Nociones básicas de geometría

Texto completo

(1)TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA. Nociones básicas de geometría. Trabajo de Suficiencia Profesional para optar el Título de Licenciado en Educación Secundaria Mención Ciencias Matemáticas. AUTOR: Br. Torres Araujo, Manuel Antonio. TRUJILLO – PERÚ 2019. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Dedicatoria. A mi esposa y mis hijos, motivación para continuar superando.. El autor. ii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Agradecimiento. A mis padres Merano y Lusdina, infinito agradecimiento. iv. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Índice Dedicatoria ............................................................................................................................. ii Jurado Dictaminador .............................................................................................................iii Agradecimiento ..................................................................................................................... iv Índice .................................................................................................................................... v Presentación .......................................................................................................................... vi Resumen...............................................................................................................................vii Abstract ...............................................................................................................................viii Introducción ........................................................................................................................... 9 I. DISEÑO DE SESIÓN DE APRENDIZAJE IMPLEMENTADA .............................. 10 1.1.. Datos Informativos ................................................................................................ 10. 1.2.. Propósitos y evidencias de Aprendizaje ................................................................ 10. 1.3.. Proceso Enseñanza-Aprendizaje ........................................................................... 11 1.3.1. Preparación de la sesión ............................................................................... 11. 1.4.. Momentos de la Sesión ......................................................................................... 11. II. SUSTENTO TEÓRICO ............................................................................................... 13 2.1.. Discusión de contenidos ........................................................................................ 13 2.1.1. Separación del plano .................................................................................... 13 2.1.2. Historia de la geometría ............................................................................... 13 2.1.3. Conceptos fundamentales ........................................................................... 14 2.1.4. Relaciones fundamentales .......................................................................... 15 2.1.5. Postulados ................................................................................................... 15 2.1.6. Que es plano y semiplano ........................................................................... 18. III. SUSTENTO PEDAGÓGICO .................................................................................... 22 3.1.. Discusión de contenidos ........................................................................................ 22 3.1.1. Por qué estudiar matemática. Fundamentación .......................................... 22 3.1.2. Estrategias didácticas .................................................................................. 23 3.1.3. Medios y materiales educativos .................................................................. 24 3.1.4. Recursos ...................................................................................................... 25 3.1.5. Evaluación .................................................................................................. 25 3.1.6. Modelo pedagógico que sustenta la sesión ................................................. 26. Conclusiones ........................................................................................................................ 30 Referencias Bibliográficas ................................................................................................... 32 Anexos ................................................................................................................................. 34 v. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Presentación. Señores Miembros del Jurado: En cumplimiento con las disposiciones legales para ostentar el grado de licenciado en educación, someto a vuestra consideración el desarrollo del presente modelo de sesión de clase denominada: “Nociones Básicas de la Geometría Plana”; para desarrollarlo con alumnos del tercer grado en la I.E.: 80032 Generalísimo José de San Martín, distrito de Florencia de Mora, provincia de Trujillo. El desarrollo del presente modelo de sesión de clase ha sido elaborado a base de consultas bibliográficas e información de otras fuentes relacionadas con el tema. El propósito del mismo es lograr el título de licenciado de educación, para de esta manera lograr una más de mis metas propuestas para la realización personal y profesional.. El Autor. vi. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Resumen La presente sesión demostrativa de aprendizaje “Nociones Básicas de Geometría Plana para estudiantes del tercer grado del nivel de educación secundaria de Educación Básica Regular, tiene como propósitos de aprendizaje el logro de la competencia “Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización” y el desarrollo de la capacidad “Comunicación matemática” adecuada al contenido a desarrollar: Punto , recta y plano, figuras y semiplanos, como principio del conocimiento geométrico. La Geometría es la que estudia las relaciones entre los entes sencillos (punto, recta, plano) y las figuras que se obtienen a partir de ellos, trabajos que los geómetras griegos que, como Euclides, sistematizaron y convirtieron en ciencia los conocimientos de sumerios, egipcios, persas y otros pueblos de la Antigüedad. La representación de ideas matemáticas permite al estudiante fortalecer el desarrollo de un pensamiento superior y espacial para lograr en nuestros estudiantes el razonamiento y la creatividad que le permita desarrollar situaciones problemáticas de su entorno. En ese sentido para lograr que la Geometría sea más sencillo para los estudiantes las corrientes psicopedagógicas nos ayuda a comprender como llegar a fortalecer sus aprendizajes y el uso de estrategias adecuadas para mejores resultados en nuestros estudiantes y que sus aprendizajes sean útiles y permanentes.. Palabras Clave: Educación, matemáticas, geometría.. vii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Abstract The present demonstrative lesson plan “Basic Notions of Plane Geometry for grade secondary level students of Regular Basic Education”, has as its learning purpose the achievement of the competence “Acts and thinks mathematically in situations of form, movement and location "And the development of the capacity" Mathematical Communication "suitable to the content to be developed: Point, straight and plane, figures and semi planes, as the principle of geometric knowledge. Geometry is the one that studies the relationships between the simple entities (point, line, plane) and the figures that are obtained from them, works that Greek geometers such as Euclid, systematized and turned into science the knowledge of Sumerians, Egyptians, Persians and other towns of Antiquity. The representation of mathematical ideas allows the student to strengthen the development of superior and space thinking to achieve in our students the reasoning and creativity that allows them to develop problematic situations in their environment. In that sense, to make easier Geometry for the students, psycho-pedagogical matters help us to understand how to strengthen their learning and the use of appropriate strategies for better results in our students and that their learning is useful and permanent.. Keywords: Education, mathematics, geometry.. viii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Introducción La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo, el compás, el teodolito y el pantógrafo. Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías). La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema Euclídeo es incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta que las definiciones, axiomas y teoremas no sólo pretenden describir el comportamiento de unos objetos. Cuando se axiomatiza algo, se convierte ese comportamiento en el objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelos). Esto significa que en adelante, las palabras “punto”, “recta” y “plano” deben de perder todo significado visual. Si se conserva la idea de punto, recta y plano como lo que comúnmente se comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas parecerán evidentes y carentes de importancia. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo tradicional. Es así, como establecemos la necesidad de una propuesta didáctica para la enseñanza y aprendizaje de la geometría y en especial a las nociones básicas que todo estudiante debe tener al introducirse a esta parte de la matemática , los diferentes postulados axiomas, teoremas y fórmulas estarán dirigidas a los procesos de resolución de problemas, al análisis y reflexión del mismo; así como la necesidad de plantear problemas reales que involucren al plano, semiplano y sus diferentes características y elementos a tener en cuenta en situaciones de la vida cotidiana. 9 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. I. DISEÑO DE SESIÓN DE APRENDIZAJE IMPLEMENTADA 1.1. Datos Informativos 1.1.1 Institución Educativa. : 80032 “Generalísimo José de San Martín”. 1.1.2 Área Curricular. : Matemática. 1.1.3 Duración. : 45 minutos. 1.1.4 Grado. : 3º. 1.1.5 Ciclo. : VII. 1.1.6 Unidad de Aprendizaje. : Nociones básicas de geometría. 1.1.7 Nombre de la Sesión de Aprendizaje: “El punto, la recta, el plano y figuras: segmento, rayo semirrecta” 1.1.8 Profesor. : Manuel Antonio Torres Araujo. 1.2. Propósitos y evidencias de Aprendizaje Competencia. Capacidad. Desempeño. Evidencia. - Identifica. y Observación sistemática.. representa. Instrumento Guía de observación. simbólica. y. gráficamente. el. Ficha de. punto,. y. autoevaluación. recta. plano identificando. Práctica dirigida. características Geometría y. Comunicación. medida. Matemática. importantes. - Usa. diferentes. estrategias. para. identificar el uso del. plano. semiplano. y en. situaciones reales. - Trabaja responsablemente asumiendo. su. compromiso ante situaciones. de. aprendizaje.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/. 10.

(11) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 1.3. Proceso Enseñanza-Aprendizaje 1.3.1. Preparación de la sesión ¿Qué necesitamos hacer antes. ¿Qué recursos o materiales se utilizarán en esta. de la sesión?. sesión?. Preparar los materiales necesarios. . Textos informativos impresos. y adecuar el aula de acuerdo con. . Plumones.. las actividades a realizar.. . Papelotes. . Fotocopias.. . Ficha de información. 1.4. Momentos de la Sesión INICIO: 15’. - El docente Saluda, se presenta ante los estudiantes. - El docente les presenta y les alcanza material impreso con un texto sobre los orígenes de geometría, e imágenes de su importancia en nuestro entorno. (Anexo 01) - Con la técnica lluvia de ideas los estudiantes relacionan con su entorno y responden las a las preguntas. ¿Cuál es la importancia de la información del texto leído? ¿Mediante qué llevó al hombre a descubrir la geometría? ¿Qué significa la palabra geometría? ¿Cómo surgieron las primeras nociones de formas y figuras? - El docente alcanza una hoja impresa con figuras. - Se observa y analiza figuras geométricas conocidas a partir de la hoja impresa. - Reconociendo su importancia y relacionado con el entorno. - Sobre los gráficos y lo observado se pregunta. ¿Qué tienen en común los gráficos?, ¿podrías identificar líneas, planos cuadrangulares, triangular, y semiplanos?, ¿habrá un plano circular? - Con lluvia de ideas los alumnos responden a las preguntas proponiendo e identificando punto, recta, planos y semiplanos del entorno. - El docente coloca en pizarra un papelote con el propósito de la sesión - Nociones básicas de la geometría: punto, recta y plano - El docente hace las recomendaciones para el desarrollo de la actividad: 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Conformar y dinamizar el trabajo en equipos, acordando la estrategia apropiada para comunicar los resultados. Respetar los acuerdos y los tiempos estipulados para el desarrollo de cada actividad. DESARROLLO: 25’. - Los estudiantes contrastan sus saberes. para lo cual analizan, interpretan y. complementan la información proporcionada en el video presentado por el profesor: Punto, recta, plano. - Consolidad la información, proponiendo un. organizador visual con los elementos y. características punto, recta, plano y las figuras geométricas, proponiendo los postulados con sus propias palabras - Se procede a resolver en forma grupal la práctica dirigida: “Aplico mis conocimientos” (Anexo 02) - Los estudiantes cotejan sus respuestas y dialogan con el docente quien refuerza aclarando algunas dudas - El docente alcanza material impreso de la actividad desarrollada como complemento y refuerzo de sesión de aprendizaje. (Anexo 03) CIERRE: 5’. - El estudiante transfiere el conocimiento y evalúa sus aprendizajes en la hoja impresa (Anexo 02) - Se concluye y se hace el refuerzo final contestando las preguntas y dudas de los estudiantes. - Se realiza la metacognición, el estudiante responde las preguntas de la ficha propuesta. (Anexo 04 ). Trujillo, 16 diciembre del 2019. 12 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. II. SUSTENTO TEÓRICO. 2.1 Discusión de contenidos: 2.1.1 Separación del plano. Semiplanos, como ideas básicas de geometría y según el Nuevo Diseño Curricular Básico en el área de matemática, para el nivel secundario, está ubicado en el componente: Geometría y medida, ya que este tema es una introducción al estudio de la geometría plana. 2.1.2 Historia de la geometría. La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el antiguo Egipto estaba desarrollado,. según. los. textos. muy. de Herodoto, Estrabón y Diodoro Sículo.. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos». El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas. geométricos. durante. más. de. un. milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría analítica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. Según Arizmendiz C. (1985), la geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial. La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron de. la. observación. de. la. a. formas. geométricas. a. partir. naturaleza. El sabio griego Eudemo de Rodas,. atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras. Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, 13 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de 3,1605. También encontramos rudimentos. de. trigonometría. y. nociones. básicas de semejanza de triángulos. También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de (pi=3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general. No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte. de. las culturas. china. e. india,. limitándose principalmente a la. resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. Según Rubiños T. (2003), afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares. del teorema de. Pitágoras, e. incluso que. desarrollaron algunas ideas sobre la demostración de este teorema. 2.1.3 Conceptos fundamentales La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los puntos: - El punto: Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.. - La recta: Una recta se representa con una porción de la misma y se la designa con una letra de imprenta minúscula.. 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. - El plano: Un plano se representa con una porción del mismo y se lo designa con una letra griega.. 2.1.4 Relaciones fundamentales Los tres conceptos anteriores están relacionados a través de las relaciones de pertenencia e inclusión: - Los puntos pertenecen a las rectas y los planos.. - Las rectas están incluidas en los planos.. 2.1.5 Postulados Se llaman postulados a aquellas propiedades que satisfacen los elementos geométricos que se aceptan sin demostrar y que surgen de la simple observación. 15 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. - Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.. - Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.. El conjunto de rectas que concurren en un punto se denomina haz de rectas. - Toda recta está incluida en infinitos planos ya que por una recta pasan infinitos planos.. El conjunto de planos que pasa por una recta se denomina haz de planos. - Dos puntos determinan una y sólo una recta a la cual pertenecen.. 16 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. - A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.. - Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de modo que el punto pertenece al mismo y la recta está incluida en él.. - La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano. 17 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. También puede enunciarse como: Dos puntos incluidos en un plano determinan una recta que está incluida en el plano. - A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.. 2.1.6 Que es el plano y semiplano. Para entender qué es un semiplano, resulta imprescindible comprender la noción de plano. Puede decirse que un plano es un objeto geométrico ideal que alberga una cantidad infinita de rectas y de puntos y que tiene sólo dos dimensiones. El plano, la recta y el punto son los conceptos esenciales de la especialidad de la matemática que conocemos como geometría. Los planos, por lo tanto, se dividen en semiplanos por las rectas que lo atraviesan. Cada una de las rectas, de este modo, genera dos semiplanos en el plano. Estos semiplanos, por supuesto, no necesariamente tienen las mismas 18 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. dimensiones. Las leyes de la geometría indican que en cada par de semiplanos creados por una recta x existe una cantidad infinita de puntos. Todo punto perteneciente al plano en cuestión, por otro lado, pertenece a alguno de los dos semiplanos determinados por la recta o a la recta misma. Dos puntos contenidos en el mismo semiplano, además, forman un segmento que no se cruzaron la recta x, mientras que dos puntos contenidos en distintos semiplanos crean un segmento que sí corta la recta x. De la misma manera, no podemos olvidar que existen dos tipos fundamentales de semiplanos: - Semiplano abierto, que es aquel en el que la intersección es la recta borde común. Es decir, que no contiene la línea que lo acota.. - Semiplano cerrado. Bajo esta denominación se encuentra el semiplano que, al contrario que el anterior, sí contiene la citada línea encargada de acotarlo. Definición Toda recta perteneciente a un plano separa al mismo en dos porciones, cada uno de ellos recibe el nombre de semiplano. A la recta que da lugar a los dos semiplanos se la llama frontera o recta de división.. Para diferenciar los semiplanos se determinan dos puntos adicionales, cada uno de los cuales pertenece a cada semiplano: - Semiplano respecto a la recta r que contiene al punto A - Semiplano respecto a la recta r que contiene al punto B. 19 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Propiedades de los semiplanos Se observa que: - La intersección de dos semiplanos determinados por una recta es la recta de división.. - La unión de dos semiplanos determinados por una recta es todo el plano.. - Todo punto de un plano pertenece a uno de los dos semiplanos o a la recta de división.. 20 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. - Todo segmento determinado por dos puntos de distintos semiplanos corta a la recta de división.. - Todo segmento determinado por dos puntos del mismo semiplano no corta a la recta de división.. 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. III.. SUSTENTO PEDAGÓGICO. 3.1 Discusión de Contenidos 3.1.1 Por qué estudiar matemática. Fundamentación La matemática está presente en diversos espacios de la actividad humana, tales como actividades familiares, sociales, culturales o en la misma naturaleza. El uso de la matemática nos permite entender el mundo que nos rodea, ya sea natural o social. En la anatomía del ser humano, por ejemplo, se observan formas, patrones, estructuras, redes, grafos, dibujos y otros, que debemos entender si pretendemos alcanzar un equilibrio con la naturaleza, y somos nosotros quienes desarrollamos estos saberes y conocimientos en base a la experiencia y la reflexión. Por otro lado, resulta complicado asumir un rol participativo en diversos ámbitos del mundo moderno sin entender el papel que la matemática cumple en este aspecto, su forma de expresarse a través de un lenguaje propio y con características simbólicas particulares ha generado una nueva forma de concebir nuestro entorno y actuar sobre él. La presencia de la matemática en nuestra vida diaria, en aspectos sociales, culturales y de la naturaleza es algo cotidiano, pues se usa desde situaciones tan simples y generales como cuantificar el número de integrantes de la familia, hacer un presupuesto familiar, desplazarnos de la casa a la escuela, o ir de vacaciones, hasta situaciones tan particulares como esperar la cosecha de este año sujeta al tiempo y los fenómenos de la naturaleza, hacer los balances contables de negocios estableciendo relaciones entre variables de manera cuantitativa, cualitativa y predictiva, o cuando practicamos juegos a través de cálculos probabilísticos de sucesos, de tal manera que tener un entendimiento y un desenvolvimiento matemático adecuados nos permite participar del mundo que nos rodea en cualquiera de los aspectos mencionados. La matemática se ha incorporado en las diversas actividades humanas, de tal manera que se ha convertido en clave esencial para poder comprender y transformar nuestra cultura. Es por ello. que nuestra sociedad necesita de una cultura. matemática para aproximarse, comprender y asumir un rol transformador en el entorno complejo y global de la realidad contemporánea, esto implica desarrollar 22 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. en los ciudadanos habilidades básicas que permitan desenvolverse en la vida cotidiana, relacionarse con su entorno, con el mundo del trabajo, de la producción, el estudio y entre otros. 3.1.2 Estrategias didácticas La finalidad de la matemática en el currículo es desarrollar formas de actuar y pensar matemáticamente en diversas situaciones que permitan al estudiante interpretar e intervenir en. la. realidad. a. partir. de. la. intuición,. planteando supuestos, haciendo inferencias, deducciones, argumentaciones, demostraciones, formas de comunicar y otras habilidades, así como el desarrollo de métodos y actitudes útiles para ordenar, cuantificar, medir hechos y fenómenos de la realidad, e intervenir conscientemente sobre ella. En ese sentido, la matemática escapa de ser ciencia de números y espacio para convertirse en una manera de pensar. Mejor que definirla como la ciencia de los números, es acercarse a ella en la visión de un pensamiento organizado, formalizado y abstracto, capaz de recoger elementos y relaciones de la realidad, discriminándolas de aquellas percepciones y creencias basadas en los sentidos y de las vicisitudes cotidianas. El pensar matemáticamente implica reconocerlo como un proceso complejo y dinámico resultante de la interacción de varios factores (cognitivos, socioculturales,. afectivos,. entre. otros),. el. cual. promueve en los estudiantes formas de actuar y construir ideas matemáticas a partir de diversos contextos Cantoral (2013). En ese sentido las estrategias didácticas que se emplearon en el desarrollo de la sesión están enmarcados en los Procesos Pedagógicos cómo "actividades que desarrolla el docente de manera intencional con el objeto de mediar en el aprendizaje significativo. del estudiante" estas prácticas docentes son un. conjunto de acciones intersubjetivas y saberes que acontecen entre los que participan en el proceso educativo con la finalidad de construir conocimientos, clarificar valores y desarrollar competencias para la vida en común. Cabe señalar que los procesos pedagógicos no son momentos, son procesos permanentes y se recurren a ellos en cualquier momento que sea necesario. a) Problematización: Son situaciones retadoras y desafiantes de los problemas o dificultades que parten del interés, necesidad y expectativa del estudiante. Pone a prueba sus competencias y capacidades para resolverlos. 23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. b) Propósito y organización: Implica dar a conocer a los estudiantes los aprendizajes que se espera que logren el tipo de actividades que van a realizar y como serán evaluados. c) Motivación, interés, incentivo: La auténtica motivación incita a los estudiantes a perseverar en la resolución del desafío con voluntad y expectativa hasta el final del proceso para ello se debe despenalizar el error para favorecer un clima emocional positivo d) Procesamiento de la información: Es el proceso central del desarrollo del aprendizaje en el que se desarrollan los procesos cognitivos u operaciones mentales; estas se ejecutan mediante tres fases: Entrada, elaboración y salida. e) Gestión y acompañamiento: Implica generar secuencias didácticas y estrategias adecuadas para los distintos saberes y así mismo acompañar a los estudiantes en su proceso de ejecución y descubrimiento suscitando reflexión, critica, análisis, dialogo, etc. para lograr la participación activa de los estudiantes en la gestión de sus propios aprendizajes. f) Evaluación: Es inherente al proceso desde el principio a fin, se diseña a partir de tareas auténticas y complejas que movilicen sus competencias. Es necesario que el docente tenga claro lo que se espera logren y demuestren sus estudiantes y cuales son la evidencias que demuestran los desempeños esperados. 3.1.3 Medios y materiales educativos Los materiales que utilizamos en la sesión son sólo un medio para conseguir algo, no son un fin en si mismos, por lo que debemos darles su justo valor y tiempo de uso. Tenemos que propiciar el aprendizaje de las matemáticas no de los materiales. El material es un medio dirigido a producir en el que aprende resultados fructíferos. Siempre que se introduzca una nueva competencia matemática, el proceso óptimo de enseñanza aprendizaje debería incluir la manipulación con distintos materiales, ya que sólo a partir de una enseñanza diversificada, rica en recursos y estrategias para abordar un mismo aprendizaje,. conseguiremos. que. se. interioricen los aprendizajes matemáticos de forma significativa. a) Recurso verbal: Se refiere a la utilización de la palabra oral del facilitador. o. educando. para. transmitir conocimiento. Son los recursos. utilizados a lo largo del desarrollo del diseño instruccional a través del diálogo 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. con la elaboración de preguntas respuestas y opiniones. b) Papelotes: Medios auxiliares eficientes para motivar, aclarar, precisar y ordenar mensajes contribuyendo a un aprendizaje rápido y objetivo c) Impresos: Son las hojas utilizadas para el momento del aprendizaje. 3.1.4 Recursos La matemática al implementar recursos tecnológicos tiene el objetivo de lograr producir un impacto positivo sobre el estudiante fomentando un aprendizaje duradero y significativo, además de tener las competencias básicas para solucionar problemas de la vida diaria según el contexto donde se desenvuelve. 3.1.5 Evaluación Los alumnos resolvieron una práctica dirigida de cinco preguntas, elaboradas teniendo en cuenta las capacidades y los retos de la sesión de clase. Tipos de Evaluación: El enfoque humanista del currículo requiere de una evaluación que respete las diferencias individuales, que atienda las dimensiones afectiva y axiológica de los estudiantes, y que se desarrolle en un clima de familiaridad, sin presiones de ningún tipo. Desde un enfoque cognitivo, la evaluación servirá para determinar si se están desarrollando o no las capacidades intelectivas del estudiante. Esto nos obliga a poner énfasis en los procesos mentales que generan el aprendizaje, en la forma como aprende el alumno y no únicamente en los resultados o en la reproducción memorística del conocimiento. Para el proceso de evaluación de los aprendizajes en esta actividad de aprendizaje se ha considerado la evaluación formal. La misma que se realiza en situaciones organizadas previamente en los diferentes momentos del proceso de enseñanza – aprendizaje, con propósitos de retroalimentación y calificación. Dicha evaluación se realizó de acuerdo a los capacidades propuestas para esta actividad y teniendo en cuenta además, el ritmo de aprendizaje de los estudiantes. Instrumentos de Evaluación Aplicados: Una vez que se ha identificado el objeto de evaluación: las capacidades y actitudes, y se han formulado los indicadores que evidencien el aprendizaje de ambas, lo que resta es seleccionar las técnicas y los instrumentos más adecuados para recoger la información. 25 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Las técnicas e instrumentos de evaluación tienen que ser pertinentes con las capacidades y actitudes que se pretenda evaluar. La naturaleza de cada una de ellas presenta ciertas exigencias que no pueden ser satisfechas por cualquier instrumento de evaluación. Por ejemplo, sería absurdo tratar de evaluar la Expresión Oral mediante una prueba escrita o la Indagación y la Experimentación a través de una prueba oral. En el proceso de evaluación utilizamos distintas técnicas para obtener información, y éstas necesitan de un instrumento que permita recoger los datos de manera confiable. Por ejemplo, la observación sistemática es una técnica que necesita obligadamente de un instrumento que permita recoger los datos deseados en forma organizada. La que se utilizó para evaluar procesos es la lista de cotejo Los instrumentos de evaluación deben ser válidos y confiables: Son válidos cuando el instrumento se refiere realmente a la variable que pretende medir: en nuestro caso, capacidades. y. actitudes. Son. confiables en. la. medida que la aplicación repetida del instrumento al mismo sujeto, bajo situaciones similares, produce iguales resultados en diferentes situaciones. En este momento los alumnos hacen su propia evaluación en relación con las actividades de aprendizaje significativo como: - El cumplimiento de tareas a las que se comprometieron - Su grado de participación en las mismas - La adquisición de las competencias previstas - Los conceptos y las actitudes aprendidas Pruebas Objetivas: La ausencia de instrumentos estandarizados ha llevado a los profesores a diseñar pruebas objetivas como medio de recojo de información para juzgar los logros de los alumnos. Elaborar una prueba de este tipo no constituye el único instrumento que nos sirve para tomar decisiones, la información que recabamos con ella complementa al conjunto de información obtenida con otros instrumentos. 3.1.6 Modelo pedagógico que sustenta la sesión Donovan y otros (2000) basado en trabajos de investigación en antropología, psicología social y cognitiva, afirman que los estudiantes alcanzan un aprendizaje con alto nivel de significatividad cuando se vinculan con sus 26 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. prácticas culturales y sociales. Por otro lado, como lo expresa Freudenthal (2000) esta visión de la práctica matemática escolar no está motivada solamente por la importancia de su utilidad, sino principalmente por reconocerla como una actividad humana; lo que implica que hacer matemática como proceso es más importante que la matemática como un producto terminado. En este informe se parte del supuesto de que ningún enfoque o teoría del aprendizaje reúne las condiciones óptimas como para asignarle un carácter modélico, único; cada teoría aporta uno o más métodos que pueden ser usados bajo unos criterios propios. Todos los enfoques pueden tener aspectos recuperables positivamente, y también otros que no sólo no son recuperables sino abiertamente negativos, porque llevan a una manipulación solapada y encubierta del hombre; esto es, que pretenden encerrar a la persona dentro de unos patrones que la limitan en su creatividad y la mutilan en su crecimiento. Trataremos de explicar los diferentes enfoques. En este marco, en matemática se asume un enfoque centrado en la resolución de problemas con la intención de promover formas de enseñanza y aprendizaje a partir del planteamiento de problemas en diversos contextos. A través de la resolución de problemas y del entorno del estudiante, se va permitir construir significados, organizar objetos matemáticos y generar nuevos aprendizajes en un sentido constructivo y creador de la actividad humana. Un modelo es una imagen o representación del conjunto de relaciones que difieren un fenómeno con miras de su mejor entendimiento. De igual forma se puede definir modelo pedagógico como la representación de las relaciones que predominan en el acto de enseñar, lo cual afina la concepción de hombre y de sociedad a partir de sus diferentes dimensiones (psicológicas, sociológicas y antropológicas) que ayudan a direccionar y dar respuestas a: ¿para qué? el ¿cuándo? y el ¿con qué? Nuestra sesión al desarrollar la competencia geométrica implica que los. estudiantes desarrollen y tengan experiencias matemáticas mediante la. exploración de su entorno y el uso de postulados geométricos ya conocidos, que 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. le permita reconocer y vincular propiedades de los objetos geométricos y figuras del mundo real. Asimismo estar predispuesto a comunicar sus ideas matemáticas con respecto a las características y propiedades denotación, representación, empleando términos, convenciones y conceptos propiamente geométricos. Por lo que el modelo pedagógico que se sustenta la sesión es el constructivismo, el escenario de aprendizaje preparado va a promover la actividad mental constructiva del estudiante, entendiendo que es una persona única, irrepetible, pero perteneciente a un contexto y un grupo social determinado que influyen en él, con el uso de las tecnologías de información y comunicación Tic como herramienta pedagógica que ofrecen al maestro de Matemáticas la oportunidad de crear ambientes de aprendizaje enriquecidos para que los estudiantes perciban las Matemáticas como una ciencia experimental. Están presentes en esta corriente las "ideas previas", entendidas como construcciones o teorías personales, que, en ocasiones, han sido también calificadas como concepciones alternativas o pre - concepciones. Otra generalmente. adscrita. "conflicto cognitivo". a las que. se. concepciones da. entre. constructivistas concepciones. es. idea la. alternativas. del y. constituirá la base del "cambio conceptual", es decir, el salto desde una concepción previa a otra (la que se construye), para lo que se necesitan ciertos requisitos. El uso de las tics se sustenta en los principios pedagógicos: - En un ambiente de aprendizaje con TIC es pedagógicamente aconsejable incluir como contenidos y objetivos las habilidades necesarias para aprender con eficiencia en ese entorno. - En un ambiente de aprendizaje con TIC es deseable que los estudiantes participen en la concreción de los objetivos, con la intención de que los hagan propios. - Un ambiente de aprendizaje con nuevas tecnologías debe permitir al profesor y al alumno elegir secuencias y tiempos flexibles para abordar las actividades de aprendizaje. - Un ambiente de aprendizaje con TIC debe reunir las tres condiciones necesarias para el aprendizaje significativo Ausubel (1976): significatividad. 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. lógica,. significatividad. psicológica. y. disposición. para. aprender. significativamente. - Un ambiente de aprendizaje con TIC debe propiciar la contrastación de ideas y colaboración constrictiva entre los alumnos y con el profesor. - En un ambiente de aprendizaje con TIC se debe atribuir al alumno un papel activo en las actividades de aprendizaje. - Los aprendizajes propuestos en un ambiente de aprendizaje con TIC deben ser funcionales. - La evaluación en un ambiente de aprendizaje con TIC debe permitir al estudiante: comprender los objetivos, es decir, lo que se espera de él; anticipar las acciones necesarias para alcanzarlos; hacer propios los criterios con los que pueda juzgar, él y otros, los resultados de su aprendizaje, sobre todo durante el proceso. - La integración de TIC en un ambiente de aprendizaje facilita la regulación del aprendizaje, al permitir que la información de retorno llegue oportunamente al alumno. y. al. posibilitar. la. coevaluación,. evaluación. por. pares. y. corresponsabilidad grupal sobre los resultados de un trabajo colaborativo.. 29 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Conclusiones Sustento teórico . En el presente capitulo, hemos tratado nuevos conceptos geométricos como el plano y semiplano, así como las analogías y diferencias entre recta y plano. Se llegó a las siguientes conclusiones:. . Para empezar estudiar la geometría el estudiante debe tener nociones de los tres conceptos primitivos, ya que a partir de allí, deviene el estudio de toda la geometría plana, estudio de la recta con segmentos y ángulos, sus diferentes elementos, clases y propiedades, asimismo el estudio de las figuras planas empezando por los triángulos, elementos, clases, propiedades y sus líneas notables, terminando con el estudio de perímetros y áreas de figuras cuadrangulares, polígonos y circunferencia. . Que gracias a los postulados, los estudiantes pueden establecer algunas relaciones entre ellas como, denotación, representación, gráficas y que las rectas y planos pueden cortarse perpendicularmente, o que pueden mostrarse como figuras paralelas. Además demostrar que las rectas al intersecarse se cortan en un punto y que los planos al intersecarse se cortan en una recta.. . Asimismo, identificar que las semirrectas y semiplanos, también guardan cierta relación y que el punto ejerce influencia en una recta al separarlas en dos semirrectas llamadas rayo. La recta en el plano separa en dos semiplanos, siendo estos opuestos e ilimitados.. . El aprendizaje de la geometría en la escuela es de suma importancia ya que todo nuestro entorno está lleno de formas geométricas; en la vida cotidiana es indispensable el conocimiento geométrico básico para orientarse adecuadamente en el espacio, haciendo estimaciones sobre formas y distancias, para distribuir objetos en el espacio.. . El espacio del estudiante está rodeado de elementos geométricos, con significados concretos: puertas ventanas, pisos, tableros, pupitres. En su entorno cotidiano, en casa, su ciudad, colegio y espacios de juegos aprende a organizar mentalmente y a orientarse en el espacio. Este es el contexto apropiado para desarrollar las enseñanzas geométricas, de manera significativa para los estudiantes.. 30 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Sustento pedagógico . Los alumnos con una elevada inteligencia lógica Matemática están a menudo fascinados con las pautas numéricas y con la ciencia, e irán más allá de la aparente utilidad de las ideas. No es una habilidad aislada. Ésta inteligencia encuentra aplicación en muchos campos: Biología, música, deportes, arte, ecología, política y derecho.. . Es deber de los educadores, descubrir las principales y grandes habilidades que deben desarrollar los estudiantes para elevar su iniciativa y rendimiento escolar.. . En la medida en que los alumnos reconozcan las coincidencias y diferencias entre los diferentes tipos y tareas, podrán ser capaces de modificar sus estrategias afectivas, localizar y organizar el material de apoyo y utilizar sus conocimientos para completar su trabajo.. . Se debe reelaborar, rectificar o cambiar los trabajos y actividades, al igual que reconocer la importancia de la autocrítica y la reflexión, solo así se puede mantener el interés del alumno.. . La motivación es muy importante porque va a permitir que el alumno reciba el incentivo necesario para el desarrollo cada una de las actividades propuestas por el docente durante la sesión de aprendizaje.. . Los. materiales. educativos. estimulan la función de los. facilitan. el. proceso. enseñanza. sentidos para. acceder. más. aprendizaje,. fácilmente. a. la. información, adquisición de habilidades y destrezas, y a la formación de actitudes y valores. . La técnica de la exposición permite que el alumno desarrolle sus habilidades cognitivas, como también permite que el alumno pueda expresarse libremente ante. sus. compañeros, explicando lo que ha comprendido acerca de los. organizadores de información. . Todas las estrategias de enseñanza son utilizadas intencional y flexiblemente por el profesor y este las puede usar antes para activar la enseñanza durante el proceso para favorecer la atención y después para reforzar el aprendizaje de la información nueva.. . Los alumnos a través de las actividades señaladas por el docente permiten comprobar cuanto han comprendido el tema para luego aplicarla a situaciones nuevas 31. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Referencias Bibliográficas Sustento Teórico: Arizmendiz Campos, Jorge (1985). “Geometría Preuniversitaria”. Editorial San Marcos. Lima – Perú. Cobeñas Naquiche, Manuel. (2206).. “Matemática 3”- Curso teórico-práctico,. Segunda edición. Editorial Bruño. Lima-Perú. Contenidos Escolar.com. Geometría. Extraído el 07 de diciembre. 2016, recuperado de http://www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm Innova Santillana (2005). “Matemática III” Editores, Lima-Perú Instituto de Ciencias y Humanidades (2009). “Geometría y sus aplicaciones” Lumbrera Editores. Tercera impresión: Lima-Perú. Lógica Mente II (2003). “Serie de matemática para secundaria”. Grupo editorial Norma, Lima-Perú. Rojas Poémape, Alfonso (2005): “Matemática 3°”.Serie AZUL. Ediciones Skanners. Editorial San Marcos E.I.R.L. Lima-Perú Rubiños Torres, Luis (2003): Razonamiento matemático. Colección III Milenio – 5000 problemas resueltos. Editorial Moshera S.R.L., Primera Edición. Lima –Perú.. Sustento Pedagógico: Cabrera, Gabriela; BONYUAN, Stella. (2010). La enseñanza de la matemática situada en contexto. Córdoba, Argentina: Comunicarte. Cantoral, Ricardo. (2013). Teoría socioepistemológica de la matemática educativa. México D. F.: Editorial Gedisa Mexicana. Diseño Curricular Nacional (2005). Nueva Secundaria-Área matemática según la Nueva Ley de Educación N° 28044. 32 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Donovan, M. Suzanne y otros. (2000). How People Learn. Brain, Mind, Experience, and School. Washington D. C.: National Academy of Sciences. Frejd, Peter (2014). “Modes of Mathematical Modelling. An analysis of how modelling is used and interpreted in and out of school settings”. En Studies in Behavioural Science n.º181.Suecia: Faculty of Educational Sciences Linköping de la University Linköping. Gálvez Vásquez, José. (1999). "Métodos y Técnicas de aprendizaje: Teoría y Práctica" 4º Edición- Perú. Impresiones MACS. Ministerio de Educación. "Evaluación de los aprendizajes: en el marco de un currículo por competencias". Lima: Quebecor World Perú, 2001. Ministerio de Educación. "Programa de formación continua de docentes en servicios”. Fascículo 7.3. Perú. 2000. Novak, J - Gowin, B. (1988): "Aprendiendo a Aprender". Martínez Roca-Barriga ARCEO, Frida. "Estrategias docentes para un aprendizaje significante, 2º ed. México. Ramón Ayllón, José (2009): “Las diez claves de la educación” ; 1ra edición filosófica. Mexico; Editorial.. 33 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Anexos. 34 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Anexo 01 Orígenes de la Geometría El hombre mediante la observación de la naturaleza y todo cuanto lo rodea, fue formando conceptos de formas, figuras planas, cuerpos y volúmenes, rectas y curvas. Así, a la Luna y al Sol los veía proyectados como discos; el rayo de luz le dio la idea de línea recta; los bordes de algunas hojas y el arco iris, la idea de curva; los troncos de algunos árboles y las montañas le dieron la idea de las formas más diversas. De la construcción de casas con paredes vertical y sus techos horizontales surgió la noción de perpendicular y paralelismo, llegando a descubrir que la distancia más corta entre dos ciudades es el camino recto. Si bien en Egipto surgieron los conceptos de geometría en forma práctica, fue en Grecia donde estos conceptos adquirieron forma científica, alcanzando su máximo esplendor estrechamente ligado a la filosofía de tal manera que, para ingresar en la escuela filosófica de Plantón, debían tener conocimientos de geometría. Se destacaron Thales de Mileto (uno de los siete sabios de Grecia) Pitágoras (famoso por el teorema que lleva su nombre) Euclides, que dio origen a la geometría euclidiana. La palabra geometría es un vocablo compuesto por geo, que significa tierra; metría, que significa medir; es decir, medir la tierra. (Océano 1988). Importancia y utilidad de la geometría. 35 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 36 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Anexo 02 Practica dirigida (Aplico mis conocimientos) Estudiante: ……………………………………….fecha: ……………grado:…………… Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios identificando planos y semiplanos, y sus relaciones con las rectas 1. Grafique 3 o más puntos en un mismo plano (coplanares), que pueden ser colineales o no colineales:. 2. Grafica dos resta dos rectas coplanares si se intersecan lo hacen en un mismo punto.. 3. Observa las siguientes preguntas, y marca con una x la letra donde corresponda:. ¿En cuál de ellas no aparecen planos triangulares? a) Figura 1 b) Figura 2 c) Figura 3. d) Figura 4. 4. Observa la siguiente ilustración. La figura plana que no aparece representada es: b) circulo b) triángulo c) rectángulo. d) cuadrado. 5. ¿Cuál de las siguientes figuras representa un semiplano? s. r α 1. α2. Figura 1 a) Figura 1. α. β. Figura 2 b) figura 2. c) figura 1 y 2. d) N.A. 37. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Anexo 03 Punto, recta y plano Para comenzar a desarrollar la Geometría, debemos fijar entes fundamentales, los que se aceptan sin definición previa.. Plano: Es el conjunto de puntos que forman un espacio con dos dimensiones. El plano es designado con habitualmente con una letra del alfabeto griego. α. Recta: la intersección de dos planos es un conjunto de puntos que se forman un espacio de una dimensión llamado recta. Se designa con letras minúsculas cursivas:. π1 ∩ π2 ≡ r. El plano π1 intersecado con el plano π2 determina la recta r. Punto: Es la intersección de rectas. Se designa con letras mayúsculas de imprenta. r ∩s≡P. La recta r intersección con la recta s determina el punto P. 38 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Anexo 04 Ficha de autoevaluación I. Datos generales: Título de la sesión de clase Docente Nombre del estudiante Área. Nociones Básicas de Geometría Plana: Punto recta y plano Manuel Antonio Torres Araujo. Grado: 3° Fecha: 16/12/19. Matemática. II. Estimados estudiantes: 1. La finalidad de este proceso es de ayudarte a reflexionar sobre tus aprendizajes con la finalidad de mejorar tus capacidades mentales. 2. Responde cada una de las expresiones en los casilleros y marca con una X . 3. Además cada ítem explícalo brevemente por qué o cómo es posible mejorar tus capacidades para superar tus dificultades. III. Responde conscientemente. 1. En el desarrollo de esta clase, me he sentido. Muy bien. Bien. Regular. mal. Por qué: …………………………………………………………………………….. 2. Mi esfuerzo en esta clase lo calificaría. Muy bien. Bien. Regular. mal. Por qué: …………………………………………………………………………….. 3. Mi participación en eta clase, me hizo replantear o corregir mis. Si. No. conocimientos En qué sentido:……………………………………………………………………… 4. Lo desarrollado en clase, me parece importante para mi desarrollo. Si. No. aptitudinal Cuál y por qué:……………………………………………………………………… 5. He despejado mis dudas con el profesor y/o compañeros de clase y/o. Si. No. investigado independientemente por mi propia cuenta: Por qué:……………………………………………………………………………… 6. He cumplido responsablemente con las practicas o actividades. Si. No. asignados por el profesor de mi área relacionándolo con algún aspecto de mi vida. Cómo lo relaciona: …………………………………………………………………. 7. Lo aprendido en clase, me ha enseñado algunos valores personales. SI. NO. importantes para mi formación. Por ejemplo:…………………………………………………………………………. 39 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Anexo 05 Ficha de observación N° Apellidos y Nombres. Perseverancia. Responsabilidad. Honestidad. Respeto. (1-5). (1-5). (1-5). (1-5). Total. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30. 40 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Anexo 6 Lista de cotejo Grado:……………………………… Sección:..…………………Fecha:………………. Estudiantes. SI. NO. SI. NO. SI. NO. SI. nombrándolo correctamente. Representa y grafica al plano y semiplano ,. solicitado. previsto. mostrando los postulados y el ejemplo. Muestra su organizador visual en el tiempo. punto, recta y plano.. conceptos primitivos de la geometría como. Identifican las relaciones existentes entre los. N°. reales. INDICADOR. Relaciona al plano y semiplano con objetos. Docente responsable:……………………………………………………………………. NO. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25. 41 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.



(44)