Mecánica Racional – TP Nº 8 – Ejercicios Resueltos - 29/10/15 8:24:17 a.m. 1/7
Facultad de Ingeniería - UNMdP
Mecánica Racional
Trabajo Práctico
Nº 8:
Oscilaciones de un Grado de Libertad
Ejercicios Resueltos
Ejercicio: Movimiento Armónico Simple por Fricción.
Un tablón colocado sobre dos rodillos que giran en sentido contrario como se indica en la Figura 8.1, cumple un movimiento oscilatorio armónico.
a) Demuestre en forma teórica este comportamiento y determine su amplitud y frecuencia. b) ¿Qué sucede si se invierte el sentido de giro de ambos rodillos?
c) Calcule la posición de equilibrio y la frecuencia de la oscilación cuando el sistema completo se inclina 20°
Figura 8.1: Tablón sobre rodillos.
Figura 8. 2: Diagrama de cuerpo aislado del tablón. Solución
a) La ecuación diferencial del movimiento de tablón resulta de las ecuaciones de equilibrio en las direcciones vertical y horizontal, y el equilibrio de momentos respecto del punto de contacto del tablón con el rodillo de la izquierda. Para esto nos valemos diagrama de cuerpo aislado en la Fifgura 8. 2. Tenemos así
∑𝐹# = −𝑚𝑔 + 𝑁*+ 𝑁+ = 0
𝑁*+ 𝑁+ = 𝑚𝑔
(8.1) (8.2)
𝑥 𝑦
𝐹01
𝑁+ 𝐶𝑀
𝑂 𝐹05
𝐿
2 𝑚𝑔
𝑁*
Mecánica Racional – TP Nº 8 – Ejercicios Resueltos - 29/10/15 8:24:17 a.m. 2/7 para el equilibrio de fuerzas en la dirección 𝑦, y
∑𝑀 8 = 𝑁
+×𝐿 − 𝑚𝑔×
𝐿
2+ 𝑥 = 0
𝑁+ = 𝑚𝑔 1
2+
𝑥 𝐿
(8.3) (8.4) para el equilibrio de momentos.
Finalmente, planteamos la segunda Ley de Newton en la dirección 𝑥, la que involucra a las fuerzas de roce entre el tablón y los rodillos:
∑𝐹; = 𝐹05− 𝐹01 = 𝜇 𝑁*− 𝑁+ = 𝑚𝑥, (8.5)
donde se pueden reemplazar las expresiones de las normales que resultan de la (8.2) y la (8.4) para obtener la ecuación diferencial del movimiento.
𝑚𝑥 +2𝜇 𝑚𝑔
𝐿 𝑥 = 0, (8.6)
La anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, homogénea e incompleta del tipo
𝑥 + 𝜔+𝑥 = 0 cuya solución sabemos que es el movimiento el armónico
𝑥 = 𝐴 ∙ sin 𝜔𝑡 + 𝛼F (8.7)
con pulsación natural
𝜔+ = 2𝜇𝑚𝑔
𝐿𝑚 =
2𝜇𝑔
𝐿 .
(8.8)
Tenemos entonces que el tablón describe un movimiento armónico alrededor de la posición
𝑥 = 0, que es la del centro de masa en el punto medio entre los rodillos. En esta posición las
fuerzas normales de ambos rodillos son idénticas e iguales a la mitad del peso del tablón, y por lo tanto las fuerzas de roce tienen igual módulo y sentidos opuestos. Colocado en esta posición de “equilibrio” el tablón permanecerá inmóvil. El movimiento armónico resulta de la variación de las normales cuando el tablón de aparta de la posición de equilibrio.
Las constantes 𝐴 y 𝛼F en la ecuación (8.7) ser determinan con la posición la velocidad iniciales iniciales (𝑡 = 0) del tablón. La constante 𝐴 es la amplitud del movimiento, que por ejemplo, para la posición inicial 𝑥 = 𝑥F y la velocidad inicial 𝑥 = 0 resulta 𝐴 = 𝑥F.
b) Si se invierte el sentido de giro de los rodillos se invierten las fuerzas de roce. De un análisis análogo al anterior, las ecuaciones (8.5) y la (8.6) resultan como sigue:
∑𝐹; = −𝐹05+ 𝐹01 = 𝜇 −𝑁*+ 𝑁+ = 𝑚𝑥
𝑚𝑥 −2𝜇 𝑚𝑔
𝐿 𝑥 = 0.
(8.9) (8.10) Aún cuando este último resultado es una ecuación diferencial de segundo orden, no corresponde a la ecuación diferencial de una oscilación (note el signo negativo del término que depende de la posición 𝑥). La solución de la ecuación diferencial (8.10) es
𝑥 = 𝐶*𝑒KL+ 𝐶
Mecánica Racional – TP Nº 8 – Ejercicios Resueltos - 29/10/15 8:24:17 a.m. 3/7 con 𝛼 = +NOP . Las constantes 𝐶* y 𝐶+ estarán dadas por las condiciones iniciales y valen
𝐶* = 1
2 𝑥F−
𝑥F 𝛼
𝐶+ =
1
2 𝑥F+
𝑥F 𝛼
(8.12)
y el comportamiento del tablón dependerá de los valores que estas adopten:
• para todo caso en que 𝐶* ≠ 0 la posición del tablón 𝑥 → ∞ cuando 𝑡 → ∞ . Este comportamiento no depende del valor de 𝐶+ porque el segundo sumando de la (8.11) tiende a cero cuando 𝑡 → ∞;
• el caso 𝐶* = 0 ocurre para dos situaciones: la trivial cuando 𝑥F = 0 y 𝑥F = 0, para la que 𝐶* = 𝐶+ = 0 y el tablón permanece inmóvil en la posición de equilibrio inestable; cualquier otra condición inicial con 𝑥F =;T
K, para las que el tablón alcanzará la posición de equilibrio
en 𝑡 → ∞ según resulta de la exponencial decreciente el segundo sumando de la (8.11)
c) La solución para el caso del tablón inclinado es análoga a la antes presentada para el tablón horizontal. La Figura 8.3 ilustra el diagrama de cuerpo aislado del problema, donde se puede observar que el sistema de referencia 𝑥, 𝑦 se ha rotado un ángulo 𝜃 como el tablón.
Figura 8.3: Diagrama de cuerpo aislado para el caso del tablón inclinado. Del equilibrio en la dirección 𝑦 se tiene
∑𝐹# = −𝑚𝑔 ∙ cos 20° + 𝑁*+ 𝑁+ = 0
𝑁*+ 𝑁+ = 𝑚𝑔 ∙ cos 20° ,
(8.13) (8.14) mientras que del equilibrio de momentos resulta
∑𝑀 8 = −𝑚𝑔 ∙ cos 20° 𝐿
2+ 𝑥 + 𝑁+𝐿 = 0
𝑁+ = 𝑚𝑔 ∙ cos 20° 1
2+
𝑥
𝐿 .
(8.15) (8.16) La segunda Ley de Newton para la dirección 𝑥, junto con los resultados de la (8.14) y la (8.16) permiten escribir la ecuación diferencial del movimiento del tablón:
𝜃 𝐹01
𝐶𝑀
𝑁+ 𝑂
𝐹05 𝐿
2
𝑚𝑔
Mecánica Racional – TP Nº 8 – Ejercicios Resueltos - 29/10/15 8:24:17 a.m. 4/7
∑𝐹; = 𝐹𝑟*− 𝐹𝑟+− 𝑚𝑔 ∙ sin 20° = 𝑚𝑥
𝜇 𝑁1 − 𝑁2 − 𝑚𝑔 ∙ sin 20° = 𝑚𝑥
𝑚𝑥 +2𝜇𝑚𝑔 ∙ cos 20°
𝐿 𝑥 = −𝑚𝑔 ∙ sin 20°
(8.17) (8.18) (8.19) La ecuación diferencial (8.19) es una versión no homogénea de la (8.6). Su solución general es la suma de una solución homogénea y una solución particular,
𝑥 = 𝑥Z+ 𝑥[. (8.20)
La solución homogénea es un movimiento armónico como el de la (8.7) con
𝜔′+ = 2𝜇𝑔 ∙ cos 20°
𝐿 ,
(8.21)
mientras que la solución particular es
𝑥[ = −
𝐿 ∙ sin 20°
2𝜇 ∙ cos 20° .
(8.22)
La ecuación horaria del centro de masa del tablón es entonces
𝑥 = 𝐴 ∙ sin 𝜔′𝑡 + 𝛼F −𝐿 ∙ tan 20°
2𝜇 (8.23)
Mecánica Racional – TP Nº 8 – Ejercicios Resueltos - 29/10/15 8:24:17 a.m. 5/7 Ejercicio: Suspensión de Automotor y Resonancia.
La masa 𝑚 se desplaza con velocidad horizontal 𝑣 sobre una superficie rugosa soportada por una rueda y un resorte como se ilustra en la figura. La rugosidad del piso se ajusta a la ecuación
𝑥+ = 𝐴 ∙ sin +`;P .
Suponiendo que la rueda es perfectamente rígida, determine: a) La amplitud de la oscilación de la masa.
b) La velocidad 𝑣a para la que el sistema alcanza la condición de resonancia.
Figura 8.4: Masa suspendida por un resorte que avanza por un camino rugoso. Solución
Se propone, en primera instancia, resolver el problema utilizando dinámica analítica. Se trata de un problema conservativo con un grado de libertad, que es la posición vertical de la masa. Se adopta como coordenada generalizada del problema 𝑥*, la posición de 𝑚 medida desde la posición de equilibrio estático del resorte al ser comprimido por el peso de la masa, ver Figura 8.4.
La ecuación de Lagrange del problema es
𝑑 𝑑𝑡
𝑑𝐿
𝜕𝑥*−
𝜕𝐿
𝜕𝑥* = 0 (8.24)
con el Lagrangiano
𝐿 = 𝑇 − 𝑉. (8.25)
La energía cinética de la masa es
𝑇 =1
2𝑚 𝑥*+ 𝑣 + (8.26)
y la energía potencial
𝑉 =1
2𝐾 𝑥*− 𝑥+ +. (8.27)
𝑥*
Mecánica Racional – TP Nº 8 – Ejercicios Resueltos - 29/10/15 8:24:17 a.m. 6/7 Nótese que al haberse seleccionado el origen 𝑥* en la posición de equilibrio estático del resorte, en la (8.27) no se incluyó la energía potencial gravitatoria de la masa.
La ecuación diferencial del problema resulta de la evaluación de la ecuación de Lagrange (8.24) con las expresiones para las energías cinéticas y potencial de las (8.26) y (8.27) :
𝑚𝑥* + 𝐾 𝑥*− 𝑥+ = 0 (8.28)
De los datos del problema tenemos que 𝑥+ = 𝐴 ∙ sin +`;P y 𝑥 = 𝑣 ∙ 𝑡, por lo que resulta
𝑚𝑥*+ 𝐾𝑥* = 𝐾𝐴 ∙ sin 2𝜋 ∙ 𝑣𝑡
𝐿 . (8.29)
La ecuación diferencial en la (8.29) es la de una oscilación forzada. La oscilación forzada queda descripta por la solución particular de la (8.29)
𝑥[ = 𝐴 1
1 − 𝜔𝜔
F
+sin 𝜔𝑡 (8.30)
donde
𝜔 =2𝜋𝑣
𝐿 , (8.31)
es la pulsación de la forzadora y
𝜔F =
𝐾 𝑚
(8.32)
es la pulsación natural de la oscilación libre del sistema. La amplitud de la oscilación de la masa es entonces
𝑥[ = 𝐴 1
1 − 𝜔𝜔
F
+ = 𝐴
1
1 − 4𝑚𝜋𝐾𝐿++𝑣+
. (8.33)
Por su parte, en resonancia la amplitud de la oscilación tiende a infinito, lo que sucede, para una oscilación libre de amortiguamiento como la de este caso, cuando 𝜔F = 𝜔. La velocidad para la que el sistema alcanza la condición de resonancia puede entonces calcularse como sigue:
𝐾
𝑚=
2𝜋𝑣 𝐿
𝑣 = 𝐿
2𝜋 𝐾 𝑚.
(8.34)
(8.35)
Mecánica Racional – TP Nº 8 – Ejercicios Resueltos - 29/10/15 8:24:17 a.m. 7/7 Las fuerzas que actúan sobre la masa son su peso y la del resorte. Esta última es función del cambio de longitud, Δ𝑥, del resorte respecto de su longitud natural, 𝑙F :
𝐹 = −𝐾 ∙ Δ𝑥 = −𝐾(𝑥 − 𝑥+− 𝑙F) (8.36)
donde 𝑥 y 𝑥+ son las posiciones de la masa y del extremo inferior del resorte respecto de la altura media de la rugosidad del camino, ver Figura 8.5.
De la Segunda Ley de Newton resulta entonces:
−𝐾 𝑥 − 𝑥+ − 𝑙F − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑥 (8.37)
que puede ser reordenada y reescrita como sigue
𝑚𝑥 + 𝐾𝑥 = 𝐾𝐴 ∙ sin 2𝜋 ∙ 𝑣𝑡
𝐿 + 𝐾𝑙F− 𝑚𝑔 .
(8.38) La ecuación anterior es análoga a la (8.29), pero con el origen para la coordenada que indica la posición de la masa. Mientras que la (8.29) resultó luego de seleccionar el origen de 𝑥* en la posición de equilibrio estático del sistema, el origen de 𝑥 de la (8.38) está en la altura media de la rugosidad. Esta diferencia se corresponde con el término constante en el segundo miembro de la (8.38). La solución particular de la (8.38) es
𝑥[ = 𝐴 1
1 − 4𝑚𝜋𝐾𝐿++𝑣+
+ 𝑙F−𝑚𝑔
𝐾 =
1
1 − 4𝑚𝜋𝐾𝐿++𝑣+
− 𝑙F− 𝛿 , (8.39)
donde 𝛿 es el acortamiento del resorte en la condición en equilibrio estático.
Figura 8.5: Masa suspendida por un resorte que avanza por un camino rugoso.
𝑥 m
K
v