APUNTE BÁSICO DE MATRICES
DEFINICIÓN: Una matriz es un arreglo rectángular en filas y columnas de elementos de un cuerpo Š ‘Ð 9 ‚ÑÞEste conjunto lo denotaremos por `8‚7( )Š
Operaciones:
Si Eà F y G − `8‚7( ) , denotamos Š E œ Ò+ Ó34 8‚7 ;F œ Ò, Ó34 8‚7 y G œ Ò- Ó34 8‚7, entonces
I.- Adición:
E F œ Ò+ Ó34 8‚7 Ò, Ó34 8‚7 œ Ò+ , Ó34 34 8‚7 œ Ò- Ó34 8‚7 œ G
Teoremas.
1.- ÐE FÑ G œ E ÐF GÑ E=9-3+>3@3.+.
2.- E Ò!Ó œ Ò!Ó E œ E IB3=>/8-3+ R /?><9
3.- E E œ E E œ Ò!Ó IB3=>/8-3+ M8@/<=9
4.- E F œ F E G987?>+>3@3.+.
Obs: E œ Ò + Ó34
II.- Ponderación Si y - 0 −Š, entonces -E œ Ò+ Ó- 34 8‚7 œ Ò + Ó- 34 8‚7
Teoremas
.- 1 -ÐE FÑ œ E F-
2.- Ð ÑE œ E E- 0 - 0 3.- Ð- 0ÑE œ - 0( E)
4.- 1Aœ E
El conjunto de las matrices con las operaciones antes enunciadas forma un Campo Vectorial o Espacio Vectorial.
IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices y son iguales si y sólo si tienen igualE F
orden y sus elementos correspondientes u homólogos son iguales, esto es:
E œ F ×+ œ ,34 34 a 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞÞß 8 à 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞ7
H/<3@/ À T +<+ 38><9.?-3< 6+ 7+><3D E œ E À œ Ò"ß #ß $à $ß #ß "à #ß "ß $Ó
" # $
$ # "
# " $
Î Ñ
...Prof.: Jaime Reveco Martínez ... Ej. Dadas las matrices:
Encuentre una matriz , tal que
-E œ F œ G
" # $ # " &
$ # " ! " $
# " $ " % #
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
#G & F œ $E
MATRIZ CUADRADA: Es una matriz que tiene igual número de filas que columnas, es decir
E − `8‚8( ), esto es Š E œ Ò+ Ó34 8‚8 Diagonal principal: Está formada por los elementos +33
TIPOS DE MATRICES
MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada en que sus elementos son ceros con excepción de los elementos de la diagonal principal denotandose porß
HÐ. ß . ß ÞÞÞÞÞÞß . Ñ œ
. ! ÞÞÞÞ !
! . ÞÞÞÞ !
ÞÞÞÞ ÞÞÞÞ ÞÞÞÞ ÞÞÞÞ
! ! ÞÞÞÞ .
" # 8
"" ##
88
Î Ñ
Ð Ó
Ð Ó
Ï Ò
MATRIZ TRIÁNGULAR SUPERIOR: Elementos Bajo la Diagonal principal son ceros. MATRIZ TRIÁNGULAR INFERIOR: Elementos sobre la Diagonal principal son ceros. MATRIZ ESCALAR: Matriz Diagonal tal que . œ ->/Þ33
MATRIZ IDENTIDAD: Matriz Diagonal tal que . œ "33 , denotandose por M8
MATRIZ MINKOWSKY-LEONTIEF: Matriz cuadrada No negativa, que tiene por propiedad que las sumas de los elementos de cada columna son menores o iguales a 1, esto es:
Si E −`8‚8( ) es de Š MINKOWSKY-LEONTIEF, entonces "
3œ" 8
34
+ Ÿ " 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞÞÞß 8
MATRIZ DE MARKOFF o ESTOCÁSTICA: Si E −`8‚8( ) es de Š MARKOFF, entonces
"
3œ" 8
34
+ œ " 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞÞÞß 8
Una Matriz es doblemente Estocástica ssi: "
4œ" 8
34
+ œ " 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞÞÞß 8
TEOREMAS.
Sean las matrices Eà F − `8‚7( ) y Š - − Š, entonces
1.- ÐE Ñ œ E> >
2.- ÐE FÑ œ E F> > >
3.- Ð EÑ œ E- > - > 4.- ÐEFÑ œ F E> > >
MATRIZ SIMÉTRICA: La matriz Ees simétrica ==3 E œ E>
MATRIZ ANTISIMÉTRICA: La matriz Ees antisimétrica ==3 E œ E- >
Ejemplo de matriz simétrica y antisimétrica respectivamente.
E œ E œ
! " % ! " %
" $ & " $ &
% & # % & #
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
TEOREMAS.
Sea la matrices E − `8‚8( ), entoncesŠ 1.- es E E> simétrica
2.- E E>
Ej1.- Determine valores de las incognitas de tal forma que las matrices sean simétricas.
A - B
-œ œ
" B & D
B ( C
$ & !
"! 691 B
691 B ! %
% D "
Î Ñ
Ï Ò
Î Ñ
Ð Ó
Ï Ò
#
$
" C
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% $
$
#
-Cœ
-# # C *
!ß #& & $ D "
A ! !
* !ß ( =/8> '
Î Ñ
Ð Ó
Ð Ó
Ï Ò
B $
" )
-Ej2.- Sean las matrices:
- ; y
--1 4 - -
-E œ $ # #Î$ F œ G œ " # $
! % & '
"ß ' $
& %
!ß $ #
Œ ÎÏ ÑÒ Œ
...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...
a) E F> b) (F G Ñ> > c) #G F $E> >
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.
Sean las matrices E œ Ò+ Ó34 7‚8 y F œ Ò, Ó34 8‚:ß entonces
E F œ Ò+ Ó34 7‚8Ò, Ó34 8‚: œ Ò- Ó34 7‚: œ G, de donde
- œ34 + , à 3 œ "ß #ß ÞÞÞÞÞß 7 à 4 œ "ß #ß ÞÞÞÞÞß :ß
5œ" 8
35 54
! desarrollando la sumatoria, tenemos:
- œ + , + , + , ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + ,34 3" "4 3# #4 3$ $4 38 84
TEOREMAS
1.- ŠÒ+ Ó34 7‚8Ò, Ó34 8‚:‹Ò- Ó34 :‚; œ Ò+ Ó34 7‚8ŠÒ, Ó34 8‚:Ò- Ó34 :‚;‹
2.- Ò+ Ó34 7‚8ŠÒ, Ó34 8‚: Ò- Ó34 8‚:‹œ Ò+ Ó34 7‚8Ò, Ó34 8‚: Ò+ Ó34 7‚8Ò- Ó34 8‚:
3.- Si E −`8‚8, entonces EM œ ME œ E
Ej. 1.- Si E œ " # , encuentre:
$ '
Œ
a) Una matriz Fde orden dos tq EF œ Ò!Ó. ¿La solución es única?. b) Una matriz Fde orden dos tq EF œ M. ¿La solución es única?.
2.- Sean las matrices:
A B C
-
--
-œ œ C œ
$ " # $ " !
" ! " # ! &
! # $ # " $
# ! # # ! #
# " $ #
$ " ! #
# ! # !
Î Ñ Î Ñ
Ð Ó Ð Ó
Ð Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
Î Ñ
Ï Ò
Encuentre: a) B ( AC ) b) ( 2A ) B
3.- Si Aœ " " y b œ "" Resuelva i) A B œb ii) A B œb
$ ! '
Œ Œ #
iii) A$B œb
4.- Si A B Encuentre una matriz C tal que C A B C
- -3
-œ # " C œ % # œ
! " &
Œ Œ
5.- Encuentre una matriz Etal que:
-1
6.- Si E œ " ! calcule E Þ " "
Œ "!
OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE FILAS 1.- Intercambio de Fila por Fila 3 4 À J3
Ó
J4 "Intercambio"2.- Multiplicación de Fila por el escalar 3 - Á0: J3
Ò
-J3 "Escalamiento"3.- Cambiar Fila por Fila aumentada en veces la Fila 3 3 - 4 À J3
Ò
J J3 - 4 "Eliminación"MATRIZ ELEMENTAL: Es toda matriz que se obtiene al realizar sólo una operación elemental sobre la matriz identidad.
MATRICES EQUIVALENTES: La matriz Ees equivalente a la matriz Fß si Fse obtiene a partir de Emediante un número determinado de operaciones elementales denotandose ß E
µ
FMATRIZ ESCALONADA: Es una matriz en que el primer elemento de cada fila No nulo (Pivote), se ubica a la derecha del elemento No nulo de fila anterior, con excepción de la primera.
Ejemplo
Î Ñ
Ð Ó
Ð Ó
Ï Ò
# $ ! % "
! ! % & !
! ! ! $ !
! ! ! ! !
Si los Pivotes son iguales a 1 y el resto de los elementos de la columna son ceros la matriz se denomina Reducida o escalonada reducida
Ejemplo Reducir la matrizE œ
! $ ' % $ &
" $ "! % % #
% * $% ! " #"
# ' #! # ) )
Î Ñ
Ð Ó
Ð Ó
Ï Ò
H/<3@/ À M81</=+< E À œ ÒJ "à J #à J $à J %Ó À ROW_REDUCE(A)
Para realizar pivoteo paso a paso usar H/<3@/ À :3@9>ÐEß 3ß 4Ñ
RANGO DE UNA MATRIZ: Está dado por el número de pivotes de una matriz escalonada 3ÐEÑ.
H/<3@/ À VER OÐEÑ
...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...
A tenga rango 2.
--
-œ
$ # % B
% " " C
( "# ## D
Î Ñ
Ï Ò
MATRIZ INVERSA
Se dice que E − `8‚8 tiene inversa o es invertible (No singular), si b F −`8‚8, tal que EF œ M œ FE8
La matriz inversa de Ese denota por E"
Ej Encuentre matriz inversa (si existe) de la siguientes matrices
a) Î Ñ b)
Ï Ò
" ! #
# " $
% " )
Î Ñ
Ð ÓÐ Ó
Ð ÓÐ Ó
Ï Ò
Î Ñ
Ð Ó
Ð Ó
Ï Ò
! " $ #
! % $
! ! # "
! & $ %
% " " ! "
" % ! " #
" ! % " $
! " " % %
" # $ % &
--1
c)
H/<3@/ À E"
TEOREMAS
1.- Sean y E F − `8‚8 invertibles, entonces EFes invertible y ÐEFÑ" œ F E" "
2.- Si E −`8‚8 tiene una fila o columna nula, entonces Eno tiene inversa, es decir es Singular.
3.- Si E − `8‚8 es invertible, entonces 3ÐEÑ œ 8Þ
4.- Si una fila es combinación lineal de dos filas la matriz es Singular, esto es
J œ +J ,J3 4 5
Obs.: Sea E − `8‚8 invertible. Para hallar E" usando operaciones elementales formar la matriz ampliada ÒE MÓã y realizar Operaciones Elementales hasta encontrar la ampliada ÒM FÓßã
siendo F œ E"
Ej Encuentre matricez inversas de:
a)Î Ñ b)
Ï Ò
" # $
# $ %
$ % &
c)
- - -
-10 12 14 16
-Î Ñ Î Ñ
Ð Ó Ð Ó
Ð Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
" # $ % " ! # "
* "! "" "# & ' ( "
"$ "% "& "' # # % #
$ % & "
5.- Sea E −`8‚8 invertible, por tanto es reducible a la matriz Identidad mediante una sucesión de operaciones elementales: / ß / ß ÞÞÞÞÞÞÞß /" # 8a las cuales les corresponden las matrices Elementales I ß I ß I ß ÞÞÞÞÞÞÞÞß I" # $ 8, entonces la matriz inversa de Eß es:
E" œ I † I † I † † † † † I † M" # $ 8
DETERMINANTES Def.:
El Determinante de una matriz E − `8‚8, es una función que le asocia a una matriz , unE
elemento del cuerpo , denotandose por Š ./>ÐEÑ œ E¸ ¸ y está dado por: para algún , o
¸ ¸E œ!Ð "Ñ + ¸Q ¸ 3
4œ" 8
34
34 34
¸ ¸E œ!Ð "Ñ + ¸Q ¸ para algún 4 3œ"
8
34
34 34
donde ¸Q34¸ es el determinante de la matriz que obtiene eliminando de la matriz , la fila yE
columna correspondientes.
El producto Ð "Ñ34 ¸Q34¸ se denomina Cofactor de +34 denotandose por E34 y ÒE Ó34 se conoce como Matriz de los cofactoresÞ
TEOREMAS
1.- Si el determinante de la matriz es distinto de cero, existe E E Þ"
2.- aE −`8‚8 À E œ E¸ ¸ ¸ ¸>
3.- Si se multiplican todos los elementos de una línea o fila por el N° - Á ß0 el valor del determinante queda multiplicado por .
-4.- Si se intercambian dos filas el determinante cambia de signo. 5.- Si (A)3 ÁOrden(A), entonces ¸ ¸E œ !
6.- Si los elementos de una fila o columna son ceros, el determinante es cero. 7.- Si una fila es combinación lineal de una o más filas, el determinante es cero.
8.- Si se suma un múltiplo de una fila (columna) a otra fila, el determinante no cambia J3
Ò
J J3 - 49.- Si todo elemento en cualquiera fila de un determinante es la suma de otros dos, entonces el determinante es igual a la suma de otros dos. Ej
â â â â â â
â â â â â â
â â â â â â
â â â â â â
â â â â â â
â â â â â â
+ + + + + + + + +
, , , , , , , , ,
- . - . - . - - - . . .
œ
" # $ " # $ " # $
" # $ " # $ " # $
" # # # $ $ " # $ # # $
...Prof.: Jaime Reveco Martínez ... 11.- Sean y E F −`8‚8ß entonces ¸EF œ E F¸ ¸ ¸¸ ¸
Ejemplo Calcular determinante de la matriz E œ
" " "
+ ,
-+ ,
-Î Ñ
Ï # # #Ò
Sol. ¸ ¸ ¸ ¸
â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â
E œ J È J +J E œ
" " " " " "
+ , - ! , + - +
+# ,# -# +# ,# -#
# # "
J È J + J E œ 4 œ "
" " "
! , + - +
! , + - +
$ $ # "
# # # # ¸ ¸ â â â â â â â â â â
â â usando la definición con
tenemos: ¸ ¸ !E œ Ð "Ñ + Q 3œ"
$
3"
3" 3"
œ " , + - + "+ " " +
, + - + , + - +
" "
, + - +
º # # # #º #"º # # # #º $"º º
como nos +#" œ +$" œ !ß queda:
¸ ¸ â â â â â â â â â â â â º º
E œ œ œ Ð, +ÑÐ- + Ñ Ð- +ÑÐ, + Ñ
" " "
+ , -+ , -, + - + , + - + # # # # # # # # # # # ¸ ¸ â â â â â â â â â â â â
E œ œ Ð, +ÑÐ- +ÑÐ- +Ñ Ð- +ÑÐ, +ÑÐ, +Ñ
" " "
+ , -+# ,# -# ¸ ¸ â â â â â â â â â â â â
E œ œ Ð, +ÑÐ- +ÑÐ- + Ð, +ÑÑ œ Ð, +ÑÐ- +ÑÐ- ,Ñ
" " "
+ ,
-+# ,# -#
Si hubiesemos continuado con operaciones elementales
¸ ¸ ¸ ¸ â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â
E œ J È J E œ Ð, +Ñ
" " "
! , + - +
! , + - +
" , +
" " "
! " ! , + - + # # # # # # -+ ,+ # # # #
J È J Ð, + ÑJ E œ Ð, +Ñ
" " "
J È J "J E œ Ð, +Ñ œ Ð, +Ñ " ! ! " ! ! Ð- +ÑÐ- ,Ñ " ! Ð- +ÑÐ- ,Ñ
" " #
,-,+ -+ ,+ -+ ,+ ¸ ¸ â â â â â â â â â â â â º º
¾ E œ œ Ð, +ÑÐ- ,ÑÐ- +ÑÞ
" " "
+ , -+ , ¸ ¸ â â â â â â â â â â â # # #â Def.:
Se denomina matriz Adjunta de la matrizEa la matriz traspuesta de los cofactores
Si existe E , se cumple que E œ " ÒE Ó œ " ÒE Ó
E E
" " >
34 43
¸ ¸ ¸ ¸
Ej 1.- Calcule los determinantes de las siguientes matrices
a) b) c)
- - - -2 2 2 Î Ñ Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò Ï Ò Î Ñ Ï Ò
" # $ % " ! # "
"! "# "% "' $ % & "
* "! "" "# & ' ( "
"$ "% "& "' # # % #
+ ,
-, +
-- + ,
d) e)
Î Ñ Î Ñ
Ð Ó Ð Ó
Ð Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
" # $ %
# $ % & " + # $ %
$ % & '
% & ' (
+ " # $ %
" # + $ %
" # $ + %
# # # # # # # # $ # # # # # # # Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ï Ò + + + + + , , , + , - -+ , - . f)
g) h) i)
- -- -- -Î Ñ Î Ñ Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò Ï Ò Ï Ò
# ! $ " # ! ! ( # $ " %
! " % # " # " % ! # ! !
! ! " & $ ! " & $ ( " #
" # $ ! % # $ ! % " $ )
j) k) m)
-Î Ñ Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò Ï Ò Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ï Ò ! + ! ! + , ! ! , ! ! ! - . ! ! ! ! ! - ! ! + , ! ! . ! ! ! - . + ! ! ! ! ! ! , ! ! ! ! ! ! -! ! ! . ! ! / ! ! !
n)Î Ñ
Ï Ò
-9=ÐB Ñ -9=ÐB Ñ -9=ÐB Ñ
=/8ÐB Ñ =/8ÐB Ñ =/8ÐB Ñ
=/8Ð Ñ =/8Ð Ñ =/8Ð Ñ
! " 9
! " 9
...Prof.: Jaime Reveco Martínez ... 2.- Sea la matriz
A ¿Existe tal que A 0?.
-œ + − œ
+ + " + "
" # $
# + + $ + (
Î Ñ
Ï Ò ‘ ¸ ¸
3.- Demuestre
i) det ii) det
-Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ï Ò Î Ñ Ï Ò
" + + !
! " + +
+ ! " +
+ + ! "
œ " + + œ Ð+ , -Ñ
+ , - #+ #+ #, , - + #, #- #- - + , # # # # % ) $ 4.- Resuelva
a) b)
â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â
" " " "
" B B B
$ B # #B " $B
$ #B " B #B $B
œ ! œ !
+ B - ,
- , B +
, + - B
# $
# #
c) d) e)
â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â
B + , B
+ B B ,
, B B +
B , + B
œ ! œ ! œ !
+ + B " ! !
B B B ! # "
, B , ! # "
f) g)
â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â
# ! ! B ! # B " " !
" $ ! ! B $ " # B ( !
! " " # ! B ' $ ! B #
œ ! œ
-SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Dado el sistema de 7ecuaciones con incognitas:8
+ B + B + B ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B œ , + B + B + B ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B œ , + B + B + B ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B œ , "" " "# # "$ $ "8 8 "
#" " ## # #$ $ #8 8 #
$" " $# # $$ $ $8 8 $
7" " 7# # 7$ $ 78 8 7
ã ã ã ã ã
+ B + B + B ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B œ ,
Def.:
1.- El sistema se dice Homogéneo si a3 À , œ !3
Este sistema siempre tiene solución, siendo la Trivial: B œ ! a33
3.- El sistema se dice Inconsistente (incompatible) si no tiene solución.
4.- El sistema se dice Consistente (compatible) si tiene solución. En forma matricial el sistema de ecuaciones se expresa como:
Î ÑÎ Ñ Î Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ï ÒÏ Ò
+ + + ÞÞÞ ÞÞÞ + B
+ + + ÞÞÞ ÞÞÞ + B
+ + + ÞÞÞ ÞÞÞ + B
+ + + ÞÞÞ ÞÞÞ + B
œ
"" "# "$ "8 "
#" ## #$ #8 #
$" $# $$ $8 $
7" 7# 7$ 78 8
ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò Ñ , , , , " # $ 7 ã ã
Donde F œ se denomina Matriz de términos libres.
, , , , Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò " # $ 7 ã ã
\ œ se denomina matriz Incógnita
B B B B Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò " # $ 8 ã ã
E œ se denomina Matriz D
+ + + ÞÞÞ ÞÞÞ + + + + ÞÞÞ ÞÞÞ + + + + ÞÞÞ ÞÞÞ + + + + ÞÞÞ ÞÞÞ + Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò
"" "# "$ "8
#" ## #$ #8
$" $# $$ $8
7" 7# 7$ 78
ã ã ã ã ã ã
ã ã ã ã ã ã
e los Coeficientes
De lo anterior se desprende que el sistema se puede denotar como: E \ œ F
Definición
...Prof.: Jaime Reveco Martínez ... -Þ= œ Ð- ß ÞÞÞÞÞÞÞß - Ñ − dÎE œ F
-œ
Î Ñ
Ð Ó
Ð Ó
Ð Ó
Ð Ó
Ð Ó
Ð Ó
Ï Ò
" 8
"
# $
8 ã ã
Teorema
Sean E\ œ F • E \ œ F w w dos sistemas de ecuaciones. Diremos que
E\ œ Fes equivalente con E \ œ Fw w,si y sólo si, (E À F µ ÐE À F ÑÞ) w w En tal caso el
conjunto solución de E \ œ Fw w será el conjunto solución de E\ œ FÞ
Teorema de Rouche
Sea E\ un sistema de ecuaciones lineales con 7ecuaciones lineales y 8
incógnitas. Entonces:
a) EB œ F tiene solución, si y sólo si: rangÐEÑ œrangÐE À FÑ 9 ÐEÑ œ ÐE À FÑ3 3
b) Si rang( )E œrangÐE À FÑ œ 8, entonces la solución del sistema es única.
c) Si rang( )E œ rangÐE À FÑ œ < 8, entonces el sistema tiene infinitas soluciones y de<
las incógnitas se pueden expresar en función de las 8 < incógnitas restantes, llamadas variables libres.
d) La dimensión del espacio solución es 8 < .
Ej.
1.- Encontrar conjunto solución de los siguientes sistemas y de los sistemas homogéneos asociados
a) B #C $D %> œ & b)
$B C &D &> œ "
B C œ " C D œ # B D œ &
c) - d)
B $C #D &A œ "! $B #C &D %A œ & #B C D &A œ &
#B C D œ ! #C D œ "
&B #C $D œ "
-e) - f)
#B C &D A œ & B C $D %A œ " $B 'C #D A œ ) #B #C #D $A œ #
B D œ #
#B C D œ "
g) h)
--
-B D A œ & B C D A > œ "
B D A œ " B #C D A > œ !
B C D A œ ) B C D œ $
#B #D œ # #B #C #D #A > œ $
Además encuentre la matriz inversa de la matriz de los coeficientes. 2.- Determine el valor de (si ) de modo que el sistema tenga solución única.5 b
a) b)
B C D œ $ B C D œ "
5B C #D œ & #B $C 5D œ $
B #C D œ % B 5C $D œ #
c) e)
5B C D œ " #B 5C D œ " B C 5D œ "
B #C 5D œ " #B 5C )5 œ $
3.- El Ministerio de Transporte en un estudio realizado sobre cuatro puntos A, B, C y D de un cuadrante, detectó los siguientes flujos vehiculares. Al punto A ingresan 400 vehículos de otros lugares de la ciudad e ingresan vehículos provenientes del punto D. Al punto B ingresan vehículos provenientes del punto A y D, y salen vehículos al punto C y 600 se dirigen a otros puntos. Al punto C ingresan vehículos desde D y salen a otros puntos 100 vehículos. Si al punto D ingresan 300 vehículos provenientes de otros puntos de la ciudad. Encuentre todas las soluciones posibles al problema del flujo vehicular. Si del punto A al punto B circulan 550 vehículos y de B a C 50. Determine todos los flujos vehículares.
PRODUCTO ESCALAR
Def. Producto Escalar o Punto.
Sean los vectores y ? @ −‘8 À tal que ? œ Ð? ß ? ß ? ß ÞÞÞÞÞÞÞß ? Ñ" # $ 8 y
@ œ Ð@ ß @ ß @ ß ÞÞÞÞÞÞÞß @ Ñß" # $ 8 entonces el producto escalar (punto) entre los vectores ? y es el@
número:
? † @ œ ? @ ? @ ? @ ÞÞÞÞÞÞÞÞÞ ? @" " # # $ $ 8 8
Ej. Sean los vectores ? œ Ð "ß #ß $ß !Ñ à @ œ Ð #ß !ß #ß !ß Ñ; A œ Ð #ß !ß #ß "Ñ
...Prof.: Jaime Reveco Martínez ... Solución
? † @ œ Ð "Ñ † Ð #Ñ # † ! $ † # ! † ! œ ) œ @ † ?
? † A œ Ð "Ñ † Ð #Ñ # † ! $ † Ð #Ñ ! † " œ % œ A † ? @ † A œ Ð #Ñ † Ð #Ñ ! † ! # † Ð #Ñ ! † " œ ! œ A † @
Del ejemplo podemos concluir:
1.- El producto punto es conmutativo. 2.- El producto punto da un real.
3.- Si el producto punto es cero diremos que los vectores son ortogonales.
Ej. Sean los vectores ? œ Ð&ß #ß $Ñ- y @ œ Ð+ß #ß "ÑÞ Determine, el valor de + Ð b Ñsi tal que: i) y sean ortogonales ii) y sean paralelos iii) y formen un ángulo de ? @ ? @ ? @ 1$Þ
NORMA DE UN VECTOR:
La Norma, Longitud o Magnitud de un vector ? œ Ð? ß ? ß ? ß ÞÞÞÞÞÞÞß ? Ñ" # $ 8 , es:
¸¸ ¸¸? œÉ? ? ? ÞÞÞÞÞÞÞ ?# # # # por tanto ¸¸ ¸¸? 0, Además
" # $ 8
¸¸ ¸¸ È? œ ? † ?
La distancia (euclidiana) entre ? y se define como @ . œ ¸¸? @ Þ¸¸
Ej: Determine norma de vector del ejemplo anterior, además determine la distancia entre A ? Ay
Solución La Norma de esA À
¸¸ ¸¸ ÈA œ ÐÐ #Ñ ! Ð #Ñ " Ñ œ# # # # È* œ $
Ej1 ¿Qué figura se forma al unir los puntos (2,4,5); (3,-5,-4) y ( -7,2,-1) con trazos rectos?. Realice una clasificación completa.
La distancia entre y es? @
. œ ¸¸? @ œ¸¸ ¸¸Ð"ß #ß "ß !Ñ œ¸¸ È'
Observe que la norma de un producto escalar, -?ß es
¸¸ ¸¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸¸-? = - ?
Por que È- œ - Þ# ¸ ¸ Por ejemplo
Teo.
Sean ?ß @ y A vectores y un escalar, entonces5
1.- ? † @ œ @ † ?
2.- ? † Ð@ AÑ œ ? † @ ? † A
3.- 5Ð? † @Ñ œ Ð5?Ñ † @ œ ? † Ð5@Ñ
4.- ¸¸? @¸¸# œ ¸¸ ¸¸? # ¸¸ ¸¸@ # #? † @
5.- ¸? † @ Ÿ¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸? @ "Desigualdad de Cauchy-Schwarz" 6.- ¸¸? @ Ÿ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸? @
Sean ? y dos vectores y el ángulo entre ellos, entonces el producto punto se puede@ ) expresar como: ? † @ œ ?¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸@ -9=)
Ej Determine el ángulo entre los vertores Ð"ß "ß "ß "Ñ y Ð!ß !ß "ß !Ñ
Sol. Ð"ß "ß "ß "Ñ † Ð!ß !ß "ß !Ñ œ È" Ð "Ñ Ð "Ñ "# # # #È" -9=# )
" œ # -9= Ê -9= œ " Ê œ +<-9-9= " Ê œ "#!
# #
) ) ) ) °
Ej.
1.- Determine el producto escalar entre los vectores de la base canónica de ‘8y encuentre el ángulo entre dos vectores de la base.
2.- Dado el vector ? œ Ð#ß $ß &ÑÞ- Determine el ángulo que forma el vector con cada eje de ‘$Þ
3.- Encuentre un vector de norma 1 con igual dirección que el vector @ œ Ð#ß $ (ÑÞ- ,
4.- Sea -5 ? œ Ð$ß ß "Ñ y @ œ Ð#ß 'ß %ÑÞEncuentre A œ ? ?†@ @Þ¿Qué ángulo forma Acon
@
¼ ¼# los vectores ? y ?.@
5.- Sean los puntos P(2,1,4) y Q(3,-2,8). Encuentre un vector de norma 1 en la dirección de ⎯→
P Q Þ
6.- La Proyección de sobre , está dada por: proy? @ @? œ ?†@# @ÞDetermine proyección para
@
¼ ¼
i) ? œ Ð#ß $ß "Ñy @ œ Ð"ß #ß 'Ñ- ii) ? œ Ð"ß (ß $Ñ- y @ œ Ð$ß %ß &Ñ
...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...
Sean los vectores ? œ Ð? ß ? ß ? Ñ" # $ y @ œ Ð@ ß @ ß @ ÑÞ" # $ El producto cruz entre ? y , de@
define como: ? ‚ @ œ ?3 ?4 ?5 œ 3 4 5
@ @ @
? ? ? ?
@ @ @ @ @ @
? ?
â â
â â
â â
â â
â â
â â
â â º º º º º º
• • •
• • •
" # $ " # $
# $ " $
# $ " $ " #
" #
Teo. Sean los vectores ?ß @y A − ‘$ y 5 −‘, entonces 1.- ? ‚ @ œ @ ‚ ?
2.- ? ‚ Ð@ AÑ œ ? ‚ @ ? ‚ A
3.- 5Ð ? ‚ @Ñ œ Ð5 ?Ñ ‚ @ œ ? ‚ Ð5@Ñ
4.- ! ‚ ? œ ? ‚ ! œ ! 5.- ? ‚ ? œ !
6.- ? ‚ Ð@ ‚ AÑ œ Ð? † AÑ@ Ð? † @ÑA
7.- ? † Ð @ ‚ AÑ œ
? ? ?
@ @ @
A A A
â â
â â
â â
â â
â â
â â
" # $ " # $ " # $
Sean ? y dos vectores y el ángulo entre ellos, entonces el producto cruz se puede@ ) expresar como: ? ‚ @ œ ?¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸@ =/8) - œ A• , donde es perpendicular al vector A ? y al vector .@
Ej Encuentre un vector →Aß ortogonal a →@ œ Ð"ß #ß "Ñ- y a →? œ Ð "ß !ß $ÑÞ-
-Aplicaciones
I.- El área del paralelogramo de aristas ? y @ ß queda definido por:
θ
v v
u×
θ
sen u u
Ej
1.- Encuentre el producto cruz ? ‚ @:
a) ? œ 3 4 5 @ œ 3 4 52• 3• • ; • 2• • b) ? œ 3•3 4 @ œ 3 57 ; • • •
c) ? œ 3 4 5 @ œ 3 4 5• 7 • 3 ; • -• 7• 3 d) • ? œ 3 4 5 @ œa• a• a ; • b •3 4 5b• b•
e) ? œ 3 4 5 @ œ 3 2• 5• 9 ; • • -5•4 5• f) ) ? œ 3 4 5 @ œ 34 • 7• • ; •
2.- Encuentre dos vectores unitarios ortogonales tanto a ? œ 3 42• 3 como a • @ œ 4 5Þ4• 3•
3.- Comprobar que los puntos son vértices de un paralelogramo y calcular su área: a) (1,1,1); (2,3,4); (6,5,2); (7,7,5). b) (2,-1,1); (5,1,4); (0,1,1); (3,3,4).
4.- Calcular el área del triángulo cuyos vértices se especifican.
a) (0,0,0); (1,2,3); (-3,0,1). b) (2,-3,4); (0,1,2); (-1,2,0).
II.- El volumen del paralelepípedo de aristas ?ß @ y Aß está definido por:
...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...
w
v θ
u
w v×
w v×
Ej.
1.- Calcular el volumen del paralelepípedo de aristas dadas:
a) (3,0,0), (0,5,1), (3,5,1). b) (1,-2,3), (2,0,-5) y (0,4,-1)
APLICACIONES DE TRANSFORMACIONES
Def.: Sea Euna matriz de orden 7 ‚ 8. Una Transformación afinX: ‘ Ò ‘8 7 tiene la forma:
X Ð\Ñ œ E\ ,
para algún vector fijo de dimensión , 7ÞEsta Transformación en No lineal si , Á !, es decir X Ð!Ñ Á !Þ En el caso especial que 7 œ 8 y sea la matriz indentidad , entoncesE M8
X Ð\Ñ œ M \ , œ \ ,8
Esta transformación se denomina Traslación por , esto es: una figura la desplaza,
) 2 , 1
(− (3,2)
) 4 , 2 (
x y
S S’
Esta muestra la imagen S' del cuadrado S después de la traslación por Ð#ß "Ñ
Una Transformación afin es una transformación lineal seguida de una traslación, ver figura
T (P )
S ’
S P
b
Este gráfico muestra la imagen S' del cuadrado S bajo la trasformación afin
X Ð\Ñ œ \ -#
!
Î Ñ
Ï Ò Œ
È È
È È
# #
# #
# #
# #
consiste en una rotación de 45° seguido de una traslación por (-2,0).
X
PROYECCIÓN ORTOGONAL
Dado un vector ? −‘8 siempre es posible expresarlo como suma de dos vectores ortogonales, proy@? y ? Þ: Esto es ? œ proy@? ? :
...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...
u
v
u
proyv
p
u
Si determinamos ? † @. Obtenemos
? † @ œ Ðproy@? ? Ñ † @ œ : proy@? † @ ? † @ œ : proy@? † @
como proy@? œ @ß Ð- -es la longitud de la proyección),entonces
? † @ œ Ð @Ñ † @ œ Ð@ † @Ñ œ ? † @ @ † @
- - Ö
proy
¾
@? œ @ œ @? † @ @ † @
-? œ -? ? † @@
@ † @
:
Base Ortogonal
Una base es ortogonal si cualquier vector de la base es ortogonal a todos los restantes vectores de la base.
Base Ortonormal
Una base es ortonormal si es ortogonal y cada vector de la base tiene norma 1.
Ej Encuentre una base para el subespacio generado por los vectores Ð"ß "ß "Ñ y Ð"ß "ß !Ñß de modo que los vectores sean ortogonales.
Sol. Sean ? œ Ð"ß "ß "Ñ y @ œ Ð"ß "ß !Ñß entonces
proy@? œ Ð"ß "ß "Ñ † Ð"ß "ß !ÑÐ"ß "ß !Ñ œ #Ð"ß "ß !Ñ œ Ð"ß "ß !Ñ y
Ð"ß "ß !Ñ † Ð"ß "ß !Ñ #
Expresión general del producto escalar
Sean y ? @ −‘8y F œ Ö? ß ? ß ÞÞÞÞÞÞß ? ×" # 8 una base de ‘8, entonces los vectores referidos a la base quedan definidos por:
? œ!"? " !#? # !$? ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ $ !8?8
entonces@ œ ""? " "#? # "$? ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ $ "8? ß8
? † @ œ Ð ? !" " !#? ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ # !8? Ñ † Ð ? 8 "" " "#? ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ # "8? Ñ8
Por tanto
? † @ œ ! "" "Ð? † ? Ñ " " ! "" #Ð? † ? Ñ ÞÞÞÞÞÞ " # ! "" 8Ð? † ? Ñ " 8 ! "# "Ð? † ? Ñ # " ! "# #Ð? † ? Ñ ÞÞÞÞÞÞ # # ! "# 8Ð? † ? Ñ # 8
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ
! "8 "Ð? † ? Ñ 8 " ! "8 #Ð? † ? Ñ ÞÞÞÞÞÞÞÞ 8 # ! "8 8Ð? † ? Ñ8 8
Ej Para ejemplo anterior ? œ Ð"ß "ß "Ñ y @ œ Ð"ß "ß !Ñ, entonces ? † @ œ Ð"ß "ß "Ñ † Ð"ß "ß !Ñ œ #
Expresando los vectores en función de la base ortogonal encontrada, tenemos:
? œ!"Ð"ß "ß !Ñ !#Ð!ß !ß "Ñ Ê!" œ " • !# œ "
por lo tanto
@ œ ""Ð"ß "ß !Ñ "#Ð!ß !ß "Ñ Ê "" œ " • "# œ !
? † @ œ Ð"Ð"ß "ß !Ñ "Ð!ß !ß "ÑÑ † Ð"Ð"ß "ß !Ñ !Ð!ß !ß "ÑÑ œ #
S,=Þ I6 :<9.?->9 :?8>9 /= ?8+ 38@+<3+8>/ /8 ‘8
Ej Encuentre una base ortogonal a los siguientes subespacios.
a) ÖÐ"ß #ß $Ñà Ð$ß #ß "Ñ×
b) ÖÐ"ß #Ñà Ð"ß #Ñ×
c) W œ ÖÐBß Cß DÑ −‘$ÎB C D œ B #C $D œ !×
d) Y œ ÖÐBß #Cß B #Cß CÑ À B C −e ‘×
e) 5/<ÐX ÑSi X ÐBß Cß Dß AÑ œ B C D A
A D B C
Œ
Normalice las bases anteriores.
...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...
Sea Z p ‘8 y " œ Ö@ ß @ ß @ ß ÞÞÞÞÞÞÞÞß @ ×" # $ 8 una base deZ, entonces existe una base ortogonal "'œ Ö? ß ? ß ? ß ÞÞÞÞß ? ×y una base ortonormal"'' œ Ö ? ß ? ß ? ß ÞÞÞß ? ×
m? m m? m m? m m? m
" # $ 8
" # $ 8
" # $ 8
de donde: ? œ @" "
? œ @ @ † ? ?
? † ?
# # "
# "
" "
? œ @ @ † ? ? @ † ? ?
? † ? ? † ?
$ $ " #
$ " $ #
" " # #
À À
? œ @ @ † ? ? @ † ? ? ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ @ † ? ?
? † ? ? † ? ? † ?
8 8 " # 8"
8 " 8 # 8 8"
" " # # 8" 8"
Ej Encuentre una base ortogonal y una normal
a) -ÖÐ"ß "ß "Ñà Ð #ß $ß "Ñà Ð"ß #ß %Ñ×- b) ÖÐ#ß "ß "Ñà Ð!ß $ß "Ñà Ð"ß #ß !Ñ×-
c) ¼7( T )À X ÐBß Cß DÑ œ ÐB C Dß C Dß DÑ