Tema4 CampoGravitatorio pdf

TEMA 4 CAMP GRAVITATORI

TEMA 4– CAMP GRAVITATORI

Curso 2011-12

Toni Rama

CONTINGUTS

1. Models Cosmològics.

2. Llei Gravitacional de Newton. 3. Concepte de Camp Central. 4. Camp Gravitatori.

I. Intensitat de camp gravitatori (g)

II. Potencial Gravitatori (V) i Energia Potencial Gravitatòria (E_p) III. Representació del camp gravitatori.

5. Lleis de Kepler.

1.- MODELS COSMOLÒGICS

• Objectiu COSMOLOGIA: Estudiar l’estructura del Estudiar l estructura del COSMOS, es a dir, com evoluciona i com està establert aquest.

• En la antiguitat, l’objectiu principal era establir quina era la

3

q

posició relativa de la terra respecte dels altres astres (MODELS

COSMOLOGICS).

3

1.- MODELS COSMOLÒGICS

• HISTORIA COSMOLOGIA: La concepció Aristotèlica (segle IV aC)

1. Aristòtil distingia entre dues regions l’U i l t t i l

en l’Univers: la terrestre i la celeste.

2. La regió terrestre constituïda per la Terra, ocupava el centre de

l’Univers, mentre que la regió celeste es componia d’esferes concèntriques transparents que envoltaven la regió terrestre

4

envoltaven la regió terrestre. 3. A cada esfera hi havia situat un dels

cossos celestes (el Sol, la Lluna,) i a l’última esfera hi havia les estrelles en posicions fixes.

blog.educastur.es/eureka/4º-fyq/cosmologia/

1.- MODELS COSMOLÒGICS

• HISTORIA COSMOLOGIA: 2.- El sistema geocèntric Ptolomaic (segle II)

5

http://www.iac.es/cosmoeduca/relatividad/charlas/historia/ptolomeo.htm₅

1.- MODELS COSMOLÒGICS

• HISTORIA COSMOLOGIA: 2.- El sistema geocèntric Ptolomaic (segle II)

1. La Terra està immòbil i es el centre de l’Univers.

2 Al lt t d l T l t d’ t itj t 2. Al voltant de la Terra es mouen la resta d’astres mitjançant

òrbites circulars denominades DEFERENTS.

3. El moviment dels planetes es descrivien amb dos moviments circulars: un al voltant de la Terra i un altre al voltant del primer (EPICICLE).

1.- MODELS COSMOLÒGICS

• HISTORIA COSMOLOGIA: 3.- El sistema heliocèntric.

77

1.- MODELS COSMOLÒGICS

• HISTORIA COSMOLOGIA: 3.- El sistema heliocèntric.

1. El SOL es el centre de l’Univers.

2. Tots els planetes giren al voltant del SOL.

3. La Terra gira sobre el seu eix i la Lluna al voltant de la Terra. 4. Moviments circulars i també epicicles superposats.

• Aristarc de Samos (segle I aC). • Nicolau Copèrnic (1473-1543). • Galileu Galilei (1564-1642)

8

Galileu Galilei (1564 1642)

La brillantor de Venus i Mercuri era variable, per tant la seva distancia a la Terra no podia ser FIXA.

1.- MODELS COSMOLÒGICS

• Galileu Galilei (1564-1642) Primer Telescopi (museu de Florència):

• Els cossos celestes no eren immutables.

• Satèl·lits del planeta Júpiter. Per tant no tots els astres giraven al voltant la Terra.

99

1.- MODELS COSMOLÒGICS

• Galileu Galilei (1564-1642) Model heliocèntric

• Partidaris del geocentrisme argumentaven que si la Terra es mou, una pedra que cau des d’una torre no cauria al peu de la torre; o els ocells es quedarien enrere.

1.- MODELS COSMOLÒGICS

• L’any següent de la mort de Gelileu neix Isaac Newton (1643-1727). Newton intueix que el fet de que la Lluna giri al voltant de la Terra en lloc de sortir projectada en línia recta es degut a l è i d’ f l’ t l T i f la presència d’una força que l’atreu cap a la Terra i que fa que descrigui una circumferència.

11

LA FORÇA DE LA GRAVETAT ó

LLEI GRAVITACIONAL UNIVERSAL

11

2.- LLEI GRAVITACIONAL

• La força gravitatòria es la responsable de la força que efectua la Terra sobre els cossos (PES) o els planetes al voltant del Sol.

ISAAC NEWTON (1642)

12

• 2 Masses qualsevol estan sotmeses a una força d’atracció gravitatòria (F): llei de la gravitació universal.

2 2 1

r

M

M

G

F

=

2.- LLEI GRAVITACIONAL

• 2 Masses qualsevol estan sotmeses a una força d’atracció gravitatòria (F): llei de la gravitació universal.

Constant Gravitació Masses [Kg]

2

2

1

r

M

M

G

F

=

⋅

Constant Gravitació Universal

[ g]

Distància entre les dues masses[m]

2 2 11

10

67

,

6

Kg

Nm

G

=

⋅

−

M

₂

r

F

13

M

1

M

₂

r

EXPRESSIÓ NOMÉS MÒDUL!!!!

http://bama.ua.edu/~rschad/teaching/LABs/CH13%20grav/CH13%20SWF%20Newton%20gravity%20law.swf

13

2.- LLEI GRAVITACIONAL

• 2 Masses qualsevol estan sotmeses a una força d’atracció gravitatòria (F): llei de la gravitació universal.

F

M

_F

M

2 1

M

M

⋅

r

r

F

₂₁

M

₁

_F

M

₂

12

“F it tò i f l 2

u

₂₁

21 2

2 1

21

u

ˆ

r

M

M

G

2.- LLEI GRAVITACIONAL

• 2 Masses qualsevol estan sotmeses a una força d’atracció gravitatòria (F): llei de la gravitació universal.

F

M

_F

M

2 1

M

M

⋅

r

r

F

₂₁

M

₁

_F

M

₂

12

“F it tò i f l 1

u

₁₂

15

12 2

2 1

12

u

ˆ

r

M

M

G

F

=

−

“Força gravitatòria que fa la massa 1 sobre la massa 2”

u12: vector unitari que va de la massa 1 a la massa 2

15

2.- LLEI GRAVITACIONAL

• La llei gravitacional es vàlida tant per masses puntuals com a per objectes esfèrics (planetes).

F

M

₁

F

2 1

M

M

⋅

r

r:

distància fins als centres dels objectes!!!

F

₂₁

_M

2

F

₁₂

“F it tò i f l 2

16

21 2

2 1

21

u

ˆ

r

M

M

G

F

=

−

“Força gravitatòria que fa la massa 2 sobre la massa 1”

u21: vector unitari que va del centre de la massa 2 al centre de la massa 1

2.- LLEI GRAVITACIONAL

• La llei gravitacional es vàlida tant per masses puntuals com a per objectes esfèrics (planetes).

F

M

₁

F

2 1

M

M

⋅

r

r:

distància fins als centres dels objectes!!!

F

₂₁

_M

2

F

₁₂ 2 1

M

M

r

⋅

17 21 2 2 1

21

u

ˆ

r

M

M

G

F

=

−

1 ₃ 2 ₂₁

21

r

r

M

M

G

F

=

−

r

r21: vector radi (NO UNITARI) que va de la massa 2 a la massa 1

17

2.- LLEI GRAVITACIONAL

• 2 Masses qualsevol estan sotmeses a una força d’atracció gravitatòria (F): llei de la gravitació universal.

2 11

10

67

6

Nm

G

− 2 2 1

r

M

M

G

F

=

⋅

2 11

10

67

,

6

Kg

G

=

⋅

• Perquè llavors no hi ha una atracció entre objectes petits?

• Per que la G es tan petita que la força que hi ha es molt feble!!!

• La força gravitacional es només apreciable per objectes molt

2.- LLEI GRAVITACIONAL

• 2 Masses qualsevol estan sotmeses a una força d’atracció gravitatòria (F): llei de la gravitació universal.

2 11

10

67

6

Nm

G

−

2 2 1

r

M

M

G

F

=

⋅

2 11

10

67

,

6

Kg

G

=

⋅

COM ES VA DETERMINAR EL VALOR DE LA CONSTANT DE GRAVITACIÓ UNIVERSAL (G)???

19

EXPERIMENT DE CAVENDISH

(BALANÇA DE TORSIÓ)

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/constante/constante.htm

19

2.- LLEI GRAVITACIONAL

EXPERIMENT DE CAVENDISH (BALANÇA DE TORSIÓ)

CÀLCUL DE LA CONSTANT DE GRAVITACIÓ UNIVERSAL (G)

CAVENDISH VA SER EL PRIMER EN MESURAR LA MASSA DE LA TERRA

M

20 20

81

.

9

2

⇔

=

⋅

=

⋅

⋅

=

P

m

g

m

R

m

M

G

F

T T

2.- LLEI GRAVITACIONAL

Experiment de Eratóstenes (s II a.C)

CÀLCUL DEL RADI DE LA TERRA

21 21

http://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes

2.- LLEI GRAVITACIONAL

2.- LLEI GRAVITACIONAL

23

3.- Concepte de Camp Central.

• CONCEPTE DE CAMP: “Tota pertorbació generada per una partícula en tots els punts del seu entorn”.

• L’objecte / partícula que genera aquesta pertorbació afectarà a j p q g q p segones partícules que es trobin properes, en el nostre cas, li aplicarà una força.

• Dos tipus de camps:

• CAMP UNIFORME: Els vectors força tenen el mateix mòdul, direcció i sentit en tots els punts de l’espai.

• CAMP CENTRAL: Els vectors força convergeixen tots en

24 24

3.- Concepte de Camp Central.

• CONCEPTE DE CAMP: “Tota pertorbació generada per una partícula en tots els punts del seu entorn”.

• L’objecte / partícula que genera aquesta pertorbació afectarà a segones partícules que es trobin properes en el nostre cas li segones partícules que es trobin properes, en el nostre cas, li aplicarà una força.

C

r

C

c

F

r

=

⋅

r

25

PARTÍCULA 1

PARTÍCULA 2

c

(Características partícula 2)

25

3.- Concepte de Camp Central.

• DOS CAMPS QUE CUMPLEIXEN L’EXPRESSIÓ:

c

F

C

r

r

=

CAMP GRAVITATORI

CAMP ELÈCTRIC

3.- Concepte de Camp Central.

• Camp conservatiu:

– El treball (W) per desplaçar un objecte/partícula d’un punt A a un punt B es independent del camí recorregut.

– El valor del treball W només depèn de la posició INICIAL i la posició FINAL.

– Aquest treball s’emmagatzema INTEGRAMENT en forma d’Energia Potencial.

27 27

B A

3.- Concepte de Camp Central.

• Propietats del camp conservatiu:

1. El treball que s’ha fet en el camí es igual a la diferencia de energia potencial entre el punt inicial i el punt final.g p p p

B

B A

28

Ep

Ep

Ep

r

d

F

W

_{A B}

B

A B

A→

=

∫

⋅

=

−

=

−

Δ

r

r

3.- Concepte de Camp Central.

• Propietats del camp conservatiu:

2. Si el recorregut o camí es tancat, es a dir surt i retorna al mateix punt, llavors el treball es ZERO.

B A

29

0

=

→A A

W

29

3.- Concepte de Camp Central.

• Propietats del camp conservatiu:

3. Si només actuen forces conservatives en el moviment, això implica que la Energia Mecànica es conserva CONSTANT.

B A

0

=

Δ

⇒

=

_{m m}

m

E

E

E

4.- CAMP GRAVITATORI

• DEFINICIÓ: Pertorbació que un cos produeix a l’espai que l’envolta pel fet de tenir una massa.

• Teoria relativista d’Einstein: Analogia MANTA ELÀSTICA. g

31 31

• Els efectes NOMÉS son apreciables si la massa es molt gran (planetes i/o estrelles).

4.- CAMP GRAVITATORI

• DEFINICIÓ: Pertorbació que un cos produeix a l’espai que l’envolta pel fet de tenir una massa.

• Descripció del camp gravitatori es pot fer mitjançant dos p p g p j ç magnituds:

1. Intensitat de camp gravitatori (g).

2. Potencial gravitatori (V) o Energia Potencial Gravitatòria (Ep).

r

M

G

F

g

=

=

−

ˆ

r

r

_⎢

⎡

₌

_⎥

⎤

2

m

N

32 32

r

r

G

m

g

₂

⎥

⎦

⎢

⎣

2

s

Kg

r

M

G

V

=

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

4.- CAMP GRAVITATORI

1. Intensitat de camp gravitatori (g).

• “La intensitat de camp gravitatori, g, a un punt de l’espai, es la força que actuaria sobre una unitat de massa (1Kg) situat en força que actuaria sobre una unitat de massa (1Kg) situat en aquest punt.

u

r

M

G

m

F

g

=

=

−

₂

ˆ

r

r

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

₂

s

m

Kg

N

u : vector unitari que va de la massa M que genera el camp

g

• g es un VECTOR que

33 33

M r

fins al punt on es vol calcular el camp

g _g g

g

g es un VECTOR que es dirigeix SEMPRE a la partícula (massa) que genera el camp gravitatori.

4.- CAMP GRAVITATORI

1. Intensitat de camp gravitatori (g).

• Si hi ha moltes partícules s’aplica el principi de SUPERPOSICIÓ.

N

g

g

g

g

r

=

r

₁

+

r

₂

+

...

+

r

M2

M3

x

g 2

4.- CAMP GRAVITATORI

• La llei de la gravitació universal es la responsable de:

1. El moviment dels astres. La força gravitatòria es la força centrípeta que manté la Lluna al voltant de la Terra

u

r

M

m

G

F

ˆ

2

⋅

−

=

r

m

M

F

P

2. La caiguda dels cossos.

35

g

m

P

r

=

⋅

r

35

4.- CAMP GRAVITATORI

• La llei de la gravitació universal es la responsable de:

1. El moviment dels astres. La força gravitatòria es la força centrípeta que manté la Lluna al voltant de la Terra

r

r

M

m

G

F

ˆ

2

⋅

−

=

r

P

r

r

F

P

r

=

r

2. La caiguda dels cossos.

36

g

m

P

=

⋅

r

r

M

m

G

g

m

x

⋅

r

=

−

x

⋅

₂

ˆ

r

r

M

G

g

=

−

₂

ˆ

⇒

r

4.- CAMP GRAVITATORI

• Es defineix com intensitat de camp gravitatori (g) a l’acceleració que patiria un cos en caiguda lliure.

a. Depèn de la massa del planeta (M_P) i de la distància al centre del planeta al quadrat (r)

del planeta al quadrat (r).

b. r es pot expressar com la suma del radi del planeta (R_P) més l’altura (h).

c. g disminueix a mida que creix l’altura (h)

r

M

G

g

r

=

−

ˆ

r

37

r

r

G

g

=

−

₂

r

h

R

M

G

g

P P

_ˆ

)

(

+

2

−

=

r

R

P

h

37

4.- CAMP GRAVITATORI

• La gravetat a la Terra.

Kg

M

km

R

T T 24

10

98

,

5

6370

⋅

=

=

8

,

9

2

=

⋅

⋅

=

m

R

m

M

G

F

T T

g

T

,

Només vàlid a la superfície de la Terra

4.- CAMP GRAVITATORI

• Que es el PES?

g

m

P

=

⋅

83 , 9

=

g

78 , 9

=

g

39 39

4.- CAMP GRAVITATORI

h

h

[Km]

g

[m/s

2

_]

0

9,83

10

9,80

40

100

9,53

4.- CAMP GRAVITATORI

• Diferencia entre PES i MASSA:

• PES es la força d’atracció que fa un planeta sobre un objecte (varia en funció del planeta). Unitats son NEWTONS.

MASSA K i IGUAL t t l’U i • MASSA es mesura en Kg i es IGUAL a tot l’Univers.

41 41

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

2. Potencial gravitatori (V) o Energia Potencial Gravitatòria (Ep).

r

M

G

V

=

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Kg

J

r

M

m

G

E

g

p

⋅

−

=

[ ]

J

r

⎣

Kg

⎦

pg

_r

B A

m m

M

r

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

• Si s’apropa i/o s’allunya una massa m, s’haurà de fer un treball. Aquest treball s’emmagatzemarà a la massa desplaçada en forma de energia potencia gravitatòria.

r

m

M

B

A

rA _r

B

F

_g

u

43 43 43

r

F

W

E

_p

=

=

r

_g

⋅

Δ

r

Δ

−

u

r

m

M

G

F

r

_g

=

−

⋅

₂

r

es constant durant tot Força gravitatòria NO el desplaçament!!!!!

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

• Si s’apropa i/o s’allunya una massa m, s’haurà de fer un treball. Aquest treball s’emmagatzemarà a la massa desplaçada en forma de energia potencia gravitatòria.

m

M

B

A

rB _r

A

F

_g

u

u

r

m

M

G

F

g

r

r

2

⋅

−

=

44 44 44

r

F

W

=

r

_g

⋅

Δ

r

∂

W

=

F

r

_g

(

r

)

⋅

∂

r

r

º

0

cos

1

)

(

⋅

∂

=

−

₂

⋅

∂

=

−

₂

⋅

∂

⋅

=

∫

∫

∫

→ B A B A B A r r r r r r g B A

r

r

GMm

r

u

r

Mm

G

r

r

F

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

• Si s’apropa i/o s’allunya una massa m, s’haurà de fer un treball. Aquest treball s’emmagatzemarà a la massa desplaçada en forma de energia potencia gravitatòria.

A

B B r r

1

GMm

r

1

GMm

W

=

−

∫

⋅

∂

=

−

_⎢

⎡−

_⎥

⎤

m

M

rB _r

A

F

_g

u

B

A

45 45 45 A A r r 2 B A

r

GMm

r

r

GMm

W

⎥⎦

⎢⎣

−

−

=

∂

⋅

−

=

∫

→

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

→ B A B A

r

GMm

r

GMm

W

A p

E

E

p_B

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

• Si s’apropa i/o s’allunya una massa m, s’haurà de fer un treball. Aquest treball s’emmagatzemarà a la massa desplaçada en forma de energia potencia gravitatòria.

A

p p

p B

A

E

E

E

W

B A

−

=

−

Δ

=

→

m

M

rB _r

A

F

_g

u

B

A

• “Es defineix la diferencia d' ENERGIA POTENCIAL GRAVITATÒRIA

B A p

p

p

E

E

W

E

A

B

−

=

−

→

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

• Es defineix ENERGIA POTENCIAL GRAVITATÒRIA en un punt r com el treball necessari per poder portar una massa m des de el punt r fins a l’infinit (∞).

⎤

⎡

GMm

GMm

Mm

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

→ B A B A

r

GMm

r

GMm

W

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∞

−

−

−

=

∞ →

GMm

r

GMm

W

_r 47 47

r

Mm

G

E

_p

=

−

r

r

M

G

m

r

r

r

Mm

G

E

_p

⎟

⋅

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⋅

=

−

=

₂

=

m

⋅

g

⋅

r

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

r

Mm

G

E

_p

=

−

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

h

g

m

E

_p

=

⋅

⋅

r

Mm

G

E

_p

=

−

2 FÒRMULES 1 DESTÍ (1 TERRA)

49

r

r

M

G

m

r

r

r

Mm

G

E

_p

⎟

⋅

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⋅

=

−

=

₂

=

m

⋅

g

⋅

r

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

h

h

g

m

E

_p

=

⋅

⋅

• Suposa un camp gravitatori constant (9.81m/s) • Això només vàlid per h < 10Km

• Físicament només tenim en compte diferències p de potencial.

¾Origen en h=0 (Superfície).

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

Mm

• Suposa un camp gravitatori variable amb la distància o altura fins la superfície (h) • Vàlid sempre però es fa servir h > 10Km

r

Mm

G

E

_p

=

−

51

• Físicament només tenim en compte diferències de potencial.

¾Origen en h=∞ (INFINIT).

¾En h=∞ÆEp = 0J

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

−

+

−

=

−

1 T 2 T 1 p 2 p

h

R

Mm

G

h

R

Mm

G

E

E

⎠

⎝

+

+

_{2 T 1}

T

h

R

h

R

)

)(

(

)

(

)

(

2 1 2 1

h

R

h

R

h

R

h

R

GMm

T T T T

+

+

+

−

+

−

=

)

(

h

₁

h

₂

GMm

−

−

=

52

)

(

R

2

R

h

₂

R

h

₁

h

₁

h

₂

GMm

T T

T

+

+

+

=

{

₁

,

₂

}

₂

m

(

h

₁

h

₂

)

mg

(

h

₁

h

₂

)

R

GM

h

h

R

T

T

−

=

−

Mm

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

• INTERPRETACIÓ: Massa m s’allunya de la massa M.

r

Mm

G

E

_p

=

−

B

A

r_A

rB

F

p p

p B

A

E

E

E

W

B A

−

=

−

Δ

=

→

53 53

m

M

F

g

A

p

E

<

E

_p

_B

Mm

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

• INTERPRETACIÓ: Massa m s’allunya de la massa M.

r

Mm

G

E

_p

=

−

B

A

r_B

rA

F

p p

p B

A

E

E

E

W

B A

−

=

−

Δ

=

→

m

M

F

g

Mm

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

• INTERPRETACIÓ: Massa m s’apropa de la massa M.

r

Mm

G

E

_p

=

−

p p

p B

A

E

E

E

W

B A

−

=

−

Δ

=

→

m

M

A

B

F

_g 55 55

B

p

E

<

E

_p

_A

m

M

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

Mm

• INTERPRETACIÓ: Massa m s’apropa de la massa M.

r

Mm

G

E

_p

=

−

p p

p B

A

E

E

E

W

B A

−

=

−

Δ

=

→

m

M

A

B

F

_g 56 56

• La massa es desplaça per l’acció de les forces gravitatòries. • La massa m disminueix l’Energia Potencial Gravitatòria. • El treball del camp es més gran que 0 (POSITIU).

0

>

⇒

>

_{p A→B}

p

E

W

E

B A

4.- CAMP GRAVITATORI: potencial

• Es defineix com Potencial gravitatoricom l’energia potencial per unitat de massa.

• Es defineix el potencial gravitatori en un punt de l’espai r (distància a la massa M que genera el potencial es r) com el

r

M

G

m

E

V

=

p

=

−

(distància a la massa M que genera el potencial es r) com el treball que realitza el camp gravitatori per traslladar la unitat de massa (1Kg) des d’aquest punt r fins a l’infinit (r=∞).

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Kg

J

57 57

r

g

m

r

g

m

m

E

V

=

p

=

⋅

⋅

=

⋅

4.- CAMP GRAVITATORI: Energia potencial

M

G

V

=

r

G

V

=

−

M

G

V

=

−

)

h

R

(

G

V

T

+

4.- CAMP GRAVITATORI: potencial

• Es pot expressar el treball necessari per traslladar una càrrega des d’un punt A fins a un punt B com a diferència de potencials gravitatoris.

)

(

_{A B}

p p

p B

A

E

E

E

m

V

V

W

B

A

−

=

−

=

Δ

−

=

→

Diferència de potencial gravitatori

• Distribució de masses: cadascuna de les masses crea un potencial gravitatori en el punt. El potencial gravitatori total serà la suma

Ó

59 59

de tots els potencials (PRINCIPI DE SUPERPOSICIÓ).

M₂ M1

M3

X P r₁

r₂

r₃

p p p

P

V

V

V

V

=

₁

+

₂

+

₃

4.- CAMP GRAVITATORI: Simulació

• Simulació: http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/gravita/appletsol.htm

Tavi Casellas

Professor de Física i Química IES-SEP Montilivi (Girona

5.- Moviment de planetes i satèl·lits

• La teoria de NEWTON donava suport a la concepció heliocèntrica de L’Univers i trencava amb la distinció entre regió terrestre i regió celeste.

SON CORRECTES ELS MOVIMENTS DENOMINATS EPICICLES?

LES ÒRBITES SON MOVIMENTS CIRCULARS PERFECTES?

61

LES LLEIS DE KEPLER

61

5.1.-LES LLEIS DE KEPLER

• Tycho Brahe (1546 – 1601), astrònom, observà sense telescopi els moviments planetaris i durant 20 anys compilà una base de dades astronòmiques importat.

5.1.-LES LLEIS DE KEPLER

• Repàs paràmetres d’una el·lipse.

ELIPSE: Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias (radio vectores) a dos puntos fijos, llamados FOCOS, es constante.

Semieje mayor: a Semieje menor: b Focos: F y F’

Distancia Focal: FF’ = 2c

F

P(x,y)

F’ b

B

A

A’ O

a

F

P

d

F

P

d

(

,

)

+

(

,

'

)

=

2

63 63

Distancia Focal: FF 2c Centro: O(0,0)

Radio vectores: PF y PF’ Vértices: A, A’, B y B’

a c F

B’

A

5.1.-LES LLEIS DE KEPLER

ELIPSE: Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias (radio vectores) a dos puntos fijos, llamados FOCOS, es constante. • Repàs paràmetres d’una el·lipse.

F

a F’

b

c B

A

A’ O

a

2 2 2

_b

_c

a

=

+

Relación fundamental de la elipse

64

a c

B’

1

0

<

<

=

e

a

c

e

5.1.-LES LLEIS DE KEPLER

ELIPSE: Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias (radio vectores) a dos puntos fijos, llamados FOCOS, es constante. • Repàs paràmetres d’una el·lipse.

1

0

<

<

=

e

a

c

e

Excentricidad de la elipse

e =0

e =0.5 _{e =0.99}

65 F

a F’

O

F a

F’

O c

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

5.1.-LES LLEIS DE KEPLER

• 1ª LLEI DE KEPLER (LLEI DE LES ÒRBITES): Els planetes giren en òrbites el·líptiques PLANES en les quals el Sol ocupa un dels focus.

67

Tierra Æe= 0.0167 Órbita casi circular

http://www.youtube.com/watch?v=Io-9mpy-SjU&feature=related

5.1.-LES LLEIS DE KEPLER

68

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• 2ª LLEI DE KEPLER (LLEI DE LES ÀREES): El segment imaginari que uneix un planeta amb el SOL (vector de posició dl planeta respecte del sistema de referència solar) defineix àrees iguals en temps iguals.

iguals.

69 69

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• 2ª LLEI DE KEPLER (LLEI DE LES ÀREES): El segment imaginari que uneix un planeta amb el SOL (vector de posició del planeta

respecte del sistema de referència solar) defineix àrees iguals en temps iguals.

temps iguals.

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• 3ª LLEI DE KEPLER (LLEI DELS PERIODES): El quadrat del període del moviment al voltant del Sol de qualsevol planeta és

directament proporcional al cub de la distància mitjana del Sol.

3

2

r

K

T

=

⋅

Constant de proporcionalitat

(IGUAL per a tots els Radi promig de _{l’òrbita [m]}

[s]

71

(IGUAL per a tots els planetes)

71

• També es vàlida per a satèl·lits que volten planetes. l’òrbita [m]

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• 3ª LLEI DE KEPLER (LLEI DELS PERÍODES):

a

m

F

=

an aT

C

F

_g

n

s

g

m

a

F

=

⋅

r

v

m

r

m

M

G

s _s

2

2

=

⋅

⋅

_{x x}

x

x

M

72 72

{

}

2

)

(

r

r

M

G

r

v

=

ω

⋅

⇒

=

ω

⋅

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• 3ª LLEI DE KEPLER (LLEI DELS PERÍODES):

3

2

2

4

r

T

=

π

an aT

C

F

_g

r

GM

T

=

3

2

r

K

T

=

⋅

73 73

3

2

2

4

r

GM

T

=

π

•NO depèn de la massa del astre que està orbitant.

•Depèn de la massa de l’astre al voltant del que s’està girant.

•T [s] i radi r [m] es el radi promig.

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• 3ª LLEI DE KEPLER (LLEI DELS PERÍODES): El quadrat del període del moviment al voltant del Sol de qualsevol planeta és

directament proporcional al cub de la distància mitjana del Sol.

3

2

2

4

r

GM

T

=

π

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• EXEMPLE 1: Calcula la massa del SOL a partir del període de la terra tenint en compte que la distància mitja es de 150.000.000 km.

75 75

2

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• EXEMPLE 2: Calcula el període orbital de la lluna al voltant de la terra (en dies). Dades: M_T=5,98· 1024_{kg, D}

T-L= 384.000 km

3 2 2

4

r

GM

T

=

π

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• 3ª LLEI DE KEPLER (LLEI DELS PERIODES): El quadrat del període del moviment al voltant del Sol de qualsevol planeta és

directament proporcional al cub de la distància mitjana del Sol.

3

2

r

K

T

=

⋅

Constant de proporcionalitat

(IGUAL per a tots els Radi promig de _{l’òrbita [m]}

[s]

77

(IGUAL per a tots els planetes)

77 • Com es calcula el radi mig, donats els punts més proper i més

llunyà? Com es relacionen els paràmetres de l’el.lipse amb el periheli i l’afeli?

l’òrbita [m]

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• 3ª LLEI DE KEPLER (LLEI DELS PERÍODES):

F a F’ b c B A A’ O a Afeli (punt més llunyà rmax Periheli (punt més r_min Periheli (punt més 79 79 B’ del sol)

proper al sol) proper al sol)

Energia cinètica màxima Energia potencial mínima

Energia cinètica mínima Energia potencial màxima

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• 3ª LLEI DE KEPLER (LLEI DELS PERÍODES):

F a F’ b c B A A’ O a Afeli (punt més llunyà rmax Periheli (punt més r_min Periheli (punt més 80 80 B’ del sol)

proper al sol) proper al sol)

2

r

r

c

2

r

r

a

c

a

r

c

a

r

_{max min max min}

max

min

_⇒

₌

+

₌

−

5.1.- LES LLEIS DE KEPLER

• Masses i radis dels planetes:

81 81

5.2- Velocitat d’escapament

• Que passa si agafem un objecte i el llancem cap a dalt?

5.2- Velocitat d’escapament

1

EQUACIONS MOVIMENT CAIGUDA LLIURE

)

(

₀

0

g

t

t

v

v

=

−

−

_⎢⎣

⎡

_⎥⎦

⎤

s

m

[ ]

m

Posició

Velocitat

2 0 0

0

0

(

)

2

1

)

(

t

t

g

t

t

v

x

x

=

+

⋅

−

−

⋅

−

83

8

.

9

=

=

g

a

_⎢⎣

⎡

₂

_⎥⎦

⎤

s

m

Acceleració

5.2- Velocitat d’escapament

• Es pot enviar un cos de tal manera que no torni un altre cop a terra?

• SI, per exemple els coets.

5.2- Velocitat d’escapament

• Quina energia necessitem? Quina velocitat inicial mínima es necessària?

M

1

m

v_o

T T p

c m

R

m

M

G

v

m

E

E

E

=

+

=

⋅

2

−

0 0

0 0

2

1

85 85

HASTA EL INFINITO Y MÁS ALLÁ

© PIXAR

5.2- Velocitat d’escapament

• Quina energia necessitem? Quina velocitat inicial mínima es

necessària? m

0

2

1

_⋅

₂

₊

=

+

=

_{c p f}

m

E

E

m

v

E

f f

f

INFINITO

Suposem velocitat final es 0 m/s

5.2- Velocitat d’escapament

• Quina energia necessitem? Quina velocitat inicial mínima es

necessària? m

1

M

INFINITO

0

2

1

₂

0

=

⇒

⋅

0

−

=

T T mf

m

R

m

M

G

v

m

E

E

T

m

M

G

v

m

⋅

2

=

0

1

x

x

87 87

T

R

0

2

x

T T

R

GM

v

₀

=

2

5.2- Velocitat d’escapament

• Quina energia necessitem? Quina velocitat inicial mínima es necessària?

m

v_E

T T E

R

GM

v

=

2

VELOCITAT D’ESCAPAMENT (VELOCITAT MÍNIMA A PARTIR DE

LA QUAL EL COS ESCAPA DEL CAMP GRAVITATORI TERRESTRE)

88 88

5.2- Velocitat d’escapament

• La velocitat d’escapament es la velocitat mínima que ens permet que un cos escapi dels efectes del camp gravitatori d’un astre (planeta o estrella).)

• És una característica pròpia del planeta, ja que depèn de:

o Massa del planeta. o Radi del planeta. o G (constant universal).

GM

2

E

Coet

v

v

≥

Realment es més gran ja que hi ha fricció

89 89

T T E

R

GM

v

=

2

j q

amb l’aire

5.2- Velocitat d’escapament

• La velocitat d’escapament es la velocitat mínima que ens permet que un cos escapi dels efectes del

q p

camp gravitatori d’un astre (planeta o estrella).

• És una característica pròpia del planeta, ja que depèn de:

5.3- Velocitat orbital

• Amb quina velocitat orbiten els satèl·lits artificials al voltant de la Terra? I la Lluna? (aproximació òrbita circular).

a

m

F

_g

=

m

_s

a

_n

F

=

⋅

r

v

m

r

m

M

G

s _s

2

2

=

⋅

⋅

_{x x}

x

x

{

r

=

R

+

h

}

91 91

h

R

GM

v

T T

orb

=

₊

{

r

=

R

_T

+

h

}

5.3- Velocitat orbital

• Amb quina velocitat orbiten els satèl·lits artificials al voltant de la Terra? I la Lluna?

GM

h

R

GM

v

T T

orb

=

₊

• La velocitat orbital és una característica pròpia del planeta, i depèn de:

92 92

p , p

o Massa del planeta. o Radi del planeta.

o h: altura de la òrbita

5.3- Velocitat orbital

• I quan val el període T de rotació?

orb

v

R

T

=

2

π

orb

R

GM

R

T

T

π

2

=

R

R

π

2

93 93

T

GM

R

R

T

=

2

π

( )

T

GM

R

T

2

3

2

π

=

5.3- Velocitat orbital

• Hi ha dos tipus de satèl·lits:

1. Els geostacionaris: giren en un pla equatorial de la Terra a una distància aproximada de 35 500 km per aconseguir el mateix període de la Terra (punt sempre fix). Bona resolució temporal.

p (p p ) p

5.3- Velocitat orbital

• Problema: Calcula la velocitat orbitat i l’altura h sobre l’Equador per situar un satèl·lit geostacionari.

95 95

5.4- Energia mecànica orbital

• Estudi de les òrbites segons la energia.

m

M

G

v

m

E

E

E

=

+

=

1

⋅

2

−

T

R

G

v

m

E

E

E

_m

=

_c

+

_p

=

2

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

R

GM

v

T

orb

m

M

G

GM

m

E

=

1

T T

96 96

R

G

R

m

E

_m

=

⋅

−

2

p T

m

E

R

m

M

G

E

2

1

2

1

₌

5.5- Energia mecànica dels cossos celestes

• Kepler només va poder observar una de les possibles trajectòries dels cossos celestes però realment hi ha més trajectòries possibles:

TRAJECTÒRIES TANCADES

F

F’ O

EL·LÍPTICA

CIRCULAR

97 97

• Observades per Kepler. Es pot calcular el seu període fent servir la tercera Llei de Kepler.

• Trajectòries el.líptiques són complicades d’analitzar per això estudiarem simplificacions o aproximacions per trajectòries circulars.

Planetes, Satèl·lits, alguns cometes...

5.5- Energia mecànica dels cossos celestes

• Kepler només va poder observar una de les possibles trajectòries dels cossos celestes però realment hi ha més trajectòries possibles:

TRAJECTÒRIES

TANCADES

EL·LÍPTICA

5.5- Energia mecànica dels cossos celestes

• Kepler només va poder observar una de les possibles trajectòries dels cossos celestes però realment hi ha més trajectòries possibles:

TRAJECTÒRIES OBERTES

PARABÒLIQUES

HIPER BÒLIQUES

99 99

Majoria dels cometes, asteroides...

5.5- Energia mecànica dels cossos celestes

• El tipus de trajectòria depèn de la quantitat d’energia mecànica de

l’objecte (aquesta sempre és constant ja que només intervé la força gravitatòria entre cossos celestes que és conservativa).

COSSOS

CELESTES D’ÒRBITATIPUS EXCENTRICITAT MECÀNICAENERGIA

Planetes, cometes i Asteroides

El·líptica, circular

0 < e < 1 (el·lipse)

e = 0 (cercle) Em< 0 Cometes i

Asteroides parabòlicaÒrbita e=1 Em= 0

100 100

Cometes i

Asteroides hiperbòlicaÒrbita e>1 Em> 0

5.5- Energia mecànica dels cossos celestes

• El tipus de trajectòria es pot analitzar des del punt de vista de l’excentricitat que té la trajectòria del cos.

101 101

5.5- Energia mecànica dels cossos celestes

6.- Origen i evolució de l’univers.

ASTRONOMIA CLÁSICA

ASTRONOMIA MODERNA

103 FUNCIONAMENTO DEL UNIVERSO

A CORTO PLAZO (50.000 AÑOS)

FUNCIONAMENTO DEL UNIVERSO A LARGO PLAZO

103

ASTRONOMIA MODERNA

6.- Origen i evolució de l’univers.

FUNCIONAMENTO DEL UNIVERSO A LARGO PLAZO

104

¿COMO SE CREÓ EL UNIVERSO?

6.- Origen i evolució de l’univers.

ASTRONOMIA CLÁSICA

ASTRONOMIA MODERNA

EINSTEIN

(TEORÍA DE LA RELATIVIDAD /CAOS) NEWTON

(TEORÍA DETERMINISTA)

105

“Según el determinismo, el universo funciona como un reloj, donde no existe lugar para el azar y donde todo está determinado inexorablemente por las eternas leyes de la naturaleza.”

105

6.- Origen i evolució de l’univers.

ASTRONOMIA CLÁSICA

ASTRONOMIA MODERNA

EINSTEIN

(TEORÍA DE LA RELATIVIDAD /CAOS) NEWTON

(TEORÍA DETERMINISTA)

6.- Origen i evolució de l’univers.

ASTRONOMIA MODERNA

FUNCIONAMENTO DEL UNIVERSO A LARGO PLAZO

107

¿COMO SE CREÓ EL UNIVERSO?

BIG BANG

107

6.- Origen i evolució de l’univers.

•

BIG BANG

:

108

6.- Origen i evolució de l’univers.

•

BIG BANG

:

– Se trata de un modelo científico que determina que el Universo se encuentra en expansión es decir que las Universo se encuentra en expansión, es decir, que las galaxias se alejan unas de las otras (efecto de un globo que se está hinchando paulatinamente).

– Esto supone que el Universo, en un principio, tenía concentrada toda su masa y energía en un punto y por ese motivo se produjo una gran explosión (big bang) a partir de la cual la materia se dispersó.

– A partir de esta teoría respaldada por la Ley de Hubble se

109

A partir de esta teoría, respaldada por la Ley de Hubble, se establece la edad del universo en13700 millones de años).

http://www.youtube.com/watch?v=nVsHjnY-o9s&feature=related

http://channel.nationalgeographic.com/series/naked-science/3895/Overview#tab-Videos/05838_00

http://www.youtube.com/watch?v=_AmFcBWBAoY

(algo antiguo, edad del universo es de 13.700 millones años) 109

6.- Origen i evolució de l’univers.

ASTRONOMIA MODERNA

FUNCIONAMENTO DEL UNIVERSO A LARGO PLAZO

6.- Origen i evolució de l’univers.

•

FUTURO DEL UNIVERSO ???

: – EXPANSIÓN INDEFINIDA.

EXPANSIÓN FINITA ÆIMPLOSIÓN DEL UNIVERSO

– EXPANSIÓN FINITA ÆIMPLOSIÓN DEL UNIVERSO.

111 111

6.- Origen i evolució de l’univers.

•

FUTURO DEL UNIVERSO ???

:

– EXPANSIÓN INDEFINIDA (Muerte térmica).

EXPANSIÓN FINITA ÆIMPLOSIÓN DEL UNIVERSO ( l d

– EXPANSIÓN FINITA ÆIMPLOSIÓN DEL UNIVERSO (colapso de la materia).

MUERTE DEL UNIVERSO

htt // t b / t h? XZ 4DCd 5

112

http://www.youtube.com/watch?v=XZn4DCdou5g

http://www.youtube.com/watch?v=qRfkfSWoTRg&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=KYQKPwovRz8&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=qqS3USgx9NU&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=zWkkiLTrKD8&feature=related