4 cap 9 sucesiones y series2

(1)

(2)



Una

sucesión infinita

es una función cuyo

dominio es el conjunto de los enteros

positivos.



Podemos denotar una sucesión como una

lista

a

₁

,

a

₂

,

a

₃

, …

a

_n

, …

◦ Donde cada a_k es un término de la sucesión y k

(3)



La sucesión también se puede denotar como

un todo, describiendo una fórmula para el

término enésimo usando {

a

_n

} .

EJEMPLO

1) 2,4,6,8,10, …

(4)

EL DOMINIO SE COMPONE

DE LA POSICIÓN RELATIVA

DE CADA TÉRMINO.

1 2 3 4 5 …

DOMIINIO:

3 6 9 12 15 …

Alcance:

EL ALCANCE SE COMPONE DE LOS

TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN.

La regla o ecuación de la sucesión anterior es

a

_n

=

3 n,

donde a_n representa el enésimo término de la sucesión.

n

a

_n

La forma enumerada de la sucesión se obtiene escribiendo los términos de la sucesión _{3, 6, 9, 12, 15 …}

(5)

Escribe los primeros seis términos de la sucesión:

a_n = 2n + 3.

a 1 = 2(1) + 3 = 5 Primer término

a 2 = 2(2) + 3 = 7

a 3 = 2(3) + 3 = 9

a 4 = 2(4) + 3 = 11

a ₅ = 2(5) + 3 = 13

a 6 = 2(6) + 3 = 15

EJEMPLO

Solución

Segundo término

Tercer término

Cuarto término

Quinto término

(6)

Escribe los primeros seis términos de la sucesión,

f

(n) = (–2)n – 1 _.

f

(1) = (–2) 1 – 1 _{= 1} _{1er término}

2ndo término

3ro término

4to término

6to término

f

(2) = (–2) 2 – 1 _{= –2}

f

(3) = (–2) 3 – 1 _{= 4}

f

(4) = (–2) 4 – 1 _{= – 8}

f

(5) = (–2) 5 – 1 _{= 16}

f

(6) = (–2) 6 – 1 _{= – 32}

5to término

EJEMPLO

(7)

Si los términos de una sucesión tienen un patrón determinado entonces, podemos escribir el enésimo término de la sucesión y su ecuación.

Describe el patrón de la sucesión, escribiendo la ecuación del enésimo término de la sucesión EJEMPLO

1 3

 , 1 ₉ , 1 ₂₇, 1 ₈₁

1 2 3 4

n

términos 1

243  5 1 3  4 1 3  1

, 1 3



2

, 1 3



3

, 1

3  5 términos Solución 1 3 

La ecuación del enésimo término es

a

_n =

n − 1

3, 1 9, −

1 27,

(8)

2 6 12 20

La ecuación del enésimo término es f (n) = n (n+1). términos

5(5 +1) Describe el patrón de la sucesión, escribe la ecuación del

enésimo término de la sucesión. 2, 6, 12 , 20,….

5

30

1 2 3 4

1(1 +1) 2(2 +1) 3(3 +1) 4(4 +1)

n

Solución

EJEMPLO

5(6) Rescribe

(9)

Se puede graficar una sucesión representando

• en el eje horizontal, los números enteros

positivos (el dominio)

• los términos en el eje vertical (el alcance).

EJEMPLO

Traza los puntos (1, 1), (2, 4), (3, 9), . . . , (10, 100).

a_n= n2

Series 1

2 4 6 8 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 x an (1,1) (2,4) (3,9) (4,16) (5,25) (6,36) (7,49) (8,64) (9,81) (10,100)

Gráfica de una sucesión

(10)



Grafiquemos la sucesión



Grafiquemos los pares

ordenados

para

n

= 1, 2, 3, …

 

,

1 n

n



n n/(n+1)

1 2 3 4 10

1/2 2/3

(11)



Podemos definir una sucesión

recursivamente

si declaramos…

◦ el primer término de la sucesión, a₁ , y

◦ una regla para obtener cualquier término a_k₊₁

partiendo del término anterior, a_k , siempre y cuando k ≥ 1 .



Estudiando los patrones que surgen en los

términos sucesivos, muchas veces podemos

construir una fórmula general para la

(12)

Ejemplo: Definimos

◦ a₁ = 3 , y

◦ a_k₊₁ = 2a_k .

Los primeros términos de la sucesión

a

_n

:

(13)

• La suma de todos los términos de una sucesión se

conoce como una sumatoria o una serie.

• Una sumatoria puede ser finita o infinita.

• Si la sumatoria es finita la conocemos como una suma

parcial.

• Si la sumatoria es infinita se conoce como la serie de

la sucesión.

Sumatorias y series

. . .

Sucesión

Suma parcial

3, 6, 9, 12, 15

3 + 6 + 9 + 12 + 15

Sucesión infinita

Serie infinita

3, 6, 9, 12, 15, . . .

(14)



Representamos la suma de los primeros

m

términos de la sucesión con el símbolo de

sumatoria.

(15)

Escribe la serie usando la notación sigma. 5 + 10 + 15 + + 100 . . .

Note que el primer término es 5 (1), el segundo es 5 (2), el tercero es 5 (3), y el último es 5 (20). Por lo tanto los términos se generan con la fórmula

de la serie se pueden escribir como:

a_n = 5n donde n = 1, 2, 3, . . . , 20

La sumatoria es



₅

_n

_.

20

n = 1

EJEMPLO

(16)



Sea

a

_k

=

k

2

(

k

– 3), determinar

𝑘

2

_{𝑘 − 3}

4

𝑖=1

𝑘

2

𝑘 − 3

4

𝑖=1

=

= 12 1 − 3 + 22 2 − 3 + 32 3 − 3 + 42 4 − 3 = −2 − 4 + 0 + 16

(17)

Note que para cada término, el denominador de la fracción es 1 más que el numerador. Por lo tanto, los términos de la serie se pueden escribir como:

a_k = donde k = 1, 2, 3, 4 . . . _{k + 1}k

Escribe la serie en notación de sumatoria (sigma).



La serie se escribe como



k = 1

k

k + 1 .

EJEMPLO

Solución

1

2 +

2

3 +

3

4 +

4

(18)

FÓRMULAS DE SUMATORIAS

n

i



= 1 1 = n



i = n(n + 1) ₂

n

i = 1

1

2

3

suma de los números

naturales desde 1 hasta

n

.

suma de los cuadrados de los números naturales

desde 1 hasta n .



i 2 = n(n + 1)(2₆ n + 1)

n

i = 1

Suma de n veces 1 .

4

suma de los cubos de los números naturales desde 1 hasta n .



i 3 = n

2_{(n + 1)}2

4

n

(19)

Uso de Fórmulas de Sumatorias

¿Cuántas chinas habrá en una pirámide cuadrada de diez capas de altura?

(20)

El diagrama de abajo muestra las primeras tres capas

de la pirámide.Sea

a

_n

el número de chinas en la capa

n

.

n

1

2

3 a

_n

1 = 1

2

4 = 2

2

_{9 = 3}

2

Podemos observar que en cada etapa la

cantidad de chinas se puede determinar con

la fórmula

a

_n

=

n

2

(21)

Entonces, sabemos que el enésimo término de la sucesión es a_n = n2_{, donde n = 1, 2, 3, …10}

10



n= 1 n

2 _{= 1}2_{+ 2} . . . 2 ₊ _{+ 10}2

10(11)(21) =

6 = 385

Habrán 385 chinas en la piramide. =

6

10(10 + 1)(2 • 10 + 1)

(22)

Determinar el siguiente término.

1) 𝑎_𝑛 = {6, 12,20, 30,42, … }

EJEMPLOS

2) 𝑎_𝑛 = {3, 6, 10, 15, 21, … }

3) 𝑎_𝑛 = {0, 1, 1, 2, 3, 5, … }

El siguiente término es 56.

El siguiente término es 8. 4) 𝑎_𝑛 = {4, 11, 30, 85, … }

𝑎_𝑛= {6, (6 + 6), (6 + 6 + 8), (6 + 6 + 8 + 10), (6 + 6 + 8 + 10 + 12), … }

𝑎_𝑛 = {3, 3 + 3 , 3 + 3 + 4 , 3 + 3 + 4 + 5 , (3 + 3 + 4 + 5 + 6), … }

𝑎_𝑛= {0, 1, (0 + 1), (1 + 2), (3 + 2), , … }

(23)

Una sucesión 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛, … es una sucesión

aritmética si existe un número real d tal que

para cada entero positivo k,

𝑎_𝑘+1 = 𝑎_𝑘 + 𝑑

El número 𝑑 = 𝑎_𝑘+1 − 𝑎_𝑘 se conoce como la

diferencia común de la sucesión.

EJEMPLO

diferencia común

(24)

Muestre que la sucesión que se ofrece a continuación es una sucesión aritmética y determine su diferencia común.

Si 𝑎_𝑛 = 3𝑛 − 2 , entonces para cada entero k,

Solución

(25)



El término enésimo,

a

_n

, de una sucesión

aritmética con una diferencia común

d

está

dado por

a

_n

=

a

₁

+ (

n

– 1)

d

.



Hallar el una fórmula para el término enésimo

EJEMPLO

diferencia común

a_n = a₁ + (n – 1)d a_n =-3 + (n – 1)5 a_n =-3 + 5n – 5

(26)

diferencia común

a_n = a₁ + (n – 1)d

a_n =17 + (n – 1)(-7)

a_n =17 - 7n + 7

a_n =24 - 7n

EJEMPLO

Hallar el una fórmula para el término

enésimo

EJEMPLO Los primeros tres términos de una sucesión

aritmética son: 20, 16.5, y 13. Hallar 𝒂_𝟏𝟓.

◦ Primeramente hallamos d:

 d = a₂ – a₁ = 16.5 – 20 = –3.5 .

◦ Luego, usamos la fórmula dada con n = 15

(27)

Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 5 y el noveno término es 20, determinar 𝑎₁ 𝑦 𝑎₂₀

Solución

Como hay 4 términos entre 𝑎₄ 𝑦 𝑎₉, la sucesión es

aritmética, podemos razonar que tenemos que sumar la diferencia común 5 veces para llegar de

𝑎₄ ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑎₉, 𝑎₉ - 𝑎₄ =5d

20 – 5 = 5d 15 = 5d

d = 3

a₄ = a₁ + (n– 1)d 5 = a₁ + (4 – 1)3 5 = a₁ + 9

5 - 9= a₁ a₁= - 4

a₂₀ = a₁ + (n– 1)d a₂₀ = - 4 + (20– 1)3 a₂₀ = - 4 + (19)3

(28)

Una sucesión 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛, … es una sucesión

geométrica si 𝑎₁ ≠ 0, y si existe r ≠ 0 tal que para

cada entero positivo k,

𝑎_𝑘+1 = 𝑎_𝑘𝑟

El número r= 𝑎𝑘+1

𝑎_𝑘 se conoce como la razón común

de la sucesión.

Ejemplo: Hallar la razón común.

(29)



El término enésimo,

a

_n

, de una sucesión

geométrica con una razón común

r

está dado

por

a

_n

=

a

₁

r

(n–1)

_.



Ejemplo: El primer término de una sucesión

geométrica es 3 y la razón común

es

–½ ;

hallar

◦ los primeros 5 términos

(30)

 Solución

◦ Si multiplicamos a₁ = 3 por r = –½ repetidamente, entonces los primeros 5 términos son

◦ a₂ = 3 −1₂ = −3₂

◦ a₃ = 3 −1₂ − 1₂ = 3₄

◦ a₄ = 3 −1₂ − 1₂ − 1₂ = − 3₈… etc.

◦ La fórmula general la obtenemos usando

a_n = a₁r (n–1)

3 3

3,

, ,

,

.

2 4

8 16



(31)



El tercer término de una sucesión geométrica

es 5 y el sexto término es -40. Hallar una

fórmula explícita para

𝑎

_𝑛

.

𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒓𝒂𝒛ó𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒓:

𝑎₁𝑟5 𝑎₁𝑟2 =

−40 5 𝑟3 = −8 𝑟 = −83

𝑟 = −2

𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐,

𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂_𝟏:

a

_n

=

a

₁

r

(n–1)

a

_n

=

5

4

(−2)

(n–1)

(32)



Los siguientes teoremas dan una fórmula

para

𝑆

_𝑛

, la suma parcial enésima, de

sucesiones aritméticas y geométricas:

◦ la suma parcial n-ésima, de una sucesión aritmética es

(33)

 Hallar la suma de los primeros 20 términos de:

𝑎_𝑛 = 4, 6, 8, 10, ...

Solución

𝑎_𝑛 es una sucesión aritmética con una diferencia

común de 2.

Para encontrar la suma, necesitamos saber el último término

(34)



Hallar la suma de los primeros 5 términos de:

𝑏_𝑛 = 1 , 0.3 , 0.09 , …

Solución

(35)

 Evaluar la serie representado por

1 − 3𝑘

14

1

Solución

1 − 3𝑘 es una serie aritmética, la diferencia común es 1 − 3 𝑘 + 1 − 1 − 3𝑘 =

1 − 3𝑘 − 3 − 1 + 3𝑘 =

= −3

Queremos sumar -2 + (-5)+ (-8) +…+ (-41)

𝑠_𝑛 = 14(−2 − 41)

2 =

14(−43)

(36)



Si

𝑟 < 1

, entonces la serie geométrica

infinita

𝑎

₁

+ 𝑎

₁

𝑟 + 𝑎

₁

𝑟

2

+ ⋯ + 𝑎

₁

𝑟

𝑛−1

+ ⋯

tiene una suma dada por

(37)



Expresar

5.427 como un número racional

Solución

 El número 5.427 es equivalente en número decimal

a 5.4272727…

 5.4272727… es equivalente a

 Comenzando en el segundo término la serie

0.027+0.00027+0.0000027… es geométrica con

(38)



Expresar

5.427 como un número racional

Solución

 La suma de esta serie infinita es

 5.427 como un número racional es

𝑆 = 𝑎1

1 − 𝑟 =

0.027

1 − .01 =

0.027 0.99 = 27 990 = 3 110

5.4 + 3