APUNTE BÁSICO DE MATRICES DEFINICIÓN: Una matriz es un arreglo rectángular en filas y columnas de elementos de un

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(1)

APUNTE BÁSICO DE MATRICES

DEFINICIÓN: Una matriz es un arreglo rectángular en filas y columnas de elementos de un cuerpo Š ‘Ð 9 ‚ÑÞEste conjunto lo denotaremos por `8‚7( )Š

Operaciones:

Si Eà F y G − `8‚7( ) , denotamos Š E œ Ò+ Ó34 8‚7 ;F œ Ò, Ó34 8‚7 y G œ Ò- Ó34 8‚7, entonces

I.- Adición:

E  F œ Ò+ Ó34 8‚7  Ò, Ó34 8‚7 œ Ò+  , Ó34 34 8‚7 œ Ò- Ó34 8‚7 œ G

Teoremas.

1.- ÐE  FÑ  G œ E  ÐF  GÑ E=9-3+>3@3.+.

2.- E  Ò!Ó œ Ò!Ó  E œ E IB3=>/8-3+ R /?><9

3.- E  E œ E  E œ Ò!Ó  IB3=>/8-3+ M8@/<=9

4.- E  F œ F  E G987?>+>3@3.+.

Obs: E œ Ò  + Ó34

II.- Ponderación Si y - 0 −Š, entonces -E œ Ò+ Ó- 34 8‚7 œ Ò + Ó- 34 8‚7

Teoremas

.- 1 -ÐE  FÑ œ E  F-

2.- Ð  ÑE œ E  E- 0 - 0 3.- Ð- 0ÑE œ - 0( E)

4.- 1Aœ E

El conjunto de las matrices con las operaciones antes enunciadas forma un Campo Vectorial o Espacio Vectorial.

IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices y son iguales si y sólo si tienen igualE F

orden y sus elementos correspondientes u homólogos son iguales, esto es:

E œ F ×+ œ ,34 34 a 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞÞß 8 à 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞ7

H/<3@/ À T +<+ 38><9.?-3< 6+ 7+><3D E œ E À œ Ò"ß #ß $à $ß #ß "à #ß "ß $Ó

" # $

$ # "

# " $

Î Ñ

(2)

...Prof.: Jaime Reveco Martínez ... Ej. Dadas las matrices:

Encuentre una matriz , tal que

-E œ F œ G

" # $ # " &

$ # " ! " $

# " $ " % #

Î Ñ Î Ñ

Ï Ò Ï Ò

#G  & F œ $E

MATRIZ CUADRADA: Es una matriz que tiene igual número de filas que columnas, es decir

E − `8‚8( ), esto es Š E œ Ò+ Ó34 8‚8 Diagonal principal: Está formada por los elementos +33

TIPOS DE MATRICES

MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada en que sus elementos son ceros con excepción de los elementos de la diagonal principal denotandose porß

HÐ. ß . ß ÞÞÞÞÞÞß . Ñ œ

. ! ÞÞÞÞ !

! . ÞÞÞÞ !

ÞÞÞÞ ÞÞÞÞ ÞÞÞÞ ÞÞÞÞ

! ! ÞÞÞÞ .

" # 8

"" ##

88

Î Ñ

Ð Ó

Ð Ó

Ï Ò

MATRIZ TRIÁNGULAR SUPERIOR: Elementos Bajo la Diagonal principal son ceros. MATRIZ TRIÁNGULAR INFERIOR: Elementos sobre la Diagonal principal son ceros. MATRIZ ESCALAR: Matriz Diagonal tal que . œ ->/Þ33

MATRIZ IDENTIDAD: Matriz Diagonal tal que . œ "33 , denotandose por M8

MATRIZ MINKOWSKY-LEONTIEF: Matriz cuadrada No negativa, que tiene por propiedad que las sumas de los elementos de cada columna son menores o iguales a 1, esto es:

Si E −`8‚8( ) es de Š MINKOWSKY-LEONTIEF, entonces "

3œ" 8

34

+ Ÿ " 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞÞÞß 8

MATRIZ DE MARKOFF o ESTOCÁSTICA: Si E −`8‚8( ) es de Š MARKOFF, entonces

"

3œ" 8

34

+ œ " 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞÞÞß 8

Una Matriz es doblemente Estocástica ssi: "

4œ" 8

34

+ œ " 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞÞÞß 8

(3)

TEOREMAS.

Sean las matrices Eà F − `8‚7( ) y Š - − Š, entonces

1.- ÐE Ñ œ E> >

2.- ÐE  FÑ œ E  F> > >

3.- Ð EÑ œ E- > - > 4.- ÐEFÑ œ F E> > >

MATRIZ SIMÉTRICA: La matriz Ees simétrica ==3 E œ E>

MATRIZ ANTISIMÉTRICA: La matriz Ees antisimétrica ==3 E œ E- >

Ejemplo de matriz simétrica y antisimétrica respectivamente.

E œ E œ

! " % ! " %

" $  &  " $  &

%  & #  % & #

Î Ñ Î Ñ

Ï Ò Ï Ò

TEOREMAS.

Sea la matrices E − `8‚8( ), entoncesŠ 1.- es E  E> simétrica

2.- E  E>

Ej1.- Determine valores de las incognitas de tal forma que las matrices sean simétricas.

A - B

-œ œ

" B &  D

B ( C

$ & !

"! 691 B

691 B ! %

%  D "

Î Ñ

Ï Ò

Î Ñ

Ð Ó

Ï Ò

#

$

" C

&

% $

$

#

-Cœ

-# # C *

!ß #& & $ D  "

A ! !

* !ß ( =/8> '

Î Ñ

Ð Ó

Ð Ó

Ï Ò

B $

" )

-Ej2.- Sean las matrices:

- ; y

--1 4 - -

-E œ $ # #Î$ F œ G œ " # $

! % & '

"ß ' $

& %

!ß $ #

Œ  ÎÏ ÑÒ Œ 

(4)

...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...

a) E  F> b) (F  G Ñ> > c) #G  F  $E> >

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.

Sean las matrices E œ Ò+ Ó34 7‚8 y F œ Ò, Ó34 8‚:ß entonces

E F œ Ò+ Ó34 7‚8Ò, Ó34 8‚: œ Ò- Ó34 7‚: œ G, de donde

- œ34 + , à 3 œ "ß #ß ÞÞÞÞÞß 7 à 4 œ "ß #ß ÞÞÞÞÞß :ß

5œ" 8

35 54

! desarrollando la sumatoria, tenemos:

- œ + ,  + ,  + ,  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  + ,34 3" "4 3# #4 3$ $4 38 84

TEOREMAS

1.- ŠÒ+ Ó34 7‚8Ò, Ó34 8‚:‹Ò- Ó34 :‚; œ Ò+ Ó34 7‚8ŠÒ, Ó34 8‚:Ò- Ó34 :‚;‹

2.- Ò+ Ó34 7‚8ŠÒ, Ó34 8‚:  Ò- Ó34 8‚:‹œ Ò+ Ó34 7‚8Ò, Ó34 8‚:  Ò+ Ó34 7‚8Ò- Ó34 8‚:

3.- Si E −`8‚8, entonces EM œ ME œ E

Ej. 1.- Si E œ " # , encuentre:

$ '

Œ 

a) Una matriz Fde orden dos tq EF œ Ò!Ó. ¿La solución es única?. b) Una matriz Fde orden dos tq EF œ M. ¿La solución es única?.

2.- Sean las matrices:

A B C

-

--

-œ œ C œ

$ " # $ " !

" ! " # ! &

! # $ # " $

# ! # # ! #

# " $ #

$ " ! #

# ! # !

Î Ñ Î Ñ

Ð Ó Ð Ó

Ð Ó Ð Ó

Ï Ò Ï Ò

Î Ñ

Ï Ò

Encuentre: a) B ( AC ) b) ( 2A ) B

3.- Si Aœ " " y b œ  "" Resuelva i) A B œb ii) A B œb

$ !  '

Œ  Œ  #

iii) A$B œb

4.- Si A B Encuentre una matriz C tal que C A B C

- -3

-œ # " C œ % # œ

! " &

Œ  Œ 

5.- Encuentre una matriz Etal que:

-1

(5)

6.- Si E œ " ! calcule E Þ " "

Œ  "!

OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE FILAS 1.- Intercambio de Fila por Fila 3 4 À J3

Ó

J4 "Intercambio"

2.- Multiplicación de Fila por el escalar 3 - Á0: J3

Ò

-J3 "Escalamiento"

3.- Cambiar Fila por Fila aumentada en veces la Fila 3 3 - 4 À J3

Ò

J  J3 - 4 "Eliminación"

MATRIZ ELEMENTAL: Es toda matriz que se obtiene al realizar sólo una operación elemental sobre la matriz identidad.

MATRICES EQUIVALENTES: La matriz Ees equivalente a la matriz Fß si Fse obtiene a partir de Emediante un número determinado de operaciones elementales denotandose ß E

µ

F

MATRIZ ESCALONADA: Es una matriz en que el primer elemento de cada fila No nulo (Pivote), se ubica a la derecha del elemento No nulo de fila anterior, con excepción de la primera.

Ejemplo

Î Ñ

Ð Ó

Ð Ó

Ï Ò

# $ !  % "

! ! %  & !

! ! ! $ !

! ! ! ! !

Si los Pivotes son iguales a 1 y el resto de los elementos de la columna son ceros la matriz se denomina Reducida o escalonada reducida

Ejemplo Reducir la matrizE œ

! $  '  %  $  &

 " $  "!  %  %  #

%  * $% ! "  #"

#  ' #! # )  )

Î Ñ

Ð Ó

Ð Ó

Ï Ò

H/<3@/ À M81</=+< E À œ ÒJ "à J #à J $à J %Ó À ROW_REDUCE(A)

Para realizar pivoteo paso a paso usar H/<3@/ À :3@9>ÐEß 3ß 4Ñ

RANGO DE UNA MATRIZ: Está dado por el número de pivotes de una matriz escalonada 3ÐEÑ.

H/<3@/ À VER OÐEÑ

(6)

...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...

A tenga rango 2.

--

$ # % B

% " " C

( "# ## D

Î Ñ

Ï Ò

MATRIZ INVERSA

Se dice que E − `8‚8 tiene inversa o es invertible (No singular), si b F −`8‚8, tal que EF œ M œ FE8

La matriz inversa de Ese denota por E"

Ej Encuentre matriz inversa (si existe) de la siguientes matrices

a) Î Ñ b)

Ï Ò

" ! #

#  " $

% " )

Î Ñ

Ð ÓÐ Ó

Ð ÓÐ Ó

Ï Ò

Î Ñ

Ð Ó

Ð Ó

Ï Ò

! " $ #

! % $

! ! # "

! & $ %

%  "  " !  "

 " % !  " #

 " ! %  " $

!  "  " %  %

" # $ % &

--1

c)

H/<3@/ À E"

TEOREMAS

1.- Sean y E F − `8‚8 invertibles, entonces EFes invertible y ÐEFÑ" œ F E" "

2.- Si E −`8‚8 tiene una fila o columna nula, entonces Eno tiene inversa, es decir es Singular.

3.- Si E − `8‚8 es invertible, entonces 3ÐEÑ œ 8Þ

4.- Si una fila es combinación lineal de dos filas la matriz es Singular, esto es

J œ +J  ,J3 4 5

Obs.: Sea E − `8‚8 invertible. Para hallar E" usando operaciones elementales formar la matriz ampliada ÒE MÓã y realizar Operaciones Elementales hasta encontrar la ampliada ÒM FÓßã

siendo F œ E"

Ej Encuentre matricez inversas de:

a)Î Ñ b)

Ï Ò

" # $

 # $ %

$ % &

c)

- - -

-10 12 14 16

-Î Ñ Î Ñ

Ð Ó Ð Ó

Ð Ó Ð Ó

Ï Ò Ï Ò

" # $ % " ! # "

* "! "" "# & ' ( "

"$ "% "& "' # # % #

$ % & "

(7)

5.- Sea E −`8‚8 invertible, por tanto es reducible a la matriz Identidad mediante una sucesión de operaciones elementales: / ß / ß ÞÞÞÞÞÞÞß /" # 8a las cuales les corresponden las matrices Elementales I ß I ß I ß ÞÞÞÞÞÞÞÞß I" # $ 8, entonces la matriz inversa de Eß es:

E" œ I † I † I † † † † † I † M" # $ 8

DETERMINANTES Def.:

El Determinante de una matriz E − `8‚8, es una función que le asocia a una matriz , unE

elemento del cuerpo , denotandose por Š ./>ÐEÑ œ E¸ ¸ y está dado por: para algún , o

¸ ¸E œ!Ð  "Ñ + ¸Q ¸ 3

4œ" 8

34

34 34

¸ ¸E œ!Ð  "Ñ + ¸Q ¸ para algún 4 3œ"

8

34

34 34

donde ¸Q34¸ es el determinante de la matriz que obtiene eliminando de la matriz , la fila yE

columna correspondientes.

El producto Ð  "Ñ34 ¸Q34¸ se denomina Cofactor de +34 denotandose por E34 y ÒE Ó34 se conoce como Matriz de los cofactoresÞ

TEOREMAS

1.- Si el determinante de la matriz es distinto de cero, existe E E Þ"

2.- aE −`8‚8 À E œ E¸ ¸ ¸ ¸>

3.- Si se multiplican todos los elementos de una línea o fila por el N° - Á ß0 el valor del determinante queda multiplicado por .

-4.- Si se intercambian dos filas el determinante cambia de signo. 5.- Si (A)3 ÁOrden(A), entonces ¸ ¸E œ !

6.- Si los elementos de una fila o columna son ceros, el determinante es cero. 7.- Si una fila es combinación lineal de una o más filas, el determinante es cero.

8.- Si se suma un múltiplo de una fila (columna) a otra fila, el determinante no cambia J3

Ò

J  J3 - 4

9.- Si todo elemento en cualquiera fila de un determinante es la suma de otros dos, entonces el determinante es igual a la suma de otros dos. Ej

â â â â â â

â â â â â â

â â â â â â

â â â â â â

â â â â â â

â â â â â â

+ + + + + + + + +

, , , , , , , , ,

-  . -  . -  . - - - . . .

œ 

" # $ " # $ " # $

" # $ " # $ " # $

" # # # $ $ " # $ # # $

(8)

...Prof.: Jaime Reveco Martínez ... 11.- Sean y E F −`8‚8ß entonces ¸EF œ E F¸ ¸ ¸¸ ¸

Ejemplo Calcular determinante de la matriz E œ

" " "

+ ,

-+ ,

-Î Ñ

Ï # # #Ò

Sol. ¸ ¸ ¸ ¸

â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â

E œ J È J   +J E œ

" " " " " "

+ , - ! ,  + -  +

+# ,# -# +# ,# -#

# # "

J È J   + J E œ 4 œ "

" " "

! ,  + -  +

! ,  + -  +

$ $ # "

# # # # ¸ ¸ â â â â â â â â â â

â â usando la definición con

tenemos: ¸ ¸ !E œ Ð  "Ñ + Q 3œ"

$

3"

3" 3"

œ " ,  + -  +   "+ " "  +

,  + -  + ,  + -  +

" "

,  + -  +

º # # # #º #"º # # # #º $"º º

como nos +#" œ +$" œ !ß queda:

¸ ¸ â â â â â â â â â â â â º º

E œ œ œ Ð,  +ÑÐ-  + Ñ  Ð-  +ÑÐ,  + Ñ

" " "

+ , -+ , -,  + -  + ,  + -  + # # # # # # # # # # # ¸ ¸ â â â â â â â â â â â â

E œ œ Ð,  +ÑÐ-  +ÑÐ-  +Ñ  Ð-  +ÑÐ,  +ÑÐ,  +Ñ

" " "

+ , -+# ,# -# ¸ ¸ â â â â â â â â â â â â

E œ œ Ð,  +ÑÐ-  +ÑÐ-  +  Ð,  +ÑÑ œ Ð,  +ÑÐ-  +ÑÐ-  ,Ñ

" " "

+ ,

-+# ,# -#

Si hubiesemos continuado con operaciones elementales

¸ ¸ ¸ ¸ â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â

E œ J È J E œ Ð,  +Ñ

" " "

! ,  + -  +

! ,  + -  +

" ,  +

" " "

! " ! ,  + -  + # # # # # # -+ ,+ # # # #

J È J   Ð,  + ÑJ E œ Ð,  +Ñ

" " "

(9)

J È J   "J E œ Ð,  +Ñ œ Ð,  +Ñ " ! ! " ! ! Ð-  +ÑÐ-  ,Ñ " ! Ð-  +ÑÐ-  ,Ñ

" " #

,-,+ -+ ,+ -+ ,+ ¸ ¸ â â â â â â â â â â â â º º

¾ E œ œ Ð,  +ÑÐ-  ,ÑÐ-  +ÑÞ

" " "

+ , -+ , ¸ ¸ â â â â â â â â â â â # # #â Def.:

Se denomina matriz Adjunta de la matrizEa la matriz traspuesta de los cofactores

Si existe E , se cumple que E œ " ÒE Ó œ " ÒE Ó

E E

" " >

34 43

¸ ¸ ¸ ¸

Ej 1.- Calcule los determinantes de las siguientes matrices

a) b) c)

- - - -2 2 2 Î Ñ Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò Ï Ò Î Ñ Ï Ò

" # $ % " ! # "

"! "# "% "' $ % & "

* "! "" "# & ' ( "

"$ "% "& "' # # % #

+ , 

-, + 

-- +  ,

d) e)

Î Ñ Î Ñ

Ð Ó Ð Ó

Ð Ó Ð Ó

Ï Ò Ï Ò

" # $ %

# $ % & " +  # $ %

$ % & '

% & ' (

+  " # $ %

" # +  $ %

" # $ +  %

# # # # # # # # $ # # # # # # # Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ï Ò + + + + + , , , + , - -+ , - . f)

g) h) i)

- -- -- -Î Ñ Î Ñ Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò Ï Ò Ï Ò

# ! $ " # ! ! ( # $ " %

! " % # " # " % ! # ! !

! ! " & $ ! " & $ ( " #

" # $ ! % # $ ! % " $ )

j) k) m)

-Î Ñ Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò Ï Ò Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ï Ò ! + ! ! + , ! ! , ! ! ! - . ! ! ! ! ! - ! ! + , ! ! . ! ! ! - . + ! ! ! ! ! ! , ! ! ! ! ! ! -! ! ! . ! ! / ! ! !

n)Î Ñ

Ï Ò

-9=ÐB  Ñ -9=ÐB  Ñ -9=ÐB  Ñ

=/8ÐB  Ñ =/8ÐB  Ñ =/8ÐB  Ñ

=/8Ð  Ñ =/8Ð  Ñ =/8Ð  Ñ

! " 9

! " 9

(10)

...Prof.: Jaime Reveco Martínez ... 2.- Sea la matriz

A ¿Existe tal que A 0?.

-œ + − œ

+ +  " +  "

" # $

#  + +  $ +  (

Î Ñ

Ï Ò ‘ ¸ ¸

3.- Demuestre

i) det ii) det

-Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ï Ò Î Ñ Ï Ò

" + + !

! " + +

+ ! " +

+ + ! "

œ "  +  + œ Ð+  ,  -Ñ

+ , - #+ #+ #, , - + #, #- #- - + , # # # # % ) $ 4.- Resuelva

a) b)

â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â

" " " "

" B B B

$ B  # #B  " $B

$ #B  " B  #B $B

œ ! œ !

+  B - ,

- ,  B +

, + -  B

# $

# #

c) d) e)

â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â

B + , B

+ B B ,

, B B +

B , + B

œ ! œ ! œ !

+ + B " ! !

B B B !  # "

, B , ! #  "

f) g)

â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â

#  ! ! B ! # B  " " !

" $  ! ! B  $  "  # B  ( !

! " "  # ! B  ' $ ! B  #

œ ! œ

-SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Dado el sistema de 7ecuaciones con incognitas:8

+ B  + B  + B  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  + B œ , + B  + B  + B  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  + B œ , + B  + B  + B  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  + B œ , "" " "# # "$ $ "8 8 "

#" " ## # #$ $ #8 8 #

$" " $# # $$ $ $8 8 $

7" " 7# # 7$ $ 78 8 7

ã ã ã ã ã

+ B  + B  + B  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  + B œ ,

Def.:

1.- El sistema se dice Homogéneo si a3 À , œ !3

Este sistema siempre tiene solución, siendo la Trivial: B œ ! a33

(11)

3.- El sistema se dice Inconsistente (incompatible) si no tiene solución.

4.- El sistema se dice Consistente (compatible) si tiene solución. En forma matricial el sistema de ecuaciones se expresa como:

Î ÑÎ Ñ Î Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ï ÒÏ Ò

+ + + ÞÞÞ ÞÞÞ + B

+ + + ÞÞÞ ÞÞÞ + B

+ + + ÞÞÞ ÞÞÞ + B

+ + + ÞÞÞ ÞÞÞ + B

œ

"" "# "$ "8 "

#" ## #$ #8 #

$" $# $$ $8 $

7" 7# 7$ 78 8

ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò Ñ , , , , " # $ 7 ã ã

Donde F œ se denomina Matriz de términos libres.

, , , , Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò " # $ 7 ã ã

\ œ se denomina matriz Incógnita

B B B B Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò " # $ 8 ã ã

E œ se denomina Matriz D

+ + + ÞÞÞ ÞÞÞ + + + + ÞÞÞ ÞÞÞ + + + + ÞÞÞ ÞÞÞ + + + + ÞÞÞ ÞÞÞ + Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ï Ò

"" "# "$ "8

#" ## #$ #8

$" $# $$ $8

7" 7# 7$ 78

ã ã ã ã ã ã

ã ã ã ã ã ã

e los Coeficientes

De lo anterior se desprende que el sistema se puede denotar como: E \ œ F

Definición

(12)

...Prof.: Jaime Reveco Martínez ... -Þ= œ Ð- ß ÞÞÞÞÞÞÞß - Ñ − dÎE œ F

-œ 

Î Ñ

Ð Ó

Ð Ó

Ð Ó

Ð Ó

Ð Ó

Ð Ó

Ï Ò

" 8

"

# $

8 ã ã

Teorema

Sean E\ œ F • E \ œ F w w dos sistemas de ecuaciones. Diremos que

E\ œ Fes equivalente con E \ œ Fw w,si y sólo si, (E À F µ ÐE À F ÑÞ) w w En tal caso el

conjunto solución de E \ œ Fw w será el conjunto solución de E\ œ FÞ

Teorema de Rouche

Sea E\ un sistema de ecuaciones lineales con 7ecuaciones lineales y 8

incógnitas. Entonces:

a) EB œ F tiene solución, si y sólo si: rangÐEÑ œrangÐE À FÑ 9 ÐEÑ œ ÐE À FÑ3 3

b) Si rang( )E œrangÐE À FÑ œ 8, entonces la solución del sistema es única.

c) Si rang( )E œ rangÐE À FÑ œ <  8, entonces el sistema tiene infinitas soluciones y de<

las incógnitas se pueden expresar en función de las 8  < incógnitas restantes, llamadas variables libres.

d) La dimensión del espacio solución es 8  < .

Ej.

1.- Encontrar conjunto solución de los siguientes sistemas y de los sistemas homogéneos asociados

a) B  #C  $D  %> œ & b)

$B  C  &D  &> œ "

B  C œ " C  D œ # B  D œ &

c) - d)

B  $C  #D  &A œ "! $B  #C  &D  %A œ & #B  C  D  &A œ &

#B  C  D œ ! #C  D œ "

&B  #C  $D œ "

-e) - f)

#B  C  &D  A œ & B  C  $D  %A œ " $B  'C  #D  A œ ) #B  #C  #D  $A œ #

B  D œ #

#B  C  D œ "

(13)

g) h)

--

-B  D  A œ & B  C  D  A  > œ "

B  D  A œ " B  #C  D  A  > œ !

B  C  D  A œ ) B  C  D œ $

#B  #D œ # #B  #C  #D  #A  > œ $

Además encuentre la matriz inversa de la matriz de los coeficientes. 2.- Determine el valor de (si ) de modo que el sistema tenga solución única.5 b

a) b)

B  C  D œ $ B  C  D œ "

5B  C  #D œ & #B  $C  5D œ $

B  #C  D œ % B  5C  $D œ #

c) e)

5B  C  D œ " #B  5C  D œ " B  C  5D œ "

B  #C  5D œ " #B  5C  )5 œ $

3.- El Ministerio de Transporte en un estudio realizado sobre cuatro puntos A, B, C y D de un cuadrante, detectó los siguientes flujos vehiculares. Al punto A ingresan 400 vehículos de otros lugares de la ciudad e ingresan vehículos provenientes del punto D. Al punto B ingresan vehículos provenientes del punto A y D, y salen vehículos al punto C y 600 se dirigen a otros puntos. Al punto C ingresan vehículos desde D y salen a otros puntos 100 vehículos. Si al punto D ingresan 300 vehículos provenientes de otros puntos de la ciudad. Encuentre todas las soluciones posibles al problema del flujo vehicular. Si del punto A al punto B circulan 550 vehículos y de B a C 50. Determine todos los flujos vehículares.

PRODUCTO ESCALAR

Def. Producto Escalar o Punto.

Sean los vectores y ? @ −‘8 À tal que ? œ Ð? ß ? ß ? ß ÞÞÞÞÞÞÞß ? Ñ" # $ 8 y

@ œ Ð@ ß @ ß @ ß ÞÞÞÞÞÞÞß @ Ñß" # $ 8 entonces el producto escalar (punto) entre los vectores ? y es el@

número:

? † @ œ ? @  ? @  ? @  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  ? @" " # # $ $ 8 8

Ej. Sean los vectores ? œ Ð  "ß #ß $ß !Ñ à @ œ Ð  #ß !ß #ß !ß Ñ; A œ Ð  #ß !ß  #ß "Ñ

(14)

...Prof.: Jaime Reveco Martínez ... Solución

? † @ œ Ð  "Ñ † Ð  #Ñ  # † !  $ † #  ! † ! œ ) œ @ † ?

? † A œ Ð  "Ñ † Ð  #Ñ  # † !  $ † Ð  #Ñ  ! † " œ  % œ A † ? @ † A œ Ð  #Ñ † Ð  #Ñ  ! † !  # † Ð  #Ñ  ! † " œ ! œ A † @

Del ejemplo podemos concluir:

1.- El producto punto es conmutativo. 2.- El producto punto da un real.

3.- Si el producto punto es cero diremos que los vectores son ortogonales.

Ej. Sean los vectores ? œ Ð&ß #ß $Ñ- y @ œ Ð+ß #ß "ÑÞ Determine, el valor de + Ð b Ñsi tal que: i) y sean ortogonales ii) y sean paralelos iii) y formen un ángulo de ? @ ? @ ? @ 1$Þ

NORMA DE UN VECTOR:

La Norma, Longitud o Magnitud de un vector ? œ Ð? ß ? ß ? ß ÞÞÞÞÞÞÞß ? Ñ" # $ 8 , es:

¸¸ ¸¸? œÉ?  ?  ?  ÞÞÞÞÞÞÞ  ?# # # # por tanto ¸¸ ¸¸?  0, Además

" # $ 8

¸¸ ¸¸ È? œ ? † ?

La distancia (euclidiana) entre ? y se define como @ . œ ¸¸?  @ Þ¸¸

Ej: Determine norma de vector del ejemplo anterior, además determine la distancia entre A ? Ay

Solución La Norma de esA À

¸¸ ¸¸ ÈA œ ÐÐ  #Ñ  !  Ð  #Ñ  " Ñ œ# # # # È* œ $

Ej1 ¿Qué figura se forma al unir los puntos (2,4,5); (3,-5,-4) y ( -7,2,-1) con trazos rectos?. Realice una clasificación completa.

La distancia entre y es? @

. œ ¸¸?  @ œ¸¸ ¸¸Ð"ß #ß "ß !Ñ œ¸¸ È'

Observe que la norma de un producto escalar, -?ß es

¸¸ ¸¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸¸-? = - ?

Por que È- œ - Þ# ¸ ¸ Por ejemplo

(15)

Teo.

Sean ?ß @ y A vectores y un escalar, entonces5

1.- ? † @ œ @ † ?

2.- ? † Ð@  AÑ œ ? † @  ? † A

3.- 5Ð? † @Ñ œ Ð5?Ñ † @ œ ? † Ð5@Ñ

4.- ¸¸?  @¸¸# œ ¸¸ ¸¸? # ¸¸ ¸¸@ # #? † @

5.- ¸? † @ Ÿ¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸? @ "Desigualdad de Cauchy-Schwarz" 6.- ¸¸?  @ Ÿ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸?  @

Sean ? y dos vectores y el ángulo entre ellos, entonces el producto punto se puede@ ) expresar como: ? † @ œ ?¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸@ -9=)

Ej Determine el ángulo entre los vertores Ð"ß  "ß  "ß "Ñ y Ð!ß !ß "ß !Ñ

Sol. Ð"ß  "ß  "ß "Ñ † Ð!ß !ß "ß !Ñ œ È"  Ð  "Ñ  Ð  "Ñ  "# # # #È" -9=# )

 " œ # -9= Ê -9= œ  " Ê œ +<-9-9=  " Ê œ "#!

# #

) ) ) ) °

Ej.

1.- Determine el producto escalar entre los vectores de la base canónica de ‘8y encuentre el ángulo entre dos vectores de la base.

2.- Dado el vector ? œ Ð#ß $ß &ÑÞ- Determine el ángulo que forma el vector con cada eje de ‘$Þ

3.- Encuentre un vector de norma 1 con igual dirección que el vector @ œ Ð#ß $ (ÑÞ- ,

4.- Sea -5 ? œ Ð$ß ß "Ñ y @ œ Ð#ß 'ß %ÑÞEncuentre A œ ?  ?†@ @Þ¿Qué ángulo forma Acon

@

¼ ¼# los vectores ? y ?.@

5.- Sean los puntos P(2,1,4) y Q(3,-2,8). Encuentre un vector de norma 1 en la dirección de ⎯→

P Q Þ

6.- La Proyección de sobre , está dada por: proy? @ @? œ ?†@# @ÞDetermine proyección para

@

¼ ¼

i) ? œ Ð#ß $ß "Ñy @ œ Ð"ß #ß 'Ñ- ii) ? œ Ð"ß (ß $Ñ- y @ œ Ð$ß %ß &Ñ

(16)

...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...

Sean los vectores ? œ Ð? ß ? ß ? Ñ" # $ y @ œ Ð@ ß @ ß @ ÑÞ" # $ El producto cruz entre ? y , de@

define como: ? ‚ @ œ ?3 ?4 ?5 œ 3  4  5

@ @ @

? ? ? ?

@ @ @ @ @ @

? ?

â â

â â

â â

â â

â â

â â

â â º º º º º º

• • •

• • •

" # $ " # $

# $ " $

# $ " $ " #

" #

Teo. Sean los vectores ?ß @y A − ‘$ y 5 −‘, entonces 1.- ? ‚ @ œ  @ ‚ ?

2.- ? ‚ Ð@  AÑ œ ? ‚ @  ? ‚ A

3.- 5Ð ? ‚ @Ñ œ Ð5 ?Ñ ‚ @ œ ? ‚ Ð5@Ñ

4.- ! ‚ ? œ ? ‚ ! œ ! 5.- ? ‚ ? œ !

6.- ? ‚ Ð@ ‚ AÑ œ Ð? † AÑ@  Ð? † @ÑA

7.- ? † Ð @ ‚ AÑ œ

? ? ?

@ @ @

A A A

â â

â â

â â

â â

â â

â â

" # $ " # $ " # $

Sean ? y dos vectores y el ángulo entre ellos, entonces el producto cruz se puede@ ) expresar como: ? ‚ @ œ ?¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸@ =/8) - œ A• , donde es perpendicular al vector A ? y al vector .@

Ej Encuentre un vector →Aß ortogonal a →@ œ Ð"ß #ß "Ñ- y a →? œ Ð "ß !ß $ÑÞ-

-Aplicaciones

I.- El área del paralelogramo de aristas ? y @ ß queda definido por:

(17)

θ

v v

u×

θ

sen u u

Ej

1.- Encuentre el producto cruz ? ‚ @:

a) ? œ 3  4  5 @ œ 3  4  52• 3• • ; • 2• • b) ? œ 3•3  4 @ œ 3  57 ; • • •

c) ? œ 3  4  5 @ œ 3  4  5• 7 • 3 ; • -• 7• 3 d) • ? œ 3  4  5 @ œa• a• a ; • b •3  4  5b• b•

e) ? œ 3  4  5 @ œ 3 2• 5• 9 ; • • -5•4  5• f) ) ? œ 3  4  5 @ œ 34 • 7• • ; •

2.- Encuentre dos vectores unitarios ortogonales tanto a ? œ 3  42• 3 como a • @ œ 4  5Þ4• 3•

3.- Comprobar que los puntos son vértices de un paralelogramo y calcular su área: a) (1,1,1); (2,3,4); (6,5,2); (7,7,5). b) (2,-1,1); (5,1,4); (0,1,1); (3,3,4).

4.- Calcular el área del triángulo cuyos vértices se especifican.

a) (0,0,0); (1,2,3); (-3,0,1). b) (2,-3,4); (0,1,2); (-1,2,0).

II.- El volumen del paralelepípedo de aristas ?ß @ y Aß está definido por:

(18)

...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...

w

v θ

u

w v×

w v×

Ej.

1.- Calcular el volumen del paralelepípedo de aristas dadas:

a) (3,0,0), (0,5,1), (3,5,1). b) (1,-2,3), (2,0,-5) y (0,4,-1)

APLICACIONES DE TRANSFORMACIONES

Def.: Sea Euna matriz de orden 7 ‚ 8. Una Transformación afinX: ‘ Ò ‘8 7 tiene la forma:

X Ð\Ñ œ E\  ,

para algún vector fijo de dimensión , 7ÞEsta Transformación en No lineal si , Á !, es decir X Ð!Ñ Á !Þ En el caso especial que 7 œ 8 y sea la matriz indentidad , entoncesE M8

X Ð\Ñ œ M \  , œ \  ,8

Esta transformación se denomina Traslación por , esto es: una figura la desplaza,

(19)

) 2 , 1

(− (3,2)

) 4 , 2 (

x y

S S’

Esta muestra la imagen S' del cuadrado S después de la traslación por Ð#ß  "Ñ

Una Transformación afin es una transformación lineal seguida de una traslación, ver figura

T (P )

S ’

S P

b

Este gráfico muestra la imagen S' del cuadrado S bajo la trasformación afin

X Ð\Ñ œ  \  -#

!

Î Ñ

Ï Ò Œ 

È È

È È

# #

# #

# #

# #

consiste en una rotación de 45° seguido de una traslación por (-2,0).

X

PROYECCIÓN ORTOGONAL

Dado un vector ? −‘8 siempre es posible expresarlo como suma de dos vectores ortogonales, proy@? y ? Þ: Esto es ? œ proy@?  ? :

(20)

...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...

u

v

u

proyv

p

u

Si determinamos ? † @. Obtenemos

? † @ œ Ðproy@?  ? Ñ † @ œ : proy@? † @  ? † @ œ : proy@? † @

como proy@? œ @ß Ð- -es la longitud de la proyección),entonces

? † @ œ Ð @Ñ † @ œ Ð@ † @Ñ œ ? † @ @ † @

- - Ö

proy

¾

@? œ @ œ @

? † @ @ † @

-? œ -?  ? † @@

@ † @

:

Base Ortogonal

Una base es ortogonal si cualquier vector de la base es ortogonal a todos los restantes vectores de la base.

Base Ortonormal

Una base es ortonormal si es ortogonal y cada vector de la base tiene norma 1.

Ej Encuentre una base para el subespacio generado por los vectores Ð"ß "ß "Ñ y Ð"ß "ß !Ñß de modo que los vectores sean ortogonales.

Sol. Sean ? œ Ð"ß "ß "Ñ y @ œ Ð"ß "ß !Ñß entonces

proy@? œ Ð"ß "ß "Ñ † Ð"ß "ß !ÑÐ"ß "ß !Ñ œ #Ð"ß "ß !Ñ œ Ð"ß "ß !Ñ y

Ð"ß "ß !Ñ † Ð"ß "ß !Ñ #

(21)

Expresión general del producto escalar

Sean y ? @ −‘8y F œ Ö? ß ? ß ÞÞÞÞÞÞß ? ×" # 8 una base de ‘8, entonces los vectores referidos a la base quedan definidos por:

? œ!"? " !#? # !$?  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ $ !8?8

entonces@ œ ""? " "#? # "$?  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ $ "8? ß8

? † @ œ Ð ? !" " !#?  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ # !8? Ñ † Ð ? 8 "" " "#?  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ # "8? Ñ8

Por tanto

? † @ œ ! "" "Ð? † ? Ñ " " ! "" #Ð? † ? Ñ  ÞÞÞÞÞÞ " # ! "" 8Ð? † ? Ñ " 8 ! "# "Ð? † ? Ñ # " ! "# #Ð? † ? Ñ  ÞÞÞÞÞÞ # # ! "# 8Ð? † ? Ñ # 8

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ 

! "8 "Ð? † ? Ñ 8 " ! "8 #Ð? † ? Ñ  ÞÞÞÞÞÞÞÞ 8 # ! "8 8Ð? † ? Ñ8 8

Ej Para ejemplo anterior ? œ Ð"ß "ß "Ñ y @ œ Ð"ß "ß !Ñ, entonces ? † @ œ Ð"ß "ß "Ñ † Ð"ß "ß !Ñ œ #

Expresando los vectores en función de la base ortogonal encontrada, tenemos:

? œ!"Ð"ß "ß !Ñ !#Ð!ß !ß "Ñ Ê!" œ " • !# œ "

por lo tanto

@ œ ""Ð"ß "ß !Ñ "#Ð!ß !ß "Ñ Ê "" œ " • "# œ !

? † @ œ Ð"Ð"ß "ß !Ñ  "Ð!ß !ß "ÑÑ † Ð"Ð"ß "ß !Ñ  !Ð!ß !ß "ÑÑ œ #

S,=Þ I6 :<9.?->9 :?8>9 /= ?8+ 38@+<3+8>/ /8 ‘8

Ej Encuentre una base ortogonal a los siguientes subespacios.

a)  ÖÐ"ß #ß $Ñà Ð$ß #ß "Ñ× 

b)  ÖÐ"ß #Ñà Ð"ß  #Ñ× 

c) W œ ÖÐBß Cß DÑ −‘$ÎB  C  D œ B  #C  $D œ !×

d) Y œ ÖÐBß #Cß B  #Cß CÑ À B C −e ‘×

e) 5/<ÐX ÑSi X ÐBß Cß Dß AÑ œ B  C D  A

A  D B  C

Œ 

Normalice las bases anteriores.

(22)

...Prof.: Jaime Reveco Martínez ...

Sea Z p ‘8 y " œ Ö@ ß @ ß @ ß ÞÞÞÞÞÞÞÞß @ ×" # $ 8 una base deZ, entonces existe una base ortogonal "'œ Ö? ß ? ß ? ß ÞÞÞÞß ? ×y una base ortonormal"'' œ Ö ? ß ? ß ? ß ÞÞÞß ? ×

m? m m? m m? m m? m

" # $ 8

" # $ 8

" # $ 8

de donde: ? œ @" "

? œ @  @ † ? ?

? † ?

# # "

# "

" "

? œ @  @ † ? ?  @ † ? ?

? † ? ? † ?

$ $ " #

$ " $ #

" " # #

À À

? œ @  @ † ? ?  @ † ? ?  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  @ † ? ?

? † ? ? † ? ? † ?

8 8 " # 8"

8 " 8 # 8 8"

" " # # 8" 8"

Ej Encuentre una base ortogonal y una normal

a) -ÖÐ"ß "ß "Ñà Ð #ß $ß "Ñà Ð"ß #ß %Ñ×- b) ÖÐ#ß "ß "Ñà Ð!ß $ß "Ñà Ð"ß #ß !Ñ×-

c) ¼7( T )À X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  C  Dß C  Dß DÑ

Figure

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Referencias

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