesariamente es constante.

Demostraci´on. Supongamos que para alg´un K >0 es|f(z)| ≤ K cualquiera que

sea zC. Entonces, dado aC, para todo R > 0 se tendr´a

|f(a)| = 1

2πi

∂D(a;R)

f(w)

(wa)2 dw

≤ 1

2π

K

R2 2πR =

K R,

expresi´on que tiende a 0 cuando R → +∞. Por tanto f(a) = 0 en todo aC, para lo que f debe ser constante.

5 Teorema fundamental del ´algebra. Todo polinomio no constante tiene al menos una ra´ız en C.

Demostraci´on. En caso contrario, si P(z) =a0zn +. . .+an fuese un polinomio

no constante (a0 = 0, n ≥ 1) que no se anulase nunca, la funci´on definida por

f(z) = 1 P(z)

ser´ıa una funci´on entera no nula. Pero como

lim

z→∞ f(z) = zlim→∞

1

zn(a

0+. . .) = 0,

se deduce que f debe estar acotada. (En efecto: tomando ε = 1 en la definici´on de l´ımite, existir´a un R > 0 tal que si |z| > R se tiene |f(z)| < 1; y para

|z| ≤ R, f se mantiene acotada por el teorema de Weierstrass.) Seg´un el teorema

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6 Principio del m´odulo m´aximo. Sea f una funci´on holomorfa en una regi´on de C. Si su m´odulo|f| tiene alg´un m´aximo local, entonces f es constante.

Demostraci´on. Supongamos que para alg´un asea posible encontrar un R > 0 tal que D(a;R)y|f(a)| ≥ |f(z)| para todo zD(a;R). Esto obliga a que

|f(a)| = |f(z)|para todo zD(a;R), puesto que si 0 < |za| = r < R, como

f(a) = 1

2πi

∂D(a;r)

f(w)

wa dw =

1 2π

2π

0

f(a+r ei t)dt

se deduce que

|f(a)| ≤ 1

2π

2π

0

|f(a +r ei t)|dt ≤ 1

2π

2π

0

|f(a)|dt = |f(a)|,

con lo cual

1 2π

2π

0

(|f(a)| − |f(a +r ei t)|)dt = 0.

El integrando es una funci´on continua no negativa, luego |f(a)| = |f(a +r ei t)|

para todo t ∈[0,2π] y en particular|f(a)| = |f(z)|.

Pero si |f| es constante en D(a;R), f tiene que ser constante en D(a;R)

(consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann) y finalmente f es constante en (por el principio de prolongaci´on anal´ıtica).

Hay otras lecturas equivalentes de este enunciado:

— o bien f es constante o, en caso contrario, su m´odulo |f| no tiene m´aximos locales;

— si f no es constante, su m´odulo|f|no tiene m´aximos locales.

7 Teorema de Morera. Sea f una funci´on continua en un abierto no vac´ıo de Ctal que para todo tri´angulo cerradose tenga

f = 0.

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Demostraci´on. Hemos de probar que cada aposee un entorno en el que f es derivable. Para verlo, consideremos cualquier disco D(a;r); en ´el, f admite una primitiva F que podemos construir poniendo

F(z) =

[a,z]

f(w)dw, zD(a;r).

(La comprobacion de que F es una primitiva de f es est´andar: usando la hip´otesis del enunciado, para cada z0 ∈ D(a;r)tenemos

F(z)F(z0)

zz0 =

1

zz0

[z0,z]

f(w)dw, 0 < |zz0| < r − |z0a|,

lo que implica que por ser f continua

F(z)F(z0)

zz0 −

f(z0) = 1 zz0

[z0,z]

f(w)f(z0) dw

≤ max

w[z0,z]

|f(w)f(z0)|

tiende a 0 cuando zz0.)

Pero si FH(D(a;r)), es anal´ıtica y en particular su derivada f es a su vez derivable en D(a;r).

El teorema de Morera da una especie de rec´ıproco del teorema de Cauchy-Goursat.

8 Corolario. Sea un abierto no vac´ıo de C, p, f : Ccontinua en y holomorfa en \ {p}. Entonces f es holomorfa en .

Demostraci´on. Del teorema de Cauchy-Goursat se deduce que

f = 0

para todo tri´angulo , y el teorema de Morera asegura entonces que f es holomorfa.

Podemos incluso rebajar exigencias:

9 Corolario. Sea un abierto no vac´ıo de C, p, f una funci´on holomorfa en \ {p} y acotada para alg´un r > 0en el disco reducido D(p;r) = {zC : 0 < |zp| <r}.Entonces f admite una extensi´on holomorfa en.

Demostraci´on. La funci´on h definida en por

h(z) =

(zp)2 f(z) si z\ {p}

(9)

R r

-r -R

iR

es holomorfa en y h(p) = 0 por la hip´otesis de acotaci´on de f , con lo cual podremos escribir

h(z) = ∞

n=2

cn(zp)n, zD(p;r),

y as´ı

f(z) = ∞

n=0

cn+2(zp)n, zD(p;r),

de manera que basta extender f a p definiendo f(p) = c2.

6.4 AVANCE: El teorema de Cauchy y el c´alculo de integrales reales.

Como aperitivo de procedimientos que posteriormente desarrollaremos de manera m´as completa y sistem´atica, veamos c´omo el uso de la integraci´on compleja permite el c´alculo de ciertas integrales reales que, de otro modo, resulta dif´ıcil de calcular. Nos proponemos demostrar la tan repetida igualdad

+∞

0

sen x

x d x =

π 2,

teniendo en cuenta que la integral debe ser entendida como integral impropia, es

decir,

+∞

0

sen x

x d x =r→0+lim,R→+∞

R

r

sen x

x d x.

Comencemos por considerar la funci´on fH(), donde

= C\ {i y : y(−∞,0]} y f(z) = e i z

(10)

Sea γ (r,R) el camino cerrado de la figura, obtenido uniendo el segmento [r,R], la semicircunferencia γR : t ∈ [0, π] → γR(t) = R ei tC, el segmento

[−R,r ] y la semicircunferencia opuesta deγr : t ∈ [0, π] → γr(t) =r ei tC. Puesto que es un abierto estrellado y sopγ (r, R), teniendo en cuenta el teorema de Cauchy podemos escribir

0=

γ (r,R)

f(z)d z

=

[r,R]

f(z)d z +

γR

f(z)d z +

[−R,r ]

f(z)d z

γr

f(z)d z

=

R

r ei x

x d x +

γR f(z)d z +

r

R ei x

x d x

γr f(z)d z

=

R

r

ei xei x

x d x +

γR

f(z)d z

γr

f(z)d z;

equivalentemente,

R

r

ei xei x

x d x =

γr

f(z)d z

γR

f(z)d z. ()

Ahora bien:

γr

f(z)d z =

π

0

ei r ei t r ei t r i e

i t dt =i

π

0

ei r(cos t+i sen t)dt,

y para cada t ∈[0, π] la funci´on del integrando tiene l´ımite (cuando r → 0+) igual a e0 =1. Adem´as, la acotaci´on

ei r(cos t+i sen t =er sen te0 = 1, t ∈ [0, π],

muestra que el integrando est´a dominado por una funci´on (constante) integrable en [0, π] que no depende de r , luego aplicando el teorema de la convergencia dominada se obtiene

lim

r→0+

γr

f(z)d z = i

π

0

dt = i π.

An´alogamente

γR f(z)d z = i

π

0

(11)

pero ahora, para t(0, π), es

lim

R→+∞

ei R(cos t+i sen t = lim

R→+∞e

R sen t = 0, eR sen t =eR sen t < e0 =1,

y por la misma raz´on de antes

lim

R→+∞

π

0

eR sen t dt = 0.

(En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan, se prueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotaci´on

π

0

eR sen t dtπ

R (1 − e

R), deducida de la desigualdad sen t 2t

π para 0 ≤ tπ

2.)

Como consecuencia,

lim

R→+∞

γR

f(z)d z =0,

y llevando los resultados obtenidos a la igualdad () y pasando al l´ımite para

r → 0+, R → +∞, queda

2i

+∞

0

sen x

x d x = i π +0,

luego

+∞

0

sen x

x d x =

Figure

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