Vectores en el espacio Ejercicios Resueltos

0
0
9
1 month ago
PDF Preview
Full text
(1)Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato. 1. VECTORES EN EL ESPACIO DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL, COMBINACIÓN LINEAL, BASE EJERCICIO 1 :. r r r r Dados los vectores a (1, 2, 3 ), b (1, 1, 1), c (1, 0, 5 ) y d (− 1, 1, 3 ):. a) ¿Forman una base de R3?. r r r r b) Expresa, si es posible, el vector d como combinación lineal de a, b y c.. Solución: a) No forman una base, pues cuatro vectores en R3 siempre son linealmente dependientes. r r r r b) Debemos encontrar tres números, x, y, z, tales que: d = x a + y b + z c (-1, 1, 3) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) + z(1, 0, 5) (-1, 1, 3) = (x + y + z, 2x + y, 3x + y + 5z) x + y + z = −1 r r r r  2x + y = 1  Resolvemos el sistema por Gauss y obtenemos : x = 2, y = - 3, z = 0 ⇒ d = 2a − 3b + 0c 3 x + y + 5z = 3  EJERCICIO 2 : r r r r a) Se sabe que u, v y w son linealment e dependientes. ¿Podemos asegurar que u es r r combinación lineal de v y w? Justifica tu respuesta. r b) Halla las coordenadas del vector a (4, 3, 7 ) respecto de la base B = {(2, 1, 0), (1,0,-2),(0, 0, 3)}. Solución: r r r a) No. Por ejemplo, si tomamos u (1, 0, 0 ), v (0, 1, 0 ), y w (0, 2, 0 ): r r − Son linealment e dependient es, pues w = 2v. r r r − Sin embargo, u no es combinació n lineal de v y w. r r r b) Llamamos b (2, 1, 0), c (1, 0, − 2), d (0, 0, 3) a los vectores de la base B. Tenemos que encontrar tres r r r r números, x, y, z, tales que: a = x b + y c + z d (4, 3, 7) = x(2, 1, 0) + y(1, 0, -2) + z(0, 0, 3) (4, 3, 7) = (2x + y, x, -2y + 3z) 2x + y = 4  x=3  x=3 y = 4 − 2 x = −2  − 2y + 3 z = 7 3z = 7 + 2y → z = 7 + 2y = 1 3 r r r r r Las coordenadas de a respecto de la base B son (3, − 2, 1), es decir: a = 3b − 2c + d EJERCICIO 3 :. r r Dados los vectores u (2, − 1, 0) y v (3, 2, − 1):. a) ¿Son linealmente independientes? r r r 1r c) Halla un vector, w , tal que 2u + 3 w = v. 2. b) ¿Forman una base de R3?. Solución: a) Sí son linealmente independientes, puesto que si escribimos: x(2,-1, 0) + y(3, 2, -1) = (0, 0, 0), es decir: 2x + 3 y = 0  − x + 2y = 0 Este sistema solo tiene la solución trivial: x = y = 0 − y = 0 b) No forman una base de R3, pues para obtener una base de R3 necesitamos tres vectores (linealmente independientes). r r 1r r 1r r r 1r 2r c) 2u + 3w = v → 3 w = v − 2u → w = v − u r 1 2 −1  −5 2 2 6 3 ⇒ w = (3, 2, − 1) − (2, − 1, 0) =  , 1,  6 3 6   6.

(2) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato. 2. EJERCICIO 4 : →. →. →. →. a) Halla los valores de x, y, z tales que x u + y v + z w = 0, siendo. →. →. u (2,0,-3), v (1,-2,0) y w (3,2,-6). b) ¿Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? ¿Forman una base de R3? Solución: a) x(2, 0, -3) + y(1, -2, 0) + z(3, 2, -6) = (0, 0, 0) ⇒ (2x + y + 3z, -2y + 2z, -3x - 6z) = (0, 0, 0) 2x + y + 3z = 0  − 2y + 2z = 0 Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solucione s : x = −2λ, y = λ, z = λ − 3x − 6z = 0 b) Según los resultados obtenidos en el apartado a), deducimos que los vectores son linealmente dependientes. Por tanto, no son base. EJERCICIO 5 : Consideram os la base de R 3 formada por los vectores :. →. →. →. a (2,-1,3), b (0,2,-1), c (3,0,1) r a) Halla las coordenadas de u (4, − 7, 14) respecto de la base anterior.. r r r r b) Expresa, si es posible, el vector c como combinación lineal de a, b y u. Solución:. r r r r a) Tenemos que encontrar tres números x, y, z, tales que: u = x a + y b + z c , es decir : (4, -7, 14) = x(2, -1, 3) + y(0, 2,-1) + z(3, 0, 1) ⇒ (4, -7, 14) = (2x + 3z, -x + 2y, 3x - y + z) 2x + 3z = 4   − x + 2y = −7 Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solución : x = 5, y = −1, z = −2 3 x − y + z = 14  r r r r r Por tanto, las coordenada s de u respecto de la base dada son (5, − 1, − 2), es decir : u = 5a − b − 2c b) De la igualdad obtenida en a), tenemos. r. que: u. r r r = 5a − b − 2c. →. r r r r 2c = 5a − b − u. →. r 5r 1r 1r c = a− b− u 2 2 2. PRODUCTO ESCALAR Y APLICACIONES (Módulo de un vector, ángulo que forman dos vectores, proyección ortogonal,…). r. (. ). r. (. ). EJERCICIO 6 : Dados los vetores u 2, − 1, 3 , v 4, 2, − 2 y r r r r a) Halla u , v y el ángulo que forman u y v. r r b) Obtén el valor de x para que u y w formen un ángulo de 60 o . Solución: r a) u = 2 2 + (− 1)2 + 3 2 = 14 ≈ 3,74. r w (1, 2, x ):. r v = 4 2 + 2 2 + (− 2 )2 = 24 ≈ 4,90 r r Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que : r r r r u·v 8−2−6 o cos α = r r = r r = 0 → u y v son perpendicu lares, es decir, α = 90 . u · v u · v r r u·w 1 2 − 2 + 3x 1 3x o → = b) Ha de cumplirse que: cos 60 = r r , es decir: = 2 2 u · w 14 · 5 + x 2 70 + 14x 2 70 + 14 x2 = 6 x. →. 70 + 14 x 2 = 36 x2.  35 x = − 11 70 35  x2 = =  22 11  35 x =  11. →. 70 = 22 x2. r r (no vale, pues u · v = 3 x > 0).

(3) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato r r EJERCICIO 7 : Dados los vectores u (1, 0, 0 ) y v (1, 1, 0 ): r r r r a) Halla la proyección de u sobre v, así como el ángulo que forman u y v.. 3. r r b) Encuentra un vector (x , y , z ) ≠ (0, 0, 0 ), que sea combinació n lineal de u y v, y que sea perpendicular a (1, 0, 0).. Solución:. r r 1 1 r u·vr 1 Proyección de u sobre v: u´= r 2 v = (1,1,0) = ( , ,0) 2 2 2 v r r r r u·v 1 1 2 Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que : cos α = r = = → α = 45o r = u · v 1· 2 2 2 r r r r b) Un vector que sea combinació n lineal de u y v es de la forma au + bv, es decir : r r a u + b v = a (1, 0, 0 ) + b (1, 1, 0 ) = (a + b, b, 0 ) Para que sea perpendicular a (1, 0, 0), su producto escalar ha de ser cero: (a + b, b, 0) · (1, 0, 0) = 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ b = - a Por tanto, cualquier vector de la forma: (0, b, 0), con b ≠ 0 cumple las condiciones exigidas. r r EJERCICIO 8 : Sean u y v dos vectores que forman un ángulo de 45 o y que tienen , r r el mismo módulo u = v = 2. r r r r a) ¿Cuál es el módulo de u + v? ¿Y el de u − v? r r r r b) Demuestra que u + v y u − v son perpendicu lares. Solución: r r 2 r r r r r r r r r r r r r a) u + v = (u + v ) · (u + v ) = u · u + u · v + v · u + v · v = u. 2. r r r +2·u· v+ v. 2. =. r r r r = 4 + 2 · u · v · cos (u, v ) + 4 = 4 + 8 ·. 2 r r + 4 = 8+4 2 → u + v = 8 + 4 2 ≈ 3,70 2 r r 2 r r r r r 2 r r r 2 r r u − v = (u − v ) · (u − v ) = u − 2u · v + v = 4 − 2 · u · v · cos 45o + 4 = 8 − 4 2 r r u − v = 8 − 4 2 ≈ 1,53. r r r r r r r r r r r r r 2 r 2 r r r r b) (u + v ) · (u − v ) = u · u − u · v + v · u − v · v = u − v = 4 − 4 = 0 ⇒ (u + v ) ⊥ (u − v ) EJERCICIO 9 :. r r r r r Dados los vectores a (1, − 1, 0 ), b (0, 1, − 1) y c = ma − b :. r r a) Halla el valor de m para que a y c sean perpendicu lares. r r b) Para m = 2, halla el ángulo que forman b y c.. Solución: r r r a) c = ma − b = m(1, − 1, 0) − (0, 1, − 1) = (m, − m − 1, 1) r r r r 1 a ⊥ c → a · c = (1, − 1, 0 ) · (m, − m − 1, 1) = m + m + 1 = 2m + 1 = 0 → m = − 2 r r r b) Para m = 2, queda c (2, − 3, 1). Si llamamos α al ángulo que forman b y c, r r b · c −4 −4 tenemos que: cos α = r = ≈ 0,76 → α = 139 o 27' 51' ' r = 2 · 14 28 b · c.

(4) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato →. →. EJERCICIO 10 : Dados los vectores. →. →. →. →. →. →. →. b y tenga el mismo módulo que a .. s r r Solución: a (2, − 1, 0 ) b (1, 2, − 1) c (x , y, 0) r r r r  x = −2y c ⊥ b → c · b = 0 → x + 2y = 0   y = −1 → x = 2 2 2  r r c = a → x 2 + y 2 = 5 → x 2 + y 2 = 5 4 y 2 + y 2 = 5 5 y = 5 → y = 1 →  y = 1 → x = −2  Hay dos soluciones: r • x = 2, y = −1, que correspond e a c (2, − 1, 0 ). r • x = −2, y = 1, que correspond e a c (− 2, 1, 0 ). PRODUCTO VECTORIAL. r r Dados los vectores u (1, 3, 0) y v (2, 1, 1): r r r a) Halla un vector, w , de módulo 1, que sea perpendicular a u y a v. r r b) ¿Cuál es el área del paralelogramo determinado por u y v?. EJERCICIO 11 :. Solución: r r r r a) Un vector perpendicu lar a u y a v es: u × v = (1, 3, 0 ) × (2, 1, 1) = (3, − 1, − 5 ) r r r  3 u× v Dividimos por su módulo para conseguir que tenga módulo 1: w = r r =  , u× v  35.  3  −3 −1 −5   y  Hay dos soluciones:  , , ,   35 35   35  35 r r b) Área = u × v = 35 ≈ 5,92 u2. 1. −1 35. ,. −5   35 . 5    35 . ,. 35. EJERCICIO 12 :. r r a) Demuestra que, si u y v son dos vectores cualesquiera, se tiene que: (ur − vr ) × (ur + vr ) = 2(ur × vr ) r r b) Halla un vector perpendicular a u (2, − 1, 1) y a v (3, 0, − 1).. Solución:. r r r r r r r r r r r r (*) r r r r r r r r a) (u − v ) × (u + v ) = u × u + u × v − v × u − v × v = 0 + u × v + u × v − 0 = 2 (u × v ) r r r r r r r (*) Tenemos en cuenta que u × u = 0 y que u × v = −v × u. b) u × v = (2, − 1, 1) × (3, 0, − 1) = (1, 5, 3 ) →. EJERCICIO 13 : Halla el valor de m para que el área del paralelogramo determinado por →. v (0,m,1) sea 2. Solución: r r r r • El área del paralelogr amo determinad o por u y v es igual a u × v . r r r r • Calculamos u × v y hallamos su módulo : u × v = (2, 0, 1) × (0, m, 1) = (− m, − 2, 2m ). r r u×v =. (− m)2 + (− 2)2 + (2m)2. = m2 + 4 + 4m2 = 5m2 + 4. Igualamos a 2: Área = 5m 2 + 4 = 2. →. a =2 i - j ; b = i + 2 j – k ; halla x e y de forma que c =x i + y j. →. sea perpendicular a. →. 4. →. 5m 2 + 4 = 4. →. 5m 2 = 0. →. m=0. u (2,0,1) y.

(5) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato. 5. EJERCICIO 14 : a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, -1, 1) y a (1,-2,0) r r r r r r b) ¿Es cierto que (u × v )× w = u × (v × w )? Pon un ejemplo. Solución: a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3,-1, 1) x (1, -2, 0) = (2, 1, -5)  2 1 −5   , , Dividiendo por su módulo, tendrá módulo 1:  30 30   30  −2 −1 5   También cumple las condiciones su opuesto:  , , 30 30   30 r r r b) En general, no es cierto. Por ejemplo: u = (1, 0, 0) v = (1, 0, 0) w = (0, 1, 0) r r  r r r r r r (ur × vr )× wr = 0 × wr = 0  Por tanto, (u × v ) × w ≠ u × (v × w ). r r r r u × (v × w ) = u × (0, 0, 1) = (1, 0, 0) × (0, 0, 1) = (0, − 1, 0 ) →. EJERCICIO 15 : Halla el área de un paralelogramo determinado por los vectores r r r ( ) ( ) ( ) siendo: u 2 , − 1, 1 , v 0 , 1, − 1 y w 1, 0, 1. →. →. →. u x v y u x w,. Solución: r r r r r r r r r r • Calculamos u × v y u × w : a = u × v = (0, 2, 2) b = u × w = (− 1, − 1, 1) El área del paralelogramo determinado por a y b es igual al módulo del producto vectorial: r r a × b = (0, 2, 2) × (− 1, − 1, 1) = (4, − 2, 2). Área = 42 + (− 2)2 + 22 = 16 + 4 + 4 = 24 ≈ 4,90 u2 PRODUCTO MIXTO EJERCICIO 16 : →. →. →. u (2,-1,1), v (3,0.-2), w (2,-3,0) r r r r r r r b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?: [2u, v, w ]; [u, v, u + v ] a) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores. Solución: r r r a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w es igual al valor absoluto. −1 1 0 − 2 = −17 2 −3 0. 2 r r r de su producto mixto: [u, v, w ] = 3. →. Volumen = 17 u 3. r r r r r r b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que: [2u, v, w ] = 2[u, v, w ] = 2 ⋅ (− 17 ) = −34 [ur , vr , ur + vr ] = 0 (el tercer vector depende linealment e de los dos primeros). EJERCICIO 17 : →. →. →. a) Halla los valores de m para que los vectores u (0,1,1), v (-2,0,1) y w (m,m-1,1) sean linealmente independientes. r r r b) Estudia si el vector (2, 1, 0 ) depende linealmente de u, v y w para el caso m = 3. Solución: a) Para que sean linealmente independientes, su producto mixto debe ser distinto de cero: 0 1 1 r r r [u, v, w ] = − 2 0 1 = 4 − m = 0 → m = 4 ⇒ Ha de ser m ≠ 4.. m. m −1 1. r r r b) Para m = 3, los vectores u, v y w son linealment e independie ntes, y forman una base de R3. Por tanto, cualquier vector de R3, en particular (2, 1, 0), depende linealmente de ellos..

(6) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato →. →. 6. →. EJERCICIO 18 : Dados los vectores u (1,2,3), v (1,1,1) y a) determinen un paralelepípedo de volumen 10.. w (1,λλ,5), halla el valor de λ para que: b) sean linealmente dependientes.. Solución: r r r a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w es igual al valor absoluto. 1 2 3 r r r de su producto mixto: [u, v, w ] = 1 1 1 = 2λ − 6 1 λ 5 2λ − 6 = 10 → 2λ = 16 → λ = 8 Volumen = 2λ − 6 = 10  ⇒ 2λ − 6 = −10 → 2λ = −4 → λ = −2. Hay dos soluciones : λ1 = 8 ,. λ2 = −2 r r r b) Su producto mixto ha de ser cero: [u, v, w ] = 2λ − 6 = 0. r. (. →. ) r(. λ=3. ). r. (. ). EJERCICIO 19 : Dados los vectores u 1, 0, − 1 , v 0, 2, − 1 y w 2, − 2, 1 , se pide: a) El volumen del paralelepípedo determinado por ellos. r b) Halla, si existe, el valor de α para que el vector a (α, α, − 6 ) se pueda expresar como r r combinació n lineal de u y v. Solución:. 1 r r r a) Es igual al valor absoluto de su producto mixto: [u, v, w ] = 0. 0 2 2 −2 r r r r b) Los vectores u, v y a han de ser linealment e dependient es (u y. 1 0 r r r por tanto, su producto mixto ha de ser cero: [u, v, a] = 0 2. −1 −1 = 4. →. Volumen = 4 u 3. 1 r v son linealment e independientes);. −1 − 1 = 3α − 12 = 0. →. α=4. α α −6 EJERCICIO 20 : r r r a) Demuestra que los vectores u (k, − 3, 2 ), v (k, 3, 2 ) y w (1, 0, 0 ) son linealment e independientes, cualquiera que sea el valor de k. r r r b) ¿Cuál es el volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w ? Solución: a) Tenemos que probar que su producto mixto es distinto de cero, sea cual sea el valor de k. k −3 2 [ur , vr , wr ] = k 3 2 = −12 ≠ 0 para todo k. 1 0 0 b) El volumen es igual al valor absoluto de su producto mixto. Por tanto: Volumen = 12 u3 REPASO. r r r EJERCICIO 21 : Dados los vectores u (2, − 1, 1), v (3, − 1, 0 ) y w (m, 2, − m ): r r a) Halla el valor de m para que u y w sean perpendicu lares. r r r r b) Calcula el ángulo que forman u y v. c) Halla el área del triángulo que determinan u y v. Solución: r r a) Para que u y w sean perpendicu lares, su producto escalar ha de ser cero : r r u · w = (2, − 1, 1) · (m, 2, − m ) = 2m − 2 − m = m − 2 = 0 → m = 2 r r b) Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que : r r |u · v | 7 7 cos α = r = ≈ 0,904 → α = 25 o 21' 6 ' ' r = |u|·| v | 6 · 10 60.

(7) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato c) Área =. 7. 1 r r 1 (1, 3, 1) = 1 1 + 9 + 1 = 1 11 ≈ 1,66 u 2 u×v = 2 2 2 2. r r r EJERCICIO 22 : Consideram os los vectores a (1, 1, 2 ), b (0, − 2, 1) y c (3, 2, 1). Calcula: r r a) El área del triángulo que determinan a y b. r r r b) El volumen del paralelepípedo determinado por a, b y c. Solución: 1 r r 1 (1, 1, 2) × (0, − 2, 1) = 1 (5, − 1, − 2) = 1 25 + 1 + 4 = = 1 30 ≈ 2,74 u 2 a×b = 2 2 2 2 2 b) El volumen es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores: 1 1 2 r r r a, b, c = 0 − 2 1 = 11 → Volumen = 11 u 3 3 2 1 a) Área =. [. ]. EJERCICIO 23 :. r r r Dados los vectores u (− 1, 1, 1), v (2, 0, − 3) y w (k , 1, k ):. r r r a) Halla el valor de k para que el volumen del paralelepípedo determinado por u, v y w valga 11 u3 . r r b) Calcula el ángulo que forman u y v. Solución: a) El volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores: − 12  −1 1 1 r r r − 5k − 1 = 11 → k = 5 [u, v, w ] = 2 0 − 3 = −5k − 1 ⇒ Volumen = − 5k − 1 = 11 →  − 5k − 1 = −11 → k = 2 k 1 k  r r b) Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que: r r |u · v | | −5 | 5 cos α = r = ≈ 0,80 → α = 36 o 48 ' 31' ' r = |u|·| v | 3 · 13 39 EJERCICIO 24 : Dados los puntos A(-2,0,1), B (1,-3,2), C (-1, 4, 5) y D (3, 1, -2), calcula: a) El área del triángulo de vértices A, B y C. b) El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. Solución:. a) AB (3, − 3, 1); AC (1, 4, 4 ) Área =. (− 16, − 11, 15 ). 1 1 AB × AC = 2 2. =. b) AB (3, − 3, 1); AC (1, 4, 4); AD (5, 1, − 3) 3. [AB, AC, AD ] = 1. −3. 1. 4. 4. 1. −3. 5. 1 2. (− 16 )2 + (− 11)2 + 15 2. = =. 1 2. 602 = 12,27 u 2. = −136 → Volumen = 136 u 3. EJERCICIO 25 : Sean los puntos A (2, -1, 3), B(-1,5,m), C (m, 2, -2) y D (0, 1,-3). Calcula el valor de. m , sabiendo que el paralelepí pedo determinado por los vectores AB, AC y AD tiene un volumen de 40 u 3 .. Solución:. AB (− 3, 6, m − 3 ); AC (m − 2, 3, − 5); AD (− 2, 2, − 6) −3. [AB, AC, AD] = m − 2 −2. 6 m−3 3. −5. 2. −6. = [54 + 2(m -2)(m -3) +60] – [- 6(m -3) + 30 - 36(m -2)] = 2m2 + 32m + 6.

(8) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato. 8. Volumen: V = |2m2 + 32m + 6| = 40. Dos posibilidades: • 2m2 + 32m + 6 = 40 ⇒ 2m2 + 32m - 34 = 0 ⇒ m2 +16m - 17 = 0 − 16 ± 256 + 68 − 16 ± 324 − 16 ± 18 m = 1 m= = =  2 2 2 m = −17 2 2 • 2m + 32m + 6 = -40 ⇒ 2m + 32m + 46 = 0 ⇒ m2 + 16m + 23 = 0. − 16 ± 256 − 92 − 16 ± 164 − 16 ± 2 41 = = = −8 ± 41 2 2 2 Hay cuatro soluciones: m1 = −17 ; m2 = 1; m3 = −8 + 41 ; m4 = −8 − 41 m=. REPRESENTAR PUNTOS EN EL ESPACIO EJERCICIO 26 : Representa los puntos siguientes: a) A(2, 3, -4), B(5, 3, 0) y C(0, 0, 4) b) A(0, 5, 2), B(1, 3, 0) y C(2, -3, 1) c) A(0, 0, 2), B(3, 2, 4) y C(4, -1, 3) d) A(0, 3, 1), B(0, 3, 0) y C(1, -2, 4) Solución:. APLICACIONES DE LOS VECTORES EJERCICIO 27 : Los puntos A(3, 0, 2), B(5, -1, 1) y C(-2, 3, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Obtén el cuarto vértice y el centro del paralelogramo. Solución:. Como se trata de un paralelogramo, se tiene que AB = DC. Si D = (x, y, z ): (2,-1,-1)=(-2-x,3-y,1-z) de donde: x = -4, y = 4, z = 2 ⇒ D(-4, 4, 2) El centro del paralelogramo es el punto medio de una de las dos diagonales, así:. 1 3 3 M= , ,  2 2 2 EJERCICIO 28 : Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(3,-1, 2) y B(-2, 2, 4) en tres partes iguales. Solución: AB = 3AP ⇒ (-1,3,2) = 3(x-3, y+1, z-2) ⇒ P(x,y,z) =. 8 8  ,0,  3 3. 8 8   −2 0+ 2 + 4 3  =  2 ,1, 10  Q = Pto_medio PB =  , ,3 2 2  3 3   2    .

(9) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato. 9. EJERCICIO 29 : Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, -1) y B(2,-2, 3). El centro del paralelogramo está en el punto M(1, 2, -1). Halla los otros dos vértices. Solución: Llamemos C = (x1, y1, z1) y D = (x2, y2, z2).. 3 + x1 =1 2 C es el simétrico de A respecto de M, por tanto:. 0 + y1 =2 2. − 1 + z1 = −1 2 2+ x2 =1 → 2 D es el simétrico de B respecto de M. Así:. − 2 + y2 =2 2. →. 3+ z2 = −1 → 2.  → x 1 = −1    → y1 = 4  C = (− 1, 4, − 1)    → z1 = −1   x2 = 0     y 2 = 6  D = (0, 6, − 5)    z 2 = −5 . EJERCICIO 30 : Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados: A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3) Solución:. Los puntos A , B y C están alineados siempre que los vectores AB y BC tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales:. 6−2 5−a 2−0 5−a = = ⇒ =2 8−6 7 −5 3−2 2. →. 5−a = 4. →. a =1. EJERCICIO 31 : Halla el simétrico, P ', del punto P(2, 1,-3) respecto de Q(3, 5, 1).. Solución:. 2+α  = 3 → α = 4 2    1+ β Llamamos P '(α,β,γ),de manera que: = 5 → β = 9  P' (4, 9, 5) 2   −3+ γ  = 1 → γ = 5  2.

(10)

Nuevo documento

Evolución estructural organizacional de la dirección general de comunicación social y relaciones públicas Caso: Universidad Autónoma de Nuevo León, México
La investigación se evalúa con el criterio de implicaciones prácticas, porque los hallazgos que se obtengan del estudio, aportarán datos prácticos que harán evidente las áreas de
Diseño de mobiliario con materiales reciclados
A continuación se va a calcular cuántos de cartón serían necesarios para la fabricación de la silla MOCA a fin de conocer un poco más exactamente el precio del material necesario:
Diseño de materiales para el desarrollo del pensamiento crítico en edades tempranas a través del área de ingles
DISEÑO / METODOLOGÍA Una vez analizado el diseño de materiales y el desarrollo del pensamiento crítico, se ha dado el paso hacia la práctica creando un material propio y original,
Diseño de materiales curriculares para una sección bilingüe
Sin embargo, como sabemos, los cambios en todo lo relacionado con las tecnologías son muy rápidos y si en 2003 Llorente veía dificultades en su uso, tan solo tres años después ya
Diseño de materiales curriculares para "Paseo por la alamenda de Cervantes" para la educación primaria
Diseño de materiales curriculares para: “Paseo por la Alameda de Cervantes Soria” para Educación Primaria” TERCER CICLO La zona posterior a la Fuente de Tres Caños será la destinada
Diseño de material multimedia como herramienta didáctica en la diabetes gestacional
De esta forma se consigue un material más visual, claro y práctico sobre la correcta forma de realizar las técnicas, además de mostrar a los profesionales de enfermería como los
Diseño de material educativo sobre la copa menstrual y esferas vaginales para mujeres jóvenes
Salud recomienda “iniciar la práctica de ejercicios de suelo pélvico para reducir el riesgo de incontinencia urinaria en el futuro, instruyendo a las mujeres sobre cómo realizar
Diseño de material didáctico en el marco de proyecto "Conozco y reconozco"
Es totalmente obvio que es necesario saber cuáles son las capacidades para la comprensión y representación de las nociones espaciales, temporales y sociales de un niño de 9 y 10 años
Diseño de los estabilizadores verticales y horizontales de un vehículo aéreo no tripulado (UAV)
The main purpose to have a bigger chord at the root respect the tip is to have a more stable structure reducing the bending stress at the root and this allow the vertical tail to have
"El diseño de las práctica en la Educación Artística de Primaria"
Esta conquista de la capacidad de reproducción figurativa, constituye por parte del niño un proceso de percepción mediante la identificación “fácil” de la realidad, esquemático se

Etiquetas

Documento similar

TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO
El conjunto de los vectores libres del espacio V3 con las operaciones de suma de vectores y producto de un número real por un vector, junto con sus propiedades, tiene estructura de
0
0
7
Apuntes de Álgebra lineal
Pues bien, hay otro tipo de aplicaciones entre espacios vectoriales, en los que se pueden usar matrices: dados dos vectores u, v, de un espacio vectorial V de dimensi´on n sobre K, y
0
0
149
Máximo relativo en x = 1
Los vectores AB y AC son perpendiculares, entre si, siendo su producto escalar
0
0
10
MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
b Los vectores normales son perpendiculares, luego, su producto escalar es cero... EJERCICIO 4.OPCIÓN
0
0
13
Tema 0 Intro a Vectores
El producto vectorial de dos vectores u y v G es otro vector w cuyo módulo es el producto de los G G G G G w=u ∧v módulos de u y v multiplicado por el seno del ángulo que forman sus
0
0
8
X-MimeOLE: Produced By Microsoft Exchange V6.5.7226.0
• Obtención del producto escalar entre dos vectores y utilización de sus propiedades para resolver distintos problemas: ángulo entre dos vectores, cálculo de vectores perpendiculares…
0
0
784
FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial
Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto
0
2
43
Proyección ortogonal y Ecuación de la recta
Tome su tiempo para reflexionar antes de responder las siguientes preguntas: Sobre la proyección ortogonal, ángulo entre dos vectores, producto vectorial y sus aplicaciones 1.. ¿Se te
0
0
37
La distancia recorrida por el móvil y el módulo del vector desplazamiento entre los puntos A y B son respectivamente: a)
La suma de dos vectores no es conmutativa La resultante de dos vectores no puede ser perpendicular al vector de mayor módulo  - V indica que el vector es negativo  - V indica que el
0
0
11
Ejercicios de Vectores y Trigonometría
4 Al sumar los dos vectores gráficamente, vemos que el vector suma es un vector paralelo a los dos y con el sentido del de mayor módulo.. El módulo del vector suma es igual a la
0
0
8
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
Dos vectores no nulos y son paralelos si existe algún escalar c tal que Vectores Perpendiculares Se dice que dos vectores y son perpendiculares u ortogonales si y sólo si Producto
0
0
44
Suma de Vectores y Multiplicación por un Escalar
Dos vectores no nulos y son paralelos si existe algún escalar c tal que Vectores Perpendiculares Se dice que dos vectores y son perpendiculares u ortogonales si y sólo si Producto
0
2
7
ÁLGEBRA LINEAL 1.1 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
6] Demuestre que cada conjunto de vectores forman una base ortogonal para 3 y exprese u  1,1,1 como combinación lineal de los vectores:.. 4] ¿Cuál de los siguientes vectores
0
0
22
Módulo de un vector
PRODUCTO MIXTO Se define el producto mixto de tres vectores como el producto escalar de uno de ellos por el vector producto vectorial de los otros dos.. Propiedades del producto
0
0
8
EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
a Si el producto escalar de dos vectores es cero entonces estos vectores son: b Si el producto vectorial de dos vectores es nulo, entonces estos vectores son: c El valor absoluto del
0
0
35
Show more