FJC 2009
Campo magnético
Un imán es un cuerpo capaz de atraer al hierro y a algunos otros materiales. La capacidad de atracción es máxima en dos zonas extremas del imán a las que vamos a llamar polos (N y S). Si acercamos dos imanes, los polos de distinto signo se atraen y los del mismo se repelen. Si dividimos un imán se obtienen dos más pequeños pero es imposible aislar los monopolos N y S. El campo magnético se puede definir como la zona del espacio en la que un imán sufre una fuerza debida a otro.Efecto del campo magnético sobre una carga en movimiento
Supongamos una zona del espacio en la que hay un campo magnético uniforme. A esa zona llega una carga q con una velocidad v y experimentalmente se comprueba que:
La carga se desvía de su trayectoria debido a una fuerza que depende de la velocidad, de la carga y del valor del campo magnético.
La fuerza es perpendicular a la velocidad y al campo magnético.
El valor de la fuerza depende del ángulo que forman la velocidad y el campo, siendo máxima cuando son perpendiculares y nula si son paralelos.
El sentido de la fuerza depende del signo de la carga.
De acuerdo con esto la fuerza será:
( )
F q v B
G
=
G
×
G
o bienF q
=
·v·B·sen
α
El campo magnético será:
B
F
MAXq·v
=
La unidad de Bes Tesla en el SI. A veces se usa el Gauss (1T=104G)
Si v y B son perpendiculares y la zona del campo magnético suficientemente amplia, la carga describirá una trayectoria circular. La fuerza del campo magnético es igual a la centrípeta:
2 M CP
v m
F F ; q·v·B m ; R
R q
= = ·v
·B
=
El periodo del movimiento(tiempo que tarda en
dar una vuelta) será:
T
2 R
2 m
v
q·B
π
π
=
=
El radio de la órbita depende de la masa por lo que este es un método para separar isótopos. Si v y B no son perpendiculares la trayectoria descrita es una hélice.
Si la velocidad no es constante la trayectoria es
F
Mv
x B
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Campo magnético
Espectrógrafo de masas
Se utiliza para separar los isótopos de un elemento. Estáformado por:
A Zona de ionización: los átomos neutros se convierten en iones.
B Zona de aceleración: los iones producidos en A se aceleran por medio de una diferencia de potencial (condensador con láminas agujereadas).
(
)
2E C A B
1 W E ; q· V V mv
2
= − =
C Un campo magnético perpendicular al plano del papel hace que los iones describan una trayectoria circular. El radio de la órbita descrita por cada ion depende de su masa:
R
mv
qB
=
A
B
C
-
+
Efecto del campo magnético sobre un hilo conductor
Se define la intensidad de corriente como la carga que atraviesa una superficie en la unidad de
tiempo: I q; q I· t
= = t
G
. Sustituyendo esto en la ecuación de la fuerza sobre una carga en
movimiento, tenemos:
( ) ( )
F q v B
G
=
G
×
G
=
I·t v B
G
×
G
=
I·L B
G
×
Como la longitud del hilo se mide en el sentido dado por laintensidad podemos escribirlo como:
F L·I B
G
=
G G
×
Efecto del campo magnético sobre una espira
Una espira es un circuito cerrado por el que pasa una corriente eléctrica. Supongamos una espira rectangular de dimensiones a y b en el interior de un campo magnético uniforme. La fuerza que
hace el campo magnético sobre cada uno de los hilos viene dado por la expresión
F L·I B
G
=
G G
×
. GA B
FG =a·I BG G× FG =b·I BG× Las fuerzas sobre los hilos horizontales se anulan porque van en la misma dirección y sentido contrario pero las fuerzas sobre los hilos verticales forman un par de fuerzas que da lugar a un momento de valor
M a·F
=
B=
abIBsen
α =
SIBsen
α
N S
N
S
a
b
B F
I F B
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Campo magnético
Si se trata de una bobina con N espiras el momento vale
M NSIBsen= αExperiencia de Oersted (1820)
Tenemos una brújula que señala el norte paralela a un hilo por el que puede circular una corriente eléctrica. Cuando circula corriente, la brújula deja de indicar el norte y gira hasta colocarse perpendicularmente al hilo. Si pasa una intensidad de corriente mayor la brújula tarda menos tiempo en ponerse perpendicular. Si la corriente circula en sentido contrario la brújula se pone perpendicular pero con la orientación contraria.
Conclusión: Un hilo por el que circula una corriente eléctrica crea un campo magnético a su alrededor.
Si ponemos limaduras de hierro alrededor del hilo, se orientan formando círculos con centro en el hilo. El valor del campo magnético en cada punto es tangente a esas líneas. El sentido es el del giro de un tornillo para que avance en el sentido indicado por la corriente.
Campo magnético creado por una carga en movimiento
Una carga en reposo crea un campo eléctrico. Una carga en movimiento crea un campo eléctrico y un campo magnético. Supongamos una carga que se mueve en línea recta con una velocidad v.
El campo magnético en el punto P tiene las siguientes características:
es perpendicular a los vectores v y r
depende del medio en el que esté moviéndose la carga es inversamente proporcional a r
depende del seno del ángulo formado por la trayectoria y r es directamente proporcional a la carga y a la velocidad.
De acuerdo con esto el campo magnético en B será: 0 3
v r B q
4 r
μ ×
= π
G G G
o bien 0
2
v·sen B q
4 r
μ α
= π
v α r B P
q
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Campo magnético
Campo magnético creado por un elemento de corriente.
Un elemento de corriente es un hilo de longitud dl que es atravesado por una carga dq en un tiempo dt. La carga que circula por él es dq=I·dt y el campo
magnético creado será:
0 0 0 2 2
I I
v·sen v·sen dl·sen dB dq dt
4 r 4 r 4
v
α
r
B
P
2 r μ α μ α μ α = = = π π πLey de Biot y Savart
Campo magnético creado por un hilo
El campo magnético creado por un hilo muy largo es la suma de los campos creados por cada elemento de hilo, es decir, la integral desde el principio hasta el final (-
∞
hasta + para el valor de la longitud o hasta 0 para el valor de∞
π α): 0 2I dl·sen
B
dB
4
r
+∞ +∞ −∞ −∞μ
α
=
=
π
∫
∫
En la figura tenemos:
2
2 2
D D sen ; r
r sen
D D sec d
tg ; l ; dl D d D
l tg tg sen
α = = α α α α = = = − α = − α α α
Sustituyendo:
0 2 0
0 0 0 0
2 2
d
D
·sen
I
sen
I
I
B
sen ·d
4
D
4 D
4 D
sen
π π πα
−
α
μ
α
μ
μ
=
= −
α α =
π
π
π
α
∫
∫
D
r
P
α
l
dl
0I
cos
2 D
μ
α =
π
Campo magnético creado por una espira
El campo creado por un elemento de corriente es
0 2 I dl·sen dB 4 r μ α = π.
En el centro de la espira:
α
=90 todos los elementos de la espira están a la misma
distancia del centro y el campo total será:
2 r 2 r 2 r 0 0
2 2 0 0 0
Idl I
B dB dl
4 r 4 r 2
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Campo magnético
En un punto cualquiera P sobre el eje de la espira:
todos los elementos de la espira están a una
distancia igual a
r
2+
x
B
α
α
r
x
P B
xB
y 2y
2 2
r
sen
r
x
α =
+
(
)
2 r 2 r 2 2 2 0 0 0
2 2 2 2 3 2 2 2 0 0
r
·dl
I
sen ·dl
I
r
x
I
r
B
4
r
x
4
r
x
2
r
x
π
μ
α
πμ
μ
+
=
=
=
π
+
π
+
+
∫
∫
Campo magnético creado por una bobina
Una bobina o solenoide de longitud L y radio R es un conjunto de N espiras por las que circula una intensidad de corriente. El campo magnético en el interior depende de la intensidad, de la longitud y de lo juntas que estén las espiras, siempre que R<<L.
0
N B I
L
= μ
2R
L
Acción entre corrientes: Definición de amperio.
Supongamos dos hilos suficientemente largos, paralelos y separados por una distancia d por los que circulan intensidades de corriente en el mismo sentido.
El hilo 1 crea un campo magnético a su alrededor. En los puntos
por los que pasa el hilo 2 ese campo vale 0 1 1
I B
2 d
μ =
π . Ese campo magnético hace una fuerza sobre el hilo 2
0 1 0 1 2 12 2 1 2
I I I F L·I B L·I
2 d 2 d
I
1I
2B
2B
1.
.
d
F
12F
21L
μ μ
= × = =
π π , dirigida hacia el hilo 1. De la misma forma el hilo 2 crea un campo magnético en los puntos por los que pasa el hilo 1 y ejerce sobre él una fuerza
0 2 1 21
I I F
2 d
μ =
π L, dirigida hacia el hilo 2.
Dos hilos paralelos por los que circulan corrientes en el mismo sentido se atraen. De la misma forma si las corrientes circulan en sentido contrario los hilos se repelen.
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Campo magnético
Como la fuerza por unidad de longitud con la que se atraen o se repelen dos hilos viene dada porla expresión F 0 2 1I I
L 2 d
μ =
π , podemos definir el amperio como la intensidad de corriente que circulando por dos hilos paralelos, separados por una distancia de 1 m, hace que estos se atraigan o se repelan con una fuerza de 2·10-7 N por cada metro de hilo.