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Ejercicio 4 Obtenga, mediante un polinomio de interpolación de cuarto grado, un

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(1)

Matemática para Economistas

Curso 6

Práctica 8: Diferencias finitas

Operaciones

Ejercicio 1 Sean f

( )

xi y g

( )

xi funciones de → . Determine expresiones para las diferencias de la suma, resta, producto y división de funciones:

(a) ∆

(

f

( ) ( )

xi ±g xi

)

(b) ∆

(

f

( ) ( )

xi ⋅g xi

)

(c) ∆

(

f

( ) ( )

xi g xi

)

Respuestas:

(a) ∆

(

f

( ) ( )

xi ±g xi

)

= ∆f

( )

xi ± ∆g

( )

xi

(b) ∆

(

f

( ) ( )

xi ⋅g xi

)

= ∆f

( ) ( ) ( )

xi ⋅g xi +f xi ⋅ ∆g

( )

xi + ∆f

( )

xi ⋅ ∆g

( )

xi ,

Otra expresión posible es: ∆

(

f

( ) ( )

xi ⋅g xi

)

= ∆f

( ) (

xi ⋅g xi+1

) ( )

+f xi ⋅∆g

( )

xi

(c)

(

( ) ( )

)

( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

( )

( )

⋅ ∆ − ⋅∆

∆ =

+ ⋅ ∆

2

g f f g

f g

g g g

i i i i

i i

i i i

x x x x

x x

x x x

Ejercicio 2 Calcule las diferencias de primer orden de las funciones siguientes:

(a) yi = ⋅ +2 xi 3 (b) =

( )

2+ ⋅

( )

+

2 3

i i i

y x x

(c) =

( )

n

i i

y x , (n∈ ) (d) = xi

i

y a

(e) = ⋅ xi

i i

y x a (f) yi=1 xi

(g) yi=ln

( )

xi

Respuestas:

(a) ∆ = ⋅yi 2 h (b) 2 2 2

i i

y x h h h

∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ +

(c)

( )

1

n

n s s

i i

s n

y x h

s

− =

 

∆ =  ⋅ ⋅

 

,

(

!

)

! !

n n

s s n s

 =

  ⋅ −

  (d)

(

1

)

i

x h

i

y a a

∆ = ⋅ −

(e) xi

(

h 1

)

h

i i

y ax a h a

∆ = ⋅ ⋅ − + ⋅ (f)

(

)

i

i i h y

x x h

− ∆ =

⋅ +

(g) ∆ =yi ln 1

(

+h xi

)

(2)

Respuesta: n

( )

n ! n i

x n h

∆ = ⋅

Interpolación

Ejercicio 4 Obtenga, mediante un polinomio de interpolación de cuarto grado, un

valor aproximado de ln 1,6 a partir de los valores que siguen:

(

)

ln( )

i i

y = xyi 2

i y

∆ 3

i y

∆ 4

i y

0 1

x = 0

1 2

x = 0,6931

2

3

x

=

1,0986

3 4

x = 1,3863

4 5

x = 1,6094

Respuesta: ln 1,6

(

)

0, 46379.

Ejercicio 5 Calcule un valor aproximado para ln(7,6) a partir de la información

siguiente:

(

x y0, 0

)

=

(

7; 1,9459101

)

(

x y1; 1

)

=

(

8; 2,0794415

)

(

x y2; 2

)

=

(

9; 2,1972245

)

(

x y3; 3

)

=

(

10; 2, 3025850

)

Respuesta: ln 7,6

(

)

2,0281482.

Ecuaciones en diferencias

Ejercicio 1 Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones en diferencias lineales de primer orden completas o no-homogéneas:

Coeficientes constantes:

(a) xt+1+

( )

3 2 ⋅ =xt 5 (b) xt+1+

( )

1 2 ⋅ =xt 3

(c) xt+1xt =1 (d) xt+1−

( )

3 4 ⋅ =xt 1

(e) xt+1− ⋅ =2 xt 2 (f) xt+1+xt =2

(g) 1 0

2 1

1

t t

x x t

x

+ − ⋅ = +

  = −

 , (h)

1 0

2 3

1

t

t t

x x

x +

 − ⋅ =  =

(3)

(i)

(

1

) (

2 1

)

1

(

2 1

)

0

1

t t

t t x t x

t

+

+ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ =

≥ (j)

(

) (

)

∆ + ⋅ =

+ + ⋅ +

1

1 1 1 !

t t

t

x x

t t t

Respuestas:

(a) xt = −

(

3 2

)

t

(

x0−2

)

+2 (b) xt = −

(

1 2

)

t

(

x0−2

)

+2 (c) xt = +t x0 (d) xt =

( )

3 4 t

(

x0−4

)

+4 (e) xt =

( )

2 t

(

x0+2

)

−2 (f)

( )

1

(

0 1

)

1

t t

x = − ⋅ x − +

(g) xt =

( )

2 t− −t 2 (h)

( )

2 t

(

3 2t t

)

t

x = − + −

(i)

( ) (

)

1

1

1 2 1

!

t t

t

x x

t +

− ⋅ ⋅ −

= ⋅ (j)

=

  = − ⋅    

0

1

1 1

! !

t t

s x

x

t t s

Ejercicio 2 Resuelva analíticamente las siguientes ecuaciones en diferencias lineales de segundo orden homogéneas y estudie la estabilidad de la solución idénticamente nula:

(a) xt+2+ ⋅5 xt+1+ ⋅ =6 xt 0 (b) xt+2+ ⋅4 xt+1+ ⋅ =3 xt 0

(c) 2⋅xt+2+ ⋅7 xt+1+ ⋅ =3 xt 0 (d) 4⋅xt+2+11⋅xt+1− ⋅ =3 xt 0

(e) xt+2+ ⋅2 xt+1− ⋅ =3 xt 0 (f) xt+2− ⋅ =9 xt 0

(g) xt+2+ ⋅2 xt+1+xt =0 (h) xt+2−xt =0

(i) xt+2− =xt 0 (j) 8⋅xt+2− ⋅6 xt+1+xt =0

(k) 2⋅xt+2− ⋅7 xt+1+ ⋅ =3 xt 0 (l) xt+2− ⋅2 xt+1+xt =0

(m) xt+2+xt =0 (n) xt+2−xt+1+xt =0

(ñ) xt+2+ 3⋅xt+1+xt =0 (o) xt+2−xt+1+

( )

1 2 ⋅ =xt 0

(p) xt+2− ⋅2 xt+1+ ⋅ =2 xt 0

Ejercicio 3 Obtenga la solución general de las siguientes ecuaciones en diferencias

no-homogéneas aplicando el método de coeficientes indeterminados. Encuentre la solución particular de las ecuaciones para las condiciones iniciales dadas.

(a) xt+2− 3⋅xt+1+xt = ⋅ −5 2

(

3

)

, x0 =10, x1 = ⋅ +5 2

(

3 2

)

(b) 2 5 1 6 5 2

( )

t

t t t

x+ + ⋅x+ + ⋅ = ⋅x , x0 =9 4, x1= −9 2

(c) xt+2− ⋅ = ⋅9 xt 2 3

( )

t+2, x0 =2, x1=3

(d) xt+2+ ⋅ =4 xt cos

(

π 2⋅ + ⋅t

)

3 t x0 =19 25, x1 =59 25

(4)

(a) SG: xt = ⋅c1 cos

(

π 6⋅ + ⋅t

)

c2 sen

(

π 6⋅ +t

)

5, SP: xt = ⋅5 cos

(

π 6⋅ +t

)

5 (b) SG: xt = ⋅ −c1

( )

3 t+ ⋅ −c2

( )

2 t +1 4 2⋅

( )

t, SP: xt = −

( ) ( )

3 t+ −2 t +1 4 2⋅

( )

t (c) SG: xt = ⋅c1

( )

3 t+ ⋅ −c2

( ) ( )

3 t+ 3 tt, SP:

( ) ( ) ( )

3 3 3

t t t

t

x = + − + ⋅t

(d) SG: xt =

( )

2 tM⋅cos

(

π 2⋅ + ⋅t

)

N sen

(

π 2⋅t

) ( )

+ 1 3 cos⋅

(

π 2⋅ −t

)

6 25+

( )

3 5 ⋅t

Ejercicio 4 Dado el siguiente problema de valores iniciales:

0 0 2 0 1 1 f

t t t t

t

t

x a x b x x x

x + x

∆ + ⋅∆ + ⋅ =  =   =

donde a b, ∈ y ft es una función. Asuma que las raíces, λ1 y λ2, son reales y distintas.

(a) Muestre que la solución general de la ecuación viene dada por:

(

)

0

(

)

0

1 1

1 1

1 1 2 2 1 2

2 1 2 1

1 t f 1 t f

t t t s t s

t s s

s t s t

x c λ c λ λ λ

λ λ λ λ − − − − − − = = = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

,

(b) Mientras la solución particular del problema es:

(

)

(

)

0 0

0 0

1 1

1 1

0 2 1 1 1 0

1 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 1

1 1

f f

t t

t t t t t s t s

t s s

s t s t

x x x x

x λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − − = =  ⋅ −   − ⋅  = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − − −    

Ejercicio 5 Compare lassoluciones de las ecuaciones funcionales siguientes:

(a) 0

0 2 0 0 ∆ 0 ∆ ∆ t t t x x x x x=  =   =

,

(

h=1

)

(a’)

( )

( )

( )

2 0 0 0 0

D x t 0

x t x x t x

 =  =   ′ = ′  (b) 0 0

t t

t x x x x =   =

 ,

(

h=1

)

(c)

0 0

t t

t

x x h x x = ⋅   =  (c)

( )

( )

( )

0 0

Dx t x t x t x

= 

=



Respuestas:

(a) xt =x0+ ∆ ⋅ −x0

(

t t0

)

(a’) x t

( )

=x0+x0′⋅ −

(

t t0

)

(b)

( )

0

0 2

t t t

x =x ⋅ −

(c) xt x0

(

1 h

)

t th0 −

= ⋅ + (c’)

( )

( 0)

0 t t

(5)

Ejercicio 6 A partir de la solución hallada en (c) obtenga limh0xt. (nota:

(

1

)

limz 1 zz e

→+∞ + = ).

Ejercicio 7 Suponga que la tasa de crecimiento anual de una economía es constante e igual a g. Determine la tasa de crecimiento trimestral, ρ, asumiendo que ésta es constante y la misma para cada uno de los períodos. Determine una aproximación “razonable” si g es cercana a cero (por ejemplo, g=3%).

Respuesta:

Crecimiento anual:

(

yt+1yt

)

yt =g

Crecimiento trimestral:

(

yt+1 4yt

)

yt =ρ Por lo tanto: ρ =41+ −g 1 y ρ ≅g 4.

Ejercicio 8 Exprese la siguientes sumas como una ecuación en diferencias de primer

orden. Obtenga luego una expresión para el valor de las mismas.

(a)

1

Sn n

i i =

=

(b) 2

1

Sn n

i i =

=

(c) 1

0

S n i n

i a − =

=

(d)

1

S n i

n i

i a =

=

a≠1

Respuestas:

(a) Sn = +n Sn1 y S 1 2 1

2 2

n = ⋅n + ⋅n (b) Sn =n2+Sn−1 y S 1 3 1 2 1

3 2 6

n = ⋅n + ⋅n + ⋅n

(c) Sn = + ⋅1 a Sn1 (d) 1

1

S S

1

n

n n

a

a a

a

 −  = ⋅ + ⋅

  y

1

1 S

1 1 1

n n

n

a a a n

a a a

+

 −  ⋅

= ⋅

Análisis cualitativo

Ejercicio 1 Mediante un diagrama de fase estudie la estabilidad de la solución de

equilibrio (en caso de que exista) de las ecuaciones del ejercicio (1).

Ejercicio 2 Determine la existencia (en caso de ser posible calcúlelo) y estabilidad de los puntos de equilibrio de las ecuaciones siguientes:

(a) xn+1 = +1 1 xn

(b) xn+1 = − ⋅3 xn+ ⋅2 xn

(c) xn+1 =exp

(

xn

)

(6)

(e) xn+1= − + ⋅2 2 xn

(f) xn+1 = ⋅3 xn

( )

xn 3

(g) cos 2

(

xn+1

)

=sen

( )

xn xn∈ −

[

π 2 , 3⋅π 2

]

y xn+1∈

[

0, 2π

]

Respuestas:

(a) x* =

(

1+ 5 2

)

, el punto es asintóticamente estable.

(b) x*=0 es un equilibrio inestable.

(c) Existe un punto de equilibrio en el intervalo

(

0,1 y es asintóticamente estable

)

( *

(

)

* 1

d d 0,1

n

n n x x

x + x = = − ∈x ).

(g) x*=π 6 es un equilibrio localmente asintóticamente estable.

Ejercicio 3 Dada la siguiente ecuación en diferencias no lineal (ecuación logística):

(

)

1 1

t t t

x+ = ⋅ ⋅ −µ x x , x

[ ]

0,1 y µ∈

(

0, 4

]

(a) Realice un diagrama de fases para los casos que siguen:

0, 5

µ = , µ =1,5, µ =2,9, µ =3, 5, µ =3,7 y µ =4.

(b) Analice la estabilidad de sus puntos fijos para diferentes valores del parámetro.

Respuesta: Dos puntos de equilibrio: x* =0 y x** =

(

µ

1

)

µ

si

µ

>1. El primero es

estable si

µ

<1 mientras el segundo estable si 1< <

µ

3 e inestable cuando 3<

µ

.

Ejercicio 4 Dada la siguiente ecuación en diferencias:

2 1

t t t

x+ = ⋅β x + ⋅α x

(a) Suponga

(

α β, 2,

) (

= − 2

)

. Encuentre y caracterice los puntos de equilibrio. Estudie la estabilidad a través de un diagrama de fases.

(b) Suponga α<0 y

β

>0, halle los puntos fijos o de equilibrio y estudie su estabilidad.

Respuestas:

(a) Puntos de equilibrio: x* =0 y x** =3 2. Los dos equilibrios son localmente

inestables.

(b) Dos puntos de equilibrio: x*=0 y x** =

(

1

α β

)

>0. El primero es estable si

1

α > − el segundo es siempre localmente inestable.

Ejercicio 5 Un algoritmo frecuentemente utilizado para aproximar los valores de las

(7)

( )

( )

1

f f

n

n n

n x

x x

x + = −

• Mediante un diagrama de fases muestre que, en un entorno de los puntos de equilibrio de la ecuación anterior, el método siempre converge para obtener las raíces de las ecuaciones que siguen:

(a) f

( )

x =x22 (b) f

( )

x =x38

• Aproxime, partiendo del valor inicial T0 =25, la raíz de la ecuación:

(

)

0,1T 1 0,1 8 0

e− ⋅ − − ⋅ −T = (puede utilizar una planilla de Excel).

Respuestas:

(a)

(

2

)

1 2 2

n n n

x + = x + ⋅x . Puntos de equilibrio: x* = 2 y x** = − 2. Cualquiera sea el

punto de equilibrio la derivada es igual a cero,

*

1

d

0 d

n

n n x x x

x +

=

= .

(b)

(

3

)

2

1 2 8 3

n n n

x + = ⋅x + ⋅x . Puntos de equilibrio: x* =2 y

*

1

d

0 d

n

n n x x x

x +

=

= .

Ejercicio 6 Sea la ecuación en diferencias xt+1=f

( )

xt , donde f : → esta dada por

la expresión:

( ) (

)

3

(

)

f xt = xt−1 + ⋅ε xt− +1 1

(a) Suponga ε=0, encuentre los puntos equilibrio y estudie su estabilidad a través de un diagrama de fases.

(b) Considere el caso en que ε∈ , estudie la existencia de diferentes puntos de equilibrio y la estabilidad de los mismos.

Respuestas:

(a) x* =0 (inestable), x** =1 (asintóticamente estable) y x***=2 (inestable).

(b) x*=1 y, si ε <1, x**= +1 1ε y x*** = −1 1ε .

El primero, x* =1, es asintóticamente estable si ε <1 e inestable cuando ε >1

Los dos restantes son siempre inestables.

Aplicaciones económicas

Modelos lineales

Ejercicio 11La población actual de un país es de 10 millones de habitantes y su tasa de crecimiento poblacional es de 2% anual.

(8)

(a) Si el país admite 20 mil inmigrantes al año, determinar la población luego de: (i) 10 años, (ii) 20 años.

(b) Determinar el número de períodos necesarios para que la población de ese país se extinguiera si emigran anualmente: (i) 15 mil habitantes, (ii) 500 mil habitantes.

Respuestas:

(a) (i) y10 =12.408.938, (ii) y20 =15.345.421

(b) (i) la población no se extingue, (ii) t* =28 años.

Ejercicio 2 Una persona, que desea constituir un fondo para su retiro, deposita 10.000 u.m. realizando, a su vez, un aporte de 1.000 u.m. al fin de cada mes. Si se le reconoce una tasa de interés de 0,375% mensual:

(a) Determinar el fondo acumulado al cabo de 10 años.

(b) Si a partir de ese momento, retira 800 u.m. mensualmente, calcular al cabo de cuántos períodos se agota el fondo si se le reconoce la misma tasa de interés.

(c) A partir del resultado hallado en (a), determinar cuál es el monto mensual máximo que puede percibir si desea mantener la renta por 15 años.

Respuestas:

(a) 166.868. (b) 34 años. (c) 1.277 u.m.

Ejercicio 3 El stock de capital físico de una economía está determinado por el flujo de inversión y la tasa de depreciación del capital existente. Una de las ecuaciones más utilizadas para describir el comportamiento del stock capital en el tiempo es la siguiente:

{

}

0

1 0 0

0

, 0 1, , 1, ...,

s s s s

t

K K I K s t t t

K K

δ δ

+ = + − ⋅ ≤ < ∈ +



=



donde Ks indica el stock de capital, Is la inversión bruta y δ la tasa de depreciación del capital existente en el período s. La ecuación en diferencias indica que el stock de capital aumenta cuando la inversión bruta supera a la tasa de depreciación del stock existente.

(a) Obtenga la trayectoria del stock de capital.

(b) Suponga que la tasa de inversión se mantiene constante en el tiempo, IsI. Determine y grafique la trayectoria del stock de capital. Interprete.

Respuestas:

(a)

(

)

0

(

)

0

1

1

0 1 1

t

t t t s

t s

s t

K K δ − − δ − − I

=

(9)

(b)

(

)

0

0

1 t t

t

K = δ − K I δ+I δ

 

Ejercicio 4 (Altruismo en la función de utilidad) En los modelos de generaciones

superpuestas se plantea el siguiente tipo de función de utilidad para incorporar la idea de que los padres, además de preocuparse por su propio nivel de utilidad, también se preocupan por la utilidad que disfrutarán sus hijos.

( )

( )

(

)

1

1 1 1

j v

t t t t

V u c β u c RV

+ +

= + ⋅ + + ⋅ ,

donde j t

c es el consumo de los “padres” cuando son jóvenes y v1 t

c+ el consumo

cuando son viejos. El último término representa la utilidad de la generación joven (los hijos) que nacieron a principio de t+1. Muestre que con este tipo de función de utilidad, la utilidad de los padres hoy, Vt, dependerá de la utilidad derivada del consumo por toda su descendencia.

Respuesta:

(

)

( )

(

1

)

0

1 i j v

t t i t i

i

V R u c β u c

+ + +

=

 

=

+ ⋅ + ⋅

Ejercicio 5 Las ecuaciones en diferencias siguientes describen la evolución de la

posición financiera del gobierno (deudor ó acreedor) y del superávit ó déficit fiscal:

1 1

t t t t t

B B− − =G + ⋅R B− −T

(

1

)

(

1 1

)

t t t t

G T− = +ρ ⋅ G− −T− ,

donde Gt, Tt y Bt son, en términos nominales en el año t, el gasto público, los

ingresos por recaudación de impuestos y el stock de deuda pública, respectivamente. La tasa nominal de interés que paga el gobierno por la deuda emitida se denota con la letra R. La primera ecuación indica que si el gasto más el pago de intereses,

1

+ t

t R B

G , es superior a la recaudación corriente, Tt, entonces la deuda aumenta y,

por el contrario, si el gasto más el pago de intereses es inferior a la recaudación corriente entonces el stock de deuda disminuye. La segunda ecuación indica que el superávit ó déficit crece a una tasa

ρ

≥0.

(a) Reduzca el sistema a una ecuación de segundo orden en Bt. Halle su solución

general.

(b) Suponga que, a partir de una deuda inicial de 40.000 u.m., durante 10 años la política fiscal se centra en sostener los siguientes objetivos: superávit fiscal (TG) constante e igual a 500 u.m. y endeudamiento en los mercados financieros a una tasa de interés de 8% anual. Obtenga la trayectoria que seguirá la deuda en el tiempo. ¿Calcule a cuánto ascenderá la deuda pública luego de 10 años?

(c) Considere, a partir de las condiciones finales del punto (a), que el gobierno logra incrementar el superávit fiscal a una tasa de 10% anual. Determine el valor de las constantes. Si se mantiene en el tiempo la misma política fiscal, ¿cuántos años deben transcurrir para que el gobierno cancele completamente la deuda?

(10)

(a) Bt+2

(

2+ +R ρ

)

Bt+1+ +

(

1 R

) (

⋅ +1 ρ

)

⋅ =Bt 0, 1

(

1

)

2

(

1

)

t t

t

B = ⋅ +c ρ + ⋅ +c R

(b) Bt =6.250 33.750 1,08+ ⋅

(

)

t, B10=79.113,7.

(c) Bt = −27.500 1,1⋅

(

)

t+106.612,7 1,08⋅

(

)

t, B0 =79.113,7, B1=84.892,8 y t* =74.

Ejercicio 6 Considere el siguiente modelo de estabilidad del equilibrio parcial de Walras (1834-1910):

( )

QD

t pt = − ⋅D a pt (a>0) (demanda)

( )

QS

t pt = + ⋅S b pt (b>0) (oferta)

(

QD QS

)

t t t

p k

∆ = ⋅ − (k>0) (ecuación de ajuste)

0 0

t

p =p (condición inicial)

{

}

*: : 0

t

p = p∈ ∆ =p (precio de equilibrio)

(a) Obtenga la solución general y estudie la estabilidad del equilibrio.

Respuesta:

(

(

)

)

0

(

*

)

*

0

1 t t

t

p = − ⋅ +k a b − ⋅ pp +p . El equilibrio p* =

(

D S

) (

a b+

)

es

asintóticamente estable si 1− ⋅ +k a b

(

)

<1.

Modelos lineales con expectativas estáticas

Ejercicio 7 Considere el siguiente modelo de la “telaraña”: QD 2

t =Dt − ⋅pt (demanda)

QS e

t = +St pt (oferta)

1

e

t t

p =p− (formación de expectativas)

QD QS

t = t (condición de equilibrio)

0 0

t

p =p (condición inicial)

(a) Suponga Dt ≡56 y St ≡40. Estudie el comportamiento del precio utilizando un diagrama de fases.

(b) Encuentre la trayectoria del precio y estudie la estabilidad de la solución de equilibrio.

(c) (Velocidad de convergencia) Si * 0

pp , determine el tiempo que tarda el sistema en recorrer el 95% de la discrepancia entre el precio inicial y el precio de equilibrio.

(11)

comportamiento del precio utilizando un diagrama de fases. Obtenga la solución y grafique la trayectoria del precio del bien antes y luego del cambio en Ds.

Respuestas:

(b)

(

) (

0

)

0

1 2 t t 16 3 16 3

t

p = − − ⋅ p − + (c) *

0 5

t − ≥t

(d)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

0

3 0

0

1 2 16 3 16 3 si 0 4

1 2 16 3 16 3 11 3 1 1 2 si 4 16 3

t

t t

t

p t

p p t

p

 − ⋅ − + ≤ <

= − ⋅ − + + ⋅ − −

 = 

Ejercicio 8 Considere el siguiente modelo del multiplicador-acelerador de la inversión para interpretar el ciclo económico [Samuelson, 1939]:

t t t

y = + +c i g (demanda agregada)

1

t t

c = ⋅α y− , 0< <α 1 (función consumo)

(

1

)

t t t

i = ⋅β c c− − +i (acelerador de la inversión)

0 0

t y =y

1 1

t y =y

(a) Encuentre su solución general.

(b) Suponga: α=0, 5, 1, 5β = , i =100 y g=100. Encuentre la trayectoria temporal si y0 =300 e y1 =450.

(c) Suponga que partiendo de un estado inicial de equilibrio, y0 =400 e y1=400 a partir del período t=2 el sistema es perturbado por un aumento permanente de la inversión autónoma, i, igual a 50. Determine la trayectoria temporal del producto.

Respuestas:

(b) yt =

(

3 4

)

t⋅ − 100 cos 0,76⋅

(

⋅ +t

)

187,7 sen 0,76⋅

(

t

)

+400

(c) yt =

(

3 4

)

t⋅ − 100 cos 0,76⋅

(

⋅ −t

)

62,6 sen 0,76⋅

(

t

)

+500

Ejercicio 9 (Modelo de ciclo de existencias [Metzler, 1941]). Este modelo investiga las consecuencias sobre la producción de la economía de los esfuerzos de las empresas por mantener sus niveles de existencias en cierto nivel deseado.

La producción total, Yt, es igual a la producción de bienes de consumo más la

(12)

para cubrir las ventas corrientes esperadas, e t

V , y (ii) la producción para mantener las existencias en el nivel deseado. Con respecto a (i) se asume que las ventas corrientes esperadas son iguales a la demanda de consumo del período anterior, Ct1: Vte=Ct−1.

Por otro lado, la demanda de consumo es una función lineal del producto: Ct = ⋅b Yt, con 0< <b 1. En relación a (ii) se supone que las empresas desean mantener una relación constante entre existencias, St, y ventas, Vt: St = ⋅k Vt (k>0).

La producción en el período corriente, Yt, es entonces igual a la suma de las ventas esperadas, e

t

V , más la producción de existencias necesaria para sostener éstas en el nivel deseado, e 1

t t

SS− , más la inversión autónoma I: Y Vt = te+

(

SteSt−1

)

+I .

Finalmente, las existencias en el período anterior, St1, son iguales a las existencias

esperadas en ese período, e1 t

S− , menos la diferencia entre las ventas realizadas (es

decir, la demanda de consumo) y las ventas esperadas,

(

1 e1

)

t t

C− −V− :

(

)

1 e1 1 e1

t t t t

S− =S− − C− −V− .

(a) A partir de la identidad e

(

e 1

)

t t t t

Y V= + SS− +I reduzca el modelo a una ecuación

en diferencias en la producción.

(b) Estudie el comportamiento de la solución si la propensión marginal a consumir es de 0,5, la relación deseada existencias/ventas de 20% y la inversión autónoma igual a 1.000.

Respuesta: (a) Yt

(

2+ ⋅ ⋅k b Y

)

t1+ ⋅ + ⋅b

(

1 k Y

)

t2 =I

Ejercicio 10 Considere las siguientes ecuaciones de un modelo de inflación estructural

[Olivera, 1967]:

, ,

ˆ ˆ

a t b t

P P δ σ

η ε −

− =

+

(

)

, 1

ˆ 1 ˆ

t a t

S = −α ⋅P − , 0≤ ≤α 1

(

)

, ˆ

ˆ 1

b t t

P = −β ⋅S , 0≤ ≤

β

1,

donde Pa t, es el precio monetario de los bienes agrícolas y Pb t, el precio monetario de

los bienes industriales. Los parámetros δ y σ son, respectivamente, las tasas de crecimiento autónomo de la demanda y oferta de productos agrícolas. Por otro lado, η y ε indican, respectivamente, las elasticidades de demanda y de oferta de productos agrícolas respecto del precio relativo de los productos agropecuarios en unidades de productos manufacturados. Por St se denota a un índice del nivel de

salarios monetarios de la economía. El acento circunflejo sobre una variable denota su tasa de crecimiento en el tiempo.

La primer ecuación se obtiene a partir de la condición de equilibrio del mercado de productos agrícolas, Q P t t

(

( )

,

)

=D P t t

(

( )

,

)

, donde Q(.)es la función de oferta,

(.)

(13)

alcanza dicha ecuación. La segunda ecuación describe el efecto de la suba de precios de los productos agrícolas sobre el salario monetario. Se supone que los salarios reaccionan con retraso frente al aumento de precios de los bienes agrícolas. La última ecuación tiene en cuenta el efecto posterior: la incidencia de la suba de los costos laborales sobre el precio de los bienes industriales.

(a) Muestre que reemplazando la segunda en la tercera y el resultado en la primera se obtiene:

, , 1

ˆ ˆ

a t a t

P A P δ σ

η ε

= ⋅ +

+ , A≡ −(1 α) (1⋅ −β)

(b) Encuentre las trayectorias de la tasa de crecimiento de los precios agrícolas e industriales si 0< <A 1.

(c) Determine la tasa de crecimiento de los precios de cada sector en el largo plazo si existe una “brecha estructural”,

(

δ σ−

)

, de 3% anual, la suma de las elasticidades es igual a ½ y α β= =0,1.

Respuestas:

(b) ˆ, ˆ,0 1 1

1 1

t

a t a

P A P

A A

δ σ δ σ

η ε η ε

  −    − 

= ⋅ +

+  −  +  − 

   

 

, ,0

ˆ ˆ

1 1

t

b t b

A A

P A P

A A

δ σ δ σ

η ε η ε

  −    − 

= ⋅ +

+  −  +  − 

   

 

,

1 ˆ

lim 30%

1

t Pa t A

δ σ η ε

→+∞

 −   

=

+  − 

  y limt ˆb t, 1 25%

A P

A δ σ

η ε

→+∞

 −   

=

+  − 

 

Modelos lineales con expectativas adaptativas

Ejercicio 11 La hipótesis de expectativas adaptativas es frecuentemente utilizada en macroeconomía para describir cómo los agentes formulan pronósticos sobre ciertas variables endógenas. En un modelo de consumo, basado en el ingreso permanente

[Friedman, 1957], se postula que el consumo depende del ingreso permanente Yp. El ingreso permanente se define como aquel nivel de ingreso constante que iguala su valor presente con el valor presente de la corriente actual y futura de ingreso (es

decir:

(

)

(

)

0 0

1 t 1 t

p t

t t

Y r Y r

+∞ +∞

= =

+ = +

). Sin embargo, como el ingreso permanente no es una variable directamente observable las familias deben estimarlo; un mecanismo posible es el siguiente:

(

)

0

, 1 , ,

, ,0

, 0 1

e e e

p t p t t p t

e e

p t p

Y Y Y Y

Y Y

λ λ

+

= + ⋅ < <

 

= 

donde Yt es el ingreso en el período t e Yp te, es el ingreso permanente estimado (en

1

(14)

estimación del ingreso permanente hacia arriba (abajo) siempre que el ingreso corriente sea superior (inferior) al ingreso permanente que había sido estimado para éste período.

(a) Obtenga la solución de la ecuación en diferencias en el ingreso permanente esperado. Interprete.

(b) Si el ingreso se mantiene constante en el tiempo, Y Yt ≡ , y la condición inicial se puede elegir muy lejana en el tiempo (t0 → −∞): ¿cuál es el ingreso permanente esperado por las familias?

Respuesta:

(a)

(

)

0

(

)

0

1

1

, ,0 1 1

t

t t t s

e e

p t p s

s t

Y Y λ − λ − λ − − Y

=

= ⋅ − + ⋅

− ⋅

(b) e, p t Y =Y

Ejercicio 12 Considere el siguiente modelo de equilibrio de mercado [Nerlove, 1958]:

QD

t =D b pt − ⋅ t a>0 (demanda)

QS e

t = + ⋅St a pt b>0 (oferta)

(

)

1 1 1

e e e

t t t t

p =p− + ⋅λ p− −p− 0< <λ 1 (formación de expectativas) QD QS

t = t (condición de equilibrio)

0

e e

t p =p

(a) Halle la solución del modelo y estudie la estabilidad del equilibrio. Asuma DtD

y StS.

Respuestas:

(a)

(

1

)

0

t

e e

t

b a D S D S

p p

b a b a b

λ λ

− ⋅ − ⋅ − −

      

=  ⋅ − +

+ +

   

 

 

(

)

0

1 t e

t

b a

a D S D S

p p

b b a b a b

λ λ

− ⋅ − ⋅

−     −   − 

= ⋅  ⋅ − +

+ +

   

 

 

Condiciones de estabilidad: b> ⋅λ a

(

1−λ

)

ó λ⋅a

(

2−λ

)

< < ⋅b λ a

(

1−λ

)

Ejercicio 13 Apelando a una condición de arbitraje el precio de una acción puede

determinarse a partir de igualar su rentabilidad esperada con la de un activo libre de riesgo (siempre que los agentes sean neutrales al riesgo). En tal caso, la ecuación funcional que en forma implícita determina el precio de la acción viene dada por:

1

e

t t t

t t

p p d

r

p p

(15)

donde, pt, dt y rson: el precio corriente de la acción, los dividendos corrientes que

la firma distribuye y la tasa de interés del activo libre de riesgo, respectivamente. El precio esperado (en t) para el próximo período se denota por e

t

p+1. Nótese que la

rentabilidad de la acción está compuesta por dos términos: la ganancia (o pérdida) de capital esperada que se obtendrá por la variación en el precio del activo y los dividendos (medidos en términos reales) que la firma distribuye. Suponga que las expectativas sobre el precio de la acción son adaptativas:

(

)

1

e e e

s s s s

p+ =p + ⋅λ pp , 0< <λ 1, s

{

t t0, 1, 0+ ..., t

}

0 0

e e

t p =p

(a) Determine la trayectoria del precio esperado.

(b) Asuma que los dividendos se mantienen constantes en el tiempo, determine las trayectoria del precio esperado y el precio del activo.

(c) Estudie la estabilidad de la solución.

(d) Determine la trayectoria del precio esperado y del precio del activo si el mercado (a partir de un estado de equilibrio) es perturbado en el período t1 por un aumento de los dividendos que reparte la firma desde d hasta d+ ∆d.

Respuestas:

(a) 0

0

1 1

0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

1 1 1

t t t t s

e e

t s

s t

r r

p p d

r r r

λ λ λ λ λ λ − − − = − ⋅ + − ⋅ +     = ⋅ + ⋅ ⋅ + − + − + −  

 

(b) (1 ) (1 ) 0 0 1

t t

e e

t

r d d

p p

r r r

λ λ − − ⋅ +     = + + −     0 0

(1 ) (1 ) 1

1 1

t t

e t

r d d

p p

r r r r

λ λ λ λ − − ⋅ + −       =  ⋅ − + + −  + −   

  o

0

0

(1 ) (1 ) 1

t t t

r d d

p p

r r r

λ λ − − ⋅ +     = + + −    

(c) La solución es asintóticamente estable.

(d)

(

)

(

)

(

)

− − −  ⋅ − + ≤  = ⋅ − + ∆ ⋅ − + ≥ +  =  0 0 1 0 1 0 1 0 si

1 si 1

t t e

t t

e e t t

t e

A p d r d r t t

p A p d r d r A d r t t

p d r

(

λ

) (

) (

λ

)

= 1− ⋅ +1 1+ −

A r r

(

)

(

)

λ λ λ − − − −

 ⋅ − + <

   ∆ ∆ −  = ⋅ − + + ⋅ + ⋅ ⋅ ≥ + − + −   =  0 1 0 1 0 1 0 1 0 si 1 si

1 1 1

t t

t t

t t t t

t

A p d r d r t t

d d A

p A p d r d r A t t

r r A

(16)

Ejercicio 14 Considere el modelo de hiperinflación de Cagan [1956]:

(

)

D= ⋅ − ⋅α πse+1

s s

M P A e (demanda de dinero)

(

)

S =

s s s s

M P M P (oferta de dinero)

(

)

1

e e e

s s s s

π

+ =

π

+ ⋅

β π π

− , 0< <

β

1 (formación de expectativas)

(

) (

S =

)

D

s s s s

M P M P , s

{

t t0, 1, , 0+ … t

}

(condición de equilibrio)

donde: e:

(

e 1

)

1 s Ps Ps Ps

π = − . Por simplicidad asuma A=1. (nota: en alguna instancia de la resolución resultará conveniente reemplazar la inflación, πs, por la aproximación ln

(

P Ps s1

)

(

P Pss1

)

Ps1:=πs).

(a) Muestre que luego de igualar las dos primeras funciones y aplicar logaritmo natural (m≡lnM y p≡lnP) resulta una ecuación en diferencias en el nivel de precios:

(

1

)

1

(

1

)

1

1

1 1 1

s s s s s s

p p β p m m β m

α β α β α β

− − − −

− + ⋅ = ⋅ − + ⋅

− ⋅ − ⋅ − ⋅

(

1− ⋅ ≠α β 0

)

(b) Halle la solución suponiendo que el banco central mantiene constante la cantidad nominal de dinero, msm0.

(c) A partir del resultado obtenido en (a) muestre que si aplica nuevamente diferenciación finita se llega a una ecuación en diferencias en la inflación.

(d) Encuentre la solución suponiendo que el banco central mantiene constante la cantidad nominal de dinero, msm0.

Respuestas:

(b) 0

(

)

0 0 0

t t

t t

p =λ− p m +m , λ≡ − ⋅ − ⋅1 β

(

1 α β

)

−1

(c)

(

2

)

1 1

1

1 1

s s ms ms

β

π π β

α β α β − −

∆ + ⋅ = ⋅ ∆ + ⋅∆

− ⋅ − ⋅

(d) 0

0

t t

t t

π =π λ

Ejercicio 15 Suponga que en el ejercicio anterior el pronóstico se realiza sobre el nivel de precios esperado. Es decir, la tercera ecuación cambia por esta otra:

(

)

1

e e e

s s s s

p+ =p + ⋅β pp , 0< <

β

1

(a) Determine las ecuaciones en diferencias en el nivel de precios esperado y en el nivel de precios.

(17)

(c) Determine la trayectoria del nivel de precios y del nivel de precios esperado si, partiendo del estado de equilibrio del punto anterior, el banco central aumenta la cantidad nominal de dinero en ∆m a partir del período t1.

Respuestas:

(a) e1

{

(

1

) (

1

)

1

(

1

)

}

e 1

(

1

)

t t t

p+ −  +α ⋅ −β    + ⋅ −α β  ⋅p =β  + ⋅ −α β ⋅m

(

) (

)

(

)

{

}

[

]

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1

t t t t t

p+ −  +α ⋅ −β    + ⋅ −α β  ⋅ =p β⋅m m+ + −m  + ⋅ −α β 

(c)

(

)

(

)

(

)

0

0 1

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0

si 1 si

t t e

t t

e e t t

t e

A p m m t t

p A p m m A m t t

p m

− −

 ⋅ − + ≤



= ⋅ − + + − ⋅ ∆ >

= 

(

)

(

)

1

0 1

1

0 1

si 1 si

t t t

m t t

p

m m α α A+ − m t t

< 

=  + ∆ − + ⋅ ∆

 ,

con A=

(

1+α

) (

⋅ −1 β

)

  1+ ⋅ −α

(

1 β

)

.

Modelos lineales con expectativas racionales (previsión perfecta)

Ejercicio 16 Suponga que en el ejercicio 12 las expectativas son racionales.

(a) Asuma la hipótesis de expectativas racionales: el precio esperado por los agentes,

1

e t

p+ , es igual a la predicción de la teoría, E

(

pt+1/It

)

, dada la información

disponible en ese período, It. Además, los agentes conocen el modelo (en este caso que todos determinan el precio en base a la ecuación de ausencia de arbitraje), es decir, las ecuaciones y los valores de sus parámetros, y utilizan toda la información disponible para formar sus expectativas. El precio esperado es entonces igual a la esperanza matemática condicionada a la información disponible en el período corriente:

(

)

1 E 1/

e

t t t

p+ = p+ I ,

entonces, la ecuación de arbitraje puede escribirse como:

(

1

)

1 1

E /

1 1

t t t t

p d p I

r r +

= ⋅ + ⋅

+ +

Para simplificar el problema vamos asumir previsión perfecta (todas las variables se conocen con certeza): e1 1

t t

p+ =p+ . Demuestre que el precio de la acción vendrá

dado por:

(

)

(

)

1

1

1 1

T

t T s

t s t T t

s t

p d

p

r r

+

+ − −

=

= +

+ +

(b) Suponga que los dividendos presente y futuros son constantes y que

(

)

lim 1 t T 0

t T

T r p

− +

(18)

(c) La firma anuncia en el período t0 que aumentará los dividendos distribuidos a partir del período futuro t1. Suponga que los dividendos de la firma sigan el siguiente proceso:

1 1 1

, 1, ..., 1 , 1, ...,

s

d s t t t

d

d d s t t

= + −

=  + ∆ = + + ∞

Obtenga y grafique la trayectoria del precio de la acción.

(d) A partir de las mismas condiciones que en el punto (b) suponga que el gobierno anuncia en t0 que a partir del período futuro t1 grabará los dividendos distribuidos con una tasa impositiva τ∈

(

0,1

)

. Determine la trayectoria del precio del activo.

Respuestas:

(b) pt =d r

(c)

(

)

1

0 0 1 1

si 1 si si

t t t

d r t t

p d r d r r t t t

d d r t t

< 

= + ∆ ⋅ + ≤ <

 + ∆ ≤

Ejercicio 17 Integre la restricción de presupuesto de un agente representativo si el

ingreso, la tasa de interés y el consumo se mantienen constantes en el tiempo:

{

}

( )

1 1

, , 1, ,

s s s

T

y r b c b b s t t T

b T b

− −

+ ⋅ = + − ∈ +



=



• Suponga que limT→+∞

(

1+r

)

t T− ⋅bT =0, es decir, los activos o pasivos no crecen a una tasa superior a la tasa de interés. Muestre que si el agente es acreedor (deudor) en el período corriente entonces el valor presente del consumo es superior (inferior) al valor presente del ingreso. En otras palabras, un agente que posee activos tendrá un perfil de gasto en consumo que supera (en promedio) a su perfil de ingreso.

Respuesta: 1

1

T t

t T

y y

c c

b b

r r r r r

   

 

= + +

      

Ejercicio 18 Considere el modelo de hiperinflación de Cagan con expectativas

racionales:

(

)

D= ⋅ − ⋅α πse+1

s s

M P A e (demanda de dinero)

(

M Ps s

)

S =M Ps s (oferta de dinero)

1 1

e

s s

π ++ (formación de expectativas)

(

) (

D=

)

S

s s s s

(19)

donde: πs:=

(

P PSs1

)

Ps1≅lnP Ps s1. Asuma A=1.

(a) Muestre que luego de reemplazar (1), (2) y (3) en (4) y después de aplicar logaritmo natural (m≡lnM y p≡lnP) resulta una ecuación en diferencias en el nivel de precios:

(

)

α− α−

+1− − 1⋅ = − 1⋅

s s s s

p p p m

(b) Encuentre su solución.

(c) Suponga que el horizonte de tiempo es infinito y que la solución viene dada por la parte fundamental. Determine el nivel de precios si el banco central mantiene constante la cantidad nominal de dinero, msm.

(d) Determine la trayectoria del nivel de precios si, a partir de la situación de equilibrio del punto anterior, el banco central anuncia en el período t0 que en un período futuro, t1, elevará la cantidad nominal de dinero desde m hasta m+ ∆m. Grafique las trayectorias de mt y pt.

Respuestas:

(b)

1 1

1

1 1

s t

t T T

t T s

s t

p α p α m

α α α

+ −

=

   

= ⋅ + ⋅

+ +

 

 

(c)

1

1 1

s t t

s t

p α m m

α α

+ − ∞

=

 

= ⋅ ⋅ =

+

 

(d) α

α

< 

  

= + ⋅∆ ≤ <

+

 

 + ∆ ≤

1

0

0 1

1

si

si 1

si

t t t

m t t

p m m t t t

m m t t

Ejercicio 19 Los dividendos de una heladería, ds, siguen el siguiente proceso

estacional de acuerdo con las estaciones del año: P

V O I

s

d s

d d s

d

d s

d d s

= 

 + ∆ =

=  =

 − ∆ =

, s

{

t t, 1, 2, + t+ ..., ∞

}

,

donde P : primavera, V : verano, O : otoño e I : invierno. Determine el precio de la acción en las diferentes estaciones del año a partir de la siguiente condición de arbitraje:

1

e

s s s

s s

p p d

r

p p

(20)

siendo r la rentabilidad de un activo libre de riesgo (se supone constante). Asuma que los agentes poseen previsión perfecta y que la solución corresponde a la parte

fundamental. Grafique la trayectoria del precio. (nota: 1 4 4 4 0 1 1 n n i i q q q ⋅ − ⋅ = − = −

) Respuestas: 2 4

(1 ) 1

(1 ) 1 2 (1 )

t t P

r

d d d

p d

r r r r

=  + −  ∆ = + ⋅ ∆ ≅ + + − ⋅ +   3 4

(1 ) (1 )

(1 ) 1 2

t t V

r r

d d d

p d

r r r

=  + − +  ∆ = + ⋅ ∆ ≅ + + −   2 4

1 (1 )

(1 ) 1 2 (1 )

t t O

r

d d d

p d

r r r r

=  − +  ∆ = + ⋅ ∆ ≅ − + − ⋅ +   3 4

(1 ) (1 )

(1 ) 1 2

t t I

r r

d d d

p d

r r r

=

 + − +  ∆

= + ⋅ ∆ ≅ −

+ −

 

Ejercicio 20 En los modelos dinámicos que asumen la hipótesis de previsión perfecta

es usual encontrar una raíz (de la ecuación característica) con módulo superior a la unidad y otra de módulo inferior a uno. Al existir, entonces, una raíz con módulo superior a 1 el problema de valores iniciales arroja una solución particular del problema que no converge a la solución de equilibrio. Por tal motivo, para que la solución converja en el largo plazo a la solución de equilibrio, este tipo de problemas se pueden tratar como problemas con condiciones de contorno:

0 2 0 1 f lim 0

t t t t

t

T

t T

x a x b x x x

x λ− →+∞ ∆ + ⋅∆ + ⋅ =  =   =

Suponga: λ1>1 y 0<λ2 <1 y

0

1 1 2

lim T T s f

T s s t λ − − − →+∞ = ⋅

es finito.

(a) Determine la solución particular del problema. Interprete.

Respuesta:

(

)

0 ( 0) 0

(

)

0

(

)

1

1 1 1

0 1 2 2 1

2 1 2 1 2 1

1 1 1

f t f f

s t t t t s t s

t s s s

s t s t s t

x x λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ +∞ − +∞ − + − − − − − − = = =   = + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − − 

Ejercicio 21 Las funciones y ecuaciones que siguen describen un modelo para la

determinación del precio de un commodity [Muth, 1961]:

Cs =Ds − ⋅β ps,

β

>0 (demanda de consumo)

(21)

(

1

)

I e

s = ⋅α ps+ −ps , α >0 (demanda de inventarios)

1

QOs +Is− =C Is+ s, (condición de equilibrio)

1 1

e

s s

p+ =p+ , s

{

t t0, 0+1, ..., , ..., t T−1, T

}

, (previsión perfecta)

ss T T

p = =p (condición terminal)

0 0

Iss t= =It (condición inicial)

El mercado está caracterizado por dos tipos de demanda: una demanda para consumo corriente, Cs, y otra por inventarios, Is. Esta última es la demanda ejercida por los especuladores con el fin de obtener ganancias de capital cuando anticipan cambios futuros de la demanda de consumo u oferta. La primer función de demanda depende negativamente del precio del bien en tanto la segunda positivamente (debido a que expectativas de subas de precios futuros son un incentivo para acumular el bien y venderlo luego a un precio mas elevado). Asumiremos que la demanda de consumo puede modificarse, de acuerdo con Ds, por cambios en las preferencias o en el ingreso de los consumidores. La función de oferta, QO

s , depende

positivamente del precio esperado para el período corriente. Se supone que la oferta puede cambiar exógenamente por modificaciones en la productividad y en el precio de los factores de acuerdo con Os. La condición de equilibrio establece la igualdad entre oferta y demanda. La oferta agregada es la suma de la oferta realizada por los productores más la cantidad acumulada en forma de inventarios por los especuladores en el período anterior. La demanda es la suma de la demanda de consumo y la demanda por inventarios del período corriente. Asuma previsión perfecta.

(a) Muestre que el modelo se reduce a la ecuación en diferencias siguiente:

(

α β γ α

)

− α−

(

)

+2− ⋅ + + ⋅2 1⋅ +1+ = 1⋅ +1− +1

s s s s s

p p p O D

(b) Obtenga la solución general.

(c) Suponga ausencia de burbujas, y que la demanda y oferta exógena son constantes en todo el intervalo de tiempo. Encuentre una solución particular del problema.

(d) Estudie la estabilidad del sistema en el largo plazo.

Respuestas:

(b)

( )

( )

α− − − − +( )

(

)

α− − − − +( )

(

)

+ + + +

= =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −

0

1 1 1 1

1 1

1 1 2 0 2 1 1 1 2 1 1

2 1 2 1

T t

s t s t

t t

t s s s s

s t s t

p c T r c t r r O D r O D

r r r r

1 2 2 2

r r β γ

α +

+ = + > y r r1⋅ =2 1. Asumimos: r1 >1 y 0<r2 <1.

(c)

(

)

0 0

1 2 2

1

t t t t

I D O

p r

r α β γ

⋅ −

= + ⋅

Referencias

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