Documento materiales, apuntes y ejercicios, UD10, "Trabajo y energía", FyQ1º

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UNIDAD DIDÁCTICA 10. La energía. Transferencia de energía: trabajo y calor

1. Concepto de energía

* Concepto de energía: magnitud escalar que mide la propiedad intrínseca de los sistemas (cuerpos) que les permite producir cambios o transformaciones tanto en ellos mismos como en otros.

• Unidad en el SI: julio (joule)  J. * Características de la energía:

• Puede transferirse de unos sistemas a otros: mecánicamente (trabajo), térmicamente (calor) y sin contacto ni transporte de materia (radiación).

• Puede almacenarse y transportarse (energía química en pilas y baterías). • Está presente en toda transformación:

o Cuando interaccionan dos sistemas se transfieren o intercambian energía  cambios en ambos sistemas y en

su energía.

• Manifestaciones de la energía

o Energía cinética: energía que poseen los sistemas o cuerpos por el hecho de estar en movimiento.

▪ Depende de la masa, m, y de la velocidad, v, del cuerpo (sistema).

▪ Matemáticamente:

Ec =

1

2 m v

2_(10.1)

o Energía potencial: energía que poseen los sistemas debida a las posiciones relativas de los cuerpos que los componen.

▪ Ejemplos: gravitatoria, elástica, eléctrica,… (sólo se puede definir para fuerzas o campos conservativos).

▪ Matemáticamente: Ep= Ep(x, y, z).

o Energía mecánica de un cuerpo: suma de sus energías cinética y potencial. − Matemáticamente:

E_m = E_c+ E_p (10.2)

o Energía interna (U o E): suma de todas las energías cinéticas y potenciales de un sistema, que, macroscópicamente, está relacionada con la temperatura del sistema.

• Conservación de la energía: en una transformación la cantidad total de energía de un sistema permanece constante.

o La energía no se crea ni se destruye: misma cantidad de energía antes y después de una transformación, aunque su distribución en diferentes formas sea distinta.

• La energía se degrada en los procesos de transformación: existen formas de energía que permiten un mayor número de transformaciones que otras (existen formas de energía de mayor calidad que otras).

• Formas de transferir energía:

o Trabajo: mecánicamente mediante fuerzas que producen desplazamientos.

o Calor: térmicamente por la diferencia de temperaturas entre los sistemas.

o Radiación: electromagnéticamente sin contacto ni transporte de materia entre los sistemas.

2. Trabajo

* Concepto de trabajo: magnitud que mide la energía que se transfieren mecánicamente los cuerpos (o sistemas) por medio de fuerzas que provocan desplazamientos.

• Matemáticamente (para una fuerza F

⃗

constante):

W = F⃗⃗ · ∆r⃗ = |F⃗⃗| · | ∆r⃗| · cosα (10.3)

• Unidades: las mismas que las de energía → julio (joule), J.

• Definición de julio: trabajo o energía que se transfiere cuando una fuerza de 1 N produce un desplazamiento de 1 m  1 J = 1 N · 1 m.

• No se debe confundir el trabajo con el esfuerzo físico.

• Gráfica fuerza – desplazamiento: el trabajo coincide con el área debajo de la gráfica → W = área.

3. Energía y trabajo

* Trabajo y energía cinética: el trabajo total o realizado por la fuerza resultante o neta que se ejerce sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética (teorema de las fuerzas vivas).

• Matemáticamente:

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Departamento de Física y Química I.E.S. Virgen de Valme

W_resultante = ∆E_c= E_c_final− E_c_inicial

* Trabajo y energía potencial: la energía potencial solo se puede definir para fuerzas o campos conservativos.

• Fuerzas conservativas: aquellas cuyos trabajos entre dos puntos solo dependen de dichos puntos, no del camino seguido entre ellos  los trabajos se pueden expresar como diferencia de una función que sólo depende de los puntos inicial y final, es decir, solo depende de la posición.

• Esta función se denomina energía potencial.

• La energía potencial se define a partir del trabajo que realizan dichas fuerzas entre dos puntos  solamente tiene sentido físico su variación (para poder conocer la energía potencial en un punto hay elegir un origen, es decir, un lugar o punto en el la energía potencial sea cero):

o Matemáticamente:

W_{conservativoA}B = W_cAB = −∆E_pAB (10.5)

= −m · g · ∆y_AB ⇒ −∆E_pAB = −m · g · ∆y_AB

⇒

∆E_pAB= m · g · ∆yAB

o Sólo tiene sentido físico o solo se pueden conocer y calcular variaciones de energía potencial. Para determinar la energía potencial en un punto o posición hay que elegir un origen de energías potenciales:

habitualmente se elige el origen de energía potencial gravitatoria en y = 0 (normalmente la superficie terrestre)  Ep(y = 0) = 0.

o Matemáticamente: ∆E_pAB= m · g · ∆yAB⇒ Ep(y) − Ep(y = 0) = m · g · y − m · g · 0 ⇒

Ep

(

y

)

= m · g · y También:

Ep

(

h

)

= m · g · h (10.6)

donde Ep(h = 0) = 0

• Trabajo y energía potencial elástica: el trabajo realizado por la fuerza elástica es igual a la variación cambiada de signo de la energía potencial elástica.

o Matemáticamente: W_el_á_sticoAB = W_Fel_á_sticaAB = −∆E_pAB = −

[

E_p

(

B

)

− E_p

(

A

)]

=1

2 k · xB

2₋1

2 k · xA 2

o Sólo tiene sentido o solo se pueden conocer y calcular variaciones de energía potencial. Para determinar la energía potencial en un punto o posición hay que elegir un origen de energías potenciales: habitualmente se elige el origen de energía potencial elástica en x = 0 (normalmente situación de equilibrio del muelle)  Ep(x = 0) = 0.

o Matemáticamente:

∆E_pAB=1 2 k · xB

2₋1

2 k · xA

2_{⇒ E}

p(x) − Ep(x = 0) =

1 2 k · x

2₋1

2 k · 0

2_⇒

Ep

(

x

)

=

1

2 k · x

2_(10.7)

4. Principio de conservación de la energía mecánica

* Energía mecánica de un cuerpo: es la suma de la energía cinética y la energía potencial de un cuerpo.

* Principio de conservación de la energía mecánica: cuando sobre un cuerpo solo actúan fuerzas conservativas (gravitatorias, elásticas, eléctricas,…) su energía mecánica permanece constante.

• Matemáticamente: W_totalAB = ∆E_cAB ⇒ W_CAB+ W_NCAB = ∆E_cAB ⇒ W_CAB+ W_NCAB = ∆E_cAB ⇒ W_CAB = ∆E_cAB ⇒

−ΔE_pAB = ∆E_cAB ⇒ 0 =ΔE_pAB + ∆E_cAB ⇒ 0 = ΔE_mAB ⇒ Em

(

A

)

= Em

(

B

)

⇒ Em = constante

* Principio generalizado de conservación de la energía mecánica: el trabajo total de las fuerzas no conservativas (todas aquellas cuyos trabajos no se pueden expresar como variaciones de energía potencial) que actúan sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía mecánica.

• Matemáticamente: W_totalAB = ∆E_cAB ⇒ W_{ConservativoA}B+ W_{NoConservativoA}B = ∆E_cAB ⇒ W_CAB + W_NCAB = ∆E_cAB ⇒

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W_NCAB =ΔE_mAB (10.8)

5. Potencia

* Concepto de potencia: magnitud que mide la rapidez con que se realiza trabajo o se absorbe, se libera o se transfiere energía. * Potencia media: trabajo o energía transferida en promedio en la unidad de tiempo (relación entre la energía total transferida y el tiempo total empleado en transferirla).

Pm =

W

Δt =

ΔE

Δt (10.9)

* Potencia instantánea: potencia media en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño o en un instante (límite de la relación entre el trabajo o energía transferida y el intervalo de tiempo empleado cuando este tiende a cero):

• P = lim

Δt→0 W

Δt= lim_Δt→0

ΔE

Δt= dW

dt =

dE dt * Unidades de potencia:

• En el SI: vatio (watt) → W. Un vatio es la potencia que se desarrolla cuando se transfiere una energía o se realiza un trabajo de un julio en un segundo → 1 W = 1 J/1 s = 1 J/s.

• Otras unidades:

o caballo de vapor, CV  1 CV = 735 W. o kilovatio, kW  1 kW = 103_W.

o megavatio, MW = 106_W.

• Unidad de trabajo y energía: kilovatiohora, kwh → energía que se transfiere o trabajo que se realiza cuando se desarrolla una potencia de un kilovatio durante una hora  1 kWh = 3,6 · 106_J.

* Rendimiento de una máquina: relación entre la energía útil o que se utiliza para realizar trabajo y la energía total consumida o transformada (energía útil por cada unidad de energía consumida o por cada cien unidades de energía transformada si se expresa en tanto por ciento).

• Matemáticamente: η = Eútil

E_transformada ó η = Eútil

E_transformada· 100 (%)

6. Energía y calor

* Concepto de calor: magnitud que mide la forma térmica de transferencia de energía entre cuerpos o sistemas que se encuentran a diferente temperatura.

• Los cuerpos no contienen calor: el calor es una forma de transferencia de energía o es una energía en tránsito. • Unidad SI: julio, J.

• Otra unidad habitual: caloría, cal → una caloría es la cantidad de energía en forma de calor que hay que transferir a un gramo de agua a la presión atmosférica para que su temperatura aumente un grado centígrado de 14,5 a 15,5 ºC.

• Relación caloría – julio: 1 cal = 4,18 J  equivalente mecánico del calor

* Temperatura: magnitud que mide o está relacionada con el estado de agitación de las partículas de un sistema o cuerpo → es directamente proporcional a la energía cinética media de las partículas que forman el cuerpo o sistema.

• Se mide por el hecho de que dos cuerpos en contacto térmico alcanzan la misma temperatura tras cierto tiempo → equilibrio térmico.

• Escalas de temperatura:

o Centígrada o Celsius (en 1742 por Anders Celsius, 1701 – 1744, físico y astrónomo sueco): se basa en la fijación de dos puntos conocidos (punto de fusión del hielo, 0º, y punto de ebullición del agua, 100º) y división del intervalo de temperaturas en cien partes iguales → grado centígrado o Celsius, ºC.

o Escala absoluta o kelvin (en 1848 por William Thomson, primer barón Kelvin, 1824 – 1907, físico y matemático británico): se basa en una temperatura límite inferior (ausencia de movimiento de las partículas) o cero absoluto (corresponde a – 273,15ºC) → T (K) = T (ºC) + 273. El kelvin, K, es la unidad de temperatura en el SI.

o Escala Fahrenheit (en 1724 por Daniel Naigel Gabriel Fahrenheit, 1686 – 1736, físico de origen polaco): ampliamente usada en los Estados Unidos; esta escala divide la diferencia entre los puntos de fusión (32º) y de ebullición del agua (212º) en 180 intervalos iguales → las temperaturas en la escala Fahrenheit son conocidas como grados Fahrenheit (ºF).

7. Cambios y equilibrio

* Efectos del intercambio de energía en forma de calor de un sistema con el entorno o con otro sin que se realice trabajo: • Cambios de temperatura: la cantidad de energía, Q, transferida para cambiar la temperatura de un cuerpo o sistema a presión constante es proporcional a la masa del sistema y a la variación de su temperatura.

∆E = Q = m · ce· ∆T = m · ce· (Tf− Ti) (10.10)

• Constante de proporcionalidad: calor específico, ce → cantidad de energía en forma de calor que hay que transferir a la unidad de masa de un cuerpo o sistema para que su temperatura aumente en una unidad.

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o Unidad habitual: cal · g-1_{· ºC}-1_{(cal/g·ºC).}

• Cambios de estado: la cantidad de energía, Q, transferida para cambiar de estado un cuerpo o sistema a presión y temperatura (del cambio de estado) constantes es proporcional a la masa del sistema.

∆E = Q = m · L (10.11)

• Constante de proporcionalidad: calor latente de cambio de estado, L (Lf para la fusión y Lv para la vaporización) → cantidad de energía en forma de calor que hay que transferir a la unidad de masa de un cuerpo o sistema para que cambie su estado a presión constante y a la temperatura del cambio de estado (también constante).

o Unidad en SI: J · kg-1_(J/kg).

o Unidad habitual: cal · g-1_(cal/g).

• Cambios de estado progresivos: aquellos en los que el sistema absorbe energía  fusión, vaporización y sublimación → la energía se emplea en debilitar las fuerzas de cohesión entre las

partículas del sistema.

• Cambios de estado regresivos: aquellos en los que el sistema cede energía (la misma que el sistema absorbe para los cambios progresivos)  condensación, solidificación y sublimación inversa o regresiva.

* Equilibrio térmico: situación que alcanzan los sistemas que, tras cierto tiempo en contacto térmico, igualan sus temperaturas:

• Si consideramos los cuerpos o sistemas en contacto térmico como un sistema aislado (no hay intercambio de calor con otros sistemas o con el entorno) se cumple que el calor total absorbido más el calor total cedido es cero  el calor cedido por el cuerpo

que está a mayor temperatura es igual al calor absorbido por el cuerpo que está a menor temperatura.

o Matemáticamente:

Q_absorbido+ Q_cedido= 0 → Q_a+ Q_c = 0 (10.12)

8. Energías cinética y potencial del movimiento armónico simple

* Energía potencial. Las fuerzas restauradoras que obedecen la ley de Hooke (elásticas) son conservativas:

WA B

= −∆E_pAB ⇒ W0 x

=

∫

−k · x dx = −

[

k · x

2

]

0 x

= −k · x

2

2 = −∆Ep0

x x

0

= −

[

Ep

(

x

)

− Ep(0)

]

Si hacemos Ep(0) = 0 

Ep

(

x

)

=

1

2 k · x

2_(10.13)

• También se puede escribir Ep

(

t

)

= 1

2 k · A

2_cos2

₍

_{ωt + φ}

_{). La energía potencial de un}

oscilador armónico varía de forma periódica con el tiempo. * Energía cinética.

E_c=1 2 m · v

2 _{⇒ E}

c

(

x

)

=

1

2 m · ω

2_·

₍

_A2_{− x}2

₎

₌1

2 k ·

(

A

2_{− x}2

₎

_(10.14)

Ec

(

t

)

=

1

2 m · ω

2_{· A}2_sen2

₍

_{ωt + φ}

₎

₌1

2 k · A

2_sen2

₍

_{ωt + φ}

₎

_(10.15)

• La energía cinética de un oscilador armónico varía de forma periódica con el tiempo.

* Energía mecánica. Si sólo actúan las fuerzas recuperadoras la energía mecánica de un oscilador permanece constante 

Em= Ec+ Ep=

1

2 k · A

2_sen2

₍

_{ωt + φ}

₎

₊1

2 k · A

2_cos2

₍

_{ωt + φ}

₎

₌1

2 k · A

2 _⇒

Em =

1

2 k · A

2

(10.16)

9. Diferencia de potencial eléctrico

* Energía potencial electrostática o eléctrica. Al tratarse de un campo conservativo, en el campo electrostático se puede definir una energía potencial electrostática a partir del trabajo realizado por las fuerzas del campo: W_CAB = −∆E_pAB.

• Sólo se pueden conocer variaciones de energía potencial eléctrica.

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• Así la energía potencial electrostática en el punto P es el trabajo que realizan las fuerzas del campo cuando una carga se desplaza desde el punto hasta el infinito  Ep

(

P

)

= WP∞.

* Potencial electrostático. En un punto P es la energía potencial electrostática de la unidad de carga positiva supuesta situada en dicho punto. O también es el trabajo que realizan las fuerzas electrostáticas cuando la unidad de carga positiva se desplaza desde dicho punto hasta el infinito (el origen de potencial se toma en el infinito V() = 0).

• Matemáticamente: V(P) =EP(P)

QP (o más correctamente V(P) = limQP→0 EP(P)

QP ). • Unidad en S. I.: voltio, V. 1 V =1 J

1 C→ 1 V = 1 J

C= 1 J · C

−1_{. En un punto hay un potencial electrostático de un voltio} si una carga de +1C situada en ese punto posee una energía potencial electrostática de 1 J.

• Diferencia de potencial eléctrico . Realmente solo se puede conocer la variación de potencial eléctrico (igual que la energía potencial eléctrica) o diferencia de potencial eléctrico:

∆VAB= V(B) − V(A) =

∆E_pAB

Q =

−WAB

Q =

WBA

Q (10.17)

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Departamento de Física y Química I.E.S. Virgen de Valme EJERCICIOS Y PROBLEMAS UNIDAD 10. La energía. Transferencia de energía: trabajo y calor

1) Un satélite de comunicaciones gira con velocidad constante atraído por la fuerza gravitatoria. Explica cómo hallarías el

trabajo realizado por esta fuerza.

2) Calcula el trabajo realizado en los siguientes casos: a) La fuerza necesaria para sostener un saco de yeso de 50 kg en

reposo. b) La fuerza gravitatoria que ejerce el Sol sobre la Tierra. c) La fuerza total sobre un patinador que, sosteniendo a su pareja de 60 kg, se desliza 2 m a velocidad constante. Sol.: a) 0; b) 0; c) 0.

3) Una corredora, con una masa de 55 kg, consigue en una carrera la velocidad de 30 km/h, ¿cuál es su energía cinética?,

¿de dónde la obtiene? Sol.: 1910 J.

4) Una moto de 1200 kg arranca y alcanza una velocidad de 108 km/h en 300 m. Calcula, en julios, el aumento de energía

cinética y la fuerza total que actúa sobre la moto. Sol.: 5,4 · 105_{J; 1800 N.}

5) Una bomba hidráulica ha llenado un depósito de 500 L situado a 6 m de altura. ¿Qué trabajo ha realizado? (Dato: go =

10 m·s-2_)._{Sol.: 3,0 · 10}4_J.

6) Una chica empuja horizontalmente una caja de 20 kg con una velocidad constante, recorriendo 8 m en una superficie

horizontal, que presenta un rozamiento al deslizamiento de coeficiente μ = 0,35. a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza que aplica sobre la caja? b) ¿Cuál es el trabajo total sobre la caja? Sol.: a) 560 J; b) 0.

7) El mecanismo de lanzamiento de una lanzadera espacial de juguete consta de un resorte de constante k = 80 N/m. Su

longitud se reduce en 10 cm al montarla para el lanzamiento. ¿Qué energía potencial tiene el resorte en esa situación? Si toda la energía potencial elástica se transforma en cinética, ¿con qué velocidad saldrá el cohete, cuya masa es de 5 g? Sol.: 0,4 J; 12,6 m·s-1_.

8) Utilizamos la lanzadera del ejercicio anterior para lanzar verticalmente una bola de acero que tiene una masa de 20 g.

Si, al alcanzar la altura máxima, toda la energía potencial elástica se trasforma en potencial gravitatoria, ¿qué altura alcanzará la bola al lanzarla? (Dato: go = 10 m·s-2). Sol.: 2 m.

9) En la Luna se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto de 400 g a una velocidad de 20 m/s. Determina: a) La altura

máxima alcanzada y la energía potencial en ese punto. b) Las energías potencial y cinética a los 50 m del suelo. (Dato: gL = 1,63

N/kg). Sol.: a) 123 m; 80 J; b) 32,6 J; 47,4 J.

10) Se lanza un bloque de 1 kg de hielo a la velocidad de 10 m/s por una rampa helada, hacia arriba. Si la pendiente de la

rampa es de 30º y el rozamiento se supone nulo, determina: a) Cómo es la energía mecánica y cuánto vale en las partes más alta y más baja de la rampa. b) El espacio recorrido por el bloque antes de detenerse. c) Las energías potencial y cinética cuando ha recorrido 8 m. (Dato: go = 10 m·s-2). Sol.: a) 50 J; b) 10 m; c) 40 J; 10 J.

11) Un chico de 63 kg que lleva unos patines de 4 kg de masa alcanza una rampa de 30º a la velocidad de 5 m/s. Si en el

rozamiento se pierde el 10% de la energía, ¿qué espacio recorrerá en la rampa? (Dato: go = 10 m·s-2). Sol.: 2,25 m.

12) Situado sobre una mesa se encuentra un objeto de 2,5 kg sujeto a un muelle de constante k = 300 N/m. El muelle se

estira 15 cm y se suelta. Si entre el objeto y la mesa existe un rozamiento de coeficiente μ = 0,35, ¿qué velocidad lleva el cuerpo

cuando pasa por la posición x = 0 cm? Sol.: 1,28 m·s-1_.

13) Una moto de 200 kg arranca y en 10 s alcanza una velocidad de 120 km/h. Calcula, en julios, el aumento de energía

cinética. Si, debido al rozamiento, se ha perdido el equivalente al 25% de la energía cinética, calcula la potencia media del vehículo. Sol.: 1,11 · 105_{J; 1,39 · 10}4_W.

14) Una bomba hidráulica para incendios de 10 kW de potencia es capaz de expulsar 60 m3_{/h. ¿Hasta qué altura puede}

mandar el agua? (Datos: go = 10 m·s-2; densidad del agua, d = 1000 kg m–3). Sol.: 60 m.

15) ¿Qué cantidad de energía es necesaria para calentar 60 L de agua desde 15 ºC hasta 50 ºC? Expresa el resultado en J y

en kWh. Si este calentamiento se hace con energía eléctrica, que cuesta 0,08 €/kWh, calcula el importe de esa energía. (Datos: ce(agua) = 4180 J·kg-1·K-1; densidad del agua, d = 1000 kg m–3). Sol.: 8,78 · 106 J; 2,44 kWh; 0,20 €.

16) ¿Qué tiempo necesita un calentador eléctrico de 2,5 kW para calentar el agua de un depósito de 80 L desde la temperatura inicial de 18 ºC hasta la final de 60 ºC? (Datos: ce(agua) = 4180 J·kg-1·K-1; densidad del agua, d = 1000 kg m–3)Sol.:

1,56 h.

17) Calcula la cantidad de energía necesaria para transformar 500 g de agua a 25 ºC en vapor de agua a 100 ºC. (Datos:

ce(agua) = 4180 J·kg-1·K-1;Lv (agua)= 2257200 J·kg–1·K–1). Sol.: 1285 kJ.

18) Una bola de plomo de 45 g (que inicialmente está a 50 ºC) impacta a 350 m/s contra una placa de acero, quedando

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19) Se sumergen 50 g de hierro a 25 ºC dentro de 250 g de agua a 80 ºC. Después de cierto tiempo, la temperatura de la

mezcla es de 78,9 ºC. Si no hay intercambios de energía con el exterior, ¿cuál será el calor específico del hierro? (Dato: ce(agua)

= 4180 J·kg-1_·K-1_{). Sol.: 426 J·kg}-1_·ºC-1_.

20) ¿Cuántos gramos de hielo a 0 ºC hay que añadir a un vaso que contiene 200 g de agua a 25 ºC para que la temperatura

final del sistema sea de 5 ºC? (Datos: Lf(agua) = 334400 J/kg; ce(agua) = 4180 J/(kg °C)). Sol.: 47 g.

21) Una caja de 5 kg se deja en un plano de 60º. Determina el trabajo de las distintas fuerzas y la energía cinética a los 2 m

de recorrido. (coeficiente de rozamiento: μ = 0,35). Sol.: 0; 86,6 J; – 17,5 J; 69,1 J.

22) Un cuerpo que se desliza por una superficie horizontal tiene en un momento dado una velocidad de 10 m/s. Si la masa

del cuerpo es de 2 kg y el coeficiente de rozamiento es μ = 0,2, calcula: a) La fuerza de rozamiento. b) El trabajo de esa fuerza.

c) El espacio recorrido por el cuerpo hasta detenerse desde el momento indicado. (Dato: go = 10 m·s-2). Sol.: a) – 4,0 N; b) – 100

J; c) 25 m.

23) En una montaña rusa, la altura de uno de los picos es hA= 15 m y la del siguiente es de hB = 10 m. Cuando un vagón

pasa por el primero, la velocidad que lleva es vA = 5 m/s. Si la masa del vagón más la de los pasajeros es de 500 kg, calcula: a)

La velocidad del vagón al pasar por el segundo pico en el caso de que no haya rozamientos. b) Si la velocidad real con la que

pasa por el segundo pico es vB = 8 m/s, ¿cuánto vale el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento? (Dato: go = 10 m·s-2).

Sol.: a) 11,2 m·s-1_{; b) – 15250 J.}

24) Un objeto de 15 kg de masa se desplaza 4 m en una superficie horizontal bajo la acción de una fuerza de 50 N que forma

un ángulo de 30º con el desplazamiento. La fuerza de rozamiento entre el cuerpo y el suelo se opone al avance. Calcula el trabajo

de cada fuerza y el trabajo total considerando un coeficiente de rozamiento de valor μ = 0,25. (Dato: go = 10 m·s-2). Sol.: 0; 0;

173 J; – 125 J; 48 J.

25) Cuando una bola de 150 g de masa choca contra un péndulo balístico de 10 kg de masa, se observa que el centro de

gravedad del péndulo se eleva una altura de 15 cm y la bola queda incrustada en el péndulo. Calcula la velocidad de la bola. (Dato: go = 10 m·s-2). Sol.: 117 m·s-1.

26) El tren de esta atracción, de 10 t, «riza el rizo» cuyo radio mide 3 m. Calcula, considerando los rozamientos nulos: a)

La mínima energía cinética que debe tener el tren en el punto más alto del trayecto circular del rizo. b) La altura mínima, referida a la base del rizo, desde la que al dejar caer el tren se describa el rizo. (Dato: go = 10 m·s-2). Sol.: a) 1,50 · 105 J; b) 7,5 m.

27) Un cuerpo de 375 g está en contacto con un muelle de constante 400 N/m comprimido una longitud de 5 cm. a) Si el

muelle se coloca en posición vertical, el cuerpo queda inicialmente a 10 cm de altura. En caso de soltar el muelle, ¿qué altura máxima alcanza el cuerpo? b) Si se coloca horizontal sobre una mesa que presenta un rozamiento de coeficiente μ = 0,20, ¿qué

distancia recorre el cuerpo sobre la mesa una vez dejado en libertad? (Dato: go = 10 m·s-2). Sol.: a) 0,13 m; b) 0,67 m.

28) Una grúa sube un contenedor de 2800 kg a 15 m de altura en 20 s. Calcula la potencia de la grúa en este trabajo. (Dato: go = 10 m·s-2). Sol.: 21 kW.

29) Una resistencia de 1500 W de potencia se introduce en un recipiente que contiene 15 L de agua. Suponiendo que un

80% de la energía eléctrica desarrollada por la resistencia se invierta en calentar el agua, ¿qué temperatura tendrá el agua al cabo de 15 minutos, si inicialmente estaba a 20 ºC? (Dato: calor específico del agua: 4180 J/(kg ºC)). Sol.: 37ºC.

30) En una vasija de paredes aislantes se introducen cantidades iguales de agua, a 50 ºC, y de hielo, a –40 ºC. a) ¿Se fundirá

todo el hielo? b) ¿Cuál será la temperatura final de la mezcla? (Datos: ce(hielo) = 2,13 kJ·kg-1·K-1; ca(agua) = 4,18 kJ·kg-1·K-1;

Lf(agua) = 334,4 kJ·kg-1; Lv(agua) = 2257,2 kJ·kg-1). Sol.: a) No; b) 0ºC.

31) Realizando un diagrama de pasos, calcula la energía absorbida por 1,5 kg de hielo a –5 ºC al transformarse en vapor de

agua a 100 ºC. (Datos: Lf(agua) = 334,4 kJ·kg–1; Lv(agua) = 2257,2 kJ·kg–1; ce(hielo) = 2,13 kJ·kg-1·°C-1; ca(agua) = 4,18 kJ·kg -1_·ºC-1_{). Sol.: 4530 kJ.}

32) Un cuerpo de 0,5 kg se desliza por una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de 2 m/s. Si este cuerpo choca con un muelle cuya constante elástica vale 80 N/m. a) ¿Cuánto se comprimirá el muelle? b) Desde qué altura se debería dejar caer el cuerpo anterior para que produjera la misma compresión en el muelle. (Dato: go = 10 m·s-2). Sol.: a) 0,158 m; b)

0,042 m.

33) Un automóvil de 1425 kg parte del reposo sobre una pista horizontal. Suponiendo que la fuerza de rozamiento es constante y vale 15 kp, calcular: a) La aceleración que es preciso comunicar al auto para alcanzar la velocidad de 120 km/h en 800 m. b) El trabajo que habrá realizado el motor desde el momento de partir hasta el instante en el que alcanza los 120 km/h. c) La potencia que desarrolla el motor en el instante en el que alcanza la velocidad de 120 km/h. d) La distancia que recorrerá hasta pararse, si cuando va a 120 km/h se desconecta el motor. Sol.: a) 0,69 m/s2_{; b) 9,1·10}5_{J; c) 51,6 CV; d) 5267 m.}

34) Un caballo va por la orilla de un río y tira de una barcaza con la fuerza de 400 N, mediante una cuerda que forma un ángulo de 37º con la dirección del río. Determinar el trabajo que realiza al recorrer 200 m. Solución: 64000 J

(8)

Departamento de Física y Química I.E.S. Virgen de Valme plano inclinado? b) ¿Con qué fuerza se ha empujado el bloque? c) ¿Cuál ha sido la ventaja de usar el plano inclinado, en vez de elevarlo verticalmente? Sol.: a) 2940 J.; b) 588 N.; c) la fuerza aplicada es menor.

36) Un hombre arrastra un cajón de 80 kg de masa una distancia de 15 m a lo largo de una superficie horizontal con velocidad constante. Calcular el trabajo realizado en los siguientes casos: a) No hay rozamiento y la fuerza aplicada es horizontal. b) No hay rozamiento y la fuerza aplicada forma un ángulo de 30º con la horizontal. c) El coeficiente de rozamiento vale 0,4 y la fuerza aplicada es horizontal. d) El coeficiente de rozamiento es 0,4 y la fuerza forma un ángulo de 30º. Sol.: a) 0; b) 0; c) 4704 J; d) 4045 J.

37) Un cuerpo de 2 kg desciende en caída libre. a) ¿Qué fuerza constante es preciso aplicarle, en el instante en que su velocidad es de 20,4 m/s, para detenerlo en 2 s? b) ¿Qué trabajo se realiza sobre el cuerpo desde que se aplica la fuerza hasta que se detiene? Sol.: a) 40 N.; b) –816 J.

38) Una bomba accionada por un motor eléctrico ha elevado 100 m3_{de agua a una altura de 20 m en 20 minutos. Si el motor} tiene una potencia de 25 CV, calcular: a) El trabajo realizado. b) El rendimiento de la instalación. Sol.: a) 1,96 · 107_{J; b) 88 %.}

39) Sobre un cuerpo de 15 kg, situado en una superficie horizontal, actúa horizontalmente una fuerza de 40 N. El cuerpo se ha desplazado 21 m en un minuto con aceleración constante. Calcular: a) El valor del coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie. b) La energía cinética del cuerpo al final del recorrido. c) La potencia media desarrollada. Sol.: a) 0,27; b) 3,15 J; c) 14 W.

40) Subimos un trineo de 20 kg por una pendiente de 30º ejerciendo una fuerza F mediante una cuerda que forma un ángulo de 45º con el suelo. El coeficiente de rozamiento entre el trineo y la nieve es 0,05. Si el trineo avanza con velocidad constante de 1 m/s, calcular el trabajo realizado por la fuerza F en 10 m. Dato: g = 9,8 m·s-2_{. Sol.: 1015 J.}

41) Calcular la potencia de un motor que eleva 625 litros de aceite cada minuto en un pozo de 24 m de profundidad. La densidad del aceite es 800 kg/m3_{. Sol.: 1960 W (= 2,67 CV)}

42) Un alpinista de 75 kg trepa 400 m por hora en ascensión vertical. ¿Qué energía potencial gravitatoria gana en una ascensión de dos horas? Sol.: 588 kJ.

43) Una piedra de 2 kg atada al extremo de una cuerda de 0,5 m gira con una velocidad de 2 revoluciones por segundo. a) ¿Cuál es su energía cinética?

b) Calcular el valor de la fuerza centrípeta que actúa sobre la piedra

c) ¿Qué trabajo realiza la fuerza centrípeta en una vuelta? Solución: a) 39,5 J.; b) 158 N.; c) 0

44) Un bloque de 50 kg es empujado por una fuerza que forma un ángulo de 30º, tal como indica la Figura. El cuerpo se mueve con aceleración constante de 0,5 m/s2_{. Si el coeficiente de rozamiento} entre el bloque y el suelo es 0,2, calcular:

a) El valor de la fuerza aplicada.

b) El trabajo realizado por esta fuerza cuando el bloque se ha desplazado 20 m. c) La energía cinética del bloque cuando se ha desplazado la distancia anterior. Solución: (a) 161,8 N; (b) 2783.6 J; (c) 500 J.

45) Una bala de 20 g de masa se lanza horizontalmente sobre un bloque de madera de 2 kg suspendido por su centro de gravedad de un hilo inextensible, quedando empotrada en él. Después del impacto, el bloque oscila, experimentando un desplazamiento vertical de 10 cm. Calcular la velocidad que lleva la bala en el momento del impacto. Solución: 141,4 m/s.

46) Desde una torre de 40 m de altura se dispara un proyectil de 1 kg, formando un ángulo de 37º con la horizontal, con una velocidad de 120 m/s. Calcular la velocidad del proyectil cuando llega al suelo, por consideraciones energéticas, despreciando el rozamiento con el aire. Solución: 123 m/s

47) En la cima de una montaña rusa un vehículo está a una altura de 40 m sobre el suelo y avanza a 5 m/s. Calcular la energía cinética del vehículo cuando está en una segunda cima situada a 20 m sobre el suelo, si se desprecian los rozamientos. La masa del vehículo con sus ocupantes es de 1000 kg. Solución: 208,5 kJ.

48) Si una masa de 10 g cae, sin velocidad inicial, desde una altura de 1 m y rebota hasta una altura máxima de 80 cm. ¿Qué cantidad de energía ha perdido? Solución: 0,0196 J.

49) Un péndulo simple se suelta desde la posición horizontal. Demostrar que la tensión del hilo al pasar por la posición vertical es tres veces el peso del cuerpo.

50) Un pequeño objeto se suelta por el borde interior de una semiesfera hueca de radio R. Hallar el valor de la fuerza que la semiesfera ejerce sobre el cuerpo cuando pasa por el punto más bajo de su trayectoria. Solución: 3

mg

51) Un pequeño objeto de masa m se suelta desde el punto A del rizo. Calcular: a) La velocidad del cuerpo en el punto C.

(9)

52) Un cuerpo se lanza sobre un plano horizontal con una velocidad inicial de 6 m/s; sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,3, calcúlese el tiempo que tarda en detenerse y el espacio recorrido. Solución: 6,12 m.; 2,04 s.

53) Desde el punto A de la figura se suelta un cuerpo. Calcular la altura que alcanza en la rampa de 53º. a) si no hay rozamiento; b) Si hay rozamiento, siendo el coeficiente de rozamiento 0,1. Solución: a) 1 m.; b) 0,71 m.

54) Un bloque de 5 kg es lanzado hacia arriba sobre un plano inclinado 30º con una vo = 9,8 m/s. Se observa que recorre una distancia de 6 m sobre la superficie inclinada del plano y después desliza hacia abajo hasta el punto de partida.

a) Calcular la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque.

b) Hallar la velocidad del cuerpo cuando vuelve a la posición inicial. Solución: a) 15,5 N; b) 4,6 m/s.

55) Un bloque de 35,6 N de peso avanza a 1,22 m/s sobre una mesa horizontal (sin rozamiento). Si en su camino se encuentra con un resorte cuya constante elástica es 3,63 N/m. ¿Cuál es la máxima compresión del resorte? Solución: 1,22 m.

56) Dejamos caer un cuerpo de 100 g sobre un muelle de k = 400 N/m. La distancia entre el cuerpo y el muelle es de 5 m. Calcular la longitud x del muelle que se comprime. Solución: 0,159 m.

57) Se comprimen 40 cm de un muelle de k = 100 N/m situado sobre un plano horizontal y, en esta forma, se dispara un cuerpo de 0,5 kg. Calcular, si se desprecia el rozamiento, la altura que alcanza el cuerpo en el plano inclinado. Solución: 1,63 m.

58) Una bala de 12 gramos lleva una velocidad horizontal de 250 m/s y se dispara contra un bloque de madera de 2 kg suspendido de una cuerda. La bala atraviesa el bloque y éste se eleva 5 cm. Hallar la velocidad con que sale la bala del bloque. Solución: 91 m/s

59) Sobre un bloque de madera de 2 kg que se encuentra al comienzo de un plano inclinado 30º se dispara un proyectil de 100 g con una velocidad de 100 m/s incrustándose en él, como indica la figura. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,1, calcular la distancia que recorre el bloque sobre el plano. Solución: 1,97 m.

60) Se quiere subir un cuerpo de 4 kg desde el punto A hasta el punto B a lo largo de un cuadrante esférico de 10 m de radio. Una vez en el punto B se le deja caer libremente a lo largo de la rampa BCD como indica la figura. No existe rozamiento. Calcular:

a) El trabajo necesario para subir el cuerpo desde A hasta B. b) La velocidad que tiene en el punto D.

c) Hasta qué altura E ascenderá. Solución: a) 392 J; b) 19,97 m/s; c) 10 m

61) Un bloque de 5 kg choca con una velocidad de 10 m/s contra un muelle de constante elástica k = 25 N/m. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal vale 0,2. Calcular la longitud que se comprime el muelle. La masa del muelle se considera despreciable. Solución: 4 m.

62) Un bloque de madera está unido al extremo de un resorte como indica la figura. Contra el bloque de 1 kg se dispara horizontalmente una bala de 200 g con una velocidad de 100 m/s quedando incrustada en el bloque. Si la

constante elástica del muelle vale k = 200 N/m, calcular:

a) La velocidad con que inicia el movimiento el sistema bala-bloque después del impacto. b) La longitud que se comprime el muelle. Solución: (a) 16,66 m/s; (b) 1,29 m.

63) Desde una altura de 50 m se deja caer un cuerpo de 500 g, si al llegar al suelo penetra en éste una distancia de 8 cm, calcular la resistencia media que ha ofrecido el suelo. Se desprecia el rozamiento con el aire. Solución: 3062,5 N.

64) El punto de aplicación de la fuerza F

⃗

= 3 i

⃗

− 2 j

⃗

+ 5 k

⃗ N, se ha desplazado

∆r⃗ = i⃗ + 4 j⃗ − k⃗⃗ m. Hallar el trabajo realizado por la fuerza. Solución: – 10 J.

65) La fuerza necesaria para alargar un muelle viene dada por F = 50 x N. Calcular la energía que adquiere el muelle cuando se le alarga 10 cm. Solución: 0,25 J.

66) Desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de 1 kg sobre un muelle de altura despreciable que se comprime 15 cm. Si la constante recuperadora del muelle vale 500 N/m, calcular la altura desde donde ha caldo el cuerpo. Solución: 0,57 m.

67) Desde una altura de 2 m se deja caer una pelota y después de rebotar en el suelo asciende hasta una altura de 1,9 m. Calcular: (a) Qué tanto por ciento de la energía mecánica que se ha perdido en el choque. (b) A qué altura ascenderá después del quinto rebote. Solución: (a) 5 %; (b) 1,5 m.

68) Un muelle de constante recuperadora k 200 N/m está comprimido 10 cm. Una masa de 500 g está situada en el extremo del muelle. El muelle al descomprimirse empuja la masa y ésta sale despedida. ¿Cuál es la cantidad de movimiento con que la masa sale despedida? Solución: 1 kg·m/s.

(10)

Departamento de Física y Química I.E.S. Virgen de Valme 70) Se quiere elevar 300 m3_{de agua a una altura a 30 m en 1 hora. Para ello se instala un motor con un rendimiento del 70} %. ¿Qué potencia debe tener el motor? Solución: 35000 W.

71) Un bloque de 2 kg de masa está unido a un resorte comprimiéndole una longitud 20 cm. Si el bloque se deja libre recorre sobre una superficie horizontal una distancia de 2 m antes de pararse. Si la constante del muelle es 150 N/m, hallar el coeficiente de rozamiento entre la superficie horizontal y el bloque. Solución: 0,07.

72) Qué espesor debe tener un muro que opone una fuerza de rozamiento de 5000 N para que una bala de 50 g que incide formando un ángulo de 60º con la horizontal, quede detenida a la mitad del muro. La velocidad de la bala es 400 m/s. Solución: 1,6 m.

73) Se tiene un plano inclinado 60º respecto a la horizontal, cuya longitud es de 10 m ¿Qué velocidad paralela al plano debe comunicarse al cuerpo para que éste llegue a la parte superior del plano inclinado con velocidad nula? El coeficiente de rozamiento vale 0,1. Solución: 13,3 m/s.

74) En lo alto de un plano inclinado 30º de 2 m de longitud se coloca un cuerpo de 5 kg. El coeficiente de rozamiento del cuerpo con el plano inclinado y con el suelo es 0,1. Calcular:

(a) La velocidad con que llega al suelo.

(b) Qué distancia horizontal recorre antes de pararse. Solución: (a) 4 m/s; (b) 8 m.

75) Se quiere arrastrar por una superficie horizontal un cajón con velocidad constante de 15 km/h. Para ello te utiliza un motor de 10 CV. Si el coeficiente de rozamiento entre la superficie y el cajón es 0.25, calcular el peso del cajón:

(a) Si el rendimiento del motor es el 100 %.

(b) Si el rendimiento es el 75 %. Solución: (a) 721 kg (b) 540,8 kg.

76) ¿Cuánto aumenta la energía interna de 500 g de agua si se aumenta su temperatura de 50 ºC a 60 ºC? Sol:20900 J. 77) Un cubito de hielo de 30 g de masa se encuentra a –5 ºC. Calcula la energía que hay que comunicar para que se pase al estado líquido. Datos: Hielo Lf = 334,4 J/g. ce = 2,13 J/g·K. Sol:10351,8 J.

78) Se pone en contacto 500 g de agua a 10 ºC con 500 g de hierro a 90º C. Calcula la temperatura a la que se produce el equilibrio térmico. Datos: Hierro ce = 0,489 J/g·K. Sol:18,38 ºC.

79) Se quiere fundir 1 kg de hielo a 0 ºC echando agua a 60 ºC. ¿Qué cantidad de agua se necesita? Datos: Hielo Lf = 334,4 J/g. Sol:1333,3 g.

80) A una sartén de acero de 300 g de masa se le aumenta la energía interna en 200 J: a) ¿Qué aumento de temperatura se produce?

b) Si su temperatura inicial es de 25 ºC, ¿Cuál será la temperatura final? Dato: Calor específico del acero 450 J/kg·K. Sol:a) 1,48 ºC; b) 26,48 ºC.

81) ¿Qué energía desprenden al aire 10 g de vapor de agua que se condensan en una ventana? Datos: Vapor Lv = 2257 J/g. Sol:22570 J.

82) ¿Cuánto calor hay que transferir para fundir una barra de hierro de masa 10 kg que se encuentra a 0 ºC? Datos: Temperatura de fusión del hierro 1535 ºC, Lf = 25,080 J/g, ce = 0,489 J/g·K. Sol:7756950 J.

83) En un experimento se suministran 5820 J de energía en forma de calor y esto eleva la temperatura de un bloque de aluminio 30 ºC. Si la masa del bloque de aluminio es de 200 g, ¿cuál es el valor del calor específico del aluminio? Sol:1,03 J/g·K.

84) A una mezcla formada por 30 g de agua y 60 g de alcohol (ce = 2,45 J/g·K) a 45 ºC le echamos 90 g de glicerina (ce = 2,43 J/g·K) a 10 ºC y esperamos hasta que alcance el equilibrio térmico. Calcula: a) La temperatura final de la mezcla. b) La cantidad de calor cedido por cada una de las sustancias. Sol:a) 29,41 ºC; b) El agua –1955 J, el alcohol –2292 J y 4247 J la glicerina.

(11)

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS EN EXÁMENES DE CURSOS ANTERIORES UNIDAD 10

1) Una de las herramientas de plomo (0,25 kg) de uno de los operarios que trabaja en la Torre Sevilla se le cae cuando se encuentra en la parte más alta del edificio (aproximadamente 178 m de altura). a) Halla la velocidad de la herramienta cuando se encuentre a 50 m del suelo: i) si depreciamos el rozamiento con el aire; ii) si consideramos una fuerza constante de fricción del objeto con el aire de 0,15 N. b) Halla la temperatura final que alcanza la herramienta cuando choca contra el suelo, si consideramos que toda la energía mecánica que posee en el caso ii) se transforma en energía térmica, absorbida en forma de calor que aumenta su temperatura inicial de 25ºC. DATOS: Calor específico del plomo = 130 J·kg-1_⋅_K-1_{. Sol.: a) i) 51 m·s}-1_{; ii)} 49 m·s-1_{; b) 38ºC. (7/6/2016)}

a) Estrategia de resolución.- Debemos seguir los pasos habituales para resolver este tipo de problemas: 1º hacemos un dibujo: de la herramienta de plomo que se cae (derecha);

2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);

3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el cuerpo se mueve verticalmente, el eje Y es positivo hacia abajo; descomponemos las fuerzas que no estén dirigidas en el sistema elegido: no hay ninguna. 4º convertimos las unidades al S. I.: la temperatura no es necesario convertirla en kelvin (aunque se puede convertir si nos apetece: 25ºC = 298 K).

Para hallar la velocidad del objeto cuando se encuentre a 50 m del suelo podemos utilizar razonamientos dinámicos o razonamientos energéticos. Lo vamos a plantear de las dos formas.

• Razonamientos dinámicos:

→ P − Fr = m · a → a =

P − Fr

m =

m · g − Fr

m

i) Si despreciamos el rozamiento:

a = P

m=

m · g

m = g = 10 m · s

−2

Teniendo en cuenta que a = 10 m·s-2_{, y}

o = 0, y = 178 m – 50 m = 128 m y vo = 0:

v2− vo 2

= 2 · a ·

(

y − y_o

)

→ v =

√

v2o+ 2 · a ·

(

y − yo

)

=

√

0

2_{+ 2 · 10 m · s}−2_{· (128 m − 0) = ±50,6 m · s}−1

Considerando nuestro sistema de referencia la velocidad que tendrá el objeto será de 50,6 m·s-1_{(hacia abajo).}

ii) si consideramos una fuerza constante de fricción del objeto con el aire de 0,15 N:

a =P − Fr

m =

m · g − Fr

m =

0,25 kg · 10 m · s−2_{− 0,15 N}

0,25 kg = 9,4 m · s

−2

Teniendo en cuenta que ahora que a = 8,4 m·s-2_{, y}

o = 0, y = 178 m – 50 m = 128 m y vo = 0:

v2− vo 2

= 2 · a ·

(

y − y_o

)

→ v =

√

v2o+ 2 · a ·

(

y − yo

)

=

√

0

2_{+ 2 · 9,4 m · s}−2_{· (128 m − 0) = ±49,1 m · s}−1

Considerando nuestro sistema de referencia, la velocidad que tendrá el objeto será de 49,1 m·s-1_{(hacia abajo).}

• Razonamientos energéticos

5º aplicamos el principio general de conservación de la energía mecánica (también podemos utilizar la relación entre el trabajo total realizado y la variación de la energía cinética):

W_NCAB = ∆E_mAB → W_F_r

A

B _{= E}

− Ep(A)

Obtendremos la velocidad solicitada a partir de la energía cinética del objeto en el punto B. Debemos recordar que en este tipo de razonamientos hay que elegir un origen de energía potencial gravitatoria que, en este caso, lo tomaremos en el suelo. También hay que tener en cuenta que la energía cinética en A es nula (se le cae la herramienta al operario).

i) Si despreciamos el rozamiento:

𝑃⃗⃗ 𝐹𝑟

Estamos observando que parte de la energía potencial que posee el objeto en A (hA = 178 m) se transforma en energía cinética en B (hB = 50 m).

1

2 m · vB

2

+ m · g · hB = m · g · hA → vB =

√

2 · g · (hA− hB) = ±50,6 m · s −1

Considerando nuestro sistema de referencia la velocidad que tendrá el objeto en B, a 50 m del suelo, será de 50,6 m·s-1

= y_B− y_A= 128 m − 0 = 128 m

Así:

−|F⃗⃗⃗⃗| · |∆yr AB| = Ec(B) + Ep(B) − Ep(A) =

1 2 m · vB

2_{+ m · g · h}

B− m · g · hA

Ahora una parte de la energía potencial que posee el objeto en A se convierte en energía cinética y otra parte se convierte en otra forma de energía (energía interna):

vB =

√

2

m(m · g · hA− m · g · hB−

|

F

⃗⃗⃗|

r ·

|

∆yA

B

_|

_{) =}

√

_{2 · g ·}

₍

_h

A− hB

)

−

2 ·

|

F

⃗⃗⃗|

r ·

|

∆y_AB

|

m = ±49,1 m · s

−1

Considerando nuestro sistema de referencia la velocidad que tendrá el objeto en B, a 50 m del suelo, será de 49,1 m·s-1

(hacia abajo).

b) Para hallar la temperatura final que alcanza el objeto cuando choca contra el suelo, si consideramos que toda la energía mecánica que posee en el caso ii) se transforma en energía térmica, absorbida en forma de calor que aumenta su temperatura inicial de 25ºC, determinaremos la energía mecánica (cinética) que lleva el cuerpo cuando llegue al suelo y la tomaremos como energía que se le transfiere en forma de calor para aumentar su temperatura, Q = m · ce · ΔT.

La energía mecánica (cinética) que posee el objeto cuando llegue al suelo podremos obtenerla, igual que antes, por razonamientos dinámicos o energéticos. En este caso usaremos los segundos:

W_NCAC = ∆E_mAC → WFr_A

C _{= E}

Así:

−|F⃗⃗⃗⃗| · |∆yr AC| = Ec(C) − Ep(A) → EC(C) = Ep(A) − |F⃗⃗⃗⃗| · |∆yr AC| = 0,25 kg · 10 m · s−1· 178 m − 0,15 N · 178 m = 418,3 J

= 25oC + 418,3 J

0,25 kg · 130 J · kg−1· o_C−1

= 37,9 ℃

La herramienta de plomo alcanzará una temperatura de 37,9 ºC.

(13)

Estrategia de resolución.- Para hallar la distancia que recorrerá hasta detenerse sobre el plano inclinado debemos seguir los pasos habituales para resolver este tipo de problemas:

1º hacemos un dibujo: del objeto en el plano inclinado (derecha); 2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);

3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el cuerpo se mueve hacia arriba por el plano inclinado, el eje X positivo corresponderá a la dirección y sentido del movimiento, con origen de coordenadas y tiempo en el lugar y el momento en el que se lanza el cuerpo; mientras que el eje Y es perpendicular al movimiento y sentido positivo hacia arriba; descomponemos las fuerzas que no estén dirigidas en el sistema elegido: en el plano inclinado:

{

|

P

⃗⃗⃗⃗|

x =

|

P

⃗⃗|

· sen 37

o_{= m · g · sen 37}o

|

P

⃗⃗⃗⃗|

_y =

|

P

⃗⃗|

· cos 37o = m · g · cos 37o

}

4º convertimos las unidades al S. I.: m = 50 g = 0,050 kg; podemos cambiar el calor latente de fusión, pero no va a ser necesario. Nos piden resolvar el problema por razonamientos dinámicos y energéticos.

* Razonamientos dinámicos:

5º Aplicamos el principio fundamental de la dinámica, ∑F

⃗

= m · a

⃗:

∑

F

⃗

= m · a

⃗

F

⃗

r

|

= μc· N = μc· m · g · cos 37 o

a) Si consideramos nulos los rozamientos:

(1) − Px= m · a → a =

−Px

m =

−m · g · sen 37o

m = −g · sen 37

o_{= −6,0 m · s}−2

Como la aceleración es constante el cuerpo describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, de tal modo que podemos hallar el desplazamiento o distancia recorrida hasta detenerse; hay que tener en cuenta que

vo = 50 m·s-1, v = 0, y a = –6,0 m·s-2:

v2− vo2 = 2 · a · ∆x → ∆x =

v2− vo 2

2 · a =

02− (50 m · s−1)2

2 · (−6,0 m · s−2₎ = 208 m

Por tanto recorrerá 208 m sobre el plano inclinado hasta detenerse.

b) Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y la superficie del plano vale 0,30 habrá que hallar la nueva aceleración con la que se detiene en el plano inclinado:

(

1

)

− F_r− Px = m · a′ → a′ =

−Fr− Px

m =

−μ_c· m · g · cos 37o− m · g · sen 37o

m

a′ = −μc· g · cos 37o− g · sen 37o= −8,4 m · s−2

Ahora ya podemos determinar la distancia que recorre hasta detenerse. En el plano inclinado hay que tener en cuenta que vo = 50 m·s-1_{, v = 0, y a’ = – 8,4 m·s}-2_:

v2− vo2= 2 · a′ · ∆x → ∆x =

v2− vo2

2 · a′ =

02− (50 m · s−1)2

2 · (−8,4 m · s−2₎ = 149 m

* Razonamientos energéticos:

5º aplicamos el principio general de conservación de la energía mecánica (también podemos utilizar la relación entre el trabajo total realizado y la variación de la energía cinética):

W_NCAB = ∆E_mAB → WF_r A

B_{+ W}

_𝑟

𝑁

⃗⃗⃗

𝑃

)

m · g · hB−

1 2 m · vA

2_{= 0}

Debemos tener en cuenta que:

sen37o₌ hB

|∆r⃗AB|

→ hB= |∆r⃗AB| · sen37o

Así:

m · g · |∆r⃗AB| · sen37o−

1 2 m · vA

2 _{= 0}

|

∆r

⃗A

B

|

= 1 2 m · vA2

m · g · sen 37o=

1 2vA2

g · sen 37o= 208 m

b) Si tenemos en cuenta que hay rozamiento (el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y la superficie del plano vale 0,30):

WF_r A

B_{+ W}

−μc· m · g · cos 37o· |∆r⃗AB| = m · g · hB−

1 2 m · vA

2

−μc· m · g · cos 37o· |∆r⃗AB| = m · g · |∆r⃗AB| · sen37o−

1 2 m · vA

2

|

∆r

⃗A

B

|

=

1 2 m · vA2

μ_c· m · g · cos 37o_{+ m · g · sen37}o =

1 2 vA2

μ_c· g · cos 37o_{+ g · sen 37}o= 149 m

c) Para hallar la masa de hielo a 0ºC que se habrá fundido, consideramos que toda la energía de fricción es absorbida por él en forma de calor, de tal modo que −W_NCAB = −∆E_mAB = Q = m · Lf.

Así:

WFr_A B

W_F_r

A

B _{= E}

p

(

B

)

− Ec

(

A

)

= −μc· m · g · cos 37 o_·

_|

_∆r

_⃗

A B

|

= −0,30 · 0,050 kg · 10 m · s−2· 0,8 · 149 m = −17,88 J

Q = 17,88 J → Q = m · Lf→ m =

Q Lf

= 17,88 J

333 J · g−1= 0,054 g

(15)

3) Un objeto de 10 g se lanza por un plano horizontal con una velocidad inicial de 200 m·s-1_{. Si lo detiene el extremo libre} de un muelle (k = 250 N·m-1_{) situado horizontalmente y cuyo otro extremo está fijo,}

determina la compresión máxima experimentada por el resorte, teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento cinético es 0,40. Sol.: 1,26 m. (7/6/2016)

Estrategia de resolución. Para resolver el problema utilizaremos razonamientos energéticos, aplicando el principio general de conservación de la energía mecánica.

De todos modos debemos seguir los pasos habituales para resolver este tipo de problemas:

1º hacemos un dibujo (derecha);

2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);

3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el sistema se moverá hacia la izquierda, elegimos el eje X positivo hacia la izquierda y el eje Y positivo hacia arriba;

4º convertimos las unidades al S. I.: ya lo están.

5º aplicamos el principio general de conservación de la energía mecánica. Debemos elegir el origen de energía potencial gravitatoria, que será el nivel del suelo en el que se desliza el objeto, y el origen de energía potencial elástica, que corresponderá a la situación de equilibrio del muelle. En este apartado actúan fuerzas no conservativas que realizan trabajo, concretamente la fuerza de rozamiento. Debemos considerar también que el desplazamiento del objeto coincide con la compresión máxima del muelle, |∆r

⃗

A

B

|

= ∆x:

En este caso la fuerza de rozamiento es: |F

⃗⃗⃗|

r = μc·

|

N

⃗⃗⃗|

= μc·

|

P

⃗⃗|

= μc· m · g. Así:

−μ_c· m · g · ∆x =1

2 k ·

(

∆x

)

2₋1

2 m · vA

2

En esta expresión lo que desconocemos, la incógnita, es Δx, por tanto, nos queda resolver una ecuación de segundo grado:

125 · (∆x)2_{+ 0,04 · ∆x − 200 = 0 (SI)} Luego:

∆x =−0,04 ± √0,04

2_{− 4 · 125 · (−200)}

2 · 125 = {

−0,04 + 316

250 = 1,26 m

−0,04 − 316

250 = −1,26 m

No podemos aceptar la solución negativa porque Δx corresponde a una distancia. En este caso, la compresión máxima del muelle ha sido de 1,26 m.

4) En nuestro viaje de fin de estudios se nos ocurre ir a Pisa a repetir las experiencias de uno de sus paisanos más famosos: Galileo Galilei. Para ello nos situamos en lo más alto de su turística torre inclinada (55,8 m) y dejamos caer objeto de latón de 75 g de masa. a) Halla la velocidad del objeto cuando se encuentre a 25 m del suelo: i) si depreciamos el rozamiento con el aire y las colisiones con las cabezas de los turistas asomados a los niveles inferiores; ii) si consideramos una fuerza constante de fricción del objeto con el aire de 0,15 N. b) Halla la temperatura final que alcanza cuando choca contra el suelo, si consideramos que toda la energía mecánica que posee en el caso ii) se transforma en energía térmica, absorbida en forma de calor que aumenta su temperatura inicial de 18ºC. DATO: Calor específico del latón = 393 J·kg-1_⋅_K-1_{. Sol.: a) i) 25 m·s}-1_{; ii) 22 m·s}-1_{; b) 19 ºC.} (3/6/2014)

5) Domingo 1 de junio de 2014. Circuito de Mugello en la Toscana, Italia. Se va a iniciar la sexta prueba del Mundial de motociclismo (MotoGP). Las veintidós motos ya están situadas en la parrilla de salida. Rugen los motores. El semáforo se enciende. La tensión va en aumento…se produce la salida. ¡Oh no! ¡No puede ser! La proximidad del examen de física y nuestro inquieto espíritu científico nos hacen recordar los problemas y los ejercicios realizados en el instituto. Nos parece increíble, pero nos sorprendemos a nosotros mismos analizando físicamente el movimiento de la Honda RC213V (157 kg) de Marc Márquez (59 kg). Observamos que tras recorrer 200 m ambos adquieren una velocidad de 324 km/h. No

podemos evitar calcular, por razonamientos energéticos y dinámicos, la fuerza que ha realizado el motor, si suponemos que dicha fuerza ha sido constante y paralela al suelo, y que las fuerzas

N

⃗⃗⃗

P

⃗⃗⃗

F

e

(16)

Departamento de Física y Química I.E.S. Virgen de Valme de fricción son de 2250 N con el aire y de 1250 N con el asfalto. Explica las transformaciones energéticas que se han producido. Sol.: 7800 N. (3/6/2014)

6) Se lanza el cuerpo de la figura (4,0 kg) con una velocidad de 10 m/s paralela al plano horizontal y dirigida hacia el plano inclinado. Si la longitud de la superficie horizontal es de 10 m y el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y todas las superficies es 0,20, halla la masa que se funde si suponemos que está hecho de hielo a 0ºC y consideramos que la fricción en forma de trabajo de rozamiento se convierte en

energía interna al ser absorbida íntegramente en forma de calor. DATOS: sen 45º = cos 45º = 0,707; calor latente de fusión del hielo a 0ºC (Lf) = 3,34 ⋅ 105 J·kg-1.Sol.: 0,00030 kg. (3/6/2014)

7) Una de las últimas atracciones llegadas a Isla Mágica (mentira “to”) consiste en que nos dejan caer (¡Aaaaaaaaaa….!) por una pendiente (ver figura) montados sobre una vagoneta (200 kg) para después ser detenidos por el extremo libre de un resorte (k = 2000 N/m) cuyo otro extremo está fijo. El extremo libre se sitúa a 5,0 m del pie del plano inclinado y el coeficiente de rozamiento cinético entre todas las superficies y la vagoneta es 0,40. Halla la compresión máxima del resorte. Sol.: 0,64 m. (3/6/2014)

8) Continúa la desconfianza entre el alumnado de 1ºB que sigue sin creerse las leyes que rigen los fenómenos físicos que les ha explicado su triste profesor de Física y Química (¡la vida tan triste y dura!). Para comprobar algunas de esas leyes, se suben al tercer nivel de la Torre Eiffel de París (275 m de altura) para dejar caer desde allí un objeto de 100 g. a) Halla la energía cinética del cuerpo cuando se encuentre a 100 m del suelo si depreciamos el rozamiento con el aire. b) Calcula la deformación máxima que el cuerpo produciría sobre un muelle (150 N·m-1_{) que se encuentra colocado verticalmente en el suelo a los pies de} la torre. c) Determina la velocidad que llevaría el objeto cuando choca contra el suelo, si ahora consideramos una fuerza constante de fricción con el aire de 0,175 N. Sol.: a) 175 J; b) 1,9 m; c) 67 m·s-1_{. (6/6/2017)}

10 m 45º

8 m