ETSII-UPM
Introducción a Matlab 6.1
(2ª Parte)
Matemáticas de la Especialidad (Mecánica-Máquinas)
Madrid, 1 de octubre de 2002
Javier García de Jalón
ETSII - Departamento de Matemática Aplicada a la Ingeniería Industrial
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Cadenas de caracteres (strings)
q
Las cadenas de caracteres
Ø Se definen entre apóstrofos: 'cadena', 'mi casa', 'ni ''idea''' Ø Los caracteres se guardan en un vector (2 bytes por carácter)
q
Conversión entre caracteres y números
Ø La función double(str)convierte una cadena en un vector de números ASCII Ø La función char(vect)convierte un vector de números en cadena de caracteres
q
Matrices de caracteres
Ø Cada fila es una cadena de caracteres
Ø Todas las filas tienen el mismo número de elementos (se completan con blancos las filas con menos caracteres)
Ø Ejemplo: matchar=char('más', 'madera');
q
Funciones para cadenas de caracteres
Ø Conversión: double(cad), char(vect), char(c1,c2,c3), int2str(n), num2str(d),
str2double(s), cellstr(str)
Ø Comparación: strcmp(c1,c2), strcmpi(c1,c2), strncmp(c1,c2,n), c1==c2
Ø Concatenación: frase=['str1', ' ', 'str2', ' ', 'str3'];
Ø Búsqueda y sustitución: findstr(c1,c2), strmatch(frs, str), strrep(c1,c2,c3)
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Hiper-matrices
q
Matrices con más de dos dimensiones
Ø La última dimensión representa la “profundidad” de la matriz
Ø Se pueden utilizar para almacenar varias matrices distintas pero con el mismo tamaño y significado Ø La función cat(d, A, B)sirva para concatenar dos
matrices iguales según la dimensión "d"
q
Ejemplo:
HM[:,:,1]=rand(3); HM[:,:,2]=eye(3);
q
Funciones de Matlab que permiten trabajar con hiper-matrices
Ø Todas las funciones que actúan sobre escalares se aplican elemento a elemento Ø Las funciones que actúan sobre vectores (sum, max, ...) se aplican según la
primera dimensión, resultando una matriz de una dimensión menos
Ø Las funciones matriciales de Álgebra Lineal (inv, det, ...) se aplican sólo a sub-matrices previamente extraídas de la hiper-matriz
Ø Otras funciones: size, ndims, squeeze, permute, ipermute, ... (ver en Help)
i j
k A(i,j,k)
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Matrices dispersas (sparse)
q
Matrices dispersas o sparse
Ø Son matrices que tienen la mayor parte de sus elementos cero
Ø Sólo se almacenan y sólo se opera con los elementos distintos de cero
q
Almacenamiento de matrices sparse
Ø Se almacena un vector con los nnz
valores distintos de cero
Ø Se almacena otro vector con los nnz
índices de fila de cada valor
Ø Se almacenan en un tercer vector las nposiciones en los vectores anteriores de los primeros elementos distintos de cero de cada columna
Ø Ejemplo: con load west0479;se carga en memoria un ejemplo de una matriz de 479×479 con sólo 1887 elementos distintos de cero (ver con spy(west0479)) Ø Las funciones S=sparse(A);y A=full(S);permiten pasar de matrices llenas a
dispersas y viceversa
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Matrices dispersas (2)
q
Funciones para crear matrices sparse
Ø speye(n), sprand(n,m), sprandn(n,m), sprandsym(n), spdiags(A)
Ø sparse(A), sparse(m,n), sparse(i,j,val,m,n)
q
Otras funciones para operar con matrices sparse
Ø full(S), find(S), [i,j,val]=find(S)
Ø nnz(S), nonzeros(S), spy(S), issparse(S)
Ø spfun('funName',S)
Ø Reordenar los elementos: p=colmmd(S), p=symmmd(S), p=symrcm(S)
q
Funciones de Álgebra Lineal
Ø Se puede utilizar el operador \ igual que para matrices llenas
Ø [L,U,P]=lu(S), [L,u]=luinc(S), L=chol(S), L=cholinc(S), [Q,R]=qr(S),
[V,D]=eigs(S), svds(S),normest(S,tol), condest(S), sprank(S)
q
Criterios prácticos para trabajar con matrices sparse
Ø Las funciones y operadores de Matlab tienden a conservar el carácter de los argumentos —lleno o sparse— de la forma más lógica y razonable
Ø Consultar el Helppara una información más detallada
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Estructuras (struct)
q
Estructuras:
Ø Agrupación de datos de naturaleza diversa bajo un nombre común
Ø Cada uno de esos datos tiene también su propio nombre y genéricamente se llama campo(field)
q
Ejemplo: la estructura
alumno
tiene como campos
numero
y
nombre
alumno.numero=97894; alumno.nombre='Luis Pérez'; alumno=struct('numero', 97894, 'nombre', 'Luis Pérez');
q
Otras características:
Ø Pueden crearse vectores de estructuras:
alumno(50).numero=97894; alumno(50).nombre='Luis Pérez';
Ø Una estructura puede contener otras estructuras (por ejemplo una fecha) Ø En cualquier momento se puede añadir un nuevo campo a una estructura o
eliminar un campo existente
q
Funciones para operar con estructuras
Ø fieldnames(stc)
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Vectores y/o matrices de celdas (cell arrays)
q
Son vectores y/o matrices cuyos elementos pueden ser cada uno de
un tipo de dato diferente
Ø Los elementos de un vector de celdas se definen con llaves { } vc(1)={[1,2,3]}, vc(2)={['mi nombre']}, vc(3)={rand(3,6)} vc{1}=[1,2,3], vc{2}=['mi nombre'], vc{3}=rand(3,6) vc={[1,2,3], 'mi nombre', rand(3,6)}
Ø Es importante que el nombre vcno haya sido utilizado antes (usar clear vc;)
q
Funciones para vectores de celdas
Ø cell(m, n), celldisp(ca), cellplot(ca), iscell(ca)
Ø num2cell(x)
q
Conversión entre vectores de celdas y estructuras
cell2struct(ca), struct2cell(stc)ST = cell2struct(vc, {'vector','cadena','matriz'}, 2); vcc= struct2cell(ST)';
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Programación de Matlab
q
Ficheros de comandos
*.m
Ø Se llaman mediante el nombre del fichero (sin la extensión)
Ø Los comandos se ejecutan secuencialmente como si se introdujeran desde teclado.
Ø Las variables creadas pertenecen al espacio de trabajodel entorno desde el que se ejecuta el fichero (no son visibles en las funciones, salvo la que lo ha llamado)
q
Funciones
*.m
Ø Una función es una porción de código aisladadel resto del programa Ø Hay funciones propias de Matlab y funciones definidas por el usuario
(funcname.m)
function [valores de retorno]=funcname(lista de argumentos)
Ø La función recibe datosa través de la lista de argumentosy devuelve resultadosa través de los valores de retorno
Ø También puede intercambiar información a través de variables globales, declaradas como tales tanto en la función como en el programa que la llama Ø Las variables definidas dentro de la función (y los argumentos) son variables
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Funciones definidas por el usuario
q
Se definen en ficheros
*.m
con el mismo nombre que la función
Ø Los valores de retornodeben ser calculados en algún momento antes del fin del fichero que defina la función
Ø Los argumentosse reciben siemprepor valor(si se modifican dentro de la función, se saca una copia y se modifica la copia)
q
Ejemplo de llamada:
» [i,j]=funcname(A,B+C,H);
qLas funciones de Matlab definidas en ficheros
*.m
Ø Admiten número variable de argumentos y de valores de retorno
Ø Las variables narginy nargout, accesibles dentro de la función, indican el número de argumentos y valores de retorno con que la función ha sido llamada Ø vararginy varargoutpermiten utilizar cell arrayscomo datos y resultados
function [ret1, ret2]=funcname(arg1, arg2, arg3,…) ...
ret1=... ...
ret2=...
datos
resultados
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Programación en ficheros *.m
q
Bifurcaciones
if
y
switch
q
Bucles
for
y
while
(sentencia
break
)
if condicion 1 sentencias 1 elseif condicion 2
sentencias 2 elseif condicion 3
sentencias 3 else % opcional
sentencias 4 end
if condicion sentencias end
switch expresion case exp1
sentencias 2 case exp2
sentencias 3
otherwise % opcional sentencias 4
end
for i=1:inc:n sentencias end
for i=vector sentencias end
for i=1:m for j=1:n
sentencias end
end
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Variables persistentes y variables globales
q
Las
variables persistentes
:
Ø Son variables localesde una función que conservan su valor entre las
sucesivas llamadas a la función (por defecto las variables locales se crean cada vez)
Ø Las variables persistentes se crean dentro de una función anteponiendo la palabra persistent
q
Las
variables globales
:
Ø Son variables visibles y utilizablesdesde el programa principal y desde todas aquellas funciones que las declaren utilizando la palabra global
Ø Las variables globales se utilizan para compartir información entre una o más funciones y el programa principal, sin necesidad de pasarlas como argumentos y/o valores de retorno
Ø Las variables globales son consideradas peligrosas, porque si se produce un error de programación pueden ser modificadas por quien no debe. Su uso debe restringirse a los casos imprescindibles
Ø Se les suelen asignar nombres largos y con mayúsculas (VELOCIDAD, TIEMPO, ...), de modo que sean fácilmente distinguibles de las demás variables
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Gráficos en Matlab
q
Matlab tiene capacidad de realizar gráficos 2-D y 3-D
q
Los gráficos se abren en
ventanas especiales
como la mostrada
qAlgunos parámetros gráficos pueden ser controlados desde la propia
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Gráficos 2-D
q
Función
plot()
Ø Su misión principal es dibujar un vector de valores yen ordenadas frente a otro vector xen abscisas. Ambos vectores tienen el mismo número de elementos Ø Forma más habitual:
plot(x,y,'g+') % dibuja una línea verde con (+) Ø Colores: y, m, c, r, g, b, w, k (black)
Ø Tipos de línea: - : -.
--Ø Marcadores; . o x + * s d ^ v > < p h
Ø Elementos que se pueden añadir (actúan sobre la figura activa): title('titulo'), xlabel('tal'), ylabel('cual'), text(x,y,'texto'), gtext('texto'), grid
q
Los comandos
hold on
y
hold off
permiten dibujar varias líneas en
una misma figura. Por defecto, el nuevo dibujo sustituye al antiguo
q
Borrado selectivo de líneas o elementos gráficos. Se debe guardar el
id
(
handle
) al crear la figura
Ø Ejemplo:miplot= plot(x,y), pause(5); delete(miplot);
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Gráficos 2-D (2)
q
Otras formas de la función plot()
Ø plot(y) Dibuja los valores de yen ordenadas en función de los índices 1,2,...,n
Ø plot(x,A) Dibuja las columnas de Aen ordenadas frente a xen abscisas Ø plot(A,x) Dibuja las columnas de Aen abscisas frente a xen ordenadas Ø plot(A,B) Dibuja las columnas de Ben ordenadas frente a las de Aen
abscisas (Ay Bdeben tener tamaños compatibles)
q
Comando
subplot()
: Indica en que
partición de la figura se va a dibujar
Ø Forma general: subplot(m,n,i)Ø Ejemplo:
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Gráficos 2-D (3)
q
Comando
axis
. Valores máximos y mínimos en los ejes. Tiene la
siguiente forma general:
axis([xmin, xmax, ymin, ymax])
q
Para cambiar el origen y la orientación:
axis('xy'), axis('ij')
q
Para que la escala sea igual en ambos ejes:
axis('equal')
q
Para que la zona representada sea cuadrada:
axis('square')
q
Para volver a los ejes por defecto
axis('normal')
q
Para guardar los ejes actuales antes de cambiarlos
v=axis;
q
Para restablecerlos más adelante
axis(v)
xy ij
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Gráficos 2-D (4)
q
Función [x,y]=fplot('funcion', limites, 'cadena', tol)
Ø 'función'es el nombre del fichero *.mque define la función a dibujar Ø limites: vector de dos [xmin,xmax]o cuatro elementos
[xmin,xmax,ymin,ymax]
Ø 'cadena': control de color, marcadores y tipo de línea (como en plot()) Ø tol: tolerancia de error relativo (por defecto 1e-03)
Ø El resultado de fplot()se puede dibujar inmediatamente (sin recoger valores de retorno) o posteriormente con plot(), pasándole los valores de retorno
recogidos de fplot()
q
Introducción de puntos con el ratón: función
ginput()
Ø [x,y]=ginput introduce los puntos que se van clicando hasta que se pulsa intro
Ø [x,y]=ginput(n) introduce los npuntos que se clican a continuación Ø [x,y,bot]=ginput devuelve también un vector de enteros con información
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Gráficos 2-D (5)
q
Forma general de dibujo de líneas: función
line()
Ø line([xini, xend]', [yini, yend]', 'color', 'g')
Ø line([xini1 xini2; xend1 xend2], ([yini1 yini2; yend1 yend2]);permite también dibujar varias líneas a la vez:
Ø line([X], [Y]);cada columna de [X] contiene la xinicial y final de un punto, y lo mismo las columnas de [Y] con las coordenadas y
Ø Control de las características de la línea: se realiza por medio de pares
parámetro/valor, como por ejemplo:
line(x,y,'Color','r','LineWidth',4,'MarkerSize',12,'LineStyle','— ','Marker','*')
q
Dibujo de polígonos
Ø Con la función plot()
Ø Con llamadas repetidas a la función line()
Ø Con la función fill(x,y,c). En este caso el polígono se rellena con el color c. Si
ces un vector de colores de la misma dimensión que xe yse rellena interpolando.
Ø Con llamadas a la función patch(x,y,c)
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Ventanas y movies
q
Control de ventanas. Función
figure
. Ventana activa
Ø figure, figure(n) Crean una nueva ventana activa, si no existe. Se le asigna el número indicado o un número consecutivo
Ø close, close(n) Cierran la ventana activa o la número n
Ø clf, gcf Borran el contenido de la ventana activa u obtienen el número de la ventana activa
Ø figure(gcf) Trae a primer plano la ventana activa
q
Creación de películas o movies:
M=moviein(12)
x=-2*pi:pi/24:2*pi; inc=pi/8; for i=1:12
y=sin(x+i*inc); plot(x, y);
M(:,i)=getframe; % captura el frame y lo guarda end
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Gráficos 3-D
q
La función
plot3(x,y,z)
permite dibujar líneas en un espacio 3-D
Ø Se pueden definir colores, tipos de línea y marcadores de modo similar a 2-D
q
Función
line()
: dibuja líneas entre puntos en el espacio 3-D
Ø Existe una versión 3-D de la función line()completamente análoga a la 2-D
line([xini,xend]', [yini,yend]', [zini,zend]','color','k'); line(X,Y,Z,'color','b');
q
Función
patch()
: dibuja polígonos en el espacio 3-D
patch(X,Y,Z,C);
q
Las funciones
mesh()
,
surf()
y
contour()
permiten dibujar superficies
3-D con distintos tipos de representación
q
Control de la dirección de observación: función
view(az, el)
.
Ø Los ángulos se definen en grados. Por defecto: az= -37.5, el= 30
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Gráficos 3-D (2)
q
Funciones
plot3(x, y, z)
,
plot(x, y, z, 's'), mesh(X,Y,Z) y surf(X,Y,Z)
clear all, close all
x=[-3:0.4:3]; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=test3d(X,Y);
subplot(2,2,1)
figure(gcf),fi=[0:pi/20:6*pi]; plot3(cos(fi),sin(fi),fi,'g'); pause(3);
subplot(2,2,2) mesh(Z)
pause(3)
subplot(2,2,3) figure(gcf), surf(Z) pause(3)
subplot(2,2,4) contour3(Z,16)
function z=test3d(x,y)
z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ... - 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ... - 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2);
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Gráficos 3-D (3)
q
Función [X,Y]=meshgrid(x,y);
Ø Sirve para crear matrices con las coordenadas xe yde todos los puntos de la retícula. Ejemplo:
x=[1, 2, 4]; y=[1, 3]';
[X,Y]=meshgrid(x,y) X =
1 2 4 1 2 4 Y =
1 1 1 3 3 3
Ø En las filas de la matriz Xse repite al vector xtantas veces como elementos tiene y. En las columnas de la matriz Yse repite al vector ytantas veces como elementos tiene x.
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Gráficos 3-D (4)
q
Mapas de colores:
colormap(name)
Ø Un color se puede definir por un nombre (los colores básicos:
'y','m','c','r','g','b',…) o por medio de tres números entre 0 y 1 (las componentes RGB)
Ø Un mapa de colores es una matriz de tres columnas (componentes RGB), cuyas filas representan colores. Por defecto tienen 64 filas.
Ø Cada mapa de colores tiene un nombre y un estilo que caracteriza sus colores Ø Algunos mapas de colores estándar: hsv, hot, gray, bone, copper, pink, white,
flag, lines, colorcube, vga, jet, prism, cool, autumn, spring, winter, summer
Ø Un mapa de colores se puede ver con las sentencias
» colormap(copper) » pcolor([1:65;1:65]')
Ø Al dibujar una figura con el mapa de colores activo los valores máximos se dibujan con los colores altos del mapa y los valores bajos con los colores bajos
q
Función
caxis([cmin,cmax])
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Ejemplo: Simulación movimiento 2-D
q
Se pretende estudiar el movimiento 2-D
de un bloque rectangular sometido a la
acción de la gravedad
q
El sistema tiene 3 grados de libertad
qEcuaciones diferenciales del movimiento:
que se pueden reducir a:
q
Matlab sólo integra ecuaciones diferenciales
de orden 1. Definiendo:
las ecuaciones del movimiento se pueden
expresar como se indica en el recuadro
x y x x y y ϕ
0
0
mx
&&
=
my
&&
= −
mg
I
ϕ
&&
=
0
0
x
=
y
= −
g
ϕ
=
&&
&&
&&
u
≡
x
&
v
≡
y
&
ω ϕ
≡
&
0
( , )
0
x
u
y
v
t
u
v
g
ϕ ω
ω
=
=
=
=
=
= −
=
y
f y
&
&
&
&
&
&
&
ETSII-UPMEjemplo: Simulación movimiento 2-D (2)
q
Los integradores de Matlab se utilizan en la forma siguiente:
[t, Y] = ode45('deriv', tspan, y0, options);
donde:
Ø tes un vector con los instantes de tiempo en los que se dan resultados Ø Yes una matriz cuyas filas contienen los 6 resultados en cada instante Ø ode45es el nombre de una función que utiliza el método de Runge-Kutta Ø 'deriv'es una cadena de caracteres con el nombre de una función que calcula
la derivada del vector de estado
Ø tspanes un vector con los instantes de tiempo en que se desean resultados Ø y0es un vector columna de seis elementos con las velocidades y posiciones
iniciales
Ø optionses una estructura que permite controlar algunos factores de la integración numérica
q
Una vez terminada la integración numérica hay que representar
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Ejemplo: Simulación movimiento 2-D (3)
q
Las coordenadas de los vértices
del bloque deben transformarse
a coordenadas generales
q
Para todos los puntos del bloque
Ø PL=[ a -a -a a a b b -b -b b];
Ø PG=R*PL+g*ones(1,size(PL,2);
Ø line(PG(1,:),PG(2,:),'color','k');
x y
x y
ϕ
P
ϕ
x y
x y cos sin
o bien, sin cos
cos sin
sin cos
x x y
y x y
x x
y y
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= ⋅ − ⋅
= ⋅ + ⋅
−
=