CDI ETS 17062016 Ordinario A y B

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

EXAMEN A TITULO DE SUFICIENCIA – CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL FECHA: VIERNES 17-06-2016, 9:00 – 11:00 hrs.

ACADEMIA DE MATEMATICAS

Instrucciones: 15 minutos de tolerancia. Duración 120 min. Presentar identificación OBLIGATORIO.

Apagar celular. En caso de usar celular se retira el examen. Calculadora NO GRAFICADORA

Formulario de la academia de matemáticas. Indique claramente sus resultados con los procedimientos correspondientes. Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos.

Alumno:_________________________________________________ Firma_________ Boleta:_____________________

A

Problema 1 (4 puntos) Para la función f x( )

(

)

= - . Determine:

a) Dominio. b) Rango. c) Simetría.

d) Intersecciones con los ejes coordenados (de existir).

e) Asíntotas: verticales, horizontal u/y oblicuas en caso de existir. f) Puntos críticos y de existir clasifíquelos (max. o min.).

g) Monotonía.

h) Puntos de inflexión de existir. i) Sentido de las concavidades. j) Gráfica.

Respuestas

(

)

( ) 1 x

f x x

x +

= -

 

 

3 2 3

2 3

6x 3x 3 6x 6

f x f x

x x

  

   

a) Dominio. ℝ − {0}

b) Rango.

c) Simetría. ASIMETRICA

d) Intersecciones con los ejes coordenados (de existir). ( 1,0)- y

(

)

.H. . . AV x

A No tiene A O No tiene

=

f) Puntos críticos y de existir clasifíquelos (max. o min.).

(

)

h) Puntos de inflexión de existir. ( 1, 0)-

A

Problema 2 (2 puntos) Un objeto inicia su movimiento en x = 0, y = 0, con x > 0, y > 0, siguiendo una trayectoria descrita por la curva:

𝑦 = −2𝑥

+ 20𝑥

Donde, tanto x como y son desplazamientos en km. Se considera constante a la velocidad de desplazamiento en la abscisa con un valor de 10km/hr.

a) Determinar la posición del objeto cuando la velocidad de desplazamiento de la ordenada es 160km/hr

b) Determinar la posición del objeto cuando la velocidad de desplazamiento de la ordenada es cero.

Respuesta:

𝑦 = −2𝑥

+ 20𝑥 →

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= −4𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡

+ 20

𝑑𝑥

𝑑𝑡

→

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= (−4𝑥 + 20)

𝑑𝑥

𝑑𝑡

a)

160 = (−4𝑥 + 20)(10) → 160/10 = −4𝑥 + 20 → 𝑥 =

20 − 16

4

=

4

4

= 1𝑘𝑚

→ 𝑦 = −2(1.0)

_{+ 20(1.0) = 18𝑘𝑚}

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= 160𝑘𝑚/ℎ𝑟 𝑒𝑛 𝑥 = 1𝑘𝑚, 𝑦 = 18𝑘𝑚

b)

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= (−4𝑥 + 20)

𝑑𝑥

𝑑𝑡

→ 0 = (−4𝑥 + 20)(10) → −4𝑥 + 20 = 0

→ 𝑥 = 5𝑘𝑚 → 𝑦 = −2(5)

+ 20(5) = 50𝑘𝑚

𝑑𝑦

A

Problema 3 (2 puntos) Resuelva la siguiente integral por partes

∫ 𝑠𝑒𝑐

𝑥 𝑑𝑥

GPL

Solución:

𝐼 = ∫(𝑠𝑒𝑐𝑥)(𝑠𝑒𝑐

𝑥)𝑑𝑥 → ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥 → 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐

𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛𝑥

𝐼 = 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛

𝑥𝑑𝑥 = 𝐼

+ 𝐼

𝐼

= − ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥(𝑠𝑒𝑐

𝑥 − 1)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑠𝑒𝑐

𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥 = −𝐼 + ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥

𝐼

= −𝐼 + 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥| + 𝐶

𝐼 = 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝐼 + 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥| + 𝐶

2𝐼 = 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥| + 𝐶

𝐼 =

1

A

Problema 4 (2 puntos) Resolver por sustitución trigonométrica:

∫

𝑑𝑧

𝑧

_{√1 − 𝑧}

RRL Respuesta:

𝑧 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑑𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 → √1 − 𝑧

_{= 𝑐𝑜𝑠𝜃}

𝐼(𝜃) = ∫

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

𝑠𝑒𝑛

_{𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃}

= ∫

𝑑𝜃

𝑠𝑒𝑛

_𝜃

= ∫ 𝑐𝑠𝑐

𝜃𝑑𝜃

∫ 𝑐𝑠𝑐

𝜃𝑑𝜃 =

1

2

(−𝑐𝑜𝑡𝜃𝑐𝑠𝑐𝜃 + 𝐿𝑛|𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝜃|) + 𝐶

𝑐𝑜𝑡𝜃 =

√1 − 𝑧

2

𝑧

→ 𝑐𝑠𝑐𝜃 =

1

𝑧

𝐼(𝑥) =

1

2

(−

√1 − 𝑧

𝑧

+ 𝐿𝑛 |

1 − √1 − 𝑧

A

Problema 5 (2 puntos) Resolver por el método de fracciones parciales:

∫

6𝑥

2

_{− 3𝑥 + 1}

4𝑥

_{+ 𝑥}

_{+ 4𝑥 + 1}

𝑑𝑥

Respuesta:

6𝑥

− 3𝑥 + 1

(4𝑥 + 1)(𝑥

_{+ 1)}

=

𝐴

4𝑥 + 1

+

𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥

_{+ 1}

6𝑥

_{− 3𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥}

_{+ 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(4𝑥 + 1)}

6𝑥

− 3𝑥 + 1 = (𝐴 + 4𝐵)𝑥

+ (𝐵 + 4𝐶)𝑥 + 𝐴 + 𝐶

𝐴 + 4𝐵 = 6 𝐵 + 4𝐶 = −3 𝐴 + 𝐶 = 1

𝐴 = 2,

𝐵 = 1,

𝐶 = −1

𝐼 = ∫ (

2

4𝑥 + 1

+

𝑥 − 1

𝑥

_{+ 1}

) 𝑑𝑥

𝐼 =

1

2

𝐿𝑛(4𝑥 + 1) +

1

2

𝐿𝑛(𝑥

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

EXAMEN EXTRAORDINARIO TURNO MATUTINO – CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL FECHA: MIERCOLES 08-06-2016, 11:30 – 13:30 hrs.

ACADEMIA DE MATEMATICAS

Instrucciones: 15 minutos de tolerancia. Duración 120 min. Presenta tu identificación. Apaga tu celular. Calculadora NO GRAFICADORA Formulario de la academia de matemáticas. Indique claramente sus resultados con los procedimientos correspondientes.

Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos.

Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________

B

Problema 1 (4 puntos) Para la función f x( )

₍

₎

+

= - . Determine:

a) Dominio. b) Rango. c) Simetría.

d) Intersecciones con los ejes coordenados (de existir).

e) Asíntotas: verticales, horizontal u/y oblicuas en caso de existir. f) Puntos críticos y de existir clasifíquelos (max. o min.).

g) Monotonía.

h) Puntos de inflexión de existir. i) Sentido de las concavidades. j) Gráfica.

Respuestas

(

)

( ) 2 x

f x x

x +

= -

 

 

3 2 3

2 3

4x 4x 16 4x 32

f x f x

x x

  

   

a) Dominio. ℝ - {0} b) Rango.

c) Simetría. ASIMETRICA

d) Intersecciones con los ejes coordenados (de existir). ( 2,0)- y

(

)

.H. . . AV x

A No tiene A O No tiene

=

f) Puntos críticos y de existir clasifíquelos (max. o min.).

(

)

h) Puntos de inflexión de existir. ( 2, 0)-

i) Sentido de las concavidades. (−∞, −2) 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎, (−2,0) 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎, (0, +∞) 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎

B

Problema 2 (2 puntos) Se construye una caja de base cuadrada sin tapa utilizando 500cm2 de cartón. a) Determinar las dimensiones de la caja para optimizar su volumen.

b) Determinar el volumen óptimo y comprobar que el área de cartón utilizado es de 500cm2.

Respuesta:

𝑆 = 500𝑐𝑚

= 𝑥

+ 4𝑥ℎ → ℎ =

500 − 𝑥

2

4𝑥

𝑉 = 𝑥

ℎ = 𝑥

500 − 𝑥

2

4𝑥

= 125𝑥 −

1

4

𝑥

3

𝑑𝑉

𝑑𝑥

= 125 −

3

4

𝑥

2

_{= 0}

→ 𝑥

=

4(125)

3

=

500

3

→ 𝑥 = √

500

3

= 12.91𝑐𝑚

→ ℎ =

500 −

500

3

4√

500

₃

= 6.455𝑐𝑚

a) La caja se construye con una base cuadrada de 12.91cm en cada lado y la altura de la caja es de 6.455cm

b) Con estas dimensiones el volumen de la caja es de 1075.8cm3

B

Problema 3 (2 puntos) Resuelva la siguiente integral por partes

∫ 𝑐𝑠𝑐

𝑥 𝑑𝑥

GPL

Solución:

𝐼 = ∫(𝑐𝑠𝑐𝑥)(𝑐𝑠𝑐

𝑥)𝑑𝑥 → ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

𝑢 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 → 𝑑𝑢 = −𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥 → 𝑑𝑣 = 𝑐𝑠𝑐

𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 = −𝑐𝑜𝑡𝑥

𝐼 = −𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥 − ∫ 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡

𝑥𝑑𝑥 = 𝐼

+ 𝐼

𝐼

= − ∫ 𝑐𝑠𝑐𝑥(𝑐𝑠𝑐

𝑥 − 1)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑐𝑠𝑐

𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑑𝑥 = −𝐼 + ∫ 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑑𝑥

𝐼

= −𝐼 + 𝐿𝑛|𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥| + 𝐶

𝐼 = −𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝐼 + 𝐿𝑛|𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥| + 𝐶

2𝐼 = −𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝐿𝑛|𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥| + 𝐶

𝐼 =

1

B

Problema 4 (2 puntos) Resolver por sustitución trigonométrica:

∫

𝑧

2

_𝑑𝑧

√𝑧

_{− 1}

RRL Respuesta:

𝑧 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 → 𝑑𝑧 = 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 → √𝑧

_{− 1 = 𝑡𝑎𝑛𝜃}

𝐼(𝜃) = ∫

𝑠𝑒𝑐

2

_{𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃}

𝑡𝑎𝑛𝜃

= ∫ 𝑠𝑒𝑐

3

_𝜃𝑑𝜃

∫ 𝑠𝑒𝑐

𝜃𝑑𝜃 =

1

2

(𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃|) + 𝐶

𝑡𝑎𝑛𝜃 =

√𝑧

2

_{− 1}

1

→ 𝑠𝑒𝑐𝜃 =

𝑧

1

𝐼(𝑥) =

1

B

Problema 5 (2 puntos) Resolver por el método de fracciones parciales:

∫

2𝑥

2

_{− 3𝑥 − 36}

2𝑥

_{− 𝑥}

_{+ 18𝑥 − 9}

𝑑𝑥

Respuesta:

2𝑥

− 3𝑥 − 36

(2𝑥 − 1)(𝑥

_{+ 9)}

=

𝐴

2𝑥 − 1

+

𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥

_{+ 9}

2𝑥

− 3𝑥 − 36 = 𝐴(𝑥

+ 9) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(2𝑥 − 1)

2𝑥

− 3𝑥 − 36 = (𝐴 + 2𝐵)𝑥

+ (−𝐵 + 2𝐶)𝑥 + 9𝐴 − 𝐶

𝐴 + 2𝐵 = 2 − 𝐵 + 2𝐶 = −3 9𝐴 − 𝐶 = −36

𝐴 = −4,

𝐵 = 3,

𝐶 = 0

𝐼 = ∫ (

−4

2𝑥 − 1

+

3𝑥

𝑥

_{+ 9}

) 𝑑𝑥 = −2 ∫

2𝑑𝑥

2𝑥 − 1

+

3

2

∫

2𝑥𝑑𝑥

𝑥

_{+ 9}

𝐼 = −2 ln(2𝑥 − 1) +

3

2

ln(𝑥