Selectividad2007cs

(1)

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLI-CADAS A LAS CIEN-CIASSOCIALES II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica.

e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.

OPCIÓN A (Junio 2.007)

EJERCICIO 1

Sean las matrices

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − =

0 3 1

0 1 0

1 2 1

A , X =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

−2 y x

e Y =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛−

z x 2 .

a) (1 punto) Determine la matriz inversa de A.

b) (2 puntos) Halle los valores de x, y, z para los que se cumple A · X = Y.

EJERCICIO 2

Para la función f : R → R definida de la forma f(x) = 8x3 – 84x2 + 240x, determine:

a) (1.5 puntos) Su monotonía y sus extremos relativos.

b) (1.5 puntos) Su curvatura y su punto de inflexión.

EJERCICIO 3

Parte I

La baraja española consta de diez cartas de oros, diez de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se extraen dos cartas. Calcule razonadamente la probabilidad de que, al me-nos, una de las dos cartas sea de espadas en los siguientes supuestos:

a) (1 punto) Si se extraen las cartas con reemplazamiento.

b) (1 punto) Si se extraen las cartas sin reemplazamiento.

Parte II

En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad media de 17.4 años. Se sabe que la desviación típica de la población Normal de la que procede esa muestra es de 2 años.

a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la edad media de la

pobla-ción.

b) (1 punto) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el

(2)

OPCIÓN B (Junio 2.007)

EJERCICIO 1

Consideramos el recinto del plano limitado por las siguientes inecuaciones:

y – x ≤ 4; y + 2x ≥ 7; –2x – y + 13 ≥ 0; x ≥ 0; y ≥ 0.

a) (2 puntos) Represente el recinto y calcule sus vértices.

b) (1 punto) Halle en qué puntos de ese recinto alcanza los valores máximo y mínimo

la función F(x, y) = 4x + 2y – 1.

EJERCICIO 2

a) (2 puntos) Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f(x) = ax2 – b en el punto (1, 5) sea la recta y = 3x + 2.

b) (1 punto) Para que g(x) = e1–x + L(x+2), calcule g’(1).

EJERCICIO 3

Parte I

En una urna hay cuatro bolas blancas y dos rojas. Se lanza una moneda, si sale cara se extrae una bola de la urna y si sale cruz se extraen, sin reemplazamiento, dos bolas de la urna.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que se hayan extraído dos bolas rojas.

b) (1 punto) Halle la probabilidad de que no se haya extraído ninguna bola roja.

Parte II

En una granja avícola se ha tomado una muestra aleatoria de 200 polluelos de pato, en-tre los cuales se encontraron 120 hembras.

a) (1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la

propor-ción de hembras entre estos polluelos.

b) (0.5 puntos) Razone, a la vista del intervalo encontrado, si a ese nivel de confianza

(3)

Prof. R. Mohigefer - Selectividad Junio 2007. Soluciones Página 1

Soluciones

OPCIÓN A (Junio 2.007)

EJERCICIO 1

Sean las matrices

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 3 1 0 1 0 1 2 1

A , X =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −2 y x

e Y = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− z x 2 .

a) (1 punto) Determine la matriz inversa de A.

Para que exista A–1, debe ser |A| ≠ 0. Como |A| = 1 (como se ve inmediatamente por

Sa-rrus), existe la inversa de A.

AT =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 0 0 1 3 1 2 1 0 1

⇒ Adj(AT) =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 1 1 0 1 0 1 3 0

⇒ A–1 = 1 Adj(AT)

A = _⎟⎟

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 1 1 0 1 0 1 3 0

b) (2 puntos) Halle los valores de x, y, z para los que se cumple A · X = Y.

A·X = Y ⇒

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 0 3 1 0 1 0 1 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −2 y x = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− z x

2 ⇒

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = + − = − = − − z y x y x y x 3 2 2 2

La ecuación central ya nos ha proporcionado el valor de y. Sustituyendo en la primera y

tercera: ⎭ ⎬ ⎫ = + − − = − − z x x x 6 2 4 ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ = + − = − z x x 6 0 6 2 ⇒ z z x = ⇒ = + − = 3 6 3 3

Luego las soluciones son: x = 3, y = 2, z = 3.

EJERCICIO 2

Para la función f : R→R definida de la forma f(x) = 8x3 – 84x2 + 240x, determine:

a) (1.5 puntos) Su monotonía y sus extremos relativos.

Se tiene que: f ’(x) = 24x2 – 168x +240. Para determinar la monotonía, dividimos el

do-minio de f en intervalos mediante:

• Puntos de discontinuidad de f : No tiene (es polinómica).

• Puntos de discontinuidad de f ’: No tiene (también es polinómica).

• Soluciones de la ecuación f ’(x) = 0: 24x2 – 168x +240 = 0 ⇒ (Simplificando

entre 24): x2 – 7x + 10 = 0 ⇒ x =

2 40 49 7± −

= 2 9 7± = 2 2 4 5 2 10 2 3 7 = = = = 〈 = ±

Ponemos en un cuadro los intervalos resultantes, separando los puntos que hemos obte-nido; tomamos un punto cualquiera de cada uno de esos intervalos, lo sustituimos en la ecuación anteriormente obtenida de f ’ y, según el signo resultante, averiguamos la

mo-notonía de f:

En x = 2 hay un máximo relativo, porque a su izquierda la función es creciente y a su

derecha, decreciente. Su imagen es: f(2) = 8·23 – 84·22 + 240·2 = 64 – 336 + 480 = 208.

Las coordenadas del máximo relativo son: (2. 208).

(–∞, 2) 2 (2, 5) 5 (5, +∞)

f ’ + 0 – 0 +

(4)

En x = 5 hay un mínimo relativo. Como f(5) = 8·53 – 84·52 + 240·5 = 100 ⇒ Sus

co-ordenadas son: (5, 100).

b) (1.5 puntos) Su curvatura y su punto de inflexión.

Se tiene que: f ”(x) = 48x – 168. Para determinar la curvatura, dividimos el dominio de f

en intervalos mediante:

• Puntos de discontinuidad de f : No tiene (es polinómica).

• Puntos de discontinuidad de f ”: No tiene (también es polinómica).

• Soluciones de la ecuación f ”(x) = 0: 48x – 168 = 0 ⇒ x = 168/48 = 7/2

Ponemos en un cuadro los intervalos resultantes, separando el punto que hemos obteni-do; tomamos un punto cualquiera de cada uno de esos intervalos, lo sustituimos en la ecuación anteriormente obtenida de f ” y, según el signo resultante, averiguamos la

curvatura de f:

En x = 7/2 hay un punto de inflexión, puesto que la función es cóncava a su izquierda y

convexa a su derecha. Como f(7/2) = 8·(7/2)3 – 84·(7/2)2 + 240·(7/2) = 154, sus

coorde-nadas son (7/2, 154).

EJERCICIO 3 Parte I

La baraja española consta de diez cartas de oros, diez de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se extraen dos cartas. Calcule razonadamente la probabilidad de que, al me-nos, una de las dos cartas sea de espadas en los siguientes supuestos:

a) (1 punto) Si se extraen las cartas con reemplazamiento.

Los resultados de las dos extracciones constituyen sucesos independientes, puesto que, como la primera carta se restituye a la baraja, no influye en el resultado de la segunda extracción. Por tanto:

P(“al menos una carta es de espadas”) =

= 1 – P(“ninguna de las dos es de espadas”) =

= 1 – P(“la 1ª carta no es de espadas” y “la 2ª carta no es espadas”) =

= 1 – P(“la 1ª carta no es de espadas” ∩ “la 2ª carta no es espadas”) =

= 1 – P(“la 1ª carta no es de espadas”) · P(“la 2ª carta no es espadas”) =

= 1 – 40 30 ·

40 30

= 1 – 16

9 =

16 7

porque hay 30 cartas que no son de espadas de un total de 40 cartas.

b) (1 punto) Si se extraen las cartas sin reemplazamiento.

En este caso, los sucesos son dependientes. Si llamamos A = “la 1ª carta no es de

espa-das”, B = “la 2ª carta no es de espadas”: P(“al menos una carta es de espadas”) =

= 1 – P(“ninguna de las dos es de espadas”) =

= 1 – P(A∩B ) = 1 – P(A)·P(B/A) = 1 –

40 30 ·

39 29

= 52 23

Porque en la primera extracción hay 30 cartas que no son de espadas de un total de 40. Pero en la segunda, ya hay una carta menos que no es de espadas (luego quedan 29) de

(–∞, 7/2) 7/2 (7/2, +∞)

f ” – 0 +

(5)

un total de 39 cartas, porque damos por hecho que la primera carta extraída no ha sido de espadas.

Parte II

En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad media de 17.4 años. Se sabe que la desviación típica de la población Normal de la que procede esa muestra es de 2 años.

a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la edad media de la

pobla-ción.

El intervalo de confianza para la media poblacional es:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

n z x n z

x _α₂ σ , _α₂ σ

El nivel de confianza es 1 – α = 0,95 ⇒ α = 0,05 ⇒ α/2 = 0,025 ⇒ 1 – α/2 = 0,975 ⇒ Buscando en las tablas de la normal el valor tal que P(z≤ Zα/2) = 1– α/2

= 0,975, resulta que Zα/2 = 1,96. Por tanto, el intervalo pedido es:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

256 2 96 . 1 4 . 17 , 256

2 96 . 1 4 .

17 = (17.155, 17.645)

b) (1 punto) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el

correspon-diente intervalo de confianza, al 90%, tenga de amplitud a lo sumo 0.5?

La amplitud del intervalo de confianza es 2

n

z_α₂ σ , que nos piden que sea, como

máximo, 0,5.

El nivel de confianza es 1 – α = 0,90 ⇒ α = 0,10 ⇒ α/2 = 0,05 ⇒ 1 – α/2 = 0,95 ⇒ Buscando en las tablas de la normal el valor tal que P(z≤ Zα/2) = 1– α/2 =

0,95, resulta que Zα/2 = 1,645. Entonces:

2

n

z_α₂ σ = 0,5 ⇒ 2·1,645· n

2 _{= 0,5 ⇒}

n

= 5 , 0

58 ,

6 _⇒

n = 13,162 = 173,1856

Este valor no es posible como tamaño muestral. A medida que n es mayor, la amplitud

del intervalo es menor (en la fórmula de la amplitud del intervalo, n está en el

denomi-nador: si n es mayor, dividimos entre un número mayor, por lo que el resultado es más

(6)

OPCIÓN B (Junio 2.007)

EJERCICIO 1

Consideramos el recinto del plano limitado por las siguientes inecuaciones:

y – x≤ 4; y + 2x≥ 7; –2x – y + 13 ≥ 0; x≥ 0; y≥ 0.

a) (2 puntos) Represente el recinto y calcule sus vértices. Dibujamos paso a paso la región factible.

• y – x ≤ 4 ⇒ y ≤ x + 4: Representamos la recta y = x

+ 4 y el área correspondiente es la que queda por deba-jo (porque es la que contiene los puntos cuya coordena-da y es inferior a la de los puntos que están sobre la

re-cta.

• y + 2x ≥ 7 ⇒ y ≥ –2x + 7. Representamos y = –2x +

7 y elegimos el área que queda sobre la recta (y debe

valer más que en los puntos de la recta).

• –2x – y + 13 ≥ 0 ⇒ –2x + 13 ≥ y ⇒ Son,

tam-bién, los puntos que quedan bajo la recta (y debe valer

menos que en los puntos de la recta).

• x ≥ 0 son los puntos que están a la derecha del eje OY.

• y ≥ 0 son los que están más arriba del eje OX.

La zona común a todas las regiones es la que queda en el dibujo final. Los vértices que delimitan la región están se-ñalados: A, B, C y D. Vamos a calcular sus respectivas

co-ordenadas. Para ello, resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las dos rectas de las que son intersección cada uno de ellos.

• A:

⎭ ⎬ ⎫ =

+ − =

0 7 2

y x y

⇒ Sustituyendo la 2ª ec. en la 1ª: 0

= –2x + 7 ⇒ 2x = 7 ⇒ x = 7/2 ⇒ A(7/2, 0)

• B:

⎭ ⎬ ⎫ =

+ − =

0

13 2

y x y

⇒ 0 = –2x + 13 ⇒ 2x = 13 ⇒

x = 13/2 ⇒ B(13/2, 0)

• C:

⎭ ⎬ ⎫ + =

+ − =

4 13 2

x y

⇒ Sustituyendo la 2ª en la 1ª: x + 4 = –2x +13 ⇒

⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3. Sustituyendo en la 2ª ec: y = 3+4 = 7 ⇒ C(3, 7)

• D:

⎭ ⎬ ⎫ + =

+ − =

4 7 2

x y

⇒ x + 4 = –2x + 7 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1 ⇒

⇒ y = 1+4 = 5 ⇒ D(1, 5)

b) (1 punto) Halle en qué puntos de ese recinto alcanza los valores máximo y mínimo

la función F(x, y) = 4x + 2y – 1.

Tanto el máximo como el mínimo estarán sobre vértices de la región factible o en todos los puntos de un segmento entre dos vértices. Para averiguarlo, hallamos el va-lor de la función objetivo en los cuatro vértices.

(7)

F(B) = F(13/2, 0) = 4·13/2 + 2·0 – 1 = 25 (valor máximo) F(C) = F(3, 7) = 4·3 + 2·7 – 1 = 25 (valor máximo) F(D) = F(1, 5) = 4·1 + 2·5 – 1 = 13 (valor mínimo)

Vemos, pues, que el máximo se alcanza en todos los puntos del segmento que une B

con C, y vale 25. El mínimo, en todos los puntos del segmento AD y vale 13.

Teníamos otra opción que, al menos en este caso, es más trabajosa. En primer lugar, dibujamos la recta 4x + 2y –1 = 0 (la función objetivo igualada a 0). Lo hemos hecho

en el último gráfico, en color rojo. Desplazándola de forma paralela (o sea, dibujan-do la recta 4x + 2y – 1 = c) hacia arriba vemos que el máximo valor tocando puntos

de la región factible se alcanzaría al tocar B y C, porque la recta roja es paralela a

es-te segmento (en el gráfico puede resultar dudoso, pero es que ambas rectas tienen pendiente –2). El máximo valor se alcanza subiendo la función objetivo lo más po-sible sin salirse de la región factible, porque el coeficiente de y en aquélla, que es 2,

es positivo; de lo contrario, sería la recta más baja posible). El mínimo valor lo en-contraremos al tocar A y D. Llegados a este punto, hemos de calcular las imágenes

para ver cuánto es el valor máximo y cuánto el mínimo, por lo que, además de este razonamiento y de dibujar la recta roja mediante una tabla de valores, nos vemos obligados a repetir lo que hicimos antes. Por eso dijimos que es más trabajoso.

EJERCICIO 2

a) (2 puntos) Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f(x) = ax2 – b en el punto (1, 5) sea la recta y = 3x + 2.

Nos dicen el punto de tangencia (1, 5) y la ecuación de la recta tangente. De ella deducimos que la pendiente de la recta tangente en dicho punto debe valer 3. O sea, que f ’(1) = 3. Como f ’(x) = 2ax ⇒ f ’(1) = 2a = 3 ⇒ a = 3/2.

Por otra parte, el punto (1, 5) pertenece tanto a la gráfica de f como a la de la recta

tangente (en efecto, puede comprobarse que la recta y = 3x +2 pasa por dicho punto,

sin más que sustituir x = 1 y ver que se obtiene y = 5). Por tanto, f (1) = 5 ⇒

5 1

· 2

3 2 ₋ ₌

b ⇒ −5=b

2

3 _⇒

5 7 5

10 3− ₌₋ =

b .

b) (1 punto) Para que g(x) = e1–x + L(x+2), calcule g’(1).

g’(x) = –e1–x +

2 1 +

x ⇒ g’(1) = –e

0₊

3 1

= –1 + 3 1

= 3

1 3+ −

= 3 2 −

EJERCICIO 3 Parte I

En una urna hay cuatro bolas blancas y dos rojas. Se lanza una moneda, si sale cara se extrae una bola de la urna y si sale cruz se extraen, sin reemplazamiento, dos bolas de la urna.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que se hayan extraído dos bolas rojas.

Son tres experimentos aleatorios sucesivos. Construimos un árbol con sus correspon-dientes probabilidades.

(8)

Observamos que sólo la última rama es la que da lugar a dos bolas rojas. Por tanto, la probabilidad que nos piden es la de dicha rama, que es el producto de todas las probabi-lidades desde la raíz del árbol hasta llegar al final de dicho ramal:

p(“2 bolas rojas”) =

5 1 · 6 2 · 2 1

= 30

1

b) (1 punto) Halle la probabilidad de que no se haya extraído ninguna bola roja.

Será la suma de los ramales donde no sale ninguna roja; esto es, el primero (B), el terce-ro (BB) y ya está, porque el segundo (R), el cuarto (BR), el quinto (RB) y el sexto (RR) contienen alguna roja. Por tanto:

P(“ninguna roja”) =

5 3 · 6 4 · 2 1 6 4 · 2

1 ₊

= 5 1 3 1₊

= 15

8

Estos problemas pueden resolverse sin árbol. Pero el uso de éste es un procedimiento estándar que nos suele conducir a la solución sin demasiados problemas.

Parte II

En una granja avícola se ha tomado una muestra aleatoria de 200 polluelos de pato, en-tre los cuales se encontraron 120 hembras.

a) (1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la

propor-ción de hembras entre estos polluelos.

Lo que hay que saberse es que el intervalo de confianza de nivel 1 – α para la propor-ción poblacional, siendo pˆ la proporción muestral, es:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

+ −

−

n p p z p n

p p z

pˆ _α₂ ˆ(1 ˆ), ˆ _α₂ ˆ(1 ˆ)

Por el enunciado, sabemos que pˆ = 120/200 = 3/5 = 0,6 y que n = 200. Además se

tiene que 1 –pˆ = 0,4.

El nivel de confianza es 1 – α = 0,98 ⇒ α = 0,02 ⇒ α/2 = 0,01 ⇒ 1 – α/2 = 0,99 ⇒ Buscando en las tablas de la normal el valor tal que P(z≤ Zα/2) = 1– α/2 =

0,99, resulta que Zα/2 = 2,33. Por tanto, el intervalo pedido es:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

200 4 . 0 · 6 . 0 33 . 2 6 . 0 , 200

4 . 0 · 6 . 0 33 . 2 6 .

0 = (0.519, 0.681)

b) (0.5 puntos) Razone, a la vista del intervalo encontrado, si a ese nivel de confianza

puede admitirse que la verdadera proporción de hembras de pato en esa granja es 0.5.

La probabilidad de que el valor verdadero de p esté en el intervalo anterior es del 98%.

Como 0.5 no pertenece al intervalo, concluiremos que no es admisible que sea el valor verdadero de la proporción de hembras, con el nivel de confianza mencionado.

2 1

C

+

6 4

6 2

B

R

6 4

6 2

B

R

Moneda 1ª bola 2ª bola

B

R

5 3

5 2

5 4

5 1

B

(9)

OPCIÓN A (Septiembre 2.007)

EJERCICIO 1

De un problema de programación lineal se deducen las siguientes restrcciones:

4x + 3y ≥ 60, y ≤ 30, x ≤

2 10+y

, x ≥ 0, y ≥ 0

a) (2 puntos) Represente gráficamente la región factible del problema y calcule sus

vértices.

b) (0.5 puntos) Maximice en esa región factible la función objetivo F(x, y) = x + 3y.

c) (0.5 puntos) ¿Pertenece el punto (11, 10) a la región factible?

EJERCICIO 2

Sea la función f : R→ R, definida por

⎩ ⎨ ⎧

> +

+

≤ =

1 si 5

1 si 2

)

( ₂

x mx

x

x x

f

x

.

a) (1 punto) Calcule m para que la función sea continua en x = 1.

b) (1 punto) Para ese valor de m, ¿es derivable la función en x = 1?

c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.

EJERCICIO 3

Parte I

En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica P(A∩B) = 0.1, P(AC∩BC)= 0.6, P(A/B) = 0.5.

a) (0.75 puntos) Calcule P(B).

b) (0.75 puntos) Calcule P(A∪B).

c) (0.5 puntos) ¿Son A y B independientes?

Parte II

Se sabe que las puntuaciones de un test siguen una ley Normal de media 36 y desvia-ción típica 4.8.

a) (1 punto) Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos, ¿cuál es la probabilidad

de que la media de esta muestra sea superior a 35 puntos?

b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 tiene una media muestral

(10)

OPCIÓN B (Septiembre 2.007)

EJERCICIO 1

a) (1.5 puntos) Halle la matriz A que verifica _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− 28

9 ·

5 1

3 2

A .

b) (1.5 puntos) Clasifique y resuelva el sistema formado por las tres ecuaciones

si-guientes: x – 3y + 2z = 0; –2x + y –z = 0; x – 8y + 5z = 0.

EJERCICIO 2

a) (2 puntos) Sea la función definida para todo número real x por f(x) = ax3 + bx.

De-termine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 1) y que en ese punto la

pen-diente de la recta tangente es –3.

b) (1 punto) Si en la función anterior a =

3 1

y b = –4, determine sus intervalos de

mo-notonía y sus extremos.

EJERCICIO 3

Parte I

Una urna A contiene tres bolas azules y cuatro rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se extrae, al azar, una bola de una de las urnas.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

b) (1 punto) Si la bola extraída resulta ser azul, ¿cuál es la probabilidad de que proceda

de la urna B?

Parte II

Se sabe que (45.13, 51.03) es un intervalo de confianza, al 95%, para la media de una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica 15.

a) (0.5 puntos) ¿Cuál es el error cometido?

b) (1.5 puntos) Calcule, con el mismo nivel de confianza, el tamaño muestral mínimo

(11)

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN

OPCIÓN A

Ejercicio 1: 3 puntos

a) Hasta 1 punto por la región, hasta 1 punto por los vértices. b) Hasta 0.5 puntos.

c) Hasta 0.5 puntos.

a) Hasta 1 punto. b) Hasta 1 punto.

c) 0.25 por el punto de tangencia, 0.25 puntos por la pendiente; 0.5 por la recta.

Ejercicio 3:

Parte I: 2 puntos

a) Hasta 0.75 puntos. b) Hasta 0.75 puntos. c) Hasta 0.5 puntos.

Parte II: 2 puntos

OPCIÓN B

a) 0.5 puntos por el planteamiento. 1 punto por la resolución. b) 0.5 puntos por clasificar. 1 punto por resolver.

a) Hasta 1 punto por el planteamiento de las ecuaciones. Hasta 1 punto por el cálculo de a y b.

b) Hasta 1 punto.

Ejercicio 3:

Parte I: 2 puntos

Parte II: 2 puntos

a) Hasta 0.5 puntos.

(12)

OPCIÓN A (Septiembre 2.007)

EJERCICIO 1

De un problema de programación lineal se deducen las siguientes restrcciones:

4x + 3y ≥ 60, y ≤ 30, x ≤

2 10+y

, x ≥ 0, y ≥ 0

a) (2 puntos) Represente gráficamente la región factible del problema y calcule sus

vértices.

• 4x + 3y ≥ 60 ⇒

3 60 4 + −

≥ x

y . Es el área sobre la recta

3 60 4 + −

= x

y , porque

los puntos del área tienen que tener la y mayor que los que están sobre la recta.

• y ≤ 30, es el área bajo la recta y = 30.

• x ≤

2 10+ y

⇒ 2x – 10 ≤ y. Es el área sobre

la recta 2x – 10 = y.

• x ≥ 0, y ≥ 0 nos limita al primer cuadrante.

Por tanto, el área es la del gráfico adjunto.

Hemos dibujado también, en azul y pasando por el origen, la función x + 3y = 0, para después

maximi-zar la función objetivo.

Las coordenadas de los vértices son:

A:

⎭ ⎬ ⎫ = =

0 30

x y

⇒ A(0, 30)

B:

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫

=

+ − =

0 3 60 4

x

y _⇒

3 60 0 · 4 + − =

y = 20 ⇒ B(0, 20)

C:

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫

− =

+ − =

10 2 3

60 4

x y

x

y _⇒

3 60 4 10

2x− = − x+ ⇒ 6x – 30 = –4x + 60 ⇒ 10x = 90

⇒ x = 9 ⇒ y = 2·9 – 10 = 8 ⇒ C(9, 8)

D:

⎭ ⎬ ⎫ − = =

10 2 30

x y y

⇒ 30 = 2x – 10 ⇒ 40 = 2x ⇒ x = 20 ⇒ D(20, 30)

b) (0.5 puntos) Maximice en esa región factible la función objetivo F(x, y) = x + 3y. Como el coeficiente de y en la función objetivo es positivo, es la recta del tipo x + 3y = c lo más alta posible. Y estas rectas son paralelas a x + 3y = 0, dibujada en

azul en el gráfico. Vemos que es la que contiene a D.

Por tanto, el máximo se alcanza en D(20, 30) y vale: F(D) = F(20, 30) = 20 + 3·30 = 110

Otra opción sería calcular el valor de F en los cuatro vértices y tomar el vértice que

produjese el mayor resultado.

c) (0.5 puntos) ¿Pertenece el punto (11, 10) a la región factible?

La coordenada x = 11 del punto nos dice que está a la derecha de C. Por tanto, si queda

por encima de la recta y = 2x – 10 (ya que está claro que queda debajo de y = 30)

(13)

Prof. R. Mohigefer - Selectividad Septiembre 2007. Soluciones Página 2

El punto de dicha recta correspondiente a la coordenada x = 10 es: y = 2·11 – 10 = 22

– 10 = 12. Como nuestro punto (11, 10) está por debajo de (11, 12), que está en la recta, dicho punto está fuera de la región factible.

EJERCICIO 2

Sea la función f : R→R, definida por

⎩ ⎨ ⎧

> +

+

≤ =

1 si 5

1 si 2

)

( ₂

x mx

x

x x

f

x

.

a) (1 punto) Calcule m para que la función sea continua en x = 1.

• En (–∞, 1), es decir, cuando x < 1, f coincide con y = 2x, que es continua.

Lue-go f también lo es. (Nótese que el x = 1 ha sido excluido de este intervalo,

por-que debe estudiarse aparte, ya por-que es un punto de conexión entre definiciones de

f.

• En (1, +∞), o sea, para x > 1, f es continua por ser polinómica.

• En x = 1, en primer lugar, ∃f(1) = 1 + m + 5 = 6 + m. Para ser continua, deben

coincidir los límites laterales: )

( lim

1 f x

x→− = x xlim→1−2 = 2

1_{= 2} _lim ₍ ₎ 1 f x

x→+ = lim( 5)

2

1+ + +

→ x mx

x = 6 +

m

Luego: 2 = 6 + m ⇒ –4 = m.

b) (1 punto) Para ese valor de m, ¿es derivable la función en x = 1?

f ’(x) =

⎩ ⎨ ⎧

> −

< 1 si

4 2

1 si

2 ln 2

x x

donde se han aplicado directamente las fórmulas de derivación en los correspon-dientes intervalos abiertos donde está definida f. Hemos derivado, además, porque

sabíamos que f es continua; de no haber sido así, no podríamos haber derivado en

los puntos donde f no lo fuera.

Falta saber si ∃f ’(1). Será de esta forma si los límites laterales de f ’ existen y dan

el mismo resultado (en x = 1). f ’(1–) = lim '( )

1 f x

x→− = lim1 2 ln2

x

x→− = 2 ln 2 f ’(1

+_{) =}_lim _'₍ ₎ 1 f x

x→+ = xlim→1+(2x−4) = –2

Como no coinciden, la función no es derivable en x = 1, por lo que la expresión

fi-nal de su derivada es la anterior.

c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.

x = 0 está en la zona en que x < 1. Por tanto, f(x) = 2x y f ’(x) = 2x ln 2. Entonces: f(0) = 20 = 1 f ’(0) = 20 ln 2 = ln 2

Como la ecuación de la tangente en el punto (a, f(a)) es: y – f(a) = f ’(a)(x – a)

la ecuación pedida es: y – 1 = ln(2) (x – 0) ⇒ y = xln(2) + 1.

EJERCICIO 3 Parte I

En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica P(A∩B) = 0.1, P(AC∩BC)= 0.6, P(A/B) = 0.5.

a) (0.75 puntos) Calcule P(B).

P(A∩B) = P(A/B) · P(B) ⇒ P(B) =

) / (

) (

B A P

B A

P ∩

= 5 . 0

1 . 0

= 0.2

(14)

No podemos usar la fórmula P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) porque desconocemos P(A). Pero, según las leyes de Morgan:

P[(A∪B)C] = P(AC∩BC) = 0.6 ⇒ P(A∪B) = 1 – P[(A∪B)C] = 1 – 0.6 = 0.4

c) (0.5 puntos) ¿Son A y B independientes?

Calculemos P(A). Como P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) ⇒ P(A) = P(A∪B) –P(B) + P(A∩B) = 0.4 – 0.2 + 0.1 = 0.3.

Como P(A) ≠ P(A/B) = 0.5, los sucesos A y B no son independientes.

Parte II

Se sabe que las puntuaciones de un test siguen una ley Normal de media 36 y desvia-ción típica 4.8.

a) (1 punto) Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos, ¿cuál es la probabilidad

de que la media de esta muestra sea superior a 35 puntos?

Nos piden P(x>35). Sabemos que _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ ∈

n N

x μ; σ = _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

16 8 . 4 ; 36

N = N(36; 1.2).

Tipi-ficamos la normal, puesto que sabemos que si X∈N(μ;σ) ⇒

σ μ

− = X

z ∈N(0;1):

P(x>35) = ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ − _> − 2 . 1

36 35 2 . 1

36

x

P = P(z > –0.83) =

Según la probabilidad del suceso contrario: = 1 – P(z ≤ –0.83) =

Como la gráfica de la función de densidad de la N(0; 1) es

simé-trica respecto al eje OY (ver gráfico): = 1 – P(z > 0.83) =

Usando, nuevamente, la probabilidad del suceso contrario: = 1 – [1 – P(z ≤ 0.83)] = P(z ≤ 0.83) = 0.7967

valor que hemos encontrado en las tablas de la N(0;1).

b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 tiene una media muestral

com-prendida entre 34 y 36?

Consiste en multiplicar por 100 el valor P(34 ≤ x ≤ 36). En este caso, _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ ∈

n N

x μ; σ

= _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

25 8 . 4 ; 36

N = N(36; 0.96). Tipificando:

P(34 ≤ x ≤ 36)= ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ − _≤ _≤ −

96 . 0

36 36 96

. 0

36 34

z

P = P(–2.08 ≤ z ≤ 0) = P(z ≤ 0) – P(z<–2.08)=

Por la simetría de la Normal y, en el paso siguiente, por la probabilidad del suceso con-trario:

(15)

OPCIÓN B (Septiembre 2.007)

EJERCICIO 1

a) (1.5 puntos) Halle la matriz A que verifica _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 28 9 · 5 1 3 2 A .

Si llamamos B = _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

−1 5 3 2

, la ecuación anterior es B · A = _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 28 9

. Suponiendo que B

tiene inversa, multiplicando los dos miembros de la igualdad por B–1 a la izquierda:

B–1 · B · A = B–1 _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 28 9

⇒ I · A = B–1 _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 28 9

⇒ A = B–1 _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 28 9

donde I es la matriz unidad de orden 2.

Como |B| =

5 1

3 2

− = 10 + 3 = 13 ≠ 0 ⇒ ∃B

–1_{. Calculémosla:}

BT = _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 5 3 1 2

⇒ Adj(BT) = _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 3 5

⇒ B–1 = _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 3 5 13 1 = _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 13 / 2 13 / 1 13 / 3 13 / 5

Por tanto, A = B–1 _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 28 9 = _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 13 / 2 13 / 1 13 / 3 13 / 5 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 28 9 = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − 13 56 913 84 45 = _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− 5 3

b) (1.5 puntos) Clasifique y resuelva el sistema formado por las tres ecuaciones

si-guientes: x – 3y + 2z = 0; –2x + y –z = 0; x – 8y + 5z = 0.

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = + − = − + − = + − 0 5 8 0 2 0 2 3 z y x z y x z y x

Es un sistema homogéneo, puesto que los términos independientes

son todos 0. La matriz de los coeficientes es: A =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − 5 8 1 1 1 2 3 3 1

, cuyo determinante

vale: |A| =5 + 3 + 48 – 3 – 8 – 30 = 15. Al ser distinto de 0, es un sistema homogéneo

incompatible, cuya única solución es (x=0, y=0, z=0).

EJERCICIO 2

a) (2 puntos) Sea la función definida para todo número real x por f(x) = ax3 + bx.

De-termine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 1) y que en ese punto la

pen-diente de la recta tangente es –3.

• Pasa por (1, 1) ⇒ f(1) = 1 ⇒ a + b = 1. (1)

• La pendiente de la tangente en dicho punto es –3 ⇒ f ’(1) = –3. Como f ’(x) =

3ax2 + b ⇒ 3a + b= –3. (2)

Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2). Despejando b en (1) y

sus-tituyendo en (2):

3a + (1 – a) = –3 ⇒ 3a + 1 – a = –3 ⇒ 2a = –4 ⇒ a = –2

Sustituyendo en (1): b = 1 – a = 1 + 2 = 3 ⇒ b = 3.

b) (1 punto) Si en la función anterior a = 3 1

y b = –4, determine sus intervalos de

(16)

f(x) = x 4x

3

1 3 ₋ _⇒

f ’(x) = x2 – 4.

• Discontinuidades de f : No tiene (es polinómica).

• Discontinuidades de f ’: No tiene (también es polinómica).

• f ’(x) = 0 ⇒ x2 – 4 = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ± 2.

Dividimos en intervalos el dominio de la función (que es R) mediante los puntos obte-nidos, para formar el cuadro de monotonía:

Coordenadas del máximo relativo: f(–2) = 8

3 8

+

− =

3 16

⇒ (–2, 3 16

) es Máx. rel.

Coordenadas del mínimo relativo: f (2) = 8

3 8₋

= 3 16

− ⇒ (2, 3 16

− ) es mín. rel.

EJERCICIO 3 Parte I

Una urna A contiene tres bolas azules y cuatro rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se extrae, al azar, una bola de una de las urnas.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

Dos experimentos aleatorios sucesivos: la elección de la urna y la extracción de la bola de la urna elegida. Este tipo de situaciones se resuelve bien mediante un árbol. Lo hemos construido en el gráfico adjunto.

La probabilidad de obtener bola roja es la suma de las probabilidades de los dos ramales que finalizan en bola roja. Y la probabilidad de cada ramal es el producto de las probabilidades de todas las ramas desde la raíz hasta la finalización de dicho ramal. Por tanto:

P(“obtener R”) =

6 2 · 2 1 7 4 · 2 1

+ =

42 19

b) (1 punto) Si la bola extraída resulta ser azul, ¿cuál es la probabilidad de que proceda

de la urna B?

P(B/Az) =

) (

Az P

Az B

P ∩

=

6 2 · 2 1 7 3 · 2

1 6

2 · 2 1

+

= 16

7

Parte II

Se sabe que (45.13, 51.03) es un intervalo de confianza, al 95%, para la media de una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica 15.

a) (0.5 puntos) ¿Cuál es el error cometido?

La amplitud del intervalo de confianza es el doble del error. Por tanto

E =

2 13 . 45 03 . 51 −

= 2.95

(–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 (2, +∞)

f ’ + 0 – 0 +

f Ê Máx Ì mín Ê

2 1

A

B 7 3

7 4

Az

R

6 2

Az

R 6 2 Urna Bola

(17)

b) (1.5 puntos) Calcule, con el mismo nivel de confianza, el tamaño muestral mínimo

necesario para que el error no sea superior a 1.8.

E =

n

z_α₂ σ ⇒ n =

2 2

/ _⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

E z_α σ

El nivel de confianza es del 95% ⇒ 1 – α = 0,95 ⇒ α = 0,05 ⇒ α/2 = 0,025 ⇒ 1 – α/2 = 0,975 ⇒ Buscando en las tablas de la normal el valor tal que P(z≤ Zα/2) = 1– α/2 = 0,975, resulta que Zα/2 = 1,96. Por tanto:

n =

2

8 . 1

15 · 96 . 1

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{= 266.78}

No podemos tener un tamaño muestral con decimales. Como E =

n

z_α₂ σ , y en esta

expresión n está en el denominador, cuanto mayor es n más pequeño es E (porque

dividimos entre un número mayor, luego el resultado de la división es más pequeño). Entonces, para que el error sea menor o igual que 1.8 tomamos el valor entero más próximo al obtenido, por exceso. Así:

(18)

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0;1)

k 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99897 0.99900 3.1 0.99903 0.99906 0.99909 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929 3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.99950 3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99959 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965 3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976 3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.99980 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983 3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989 3.7 0.99989 0.99990 0.99990 0.99990 0.99991 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995 3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997 4.0 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z, con distribución N(0;1), esté por