SOLUCIONARIO
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(2) Índice UNIDAD 1 – LOS NÚMEROS REALES……………………………………………………………….8 Actividades página 6…………………………………………………………………………………...8 Actividades página 8………………………………………………………………………………….10 Actividades página 9……………………………………………………………………………….…12 Actividades página 10………………………………………………………………………………..13 Actividades página 11………………………………………………………………………………..14 Actividades página 12………………………………………………………………………………..16 Actividades página 13………………………………………………………………………………..17 Actividades página 14………………………………………………………………………………..18 Actividades página 15………………………………………………………………………………..19 Actividades página 16………………………………………………………………………………..21 Actividades página 17………………………………………………………………………………..23 Actividades página 18………………………………………………………………………………..25 Actividades página 19………………………………………………………………………………..26 Actividades página 22………………………………………………………………………………..28 Actividades página 23………………………………………………………………………………..33 Actividades página 24………………………………………………………………………………..42 Actividades página 25………………………………………………………………………………..48 Actividades página 26………………………………………………………………………………..53. UNIDAD 2 – POLINOMIOS……………………………………………………………………………54 Actividades página 28………………………………………………………………………………..54 Actividades página 30………………………………………………………………………………..55 Actividades página 31………………………………………………………………………………..56 Actividades página 32………………………………………………………………………………..57 Actividades página 33………………………………………………………………………………..59 Actividades página 34………………………………………………………………………………..60 Actividades página 35………………………………………………………………………………..62 Actividades página 36………………………………………………………………………………..64 Actividades página 37………………………………………………………………………………..66 Actividades página 38………………………………………………………………………………..69 Actividades página 39………………………………………………………………………………..70 Actividades página 42………………………………………………………………………………..71 Actividades página 43………………………………………………………………………………..76 Actividades página 44………………………………………………………………………………..86 Actividades página 45………………………………………………………………………………..91 Actividades página 46………………………………………………………………………………..95. UNIDAD 3 – ECUACIONES Y SISTEMAS……………………………………………………….…97 Actividades página 48…………………………………………………………………………….….97 Actividades página 50………………………………………………………………………………..99 Actividades página 51………………………………………………………………………………100 Actividades página 52………………………………………………………………………………101. 2.
(3) Actividades página 53……………………………………………………………………………...103 Actividades página 54……………………………………………………………………………...105 Actividades página 55……………………………………………………………………………...107 Actividades página 56……………………………………………………………………………...108 Actividades página 57……………………………………………………………………………...109 Actividades página 58……………………………………………………………………………...110 Actividades página 59……………………………………………………………………………...111 Actividades página 62……………………………………………………………………………...113 Actividades página 63……………………………………………………………………………...120 Actividades página 64……………………………………………………………………………...138 Actividades página 65……………………………………………………………………………...146 Actividades página 66……………………………………………………………………………...154. UNIDAD 4 – INECUACIONES……………………………………………………………………...155 Actividades página 68……………………………………………………………………………..155 Actividades página 70……………………………………………………………………………..157 Actividades página 71……………………………………………………………………………..158 Actividades página 72……………………………………………………………………………..159 Actividades página 73……………………………………………………………………………..162 Actividades página 74……………………………………………………………………………..164 Actividades página 75……………………………………………………………………………..166 Actividades página 78……………………………………………………………………………..168 Actividades página 79……………………………………………………………………………..176 Actividades página 80……………………………………………………………………………..208 Actividades página 81……………………………………………………………………………..233 Actividades página 82……………………………………………………………………………..242. UNIDAD 5 – Estudio gráfico de funciones……………………………………………………..243 Actividades página 84……………………………………………………………………………..243 Actividades página 86……………………………………………………………………………..245 Actividades página 87……………………………………………………………………………..246 Actividades página 88……………………………………………………………………………..248 Actividades página 89……………………………………………………………………………..249 Actividades página 90……………………………………………………………………………..250 Actividades página 91……………………………………………………………………………..251 Actividades página 92……………………………………………………………………………..252 Actividades página 93……………………………………………………………………………..253 Actividades página 96……………………………………………………………………………..255 Actividades página 97……………………………………………………………………………..261 Actividades página 98……………………………………………………………………………..266 Actividades página 99……………………………………………………………………………..270 Actividades página 100……………………………………………………………………………274. UNIDAD 6 – Funciones algebraicas……………………………………………………………...276 Actividades página 102…………………………………………………………………………….276 Actividades página 104…………………………………………………………………………….277 Actividades página 105…………………………………………………………………………….278. 3.
(4) Actividades página 106…………………………………………………………………………….279 Actividades página 107…………………………………………………………………………….282 Actividades página 108…………………………………………………………………………….284 Actividades página 109…………………………………………………………………………….287 Actividades página 110…………………………………………………………………………….290 Actividades página 111…………………………………………………………………………….295 Actividades página 114………………………………………………………………………….…297 Actividades página 115…………………………………………………………………………….306 Actividades página 116…………………………………………………………………………….323 Actividades página 117………………………………………………………………………….…334 Actividades página 118………………………………………………………………………….…341. UNIDAD 7 – Funciones exponencial y logarítmica…………………………………………….342 Actividades página 120……………………………………………………………………………..342 Actividades página 122……………………………………………………………………………..343 Actividades página 123……………………………………………………………………………..345 Actividades página 124……………………………………………………………………………..348 Actividades página 125……………………………………………………………………………..349 Actividades página 126……………………………………………………………………………..351 Actividades página 127……………………………………………………………………………..353 Actividades página 128……………………………………………………………………………..355 Actividades página 129……………………………………………………………………………..356 Actividades página 132……………………………………………………………………………..357 Actividades página 133……………………………………………………………………………..367 Actividades página 134……………………………………………………………………………..373 Actividades página 135……………………………………………………………………………..384 Actividades página 136……………………………………………………………………………..391. UNIDAD 8 – Semejanzas y triángulos…………………………………………………………….392 Actividades página 138……………………………………………………………………………..392 Actividades página 140……………………………………………………………………………..393 Actividades página 141……………………………………………………………………………..394 Actividades página 142……………………………………………………………………………..395 Actividades página 143……………………………………………………………………………..396 Actividades página 144……………………………………………………………………………..397 Actividades página 145……………………………………………………………………………..398 Actividades página 146……………………………………………………………………………..399 Actividades página 147……………………………………………………………………………..401 Actividades página 150……………………………………………………………………………..402 Actividades página 151……………………………………………………………………………..406 Actividades página 152……………………………………………………………………………..410 Actividades página 153……………………………………………………………………………..415 Actividades página 154……………………………………………………………………………..419. UNIDAD 9 – Trigonometría en ángulos agudos………………………………………………..420 Actividades página 156…………………………………………………………………………….420 Actividades página 158…………………………………………………………………………….421. 4.
(5) Actividades página 159…………………………………………………………………………….422 Actividades página 160…………………………………………………………………………….424 Actividades página 161…………………………………………………………………………….426 Actividades página 162…………………………………………………………………………….427 Actividades página 163…………………………………………………………………………….428 Actividades página 164…………………………………………………………………………….429 Actividades página 165………………………………………………………………………….…430 Actividades página 168…………………………………………………………………………….431 Actividades página 169………………………………………………………………………….…438 Actividades página 170……………………………………………………………………….……453 Actividades página 171……………………………………………………….……………………462 Actividades página 172…………………………………………………………….………………470. UNIDAD 10 – Trigonometría en ángulos orientados…………………………………………..471 Actividades página 174…………………………………………………………………………….471 Actividades página 176…………………………………………………………………………….473 Actividades página 177…………………………………………………………………………….475 Actividades página 178…………………………………………………………………………….477 Actividades página 179…………………………………………………………………………….479 Actividades página 180…………………………………………………………………………….483 Actividades página 181…………………………………………………………………………….485 Actividades página 184…………………………………………………………………………….487 Actividades página 185…………………………………………………………………………….497 Actividades página 186…………………………………………………………………………….505 Actividades página 187…………………………………………………………………………….513 Actividades página 188…………………………………………………………………………….519. UNIDAD 11 – Geometría analítica…………………………………………………………………520 Actividades página 190…………………………………………………………………………….520 Actividades página 192…………………………………………………………………………….521 Actividades página 193…………………………………………………………………………….522 Actividades página 194…………………………………………………………………………….524 Actividades página 195…………………………………………………………………………….525 Actividades página 196…………………………………………………………………………….526 Actividades página 197…………………………………………………………………………….527 Actividades página 198…………………………………………………………………………….528 Actividades página 199…………………………………………………………………………….530 Actividades página 200…………………………………………………………………………….531 Actividades página 201…………………………………………………………………………….532 Actividades página 202…………………………………………………………………………….533 Actividades página 203…………………………………………………………………………….534 Actividades página 206…………………………………………………………………………….535 Actividades página 207…………………………………………………………………………….540 Actividades página 208…………………………………………………………………………….547 Actividades página 209…………………………………………………………………………….554 Actividades página 210…………………………………………………………………………….559. 5.
(6) UNIDAD 12 – Estadística………………...…………………………………………………………560 Actividades página 212…………………………………………………………………………….560 Actividades página 214…………………………………………………………………………….562 Actividades página 215…………………………………………………………………………….563 Actividades página 216…………………………………………………………………………….564 Actividades página 217…………………………………………………………………………….565 Actividades página 218…………………………………………………………………………….567 Actividades página 219…………………………………………………………………………….568 Actividades página 220…………………………………………………………………………….569 Actividades página 221…………………………………………………………………………….570 Actividades página 222…………………………………………………………………………….572 Actividades página 223…………………………………………………………………………….573 Actividades página 226…………………………………………………………………………….575 Actividades página 227…………………………………………………………………………….579 Actividades página 228…………………………………………………………………………….584 Actividades página 229…………………………………………………………………………….591 Actividades página 230…………………………………………………………………………….598. UNIDAD 13 – Combinatoria…………………………………………………………………………600 Actividades página 232……………………………………………………………………………..600 Actividades página 234……………………………………………………………………………..601 Actividades página 235……………………………………………………………………………..602 Actividades página 236……………………………………………………………………………..603 Actividades página 237……………………………………………………………………………..604 Actividades página 238……………………………………………………………………………..605 Actividades página 239……………………………………………………………………………..608 Actividades página 240……………………………………………………………………………..609 Actividades página 241……………………………………………………………………………..610 Actividades página 244……………………………………………………………………………..612 Actividades página 245……………………………………………………………………………..617 Actividades página 246……………………………………………………………………………..624 Actividades página 247……………………………………………………………………………..630 Actividades página 248……………………………………………………………………………..635. UNIDAD 14 – Probabilidad………………………………………………………………………….636 Actividades página 250……………………………………………………………………………..636 Actividades página 252……………………………………………………………………………..637 Actividades página 253……………………………………………………………………………..638 Actividades página 254……………………………………………………………………………..639 Actividades página 255……………………………………………………………………………..640 Actividades página 256……………………………………………………………………………..641 Actividades página 257……………………………………………………………………………..642 Actividades página 258……………………………………………………………………………..643 Actividades página 259……………………………………………………………………………..645 Actividades página 260……………………………………………………………………………..647 Actividades página 261……………………………………………………………………………..649 Actividades página 264……………………………………………………………………………..651. 6.
(7) Actividades página 265……………………………………………………………………………..655 Actividades página 266……………………………………………………………………………..666 Actividades página 267……………………………………………………………………………..677 Actividades página 268……………………………………………………………………………..684. 7.
(8) Unidad 1 – Los números reales PÁGINA 6. SOLUCIONES Operar con números racionales. Realiza las siguientes operaciones: a). 3 1 3 7 3 3 7 30 3 14 41 − ⋅ + = − + = − + = 2 4 5 10 2 20 10 20 20 20 20 b). 3 3 3 6 12 30 18 −2⋅ − − − 5 4 = 5 4 = 20 20 = 20 = −3 3 3 3 3 2 5 5 5 5 c). 3 2 ⎛ 3 ⎞ 3 2 ⎛ 3⎞ 3 2 1 3 1 9 5 4 − ⋅⎜ 2 − ⋅2 ⎟ = − ⋅⎜ 2 − ⎟ = − ⋅ = − = − = 5 3 ⎝ 4 ⎠ 5 3 ⎝ 2 ⎠ 5 3 2 5 3 15 15 15 d). 1 2 5 − 6 + 15 − +1 3 5 15 = = 2 ⎛ 3 4 ⎞ 2 ⎛ 15 8 ⎞ :⎜ − ⎟ :⎜ − ⎟ 3 ⎝ 2 5 ⎠ 3 ⎝ 10 10 ⎠. 14 14 15 = 15 = 49 2 7 20 50 : 3 10 21. 8.
(9) Fracciones propias e impropias Expresa como fracción impropia los siguientes números mixtos: a) 2+. 3 10 3 13 = + = 5 5 5 5. b) 1+. 3 4 3 7 = + = 4 4 4 4. c) 3+. 1 18 1 19 = + = 6 6 6 6. d) 1+. 1 4 1 5 = + = 4 4 4 4. Expresa como números mixtos las siguientes fracciones impropias: a) 7 4 3 3 = + =1 + 4 4 4 4. b) 7 6 1 1 = + = 2+ 3 3 3 3. c) 17 14 3 3 = + =2+ 7 7 7 7. d) 25 24 1 1 = + =6+ 4 4 4 4. 9.
(10) PÁGINA 8. SOLUCIONES. 1. a) Número decimal exacto. 25 = 0 '6 4. b) Número decimal periódico puro.. 2 = 0 '666... = 0 '6 3 c) Número decimal periódico mixto.. 5 = 0 '83 6 d) Número decimal periódico puro.. 1 = 0 '14285714 7. 10.
(11) 2. a) 0 '05 =. 5 100. b) o = 274 − 2 = 272 2 '74 99 99. c) 7 0 '07 = 90. d) o= 2 '353. 2353 − 23 2330 233 = = 990 990 99. e) 29 − 2 27 2 '9 = = =3 9 9. 11.
(12) PÁGINA 9. SOLUCIONES. 3. 2’1101001000100001 …. 2’11012122122212222….. 4. Número racional: 0’320111. Número Irracional: 0’32011101001000100001…. 5. a) Racional 12 − 1 11 1' 2 = = ∈_ 9 9. b) Irracional 3 ∉_ 5. c) Racional o= 0 '1234. 1234 − 12 1222 611 = = ∈_ 9900 9900 4950. d) Racional 1 1 = ± ∈_ 4 2. 12.
(13) PÁGINA 10. SOLUCIONES 6.. 13.
(14) PÁGINA 11. SOLUCIONES. 7. a) ( −∞, − 3). { x ∈ \ : x < −3}. b) [2, 7). { x ∈ \ : 2 ≤ x < 7}. c) [ −5, + ∞ ). { x ∈ \ : x ≥ −5}. d) (–10, –5). { x ∈ \ : −10 < x < −5}. 14.
(15) 8. a) [–2, 5). { x ∈ \ : −2 ≤ x < 5}. b) (–2, 3]. { x ∈ \ : −2 < x ≤ 3}. c) ( −∞, − 1]. { x ∈ \ : x ≤ −1}. d) (–3, 0). { x ∈ \ : −3 < x < 0}. e) [ −1, + ∞ ). { x ∈ \ : x ≥ −1}. f) [0, 4]. { x ∈ \ : 0 ≤ x ≤ 4}. 15.
(16) PÁGINA 12. SOLUCIONES. 9.. a) 23. (2. ⋅ 27 ) ⋅ 2 −5. (2 ) 5. b). (2 ) =. 2. 2. 9 2. 2. ⋅ 2 −5. =. 2 10. 2 18 ⋅ 2 −5 2 13 = 10 = 2 3 2 10 2. 1 214. (2. 3. ⋅ 2 4 ) : 2 −12 −2. (2 ⋅ 2 ) 5. 2. (2 ) : 2 = (2 ) 7 −2. 6. −12. =. 2. 2 −14 : 2 −12 2−2 1 = 12 = 14 12 2 2 2. c) 2 2 2 ⋅ ( 23 : 2 4 ) : 2 −3 −5. 2 3 ⋅ ( 2 −2 ). d). −3. 2 2 ⋅ ( 2 −1 ) : 2 −3 −5. =. 2 2 ⋅ 2 5 : 2 −3 2 7 : 2 −3 210 = = 9 =2 29 29 2. 3 213. 34 ⋅ ( 23 ) : ( 2 4 ⋅ 35 ) −2. 2 ⋅3 3. e). 23 ⋅26. =. −2. =. 3 4 ⋅ 2 −6 : ( 2 4 ⋅ 3 5 ) 2 ⋅3 3. −2. =. 1: ( 2 10 ⋅ 3 ) 2 ⋅3 3. −2. =. 1 1 3 = 13 −1 = 13 3 −2 ( 2 ⋅ 3) ⋅ ( 2 ⋅ 3 ) 2 ⋅3 2 10. 36 27. 3 2 : ( 2 : 33 ) 2 : (3 ⋅2 2 ). 2. −2. =. 32 : ( 22 : 36 ). 2 : ( 3−2 ⋅ 2 −4 ). =. 3 8 ⋅ 2 −2 3 6 = 32 ⋅ 25 27. f) 614 6 5 ⋅ 2 3 : ( 2 4 : 3 −2 ) 2 2 : 35. −2. =. 6 5 ⋅ 2 3 : ( 2 −8 : 34 ) 2 2 : 35. =. 2 5 ⋅ 35 ⋅ 23 : ( 2 −8 ⋅ 3 −4 ) 2 2 ⋅ 3− 5. =. 25 ⋅ 35 ⋅ 23 ⋅ 28 ⋅ 34 216 ⋅ 39 = = 214 ⋅31416= 6 14 2 2 ⋅ 3− 5 2 2 ⋅ 3− 5.
(17) PÁGINA 13. SOLUCIONES 4. 1. 10. a) 2 2. 5. b) 3 3. 3. c) 2 6. d) 2 5. 6. 11.. a) 3 34. b). 4. 5. 32 = 6 2 5 = 2. 5. 2. c). 6. d). 4. 3. 12.. a) 23 2. 6. 2. = 23. 60. d) 36. 5 36 = 5. 6. 53. 60. b). =5. 6. 3. 5. 38 ;. = 5 53. 9. 312. 5. 10. =3. 1 4. =43. 12. =2. 4. 64 = 15 2 6 = 2. 6. 312 = 2. 15. 5. = 5 34. 22. 15. c). 8. 34. 15. c) 5 53. 13. a) 4 52 ;. 5. b). 2. 3. 34 ;. 15. 36. d). 4. 15. =2. 26 ;. 2. 5. = 5 22. 23. 17.
(18) PÁGINA 14. SOLUCIONES. c) 2 ⋅ 6 3. b) 34 ⋅ 3 32. 14. a) 211 2. d). 23 ⋅ 3 4 5 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 53 54. 15. a)23 5 = 26 ⋅ 5 = 320 2. 3 9 ⎛3⎞ d) 2 = ⎜ ⎟ ⋅2 = 4 8 ⎝4⎠. 16.. b)3 3 = 32 ⋅ 3 = 27 3 e) 5. 2 3. c)52 3 5 = 3 56 ⋅ 5 = 3 78125. 5 3 36 5 3 243 = 3⋅ = 3 5 3 25. 2 < 3 3 < 6 32 < 12 59. 2 = 12 2 6 = 12 64 3. 3 = 12 3 4 = 12 81. 4. 75 = 12 75 3 = 12 421875. 6. 32 = 12 32 2 = 12 1024. 12. 64 < 12 81 < 121024 < 12 421875 2 < 3 3 < 6 32 < 4 75. 18.
(19) PÁGINA15. SOLUCIONES. a) − 5. 17.. 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 6 125 = 2 ⋅ 6 5 3 − 3 ⋅ 6 5 3 = − 6 5 3 = − 5. b) 7 ⋅ 3 72 3 ⋅ 3 7 2 + 4 ⋅ 3 49 = 3 ⋅ 3 72 + 4⋅ 3 72 = 7 ⋅ 3 72. a) 3 ⋅ 6 3. 18.. 3 ⋅ 3 32 = 6 33 ⋅ 6 34 = 6 33 ⋅ 34 = 6 37 = 3⋅ 6 3. b) 3 ⋅ 6 3 6. 35 ⋅ 3 3 = 6 35 ⋅ 6 32 = 6 35 ⋅ 32 = 6 37 = 3 ⋅ 6 3. c) 22 ⋅ 12 27 8 ⋅ 3 2 ⋅ 4 23 = 23 ⋅ 3 2 ⋅ 4 23 = 12 218 ⋅12 2 4 ⋅12 2 9 = 12 218 ⋅ 2 4 ⋅ 29 = 12 231 = 22 ⋅ 12 27. d). 1 4. 5. 5 4. 5. 3. =. 4. 52. 4. 3. 5. =4. 1 1 =4 5 5. 19.
(20) 19.. a). 15. 32. 3 3. b). 8. 5. 3. =. 3. 3. 3. 15. 3. =. 3. 15. 35. 15. 3. = 15 3 2. 3. 57. 5 ⋅ 4 53 = 5 ⋅ 8 53 = 8 54 ⋅ 8 53 =. 8. 57. c) 8 3 3⋅ 4 3 = 3. d). 3⋅8 3 8 = 3 3. 2. 4⋅ 3 2 3. 2. 2. =. 4⋅ 6 2 3. 2. 2. =. 6. 26 ⋅ 6 2 6. 2. 4. = 6 23 = 2. 20.
(21) PÁGINA 16. SOLUCIONES. 21.
(22) 3. 20.. 3. 3⋅ 3. =. 3. 3⋅ 3. =. 3⋅ 3 = 3 3. (. ). 3 2. b) − (1 + 3 ). (. ). (. ). 3⋅ 1+ 3 3⋅ 1+ 3 3⋅ 1+ 3 3 3 = = = = − ⋅ 1+ 3 2 1−3 2 1− 3 1− 3 ⋅ 1+ 3 1− 3. (. c). 6. )(. ). ( ). (. ). 2. 2 ⋅ 3 22. 2 = 2. 3. 3. 2⋅ 2 3. 2. =. 2 ⋅ 3 22 = 2. 23 ⋅ 6 24 6 27 2 ⋅ 6 2 = = = 2 2 2. 6. 6. 2. d) −1 + 5. (. ). (. ). (. ). 4⋅ 1− 5 4⋅ 1− 5 4⋅ 1− 5 4 = = = = − 1 − 5 = −1 + 5 2 1 −5 1+ 5 1+ 5 ⋅ 1 − 5 1− 5. (. 4. e). )(. ). ( ). (. ). 7+ 2. ) = 5 ⋅(. 53 5 4. 5 45⋅ 5 45⋅ 5 5 = = = 5 5 5 5⋅ 5 4. 2. 4. 3. f) 7 + 2 5 7− 2. g). =. 5⋅. (. (. 7+ 2. )(. 7− 2 ⋅. ). 7+. ) 2 ) ( 7 ) −( 2 ) =. 5⋅. (. 7+ 2. 2. 2. =. 5⋅. (. 7−2. 7+ 2 5. )=. 7+ 2. 21 27. 7 7 ⋅ 243 7 ⋅ 243 7 ⋅ 35 32 ⋅ 7 ⋅ 3 21 = = = = = 5 5 243 3 3 27 243 243 ⋅ 243. h). − 3 ⋅ 7. (. 2 +3. 3 2−3. =. ). ( 2 + 3) = 3 ⋅ ( 2 + 3 ) = ( 2 − 3) ⋅ ( 2 + 3) ( 2 ) − 9 3⋅. 2. 3⋅. (. 2 +3. 2−9. ) =−. (. 3 ⋅ 7. 2 +3. ). 22.
(23) PÁGINA 17. SOLUCIONES. 21. a) A las milésimas: 2'345, 2'346, 2'346. A las diezmilésimas: 2’3455, 2’3456, 2’3456 b) A las milésimas: 1'732 1'733, 1'732. A las diezmilésimas: 1’7320, 1’7321, 1’7321. c) A las milésimas: 1'399, 1'340, 1'340. A las diezmilésimas: 1’3998, 1’3998, 1’3999. d) A las milésimas: 3'141, 3'142, 3'142. A las diezmilésimas: 3’1415, 3’1416, 3’1416.. 23.
(24) 22. E a = Vr − Va Er =. V −V Ea = r a Vr Vr. a) 2'34556: E a = 2 '34556 − 2 '3456 = 0 '00004 E r = 0 '000017. b) 1'73205...: E a = 1 ' 32050808 − 1 ' 7321 = 0 ' 00004919 E r = 0 ' 0000284 Cota = 0 ' 000005. c) 1'39984: E a = 1'39984 − 1'3998 = 0 '00084 E r = 0 '0006. d) π E a = 3'141592... − 3'1416 = 0 '0000073464 E r = 0 '000002338 Cota = 0 '000005. 24.
(25) PÁGINA 18. SOLUCIONES. 23. a) 3 ' 45 ⋅ 1012. b) 2' 4 ⋅ 107. c) 3 ' 2 ⋅ 10−3. 24. a) 3 ' 254 ⋅ 107. c) −8 ' 9 ⋅ 10 −6. b) 3 ' 4 ⋅ 108. d) 3 ' 244 ⋅ 10−4. d) 3 ' 5 ⋅ 10−2. e) 3 ' 48 ⋅ 10−7. f) 2' 3 ⋅ 1013. e) 5 ' 43 ⋅ 106 f) 3 ' 245 ⋅ 10−5. 25.
(26) PÁGINA 19. SOLUCIONES. 25.. a) 4 ' 43 ⋅ 107 3 '45 ⋅10 7 + 9 '8 ⋅ 10 6 = 3 '45 ⋅ 10 7 + 0 '98 ⋅ 10 7 = 4 '43 ⋅10 7. b) 2 ' 35 ⋅ 10−5 3 '1 ⋅ 10 −5 − ( 2 '5 ⋅ 10−9 ) ⋅ ( 3 ⋅ 103 ) = 3 '1 ⋅ 10−5 − 7 '5 ⋅ 10−6 = 3 '1 ⋅10−5 − 0 '75 ⋅10−5 = 2 '35 ⋅ 10−5. c) 5 ' 06 ⋅ 10−12 2 '53 ⋅10 −7 : 5 ⋅ 10 4 = 0 '506 ⋅ 10 −11 = 5 '06 ⋅10 −12. d) −2' 019 ⋅ 10 −8 −2 '34 ⋅ 10 −8 + 3 '21 ⋅ 10 −9 = −2 '34 ⋅ 10 −8 + 0 '321⋅ 10−8 = − 2 '019 ⋅ 10−8. 26.
(27) 26.. a) −3 ' 54392 ⋅ 10−6 −3 '54 ⋅10 −6 + ( 4 ⋅10 7 ) ⋅ ( −9 '8 ⋅10 −17 ) = −3 '54 ⋅10 −6 −39 '2 ⋅10 −10 = −3 '54392 ⋅10 − 6. b) 4 ' 74552 ⋅ 10 −11. ( −2 '34 ⋅10 ) : ( −2 '7 ⋅10 ) = 4 '74552 ⋅10 9 3. 38. −11. c) 4 ' 98504065 ⋅ 10 −16 2 '65 ⋅ 1042 + ( 3'4 ⋅10 23 ) ⋅ ( 3'2 ⋅10 9 ) 1 '23 ⋅10. 58. 2. =. 2 '65 ⋅ 10 42 + 34 '816 ⋅ 10 41 2 '65 ⋅ 10 42 + 3'4816 ⋅10 42 6 '1316 ⋅ 10 42 = = = 4 '98504065 ⋅10 −16 1 '23 ⋅10 58 1'23 ⋅10 58 1 '23 ⋅10 58. 27.
(28) PÁGINA 22. 28.
(29) SOLUCIONES. Los números racionales. 27. a) 0 '16. 28. a). q b) 0 ' 6428571. 89 25 3'56 =. c). c) 0 '13. q d) 1'153846. 356 89 = 100 25. 29 − 2 27 = =3 2 '9 = 9 9. 31 90. 34 − 3 31 0 '34 = = 90 90. 17 33. o = 51 = 17 0 '51 99 33. i). 7 3. d). 3679 − 367 3312 92 3'679 = = = 900 900 25. g). f) 1’8. b)3. 92 25. e). q e) 0 ' 714285. 23 − 2 21 7 2 '3 = = = 9 9 3. f). 357 1.100 o = 3245 − 32 = 3213 = 357 0 '3245 9900 9900 1100. h). 5 11 o = 45 = 5 0 ' 45 99 11. 1 546 495. o = 3123 − 31 = 3092 = 1546 3'123 990 990 495. 29.. 1 1 1 ; ; 3 9 11. 30.. 1 1 1 ; ; 6 15 18. 31.. 1 1 1 ; ; 2 4 5. 29.
(30) . 32. a) 5 ' 789 3' 41 + 2 '378 = 3' 411 + 2 '378 = 5'789 . b) 10 ' 962 o + 5'673 = 4760 + 5160 = 9866 = 10 '962 5' 28 900 900 900. o c) 23 ' 6383 o = 22608 − 423 = 210618 = 23'6383 o 5 ' 23 ⋅ −5 '3 − 4 ' 27 810 99 8910. (. ). Los números reales. 33. Irracionales: 8 ;. 1 17. ; 3 −5⋅ 3. Racionales:. 49 ; −5 ' 3232 ; 25. 121. 34. 3’211009, 3’211008 35. 1’213030030003..., 1’213133133313333... 36. Tenemos que construir las hipotenusas de los triángulos de medidas siguientes: a). 6 = 22 + ( 2)2 ;. 2 = 12 + 12. b) 15 = 32 + 22. c) 17 = 42 + 12. 37. a) V: Todos los decimales periódicos son infinitos y son números racionales. b) F: El conjunto de números enteros es el formado por los números naturales y los naturales cambiados de signo, NUNCA son decimales.. ] = {... − 3, −2, −1, 0, 2,3...} c) F: Sólo podemos expresar como fracción los números racionales. d) F: Los decimales inexactos no periódicos los asociamos con números irracionales, no racionales. e) F: El conjunto de números reales es el formado por todos los números racionales y TODOS los irracionales.. \ = _ ∪ _c f) F: El conjunto de los números racionales se define como:. {. }. _ = a : a ∈ ], b ∈ ] * b. por lo tanto,. ]⊂_. 30.
(31) Topología de la recta real. 38. a) ( −3, 3) = {x ∈ \ : −3 < x < 3}. b) ( −14, − 5) = {x ∈ \ : −14 < x < −5}. c) [ −4, + ∞ ) = {x ∈ \ : x ≥ −4}. d) ( −∞, 7) = {x ∈ \ : x < 7}. e) [ −3, 8) = {x ∈ \ : −3 ≤ x < 8}. f) [ −3, 5] = {x ∈ \ : −4 ≤ x ≤ 5}. g) ( −∞, − 4] = {x ∈ \ : x ≤ −4}. h). [ −5, −3) = { x ∈ \ : −5 ≤ x ≤ −3}. 31.
(32) 39. a) [–6, 3]. b) (–2, 1]. c) [–3, –2). 40. a) ( −∞, − 5). b) [ −3, + ∞ ). c) ( −∞, 6]. d) (9, + ∞ ). e) (0, 5). 41. a) –6, –7, –8. b) –2, –1, 0. c) 5, 4, 3. d) 10, 11, 12. e) 1, 2, 3. 32.
(33) PÁGINA 23. 33.
(34) SOLUCIONES. 42. a) –4, –3, –2, –1, 0. b) Infinitos. 43. a) (3, 7) = { x ∈ \ : 3 < x < 7} b) [ −2, − 4] = {x ∈ \ : −2 ≤ x ≤ 4}. c) Infinitos. d) Infinitos. d) (4, + ∞ ) = {x ∈ \ : x > 4} e) ( −∞, − 2] = {x ∈ \ : x ≤ −2}. c) ( −8, − 3] = {x ∈ \ : −8 < x ≤ −3} 44. a) {x ∈ \ : −2 ≤ x ≤ 4}. b) {x ∈ \ : 3 ≤ x < 6}. c) {x ∈ \ : 2 < x ≤ 5}. d) {x ∈ \ : x ≤ 3}. e) {x ∈ \ : −7 < x < −2}. f) {x ∈ \ : −2 ≤ x}. 34.
(35) Las raíces: propiedades y operaciones.. 45.. 6. 7 < 2 < 4 8 < 4 53. 2 = 12 2 6 = 12 64 4. 5 3 = 12 5 9 = 12 1953125. 4. 8 = 12 8 3 = 12 512. 6. 7 = 12 7 2 = 12 49. 12. 49 < 12 64 < 12 512 < 121953125. 6. 7 < 2 < 4 8 < 4 53. 46. a) 6 52 = 9 53 47. a) 4. b). 8. 26 = 12 29. c). b) 34. 23. 64 = 4 2 6 = 2 3. 312 = 3 3 = 3 4. 23. d) 4 102 = 6 103 5. d) 18. 218 = 2. 30. 30. 3. = 2 5 = 5 23. 6. 125 = 5. 3. 6. =5. 1. 2. = 5. b) 3 162 3 ⋅ 3 6 = 3 33 ⋅ 6 = 3 162. 5 ⋅ 2 = 5 2 ⋅ 2 = 50. 4 5. d) 2. 2 2 4 ⋅ 5 = ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ 5 = 5 5 ⎝ 5⎠. 49. a) 22 ⋅ 34 ⋅ 4 33. 252 = 9 253. 12. 3. 48. a) 50. c). 5. c). 6. b) 22 ⋅ 3 ⋅ 5 22 ⋅ 32. 4. 128 27 4. 4 43 4 3 128 ⋅ = 4 ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ = 4 3 2 27 ⎝3 ⎠ 2. c) 32 ⋅ 53 ⋅ 2 ⋅ 7 32 ⋅ 5 4 ⋅ 25. d). 2 ⋅ 3 4 2 ⋅ 33 ⋅ 52 53. 35.
(36) 50. a). 23 ⋅ 5 2. 4. 4. 2 3 ⋅ 5 = 4 23 ⋅ 4 52 = 4 23 ⋅ 52. 3 ⋅ 4 35 = 8 3 ⋅ 8 310 = 8 311. 8. b) 8 311. c) 3. 12. 216 ⋅ 317. 2 4 ⋅ 4 3 5 ⋅ 6 3 = 12 2 16 ⋅ 3 15 ⋅ 3 2 = 12 2 16 ⋅ 3 17. d) 33 3. 3 ⋅ 34 =. e). 3. 16. 6. 3 ⋅ 34 = 3. 6. 3⋅. 6. 38 =. 6. 39 =. 33. 215. 2 2 2 2 = 2 ⋅ 4 2 ⋅ 8 2 ⋅ 16 2 = 16 2 8 ⋅ 2 4 ⋅ 2 2 ⋅ 2 = 16 215. f). 12. 3. 33 3 3. ( 3) 3. 2. =. 3 ⋅ 6 3 ⋅ 12 3 3. 3. 2. =. 12. 36 ⋅ 12 32 ⋅ 12 3 12. 3. 8. = 12 3. 36.
(37) 14. 51. a) 2 3. ( ) ( ) 3. 22. 7. = 2. 2. 7. =2. 3. 14 3. 21. b) 5 2. (. 4. 5 ⋅ 53. ). 6. = 4 5 6 ⋅ 4 5 36 = 4 5 42 = 5. 21 2. 2. ⎛ 1 ⎞ 1 −14 ⎜⎜ 3 7 ⎟⎟ = 14 = 2 3 2 3 ⎝ 2 ⎠ 14. c) 2− 3. 27. d) 2− 4. 3. ⎛ ⎜ ⎜ ⎝. ( ) 5. ⎞ 2 2 2 ⎟ = 21 27 ⎟ 2 2 ⎠ 5. 3. 2. 15. =. 2. 2. 4. 21 2. =2. −27. 4. 7. e) 312 ⎛ ⎜ ⎝. 3. ⎞ 37 ⎟ ⎠. 1. 2. ( ). = 3. 7. 3. 1 4. =3. 7 12. 5. f) 3 3 ⎛ 3 ⎜ 3 2 ⎜ 3⋅ 3 ⎝ 5. 2. ( ) 5. ⎞ ⎟ = 2 ⎟ ⎠ 3⋅3 3 3. (. 2. 2. ). 2. =. 35 10 3. =3. 5. 3. 3. 37.
(38) 52. a) 32 ⋅ 8 37 4. 310 3 3 = 4 3 10 ⋅ 8 3 3 = 8 3 20 ⋅3 3 = 8 3 23 = 3 2 ⋅ 8 3 7. b) 22 ⋅ 3 22 2 ⋅ 3 24 ⋅. 3. 2 5 = 2 ⋅ 3 2 4 ⋅ 6 25 = 6 23 ⋅ 6 28 ⋅ 6 25 = 6 216 = 2 2 ⋅ 6 2 4 = 2 2 ⋅ 3 2 2. c) a 2 ⋅ 6 a a ⋅ 3 a 5 = 6 a 3 ⋅ 6 a 10 = 6 a 13 = a 2 ⋅ 6 a. d) a ⋅ 3 a 2 a2 ⋅ 3. e). 3. 3 3 1 1 a2 a2 2 = a2 ⋅ 3 =a2 ⋅ = ⋅ =a ⋅3 a 2 a 3 2 3 a a a a⋅ a. 32 22 ⋅ 5. 1 3 18 1 3 18 ⋅ 3 5 2 1 3 18 ⋅ 5 2 3 32 ⋅ = ⋅ = ⋅ = 2 2 5 2 3 5 ⋅ 3 52 2 5 2 ⋅5. f) −4 ⋅ 6 96 − 150 + 486 = 7 ⋅ 2 5 ⋅ 3 − 8 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2 + 2 ⋅ 3 5 = 4 ⋅ 6 − 5 ⋅ 6 + 9 ⋅ 6 = 8 ⋅ 6. g) 8 ⋅ 6 7 ⋅ 24 − 8 ⋅ 54 + 216 = 7 ⋅ 2 3 ⋅ 3 − 8 ⋅ 2 ⋅3 3 + 2 3 ⋅3 3 =14 ⋅ 2 ⋅3 −24 ⋅ 2 ⋅3 +6 ⋅ 2 ⋅3 = −4 ⋅ 6. h) x 3 ⋅ 4 x. (. x 8 x3 ⋅ 4 x. ). 2. = x 2 8 x 6 ⋅ 4 x 2 = x 2 8 x 6 ⋅ 8 x 4 = x 2 8 x 10 = x 3 8 x 2 = x 3 4 x. 38.
(39) Racionalización.. 53. a). 5 5. 1. 54. a). 5. =. 5. 2. b). 5⋅ 5. =. 5 5. 2 2. =. c) 2⋅ 2 2⋅ 2. =. 2⋅ 2 = 2. 6 2. 3. 2. 6. =. 3⋅ 6 6⋅ 6. =. 3⋅ 6 6 = 6 2. −1 + 3 2. 1 1+ 3. =. (1 − 3 ) = (1 − 3 ) = (1 − 3 ) = −1 + 2 −2 (1 + 3 ) ⋅ (1 − 3 ) 1 − 3. 3. b) −2 − 5 1 2− 5. c). =. ( 2 + 5 ) = ( 2 + 5 ) = −2 − ( 2 − 5 ) ⋅( 2 + 5 ) 4 − 5. =. (3 − 2 ) = (3 − 2 ) = 3 − 2 7 (3 + 2 ) ⋅( 3 − 2 ) 9 − 2. 5. 3− 2 7. 1 3+ 2. 39.
(40) 55. a) −6 + 3 ⋅ 5 3 2+ 5. =. (. 3⋅ 2 − 5. ). (2 + 5)⋅(2 − 5 ). =. (. 3⋅ 2 − 5 4−5. ) = −6 − 3. 5. 2 −1. b). 2 2+ 2. =. (. 2⋅ 2− 2. ). ( 2 + 2 ) ⋅( 2 − 2 ). =. 2⋅ 2 − 2 = 2 −1 4 −2. c) −2 + 6 2 2+ 3. 4. d). =. 2⋅. (. (. 2− 3. )(. 2+ 3 ⋅. ). 2− 3. ). =. 2⋅. (. 2− 3 2−3. ) = −2 +. 6. 33 3. 4 3 4 3 1 3 3 = = 4 4 3 3 3 4 3⋅ 3. e). −3 + 15 2. 3 3+ 5. f). =. 3⋅. (. (. 3− 5. )(. 3+ 5 ⋅. ). 3− 5. ). =. 3⋅. (. 3− 5. 3 −5. ) = −3 +. 15. 2. −2 − 5 ⋅ 2 23. 2 = 2−5. ( 2 + 5 ) = 2 + 5 ⋅ 2 = −2 − 5⋅ 23 ( 2 − 5 ) ⋅ ( 2 + 5) 2 − 25 2⋅. 2. 40.
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