Número de Oro

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La geometría, según cuentan los historiadores, nace a orillas del río Nilo. El faraón obligaba a pagar los tributos proporcionalmente a la extensión de las tierras de cada propietario. Asimismo, las crecidas y estiajes del Nilo obligaban a situar las marcas y los lindes de los campos de cultivo después de cada inundación. La medida de áreas, dis-tancias y ángulos favoreció el desarrollo de una serie de técnicas para ejecutar estos procesos con precisión y lo que es más importante supuso el inicio de un proceso de abstracción que convertía un accidente geográfico en una línea, una superficie de cul-tivo en un gráfico y las distancias lineales y angulares podían ser tratadas matemática-mente. En otras palabras, el inicio de la geometría a un nivel esencialmente práctico.

Fueron los inquietos y curiosos habitantes de Grecia quienes sistematizaron y for-malizaron esas estructuras, descubriendo propiedades curiosas, elaboraron teoremas y formularon demostraciones que tenían validez universal. La estructura básica de la geometría del plano, "Elementos" de Euclides, ha llegado hasta nuestros días y sigue estudiándose o mejor dicho debiera seguir estudiándose tal como lo hicieron los griegos hace siglos.

De entre todas las facetas abarcadas por esa ciencia, voy a dedicar la charla de hoy a un concepto muy simple, insultantemente simple, pero que en su sencillez

encie-rra innumerables consecuencias, aplicaciones e ines-peradas propiedades. Voy a hablar del llamado número FI (ϕ). Este número recibe su nombre de la inicial del escultor Fidias (siglo V a.C.), autor del friso y del frontis del Partenón, quien utilizó ampliamente sus propiedades en su destacada obra artística.

Todo empieza con una línea recta. Imaginemos un segmento de una longitud dada l y ahora queremos dividirlo en dos partes, de la forma más armónica posible. Por ejemplo, sean a y b esos dos segmentos, tal que a + b = l.

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El mayor grado de armonía entre ambos segmentos se alcanza cuando la relación entre la longitud total y el segmento mayor es igual a la relación entre el segmento ma-yor y el menor.

Vitrubio indicó que para que un todo dividido en partes desiguales pareciera her-moso, "

entre la parte mayor y la menor debe existir la misma relación que existe entre

la mayor y el todo

".

Matemáticamente, esto se expresa como.

b a a b a = +

Desarrollando esta igualdad.

2 2 b b · a

a = +

0 b ab

a2 − − 2 =

Resolviendo esta ecuación de segundo grado.

b 2 5 1 2 5 b b 2 b 4 b b a 2 2         ± = ± = + ± =

El número de oro ϕ es la relación entre los segmentos "a" y "b".

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ϕ = 1,618033989...

Obsérvese que la parte decimal de ϕ1 y de ϕ2 es la misma. Y la parte decimal de 2

ϕ es también la misma que la de ϕ.

Es decir, se cumple que.

2 1

1 ϕ − = ϕ

1 2 = ϕ + ϕ

Esta simple relación o cociente entre las longitudes de dos segmentos es la base de uno de los capítulos más curiosos y sugerentes de la Ciencia. Desde la antigüedad ha despertado el interés y la curiosidad de filósofos, geómetras, matemáticos, pintores, arquitectos y escultores. A mi juicio, su capacidad de fascinación reside en el hecho de tratarse de un concepto estético primario que admite un intenso formalismo matemá-tico. No nos debe extrañar esa dualidad arte-matemática, los hombres cultos de otras épocas no establecían diferencia alguna entre el área de ciencias y el área de humani-dades. La separación entre esas dos ramas del saber es uno más de los lamentables in-ventos pedagógicos de este siglo. Por ello, la razón áurea (bautizada así por Luca Pa-cioli) es un concepto curricular que ha desaparecido de los actuales planes de estudio pero su existencia nos acompaña en nuestra vida cotidiana como comprobaremos a lo largo de esta charla.

Pero volvamos a la definición inicial. El número de oro es, como hemos dicho an-teriormente, la razón entre dos segmentos. Pero es algo más que un simple cociente de longitudes, en su valor matemático lleva asociado un concepto estético, el canon de la belleza, de la proporción perfecta.

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... 618 , 1 a b

=

No es de extrañar que las tarjetas de crédito adopten esta forma, son rectángulos áureos, acertadamente elegida su forma para así hacer de oro a quien las emite. El do-cumento nacional de identidad español también es un rec-tángulo áureo al igual como el diseño de las cajetillas de tabaco

Una forma sencilla de dibujar el rectángulo áureo es.

•partimos de un cuadrado de lado l. •lo dividimos por la mitad

•con un compás pincho en A' y trazo el arco B’C

•la distancia AC = ·l 2

5 1 +

Para hallar la razón áurea de un segmento procederemos de la siguiente forma.

• sea AC un segmento de longitud a, el cual quiero dividir en dos partes que guarden entre sí la relación áurea.

• levanto en C la perpendicular de longitud a/2

• uno el punto A con el punto D.

2 5 · a AD =

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Cuando se colocan dos rectángulos áureos iguales tal como se indica en la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.

Al recortar en un rectángulo áureo el cuadrado de lado igual a la altura del rec-tángulo, obtenemos otro rectángulo áureo

más pequeño. Repitiendo este proceso indefinidamente observamos que las diagonales de todos los rectángulos áureos así construidos están situadas sobre dos direcciones perfectamente delimitadas. Al punto de intersección de estas dos diagonales se le llama “el ojo de Dios”.

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• para la construcción del pentágono regular partimos de un cuadrado de lado l

• construimos el segmento áureo OD, tal que =ϕ

OC OD

, por el método expuesto

anteriormente.

• con centro en B' prolongo el arco BD hasta C'. • con centro en O trazo el arco DC'.

• el segmento CC' es el lado del pentágono regular • el segmento OC' es la diagonal del pentágono • ambos están relacionados según.

diagonal = lado · ϕ

Los ángulos interiores de un pentágono miden:

º 108 5

) 2 5 ( · º 180 n

) 2 n ( · º 180

= − =

El triángulo OCC' es isósceles, los ángulos de los extremos miden

5 º 36 2

º 108 º

180 − = = π

De aquí deducimos, por inspección del triángulo OCC', que.

) 5 ( cos ·

2 π

= ϕ

El triángulo isósceles de ángulos 36º, 72º, 72º es la base del pentágono regular estrellado y es el llamado triángulo áureo. Obsérvese que en el triángulo áureo (isósce-les), el lado desigual y la base están en la proporción del número de oro.

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El decágono podemos descomponerlo en 10 triángulos de oro y fácilmente se ve que el lado del decágono es justamente la parte áurea del radio.

Por tanto, a partir del radio OB (ver figura), levantamos el segmento OM de longitud igual a R/2. Unimos M con B. Trazamos el arco OC con centro en M. El segmento AB es la parte áurea del radio y consecuentemente, el lado del decágono regular.

Llevando ese valor sobre la circunferencia marcamos los 10 puntos. Al unirlos de dos en dos dibujamos el pentágono regular, al unirlos de tres en tres el decágono re-gular estrellado y al unirlos de cuatro en cuatro el pentágono rere-gular estrellado. Obsér-vese en los polígonos estrellados como se forma interiormente el polígono convexo co-rrespondiente.

En un pentágono regular, la relación entre el radio de la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita es el número de oro ϕ

Una cinta de papel anudada nos proporciona un pentágono regular.

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Un curioso mosaico diseñado por Roger Penrose cuyos elementos tienen como base las figuras.

El pentágono, el pentágono estrellado, y los sucesivos pentágonos que se van formando al repetir el proceso presentan una curiosa propiedad geométrica.

Los segmentos.

a .... diagonal del pentágono b .... lado del pentágono

c ... lado de la punta de la estrella d .... lado del pentágono interior . . . y sucesivos

están en la relación del número de oro.

=

=

=

=

f

=

...

=

ϕ

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El "Entierro del Conde de Orgaz" y un estudio de sus proporciones basado en el número de oro.

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego

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Herodoto cuenta que los sacerdotes egipcios le habían mostrado que el cuadrado de la altura total de la pirámide de Keops es igual al área de una cara de la pirámide.

2 a · L h2 =

A su vez; = ϕ 2 / L

a

= ϕ

lateral Area

total Area

= ϕ

base Area

lateral Area

En el libro “La divina proporción” de Luca Pacioli, editado en 1.509, aparece el famoso dibujo de Leonardo da Vinci “El hombre de Vitrubio”. En dicho libro se indican cuáles deben ser las proporciones de las construcciones artísticas. El hombre perfecto de Leonardo tiene las distintas partes de su cuerpo según proporciones áureas. Esti-rando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cua-drado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide con la distancia entre los extre-mos de los brazos estirados.

El cociente entre la altura del hombre y la distancia del ombligo a la punta de la mano o del ombligo al suelo (radio de la circunferencia) es la razón áurea.

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El rostro de “La Gioconda” está inscrito en un rectángulo áureo.

De todas formas, estas comprobaciones están hechas a posteriori. Ignoramos el propósito del autor.

Si disponemos de una hoja de papel de dimensiones ϕ x 1, al eliminar el cua-drado de lado unidad obtenemos otro rectángulo de dimensiones 1 x (ϕ-1), que es

se-mejante al primero. Procediendo sucesivamente tendremos toda una colección de rec-tángulos áureos de tamaño cada vez más pequeños pero todos semejantes entre sí.

No sólo aparece el número de oro en las obras de arte sino también en la Natura-leza.

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-1) x (2-ϕ). Siguiendo el proceso vamos obteniendo rectángulos de dimensiones (2-ϕ) x (5-3ϕ), (5-3ϕ) x (5ϕ-8), tal como observamos en la figura.

Al trazar los cuartos de circunferencia correspondientes a cada uno de la sucesión de cuadrados sucesivos, obtenemos una línea espiral cuyo perfil se asemeja con el de la concha de multitud de caracoles marinos como el Nautilus o caracolas de mar.

Esta curva es parecida, aunque no igual a la espiral logarítmica, llamada también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o es-piral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica, similar a la espiral áurea, gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas

en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.

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tan particular sigue la regla, “creciendo no cambia la forma”.

Los huevos de gallina son óvalos que pueden inscribirse aproximadamente en rectángulos de oro, es decir, la altura y la anchura del huevo parecen seguir la propor-ción áurea.

Y ya que estamos hablando de animales, de caracoles y de huevos de gallina ¿por qué no hablar de conejos?. Pero antes vamos a presentar a un gran matemático Leonardo de Pisa (1.170-1.240), más conocido por Fibonacci (hijo de Bonaccio). A pesar de ser un matemático brillante con una importante obra en su haber, es conocido principalmente por una cuestión aparentemente trivial, una sucesión de números enteros en la que cada término es igual a la suma de los dos anteriores.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

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El número de parejas mensuales coincide con los términos de la sucesión de Fibo-nacci.

La sucesión de Fibonacci es uno de los temas más sorprendentes de la Matemá-tica, existen multitud de aplicaciones en los que aparece esa sucesión, existiendo una amplísima bibliografía dedicada exclusivamente al estudio de sus propiedades y aplica-ciones. A título de ejemplo citaremos.

• generación de algoritmos para el cálculo de máximos y mínimos de funciones complicadas cuya derivada es difícil de obtener.

• en poesía, ciertas obras de Virgilio y otros poetas de su época se sirvieron deli-beradamente de la sucesión de Fibonacci en sus composiciones.

• el número de rutas que recorre una abeja

cuando se desplaza por las celdillas de un panal son términos de la sucesión de Fibonacci, siendo n el número de celdillas. El número de antepasados de los zánganos

son términos de Fibonacci (nótese que los zánganos son producidos a partir de los huevos infertilizados de la abeja reina, es decir, tienen una madre pero no tienen padre).

• en el estudio de las trayectorias de rayos luminosos que inciden oblicuamente sobre dos láminas de vidrio planas y en contacto

• una propiedad de la sucesión de Fibonacci es que dos términos consecutivos cuales-quiera son primos entre sí. Se discute si la sucesión de Fibonacci contiene un nú-mero infinito de núnú-meros primos.

• el cuadrado de cada término de la sucesión de Fibonacci se diferencia en una unidad del producto de los dos contiguos; el anterior y el siguiente.

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Usando los términos de la sucesión de Fibonacci dibujemos rectángulos de dimen-siones iguales a los términos de la suce-sión, expresadas, por ejemplo, en centí-metros. Tal como se observa en la figura adjunta, los rectángulos con estas dimen-siones encajan perfectamente entre sí, como piezas de un puzzle formando cua-drados, de tamaños progresivamente ma-yores.

La explicación es sencilla. Sumando los productos de los términos consecutivos de la sucesión en la forma. (1·1) + (1·2) + (2·3) = 32, obtenemos el cuadrado del último término.

(1·1) + (1·2) + (2·3) + (3·5) + (5·8) + (8·13) + (13·21) = 212

(1·1) + (1·2) + (2·3) + (3·5) + (5·8) + (8·13) + (13·21) + (21·34) + (34·55) + (55·89) + (89·144) = 1442

Y ahora ha llegado el momento de preguntarnos, ¿y qué tiene que ver todo esto con la razón áurea?

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1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Y dividimos cada término por el anterior vamos obteniendo los siguientes valo-res. ... 618 , 1 55 89 ... 617 , 1 34 55 ... 619 , 1 21 34 .. 615 , 1 13 21 625 , 1 8 13 6 , 1 5 8 .. 66 , 1 3 5 5 , 1 2 3 2 1 2 1 1 1 = = = = = = = = = =

Representando estos cocientes en forma gráfica.

Los cocientes sucesivos convergen hacia el valor 1,618033989... En otras pala-bras. ϕ = + = − 2 5 1 f f lim 1 n n

El término general de la sucesión de Fibonacci es.

                −         + = n n n 2 5 1 2 5 1 · 5 1 f               ϕ − ϕ = n n n 1 · 5 1 f

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sor-ϕ + =

ϕ 1 1

1

2 = ϕ+

ϕ

Y, en general

2 n 1 n

n = ϕ − + ϕ −

ϕ

A su vez

1 n n · ϕ − ϕ = ϕ .... 6180 , 1 2 = = ϕ .... 6180 , 0 5 1 2 1 = + = ϕ

Observamos que poseen la misma parte decimal. En otras palabras.

ϕ + =

ϕ 1 1

El único número que cumple esa propiedad es nuestro viejo conocido, el número de oro.

Esa relación implica la curiosa sucesión de igualdades.

... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ϕ + + + + = ϕ + + + = ϕ + + = ϕ + = ϕ

Construyamos ahora la progresión geométrica.

1, ϕ, ϕ2, ϕ3, ϕ4, ...

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Siguiendo con las curiosidades matemáticas, una forma de representar el número de oro es mediante la sucesión de radicales consecutivos.

... 1 1 1 1 1

1 + + + + + +

= ϕ

Otra expresión más rebuscada pero no menos sorprendente.

      +       + − − +       + − − +       + − − = ϕ ... 14 1 13 1 12 1 11 1 9 1 8 1 7 1 6 1 4 1 3 1 2 1 1 1 · 2 5 ln

El número de oro está vinculado a la trigonometría con las relaciones.

2 º 36 cos = ϕ

ϕ = · 2 1 º 72 cos

Como consecuencia, se verifica .

Y la solución de la ecuación trigonométrica.

x tg x cos =       ϕ = arcsen 1 x

Una curiosidad muy poco científica.

sen (666º) + cos (6·6·6)º ≅−ϕ – 1,618033989...

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Este sería a juicio de un artista el rostro más perfecto, más armónico de una mu-jer.

El cuerpo humano puede inscribirse en un pentágono regular. Una figura humana con esas proporciones estaría dentro del canon de la belleza ideal.

Los perímetros de los distintos pentágonos regula-res formados a partir de las diagonales son términos de la sucesión de Fibonacci.

Un detalle curioso conocido por los clásicos es que la distancia del ombligo al suelo es aproximadamente la razón áurea de su altura.

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En resumen, el número de oro parte de una definición. Al dividir un segmento en dos partes, la razón entre el todo y la mayor es igual a la razón entre la mayor y la me-nor. Esta definición le confiere una serie de propiedades interesantes, una sucesión de potencias del número de oro participa del crecimiento aritmético y geométrico simultá-neamente y también está vinculado con la sucesión de Fibonacci. Debido a las curiosas y sorprendentes propiedades de ϕ, existe mucha literatura acientífica que lo usa

indebi-damente.

Otra aplicación matemática la tenemos en la descomposición de un rectángulo cualquiera en tres triángulos (en rojo) de igual área. La solución se obtiene al hallar la parte áurea de sus lados.

El número de oro representa un canon de belleza, de armonía, un concepto esté-tico ampliamente usado por pintores, escultores, arquitectos, a lo largo de la historia, sin embargo, a mi juicio la belleza no puede circunscribirse a una relación prefijada, a un modelo matemático, uniforme y universal. La belleza no consiste en que de entre los infinitos rectángulos posibles exista uno, el rectángulo áureo, más armonioso que los demás, la belleza consiste en que; “existen infinitos rectángulos” y que yo puedo esco-ger aquel que más me apetezca. La belleza en la Naturaleza no está sujeta a un canon, la belleza reside en la diversidad, en las posibilidades infinitas de combinaciones de formas y tamaños.

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BIBLIOGRAFÍA

• El número de oro. Matila C. Ghyka. Ed. Poseidón

• Matemáticas e imaginación. E. Kasner/J. Newman. Ed. Salvat • Instantáneas matemáticas. Hugo Steinhaus. Ed. Salvat

• Miscelánea matemática. Martin Gardner. Ed. Salvat • Circo matemático. Martin Gardner. Alianza Editorial • La sezione aurea. Mario Livio. Rizzoli

DIRECCIONES DE INTERNET

• http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html

• http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/

• http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

• http://averroes.cec.junta-andalucia.es/recursos_informaticos/concurso/accesit3

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